Trigonometrische Gleichungen - Formeln, Lösungen, Beispiele. Lektion "ArctGENNCE UND ARKKOTHENCENZ. Lösung der Gleichungen TGX \u003d A, CTGX \u003d A" Lösung des CTG X a Gleichung

Mit dem Zentrum an Punkt a.
α - Winkel, ausgedrückt in Radiden.

Tangente ( tg α.) - Es ist eine trigonometrische Funktion in Abhängigkeit von dem Winkel α zwischen dem Hypothenooma und einer starren Dreieckchathe, gleich dem Verhältnis der Länge der entgegengesetzten Kategorie | BC | in die Länge der angrenzenden Kategorie | ab | .

Kotnenz ( cTG α.) - Es ist eine trigonometrische Funktion, abhängig vom Winkel α zwischen dem Hypothrooma und der Kathe des rechteckigen Dreiecks, gleich dem Verhältnis der Länge der angrenzenden Kategorie | AB | zur Länge der entgegengesetzten Kategorie | BC | .

Tangente

Wo n. - Ganzes.

In der westlichen Literatur ist Tangent als Tangent als:
.
;
;
.

Tangente Funktionsdiagramm, Y \u003d TG x

Kotangens

Wo n. - Ganzes.

In der westlichen Literatur wird Kothanns wie folgt angezeigt:
.
Die folgende Notation wird ebenfalls angenommen:
;
;
.

Cotanence-Funktionsgrafik, Y \u003d CTG x

Eigenschaften von Tangent und Kotnän

Periodizität

Funktionen y \u003d. tg x. und y \u003d. cTG X. Periodisch mit einem Zeitraum π.

Parität

Die Funktionen von Tangente und Kotangenes sind seltsam.

Felder Definition und Werte, Erhöhung, Abnahme

Die Funktionen von Tangente und Cotangenes sind auf ihrem Definitionsbereich kontinuierlich (siehe Kontinuitätsnachweis). Die wichtigsten Eigenschaften von Tangent und Kotnenz werden in der Tabelle dargestellt ( n. - ganz).

Formuläre

Ausdrücke durch Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Tangente und Cotangent-Formeln aus dem Betrag und der Unterschied

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu bekommen

Tangente arbeiten

Die Formel der Summe und der Unterschied der Tangenten

Diese Tabelle präsentiert die Werte von Tangenten und Katangern bei einigen Werten des Arguments.

Integrierte Ausdrücke

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
N-TH-Bestellableitung durch Variable X aus Funktion:
.
Ausgabeformeln für Tangente \u003e\u003e\u003e; Für Cotanza \u003e\u003e\u003e.

Integrale

Zersetzung in den Rängen

Um eine Zersetzung von Tangent in Grad X zu erhalten, müssen Sie mehrere Zersetzungsmitglieder in einer Power-Zeile für Funktionen annehmen sin X. und cos x. Und teilen Sie diese Polynome aufeinander ,. In diesem Fall werden die folgenden Formeln erhalten.

Beim.

beim.
Wo B N. - Zahlen Bernoulli. Sie werden entweder aus dem wiederkehrenden Verhältnis bestimmt:
;
;
wo.
Entweder von der Laplace-Formel:

Umgekehrte Funktionen

Inverse Funktionen zu Tangente und Kotangent sind Arctanens bzw. Arkkotanenz.

Arctgennes, Arctg.

wo n. - Ganzes.

Arkkothangenes, arcctg.

wo n. - Ganzes.

Verweise:
IM. Bronstein, k.a. SEMENDYAEV, ein Referenzbuch zur Mathematik für Ingenieure und Studenten der Begleiter, "LAN", 2009.
Korn, Mathematikverzeichnis für Wissenschaftler und Ingenieure, 2012.

Bisher erhielten die Studierenden nach dem Programm eine Idee, trigonometrische Gleichungen zu lösen, die mit den Konzepten von Arkkosinus und Arksinus vertraut sind, Beispiele für Lösungen der COS T \u003d A- und Sin-Gleichungen. Betrachten Sie in dieser Videosprache die Lösung der Gleichungen TG x \u003d a und ctg x \u003d a.

