Xətlərin perpendikulyar olduğunu necə sübut etmək olar. "Xəttə perpendikulyar" dərsi. Xətlərin perpendikulyarlığı - perpendikulyarlıq şərtləri

Düz xətt (düz xəttin seqmenti) latın əlifbasının iki böyük hərfi və ya bir kiçik hərflə işarələnir. Nöqtə yalnız böyük Latın hərfi ilə göstərilir.

Xətlər kəsişməyə, kəsişməyə və ya üst-üstə düşməyə bilər. Kəsişən xətlərin yalnız bir ortaq nöqtəsi, kəsişməyən xətlərin ortaq nöqtəsi, üst-üstə düşən xətlərin isə bütün ortaq nöqtələri var.

Tərif. Düz bucaq altında kəsişən iki xəttə perpendikulyar deyilir. Düz xətlərin (və ya onların seqmentlərinin) perpendikulyarlığı “⊥” perpendikulyarlıq işarəsi ilə göstərilir.

Misal üçün:

Sizin AB Və CD(Şəkil 1) nöqtədə kəsişir HAQQINDA və ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOD= 90°, onda AB ⊥ CD.

Əgər AB ⊥ CD(Şəkil 2) və nöqtədə kəsişir IN, sonra ∠ ABC = ∠ABD= 90°

Perpendikulyar xətlərin xassələri

1. Bir nöqtə vasitəsilə A(Şəkil 3) yalnız bir perpendikulyar düz xətt çəkmək olar AB düz xəttə CD; nöqtədən keçən qalan xətlər A və keçid CD, maili düz xətlər adlanır (şək. 3, düz xətlər AE Və AF).

2. Bir nöqtədən A düz xəttə perpendikulyar endirə bilərsiniz CD; perpendikulyar uzunluq (seqmentin uzunluğu AB), nöqtədən çəkilmişdir A birbaşa CD, ən qısa məsafədir Aəvvəl CD(şək. 3).

Perpendikulyar xətlərin tərifi

Perpendikulyar xətlər.

a və b A nöqtəsində kəsişən düz xətlər olsun (şək. 1). Bu xətlərin hər biri A nöqtəsi ilə iki yarım xəttə bölünür. Bir xəttin yarım xətləri digər xəttin yarım xətləri ilə dörd bucaq təşkil edir. Qoy alfa bu açılardan biri olsun. Sonra digər üç bucaqdan hər hansı biri ya alfa bucağına bitişik, ya da alfa bucağına şaquli olacaq.

Buradan belə nəticə çıxır ki, əgər bucaqlardan biri düzdürsə, digər bucaqlar da düz olacaq.Bu halda xətlərin düz bucaq altında kəsişdiyini deyirik.
Tərif.
İki xətt düz bucaq altında kəsişirsə perpendikulyar adlanır (şək. 2).

Xətlərin perpendikulyarlığı ⊥ işarəsi ilə göstərilir a ⊥ b girişində deyilir: a xətti b xəttinə perpendikulyardır.
Teorem.

Xəttin hər bir nöqtəsi vasitəsilə ona perpendikulyar bir xətt çəkə bilərsiniz və yalnız bir.

Sübut.
Qoy a verilmiş xətt, A isə onun üzərində verilmiş nöqtə olsun. İlkin A nöqtəsi olan a düz xəttinin yarımxəttlərindən birini balta ilə işarə edək (şək. 3). a1 yarım xəttindən 90°-yə bərabər olan bucağı (a1b1) kənara qoyaq.
Onda b1 şüasını ehtiva edən xətt a xəttinə perpendikulyar olacaq.

Fərz edək ki, A nöqtəsindən keçən və a xəttinə perpendikulyar başqa bir xətt var. Bu xəttin b2 şüası ilə eyni yarımmüstəvidə yerləşən yarım xəttini c1 ilə işarə edək. Hər biri 90°-yə bərabər olan (a1b1) və (a1c1) bucaqlar a1 yarım xəttindən bir yarım müstəvidə düzülür. Lakin a1 yarım xəttindən verilmiş yarım müstəviyə yalnız 90°-yə bərabər olan bir bucaq çəkmək olar. Buna görə də A nöqtəsindən keçən və a xəttinə perpendikulyar olan başqa bir xətt ola bilməz. Teorem sübut edilmişdir.

Tərif.

Verilmiş xəttə perpendikulyar, uclarından biri kəsişmə nöqtəsində olan, verilmiş xəttə perpendikulyar olan xəttin seqmentidir. Seqmentin bu ucuna perpendikulyarın əsası deyilir.
Şəkil 4-də A nöqtəsindən a düz xəttinə perpendikulyar AB çəkilmişdir. B nöqtəsi perpendikulyarın əsasıdır.

Perpendikulyar qurmaq üçün bir rəsm kvadratından istifadə edin (şək. 5).

