Eine Technik zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen. Kursarbeit: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen. Trigonometrische Ungleichungen mit dem Einheitskreis lösen

DEFINITION

Trigonometrische Ungleichungen sind Ungleichungen, die eine Variable unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion enthalten.

Trigonometrische Ungleichungen lösen

Das Lösen trigonometrischer Ungleichungen reduziert sich oft auf das Lösen der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen der Form: \ (\ \ sin xa \), \ (\ \ cos x> a \), \ (\ \ Operatorname (tg) x> a \), \ (\ \ Operatorname (ctg) x> a \), \ (\ \ sin x \ leq a \), \ (\ \ cos x \ leq a \), \ (\ \ Operatorname (tg) x \ leq a \ ), \ (\ \ Operatorname (ctg) x \ leq a \), \ (\ \ sin x \ geq a \), \ (\ \ cos \ geq a \), \ (\ \ Operatorname (tg) x \ geq a \ ), \ (\ \ Operatorname (tg) x \ geq a \)

Die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen werden grafisch oder mit einem trigonometrischen Einheitskreis gelöst.

Der Sinus des Winkels \ (\ \ alpha \) ist per Definition die Ordinate des Punktes \ (\ P _ (\ alpha) (x, y) \) des Einheitskreises (Abb. 1) und der Kosinus ist die Abszisse dieses Punktes. Diese Tatsache wird genutzt, um die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen mit Kosinus und Sinus mit Hilfe des Einheitskreises zu lösen.

Beispiele zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen

Projekt zur Algebra "Lösung trigonometrischer Ungleichungen" Abgeschlossen von einer Schülerin der 10. Klasse "B" Kazachkova Julia Betreuer: Mathematiklehrerin Kochakova N.N.

Zweck Festigung des Materials zum Thema "Trigonometrische Ungleichungen lösen" und Erstellung eines Memos für die Studierenden zur Vorbereitung auf die anstehende Prüfung.

Ziele Zusammenfassung des Materials zu diesem Thema. Organisieren Sie die erhaltenen Informationen. Berücksichtigen Sie dieses Thema in der Prüfung.

Relevanz Die Relevanz des von mir gewählten Themas besteht darin, dass die Aufgaben zum Thema „Trigonometrische Ungleichungen lösen“ in die Prüfungsaufgaben aufgenommen werden.

Trigonometrische Ungleichungen Eine Ungleichung ist eine Beziehung, die zwei Zahlen oder Ausdrücke mit einem der folgenden Zeichen verbindet: (größer als); ≥ (größer oder gleich). Eine trigonometrische Ungleichung ist eine Ungleichung mit trigonometrische Funktionen.

Trigonometrische Ungleichungen Die Lösung von Ungleichungen mit trigonometrischen Funktionen reduziert sich in der Regel auf die Lösung der einfachsten Ungleichungen der Form: sin x> a, sin x a, cos x a, tg x a, ctg x

Algorithmus zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen Markieren Sie auf der Achse, die einer gegebenen trigonometrischen Funktion entspricht, den gegebenen Zahlenwert dieser Funktion. Ziehen Sie eine Gerade durch den markierten Punkt, der den Einheitskreis schneidet. Wählen Sie die Schnittpunkte der Linie und des Kreises unter Berücksichtigung des strengen oder nicht-strikten Ungleichungszeichens. Wählen Sie den Kreisbogen aus, auf dem sich die Lösungen der Ungleichung befinden. Bestimmen Sie die Werte der Winkel am Anfangs- und Endpunkt des Kreisbogens. Schreiben Sie die Lösung der Ungleichung unter Berücksichtigung der Periodizität der gegebenen trigonometrischen Funktion auf.

Formeln zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen sinx> a; x (Arcsin a + 2πn; π- Arcsin a + 2πn). sinx ein; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxein; x (arctan a + n; + n). tgx ein; x (πn; arctan + n). ctgx

Grafische Lösung grundlegender trigonometrischer Ungleichungen sinx> a

Grafische Lösung grundlegender trigonometrischer Ungleichungen sinx

Grafische Lösung grundlegender trigonometrischer Ungleichungen cosx> a

Grafische Lösung der wichtigsten trigonometrischen Ungleichungen cosx

Grafische Lösung der wichtigsten trigonometrischen Ungleichungen tgx> a

Grafische Lösung grundlegender trigonometrischer Ungleichungen tgx

Grafische Lösung der wichtigsten trigonometrischen Ungleichungen ctgx> a

Grafische Lösung grundlegender trigonometrischer Ungleichungen ctgx

Methoden zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen Lösen trigonometrischer Ungleichungen mit Hilfe eines Zahlenkreises; Lösen Sie trigonometrische Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen. :

Trigonometrische Ungleichungen mit dem Zahlenkreis lösen Beispiel 1:: Antwort:

Trigonometrische Ungleichungen mit dem Zahlenkreis lösen Beispiel 1: Antwort:

Lösen trigonometrischer Ungleichungen mit einem Funktionsgraphen Beispiel: Antwort:

Als Ergebnis der Arbeit habe ich mein Wissen zum Thema "Trigonometrische Ungleichungen lösen" gefestigt. Systematisierung der zu diesem Thema erhaltenen Informationen zur Vereinfachung der Wahrnehmung: Ableitung eines Algorithmus zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen; skizzierte zwei Lösungswege; zeigte Lösungsbeispiele. :

Arbeitsergebnis Als fertiges Produkt wird mein Projekt auch von einem "Memo an Studenten zur Vorbereitung auf die Prüfung in Algebra" begleitet. Microsoft Office Word-Dokument (2). docx:

Gebrauchte Literatur Algebra-Lehrbuch für Klasse 10 "Algebra und der Beginn der Analyse", herausgegeben von A. N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http: // www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

In einer praktischen Lektion werden wir die Hauptaufgabentypen aus dem Thema "Trigonometrie" wiederholen, zusätzlich Aufgaben erhöhter Komplexität analysieren und Beispiele zur Lösung verschiedener trigonometrischer Ungleichungen und deren Systeme betrachten.

Diese Lektion hilft Ihnen, sich auf eine der Aufgabentypen B5, B7, C1 und C3 vorzubereiten.

Beginnen wir mit der Wiederholung der Hauptaufgabentypen, die wir im Thema "Trigonometrie" besprochen haben, und lösen mehrere nicht standardmäßige Aufgaben.

Problem Nummer 1... Winkel in Bogenmaß und Grad umrechnen: a); B).

a) Verwenden wir die Formel zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß

Setzen wir den angegebenen Wert ein.

b) Wenden Sie die Formel zur Umrechnung von Bogenmaß in Grad an

Lass uns die Substitution durchführen .

Antworten. ein) ; B).

