Wie gefaltet cos2x. Grundlegende trigonometrische Formeln und Identitäten Sünde, COS, TG, CTG. IX-Gruppe. Formulaturen der Besetzung

Die Hauptformeln der Trigonometrie. Lektion Nummer 1.

Die Anzahl der in der Trigonometrie verwendeten Formeln ist ziemlich groß (unter "Formeln" meinen wir nicht die Definition (z. B. TGX \u003d SINX / COSX), und identische Gleichungen des Typs SIN2X \u003d 2Sinxcosx). Um das Navigieren der Fülle von Formeln und nicht anstrengenden Studenten mit einem sinnlosen Lieferwagen zu erleichtern, ist es notwendig, das wichtigste unter ihnen zuzuordnen. Es gibt nur wenige von ihnen - nur drei. Von diesen drei Formeln folgen alle anderen. Dies ist die wichtigste trigonometrische Identität und -formulas für Sinus- und Cosinusbeträge und Unterschiede:

Sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 (1)

Sin (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx (2)

Cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny (3)

Von diesen drei Formeln gibt es absolut alle Eigenschaften von Sinus und Cosinus (Periodizität, Periode der Periode, dem Wert von Sinne 30 0 \u003d π / 6 \u003d 1/2 usw.) aus dieser Sicht in dem Schulprogramm gibt es Viel unnötige, redundante Informationen. Die Formel "1-3" ist also die Regierung des trigonometrischen Königreichs. Lasst uns zu den Folgen wenden:

1) Nebenhöhlen und Cosinus von mehreren Ecken

Wenn wir in (2) und (3) den Wert x \u003d y ersetzen, erhalten wir:

Sin2x \u003d 2Sinxcosch; sin0 \u003d sinxcosx-sinxcosx \u003d 0

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x; cos0 \u003d cos 2 x + sin 2 x \u003d 1

Wir haben abgeleitet, dass SIN0 \u003d 0; Cos0 \u003d 1, ohne sich auf die geometrische Interpretation von Sinus und Cosinus zu beziehen. In ähnlicher Weise können wir die Formel "2-3" zweimal anwenden, können wir Ausdrücke für SIN3X bringen; cos3x; sin4x; Cos4x usw.

Sin3x \u003d sin (2x + x) \u003d sin2xcosx + sinxcos2x \u003d 2Sinxcos 2 x + sinx (cos 2 x-sin 2 x) \u003d 2Sinx (1-Sin 2 x) + Sinx (1-2sin 2 x) \u003d 3Sinx-4Sin 3 X.

Aufgabe für Studenten: Ziehen Sie ähnliche Ausdrücke für COS3X zurück; sin4x; cos4x.

2) Grad-Reduktionsformeln.

Lösen Sie das umgekehrte Problem, drücken Sie die Sinusgrade und Cosinus durch Cosinus und den Sines mehrerer Ecken aus.

Zum Beispiel: cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 2cos 2 x-1, daher: cos 2 x \u003d 1/2 + cos2x / 2

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x, somit: sin 2 x \u003d 1/2-cos2x / 2

Diese Formeln werden sehr oft verwendet. Um sie besser zu verstehen, rate ich Ihnen, die Grafiken ihrer linken und rechten Teile darzustellen. Die Quadrate von Cosinus- und Sinusquadraten sind "umwickelt" um den Graphen direkt "y \u003d 1/2" (dies ist der Durchschnitt für viele Perioden, der Wert von cos 2 x und sin 2 x). Gleichzeitig ist die Häufigkeit von Schwingungen doppelt im Vergleich zu der Anfang (der Funktionen der Funktionen COS 2 × Sin 2 x 2 π / 2 \u003d π), und die Schwingungsamplitude ist verdoppelt (der Koeffizient 1/2 vor COS2X). .

Aufgabe: Express sin 3 x; Cos 3 x; Sin 4 x; Cos 4 x durch Cosinus und Sines mehrerer Ecken.