İki kəsişən xətt dörd düz bucaq əmələ gətirirsə, perpendikulyar (və ya qarşılıqlı perpendikulyar) adlanır. AC və ВD düz xətlərinin perpendikulyarlığı aşağıdakı kimi işarələnir: AC ⊥ ВD (oxu: “Düz AC düz xəttinə perpendikulyardır”).
Qeyd edək ki, üçüncüyə perpendikulyar olan iki düz xətt kəsişmir (şək. 6, a). Əslində, PQ düz xəttinə perpendikulyar olan AA1 və BB1 düz xətlərini nəzərdən keçirək (şək. 6,b). Rəsmi PQ düz xətti boyunca zehni olaraq əyək ki, rəsmin yuxarı hissəsi aşağı hissəsi ilə üst-üstə düşsün. 1 və 2 düz bucaqları bərabər olduğundan, RA şüası RA1 şüası ilə üst-üstə düşəcək. Eynilə, QB şüası QB1 şüası ilə üst-üstə düşəcək. Ona görə də fərz etsək ki, AA1 və BB1 xətləri M nöqtəsində kəsişir, onda bu nöqtə də bu xətlər üzərində uzanan bəzi M1 nöqtəsi ilə üst-üstə düşəcək (şək. 6, c) və iki xəttin M və M1 nöqtələrindən keçdiyini alırıq: AA1 və BB1. Amma bu mümkün deyil. Nəticə etibarilə, bizim fərziyyəmiz yanlışdır və buna görə də AA1 və BB1 xətləri kəsişmir.

Yerdə düz bucaqların qurulması

Yerdə düzgün açılar qurmaq üçün xüsusi qurğular istifadə olunur, onlardan ən sadəsi ekerdir. Ekker düz bucaq altında yerləşən və ştativdə quraşdırılmış iki bardan ibarətdir (şək. 7). Dırnaqlar çubuqların uclarına çəkilir ki, onlardan keçən düz xətlər qarşılıqlı perpendikulyar olsun. Verilmiş OA tərəfi ilə yerdə düzgün bucaq qurmaq üçün ekker ilə ştativ quraşdırın ki, plumb xətti tam olaraq O nöqtəsindən yuxarıda olsun və bir çubuğun istiqaməti şüa OA istiqaməti ilə üst-üstə düşsün. Bu istiqamətlərin birləşməsi şüaya yerləşdirilən dirəkdən istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Sonra digər blok istiqamətində düz xətt çəkilir (Şəkil 7-də düz OB). Nəticə AOB düz bucağıdır.
Geodeziyada düzgün bucaqların qurulması üçün teodolit kimi daha təkmil alətlərdən istifadə olunur.

Üfüqi:
3 . Dairənin üzərindəki nöqtəni mərkəzi ilə birləşdirən düz xətt seqmenti. 6 . Sübut tələb etməyən ifadə. 9 . Quruluş, düşüncə sistemi. 10 . Dördbucaqlı görünüş. 15 . Əyri üzərində iki nöqtəni birləşdirən düz xətt seqmenti. 16 . Uzunluq ölçüsü. 17 18 . Bir dairənin diametrlərinin kəsişmə nöqtəsi. 19 . Triqonometrik funksiya. 20 . Bir dairənin bir hissəsi. 21 . Qədim uzunluq ölçüsü.
Şaquli:
1 . Bəzi əlifbanın simvolu. 2 . Paraleloqramın növü. 4 . Dairənin mərkəzindən keçən akkord. 5 . Həndəsi element. 7 . Bucağı yarıya bölən şüa. 8 . Yunan əlifbası simvolu. 10 . Üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarının cəmi. 11 . Sübut üçün işlənən köməkçi cümlə. 12 . Sağ üçbucaq elementi. 13 . Üçbucağın gözəl xətlərindən biri. 14 . Triqonometrik funksiya.

Belə bir vəzifə var:

Sehrli Meşədə 10 ovsunlu bulaq var idi - nömrə 1, 2, 3,... 10. Hər bulağın suyu rənginə, dadına və qoxusuna görə adi sudan fərqlənmirdi, lakin güclü zəhər idi. Onu içən, bir saat ərzində daha çox olan mənbədən su içməsə (məsələn, 4-10-cu mənbə 3-ün zəhərindən xilas oldu; 10-cu mənbənin zəhəri heç bir şans buraxmadı) qurtuluş). İlk 9 mənbə ictimaiyyətə açıq idi, lakin 10-cu mənbə Ölməz Kaşchei mağarasında idi və yalnız Kashchei mağarada idi.
Və bir gün İvan axmaq Kaşçeyi duelə çağırdı. Şərtlər sadə idi: hər kəs özü ilə bir stəkan bir az maye gətirir, rəqiblər stəkan dəyişdirir və içindəkiləri içirlər. Və sonra bacardıqları qədər öhdəsindən gəlirlər.
Kashchei məmnun qaldı. Əlbəttə: o, İvana 10 nömrəli zəhər verəcək və İvanı heç nə xilas edə bilməz. Və özü də İvanın verdiyi zəhəri 10-cu bulağın suyu ilə içəcək - və xilas olacaq.
İvan üçün duel planı hazırlamağa çalışın. Vəzifə sağ qalmaq və Kaşcheyi bitirməkdir.

Cavab 1. Kashchei öldürün. Ona zəhər yox, təmiz su vermək lazımdır. Onu öz zəhəri ilə yuyacaq - və o, məhvə məhkumdur.
Cavab 2. Özünü öldürmə. 1 nömrədən başqa istənilən zəhər də antidot ola bilər. Duelə gəlməzdən əvvəl aşağı dərəcəli zəhər içmək lazımdır. Və sonra Kashchei-dən dueldə alınan 10 nömrəli zəhər öldürməyəcək, amma xilas edəcək.