Berücksichtigen Sie zu Beginn des Studiums dieses Themas die Gleichungen TG x \u003d 3 und TG x \u003d - 3. Wenn die TG X \u003d 3-Gleichung mit der Grafik gelöst wird, werden wir sehen, dass die Kreuzung der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3 hat unendliche Set-Lösungen, wobei x \u003d x 1 + πk ist. Der Wert X 1 ist der Koordinaten-X-Punkt der Kreuzung der Funktionen der Funktionen y \u003d Tg x und y \u003d 3. Der Autor stellt das Konzept von Arctangent ein: ARCTG 3 ist die Anzahl, von denen TG 3 ist, und diese Zahl gehört zu das Intervall von -π / 2 bis π / 2. Unter Verwendung des Konzepts von Arctangent kann die Lösung der TG X \u003d 3-Gleichung in das Formular X \u003d ARCTG 3 + πK geschrieben werden.

Durch Analogie wird die TG X \u003d - 3-Gleichung gemäß den Funktionen der Funktionen y \u003d Tg x und y \u003d - 3 gelöst. Es ist ersichtlich, dass die Punkte der Kreuzung von Graphen, und folglich die Lösungen der Gleichungen werden x \u003d x 2 + πk sein. Mit Hilfe von Arctangent kann die Lösung als x \u003d arCTG (- 3) + πk geschrieben werden. In der folgenden Abbildung finden Sie in der ARCTG (- 3) \u003d - arCTG 3.

Die allgemeine Definition von Arctangent sieht aus wie folgt: Arctangent A wird eine solche Zahl von der Lücke von -π / 2 bis π / 2 bezeichnet, deren Tangen entspricht einem. Dann ist durch die Lösung des Tg X \u003d eine Gleichung x \u003d arCTG A + πk.

Der Autor bringt ein Beispiel 1. Finden Sie die ArctG-Expressionslösung. Wir schätzen: Die Anzahl von X ist x, dann ist TG X gleich einer bestimmten Anzahl, wobei X zum Schnitt von -π / 2 bis π / 2 gehört. Wie in den Beispielen in früheren Themen verwenden wir die Wertetabelle. Auf dieser Tabelle entspricht die Tangens dieser Zahl x \u003d π / 3. Wir schreiben die Lösung der Arctanhancens-Nummer-Gleichung, die π / 3 ist, π / 3 gehört zu dem Intervall von -π / 2 bis π / 2.

Beispiel 2 - Berechnen Sie das Argangent einer negativen Zahl. Verwenden der ARCTG-Gleichstellung (- a) \u003d - arCTG A, führen wir den X-Wert ein. Analog zu Beispiel 2 Schreiben Sie den Wert von X, der zu dem Segment von -π / 2 bis π / 2 gehört. Auf der Tabelle der Werte finden wir das x \u003d π / 3, daher tg x \u003d - π / 3. Die Antwort der Gleichung ist π / 3.

Beispiel 3. Senden Sie die Gleichung tg x \u003d 1. Schreiben Sie dieses x \u003d arCTG 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert von Tg 1 x \u003d π / 4, daher arCTG 1 \u003d π / 4. Wir ersetzen diesen Wert auf die ursprüngliche X-Formel und schreiben die Antwort x \u003d π / 4 + πk.

Beispiel 4: Berechnen Sie tg x \u003d - 4.1. In diesem Fall x \u003d arCTG (- 4.1) + πk. weil Es ist nicht möglich, den ArCTG-Wert in diesem Fall zu finden, die Antwort sieht aus wie x \u003d arCTG (- 4.1) + πk.

In Beispiel 5 ist die Lösung der Ungleichung Tg x\u003e 1. zur Lösung, Baudiagramme von Funktionen y \u003d Tg x und y \u003d 1. Wie in der Figur gesehen werden kann, schneiden diese Graphen an den Punkten x \u003d π / 4 + πk . weil In diesem Fall wählen Tg X\u003e 1 in der Tabelle den Bereich des Tangensoids, der über dem Graphen Y \u003d 1 liegt, wobei X zu dem Intervall von π / 4 bis π / 2 gehört. Antwort als π / 4 + πk schreiben< x < π/2 + πk.