3) Formulaturen der Besetzung

Verwenden Sie die Häufigkeit von trigonometrischen Funktionen, sodass Sie ihre Werte in beliebigen Viertel des trigonometrischen Kreises im ersten Quartal berechnen können. Die Formeln des Bringens gibt es sehr besondere Fälle der "Haupt" -Formulen (2-3). Zum Beispiel: cos (x + π / 2) \u003d cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 \u003d cosx * 0-sinx * 1 \u003d Sinx.

Also, cos (x + π / 2) \u003d SINX

Aufgabe: Ausgabeformeln für Sünde (x + π / 2); Cos (x + 3 π / 2)

4) Formeln, die den Betrag oder den Unterschied von Cosinus und Sinus in die Arbeit und den Rücken umwandeln.

Wir wehren die Formel für Sinus, die Summe und den Unterschied von zwei Winkeln:

Sin (x + y) \u003d sinxcosy + sinycosx (1)

Sin (x-y) \u003d sinxcosy-sinycosx (2)

Verschieben der linken und rechten Teile dieser Gleichungen:

SIN (X + Y) + SIN (X-Y) \u003d SINXCOSY + SINYCOSX + SINXCOSY -SINYCOSX

Ähnliche Begriffe werden reduziert, daher:

Sin (x + y) + sin (x-y) \u003d 2Sinxcosy (*)

a) Beim Lesen (*) erfahren wir rechts an das Recht:

Sinxcosy \u003d 1/2 (Sünde (x + y) + Sin (X-y)) (4)

Das Produkt der Sines von zwei Ecken ist gleich einer halben Sinus der Summe und der Unterschied zwischen diesen Winkeln.

b) Wenn Sie (*) von links nach rechts lesen, ist es bequem zu bezeichnen:

x-y \u003d s. Von hier aus werden wir finden h. und w. durch r. und von, Falten und Abzug der linken und rechten Teile dieser beiden Gleichungen:

x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (R-S) / 2, ersetzen in (*) anstelle von (x + y) und (x-y) zurückgezogene neue Variablen r. und von, Ich werde die Menge an Nebenhöhlen durch die Arbeit präsentieren:

sinp + sinc \u003d 2Sin (p + c) / 2cos (p-c) / 2 (5)

So ist die direkte Folge der Hauptformel für Sinus die Summen und den Unterschied der Winkel zwei neue Beziehungen (4) und (5).

c) Nun, anstatt die linke und rechte Teile von Gleichungen (1) und (2) zusammenzufassen, ziehen wir sie voneinander ab:

sin (x + y) - Sin (X-y) \u003d 2Sinycosx (6)

Wenn Sie diese Identität auf der rechten Seite nach links lesen, führt zu einer Formel, ähnlich (4), die uninteressant ist, weil Wir wissen bereits, wie man die Werke von Sinus und Cosinus in die Höhe der Nebenhöhlen legen soll (siehe (4)). Lesen (6) von links nach rechts gibt eine Formel, die den Sinusunterschied in der Arbeit darstellt:

sinp - sinc \u003d 2Sin ((P-C) / 2) * cos ((p + c) / 2) (7)

Also, aus einer grundlegenden Identitätssicht (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx, erhalten wir bis zu drei neue (4), (5), (7).

Ähnliche Arbeit mit einer anderen fundamentalen Identität cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiy, führt bereits zu vier neuen:

Cosxcosy \u003d ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); Cosp + cosc \u200b\u200b\u003d 2cos ((p + c) / 2) cos ((p-c) / 2);

Sinxsiny \u003d ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); Cosp-cosc \u003d -2sin ((p-c) / 2) sin ((p + c) / 2)

Aufgabe: Umwandlung der Menge an Sinus und Cosinus in die Arbeit:

Sinx + cozy \u003d? Lösung: Wenn Sie versuchen, die Formel nicht auszugeben, und die Antwort sofort in einiger Tabelle mit trigonometrischen Formeln in Betracht ziehen, können Sie kein einsatzbereites Ergebnis finden. Die Schüler sollten verstehen, dass es nicht notwendig ist, eine andere Formel für Sinx + Cozy \u003d ... einzugeben, da jeder Cosinus in Form einer Sinus dargestellt werden kann und im Gegenteil mit Hilfe von Formeln, zum Beispiel: SINX \u003d cos (π / 2 - x), gemütlich \u003d Sin (π / 2 - y). Deshalb: sinx + cozy \u003d sinx + sin (π / 2 - y) \u003d 2Sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.