Ümumiyyətlə, fikir mənasızdır. Bir hərəkəti təcrid olunmuş şəkildə ölçmək həmişə mümkün deyil. Eyni hərəkət həm zəhər, həm də antidot ola bilər. Çox şey fondan asılıdır. Hər şeyi deməyəcəyəm, amma şübhəsiz ki, çox şey.
Tanıdığınız birinin belə və belə pis bir şey etdiyini eşidəndə, onları etiketləməyə tələsməyin. Bunların sadəcə pis şeylər olduğuna əminsinizmi? Onlar sadəcə belə görünə bilərmi? Bu hərəkətlərin arxa planını bildiyinizə əminsinizmi?

Perpendikulyar xəttin qurulması

İndi kompasdan istifadə edərək perpendikulyar düz xətt çəkməyə çalışacağıq. Bunun üçün O nöqtəsi və a düz xətti var.

Birinci şəkildə O nöqtəsinin üzərində yerləşdiyi düz xətt göstərilir, ikinci şəkildə isə bu nöqtə a düz xətti üzərində deyil.

İndi bu iki varianta ayrıca baxaq.

1-ci variant

Əvvəlcə bir kompas götürürük, onu O nöqtəsinin mərkəzinə yerləşdiririk və ixtiyari radiuslu bir dairə çəkirik. İndi görürük ki, bu çevrə a xətti ilə iki nöqtədə kəsişir. Bunlar A və B nöqtələri olsun.

Sonra A və B nöqtələrindən dairələr götürüb çəkirik. Bu dairələrin radiusu AB, lakin C nöqtəsi bu dairələrin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır. Yadınızdadırsa, lap əvvəlində dairə çəkib ixtiyari radius götürəndə A və B nöqtələrini almışdıq.

Nəticədə, istənilən perpendikulyar xəttin C və O nöqtələrindən keçdiyini görürük.

Sübut

Bu sübut üçün AC və CB seqmentlərini çəkməliyik. Və nəticədə üçbucaqların bərabər olduğunu görürük: Δ ACO = Δ BCO, bu, üçbucaqların bərabərliyi üçün üçüncü meyardan irəli gəlir, yəni AO = OB, AC = CB və CO tikintidə ümumi olduğu ortaya çıxır. Nəticədə ∠COA və ∠COB bucaqları bərabərdir və hər ikisinin böyüklüyü 90°-dir. Buradan belə nəticə çıxır ki, CO xətti AB-yə perpendikulyardır.

Buradan belə bir nəticəyə gəlmək olar ki, iki düz xəttin kəsişməsində yaranan bucaqlar, əgər onlardan ən azı biri perpendikulyardırsa, perpendikulyar olur, yəni belə bir bucaq 90 dərəcəyə bərabərdir və düzdür.

2-ci variant

İndi verilmiş nöqtənin a xəttində yatmadığı perpendikulyar xəttin qurulması variantını nəzərdən keçirək.

Bu zaman kompasdan istifadə edərək O nöqtəsindən elə radiuslu dairə çəkirik ki, bu dairə a düz xəttini kəssin. Və A və B nöqtələri bu dairənin verilmiş a düz xətti ilə kəsişmə nöqtələri olsun.

Sonra, biz eyni radiusu götürürük, lakin mərkəzi A və B nöqtələri olacaq dairələr çəkirik. Şəkilə baxırıq və görürük ki, bizdə O1 nöqtəsi var, bu da dairələrin kəsişmə nöqtəsidir və bir nöqtədə yerləşir. yarım müstəvi, lakin O nöqtəsinin yerləşdiyi yerdən fərqlidir.

Növbəti işimiz O və O1 nöqtələrindən düz xətt çəkməkdir. Bu, axtardığımız perpendikulyar düz xətt olacaq.

Sübut

Fərz edək ki, OO1 və AB xətlərinin kəsişmə nöqtəsi C nöqtəsidir. Onda AOB və BO1A üçbucaqları üçbucaqların bərabərliyi üçün üçüncü kriteriyaya görə bərabərdir və AO = OB = AO1 = O1B, AB isə tikintidə ümumidir. Buradan belə nəticə çıxır ki, OAC və O1AC bucaqları bərabərdir. AO üçbucaqlarının bərabərliyi üçün birinci meyardan irəli gələn OAC və O1AC üçbucaqları AO1-ə bərabərdir və quruluşuna görə OAC və O1AC bucaqları ümumi AC ilə bərabərdir. Nəticə etibarilə, OCA bucağı O1CA bucağına bərabərdir, lakin onlar bitişik olduqları üçün düzdürlər. Buna görə də belə nəticəyə gəlirik ki, OC O nöqtəsindən a düz xəttinə endirilən perpendikulyardır.

Beləliklə, yalnız kompas və hökmdarın köməyi ilə asanlıqla perpendikulyar düz xətlər qura bilərsiniz. Perpendikulyarın keçməli olduğu nöqtənin bir seqmentdə və ya bu seqmentdən kənarda yerləşməsinin əhəmiyyəti yoxdur, bu hallarda əsas şey A və B başlanğıc nöqtələrini düzgün tapmaq və təyin etməkdir.

Suallar:

1. Hansı xətlərə perpendikulyar deyilir?
2. Perpendikulyar xətlər arasındakı bucaq nə qədərdir?
3. Perpendikulyar xətləri qurmaq üçün nədən istifadə edirsiniz?