Betrachten Sie als nächstes den CTG X \u003d eine Gleichung. Die Abbildung zeigt Diagramme der Funktionen y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - A, die eine Vielzahl von Schnittpunkten aufweisen. Entscheidungen können als x \u003d x 1 + πk geschrieben werden, wobei X 1 \u003d ARCCTG A und X \u003d X 2 + πK, wobei X 2 \u003d ARCCTG (- A). Es wird angemerkt, dass x 2 \u003d π - x 1. Daraus folgt die Gleichheit von ARCCTG (- a) \u003d π - arcctg a. Als nächstes wird der Definition von Arkkothesenz gegeben: Arkkothangent A wird als eine solche Zahl von der Lücke von 0 bis π bezeichnet, deren Katangent gleich einem ist. Die Lösung des CTG X \u003d A Gleichung wird in das Formular geschrieben: X \u003d ARCCTG A + πK.

Am Ende des Video-Tutorials erfolgt ein weiterer wichtiger Ausgang - der Ausdruck CTG X \u003d A kann in das Formular Tg X \u003d 1 / A geschrieben werden, vorausgesetzt, dass A nicht Null ist.

Textdekodierung:

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen TG x \u003d 3 und TG x \u003d - 3. Lösen der ersten Gleichung grafisch, sehen wir, dass die Diagramme der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3 unendlich viele Kreuzungspunkte haben, die das schreiben werden Abszendungen in Form von

x \u003d x 1 + πk, wobei X 1 die Abszisse der Kreuzungspunkte des geraden Y \u003d 3 mit dem Hauptzweig von Tangentialen (Fig. 1) ist, für die die Bezeichnung erfunden wurde

arctg 3 (arctgernes drei).

Wie versteht man Arctg 3?

Diese Zahl, deren Tangent 3 ist und diese Zahl ist, gehört zum Intervall (-;). Dann können alle Wurzeln der TG-Gleichung x \u003d 3 von der Formel x \u003d arCTG 3 + πk geschrieben werden.

In ähnlicher Weise kann die Lösung der Tg-Gleichung x \u003d - 3 in das Formular x \u003d x 2 + πk geschrieben werden, wobei X 2 die Abszisse der Kreuzungspunkte des geraden Y \u003d - 3 mit dem Hauptzweig der Tangentialen ( Fig. 1), für die die Arctg-Bezeichnung erfunden wurde (- 3) (- 3) (arktanger minus drei). Dann können alle Wurzeln der Gleichung von der Formel: x \u003d arCTG (-3) + πk aufgenommen werden. Die Abbildung zeigt, dass ARCTG (- 3) \u003d - arCTG 3.

Wir formulieren die Definition von Arctangent. Arctangent A wird eine solche Zahl von der Lücke (-;) genannt, deren Tangent gleich einem ist.

Verwenden Sie oft Gleichheit: ARCTG (-A) \u003d -ARCTG A, was für jeden gültig ist a.

Wir werden die Definition von Arctangent kennen, wir werden eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung treffen

tG x \u003d A: Die Gleichung tg x \u003d a hat die Lösung x \u003d arCTG A + πk.

Beispiele in Betracht ziehen.

Beispiel 1. Kostenloser Arctg.

Entscheidung. Lassen Sie ArctG \u003d X, dann TGX \u003d und Xε (-;). Zeigen Sie die Werte-Tabelle folglich x \u003d, da Tg \u003d und ε (-;).

Also, arctg \u003d.

Beispiel 2. Berechnen Sie ARCTG (-).

Entscheidung. Verwenden der ArCTG-Gleichstellung (- a) \u003d - arCTG A, Write:

arCTG (-) \u003d - Arctg. Sei - arctg \u003d x, dann - tgh \u003d und xε (-;). Folglich X \u003d, da Tg \u003d und ε (-;). Tischwerte anzeigen.

Also - arCTG \u003d - TGX \u003d -.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung TGX \u003d 1.

1. Wir schreiben die Lösungsformel auf: X \u003d Arctg 1 + πk.

2. Finden Sie die Bedeutung von Arctangent

seit tg \u003d. Tischwerte anzeigen.

So arctg1 \u003d.

3. Setzen Sie den in der Entscheidungsformel gefundenen Wert ein:

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung TGX \u003d - 4.1 (Tangent X ist gleich minus vier Ganzzahl ein Zehntel).

Entscheidung. Wir schreiben die Lösungsformel: x \u003d arCTG (- 4.1) + πk.

Wir können den Wert von Arctangent nicht berechnen, daher bleibt die Lösung der Gleichung in der resultierenden Form.

