Pifaqor nömrələri. Professor Stüartın inanılmaz ədədləri Pifaqor üçlü ədədləri

Əhəmiyyətli nümunə Diofant tənliyi düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının x və y uzunluqlarını onun hipotenuzunun z uzunluğu ilə birləşdirən Pifaqor teoremi ilə verilir:

Təbii ki, siz təbii ədədlərdə bu tənliyin gözəl həllərindən birinə, yəni Pifaqor üçlüyünə rast gəldiniz. x=3, y=4, z=5. Başqa üçəmlər varmı?

Belə çıxır ki, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyü var və onların hamısı çoxdan tapılıb. Onları bu paraqrafdan öyrənəcəyiniz tanınmış düsturlarla əldə etmək olar.

Əgər birinci və ikinci dərəcəli Diofant tənlikləri artıq həll olunubsa, aparıcı riyaziyyatçıların səylərinə baxmayaraq, daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli məsələsi hələ də açıq qalır. Hal-hazırda, məsələn, Fermatın məşhur fərziyyəsi hər hansı bir tam dəyər üçün n2 tənlik

tam ədədlərdə həlli yoxdur.

Diophantine tənliklərinin müəyyən növlərini həll etmək üçün, sözdə mürəkkəb ədədlər. Bu nədir? i hərfi şərti ödəyən hansısa obyekti ifadə etsin i 2 \u003d -1(aydındır ki, heç bir real ədəd bu şərti ödəmir). Formanın ifadələrini nəzərdən keçirin α+iβ, burada α və β həqiqi ədədlərdir. Bu cür ifadələr kompleks ədədlər adlanacaq, onlar üzərində toplama və vurma əməliyyatlarını, eləcə də binomiallar üzərində müəyyən etmişlər, lakin ifadənin yeganə fərqi ilə mən 2 hər yerdə -1 rəqəmini əvəz edəcəyik:

7.1. Üçünün çoxu

Bunu sübut et x0, y0, z0- Pifaqor üçlü, sonra üçqat y 0 , x 0 , z 0 Və x 0 k, y 0 k, z 0 k k təbii parametrinin istənilən qiyməti üçün də Pifaqordur.

7.2. Şəxsi düsturlar

Hər hansı təbii dəyərlər üçün yoxlayın m>n formanın üçlüyü

Pifaqorçudur. Hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, züçlükdə x və y ədədlərini yenidən yerləşdirməyə icazə versəniz, bu formada təmsil oluna bilərmi?

7.3. Təkrarlanmayan üçlüklər

Ümumi böləni 1-dən böyük olmayan ədədlərin Pifaqor üçlüyü reduksiya olunmayan adlanacaq. Sübut edin ki, Pifaqor üçlüyü yalnız üçlükdəki ədədlərdən hər hansı ikisi ikiqat olarsa, reduksiya edilə bilməz.

7.4. Azaldılmayan üçlüklərin xassəsi

Sübut edin ki, istənilən reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyü x, y, z-də z ədədi və x və ya y ədədlərindən dəqiq biri təkdir.

7.5. Bütün azalmaz üçlüklər

Sübut edin ki, x, y, z ədədlərinin üçlüyü, ilk iki ədədin sırasına qədər üçlü ilə üst-üstə düşərsə, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüdür. 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Harada m>n- müxtəlif paritetli natural ədədlərin koprisiyası.

7.6. Ümumi düsturlar

Tənliyin bütün həllərini sübut edin

natural ədədlərdə naməlum x və y sırasına qədər düsturlarla verilir

burada m>n və k təbii parametrlərdir (hər hansı üçlüyün təkrarlanmasının qarşısını almaq üçün coprime tipli və üstəlik müxtəlif paritetli ədədləri seçmək kifayətdir).

7.7. İlk 10 üçlük

Bütün Pifaqor üçlüyü tapın x, y, zşərti təmin edir x

7.8. Pifaqor üçlülərinin xüsusiyyətləri

Bunu istənilən Pifaqor üçlüyü üçün sübut edin x, y, z ifadələr doğrudur:

a) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 3-ə qatdır;

b) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 4-ün qatıdır;

c) x, y və ya z ədədlərindən ən azı biri 5-in qatıdır.

7.9. Kompleks ədədlərin tətbiqi

Kompleks ədədin modulu α + iβ mənfi olmayan nömrə adlanır

Hər hansı bir kompleks ədəd üçün bunu yoxlayın α + iβ Və γ + iδəmlak icra edilir

Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək sübut edin ki, istənilən iki m və n tam ədədi bərabərliyi təmin edir.

yəni tənliyin həllini verirlər

tam ədədlər (məsələ 7.5 ilə müqayisə edin).

7.10. Pifaqor olmayan üçlüklər

Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək (məsələ 7.9-a baxın) tənliyin istənilən tam həlli üçün düsturları tapın:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Həll yolları

7.1. Əgər x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, Bu y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, və k-nin istənilən təbii dəyəri üçün bizdə var

Q.E.D.

7.2. Bərabərlikdən

belə nəticəyə gəlirik ki, məsələdə göstərilən üçlük tənliyi ödəyir x 2 + y 2 = z 2 natural ədədlərdə. Ancaq hər Pifaqor üçlüyü deyil x, y, z bu formada təmsil oluna bilər; məsələn, üçlü 9, 12, 15 Pifaqordur, lakin 15 rəqəmi hər hansı iki m və n natural ədədinin kvadratlarının cəmi kimi təqdim edilə bilməz.

7.3. Pifaqor üçlüyündən hər hansı iki ədəd varsa x, y, z ortaq bölən d varsa, o da üçüncü ədədin bölməsi olacaq (deməli, halda x = x 1 d, y = y 1 d bizdə var z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, buradan z 2 d 2-yə, z isə d) bölünür. Buna görə də, Pifaqor üçlüyünün reduksiya edilməməsi üçün üçlüyə daxil olan hər iki ədədin əlavə sadə olması lazımdır,

7.4. Qeyd edək ki, x və ya y ədədlərindən biri, deyək ki, x, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyünün x, y, z təkdir, çünki əks halda x və y ədədləri müştərək olmazdı (7.3-cü məsələyə bax). Əgər digər y ədədi də təkdirsə, onda hər iki ədəd

4-ə bölündükdə 1-in qalığını və ədədi verin z 2 \u003d x 2 + y 2 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verir, yəni 2-yə bölünür, lakin 4-ə bölünmür, ola bilməz. Beləliklə, y ədədi cüt, z ədədi isə tək olmalıdır.

7.5. Pifaqorlu üçqat olsun x, y, z azalmazdır və müəyyənlik üçün x ədədi cüt, y, z ədədləri isə təkdir (bax. Məsələ 7.4). Sonra

rəqəmlər haradadır bütövdürlər. a və b ədədlərinin ikiqat olduğunu sübut edək. Həqiqətən, əgər onların ümumi bölənləri 1-dən böyük olsaydı, ədədlərin eyni bölənləri olardı. z = a + b, y = a - b, yəni üçlük azaldılmaz olmayacaq (bax. Məsələ 7.3). İndi, a və b ədədlərini əsas amillərin hasillərinə genişləndirərək, hər hansı bir baş amilin məhsula daxil edilməli olduğunu görürük. 4ab = x2 yalnız cüt dərəcəyə qədər və əgər a ədədinin genişlənməsinə daxil edilirsə, onda b ədədinin genişlənməsinə daxil edilmir və əksinə. Buna görə də, hər hansı bir sadə amil a və ya b ədədinin yalnız cüt dərəcəyə qədər genişlənməsinə daxil edilir, yəni bu ədədlərin özləri tam ədədlərin kvadratlarıdır. qoyaq onda bərabərlikləri əldə edirik

üstəlik, m>n natural parametrləri kobuddur (a və b ədədlərinin ümumiliyinə görə) və fərqli paritetə ​​malikdirlər (tək ədədə görə). z \u003d m 2 + n 2).