Teorem. Xətt üzərində olmayan bir nöqtədən bu xəttə perpendikulyar çəkə bilərsiniz.

Sübut. Verilmiş a xətti üzərində uzanmayan A nöqtəsi olsun (şək. 56, a). Sübut edək ki, A nöqtəsindən a xəttinə perpendikulyar çəkə bilərik. Müstəvini a düz xətti (şək. 56, b) boyunca əqli şəkildə əyək ki, A nöqtəsini ehtiva edən a sərhədli yarımmüstəvi başqa bir yarımmüstəvi ilə üst-üstə düşsün. Bu halda A nöqtəsi hansısa nöqtə ilə üst-üstə düşəcək. Onu B hərfi ilə işarə edək. Müstəvini genişləndirək və A və B nöqtələrindən düz xətt çəkək.

H AB və a xətlərinin kəsişmə nöqtəsi olsun (şək. 56, c). Təyyarə yenidən düz xətt üzrə əyildikdə, H nöqtəsi yerində qalacaq. Buna görə də, HA şüası HB şüası ilə üst-üstə düşəcək və deməli, 1 bucaq 2 bucaqla üst-üstə düşəcək. Beləliklə, ∠1 = ∠2. 1 və 2 bucaqları bitişik olduğundan onların cəmi 180°-dir, ona görə də onların hər biri düz bucaqdır. Buna görə də AH seqmenti a xəttinə perpendikulyardır. Teorem sübut edilmişdir.

26. Xəttə perpendikulyarın təkliyi haqqında teoremi sübut edin. (dərslikdə şək. 57)

Teorem. Xətt üzərində olmayan bir nöqtədən bu xəttə iki perpendikulyar çəkmək mümkün deyil.

Sübut. Verilmiş a xəttində olmayan A nöqtəsi olsun (bax şək. 56, a). Sübut edək ki, A nöqtəsindən a xəttinə iki perpendikulyar çəkmək mümkün deyil. Fərz edək ki, A nöqtəsindən a düz xəttinə iki AH və AK perpendikulyar çəkmək olar (şək. 57). Müstəvini zehni olaraq a düz xətti boyunca elə əyək ki, A nöqtəsini ehtiva edən a sərhədi olan yarımmüstəvi başqa bir yarım müstəvi ilə üst-üstə düşsün. Bükülmə zamanı H və K nöqtələri yerində qalır, A nöqtəsi müəyyən bir nöqtənin üzərinə qoyulur. Onu B hərfi ilə işarə edək. Bu halda AH və AK seqmentləri BH və BK seqmentlərinin üzərinə qoyulur.

AHB və AKB bucaqları tərsinə çevrilmiş bucaqlardır, çünki onların hər biri iki düz bucağın cəminə bərabərdir. Buna görə də A, H və B nöqtələri eyni xətt üzərində, həmçinin A, K və B nöqtələri eyni xətt üzərində yerləşir.

Beləliklə, A və B nöqtələrindən iki AH və AK düz xəttinin keçdiyini əldə etdik. Amma bu ola bilməz. Nəticə etibarı ilə bizim fərziyyəmiz düzgün deyil, yəni A nöqtəsindən a xəttinə iki perpendikulyar çəkmək mümkün deyil. Teorem sübut edilmişdir.

http://mthm.ru/geometry7/perpendicular

Perpendikulyar xətlər demək olar ki, hər bir həndəsi məsələdə görünür. Bəzən xətlərin perpendikulyarlığı şərtdən məlum olur, digər hallarda isə xətlərin perpendikulyarlığı sübuta yetirilməlidir. İki düz xəttin perpendikulyarlığını sübut etmək üçün istənilən həndəsi üsullardan istifadə etməklə düz xətlər arasındakı bucağın doxsan dərəcəyə bərabər olduğunu göstərmək kifayətdir.

Bir müstəvidə və ya üçölçülü fəzada bu xətləri təyin edən tənliklər məlumdursa, “xətlər perpendikulyardır” sualına necə cavab vermək olar?

Bunu etmək üçün istifadə etməlisiniz iki xəttin perpendikulyar olması üçün zəruri və kafi şərt. Onu teorem şəklində tərtib edək.

Teorem.

a Və b istiqamət vektorunun düz olması zəruri və kifayətdir a düz xəttin istiqamət vektoruna perpendikulyar idi b.

Xətlərin perpendikulyarlığı üçün bu şərtin sübutu xəttin istiqamət vektorunun müəyyən edilməsinə və perpendikulyar xətlərin müəyyən edilməsinə əsaslanır.

Xüsusiyyətləri əlavə edək.

Müstəvidə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi tətbiq edilsin Oksi və xətləri müəyyən edən bir növ müstəvidə xəttin tənlikləri verilir a Və b. Xətlərin istiqamət vektorlarını işarə edək A Və b kimi və müvafiq olaraq. Xətlərin tənlikləri ilə a Və b bu düz xətlərin istiqamət vektorlarının koordinatlarını təyin edə bilərik - və alırıq. Sonra xətlərin perpendikulyarlığı üçün a Və b Vektorların perpendikulyarlıq şərti və ödənilməsi, yəni vektorların skalyar hasilinin sıfıra bərabər olması zəruri və kifayətdir: .

Belə ki, a Və b düzbucaqlı koordinat sistemində Oksi təyyarədə forma var , burada və xətlərin istiqamət vektorlarıdır a Və b müvafiq olaraq.