Problem Nummer 2... Berechnen Sie: a); B).

a) Da der Winkel weit über dem tabellarischen liegt, verkleinern wir ihn durch Subtrahieren der Sinusperiode. Denn wird der Winkel in Radiant angegeben, dann wird die Periode als betrachtet.

b) In diesem Fall ist die Situation ähnlich. Da der Winkel in Grad angegeben wird, wird die Tangente als Periode betrachtet.

Der resultierende Winkel ist zwar kleiner als die Periode, aber größer, dh er bezieht sich nicht mehr auf den Haupt-, sondern auf den verlängerten Teil der Tabelle. Um unser Gedächtnis nicht noch einmal durch das Auswendiglernen einer erweiterten Tabelle von trigonometrischen Funktionswerten zu trainieren, subtrahieren wir wieder die Periode der Tangente:

Wir haben die Ungeradheit der Tangensfunktion verwendet.

Antworten. a) 1; B).

Problem Nummer 3... Berechnung , wenn .

Wir bringen den gesamten Ausdruck auf Tangenten, indem wir Zähler und Nenner des Bruchs dividieren. Gleichzeitig können wir das nicht fürchten, denn in diesem Fall wäre der Tangentenwert nicht vorhanden.

Problem Nummer 4... Den Ausdruck vereinfachen.

Die angegebenen Ausdrücke werden mithilfe von Umwandlungsformeln konvertiert. Es ist nur so, dass sie ungewöhnlich mit Graden geschrieben sind. Der erste Ausdruck ist im Allgemeinen eine Zahl. Vereinfachen wir der Reihe nach alle trigonometrischen Funktionen:

Denn , dann ändert sich die Funktion in eine Kofunktion, d.h. zum Kotangens, und der Winkel fällt in das zweite Viertel, in dem die ursprüngliche Tangente ein negatives Vorzeichen hat.

Aus den gleichen Gründen wie im vorherigen Ausdruck wird die Funktion in eine Kofunktion geändert, d.h. auf der Kotangente, und der Winkel fällt in das erste Viertel, in dem die ursprüngliche Tangente ein positives Vorzeichen hat.

Lassen Sie uns alles durch einen vereinfachten Ausdruck ersetzen:

Problemnummer 5... Den Ausdruck vereinfachen.

Schreiben wir den Tangens des Doppelwinkels nach der entsprechenden Formel und vereinfachen den Ausdruck:

Die letzte Identität ist eine der universellen Ersatzformeln für den Kosinus.

Problem Nummer 6... Berechnung.

Die Hauptsache ist, keinen Standardfehler zu machen und nicht zu antworten, dass der Ausdruck gleich ist. Es ist unmöglich, die Haupteigenschaft des Arkustangens zu verwenden, solange daneben ein Multiplikator in Form von Zwei steht. Um es loszuwerden, schreiben wir den Ausdruck nach der Formel für den Tangens eines doppelten Winkels, während wir ihn wie ein gewöhnliches Argument behandeln.

Jetzt können Sie die Haupteigenschaft des Arkustangens anwenden. Denken Sie daran, dass das numerische Ergebnis nicht eingeschränkt ist.

Problem Nummer 7... Löse die Gleichung.

Bei der Entscheidung Bruchgleichung, die gleich Null ist, wird immer angezeigt, dass der Zähler Null ist, der Nenner jedoch nicht, denn Sie können nicht durch Null dividieren.

Die erste Gleichung ist ein Sonderfall der einfachsten Gleichung, die mit einem trigonometrischen Kreis gelöst wird. Merken Sie sich diese Lösung selbst. Die zweite Ungleichung wird als einfachste Gleichung nach der allgemeinen Formel für die Tangentenwurzeln gelöst, aber nur mit der Notation der Vorzeichen ist ungleich.

Wie Sie sehen, schließt eine Wurzelfamilie eine andere Wurzelfamilie aus, die die Gleichung der exakt gleichen Form nicht erfüllen. Jene. Keine Wurzeln.

Antworten. Es gibt keine Wurzeln.

Problemnummer 8... Löse die Gleichung.

Wir stellen sofort fest, dass Sie den gemeinsamen Faktor herausnehmen und es tun können:

Die Gleichung wurde auf eine der Standardformen reduziert, wenn das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist. Wir wissen bereits, dass in diesem Fall entweder einer von ihnen Null ist oder der andere oder der dritte. Schreiben wir dies in Form eines Satzes von Gleichungen:

Die ersten beiden Gleichungen sind Spezialfälle der einfachsten, ähnliche Gleichungen sind uns schon oft begegnet, daher werden wir sofort ihre Lösungen angeben. Die dritte Gleichung wird unter Verwendung der Doppelwinkel-Sinusformel auf eine Funktion reduziert.

Lassen Sie uns die letzte Gleichung separat lösen:

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, weil Sinuswert kann die Grenzen nicht überschreiten .

Somit sind die Lösung nur die ersten beiden Wurzelfamilien, sie können zu einer zusammengefasst werden, die sich leicht auf dem trigonometrischen Kreis zeigen lässt:

Dies ist eine Familie aus allen Hälften, d.h.

Kommen wir zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen. Zuerst analysieren wir den Lösungsansatz für ein Beispiel, ohne Formeln für allgemeine Lösungen zu verwenden, sondern einen trigonometrischen Kreis zu verwenden.

Problem Nummer 9... Ungleichung lösen.

Zeichnen Sie auf dem trigonometrischen Kreis eine Hilfslinie, die dem Sinuswert gleich entspricht, und zeigen Sie das Winkelintervall an, das die Ungleichung erfüllt.

Es ist sehr wichtig zu verstehen, wie man den resultierenden Winkelbereich genau anzeigt, d.h. was ist ihr Anfang und was ist ihr Ende. Der Beginn der Lücke ist der Winkel, der dem Punkt entspricht, an dem wir ganz am Anfang der Lücke eintreten, wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen. In unserem Fall ist dies der linke Punkt, denn wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen und den richtigen Punkt passieren, verlassen wir im Gegenteil den erforderlichen Eckenbereich. Der rechte Punkt entspricht daher dem Ende der Lücke.

Jetzt ist es notwendig, die Werte der Winkel von Anfang und Ende unseres Intervalls der Lösungen der Ungleichung zu verstehen. Ein typischer Fehler besteht darin, sofort anzugeben, dass der rechte Punkt dem Winkel entspricht, links und eine Antwort. Das ist nicht wahr! Beachten Sie, dass wir gerade die Lücke angegeben haben, die dem oberen Teil des Kreises entspricht, obwohl wir uns für den unteren interessieren, mit anderen Worten, wir haben den Anfang und das Ende des benötigten Lösungsintervalls verwechselt.