İndi müxtəlif paritetli m>n natural ədədləri kobud olsun. Sonra troyka x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, Problem 7.2-ə görə, Pifaqordur. Gəlin sübut edək ki, azalmazdır. Bunun üçün y və z ədədlərinin ortaq bölənlərinin olmadığını yoxlamaq kifayətdir (bax. Məsələ 7.3). Əslində, bu nömrələrin hər ikisi təkdir, çünki növ nömrələri fərqli paritetlərə malikdir. Əgər y və z ədədlərinin bəzi sadə ümumi bölənləri varsa (onda o, tək olmalıdır), onda ədədlərin hər biri və onlarla birlikdə m və n ədədlərinin hər biri eyni bölücüyə malikdir ki, bu da onların qarşılıqlı sadəliyinə ziddir.

7.6. 7.1 və 7.2-ci Məsələlərdə tərtib edilmiş müddəalara görə, bu düsturlar yalnız Pifaqor üçlüyünü müəyyən edir. Digər tərəfdən, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, zən böyük ümumi bölən k ilə azaldılandan sonra x və y ədədləri cütü azalmaz hala gəlir (7.3-cü məsələyə bax) və buna görə də, məsələ 7.5-də təsvir olunan formada x və y ədədlərinin sırasına qədər təmsil oluna bilər. Buna görə də, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü parametrlərin bəzi dəyərləri üçün göstərilən düsturlarla verilir.

7.7. Bərabərsizlikdən z və 7.6-cı məsələnin düsturlarından istifadə edərək təxmini əldə edirik m 2 yəni. m≤5. fərz edirik m = 2, n = 1 Və k = 1, 2, 3, 4, 5,üçəmlər alırıq 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. fərz edirik m=3, n=2 Və k = 1, 2,üçəmlər alırıq 5, 12, 13; 10, 24, 26. fərz edirik m = 4, n = 1, 3 Və k = 1,üçəmlər alırıq 8, 15, 17; 7, 24, 25. Nəhayət, fərz edirik m=5, n=2 Və k = 1,üç alırıq 20, 21, 29.

Çervyak Vitali

Yüklə:

Önizləmə:

Müsabiqə elmi layihələr məktəblilər

Regional daxilində elmi-praktik konfrans"Evrika"

Kuban tələbələrinin Kiçik Elmlər Akademiyası

Pifaqor ədədlərinin öyrənilməsi

Riyaziyyat bölməsi.

Çervyak Vitaliy Gennadieviç, 9-cu sinif

MOBU SOSH №14

Korenovski rayonu

İncəsənət. Zhuravskaya

Elmi məsləhətçi:

Manko Galina Vasilievna

Riyaziyyat müəllimi

MOBU SOSH №14

Korenovsk 2011

Çervyak Vitali Gennadieviç

Pifaqor nömrələri

Annotasiya.

Tədqiqat mövzusu:Pifaqor nömrələri

Tədqiqat məqsədləri:

Tədqiqat məqsədləri:

• Riyazi qabiliyyətlərin müəyyən edilməsi və inkişafı;
• Mövzu üzrə riyazi təsvirin genişləndirilməsi;
• Mövzuya davamlı marağın formalaşdırılması;
• Müstəqil işin kommunikativ və ümumi təhsil bacarıqlarının inkişafı, müzakirə aparmaq, mübahisə etmək və s.;
• Analitik və məntiqi təfəkkürün formalaşması və inkişafı;

Tədqiqat üsulları:

• İnternet resurslarından istifadə;
• İstinad ədəbiyyatına giriş;
• Eksperimentin aparılması;

Nəticə:

• Bu iş həndəsə dərsində aparılması üçün əlavə material kimi istifadə edilə bilər seçmə kurslar və ya riyaziyyatdan seçmə fənlər, habelə riyaziyyatdan sinifdənkənar işlər;

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

1. Giriş…………………………………………………………………3
2. Əsas hissə

2.1 Tarixi səhifə…………………………………………………4

2.2 Cüt və tək ayaqların sübutu ...................................................... .........5-6

2.3 Tapmaq üçün nümunənin çıxarılması

Pifaqor nömrələri…………………………………………………………7

2.4 Pifaqor ədədlərinin xassələri ……………………………………………… 8

3. Nəticə………………………………………………………………………9

4. İstifadə olunan mənbələrin və ədəbiyyatların siyahısı…………………… 10

Tətbiqlər ................................................... ................................................ . .....on bir

Əlavə I…………………………………………………………………11

Əlavə II……………………………………………………………..13

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Giriş

Pifaqor və onun həyatı haqqında beşinci sinifdə riyaziyyat dərsində eşitdim və “Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir” ifadəsi ilə maraqlandım. Pifaqor teoremini öyrənərkən Pifaqor ədədləri ilə maraqlandım.tədqiqatın məqsədi: Pifaqor teoremi və "Pifaqor ədədləri" haqqında daha çox məlumat əldə edin.

Mövzunun aktuallığı. Pifaqor teoreminin və Pifaqor üçlüyünün dəyəri uzun əsrlər boyu dünyanın bir çox alimləri tərəfindən sübut edilmişdir. Mənim işimdə müzakirə olunacaq problem olduqca sadə görünür, çünki o, hamının bildiyi riyazi müddəaya - Pifaqor teoreminə əsaslanır: istənilən düzbucaqlıda hipotenuzanın üzərində qurulmuş kvadrat, düsturun üzərində qurulmuş kvadratların cəminə bərabərdir. ayaqları. İndi x, y, z natural ədədlərinin üçqatları, bunun üçün x 2 + y 2 = z 2 , adətən adlanırPifaqor üçlüyü. Belə çıxır ki, Pifaqor üçlüyü artıq Babildə məlum idi. Tədricən Yunan riyaziyyatçıları da onları tapdılar.

Bu işin məqsədi

1. Pifaqor nömrələrini araşdırın;
2. Pifaqor nömrələrinin necə əldə edildiyini anlayın;
3. Pifaqor ədədlərinin hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu öyrənin;
4. Pifaqor nömrələrindən istifadə edərək yerdə eksperimental olaraq perpendikulyar xətlər qurmaq;

İşin məqsədinə uyğun olaraq bir sıra aşağıdakılar tapşırıqlar:

1. Pifaqor teoreminin tarixinin daha dərindən öyrənilməsi;

2. Pifaqor üçlüyünün universal xassələrinin təhlili.

3. Pifaqor üçlüyünün praktik tətbiqinin təhlili.

Tədqiqat obyekti: Pifaqor üçlüyü.

Tədqiqat mövzusu: riyaziyyat.