Bu şərt düz xətlərin istiqamət vektorlarının koordinatları asanlıqla tapıldıqda, həmçinin düz xətlər olduqda istifadə etmək rahatdır. a Və b müstəvidəki xəttin kanonik tənliklərinə və ya müstəvidəki xəttin parametrik tənliklərinə uyğundur.

Misal.

Düzbucaqlı koordinat sistemində Oksiüç xal verilir. Xətlər perpendikulyardır? AB Və AC?

Həll.

vektorları xətlərin istiqamət vektorlarıdır AB Və AC. Bir vektorun məqalə koordinatlarına istinad edərək, onun başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatlarına əsaslanaraq hesablayırıq . Vektorlar və perpendikulyardır, çünki . Beləliklə, xətlərin perpendikulyar olması üçün zəruri və kifayət qədər şərt təmin edilir AB Və AC. Buna görə də düz AB Və AC perpendikulyar.

Cavab:

Bəli, düz xətlər perpendikulyardır.

Misal.

Düzdür və perpendikulyar?

Həll.

İstiqamət vektoru düz xəttdir və düz xəttin istiqamət vektorudur . Vektorların skalyar hasilini hesablayaq və: . Sıfırdan fərqlidir, buna görə də xətlərin istiqamət vektorları perpendikulyar deyil. Yəni xətlərin perpendikulyarlıq şərti təmin olunmur, ona görə də ilkin xətlər perpendikulyar deyil.

Cavab:

yox, xətlər perpendikulyar deyil.

Eynilə, xətlərin perpendikulyar olması üçün zəruri və kafi şərt a Və b düzbucaqlı koordinat sistemində Oxyzüçölçülü məkanda formaya malikdir , Harada Və - düz xətlərin istiqamət vektorları a Və b müvafiq olaraq.

Misal.

Düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş xətlər perpendikulyardırmı? Oxyz tənliklərlə üçölçülü fəzada Və ?

Həll.

Fəzadakı xəttin kanonik tənliklərinin məxrəclərindəki rəqəmlər xəttin istiqamətləndirici vektorunun müvafiq koordinatlarıdır. Düz xəttin kosmosda parametrik tənlikləri ilə təyin olunan düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatları isə parametrin əmsallarıdır. Beləliklə, və verilmiş düz xətlərin istiqamət vektorlarıdır. Onların perpendikulyar olub olmadığını öyrənək: . Skayar hasil sıfır olduğundan, bu vektorlar perpendikulyardır. Bu o deməkdir ki, verilmiş xətlərin perpendikulyarlıq şərti ödənilir.

Cavab:

düz xətlər perpendikulyardır.

Bir müstəvidə iki xəttin perpendikulyarlığını yoxlamaq üçün perpendikulyarlıq üçün digər zəruri və kifayət qədər şərtlər var.

Teorem.

Xətlərin perpendikulyarlığı üçün a Və b müstəvidə normal vektorun düz xətt olması zəruri və kifayətdir a xəttin normal vektoruna perpendikulyar idi b.

Verilmiş xətlərin tənliklərindən istifadə edərək xətlərin normal vektorlarının koordinatlarını asanlıqla tapmaq olarsa, xətlərin perpendikulyarlığının bildirilmiş şərtindən istifadə etmək rahatdır. Bu ifadə formanın ümumi düz xətti tənliyinə uyğundur , seqmentlərdə xəttin tənliyi və bucaq əmsalı olan xəttin tənliyi.

Misal.

Düz olduğundan əmin olun və perpendikulyar.

Həll.

Xətlərin tənliklərini nəzərə alaraq, bu xətlərin normal vektorlarının koordinatlarını tapmaq asandır. – normal xətt vektoru . Tənliyi formada yenidən yazaq , bu xəttin normal vektorunun koordinatlarının göründüyü yerdən: .

Vektorlar və perpendikulyardır, çünki onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir: . Beləliklə, verilmiş xətlərin perpendikulyar olması üçün zəruri və kafi şərt ödənilir, yəni onlar həqiqətən perpendikulyardırlar.

Xüsusilə, əgər birbaşa a müstəvidə formanın bucaq əmsalı ilə düz xəttin tənliyini və düz xətti müəyyən edir. b– formasının , onda bu xətlərin normal vektorlarının müvafiq olaraq koordinatları var və və bu xətlərin perpendikulyar olması şərti bucaq əmsalları arasında aşağıdakı əlaqəyə endirilir.

Misal.

Xətlər və perpendikulyardır?

Həll.

Düz xəttin yamacı bərabərdir, düz xəttin mailliyi isə bərabərdir. Bucaq əmsallarının məhsulu mənfi birinə bərabərdir, buna görə də xətlər perpendikulyardır.

Cavab:

verilmiş xətlər perpendikulyardır.

Müstəvidə xətlərin perpendikulyar olması üçün daha bir şərti qeyd etmək olar.

Teorem.

Xətlərin perpendikulyarlığı üçün a Və b müstəvidə bir xəttin istiqamət vektoru ilə ikinci xəttin normal vektorunun kollinear olması zəruri və kifayətdir.

Bu şərt bir xəttin istiqamət vektorunun koordinatları və ikinci xəttin normal vektorunun koordinatları asanlıqla tapıldıqda, yəni bir xətt kanonik tənlik və ya xəttin parametrik tənlikləri ilə verildikdə istifadə etmək açıq şəkildə əlverişlidir. müstəvidə, ikincisi isə ya xəttin ümumi tənliyi və ya seqmentlərdəki xəttin tənliyi və ya bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi ilə.