Die Hauptformeln der Trigonometrie sind Formeln, die die Beziehungen zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen herstellen. Sinus, Cosinus, Tangente und Catangene sind von vielen Verhältnissen miteinander verbunden. Nachfolgend geben wir die wichtigsten trigonometrischen Formeln und gruppierten sie nach Bequemlichkeit auf ihren beabsichtigten Zweck. Mit diesen Formeln können Sie fast jede Aufgabe von der Standard-Trigonometrie-Kurs lösen. Unmittelbar beachten wir, dass unten nur die Formeln selbst sind, und nicht deren Schlussfolgerung, dass getrennte Artikel gewidmet werden.

Die wichtigsten Identitäten der Trigonometrie

Trigonometrische Identitäten geben der Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangent und Catangent einer Ecke, sodass Sie eine Funktion durch einen anderen ausdrücken können.

Trigonometrische Identitäten.

sIN 2 A + COS 2 A \u003d 1 Tg α \u003d Sin α cos α, CTG α \u003d cos α-Sin α Tg α · ctg α \u003d 1 Tg 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, CTG 2 α + 1 \u003d 1 Sünde 2 α.

Diese Identitäten werden direkt an den Definitionen eines einzelnen Kreises, Sinus (SIN), Cosinus (COS), Tangent (TG) und Cotangent (CTG) gemessen.

Formulaturen der Besetzung

Die Klärungsformeln ermöglichen es Ihnen, sich von der Arbeit mit willkürlichem und willkürlich mit großen Winkeln zu bewegen, um mit Winkeln zwischen 0 und 90 Grad zu arbeiten.

Formulaturen der Besetzung

sin α + 2 π z \u003d sin α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - sin α, cos - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - Tg α, ctg - α + 2 π z \u003d - CTG α sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π Z \u003d - SIN α Tg π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG α, CTG π 2 + α + 2 π z \u003d - Tg α sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π Z \u003d SIN α Tg π 2 - α + 2 π Z \u003d CTG α, CTG π 2 - α + 2 π z \u003d Tg α sin π + α + 2 π z \u003d - sin α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α Tg π + α + 2 π z \u003d tg α, ctg π + α + 2 π z \u003d ctg α sin π - α + 2 π z \u003d sin α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α Tg π - α + 2 π z \u003d - Tg α, Ctg π - α + 2 π Z \u003d - CTG α-Sin 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d SIN α Tg 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - CTG α, CTG 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - Tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Die resultierenden Formeln sind eine Folge der Häufigkeit der trigonometrischen Funktionen.

Trigonometrische Formeln Addition.

Mit den Formeln der Zugabe in der Trigonometrie können Sie die trigonometrische Funktion der Summe oder den Unterschied der Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausdrücken.

Trigonometrische Formeln Addition.

sin α ± β \u003d Sin α · cos β ± cos α · Sin β cos α + β \u003d cos α · cos β - Sin α · Sin α cos α - β \u003d cos α · cos β + sin α · sin β β tg α · ± β \u003d Tg α ± Tg β 1 ± Tg α · Tg β CTG α ± β \u003d - 1 ± ctg α · ctg β ctg α ± ctg β

Basierend auf den Formeln der Zugabe werden trigonometrische Formeln einer mehreren Ecke abgeleitet.