Tədqiqat üsulları: - İnternet resurslarından istifadə; - İstinad ədəbiyyatına müraciət; - Eksperimentin aparılması;

Nəzəri əhəmiyyəti:elmdə Pifaqor üçlüyünün kəşfinin oynadığı rol; Pifaqorun kəşfinin insan həyatında praktik tətbiqi.

Tətbiq olunan dəyərtədqiqat ədəbi mənbələrin təhlilindən və faktların sistemləşdirilməsindən ibarətdir.

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Pifaqor rəqəmlərinin tarixindən.

• Qədim Çin:

Chu-pei riyaziyyat kitabı:[ 2]

"Düz bucaq onun tərkib hissələrinə parçalanırsa, əsas 3 və hündürlüyü 4 olduqda, onun tərəflərinin uclarını birləşdirən xətt 5 olacaq."

• Qədim Misir: [2]

Cantor (ən böyük alman riyaziyyat tarixçisi) bərabərliyə inanır 3² + 4² = 5² Misirlilərə eramızdan əvvəl 2300-cü illərdə məlum idi. e., padşahın dövründə Amenemhet (Berlin Muzeyinin Papirus 6619-a əsasən). Kantorun sözlərinə görə harpedonaptlar, və ya tərəfləri 3 olan düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edərək düz bucaqlar quran "ip dartıcılar"; 4 və 5.

• Babilistan: [ 3 ]

“Fales, Pifaqor və Pifaqorçular kimi ilk yunan riyaziyyatçılarının xidmətləri riyaziyyatın kəşfi deyil, onun sistemləşdirilməsi və əsaslandırılmasıdır. Onların əlində qeyri-müəyyən fikirlərə əsaslanan hesablama reseptləri dəqiq bir elmə çevrilib.

• Pifaqor teoreminin tarixi:,

Bu teorem Pifaqorun adı ilə bağlı olsa da, ondan çox əvvəl məlum idi.

Babil mətnlərində o, Pifaqordan 1200 il əvvəl baş verir.

Görünür, onun sübutunu ilk tapan o olub. Bununla bağlı aşağıdakı qeyd edilib: “... düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın ayaqlara uyğun olduğunu aşkar etdikdə, buğda xəmirindən hazırlanmış bir öküzü qurban verdi”.

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Pifaqor ədədlərinin öyrənilməsi.

• Hər üçbucaq, tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqələndirilir, məşhur Pifaqor teoreminə görə, düzbucaqlıdır, çünki

3 2 + 4 2 = 5 2.

• 3,4 və 5 rəqəmlərindən əlavə, bildiyiniz kimi, sonsuz sayda tam ədədlər dəsti var. müsbət ədədlər a, b və c əlaqəni təmin edir
• 2-də A 2 + = c 2.
• Bu nömrələr adlanırPifaqor nömrələri

Pifaqor üçlüyüçox uzun müddətdir tanınır. Qədim Meşə Potam məzar daşlarının memarlığında tərəfləri 9, 12 və 15 qulac olan iki düzbucaqlıdan ibarət ikitərəfli üçbucaq var. Firon Snefrunun (e.ə. XXI əsr) piramidaları tərəfləri 20, 21 və 29, həmçinin 18, 24 və 30 onlarla Misir qulacları olan üçbucaqlardan istifadə edilərək tikilmişdir.[ 1 ]

Ayaqları 3, 4 və hipotenuzası 5 olan düzbucaqlı üçbucağa Misir üçbucağı deyilir. Bu üçbucağın sahəsi mükəmməl 6 rəqəminə bərabərdir. Perimetri 12-yə bərabərdir - bu, xoşbəxtlik və firavanlıq simvolu hesab edilən bir rəqəmdir.

Düyünlərlə 12 bərabər hissəyə bölünmüş ipin köməyi ilə qədim misirlilər tikdilər düz üçbucaq və düz bucaq. Torpaq tədqiqatçılarının yerdə aparılması üçün istifadə etdiyi rahat və çox dəqiq üsul perpendikulyar xətlər. Bir şnur və üç dirək götürmək lazımdır, şnur üçbucaq şəklində yerləşdirilir ki, bir tərəfi 3 hissədən, ikincisi 4 paydan, sonuncusu isə beş belə paydan ibarətdir. Şnurun düz bucağın olduğu üçbucaqda yerləşəcək.

Misir piramidalarını inşa edənlərin min illər əvvəl istifadə etdiyi bu qədim üsul, Pifaqor teoreminə görə tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqəli olan hər üçbucağın düzbucaqlı olması faktına əsaslanır.

Evklid, Pifaqor, Diofant və bir çox başqaları Pifaqor üçlüyünü tapmaqla məşğul idilər.[ 1]

Aydındır ki, əgər (x, y, z ) hər hansı bir təbii üçün Pifaqor üçlüyüdür k üçlü (kx, ky, kz ) həm də Pifaqor üçlüyü olacaq. Xüsusilə (6, 8, 10), (9, 12, 15) və s. Pifaqor üçlüyüdür.

Rəqəmlər artdıqca Pifaqor üçlüyü daha nadir olur və tapmaq çətinləşir. Pifaqorçular tapma üsulunu icad etdilər

belə üçlüklər və ondan istifadə edərək, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyünün olduğunu sübut etdi.

Ümumi bölənləri 1-dən böyük olmayan üçlüklərə sadə üçlüklər deyilir.

Pifaqor üçlüyünün bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.[ 1]

Pifaqor teoreminə görə, bu ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın uzunluqları kimi xidmət edə bilər; buna görə də a və b “ayaqlar”, c isə “hipotenuza” adlanır.
Aydındır ki, a, b, c Pifaqor ədədlərinin üçlüyüdürsə, p-nin tam ədəd olduğu pa, p, pc də Pifaqor ədədləridir.
Bunun əksi də doğrudur!
Buna görə də, biz əvvəlcə yalnız üçlü ikiqat Pifaqor ədədlərini öyrənəcəyik (qalanları onlardan p tam əmsalı ilə çarpılmaqla əldə edilir).

Göstərək ki, belə a, b, c üçlüklərinin hər birində “ayaqlardan” biri cüt, digəri isə tək olmalıdır. Gəlin “əksinə” mübahisə edək. Hər iki "ayaq" a və b cütdürsə, a sayı cüt olacaqdır 2-də 2 + , və deməli, hipotenuza. Amma bu nəyə ziddir a, b nömrələri və c-nin ümumi amilləri yoxdur, çünki üç cüt ədədin ümumi əmsalı 2-dir. Beləliklə, a və b "ayaqlarından" ən azı biri təkdir.

Daha bir ehtimal qalır: hər iki "ayaq" tək, "hipotenuz" isə cütdür. Bunun ola bilməyəcəyini sübut etmək asandır, çünki "ayaqlar" 2 x + 1 və 2y + 1 formasına malikdirsə, onda onların kvadratlarının cəmi bərabərdir.

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2) + y) +2, yəni. 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verən ədəddir. Bu arada istənilən cüt ədədin kvadratı 4-ə qalıqsız bölünməlidir.

Deməli, iki tək ədədin kvadratlarının cəmi cüt ədədin kvadratı ola bilməz; başqa sözlə, üç ədədimiz Pifaqor deyil.

NƏTİCƏ:

Beləliklə, "ayaq" dan a, birinə cüt, digəri isə tək. Beləliklə, a sayı 2-də 2 + tək, bu o deməkdir ki, “hipotenuza” c.