Damit ein Intervall an der Ecke des rechten Punkts beginnt und an der Ecke des linken Punkts endet, muss der erste angegebene Winkel kleiner als der zweite sein. Dazu müssen wir den Winkel des rechten Punktes in negativer Bezugsrichtung messen, d.h. im Uhrzeigersinn und es wird gleich sein. Dann, ausgehend von diesem in positiver Richtung im Uhrzeigersinn, gelangen wir nach dem linken Punkt zum rechten Punkt und erhalten den Winkelwert dafür. Jetzt ist der Anfang des Winkelintervalls kleiner als das Ende, und wir können das Lösungsintervall ohne Berücksichtigung der Periode schreiben:

Wenn man bedenkt, dass sich solche Intervalle nach einer ganzzahligen Anzahl von Umdrehungen unendlich oft wiederholen, erhalten wir eine allgemeine Lösung unter Berücksichtigung der Sinusperiode:

Wir setzen Klammern aufgrund der Tatsache, dass die Ungleichung streng ist, und wir schneiden die Punkte auf dem Kreis aus, die den Enden des Intervalls entsprechen.

Vergleichen Sie diese Antwort mit der allgemeinen Lösungsformel, die wir in der Vorlesung vorgestellt haben.

Antworten. .

Diese Methode ist gut, um zu verstehen, woher die Formeln für die allgemeinen Lösungen der einfachsten Trigongleichungen stammen. Darüber hinaus ist es nützlich für diejenigen, die zu faul sind, all diese umständlichen Formeln zu lernen. Die Methode selbst ist jedoch auch nicht einfach. Wählen Sie aus, welcher Lösungsansatz für Sie am bequemsten ist.

Um trigonometrische Ungleichungen zu lösen, können Sie auch Funktionsgraphen verwenden, auf denen die Hilfslinie ähnlich wie bei der Methode mit dem Einheitskreis aufgebaut ist. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie es mit diesem Lösungsansatz selbst herauszufinden. Im Folgenden verwenden wir allgemeine Formeln zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen.

Problemnummer 10... Ungleichung lösen.

Verwenden wir die Formel für die allgemeine Lösung, wobei wir berücksichtigen, dass die Ungleichung nicht streng ist:

Wir erhalten in unserem Fall:

Antworten.

Problemnummer 11... Ungleichung lösen.

Wir verwenden die allgemeine Lösungsformel für die entsprechende strikte Ungleichung:

Antworten. .

Problemnummer 12... Ungleichungen lösen: a); B).

Bei diesen Ungleichungen besteht keine Notwendigkeit, Formeln für allgemeine Lösungen oder einen trigonometrischen Kreis zu verwenden. Es reicht aus, sich nur an den Wertebereich von Sinus und Cosinus zu erinnern.

a) Da , dann ist die Ungleichung bedeutungslos. Daher gibt es keine Lösungen.

b) Weil ebenso erfüllt der Sinus jedes Arguments immer die in der Bedingung angegebene Ungleichung. Daher erfüllen alle reellen Werte des Arguments die Ungleichung.

Antworten. a) es gibt keine Lösungen; B).

Aufgabe 13... Ungleichung lösen .

Bildungsministerium der Republik Belarus

Bildungseinrichtung

"Staatliche Universität Gomel

benannt nach Francysk Skaryna"

Fakultät für Mathematik

Institut für Algebra und Geometrie

Qualifiziert für den Schutz

Kopf Abteilung Shemetkov L.A.

Trigonometrische Gleichungen und Ungleichheit

Kursarbeit

Testamentsvollstrecker:

Schüler der Gruppe M-51

CM. Gorski

Wissenschaftlicher Berater, Ph.D.,

Alter Dozent

V. G. Safonov

Gomel 2008

EINLEITUNG

GRUNDLEGENDE METHODEN ZUR LÖSUNG TRIGONOMETRISCHER GLEICHUNGEN

Faktorisierung

Lösen von Gleichungen durch Umwandeln des Produkts trigonometrischer Funktionen in eine Summe

Gleichungen mit Formeln mit dreifachen Argumenten lösen

Multiplikation mit einer trigonometrischen Funktion

NICHT-STANDARD-TRIGONOMETRISCHE GLEICHUNGEN

TRIGONOMETRISCHE UNGLEICHHEITEN

AUSWAHL DER WURZELN

PROBLEME FÜR UNABHÄNGIGE LÖSUNG

FAZIT

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

In der Antike entstand die Trigonometrie im Zusammenhang mit den Bedürfnissen der Astronomie, der Vermessung und des Bauwesens, d. h. sie war rein geometrisch und hauptsächlich vertreten<<исчисление хорд>>. Im Laufe der Zeit begannen einige analytische Momente darin einzustreuen. In der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts gab es einen starken Wandel, wonach die Trigonometrie eine neue Richtung einschlug und sich in Richtung mathematischer Analyse verlagerte. Zu dieser Zeit wurden trigonometrische Abhängigkeiten als Funktionen betrachtet.

Trigonometrische Gleichungen sind eines der schwierigsten Themen im Schulmathematikunterricht. Trigonometrische Gleichungen entstehen bei der Lösung von Problemen in der Planimetrie, Stereometrie, Astronomie, Physik und in anderen Bereichen. Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen werden Jahr für Jahr unter zentralisierten Testobjekten gefunden.

Der wichtigste Unterschied zwischen trigonometrischen und algebraischen Gleichungen besteht darin, dass es in algebraischen Gleichungen endlich viele Nullstellen gibt und in trigonometrischen --- endlos, was die Auswahl der Wurzeln stark erschwert. Eine weitere Besonderheit trigonometrischer Gleichungen ist die Nichteindeutigkeit der Form der Aufzeichnung der Antwort.

Diese Arbeit widmet sich Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen.

Thesis besteht aus 6 Abschnitten.

Der erste Abschnitt bietet grundlegende theoretische Informationen: Definition und Eigenschaften von trigonometrischen und inversen trigonometrischen Funktionen; Wertetabelle trigonometrischer Funktionen für einige Argumente; Ausdruck trigonometrischer Funktionen in Form anderer trigonometrischer Funktionen, was für die Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke, insbesondere solcher mit inversen trigonometrischen Funktionen, sehr wichtig ist; abgesehen von der Hauptsache trigonometrische Formeln, bekannt aus dem Schulunterricht, sind Formeln, die Ausdrücke mit inversen trigonometrischen Funktionen vereinfachen.

Der zweite Abschnitt skizziert die grundlegenden Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen. Die Lösung elementarer trigonometrischer Gleichungen, die Methode der Faktorisierung, Methoden zur Reduzierung trigonometrischer Gleichungen auf algebraische werden berücksichtigt. Aufgrund der Tatsache, dass die Lösungen trigonometrischer Gleichungen auf verschiedene Weise geschrieben werden können und die Form dieser Lösungen es uns nicht ermöglicht, sofort festzustellen, ob diese Lösungen gleich oder unterschiedlich sind, was kann<<сбить с толку>> Beim Lösen von Tests wird das allgemeine Schema zur Lösung trigonometrischer Gleichungen berücksichtigt und die Transformation von Gruppen allgemeiner Lösungen trigonometrischer Gleichungen im Detail betrachtet.