Beispiel 5. Lösen Sie die Ungleichung TGX 1.

Entscheidung. Wir werden grafisch entscheiden.

1. Tangentialer bauen.

y \u003d tgh und gerade y \u003d 1 (Abb.2). Sie kreuzen sich an den Punkten der Spezies x \u003d + πk.

2. Wir heben den Spalt der X-Achse hervor, auf dem sich der Hauptzweig des Tangentialen über der geraden Linie y \u003d 1 befindet, da unter dem Zustand TGX 1. Dies ein Intervall (;) ist.

3. Verwenden Sie die Häufigkeit der Funktion.

NIVSTLY 2. Y \u003d TG X ist eine periodische Funktion mit der Hauptperiode π.

Angesichts der Häufigkeit der Funktion y \u003d tgx schreiben wir die Antwort:

(;). Die Antwort kann in Form von doppelten Ungleichheit geschrieben werden:

Lassen Sie uns zur CTG X \u003d eine Gleichung wenden. Stellen Sie sich eine grafische Darstellung der Lösen der Gleichung für ein positives und negatives A (Abb. 3) vor.

Grafiken der Funktionen y \u003d ctg x und y \u003d auch

y \u003d ctg x und y \u003d -a

es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte, deren Abzüge sind:

x \u003d x 1 +, wobei X 1 der Abszisse-Punkt der Kreuzung von direktem Y \u003d A mit dem Hauptzweig von Tangentialen und ist und

x 1 \u003d ArcStg A;

x \u003d x 2 +, wobei x 2 der Abszisse-Punkt der Kreuzung ist

y \u003d - und mit dem Hauptzweig von Tangentzoiden und X 2 \u003d ArcStg (- A).

Beachten Sie, dass x 2 \u003d π - x 1. Also schreiben wir wichtige Gleichheit:

arcStg (-a) \u003d π - ArcStg A.

Wir formulieren die Definition: Arkkothangent A wird als eine solche Zahl aus dem Intervall (0; π) bezeichnet, deren Catangent entspricht, der gleich a ist.

Die Lösung der CTG-Gleichung X \u003d A ist in das Formular geschrieben: X \u003d ArcStg A +.

Beachten Sie, dass die CTG-Gleichung X \u003d A in den Sinn umgewandelt werden kann

tG x \u003d, für die Ausnahme, wenn a \u003d 0.

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Gleichheit, das eine unbekannte trigonometrische Funktion enthält (`sin x, cos x, tg x` oder` ctg x`) wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, wir werden ihre Formeln weiter berücksichtigen.

Der einfachste wird als Gleichungen genannt `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, wo` x` der Winkel ist, um zu finden, `A` - eine beliebige Nummer. Wir schreiben für jeden von ihnen die Formelwurzeln.

1. Gleichung `sin x \u003d a`.

Mit `| A |\u003e 1 'keine Lösungen haben.

Mit `| a | \\ Leq 1` hat eine unendliche Anzahl von Lösungen.

Formel-Wurzeln: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in z`

2. Gleichung `cos x \u003d a`

Mit `| A |\u003e 1` - Wie im Fall von Sinus gibt es keine Lösungen zwischen gültigen Zahlen.

Mit `| a | \\ Leq 1` hat unendliche Set-Lösungen.

Formel-Roots: `x \u003d \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in z`

Private Fälle für Sinus und Cosinus in Charts.

3. Gleichung `TG x \u003d A`

Es hat einen unendlichen Satz von Lösungen für alle Werte von `a`.

Formel der Wurzeln: `x \u003d arCTG a + \\ pi n, n \\ in z`

4. Gleichung `ctg x \u003d a`

Es hat auch unendliche Set-Lösungen für alle Werte von `a`.

Formel-Roots: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in z`

Die Formeln der Wurzeln von trigonometrischen Gleichungen in der Tabelle

Für Sinus:
Für Cosinus:
Für Tangente und Kotnenz:
Formeln zum Lösen von Gleichungen, die inversen trigonometrische Funktionen enthalten:

Verfahren zum Lösen von trigonometrischen Gleichungen

Die Lösung einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Stufen:

• durch Umwandeln in den einfachsten;
• um die daraus resultierende Gleichung zu lösen, unter Verwendung der obigen schriftlichen Formeln der Wurzeln und Tabellen.