Pifaqor müasir simvolizmdə belə yazıla bilən düsturlar tapdı: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, burada n tam ədəddir.

Bu rəqəmlər Pifaqor üçlüyüdür.

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Pifaqor ədədlərini tapmaq üçün nümunənin çıxarılması.

Aşağıdakı Pifaqor üçlüyü bunlardır:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Pifaqor üçlüyünün hər bir ədədini 2, 3, 4, 5 və s.-ə vurduqda aşağıdakı üçlükləri aldığımızı görmək asandır.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 və s.

Onlar da Pifaqor rəqəmləridir/

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Pifaqor ədədlərinin xassələri.

• Pifaqor nömrələrini nəzərdən keçirərkən bir sıra xüsusiyyətlər gördüm:
• 1) Pifaqor rəqəmlərindən biri üçə çox olmalıdır;
• 2) Onlardan başqa biri dördün qatı olmalıdır;
• 3) Pifaqor rəqəmlərinin üçüncüsü isə beşə qat olmalıdır;

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Nəticə.

Həndəsə digər elmlər kimi praktika ehtiyaclarından yaranmışdır. "Həndəsə" sözünün özü - yunanca, tərcümədə "ölçmə" deməkdir.

İnsanlar torpağı ölçmək ehtiyacı ilə çox erkən qarşılaşdılar. Artıq eramızdan əvvəl 3-4 min ildir. Çinin Nil, Fərat və Dəclə vadilərindəki hər bir münbit torpaq parçası insanların həyatı üçün əhəmiyyətli idi. Bunun üçün müəyyən həndəsi və arifmetik biliklər ehtiyatı tələb olunurdu.

Tədricən insanlar daha mürəkkəb həndəsi fiqurların xüsusiyyətlərini ölçməyə və öyrənməyə başladılar.

Həm Misirdə, həm də Babildə nəhəng məbədlər tikildi, onların tikintisi yalnız ilkin hesablamalar əsasında həyata keçirilə bilərdi. Su kəmərləri də tikilmişdir. Bütün bunlar təsvirlər və hesablamalar tələb edirdi. Bu vaxta qədər Pifaqor teoreminin xüsusi halları yaxşı məlum idi, onlar artıq bilirdilər ki, tərəfləri x, y, z olan üçbucaqları götürsək, burada x, y, z elə tam ədədlərdir ki, x 2 + y 2 = z 2 , onda bu üçbucaqlar düzbucaqlı olacaq.

Bütün bu biliklər insan həyatının bir çox sahələrində bilavasitə tətbiq olunurdu.

Beləliklə, indiyə qədər antik dövrün alimi və filosofu Pifaqorun böyük kəşfi həyatımızda birbaşa tətbiq tapır.

Evlərin, yolların, kosmik gəmilərin, avtomobillərin, dəzgahların, neft boru kəmərlərinin, təyyarələrin, tunellərin, metroların və daha çox şeylərin tikintisi. Pifaqor üçlüləri gündəlik həyatda bizi əhatə edən bir çox şeyin dizaynında birbaşa tətbiq tapırlar.

Alimlərin ağlı isə Pifaqor teoreminin sübutlarının yeni versiyalarını axtarmağa davam edir.

• IN İşim nəticəsində mən bacardım:
• 1. Pifaqor, onun həyatı, Pifaqor qardaşlığı haqqında daha çox məlumat əldə edin.
• 2. Pifaqor teoreminin tarixi ilə tanış olun.
• 3. Pifaqor ədədləri, onların xassələri haqqında məlumat əldə edin, onları tapmağı öyrənin və praktikada tətbiq edin.

Çervyak Vitali Gennadieviç

Krasnodar diyarı, Zhuravskaya kəndi, MOBU 14 saylı orta məktəb, 9-cu sinif

Pifaqor nömrələri

Rəhbər: MOBU 14 saylı tam orta məktəbin riyaziyyat müəllimi Manko Qalina Vasilievna

Ədəbiyyat.

1. Əyləncəli cəbr. MƏN VƏ. Perelman (s.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Riyaziyyata və ondan bir şeyə baxış. – M.: MTsNMO, 2003.

5. Uşaq ensiklopediyası. - M .: Akademiya Nəşriyyatı Pedaqoji Elmlər RSFSR, 1959.

6. Stepanova L.L. Seçilmiş fəsillər elementar nəzəriyyə nömrələri. – M.: Prometey, 2001.

7. V. Sierpinski Pifaqor üçbucaqları. - M.: Üçpdqız, 1959. S.111

Araşdırmanın gedişi Tarixi səhifə; Pifaqor teoremi; Sübut et ki, “ayaqlardan” biri cüt, digəri tək olmalıdır; Pifaqor ədədlərinin tapılması üçün nümunənin çıxarılması; Pifaqor ədədlərinin xassələrini üzə çıxarmaq;

Giriş Beşinci sinifdə riyaziyyat dərsində Pifaqor və onun həyatı haqqında eşitdim və “Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir” ifadəsi ilə maraqlandım. Pifaqor teoremini öyrənərkən Pifaqor ədədləri ilə maraqlandım. Tədqiqatın məqsədini təyin etdim: Pifaqor teoremi və "Pifaqor ədədləri" haqqında daha çox öyrənmək.

Həqiqət bilinən kimi əbədi olacaq zəif insan! İndi də Pifaqor Vernenin teoremi, onun uzaq çağında olduğu kimi

Pifaqor rəqəmlərinin tarixindən. Qədim Çin Riyaziyyat kitabı Çu-pei: "Düz bucaq onun tərkib hissələrinə parçalanırsa, əsası 3 və hündürlüyü 4 olduqda onun tərəflərinin uclarını birləşdirən xətt 5 olacaq."

Qədim misirlilər arasında Pifaqor rəqəmləri Kantor (ən böyük alman riyaziyyat tarixçisi) hesab edir ki, 3 ² + 4 ² = 5² bərabərliyi eramızdan əvvəl 2300-cü ildə misirlilərə məlum idi. e., Kral Amenemhatın dövründə (Berlin Muzeyinin 6619 papirusuna görə). Kantorun fikrincə, harpedonaptlar və ya "stringerlər" tərəfləri 3 olan düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edərək düz bucaqlar qurdular; 4 və 5.

Babildə Pifaqor teoremi “Fales, Pifaqor və Pifaqorçular kimi ilk yunan riyaziyyatçılarının xidmətləri riyaziyyatın kəşfi deyil, onun sistemləşdirilməsi və əsaslandırılmasıdır. Onların əlində qeyri-müəyyən fikirlərə əsaslanan hesablama reseptləri dəqiq bir elmə çevrilib.

Hər üçbucaq, tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqələndirilir, məşhur Pifaqor teoreminə görə, düzbucaqlıdır, çünki 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. 3,4 və 5 rəqəmlərinə əlavə olaraq, , bildiyiniz kimi, A 2 + in 2 \u003d c 2 münasibətini təmin edən sonsuz a , in və c müsbət tam ədədlər dəsti. Bu ədədlərə Pifaqor ədədləri deyilir.