Im dritten Abschnitt werden nicht standardisierte trigonometrische Gleichungen betrachtet, deren Lösungen auf einem funktionalen Ansatz basieren.

Der vierte Abschnitt befasst sich mit trigonometrischen Ungleichungen. Methoden zur Lösung elementarer trigonometrischer Ungleichungen, sowohl auf dem Einheitskreis als auch grafisch, werden detailliert betrachtet. Beschrieben werden der Lösungsprozess nicht elementarer trigonometrischer Ungleichungen durch elementare Ungleichungen und die den Schülern bereits bekannte Intervallmethode.

Im fünften Abschnitt werden die schwierigsten Aufgaben vorgestellt: Wenn nicht nur die trigonometrische Gleichung gelöst werden muss, sondern auch aus den gefundenen Wurzeln, wählen Sie die Wurzeln aus, die eine Bedingung erfüllen. In diesem Abschnitt finden Sie Lösungen zu typischen Problemen bei der Auswahl von Wurzeln. Die notwendigen theoretischen Informationen für die Auswahl von Wurzeln werden gegeben: Aufteilen der Menge der ganzen Zahlen in disjunkte Teilmengen, Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen (durchscheinend).

Der sechste Abschnitt stellt Aufgaben zur eigenständigen Lösung in Form eines Tests vor. Die 20 Testaufgaben enthalten die schwierigsten Aufgaben, die während des zentralisierten Tests auftreten können.

Elementare trigonometrische Gleichungen

Elementare trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen der Form, wobei eine der trigonometrischen Funktionen ist:,,,.

Elementare trigonometrische Gleichungen haben unendlich viele Wurzeln. Zum Beispiel erfüllen die folgenden Werte die Gleichung:,, usw. Die allgemeine Formel, mit der alle Wurzeln der Gleichung gefunden werden, lautet wie folgt:

Hier kann es beliebige ganzzahlige Werte annehmen, von denen jeder einer bestimmten Wurzel der Gleichung entspricht; in dieser Formel (sowie in anderen Formeln, mit denen elementare trigonometrische Gleichungen gelöst werden) heißen Parameter... Sie schreiben normalerweise auf und betonen dabei, dass der Parameter beliebige ganzzahlige Werte annehmen kann.

Die Lösungen der Gleichung, wobei, werden durch die Formel gefunden

Die Gleichung wird gelöst durch Anwendung der Formel

und die Gleichung lautet nach der Formel

Wir beachten insbesondere einige Sonderfälle elementarer trigonometrischer Gleichungen, bei denen die Lösung ohne Verwendung allgemeiner Formeln geschrieben werden kann:

Bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen spielt die Periode trigonometrischer Funktionen eine wichtige Rolle. Daher stellen wir zwei nützliche Sätze vor:

Satz Wenn --- die Hauptperiode der Funktion ist, dann ist die Zahl die Hauptperiode der Funktion.

Die Perioden der Funktionen und heißen kommensurabel, wenn es natürliche Zahlen gibt und so.

Satz Wenn die periodischen Funktionen und, kommensurable und haben, dann haben sie eine gemeinsame Periode, die die Periode der Funktionen,, ist.

Der Satz sagt, was die Periode der Funktion ist, und ist nicht unbedingt die Hauptperiode. Zum Beispiel ist die Hauptperiode der Funktionen und --- und die Hauptperiode ihrer Produktion ist ---.

Einführen eines Hilfsarguments

Durch Standardkonvertierung von Ausdrücken der Form ist der folgende Trick: lass --- Injektion gegeben durch Gleichheiten , ... Für jeden beliebigen Winkel existiert. Auf diese Weise . Wenn, oder,, in anderen Fällen.

Schema zum Lösen trigonometrischer Gleichungen

Das Hauptschema, an dem wir uns beim Lösen trigonometrischer Gleichungen orientieren werden, lautet wie folgt:

Lösung gegebene Gleichung reduziert sich auf das Lösen elementarer Gleichungen. Lösungswege --- Transformationen, Faktorisierung, Ersetzen von Unbekannten. Der Leitgedanke ist, Wurzeln nicht zu verlieren. Dies bedeutet, dass wir beim Übergang zur nächsten Gleichung(en) nicht das Auftreten unnötiger (fremder) Wurzeln befürchten, sondern uns nur darum kümmern, dass jede nachfolgende Gleichung unserer "Kette" (oder ein Satz von Gleichungen im Fall einer Verzweigung) ist eine Folge des Vorherigen. Eine der möglichen Methoden zum Auswählen von Wurzeln ist die Überprüfung. Wir stellen gleich fest, dass bei trigonometrischen Gleichungen die Schwierigkeiten bei der Wurzelauswahl mit der Verifikation in der Regel im Vergleich zu algebraischen Gleichungen stark zunehmen. Schließlich muss man eine Serie mit unendlich vielen Mitgliedern prüfen.

Besonders hervorzuheben ist das Ersetzen von Unbekannten bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen. In den meisten Fällen wird nach der erforderlichen Ersetzung eine algebraische Gleichung erhalten. Außerdem sind Gleichungen nicht so selten, dass sie, obwohl sie trigonometrisch sind, äußeres Erscheinungsbild, im Wesentlichen sind sie es nicht, da nach dem ersten Schritt --- Ersatz Variablen --- werden algebraisch, und die Rückkehr zur Trigonometrie erfolgt erst beim Lösen elementarer trigonometrischer Gleichungen.

Lassen Sie uns noch einmal daran erinnern: Die Ersetzung des Unbekannten sollte so schnell wie möglich erfolgen, die nach dem Ersetzen erhaltene Gleichung muss bis zum Ende gelöst werden, einschließlich der Phase der Auswahl der Wurzeln, und erst dann zum ursprünglichen Unbekannten zurückkehren.

Eines der Merkmale trigonometrischer Gleichungen ist, dass die Antwort in vielen Fällen auf unterschiedliche Weise geschrieben werden kann. Sogar um die Gleichung zu lösen die Antwort kann wie folgt geschrieben werden:

1) in Form von zwei Serien: , , ;

2) in Standardform, die eine Kombination der obigen Serien ist:,;

3) seit , dann kann die Antwort geschrieben werden als ,. (Zukünftig bedeutet das Vorhandensein des Parameters oder im Antwortdatensatz automatisch, dass dieser Parameter alle möglichen ganzzahligen Werte akzeptiert. Ausnahmen werden diskutiert.)

Offensichtlich schöpfen die drei aufgeführten Fälle nicht alle Möglichkeiten aus, die Antwort auf die betrachtete Gleichung zu erfassen (es gibt unendlich viele davon).