Misal.

Düz xətlər və perpendikulyardır?

Həll.

Aydındır ki, xəttin normal vektorudur və xəttin istiqamət vektorudur. Vektorlar və kollinear deyillər, çünki onlar üçün iki vektorun kollinearlıq şərti təmin edilmir (belə real ədəd yoxdur) t, hansında). Buna görə də verilmiş xətlər perpendikulyar deyil.

Cavab:

xətlər perpendikulyar deyil.

21. Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə nöqtədən nöqtəyə olan məsafə ilə müəyyən edilir. Bunun necə edildiyini göstərək.

Müstəvidə və ya üçölçülü fəzada düz xətt verilsin a və dövr M 1, düz xətt üzərində deyil a. Nöqtədən keçirək M 1 birbaşa b, xəttinə perpendikulyar a. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini qeyd edək a Və b Necə H 1. Xətt seqmenti M 1 H 1çağırdı perpendikulyar, nöqtədən çəkilmişdir M 1 düz xəttə a.

Tərif.

Nöqtədən məsafə M 1 düz xəttə a nöqtələr arasındakı məsafəni çağırın M 1 Və H 1.

Bununla belə, bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafənin ən ümumi tərifi perpendikulyarın uzunluğudur.

Tərif.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə verilmiş nöqtədən verilmiş xəttə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğudur.

Bu tərif nöqtədən xəttə qədər olan məsafənin ilk tərifinə bərabərdir.

Nəzərə alın ki, bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə bu nöqtədən verilmiş xəttin nöqtələrinə qədər olan məsafələrin ən kiçikidir. Gəlin onu göstərək.

Gəlin onu düz bir xətt üzərində aparaq a nöqtə Q, nöqtə ilə üst-üstə düşmür M 1. Xətt seqmenti M 1 Qçağırdı meylli, nöqtədən çəkilmişdir M 1 düz xəttə a. Nöqtədən çəkilmiş perpendikulyar olduğunu göstərməliyik M 1 düz xəttə a, nöqtədən çəkilmiş hər hansı bir yamacdan azdır M 1 düz xəttə a. Doğrudur: üçbucaq M 1 QH 1 hipotenuzlu düzbucaqlı M 1 Q, və hipotenuzanın uzunluğu həmişə ayaqların hər hansı birinin uzunluğundan böyükdür, buna görə də, .

22. R3 fəzasında təyyarə. Təyyarənin tənliyi.

Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemindəki müstəvi tənliklə verilə bilər: adlanır ümumi tənlik təyyarə.

Tərif. Vektor müstəviyə perpendikulyardır və onun adlanır normal vektor.

Düzbucaqlı koordinat sistemində eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtənin koordinatları məlumdursa, müstəvi tənliyi belə yazılır: .

Bu determinantı hesablayaraq müstəvinin ümumi tənliyini alırıq.

Misal. Nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyini yazın.

Həll:

Müstəvi tənliyi: .

23. Müstəvinin ümumi tənliyinin tədqiqi.

Tərif 2. Müstəviyə perpendikulyar olan istənilən vektor həmin müstəvinin normal vektoru adlanır.

Sabit nöqtə məlumdursa M 0 (x 0 , y 0 , z 0), verilmiş müstəvidə uzanan və verilmiş müstəviyə perpendikulyar vektor, sonra nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi M 0 (x 0 , y 0 , z 0), vektora perpendikulyar, formaya malikdir

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)

Göstərək ki, (3.22) tənliyi (3.21) müstəvisinin ümumi tənliyidir. Bunu etmək üçün mötərizələri açın və sərbəst termini mötərizədə qoyun:

.Axe + By+ Cz +(- Balta 0 -By-Cz 0)= 0

təyin edərək D = - Balta 0 -By-Cz 0, tənliyi alırıq Axe + By + Cz + D= 0.

Tapşırıq 1.Əgər vektora perpendikulyar, A nöqtəsindən keçən müstəvi üçün tənlik yazın A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Həll. Təyyarənin normal vektorunu tapaq:

Təyyarənin tənliyini tapmaq üçün (3.22) tənliyindən istifadə edirik:

Cavab: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

Tapşırıq 2. Nöqtədən keçən müstəvi üçün tənlik yazın M 0 (-1, 2, -1), oxa perpendikulyar OZ.

Həll.İstədiyiniz təyyarənin normal vektoru olaraq OZ oxunda yerləşən istənilən vektoru, məsələn, , sonra təyyarənin tənliyini götürə bilərsiniz.

Cavab: z + 1 = 0.

24. Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə.

Nöqtədən müstəviyə olan məsafə bir nöqtədən bir nöqtəyə qədər olan məsafə ilə müəyyən edilir, onlardan biri verilmiş nöqtə, digəri isə verilmiş nöqtənin verilmiş müstəviyə proyeksiyasıdır.

Üç ölçülü fəzada bir nöqtə verilsin M 1 və təyyarə. Nöqtədən keçirək M 1 birbaşa a, müstəviyə perpendikulyar. Xəttin kəsişmə nöqtəsini işarə edək a və təyyarələr kimi H 1. Xətt seqmenti M 1 H 1çağırdı perpendikulyar, nöqtədən düşdü M 1 bir təyyarəyə və bir nöqtəyə H 1 – perpendikulyarın əsası.