Pifaqor teoreminə görə, bu ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın uzunluqları kimi xidmət edə bilər; buna görə də a və b “ayaqlar”, c isə “hipotenuza” adlanır. Aydındır ki, a, b, c Pifaqor ədədlərinin üçlüyüdürsə, p-nin tam ədəd olduğu pa, p, pc də Pifaqor ədədləridir. Bunun əksi də doğrudur! Buna görə də, biz əvvəlcə yalnız üçlü ikiqat Pifaqor ədədlərini öyrənəcəyik (qalanları onlardan p tam əmsalı ilə çarpılmaqla əldə edilir)

Nəticə! Deməli, a və b ədədlərindən biri cüt, digəri təkdir, yəni üçüncü ədəd də təkdir.

Aşağıdakı Pifaqor üçlükləri bunlardır: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Pifaqor üçlüyünün hər bir ədədini 2, 3, 4, 5 və s.-ə vurduqda aşağıdakı üçlükləri aldığımızı görmək asandır. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 və s. Onlar da Pifaqor rəqəmləridir

Pifaqor ədədlərinin xassələri Pifaqor ədədlərini nəzərdən keçirərkən bir sıra xassələri gördüm: 1) Pifaqor ədədlərindən biri üçə qat olmalıdır; 2) onlardan biri dördün qatı olmalıdır; 3) Pifaqor rəqəmlərindən digəri isə beşə qat olmalıdır;

Pifaqor ədədlərinin praktik tətbiqi

Nəticə: İşim nəticəsində 1. Pifaqor, onun həyatı, Pifaqor qardaşlığı haqqında daha çox məlumat əldə edə bildim. 2. Pifaqor teoreminin tarixi ilə tanış olun. 3. Pifaqor ədədləri, onların xassələri haqqında məlumat əldə edin, onları tapmağı öyrənin. Eksperimental-eksperimental olaraq Pifaqor ədədlərindən istifadə edərək düzgün bucağı kənara qoyun.

Torpaq tədqiqatçılarının yerə perpendikulyar xətlər çəkmək üçün istifadə etdiyi rahat və çox dəqiq üsul aşağıdakı kimidir. A nöqtəsindən MN xəttinə perpendikulyar çəkmək tələb olunsun (şək. 13). A-dan AM istiqamətində üç dəfə bir qədər a məsafəsinə enin. Sonra kordona üç düyün bağlanır, aralarındakı məsafələr 4a və 5a-dır. Həddindən artıq düyünləri A və B nöqtələrinə bağlayaraq, kordonu orta düyün üzərinə çəkin. Şnur üçbucaqda yerləşəcək, burada A bucağı düzdür.

Misir piramidalarını inşa edənlərin, yəqin ki, min illər əvvəl istifadə etdikləri bu qədim üsul, məlum Pifaqor teoreminə görə tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqəli olan hər üçbucağın düzbucaqlı, ildən

3 2 + 4 2 = 5 2 .

3, 4, 5 rəqəmlərinə əlavə olaraq, məlum olduğu kimi, əlaqəni təmin edən a, b, c müsbət tam ədədlərin saysız çoxluğu var.

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Onlara Pifaqor nömrələri deyilir. Pifaqor teoreminə görə, belə ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqları rolunu oynaya bilər; buna görə də a və b "ayaqlar", c isə "hipotenuza" adlanır.

Aydındır ki, a, b, c Pifaqor ədədlərinin üçlüyüdürsə, p-nin tam əmsal olduğu pa, pb, pc Pifaqor ədədləridir. Əksinə, əgər Pifaqor ədədlərinin ümumi amili varsa, bu ümumi amillə siz onların hamısını azalda bilərsiniz və yenə də Pifaqor ədədlərinin üçqatını əldə edə bilərsiniz. Buna görə də, biz əvvəlcə yalnız üçlü ikiqat Pifaqor ədədlərini öyrənəcəyik (qalanları onlardan p tam əmsalı ilə çarpılmaqla əldə edilir).

Göstərək ki, belə a, b, c üçlüklərinin hər birində “ayaqlardan” biri cüt, digəri tək olmalıdır. Gəlin “əksinə” mübahisə edək. Əgər hər iki "ayaq" a və b cütdürsə, onda a 2 + b 2 sayı cüt olacaq və deməli, "hipotenuz". Bununla belə, bu, a, b, c ədədlərinin ümumi amillərinin olmaması ilə ziddiyyət təşkil edir, çünki üç cüt ədədin ümumi əmsalı 2-dir. Beləliklə, a, b "ayaqlarından" ən azı biri təkdir.

Daha bir ehtimal qalır: hər iki "ayaq" tək, "hipotenuz" isə cütdür. Bunun ola bilməyəcəyini sübut etmək asandır. Həqiqətən, əgər "ayaqların" forması varsa

2x + 1 və 2y + 1,

onda onların kvadratlarının cəmidir

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

yəni 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verən bir ədəddir. Bu arada istənilən cüt ədədin kvadratı 4-ə qalıqsız bölünməlidir. Deməli, iki tək ədədin kvadratlarının cəmi cüt ədədin kvadratı ola bilməz; başqa sözlə, üç ədədimiz Pifaqor deyil.

Deməli, a, b “ayaqlarından” biri cüt, digəri təkdir. Buna görə də a 2 + b 2 ədədi təkdir, yəni "hipotenuza" c da təkdir.

Tutaq ki, müəyyənlik üçün bu tək "ayaq" a və hətta b. Bərabərlikdən

a 2 + b 2 = c 2

asanlıqla əldə edirik:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Sağ tərəfdəki c + b və c - b faktorları bir-birini əvəz edir. Həqiqətən, əgər bu ədədlərin birdən başqa ümumi sadə amili olsaydı, o zaman cəm də bu amilə bölünərdi.

(c + b) + (c - b) = 2c,

və fərq

(c + b) - (c - b) = 2b,

və işləyin

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

yəni 2c, 2b və a rəqəmlərinin ortaq amili olacaq. a tək olduğundan, bu amil ikidən fərqlidir və buna görə də a, b, c ədədləri eyni ümumi əmsala malikdir, lakin ola bilməz. Nəticədə ortaya çıxan ziddiyyət c + b və c - b ədədlərinin üst-üst olduğunu göstərir.

Ancaq ümumi ədədlərin hasili dəqiq kvadratdırsa, onda onların hər biri kvadratdır, yəni.

Bu sistemi həll edərək, tapırıq:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 və 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Beləliklə, nəzərdən keçirilən Pifaqor nömrələri formaya malikdir

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

burada m və n bəzi ümumi tək ədədlərdir. Oxucu bunun əksini asanlıqla yoxlaya bilər: hər hansı tək tip üçün yazılı düsturlar üç Pifaqor rəqəmi a, b, c verir.

Müxtəlif növlərlə əldə edilən Pifaqor ədədlərinin bəzi üçlüləri:

m = 3 üçün, m = 5 üçün n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2, m = 7 üçün n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2, m üçün n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 = 9, m = 11-də n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2, m = 13-də n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2, m = 5-də n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 , m = 7 üçün n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, m = 11 üçün n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, m = 13, n üçün n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, n = 3 39 2 + 80 2 = m = 7-də 89 2, m = 9-da n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2, m = 11-də n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2, n = 5 m = 13-də 55 2 + 48 2 = 73 2, m = 9-da n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2, m = 11-də n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Pifaqor ədədlərinin bütün digər üçlüyü ya ümumi amillərə malikdir, ya da yüzdən çox ədədləri ehtiva edir.)