Zum Beispiel für die Gleichheit ... Daher können wir in den ersten beiden Fällen, wenn, durch ersetzen .

Normalerweise wird die Antwort auf der Grundlage von Absatz 2 geschrieben. Es ist nützlich, sich an die folgende Empfehlung zu erinnern: Wenn die Arbeit nicht mit der Lösung der Gleichung endet, ist es immer noch notwendig, zu recherchieren, Wurzeln auszuwählen, dann die bequemste Form von Notation wie in Absatz 1 angegeben. (Eine ähnliche Empfehlung sollte für die Gleichung gegeben werden.)

Betrachten wir ein Beispiel, um das oben Gesagte zu veranschaulichen.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Der offensichtlichste Weg ist der folgende. Diese Gleichung teilt sich in zwei: und. Wenn wir jeden von ihnen lösen und die erhaltenen Antworten kombinieren, werden wir finden.

Ein anderer Weg. Seitdem ersetzt und nach den Grad-Reduktions-Formeln. Nach kleinen Transformationen erhalten wir, woher .

Auf den ersten Blick hat die zweite Formel keine besonderen Vorteile gegenüber der ersten. Wenn wir jedoch zum Beispiel nehmen, stellt sich heraus, dass, d.h. die Gleichung hat eine Lösung, während uns der erste Weg zur Antwort führt ... "Sehen" und beweisen Sie Gleichheit nicht so einfach.

Antworten. .

Transformation und Vereinheitlichung von Gruppen gemeinsamer Lösungen trigonometrischer Gleichungen

Wir werden überlegen arithmetische Progression sich unendlich in beide Richtungen ausdehnen. Die Mitglieder dieser Progression können in zwei Gruppen von Mitgliedern unterteilt werden, die sich rechts und links von einem Mitglied befinden, das als zentrales oder Null-Mitglied der Progression bezeichnet wird.

Wenn wir eines der Mitglieder der unendlichen Progression mit einer Nullnummer fixieren, müssen wir für alle verbleibenden Mitglieder eine doppelte Nummerierung durchführen: positiv für Mitglieder, die sich rechts von Null befinden, und negativ für Mitglieder, die sich links von Null befinden.

Im allgemeinen Fall, wenn die Differenz der Progression der Nullterm ist, lautet die Formel für jeden (ten) Term der unendlichen arithmetischen Progression:

Formeltransformationen für jeden Term einer unendlichen arithmetischen Folge

1. Addieren oder subtrahieren wir die Differenz der Progression zum Nullterm, dann ändert sich die Progression davon nicht, sondern nur der Nullterm verschiebt sich, d.h. die Nummerierung der Mitglieder wird geändert.

2. Wird der Koeffizient an einer Variablen mit multipliziert, so führt dies nur zu einer Vertauschung der rechten und linken Mitgliedergruppe.

3. Wenn aufeinanderfolgende Mitglieder einer unendlichen Progression

zum Beispiel,,, ...,, machen die zentralen Elemente von Progressionen mit der gleichen Differenz gleich:

dann drücken eine Progression und eine Folge von Progressionen dieselben Zahlen aus.

Beispiel Die Zeile kann durch die folgenden drei Zeilen ersetzt werden:,,.

4. Wenn unendliche Reihen mit derselben Differenz zentrale Gliederzahlen haben, die mit einer Differenz eine arithmetische Reihe bilden, dann können diese Reihen durch eine Reihe mit einer Differenz und mit einem zentralen Term gleich einem der zentralen Glieder dieser Reihen ersetzt werden , dh wenn

dann werden diese Progressionen zu einem kombiniert:

Beispiel ,,, beide werden zu einer Gruppe zusammengefasst, da .

Um Gruppen mit gemeinsamen Lösungen in Gruppen umzuwandeln, werden gemeinsame Lösungen ohne diese Gruppen in Gruppen mit einer gemeinsamen Periode zerlegt und dann versucht, die resultierenden Gruppen zu kombinieren, um doppelte zu vermeiden.

Faktorisierung

Die Faktorisierungsmethode ist wie folgt: if

dann eine beliebige Lösung der Gleichung

ist die Lösung des Gleichungssystems

Die umgekehrte Aussage trifft im Allgemeinen nicht zu: Nicht jede Lösung einer Menge ist eine Lösung einer Gleichung. Dies liegt daran, dass Lösungen einzelner Gleichungen nicht in den Bereich der Funktion aufgenommen werden dürfen.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Verwenden der Hauptfunktion trigonometrische Identität, kann die Gleichung in der Form dargestellt werden

Antworten. ; .

Umrechnung der Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Wir wenden die Formel an, wir erhalten die äquivalente Gleichung

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. In diesem Fall sollten Sie vor der Anwendung der Formeln für die Summe trigonometrischer Funktionen die Reduktionsformel verwenden ... Als Ergebnis erhalten wir die äquivalente Gleichung

Antworten. , .

Lösen von Gleichungen durch Bilden des Produkts trigonometrischer Funktionen in eine Summe

Beim Lösen einer Reihe von Gleichungen werden Formeln verwendet.

Beispiel Löse die Gleichung

Lösung.

Antworten. , .

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir eine äquivalente Gleichung:

Antworten. .

Gleichungen mit Gradreduktionsformeln lösen

Formeln spielen eine Schlüsselrolle bei der Lösung einer Vielzahl trigonometrischer Gleichungen.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir eine äquivalente Gleichung.

Antworten. ; .

Gleichungen mit Formeln mit dreifachen Argumenten lösen

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Wir wenden die Formel an, wir erhalten die Gleichung

Antworten. ; .

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Wenden wir die Formeln zur Absenkung des Grades an, erhalten wir: ... Bewerben erhalten wir:

Antworten. ; .

Gleichheit der gleichen trigonometrischen Funktionen

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung.

Antworten. , .

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Lassen Sie uns die Gleichung transformieren.

Antworten. .

Beispiel Es ist bekannt, dass und die Gleichung

Finden Sie den Betrag.

Lösung. Aus der Gleichung folgt

Antworten. .

Betrachten Sie Summen der Form

Diese Summen können durch Multiplikation und Division durch ein Produkt in ein Produkt umgewandelt werden, dann erhalten wir

Diese Technik kann verwendet werden, um einige trigonometrische Gleichungen zu lösen, aber es sollte beachtet werden, dass dadurch externe Wurzeln auftreten können. Hier ist eine Verallgemeinerung dieser Formeln:

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Man sieht, dass die Menge eine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Daher führt das Multiplizieren der linken und rechten Seite der Gleichung mit nicht zum Auftreten zusätzlicher Wurzeln.

Wir haben .

Antworten. ; .

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Wir multiplizieren die linke und rechte Seite der Gleichung mit und wenden die Formeln zur Transformation des Produkts trigonometrischer Funktionen in eine Summe an, wir erhalten

Diese Gleichung entspricht einer Kombination von zwei Gleichungen und, woher und.