Berücksichtigen Sie die grundlegenden Methoden der Lösungsmethoden in den Beispielen.

Algebraische Methode.

Bei dieser Methode wird die Variable ersetzt und seine Substitution in Gleichstellung.

Beispiel. Gleichung der Gleichung: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`

wir ersetzen einen Ersatz: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, dann` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`

wir finden die Wurzeln: y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, von denen zwei Fälle folgen:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm Arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Antwort: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Faktorisierung.

Beispiel. Gleichung lösen: `sin x + cos x \u003d 1`.

Entscheidung. Verschieben Sie alle Mitglieder der Gleichheit: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Verwenden, verwandeln und zersetzen wir den linken Teil:

`sin x - 2Sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2Sin X / 2 COS X / 2-2SIN ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2Sin X / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

1. `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arCTG 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Antwort: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Zu einer homogenen Gleichung bringen

Anfangs sollte diese trigonometrische Gleichung an einen von zwei Arten gebracht werden:

"Eine Sin x + b cos x \u003d 0 (homogene Gleichung des ersten Grades) oder ein Sin ^ 2 x + B Sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (homogene Gleichung des zweiten Grades).

Dann teilen Sie beide Teile auf "cos x \\ ne 0" - für den ersten Fall und auf` cos ^ 2 x \\ ne 0` - - für den zweiten. Wir erhalten die Gleichung relativ zu Tg X`: `a Tg X + B \u003d 0 und ein TG ^ 2 x + b Tg x + c \u003d 0`, die Sie bekannte Methoden lösen müssen.

Beispiel. Gleichung der Gleichung: `2 Sin ^ 2 x + sin x x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`

Entscheidung. Wir schreiben die rechte Seite als "1 \u003d Sin ^ 2 x + cos ^ 2 x":

`2 sin ^ 2 x + sin x x - cos ^ 2 x \u003d` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`

`2 Sin ^ 2 x + Sin x cos x - cos ^ 2 x-'Sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung des zweiten Grades, wir teilen ihre linke und rechte Teile für "cos ^ 2 x \\ ne 0", wir bekommen:

\\ Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0` Wir führen den Ersatz `TG x \u003d t", als Ergebnis von T ^ 2 + T - 2 \u003d 0`. Die Wurzeln dieser Gleichung: `t_1 \u003d -2` und` t_2 \u003d 1`. Dann:

1. `TG x \u003d -2`,` x_1 \u003d arCTG (-2) + \\ pi n`, `n \\ in z`
2. `Tg x \u003d 1`,` x \u003d arCTG 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Antworten. `x_1 \u003d arCTG (-2) + \\ pi n`, \\ in z`,` x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `n \\ in z`.

Übergang in eine Halbecke

Beispiel. Gleichung der Gleichung: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Entscheidung. Anzeigen doppelter Winkelformeln, als Ergebnis: 22 Sünde (x / 2) cos (x / 2)-`2 cos ^ 2 x / 2 + 2 Sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 Tg ^ 2 x / 2 - 11 Tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Anwenden der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:

1. `Tg x / 2 \u003d 2,` x_1 \u003d 2 arCTG 2 + 2 \\ pi n`, \\ in z`,
2. `Tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arCTG 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Antworten. `x_1 \u003d 2 arCTG 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`,` x_2 \u003d arCTG 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Die Einführung der Hilfsecke

In der trigonometrischen Gleichung `a sin x + b cos x \u003d c`, wo A, B-, C-Koeffizienten und X eine Variable ist, teilen wir beide Teile auf` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`

\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x + `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + B ^ 2)) `.

Die Koeffizienten im linken Teil haben die Eigenschaften des Sinus und Cosinus, nämlich die Summe ihrer Quadrate von 1 und ihren Modulen nicht mehr als 1. bezeichnen sie wie folgt: \\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi`, \\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`, \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d c `, dann:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d c`.

Lassen Sie uns über das folgende Beispiel ausführlicher berücksichtigen:

Beispiel. Gleichung lösen: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`

Entscheidung. Wir teilen beide Teile der Gleichstellung auf `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, wir bekommen:

\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) + `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Kennzeichnen Sie mit `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Seit `sin \\ varphi\u003e 0,` cos \\ varphi\u003e 0, dann als Hilfswinkel `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5`. Dann wird unsere Gleichheit in das Formular schreiben:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Durch Anwenden der Summe der Summe der Ecken für Sinus schreiben wir unsere Gleichheit in folgendem Formular aus:

`sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5`

`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Antworten. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Fraktionierte trigonometrische Gleichungen

Dies ist Gleichheit mit Fraktionen, in den Zähler und den Nennern, von denen es trigonometrische Funktionen gibt.