Sonra, effektiv Pifaqor üçlüyü yaratmaq üçün məşhur üsulları nəzərdən keçiririk. Pifaqorun tələbələri hissələri Pifaqor üçlüyünü təmsil edən bir düsturdan istifadə edərək, Pifaqor üçlüyü yaratmaq üçün sadə bir üsul hazırladılar:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Harada m- qoşalaşmamış, m>2. Həqiqətən,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Bənzər bir formula təklif edildi qədim yunan filosofu Platon:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Harada m- istənilən nömrə. üçün m= 2,3,4,5 aşağıdakı üçlüklər yaradılır:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Gördüyünüz kimi, bu düsturlar bütün mümkün primitiv üçlükləri verə bilməz.

Çoxhədlilərin cəminə parçalanan aşağıdakı polinomu nəzərdən keçirin:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Beləliklə, ibtidai üçlüyü əldə etmək üçün aşağıdakı düsturlar:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Bu düsturlar orta rəqəmin ən böyükdən tam olaraq bir ilə fərqləndiyi üçlük yaradır, yəni bütün mümkün üçlüklər də yaradılmır. Burada ilk üçlüklər bunlardır: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Bütün primitiv üçlülərin necə yaradılacağını müəyyən etmək üçün onların xassələrini araşdırmaq lazımdır. Birincisi, əgər ( a,b,c) primitiv üçlükdür, onda a Və b, b Və c, A Və c- üst-üstə düşməlidir. Qoy a Və b bölünür d. Sonra a 2 + b 2 də bölünür d. müvafiq olaraq, c 2 və c bölünməlidir d. Yəni primitiv üçlük deyil.

İkincisi, rəqəmlər arasında a, b biri qoşa, digəri isə qoşalaşmamalıdır. Həqiqətən, əgər a Və b- onda qoşalaşmış ilə qoşalaşdırılacaq və ədədlər ən azı 2-yə bölünə bilər. Əgər onların hər ikisi qoşalaşdırılmamışsa, o zaman 2 kimi təmsil oluna bilər. k+1 və 2 l+1, harada k,l- bəzi rəqəmlər. Sonra a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, yəni ilə 2, eləcə də a 2 + b 2-nin 4-ə bölündüyü zaman 2-nin qalığı olur.

Qoy ilə- istənilən nömrə, yəni ilə = 4k+i (i=0,…,3). Sonra ilə 2 = (4k+i) 2 0 və ya 1 qalığına malikdir və 2 qalığına malik ola bilməz. Beləliklə, a Və b qoşalaşdırıla bilməz, yəni a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 və qalan ilə 2-dən 4-ə 1 olmalıdır, bu o deməkdir ki ilə qoşalaşdırılmamış olmalıdır.

Pifaqor üçlüyünün elementləri üçün bu cür tələblər aşağıdakı rəqəmlərlə təmin edilir:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Harada m Və n müxtəlif cütləşmələrlə üst-üstə düşür. İlk dəfə bu asılılıqlar 2300 r yaşamış Evklidin əsərlərindən məlum oldu. geri.

Asılılıqların doğruluğunu sübut edək (2). Qoy A- ikiqat, onda b Və c- qoşalaşdırılmamış. Sonra c + b i c − b- cütlər. kimi təmsil oluna bilərlər c + b = 2u Və c − b = 2v, Harada u,v bəzi tam ədədlərdir. Buna görə də

a 2 = ilə 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Və buna görə də ( a/2) 2 = UV.

Bunu ziddiyyətlə sübut etmək olar u Və vüst-üstə düşürlər. Qoy u Və v- bölünür d. Sonra ( c + b) Və ( c − b) bölünür d. Və buna görə də c Və b bölünməlidir d, və bu Pifaqor üçlüyü üçün şərtə ziddir.

Çünki UV = (a/2) 2 və u Və v coprime, bunu sübut etmək asandır u Və v bəzi ədədlərin kvadratları olmalıdır.

Beləliklə, müsbət tam ədədlər var m Və n, belə u = m 2 və v = n 2. Sonra

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 belə
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Çünki b> 0, onda m > n.

Bunu göstərmək qalır m Və n müxtəlif cütləşmələrə malikdir. Əgər m Və n- onda qoşalaşmış u Və v cütləşdirilməlidir, lakin bu, mümkün deyil, çünki onlar bir-birinə uyğundur. Əgər m Və n- cütləşməmiş, onda b = m 2 − n 2 və c = m 2 + n 2 cütləşəcək, çünki bu mümkün deyil c Və büst-üstə düşürlər.

Beləliklə, hər hansı bir primitiv Pifaqor üçlüyü (2) şərtlərini təmin etməlidir. Eyni zamanda, rəqəmlər m Və nçağırdı ədədlər yaratmaq primitiv üçlüklər. Məsələn, primitiv Pifaqor üçlüyü (120,119,169) tutaq. Bu halda

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, və c = 144+25=169,

Harada m = 12, n= 5 - yaradan nömrələr, 12 > 5; 12 və 5 cüt və müxtəlif cütləşmələrdir.

Bu rəqəmlər sübut edilə bilər m, n düsturlar (2) primitiv Pifaqor üçlüyü verir (a,b,c). Həqiqətən,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

yəni ( a,b,c) Pifaqor üçlüyüdür. Gəlin bunu sübut edək a,b,c ziddiyyətli ümumi ədədlərdir. Bu ədədlər bölünsün səh> 1. ildən m Və n onda fərqli cütləşmələr var b Və c- qoşalaşmamış, yəni səh≠ 2. O vaxtdan bəri R bölür b Və c, Bu R 2 bölmək lazımdır m 2 və 2 n 2, çünki mümkün deyil səh≠ 2. Buna görə də m, n coprime və a,b,c həm də üstündürlər.

Cədvəl 1-də (2) üçün düsturlarla yaradılan bütün primitiv Pifaqor üçlüyü göstərilir m≤10.

Cədvəl 1. üçün ibtidai Pifaqor üçlüyü m≤10

Bu cədvəlin təhlili aşağıdakı nümunələr seriyasının mövcudluğunu göstərir:

• və ya a, və ya b 3-ə bölünür;
• nömrələrdən biridir a,b,c 5-ə bölünür;
• nömrə A 4-ə bölünür;
• iş a· b 12-yə bölünür.

1971-ci ildə amerikalı riyaziyyatçılar Teyqan və Hedvin üçlü yaratmaq üçün düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü (hündürlüyü) kimi az məlum olan parametrlərini təklif etdilər. h = c− b və artıqlıq (uğur) e = a + b − c. Fig.1-də. bu kəmiyyətlər müəyyən düzbucaqlı üçbucaqda göstərilir.

Şəkil 1. Düzbucaqlı üçbucaq və onun böyüməsi və artıqlığı

"Həddindən artıq" adı ondan irəli gəlir ki, bu, üçbucağın ayaqları boyunca, onun diaqonalı ilə getməsəniz, bir təpədən əks tərəfə keçməli olan əlavə məsafədir.

Artıqlıq və böyümə ilə Pifaqor üçbucağının tərəfləri aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Bütün birləşmələr deyil h Və e Pifaqor üçbucaqlarına uyğun ola bilər. Verilən üçün h mümkün dəyərlər e bəzi ədədin hasilidir d. Bu nömrə d artım adlanır və istinad edilir h aşağıdakı şəkildə: d kvadratı 2-yə bölünən ən kiçik müsbət tam ədəddir h. Çünki eçoxsaylı d, sonra belə yazılır e = kd, Harada k müsbət tam ədəddir.