Mehrere Eckformeln: doppelt, dreifach usw.

sIN 2 α \u003d 2 · Sin α · cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 Tg 2 α \u003d 2 · TG α 1 - Tg 2 α mit Tg 2 α \u003d mit Tg 2 α - 1 2 · C Tg α Sin 3 α \u003d 3 Sin α · cos 2 α - Sin 3 α, Sin 3 α \u003d 3 Sin α - 4 Sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 Sin 2 α · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α Tg 3 α \u003d 3 Tg α - Tg 3 α 1 - 3 Tg 2 α ctg 3 α \u003d CTG 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1

Formeln des halben Winkels

Die Formeln eines halben Winkels in der Trigonometrie sind eine Folge der Formeln des Doppelwinkels und exprimieren die Verhältnisse zwischen den Hauptfunktionen des Halbwinkels und dem Cosinus des gesamten Winkels.

Formeln des halben Winkels

sIN 2 & agr; 2 \u003d 1 - cos α 2 cos 2 α 2 \u003d 1 + cos α 2 t G 2 α 2 \u003d 1 - cos α 1 + cos α c t G 2 α 2 \u003d 1 + cos α 1 - cos α

Grad-Reduktionsformeln.

sIN 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 sin 3 α \u003d 3 sin α - Sin 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Bei der Berechnung der Berechnung mit umständlichen Grad ist oft unbequem. Grad-Reduktionsformeln ermöglichen es, den Grad der trigonometrischen Funktion mit einem willkürlich großen bis zum ersten zu reduzieren. Wir präsentieren ihre allgemeine Ansicht:

Allgemeine Ansicht einer Grad-Reduktion-Formel

für sogar n.

sin n α \u003d c n 2 n 2 n + 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · c kN · cos ((n - 2 k) α) cos n α \u003d C n 2 n 2 n + 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 n 2 - 1 c kN · cos ((n - 2 k) α)

für ungerade N.

sIN N α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 N - 1 2 (- 1) N - 1 2 - K · C kN · Sünde ((N - 2 k) α) cos n α \u003d 1 2 N - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 c kN · cos ((n - 2 k) α)

Die Summe und der Unterschied der trigonometrischen Funktionen

Der Unterschied und die Summe der trigonometrischen Funktionen können als Produkt dargestellt werden. Die Zersetzung des Unterschieds in Sinus- und Cosinusunterschiede ist sehr praktisch, um trigonometrische Gleichungen zu gelangen und die Ausdrücke zu vereinfachen.

Die Summe und der Unterschied der trigonometrischen Funktionen

sin α + sin \u003d 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin \u003d 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 Sin α + β 2 · Sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 Sin α + β 2 · Sin β - α 2

Arbeit von trigonometrischen Funktionen

Wenn die Formeln der Summe und der Differenz der Funktionen Sie zum Produkt gehen können, führen die Formeln für das Produkt von trigonometrischen Funktionen einen umgekehrten Übergang aus - vom Produkt bis zum Betrag. Die Formeln der Arbeit von Nebenhöhlen, Cosinus und Sinus auf Cosinus werden berücksichtigt.

Formeln für die Werke von trigonometrischen Funktionen

sin α · sin \u003d 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β \u003d 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · Cos β \u003d 1 2 · (Sünde (α - β) + Sünde (α + β))

Universelle trigonometrische Substitution.

Alle großen trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Cosinus, Tangent und Catangent, kann durch einen halben Eck-Tangenten ausgedrückt werden.

Universelle trigonometrische Substitution.

sin α \u003d 2 Tg α 2 1 + Tg 2 α 2 cos α \u003d 1 - Tg 2 α 2 1 + Tg 2 α 2 Tg α \u003d 2 Tg α 2 1 - Tg 2 α 2 ctg α \u003d 1 - Tg 2 α 2 2 Tg α 2

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Formeln in der Trigonometrie viel.

Erinnern Sie sich an sie sind mechanisch sehr schwierig, fast unmöglich. In der Klasse genießen viele Schulkinder und Studenten Drucke auf den Forschoaten von Lehrbüchern und Notebooks, Poster an den Wänden, Schwerpunkte, schließlich. Und wie soll ich auf der Prüfung sein?