Beispiel. Gleichung lösen. \\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Entscheidung. Multiplizieren und teilen Sie die rechte Seite der Gleichheit auf `(1 + cos x)`. Infolgedessen bekommen wir:

\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d `\\ frac (1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

\\ Frac (sin x) (1 + cos x)-`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

In Anbetracht dessen, dass der Nenner gleich Null ist, können wir `1 + cos x \\ ne 0,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`.

Wir entsprechen Null der Zählerfraktion: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0` Dann `sin x \u003d 0` oder` 1-sin x \u003d 0`.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, \\ in z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`.

In Anbetracht dessen, dass `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`, lösungen` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in z` und `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` `n \\ in z`.

Antworten. `x \u003d 2 \\ pi n`, \\ in z`,` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

In fast allen Sphären der Geometrie, Physik, Engineering werden Trigonometrie und trigonometrische Gleichungen verwendet. Das Studieren in der 10. Klasse beginnt, Aufgaben sind notwendigerweise für die Prüfung vorhanden, also versuchen Sie, sich an alle Formeln von trigonometrischen Gleichungen zu erinnern - sie werden Sie auf jeden Fall benutzen!

Es ist jedoch nicht notwendig, sich an sie zu erinnern, die Hauptsache ist, die Essenz zu verstehen und sich zurückzuziehen. Es ist nicht schwierig, wie es scheint. Achten Sie darauf, das Video anzusehen.

In dieser Lektion werden wir weiterhin arktantent studieren und die Gleichungen des Typs Tg X \u003d A für jedermann lösen. Zu Beginn der Lektion ist die Gleichung mit einem tabellarischen Wert und veranschaulicht die Lösung auf dem Diagramm und dann im Kreis. Als nächstes lösen Sie die TGX \u003d AV-Gleichung mit allgemeiner Form und bringen Sie eine allgemeine Antwortformel mit. Wir veranschaulichen die Berechnungen zum Zeitplan und im Kreis und berücksichtigen verschiedene Formen der Antwort. Am Ende der Lektion entscheiden wir ein paar Aufgaben mit einer Illustration von Lösungen auf dem Zeitplan und in einem Kreis.

Betrifft: Trigonometrische Gleichungen

Lektion: ArctHangence und Lösen der TGX \u003d A Gleichung (Fortsetzung)

1. Gegenstand der Lektion, Einführung

In dieser Lektion werden wir die Lösung der Gleichung für irgendwelchen Gültigkeit in Betracht ziehen

2. Lösung der Gleichung TGX \u003d √3

Aufgabe 1. Gleichung lösen

Finden Sie eine Lösung mit Hilfe von Funktionen Grafiken (Abb. 1).

Betrachten Sie das Intervall in dieser Lückenfunktion der Monotonne, dh es wird nur mit einem Funktionswert erreicht.

Antworten:

Wir entscheiden die gleiche Gleichung mit einem numerischen Kreis (Abb. 2).

Antworten:

3. Lösung der TGX \u003d eine Gleichung im Allgemeinen

Wir lösen Gleichung in der allgemeinen Form (Abb. 3).

In dem Intervall hat die Gleichung eine einzige Lösung

Der kleinste positive Zeitraum

Wir veranschaulichen in einem numerischen Kreis (Abb. 4).

4. Lösung von Aufgaben

Aufgabe 2. Gleichung lösen

Wir werden die Variable ersetzen

Aufgabe 3. Lösen Sie das System:

Lösung (Abb. 5):

An diesem Punkt löst der Wert daher das System ist nur ein Punkt

Antworten:

Aufgabe 4. Gleichung lösen

Ich entscheide mich, die Variable zu ersetzen:

Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung im Intervall

Wir lösen die Aufgabe mit dem Graph (Abb. 6).

Die Gleichung hat drei Lösungen in einem bestimmten Intervall.