Tərif.

verilmiş nöqtədən verilmiş müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın əsasına qədər olan məsafədir.

Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafənin ən ümumi tərifi aşağıdakı kimidir.

Tərif.

Nöqtədən təyyarəyə qədər olan məsafə verilmiş nöqtədən verilmiş müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğudur.

Qeyd etmək lazımdır ki, nöqtədən məsafə M 1 bu şəkildə müəyyən edilmiş müstəviyə, verilən nöqtədən məsafələrin ən kiçikidir M 1 təyyarənin istənilən nöqtəsinə. Həqiqətən, nöqtə qoy H 2 müstəvidə yerləşir və nöqtədən fərqlidir H 1. Aydındır ki, üçbucaq M 2 H 1 H 2 düzbucaqlıdır, içərisindədir M 1 H 1- ayaq və M 1 H 2- hipotenuz, buna görə də . Yeri gəlmişkən, seqment M 1 H 2çağırdı meylli, nöqtədən çəkilmişdir M 1 təyyarəyə. Deməli, verilmiş nöqtədən verilmiş müstəviyə çəkilmiş perpendikulyar həmişə eyni nöqtədən verilmiş müstəviyə çəkilmiş mailidən kiçik olur.

Əgər düz xətt verilmiş iki nöqtədən keçirsə , sonra onun tənlikşəklində yazılmışdır : .

Tərif. vektor deyilir bələdçilər xəttin vektoru ona paraleldirsə və ya ona məxsusdursa.

Misal. Verilmiş iki nöqtədən keçən xəttin tənliyini yazın .

Həlli: Verilmiş iki nöqtədən keçən xəttin ümumi düsturundan istifadə edirik: - nöqtələrdən keçən xəttin kanonik tənliyi və . Vektor düz istiqamət vektorudur.

26. R3 fəzasında xətlərin nisbi mövqeyi.

Kosmosda iki xəttin nisbi mövqeyinin variantlarına keçək.

Birincisi, iki düz xətt üst-üstə düşə bilər, yəni sonsuz çoxlu ortaq nöqtələrə malikdir (ən azı iki ümumi nöqtə).

İkincisi, fəzada iki xətt kəsişə bilər, yəni bir ümumi nöqtəyə malikdir. Bu halda, bu iki xətt üçölçülü fəzanın hansısa müstəvisində yerləşir. Əgər fəzada iki xətt kəsişirsə, onda kəsişən xətlər arasındakı bucaq anlayışına gəlirik.

Üçüncüsü, fəzada iki xətt paralel ola bilər. Bu halda, onlar eyni müstəvidə yatır və ortaq nöqtələri yoxdur. Paralel xətlər, xətlərin paralelliyi məqaləsini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Fəzada paralel xətlərin tərifini verdikdən sonra, əhəmiyyətinə görə düz xəttin istiqamət vektorlarından danışmalıyıq. Bu xətt üzərində və ya ona paralel olan hər hansı sıfırdan fərqli vektor xəttin istiqamət vektoru adlanacaqdır. Düz xəttin istiqamət vektoru kosmosda düz xətti əhatə edən məsələlərin həlli zamanı çox istifadə olunur.

Nəhayət, üçölçülü məkanda iki xətt kəsişə bilər. Fəzadakı iki xətt eyni müstəvidə deyilsə, əyri adlanır. İki düz xəttin fəzada bu qarşılıqlı düzülüşü bizi kəsişən düz xətlər arasındakı bucaq anlayışına aparır.

Üçölçülü məkanda kəsişən və ya kəsişən xətlər arasındakı bucağın doxsan dərəcəyə bərabər olması xüsusi praktik əhəmiyyət kəsb edir. Belə xətlər perpendikulyar adlanır (bax: perpendikulyar xətlər, xətlərin perpendikulyarlığı).

27. Düz xəttin və müstəvinin R3 fəzasında nisbi mövqeyi.

Düz xətt verilmiş müstəvidə uzana, verilmiş müstəviyə paralel ola və ya onu bir nöqtədə kəsə bilər, aşağıdakı rəqəmlərə baxın.

Əgər , bu o deməkdir ki . Və bu, yalnız düz xətt müstəvidə olduqda və ya ona paralel olduqda mümkündür. Əgər xətt müstəvidə yerləşirsə, onda xəttin istənilən nöqtəsi müstəvidəki nöqtədir və xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatları müstəvi tənliyini ödəyir. Buna görə də nöqtənin təyyarədə olub olmadığını yoxlamaq kifayətdir. Əgər varsa, onda işarə edin - müstəvidə yatır, yəni düz xəttin özü müstəvidə yerləşir.

Əgər , a olarsa, o zaman xəttin nöqtəsi müstəvidə yatmır, yəni xəttin müstəviyə paralel olması deməkdir.

Teorem sübut edilmişdir.

“Xəttə perpendikulyar” video dərsi bu mövzuda həndəsə dərsində istifadə oluna bilən əyani vəsaitdir. Video dərsdə perpendikulyar anlayışına giriş, eləcə də verilənə perpendikulyar xətt çəkmək haqqında teoremin sübutu var.