Da die Wurzeln der Gleichung nicht die Wurzeln der Gleichung sind, sollten wir aus den erhaltenen Lösungssätzen ausschließen. Es bedeutet, dass im Set ausgeschlossen werden muss.

Antworten. und , .

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren:

Die Gleichung wird geschrieben als:

Antworten. .

Reduktion trigonometrischer Gleichungen auf algebraische

Quadratisch reduzieren

Hat die Gleichung die Form

dann macht der Ersatz es quadratisch, da () und.

Wenn anstelle eines Begriffs steht, wird der erforderliche Ersatz angegeben.

Die gleichung

reduziert sich auf eine quadratische Gleichung

Darstellung als ... Es ist leicht zu überprüfen, ob dies nicht die Wurzeln der Gleichung sind, und nach einer Substitution wird die Gleichung auf eine quadratische reduziert.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Verschieben Sie es auf die linke Seite, ersetzen Sie es durch und drücken Sie es durch und aus.

Nach Vereinfachungen erhalten wir:. Nach Begriff dividieren durch, Ersetzen:

Zurück zu finden .

Gleichungen, die bezüglich homogen sind

Betrachten Sie eine Gleichung der Form

wobei,,, ...,, reelle Zahlen sind. In jedem Term auf der linken Seite der Gleichung sind die Grade der Monome gleich, dh die Summe der Potenzen von Sinus und Cosinus ist gleich und gleich. Eine solche Gleichung heißt homogen relativ zu und, und die Nummer heißt Einheitlichkeitsindikator .

Es ist klar, dass wenn, dann die Gleichung die Form annehmen wird:

deren Lösungen die Werte sind, für die, d. H. Zahlen,. Die zweite Gleichung in Klammern ist ebenfalls homogen, aber der Grad ist 1 niedriger.

Wenn, dann sind diese Zahlen nicht die Wurzeln der Gleichung.

Wenn wir erhalten:, und die linke Seite von Gleichung (1) nimmt den Wert an.

Sie können also beide Seiten der Gleichung durch dividieren. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung:

die durch Substitution leicht auf algebraisch zurückgeführt werden kann:

Homogene Gleichungen mit Homogenitätsindex 1. Bei haben wir die Gleichung.

Wenn, dann ist diese Gleichung äquivalent zu der Gleichung, woher,.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Diese Gleichung ist homogen ersten Grades. Wir teilen seine beiden Teile in wir erhalten:,,,.

Antworten. .

Beispiel Denn wir erhalten eine homogene Gleichung der Form

Lösung.

Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch dividieren, erhalten wir die Gleichung , die durch Substitution leicht in Quadrat umgewandelt werden kann: ... Wenn , dann hat die Gleichung reelle Wurzeln,. Die ursprüngliche Gleichung hat zwei Gruppen von Lösungen:,,.

Wenn , dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Diese Gleichung ist homogen zweiten Grades. Wir dividieren beide Werte der Gleichung durch, wir erhalten:. Lassen Sie dann,,. ,,; ,,.

Antworten. .

Die Gleichung reduziert sich auf eine Gleichung der Form

Dazu reicht es aus, die Identität zu verwenden

Insbesondere reduziert sich die Gleichung auf eine homogene, wenn sie durch ersetzt wird , dann erhalten wir eine äquivalente Gleichung:

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Wir transformieren die Gleichung in eine homogene:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch , erhalten wir die Gleichung:

Kommen wir dann zur quadratischen Gleichung: , , , , .

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren und berücksichtigen, dass sie positive Werte haben:,,

Lass, dann bekommen wir , , .

Antworten. .

Mit Identitäten gelöste Gleichungen

Es ist hilfreich, die folgenden Formeln zu kennen:

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Unter Verwendung erhalten wir

Antworten.

Wir bieten nicht die Formeln selbst an, sondern eine Möglichkeit, sie abzuleiten:

somit,

Ähnlich,.

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren:

Die Gleichung wird geschrieben als:

Akzeptieren, bekommen wir. ,. Somit

Antworten. .

Generische trigonometrische Substitution

Trigonometrische Gleichung der Form

wo --- rational Funktion mit Formeln -, sowie mit Formeln - kann in Bezug auf die Argumente auf eine rationale Gleichung reduziert werden, wonach die Gleichung in Bezug auf die Verwendung der Formeln der universellen trigonometrischen Substitution auf eine algebraische rationale Gleichung reduziert werden kann

Es ist zu beachten, dass die Verwendung von Formeln zu einer Einengung der ODZ der ursprünglichen Gleichung führen kann, da diese an den Punkten nicht definiert ist, daher ist in solchen Fällen zu prüfen, ob die Winkel die Wurzeln der ursprüngliche Gleichung.

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Je nach Zustand des Problems. Wenn wir die Formeln anwenden und die Substitution vornehmen, erhalten wir

woher und daher.

Gleichungen der Form

Gleichungen der Form, wobei ein Polynom ist, werden durch Ersetzen der Unbekannten gelöst

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Wenn wir eine Substitution vornehmen und dies berücksichtigen, erhalten wir

wo , . --- Fremdwurzel, weil ... Verwurzelte Gleichungen sind.

Nutzung eingeschränkter Funktionen

In der Praxis des zentralisierten Testens ist es nicht so selten, Gleichungen zu finden, deren Lösung auf den begrenzten Funktionen und basiert. Zum Beispiel:

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Da, dann überschreitet die linke Seite nicht und ist gleich wenn

Um Werte zu finden, die beide Gleichungen erfüllen, gehen Sie wie folgt vor. Lassen Sie uns einen von ihnen lösen und dann unter den gefundenen Werten diejenigen auswählen, die den anderen erfüllen.

Beginnen wir mit dem zweiten:,. Dann , .

Es ist klar, dass es nur für gerade Personen sein wird.

Antworten. .

Eine andere Idee wird durch das Lösen der folgenden Gleichung realisiert:

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Lass uns die Eigenschaft benutzen Exponentialfunktion: , .

Addiert man diese Ungleichungen Term für Term, erhält man:

Daher ist die linke Seite dieser Gleichung genau dann gleich, wenn zwei Gleichheiten gelten:

das heißt, er kann die Werte annehmen, und kann die Werte, annehmen.

Antworten. , .

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung.,. Somit, .

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung

Lösung. Bezeichne, dann haben wir aus der Definition der inversen trigonometrischen Funktion und .

Denn dann folgt die Ungleichung aus der Gleichung, d.h. ... Seit und, dann und. Allerdings und deshalb.

Wenn und dann. Da wurde das dann schon früher festgestellt.

Antworten. , .

Beispiel Löse die Gleichung

Lösung. Der Bereich der gültigen Werte der Gleichung sind.