Wir veranschaulichen den numerischen Kreis (Abb. 7), obwohl es nicht so klar wie in der Grafik ist.

Antwort: Drei Lösungen.

5. Schlussfolgerung, Schlussfolgerung

Wir haben die Gleichung gelöst, um alle gültigen Konzept des Argangents gültig zu machen. In der nächsten Lektion lernen wir mit dem Konzept der Arkkothangenz kennen.

Referenzliste

1. Algebra- und Startanalyse, 10. Klasse (in zwei Teilen). Lehrbuch für allgemeine Bildungseinrichtungen (Profilniveau) ED. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2009.

2. Algebra- und Startanalyse, Klasse 10 (in zwei Teilen). Das Problembuch für allgemeine Bildungseinrichtungen (Profilniveau) ist ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2007.

3. Vilenkin n. ya., Ivashev-Musatov O. S., Schwarzburg S. I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse 10 (Lehrbuch für Schülern von Schulen und Klassen mit eingehender Untersuchung der Mathematik) .- M.: Bildung, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Schwarzburg S. I. Intentierter Untersuchung der Algebra und der mathematischen Analyse. - M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung von Aufgaben in Mathematik für Bewerber im Boden (Ed. M. I. SKANAVI) .- M.: Höhere Schule, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. algebraischer Simulator. - K.: A. S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D.V. Aufgaben für Algebra und Anfänge der Analyse (Handbuch für Studierende der Noten 10-11 der Hosoms. Institutionen) .- M.: Erleuchtung, 2003.

8. KARP A. P. Sammlung von Aufgaben bei Algebra und Herkunft der Analyse: Studien. Handbuch für 10-11 cl. mit einer Kohle Forschung. Mathematik.-M.: Erleuchtung, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und der Beginn der Analyse, der Klasse 10 (in zwei Teilen). Das Problembuch für allgemeine Bildungseinrichtungen (Profilniveau) ist ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Zusätzliche Webressourcen

1. Mathematik.

2. Internetportalprobleme. Ru.

3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung.

\u003e\u003e Arcthangz und Arkkothangenes. Lösung der Gleichungen TGX \u003d A, CTGX \u003d A

§ 19. Arctanens und Arkotanens. Lösung der Gleichungen TGX \u003d A, CTGX \u003d A

In Beispiel 2 §16 konnten wir nicht drei Gleichungen lösen:

Zwei von ihnen haben uns bereits entschieden - der erste in § 17 und die zweite in § 18, denn wir mussten die Konzepte vorstellen arkkosinus. Und Arksinus. Betrachten Sie die dritte Gleichung x \u003d 2.
Die Grafiken der Funktionen y \u003d Tg X und Y \u003d 2 haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszisse aller dieser Punkte weisen die Form - die Abszisse der Kreuzungspunkte der direkten Y \u003d 2 mit dem Hauptzweig des Tangensoids auf (Abb. 90). Für die Nummer X1-Mathematik wurde die Bezeichnung von Agstg 2 erfunden ("Arghänge der beiden"). Dann können alle Wurzeln der Gleichung x \u003d 2 von der Formel X \u003d Agstg 2 + PC beschrieben werden.
Was ist Agstg 2? Dies ist eine Zahl tangente das ist 2 und der zu dem Intervall gehört
Berücksichtigen Sie jetzt die TG X \u003d -2-Gleichung.
Funktionen Grafiken Habe unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszisse aller dieser Punkte wird angesehen Der Abszisse-Punkt der Kreuzung des geraden Y \u003d -2 mit dem Hauptzweig von Tangentialen. Für die Nummer x 2-Mathematik wurde die Bezeichnung von Agstg (-2) erfunden. Dann können alle Wurzeln der Gleichung x \u003d -2 von der Formel beschrieben werden

Was ist Agstg (-2)? Diese Zahl, deren Tangent -2 -2 ist und der zu dem Intervall gehört. Bitte beachten Sie (siehe Abb. 90): x 2 \u003d -x 2. Dies bedeutet, dass Agstg (-2) \u003d - Agstg 2.
Wir formulieren die Definition von Arctgennes im Allgemeinen.