Video dərsin köməyi ilə materialı öyrənmək daha asandır, çünki bütün konstruksiyalar müəllim tərəfindən tədris lövhəsindən istifadə edərək materialın nümayişini simulyasiya edərək animasiyadan istifadə etməklə hazırlanır. Bu halda, bütün vacib detallar rəng və ya xüsusi kursordan istifadə edərək vurğulanır. Tikinti ilə müşayiət olunan ətraflı izahat həndəsənin ən çətin hissələrindən birini - sübutu aydın və aydın şəkildə təqdim edir. Video dərs müəllimi fərdi iş üçün azad edən və ya izahatla müşayiət olunan dərsin müstəqil hissəsinə çevrilə bilər.

Video dərsin əvvəlində “Xəttə perpendikulyar” mövzunun adı elan edilir. Perpendikulyarın qurulması A nöqtəsinin və a düz xəttinin qurulması ilə başlayır. A nöqtəsindən seqment a düz xəttinə H nöqtəsinə endirilir. Göstərilir ki, a düz xəttinə endirilən AN seqmenti bu seqmentdən keçən düz xətt a düz xəttinə perpendikulyar olarsa, perpendikulyar adlandırılacaqdır. İzahı müşaiyət edən şəkildə bu xətlər arasında əmələ gələn düz bucaq xüsusi işarə ilə qeyd olunur və animasiyanın köməyi ilə AN seqmenti düz xəttə davam etdirilir. Bu ifadəyə əsasən, perpendikulyarın tərifi verilmiş birinə perpendikulyar olan xəttin bir hissəsi olan seqment kimi verilir. Tərif ekranda tədqiq olunan anlayışları qırmızı rənglə vurğulayaraq göstərilir. Bu təqdimat tələbələrin diqqətini tərifə yönəldir, onu dəftərdə qeyd etmək, yadda saxlamağı asanlaşdırmaq olar. Qeyd olunur ki, bu xətlərin kəsişdiyi H nöqtəsinə perpendikulyarın əsası deyilir.

Sonra tələbələrə bir çox həndəsi problemləri həll etməyə və aşağıdakı teoremləri sübut etməyə kömək edəcək vacib bir teoremin sübutu təqdim olunur. Teorem mətni ekranda göstərilir və tələbələrin dəftərlərinə yazmaq üçün təklif oluna bilər. Teoremin sübutu BC xəttinin və BC xəttinə aid olmayan A nöqtəsinin qurulması ilə başlayır. Sübutun birinci hissəsi ondan ibarətdir ki, A nöqtəsindən BC xəttinə perpendikulyar çəkmək olar. Bu ifadəni sübut etmək üçün əvvəlcə BC şüasının əvvəlindən qurulan ∠ABC bucağına bərabər olan ∠MVS bucağı qurulur. Bu açılar bərabər olduğundan, üst-üstə düşəndə ​​üst-üstə düşürlər. BA və BC ∠ABC tərəfləri də ∠MVS bucağının BM və BC tərəfləri ilə üst-üstə düşür. Bu halda A nöqtəsi A 1 nöqtəsinin üzərinə qoyulur. AA 1 seqmenti ilə BC düz xəttinin kəsişməsi olan H nöqtəsi qeyd olunur. Bu üst-üstə düşmə nümunənin BC düz xətti boyunca əyilməsi kimi şərh edilə bilər. Bu zaman konstruksiya nəticəsində alınan AN seqmenti H düz xəttinə perpendikulyardır. Və HA şüası HA 1 şüası ilə birləşir. Bu halda, ∠1 - AN seqmentinin və BC düz xəttinin kəsişmə bucağı ∠2 - NA 1 seqmentinin və BC düz xəttinin kəsişmə bucağı üzərinə qoyulur. Bu halda ∠1 və ∠2 bucaqları bitişikdir. Mübahisə etmək olar ki, bu bucaqların hər biri düzdür, çünki bitişik bucaqların cəmi 180°-dir və düz bucaqlar kəsişmədə əmələ gəldiyi üçün AN BC düz xəttinə perpendikulyardır. Perpendikulyar xətlərin təyinatı ekranda yadda saxlamaq üçün vurğulanan xüsusi simvolla göstərilir.

Sübutun ikinci hissəsi A nöqtəsindən BC-yə yalnız bir perpendikulyar çəkilə biləcəyinə həsr edilmişdir. Bunun üçün birinci rəqəmin altında əlavə tikinti aparılır. Sübut ziddiyyətlə edilir. Fərz edilir ki, A nöqtəsindən BC düz xəttinə perpendikulyar bir neçə düz xətt çəkmək olar. Şəkildə, perpendikulyar olana əlavə olaraq, A nöqtəsindən BC düz xəttinə endirilmiş başqa bir düz xətt qurulur. Lakin belə çıxır ki, qurulmuş AN 1 düz xətti mövcud AN perpendikulyar ilə kəsişəcək. Ancaq bu mümkün deyil, ona görə də A nöqtəsindən yalnız BC-yə perpendikulyar bir düz xətt çəkə bilərsiniz - bu teoremi sübut edir.

“Xəttə perpendikulyar” video dərsindən müəllim bu mövzuda yeni materialı təqdim etmək üçün istifadə edə bilər. Həmçinin aydın və əyani sübutlar şagirdə yeni mövzunu müstəqil şəkildə anlamağa kömək edəcəkdir. Materialdan distant təhsildə də istifadə oluna bilər.