Cütlərin köməyi ilə ( k,h) bütün Pifaqor üçbucaqlarını, o cümlədən primitiv olmayan və ümumiləşdirilmiş üçbucaqları aşağıdakı kimi yarada bilərsiniz:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Üstəlik, əgər üçlük primitivdir k Və h coprime və əgər h =± q 2 at q- qoşalaşdırılmamış.
Üstəlik, əgər tam olaraq Pifaqor üçlüyü olacaq k> √2 h/d Və h > 0.

Tapmaq k Və h-dən ( a,b,c) aşağıdakıları edin:

• h = c − b;
• yazın h Necə h = pq 2, harada səh> 0 və kvadrat deyil;
• d = 2pqƏgər səh- qoşalaşmamış və d = pq, əgər p qoşadırsa;
• k = (a − h)/d.

Məsələn, üçlü (8,15,17) üçün bizdə var h= 17−15 = 2 1, yəni səh= 2 və q = 1, d= 2 və k= (8 − 2)/2 = 3. Beləliklə, bu üçlük ( kimi verilir) k,h) = (3,2).

Üçlük üçün (459,1260,1341) bizdə var h= 1341 − 1260 = 81, yəni səh = 1, q= 9 və d= 18, deməli k= (459 − 81)/18 = 21, ona görə də bu üçlüyün kodu ( k,h) = (21, 81).

ilə üçlüklərin təyin edilməsi h Və k nömrəsi var maraqlı xassələri. Parametr k bərabərdir

k = 4S/(dP), (5)

Harada S = ab/2 üçbucağın sahəsidir və P = a + b + c onun perimetridir. Bu bərabərlikdən irəli gəlir eP = 4S, Pifaqor teoremindən gəlir.

Düzgün üçbucaq üçün eüçbucağa daxil edilmiş dairənin diametrinə bərabərdir. Bu hipotenuzun olmasından irəli gəlir ilə = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Harada r dairənin radiusudur. Buradan h = c − b = A − 2r Və e = a − h = 2r.

üçün h> 0 və k > 0, küçlülərin sıra sayıdır a-b-c artan ilə Pifaqor üçbucaqlarının ardıcıllığında h. Cütlər tərəfindən yaradılan üçlülər üçün bir neçə variantı göstərən cədvəl 2-dən h, k, artdıqca görmək olar küçbucağın tərəfləri artır. Beləliklə, klassik nömrələmədən fərqli olaraq, cüt nömrələmə h, küçlüklərin ardıcıllığında daha yüksək sıraya malikdir.

Cədvəl 2. h, k cütləri tərəfindən yaradılan Pifaqor üçlüyü.

üçün h > 0, d 2√ bərabərsizliyini ödəyir h ≤ d ≤ 2h, burada aşağı sərhədə çatılır səh= 1 və yuxarı, at q= 1. Buna görə də dəyər d 2√ ilə əlaqədar h nə qədər olduğunun ölçüsüdür h bəzi ədədin kvadratından uzaqda.

Pifaqor üçlükləri

yaradıcılıq işi

tələbə 8 “A” sinif

MAOU "1 nömrəli gimnaziya"

Saratovun Oktyabr rayonu

Panfilova Vladimir

Rəhbər - ali kateqoriyalı riyaziyyat müəllimi

Grişina İrina Vladimirovna

Məzmun

Giriş……………………………………………………………………………………3

İşin nəzəri hissəsi

Əsas Pifaqor üçbucağının tapılması

(qədim hinduların düsturları)…………………………………………………………………4

İşin praktik hissəsi

Pifaqor üçlüyünün müxtəlif yollarla tərtib edilməsi………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pifaqor üçbucaqlarının mühüm xüsusiyyəti……………………………………8

Nəticə……………………………………………………………………………….9

Ədəbiyyat………………………………………………………………………………10

Giriş

Bunda tədris ili riyaziyyat dərslərində həndəsənin ən məşhur teoremlərindən birini - Pifaqor teoremini öyrəndik. Pifaqor teoremi həndəsədə hər addımda tətbiq olunur, praktikada və gündəlik həyatda geniş tətbiq tapmışdır. Ancaq teoremlə yanaşı, Pifaqor teoreminə tərs teoremi də öyrəndik. Bu teoremin öyrənilməsi ilə əlaqədar olaraq biz Pifaqor üçlü ədədləri ilə tanış olduq, yəni. 3 natural ədəd çoxluğu iləa , b Vəc , bunun üçün əlaqə etibarlıdır: = + . Belə dəstlərə, məsələn, aşağıdakı üçlüklər daxildir:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Dərhal suallarım oldu: neçə Pifaqor üçlüyü tapa bilərsiniz? Və onları necə tərtib etmək olar?

Həndəsə dərsliyimizdə Pifaqor teoreminin əksinə olan teoremi təqdim etdikdən sonra mühüm bir qeyd edilmişdir: sübut etmək olar ki, ayaqlarıA Vəb və hipotenuzailə tərəflərinin uzunluqları natural ədədlərlə ifadə olunan düzbucaqlı üçbucaqları aşağıdakı düsturlarla tapmaq olar:

A = 2km b = k( - )c = k( + , (1)

Haradak , m , n istənilən natural ədədlərdir vəm > n .

Təbii ki, sual yaranır - bu düsturları necə sübut etmək olar? Və yalnız bu düsturlarla Pifaqor üçlüyü yarana bilərmi?

İşimdə beynimdə yaranan suallara cavab verməyə çalışmışam.

İşin nəzəri hissəsi

Əsas Pifaqor üçbucağının tapılması (qədim hinduların düsturları)

Əvvəlcə düsturları (1) sübut edək:

Ayaqların uzunluqlarını keçərək işarə edəkX Vəsaat , və keçən hipotenuzun uzunluğuz . Pifaqor teoreminə görə bərabərliyə sahibik:+ = .(2)

Bu tənliyə Pifaqor tənliyi deyilir. Pifaqor üçbucaqlarının tədqiqi (2) tənliyinin natural ədədlərdə həllinə endirilir.

Bəzi Pifaqor üçbucağının hər tərəfi eyni sayda artırılsa, onda tərəfləri natural ədədlərlə ifadə olunan verilmiş birinə bənzər yeni düzbucaqlı üçbucaq alırıq, yəni. yenə Pifaqor üçbucağı.

Bütün oxşar üçbucaqlar arasında ən kiçiki var, bunun tərəfləri üçbucaq olacağını təxmin etmək asandır.X Vəsaat ümumi ədədlərlə ifadə edilir

(gcd (x,y )=1).

Biz belə bir Pifaqor üçbucağı deyirikəsas .

Əsas Pifaqor üçbucaqlarının tapılması.

Qoy üçbucaq (x , y , z ) əsas Pifaqor üçbucağıdır. NömrələriX Vəsaat bir-birini əvəz edir və buna görə də hər ikisi cüt ola bilməz. Onların hər ikisinin tək ola bilməyəcəyini sübut edək. Bunun üçün qeyd edirik kiTək ədədin kvadratı 8-ə bölündükdə 1-in qalığını verir. Həqiqətən də istənilən tək natural ədəd kimi təqdim edilə bilər2 k -1 , Haradak məxsusdurN .