Definition 1. AGSTG A (ArcTangens A) ist eine solche Zahl aus dem Intervall, dessen Tangente ein ist. So,

Jetzt können wir einen allgemeinen Schluss über die Entscheidung treffen gleichungen X \u003d A: Gleichung X \u003d A hat Lösungen

Oben haben wir festgestellt, dass Agstg (-2) \u003d -agstg 2. im Allgemeinen für einen beliebigen Wert, aber die Formel ist gültig

Beispiel 1. Berechnung:

Beispiel 2. Gleichungen lösen:

A) Machen Sie eine Formel von Lösungen:

Wir können den Wert von Arctangent in diesem Fall nicht berechnen, daher bleibt die Aufzeichnung von Lösungen der Gleichung in der resultierenden Form.
Antworten:
Beispiel 3. Lösen Sie Ungleichheiten:
Die Ungleichheit der Spezies kann durch folgende Pläne grafisch gelöst werden.
1) Konstruieren von Tangentialen y \u003d tg x und gerade y \u003d a;
2) Zuordnen für den Hauptzweig der Tangeysoids der Achse der X-Achse, auf der die angegebene Ungleichheit durchgeführt wird;
3) Angesichts der Frequenz der Funktion y \u003d tg x, notieren Sie die Antwort im Allgemeinen.
Wenden Sie diesen Plan an, um die angegebenen Ungleichheiten zu lösen.

: a) Wir bauen Diagrammen der Funktionen Y \u003d TGX und Y \u003d 1. Auf dem Hauptzweig der Tangensoide schneiden sie sich an der Stelle

Wir legen den Spalt der X-Achse hervor, auf dem sich der Hauptzweig des Tangensoids unterhalb des direkten Y \u003d 1 befindet, das Intervall ist
In Anbetracht der Häufigkeit der Funktion y \u003d TGX schließen wir ab, dass die angegebene Ungleichheit in einem beliebigen Intervall des Formulars durchgeführt wird:

Kombination aller solchen Intervalle und stellt eine allgemeine Lösung der angegebenen Ungleichheit dar.
Die Antwort kann anders aufgenommen werden:

b) Wir erstellen Diagramme der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d -2. Auf dem Hauptzweig der Tangentialen (Abb. 92) kreuzen sie sich an der Stelle x \u003d Agstg (-2).

Wir zeigen den Spalt der X-Achse auf, auf der der Hauptzweig von Tangensoids ist

Betrachten Sie die Gleichung mit TG X \u003d A, wo A\u003e 0. Die Diagramme der Funktionen y \u003d ctg x und y \u003d und haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszisse aller dieser Punkte sind von der Form: x \u003d x 1 + pc, wobei x 1 \u003d agssort a - Abszisse der Kreuzungspunkte direkt y \u003d a mit dem Hauptzweig von Tangentialen (Reis. 93). Es bedeutet, dass die AGSSR A die Zahl ist, deren Catangent gleich ist und der dem Intervall (0, P) gehört; In diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion Y \u003d STG X gebaut.

In FIG. 93 zeigt die grafische Darstellung der Lösung der C1TG \u003d -A-Gleichung. Diagramme der Funktionen Y \u003d STG X und Y \u003d -A haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszisse aller dieser Punkte sind von der Form x \u003d x 2 + PC, wobei x 2 \u003d agssort (- a) - die Abszisse der Kreuzung Punkte direkt y \u003d -a Tangentialzweig. Es bedeutet, dass der AGSSort (-a) die Zahl ist, deren Catangent -a ist und der zu dem Intervall gehört (O, P); In diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion Y \u003d STG X gebaut.

Definition 2.aSTG A (Arkkothesenz A) ist eine solche Zahl aus dem Intervall (0, P), dessen Katangent gleich einem ist.
So,

Jetzt können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der CTG-Gleichung x \u003d A treffen: Die CTG-Gleichung X \u003d A hat Lösungen:

Bitte beachten Sie (siehe Abb. 93): X 2 \u003d P-X 1. Das bedeutet das

Beispiel 4. Berechnung:

A) Setzen Sie es

Die CTG-Gleichung X \u003d A ist fast immer möglich, eine Ausnahme in die CTG-Gleichung x \u003d 0 umzuwandeln. Aber in diesem Fall, mit der Tatsache, dass Sie zu gehen können
cos x \u003d 0 Gleichung. Somit repräsentiert die Gleichung der Spezies X \u003d und unabhängiges Interesse nicht.

A.g. Mordkovich Algebra-Klasse 10

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