Wenn Sie jedoch diese Formeln ansehen, werden Sie feststellen, dass sie alle miteinander verbunden sind und eine bestimmte Symmetrie haben. Analysieren Sie sie analysieren sie unter Berücksichtigung der Definitionen und Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen, um das Minimum zu bestimmen, das von Herzen wirklich lernt.

Ich Gruppe. Große Identitäten

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ sinα cosα; Ctgα \u003d. ____ COSα sinα. ;

tgα · ctgα \u003d 1;

1 + Tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 sin 2 α.

Diese Gruppe enthält die einfachsten und beliebtesten Formeln. Die meisten Schüler kennen sie. Wenn jedoch immer noch Schwierigkeiten gibt, dann, um sich an die ersten drei Formeln zu erinnern, stellen sich mental ein rechteckiges Dreieck mit einem hypothenukleären Gleichen. Dann sind seine Kartets jeweils gleich, um Sinα zu bestimmen, um den Sinus (das Verhältnis des gegenüberliegenden Katechs zu Hypotenuse) und COSα zu bestimmen, um den Cosinus zu bestimmen (das Verhältnis des benachbarten Katechs für Hypotenuse).

Die erste Formel ist der Pythagoras-Satz für ein solches Dreieck - Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (1 2 \u003d 1), der zweite und dritte ist die Definition der Tangente (das Verhältnis des entgegengesetzte Kategorie zum angrenzenden) und dem Catangen (das Verhältnis der angrenzenden Kategorie zum anderen).
Die Arbeit der Tangente auf Kotangenes ist 1, da der in Form einer Fraktion aufgezeichnete Catangent (Formel dritter) ein invertierter Tangent (zweite Formel) ist. Die letzte Rücksicht macht es übrigens möglich, aus den Formeln auszuschließen, dass es notwendig ist, alle nachfolgenden langen Formeln mit Kotangent zu merken. Wenn Sie CTGα in einer schwierigen Aufgabe erfüllen, ersetzen Sie es einfach mit einem Bruchteil ___ 1 TGα. Und nutzen Sie die Formeln für Tangente.

Die letzten beiden Formeln können nicht gespeichert werden. Sie sind weniger üblich. Und wenn Sie brauchen, können Sie sie immer auf dem Entwurf neu zurückziehen. Dazu reicht es aus, anstelle eines Tangenten oder Kontakts ihrer Definition nach einem Bruchteil (Formel zwei bzw. dritter) zu ersetzen und den Ausdruck in den allgemeinen Nenner zu führen. Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass solche Formeln, die die Felder Tangent und Cosinus binden, und die Quadrate Kotangens und Sinus bestehen. Andernfalls können Sie nicht erraten, welche Konvertierungen erforderlich sind, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen.

Ii Gruppe. Ergänzung der Formeln.

sIN (α + β) \u003d SINα · cosβ + cosα · Sinβ;

sin (α - β) \u003d Sinα · cosβ - cosα · Sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGα · TGβ;

tg (α - β) \u003d

Erinnern Sie sich an die Genauigkeit der Parität / Seltsamkeit von trigonometrischen Funktionen:

sin (-α) \u003d - sin (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α).

Von allen trigonometrischen Funktionen ist nur Cosinus eine gerade Funktion und ändert das Zeichen beim Ändern des Argumentszeichens (Winkel) nicht, die verbleibenden Funktionen sind ungerade. Die Genauigkeit der Funktion bedeutet tatsächlich, dass das Minuszeichen das Funktionszeichen erfolgen und ausgeben kann. Wenn Sie also auf einen trigonometrischen Ausdruck mit einem Unterschied von zwei Winkeln stoßen, können Sie es immer als Summe positiver und negativer Winkel verstehen.