Buradan: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Nömrələri( k -1) Vək ardıcıldır, onlardan biri cüt olmalıdır. Sonra ifadək ( k -1) bölünür2 , 4 k ( k -1) 8-ə bölünür, yəni 8-ə bölündükdə qalıq 1 olur.

İki tək ədədin kvadratlarının cəmi 8-ə bölündükdə 2 qalığını verir, buna görə də iki tək ədədin kvadratlarının cəmi cüt ədəddir, lakin 4-ə çox deyil və buna görə də bu ədədnatural ədədin kvadratı ola bilməz.

Beləliklə, əgər bərabərlik (2) təmin edilə bilməzx Vəsaat ikisi də qəribədir.

Beləliklə, əgər Pifaqor üçbucağı (x, y, z ) - əsas, sonra nömrələr arasındaX Vəsaat biri cüt, digəri isə tək olmalıdır. y ədədi cüt olsun. NömrələriX Vəz qəribə (təkz bərabərlikdən (2) gəlir.

Tənlikdən+ = bunu alırıq= ( z + x )( z - x ) (3).

Nömrələriz + x Vəz - x iki tək ədədin cəmi və fərqi cüt ədəd olduğu üçün (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , HaradaA Vəb aidN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Bu bərabərliklərdən belə nəticə çıxıra Vəb nisbətən sadə ədədlərdir.

Biz bunu əksini mübahisə etməklə sübut edirik.

Qoy GCD (a , b )= d , Haradad >1 .

Sonrad z Vəx , və buna görə də rəqəmlərz + x Vəz - x . Sonra bərabərliyə əsaslanaraq (3) bölən olacaq . Bu haldad olardı ortaq bölən nömrələrisaat VəX , lakin rəqəmlərsaat VəX coprime olmalıdır.

Nömrəsaat bərabər olduğu bilinir, belə kiy = 2s , Haradailə - natural ədəd. Bərabərlik (3) bərabərlik əsasında (4) alır növbəti görünüş: =2a*2 b , və ya =ab.

Arifmetikadan məlumdur kiiki ümumi ədədin hasili natural ədədin kvadratıdırsa, bu ədədlərin hər biri həm də natural ədədin kvadratıdır.

O deməkdir ki,a = Vəb = , Haradam Vən əmsal ədədlərdir, çünki onlar ümumi ədədlərin bölənləridirA Vəb .

Bərabərliyə əsaslanaraq (5) əldə edirik:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Sonray = 2 mn .

Nömrələrim Vən , çünki coprime, hətta eyni zamanda ola bilməz. Ancaq eyni zamanda qəribə ola bilməzlər, çünki bu haldax = - bərabər olardı, bu qeyri-mümkündür. Beləliklə, nömrələrdən birim və yan cüt, digəri isə təkdir. Aydındır ki,y = 2 mn 4-ə bölünür. Buna görə də hər bir əsas Pifaqor üçbucağında ayaqlarından ən azı biri 4-ə bölünür. Bundan belə nəticə çıxır ki, bütün tərəfləri sadə ədədlər olan Pifaqor üçbucaqları yoxdur.

Alınan nəticələr aşağıdakı teorem kimi ifadə edilə bilər:

Bütün əsas üçbucaqlarsaat cüt ədəddir, düsturdan alınır

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), Haradam Vən - biri cüt, digəri tək olan bütün cüt sadə ədədlər (hansısının fərqi yoxdur). Hər əsas Pifaqor üçlüyü (x, y, z ), Haradasaat – hətta, bu şəkildə unikal şəkildə müəyyən edilir.

Nömrələrim Vən həm cüt, həm də hər ikisi tək ola bilməz, çünki bu hallarda

x = bərabər olardı, bu qeyri-mümkündür. Beləliklə, nömrələrdən birim və yan cüt və digər təky = 2 mn 4-ə bölünür).

İşin praktik hissəsi

Pifaqor üçlüyü müxtəlif yollarla bəstələmək

Hindu düsturlarındam Vən - coprime, lakin ixtiyari paritet ədədləri ola bilər və onlardan istifadə edərək Pifaqor üçlüyü etmək olduqca çətindir. Buna görə də, Pifaqor üçlüyü tərtib etmək üçün fərqli bir yanaşma tapmağa çalışaq.

= - = ( z - y )( z + y ), HaradaX - qəribə,y - hətta,z - qəribə

v = z - y , u = z + y

= UV , Haradau - qəribə,v - tək (coprime)

Çünki iki tək ümumi ədədin hasili natural ədədin kvadratıdır, ondau = , v = , Haradak Vəl cüt, tək ədədlərdir.

z - y = z + y = k 2 , buradan bərabərlikləri toplayıb bir-birindən çıxarsaq, əldə edirik:

2 z = + 2 y = - yəni

z= y= x = cl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (ssıfırlar)*(100…0 (ssıfırlar) +1)+1 =200…0 (s-1sıfırlar) 200…0 (s-1sıfırlar) 1

Pifaqor üçbucaqlarının mühüm xüsusiyyəti

Teorem

Əsas Pifaqor üçbucağında ayaqlardan biri mütləq 4-ə bölünür, ayaqlardan biri mütləq 3-ə bölünür və Pifaqor üçbucağının sahəsi mütləq 6-ya bölünür.

Sübut

Bildiyimiz kimi, istənilən Pifaqor üçbucağında ayaqlardan ən azı biri 4-ə bölünür.

Sübut edək ki, ayaqlardan biri də 3-ə bölünür.

Bunu sübut etmək üçün tutaq ki, Pifaqor üçbucağında (x , y , z x və yay 3-ə çoxlu.

İndi Pifaqor üçbucağının sahəsinin 6-ya bölündüyünü sübut edirik.

İstənilən Pifaqor üçbucağının sahəsi 6-nın təbii qatı kimi ifadə edilir. Bu, ən azı ayaqlardan birinin 3-ə bölünməsi və ayaqların ən azı birinin 4-ə bölünməsi faktından irəli gəlir. Üçbucağın sahəsi, Ayaqların yarı məhsulu ilə təyin olunan, 6-nın qatı ilə ifadə edilməlidir.

Nəticə

İşdə

- qədim hinduların sübut edilmiş düsturları

- Pifaqor üçlüyünün sayı ilə bağlı bir araşdırma apardı (onların sonsuz çoxu var)

- Pifaqor üçlüyü tapmaq üsulları göstərilmişdir

- Pifaqor üçbucaqlarının bəzi xassələrini tədqiq etmişdir

Mənim üçün çox idi maraqlı mövzu və suallarıma cavab tapmaq çox maraqlı bir fəaliyyətə çevrildi. Gələcəkdə Pifaqor üçlülərinin Fibonaççi ardıcıllığı və Fermat teoremi ilə əlaqəsini nəzərdən keçirməyi və Pifaqor üçbucaqlarının daha çox xassələrini öyrənməyi planlaşdırıram.

Ədəbiyyat

L.S. Atanasyan "Həndəsə. 7-9 siniflər" M .: Təhsil, 2012.

V. Serpinski “Pifaqor üçbucaqları” M.: Üçpedqiz, 1959.

Saratov

2014