Wir zeigen zunächst, dass die Funktion

Für alle kann es nur positive Werte annehmen.

Stellen wir die Funktion wie folgt dar:.

Seitdem findet es statt, d.h. .

Um die Ungleichung zu beweisen, muss daher gezeigt werden, dass ... Dazu würfeln wir beide Seiten dieser Ungleichung, dann

Die resultierende numerische Ungleichung weist darauf hin. Berücksichtigen wir das auch, dann ist die linke Seite der Gleichung nicht negativ.

Betrachten Sie nun die rechte Seite der Gleichung.

Als , dann

Es ist jedoch bekannt, dass ... Daraus folgt, dass, d.h. die rechte Seite der Gleichung nicht überschreitet. Früher wurde bewiesen, dass die linke Seite der Gleichung nichtnegativ ist, daher kann Gleichheit nur dann vorliegen, wenn beide Seiten gleich sind, und dies ist nur für möglich.

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung

Lösung. Bezeichne und ... Unter Anwendung der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung erhalten wir. Daraus folgt, dass ... Auf der anderen Seite, ... Daher hat die Gleichung keine Wurzeln.

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung:

Lösung. Schreiben wir die Gleichung wie folgt um:

Antworten. .

Funktionale Methoden zur Lösung trigonometrischer und kombinierter Gleichungen

Durch Transformationen lässt sich nicht jede Gleichung auf eine Gleichung der einen oder anderen Standardform reduzieren, für die es existiert spezifische Methode Lösungen. In solchen Fällen erweist es sich als nützlich, solche Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie, Beschränktheit, Parität, Periodizität usw. zu verwenden. Wenn also eine der Funktionen abnimmt und die zweite auf einem Intervall zunimmt, dann hat die Gleichung eine Wurzel in diesem Intervall, diese Wurzel ist eindeutig und kann dann beispielsweise durch Auswahl gefunden werden. Ist die Funktion außerdem nach oben und die Funktion nach unten beschränkt, und außerdem ist die Gleichung äquivalent zum Gleichungssystem

Beispiel Löse die Gleichung

Lösung. Wir transformieren die ursprüngliche Gleichung in die Form

und löse es als Quadratrelativ auf. Dann bekommen wir

Lösen wir die erste Gleichung der Population. Unter Berücksichtigung der Beschränktheit der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Gleichung nur auf einem Segment eine Wurzel haben kann. In diesem Intervall nimmt die Funktion zu und die Funktion sinkt. Wenn diese Gleichung eine Wurzel hat, ist sie daher eindeutig. Wir finden es durch Auswahl.

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung

Lösung. Lass, und , dann kann die ursprüngliche Gleichung als Funktionalgleichung geschrieben werden. Da die Funktion dann ungerade ist. In diesem Fall erhalten wir die Gleichung.

Da und monoton ein ist, ist die Gleichung äquivalent zu der Gleichung, d.h. die eine einzelne Wurzel hat.

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Anhand des Satzes über die Ableitung einer komplexen Funktion ist klar, dass die Funktion abnehmend (Funktion abnehmend, erhöhend, abnehmend). Damit ist klar, dass die Funktion definiert auf, abnehmend. Daher hat diese Gleichung höchstens eine Wurzel. Als , dann

Antworten. .

Beispiel Löse die Gleichung.

Lösung. Betrachten Sie die Gleichung in drei Intervallen.

a) Lass. Dann ist auf diesem Satz die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu einer Gleichung. Welche keine Lösungen im Intervall hat, da , , ein . Auf dem Intervall hat die ursprüngliche Gleichung auch keine Wurzeln, da , ein .

b) Lass. Dann ist auf dieser Menge die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu der Gleichung

deren Wurzeln im Intervall Zahlen sind,,,.

c) Lass. Dann ist auf dieser Menge die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu der Gleichung

Das hat keine Lösungen auf dem Intervall, da und. Auf dem Intervall hat die Gleichung auch keine Lösungen, da , , ein .

Antworten. , , , .

Symmetriemethode

Die Symmetriemethode ist praktisch anzuwenden, wenn die Formulierung der Aufgabe die Forderung nach der Eindeutigkeit der Lösung einer Gleichung, Ungleichung, eines Systems usw. enthält. oder eine genaue Angabe der Anzahl der Lösungen. In diesem Fall sollten Sie eine beliebige Symmetrie der angegebenen Ausdrücke finden.

Dabei ist auch die Vielfalt der unterschiedlichen möglichen Symmetriearten zu berücksichtigen.

Ebenso wichtig ist die strikte Einhaltung der logischen Schritte beim Denken mit Symmetrie.

Normalerweise erlaubt die Symmetrie, nur die notwendigen Bedingungen zu schaffen, und dann ist eine Überprüfung ihrer Angemessenheit erforderlich.

Beispiel Finden Sie alle Werte des Parameters, für die die Gleichung eine eindeutige Lösung hat.

Lösung. Beachten Sie, dass und --- auch Funktion, also ist die linke Seite der Gleichung eine gerade Funktion.

Also wenn --- Lösung Gleichungen, also auch die Lösung der Gleichung. Wenn die einzige Lösung der Gleichung ist, dann notwendig , .

Lass uns auswählen möglich Werte, indem gefordert wird, dass dies die Wurzel der Gleichung ist.

Beachten Sie sofort, dass andere Werte die Bedingung des Problems nicht erfüllen können.

Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob alle Ausgewählten tatsächlich die Bedingung des Problems erfüllen.

Angemessenheit.

1), die Gleichung hat die Form .

2), die Gleichung hat die Form:

Natürlich für alle und ... Daher ist die letzte Gleichung äquivalent zum System:

Damit haben wir bewiesen, dass die Gleichung eine eindeutige Lösung hat.

Antworten. .

Lösung zur Funktionserkundung

Beispiel Beweisen Sie, dass alle Lösungen der Gleichung

Ganze Zahlen.

Lösung. Die Hauptperiode der ursprünglichen Gleichung ist. Daher untersuchen wir diese Gleichung zunächst an einem Segment.

Wir transformieren die Gleichung in die Form:

Mit einem Mikrorechner erhalten wir:

Wenn, dann erhalten wir aus den vorherigen Gleichungen:

Nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben, erhalten wir:.

Die durchgeführten Berechnungen bieten die Möglichkeit, anzunehmen, dass die Wurzeln der zum Segment gehörenden Gleichung und sind.

Die direkte Verifikation bestätigt diese Hypothese. Damit ist bewiesen, dass die Wurzeln der Gleichung nur ganze Zahlen sind.

Beispiel Löse die Gleichung .

Lösung. Finden wir die Hauptperiode der Gleichung. Die Funktion hat eine Hauptperiode gleich. Die Hauptperiode der Funktion ist. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von und gleich. Daher ist die Hauptperiode der Gleichung. Lassen .

Offensichtlich ist eine Lösung der Gleichung. Auf der Pause. Die Funktion ist negativ. Daher sollten andere Wurzeln der Gleichung nur in den Intervallen x und gesucht werden.

Mit Hilfe eines Mikrorechners finden wir zunächst die ungefähren Werte der Wurzeln der Gleichung. Dazu erstellen wir eine Tabelle mit Funktionswerten in Abständen und; d.h. auf Intervalle und.

Die folgenden Hypothesen sind aus der Tabelle leicht ersichtlich: Die Wurzeln der zum Segment gehörenden Gleichung sind Zahlen:; ; ... Die direkte Verifikation bestätigt diese Hypothese.

Antworten. ; ; .

Trigonometrische Ungleichungen mit dem Einheitskreis lösen

Beim Lösen trigonometrischer Ungleichungen der Form, wo ist eine der trigonometrischen Funktionen, ist es zweckmäßig, den trigonometrischen Kreis zu verwenden, um die Lösung der Ungleichung am deutlichsten darzustellen und die Antwort aufzuschreiben. Die Hauptmethode zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen besteht darin, sie auf die einfachsten Ungleichungen dieses Typs zu reduzieren. Nehmen wir ein Beispiel, wie solche Ungleichungen gelöst werden können.

Beispiel Ungleichung lösen.

Lösung. Zeichnen wir einen trigonometrischen Kreis und markieren Sie darauf die Punkte, für die die Ordinate größer ist.

Für die Lösung dieser Ungleichung wird. Es ist auch klar, dass, wenn eine Zahl von einer Zahl aus dem angegebenen Intervall abweicht, dies auch mindestens der Fall ist. Daher müssen Sie nur Lösungen an den Enden des gefundenen Segments hinzufügen. Schließlich stellen wir fest, dass alle Lösungen der ursprünglichen Ungleichung .

Antworten. .

Um Ungleichungen mit Tangente und Kotangens zu lösen, ist das Konzept einer Linie von Tangenten und Kotangenten nützlich. Dies sind die Geraden bzw. (in den Abbildungen (1) und (2)) Tangenten an den trigonometrischen Kreis.

Es ist leicht zu erkennen, dass, wenn Sie einen Strahl mit dem Ursprung im Ursprung bilden und einen Winkel mit der positiven Richtung der Abszissenachse bilden, die Länge des Segments vom Punkt bis zum Schnittpunkt dieses Strahls mit der Linie der Tangenten ist genau gleich der Tangente des Winkels, den dieser Strahl mit der Abszissenachse bildet. Eine ähnliche Beobachtung findet für den Kotangens statt.

Beispiel Ungleichung lösen.

Lösung. Bezeichnen wir, dann nimmt die Ungleichung die Form der einfachsten an:. Betrachten Sie ein Intervall mit einer Länge gleich der kleinsten positiven Periode (LSP) der Tangente. An diesem Abschnitt stellen wir das anhand der Tangentenlinie fest. Denken Sie jetzt daran, was hinzugefügt werden muss, da das NPP eine Funktion ist. So, ... Kehren wir zur Variablen zurück, erhalten wir das.

Antworten. .

Es ist praktisch, Ungleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen unter Verwendung von Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen zu lösen. Wie das geht, zeigen wir an einem Beispiel.

Grafische Lösung trigonometrischer Ungleichungen

Beachten Sie, dass wenn eine periodische Funktion ist, es zur Lösung der Ungleichung notwendig ist, ihre Lösungen in einem Intervall zu finden, dessen Länge gleich der Periode der Funktion ist. Alle Lösungen der ursprünglichen Ungleichung bestehen aus den gefundenen Werten sowie allen, die sich von den gefundenen durch eine ganzzahlige Anzahl von Perioden der Funktion unterscheiden.

Betrachten Sie die Lösung der Ungleichung ().

Denn für die Ungleichung gibt es keine Lösungen. Wenn, dann ist die Menge der Lösungen der Ungleichung --- ein Haufen alles reelle Zahlen.

Lassen . Die Sinusfunktion hat die kleinste positive Periode, daher kann die Ungleichung zuerst auf einem Längensegment, zum Beispiel auf einem Segment, gelöst werden. Wir bauen Graphen von Funktionen und (). sind durch Ungleichungen der Form gegeben: und, woher,

In diesem Beitrag wurden Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen sowohl auf der einfachsten als auch auf der Olympiade-Ebene betrachtet. Die wichtigsten Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen wurden zudem als spezifisch angesehen --- charakteristisch nur für trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen, --- und allgemeine funktionale Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, wie sie auf trigonometrische Gleichungen angewendet werden.

Die Arbeit bietet grundlegende theoretische Informationen: Definition und Eigenschaften von trigonometrischen und inversen trigonometrischen Funktionen; Ausdruck trigonometrischer Funktionen in Form anderer trigonometrischer Funktionen, was für die Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke, insbesondere solcher mit inversen trigonometrischen Funktionen, sehr wichtig ist; neben den trigonometrischen Grundformeln, die aus dem Schulunterricht gut bekannt sind, gibt es Formeln, die Ausdrücke mit inversen trigonometrischen Funktionen vereinfachen. Die Lösung elementarer trigonometrischer Gleichungen, die Methode der Faktorisierung, Methoden zur Reduzierung trigonometrischer Gleichungen auf algebraische werden berücksichtigt. Aufgrund der Tatsache, dass die Lösungen trigonometrischer Gleichungen auf verschiedene Weise geschrieben werden können und die Form dieser Lösungen es uns nicht ermöglicht, sofort festzustellen, ob diese Lösungen gleich oder unterschiedlich sind, wird ein allgemeines Schema zur Lösung trigonometrischer Gleichungen betrachtet und die Die Transformation von Gruppen allgemeiner Lösungen trigonometrischer Gleichungen wird im Detail betrachtet. Methoden zur Lösung elementarer trigonometrischer Ungleichungen, sowohl auf dem Einheitskreis als auch grafisch, werden detailliert betrachtet. Beschrieben werden der Lösungsprozess nicht elementarer trigonometrischer Ungleichungen durch elementare Ungleichungen und die den Schülern bereits bekannte Intervallmethode. Die Lösungen typischer Aufgaben zur Wurzelauswahl werden angegeben. Die notwendigen theoretischen Informationen für die Auswahl von Wurzeln werden gegeben: Aufteilen der Menge der ganzen Zahlen in disjunkte Teilmengen, Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen (durchscheinend).

Die Ergebnisse dieser Arbeit können verwendet werden als Lehrmaterial bei der Anfertigung von Haus- und Abschlussarbeiten, bei der Vorbereitung von Wahlfächern für Schüler, können die gleichen Arbeiten zur Vorbereitung auf Aufnahmeprüfungen und zentrale Prüfungen verwendet werden.

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