Beispielsweise, sin ( x. - 30º) \u003d Sünde ( x. + (-30º)).
Als nächstes verwenden wir die Formelsumme von zwei Winkeln und beschäftigen sich mit Zeichen:
sin ( x. + (-30º)) \u003d Sünde x.· COS (-30º) + COS x.· Sin (-30º) \u003d
\u003d Sünde x.· Cos30º - cos x.· SIN30º.

Somit können alle Formeln, die den Winkelunterschied enthalten, einfach beim ersten Speicher übersprungen werden. Dann sollten Sie lernen, sie im Allgemeinen wieder herzustellen, zuerst auf dem Entwurf und dann geistig.

Beispielsweise tg (α - β) \u003d tg (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-β) ___________ 1 - TGα · TG (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + TGα · TGβ.

Dies hilft dabei, sich schneller zu erraten, welche Transformationen angewendet werden müssen, um eine Trigonometrieierung aufzuklären.

S s s s s s sh gruppe? Formeln mehrerer Argumente

sin2α \u003d 2 · sinα · cosα;

cos2α \u003d cos 2 α - Sin 2 α;

tg2α \u003d. 2TGα _______ 1 - Tg 2 α;

sin3α \u003d 3Sinα - 4Sin 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3Cosα.

Die Notwendigkeit, Formeln für Sinus und Cosinus eines Doppelwinkels zu verwenden, erfolgt sehr oft für Tangente. Diese Formeln sollten von Herzen bekannt sein. Darüber hinaus gibt es keine Schwierigkeiten bei der Erinnerung. Zunächst sind die Formeln kurz. Zweitens werden sie leicht von den Formeln der vorherigen Gruppe kontrolliert, basierend auf der Tatsache, dass 2α \u003d α + α.
Beispielsweise:
SIN (α + β) \u003d SINα · cosβ + cosα · Sinβ;
sin (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
Sin2α \u003d 2Sinα · cosα.

Wenn Sie diese Formeln jedoch schneller gelernt haben, und nicht die vorherigen, dann können Sie im Gegenteil wirken: um sich an die Formel für die Summe von zwei Winkeln durch die entsprechende Formel für einen Doppelwinkel zu erinnern.

Wenn Sie beispielsweise eine Cosinus-Formel der Summe von zwei Winkeln benötigen:
1) Erinnern Sie sich an die Dual-Eck-Cosinus-Formel: cos2. x. \u003d Cos 2. x. - Sin 2. x.;
2) Wir malen es lang: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· COS. x. - Sünde x.· Sünde x.;
3) Ersetzen Sie einen h. Auf α, der zweite auf β: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Wiederholen Sie ähnlich, um Formeln für die Sinussumme und den Tangentenbetrag wiederherzustellen. In verantwortlichen Fällen, wie der EGE, überprüfen Sie die Richtigkeit der reduzierten Formeln auf dem bekannten ersten Quartal: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Überprüfung der vorherigen Formel (erhalten durch Ersatz in Zeile 3):
lassen α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
dann cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, Sinβ \u003d SIN30 ° \u003d 1/2;
Wir ersetzen die Werte in der Formel: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, Irrtümer werden nicht erkannt.

Formeln für einen dreifachen Winkel meiner Meinung nach nicht zum "Werkzeug" erforderlich. Sie werden selten bei den Prüfungen der EGE gefunden. Sie werden leicht von den höheren Formeln abgeleitet, da sin3α \u003d sin (2α + α). Und diese Studenten, die aus irgendeinem Grund immer noch diese Formeln von Herzen lernen müssen, raten Sie Sie, auf ihre "Symmetrie" aufmerksam zu achten, und erinnern Sie sich nicht an die Formeln selbst, sondern Mnemonic-Regeln. Zum Beispiel der Reihenfolge, in der sich die Zahlen in zwei Formeln befinden "334333433 usw.

IV-Gruppe. Menge / Differenz -

sinα + sin β \u003d 2 · Sünde α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

sinα - sin β \u003d 2 · Sünde α - β ____ 2· COS. α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 · Sünde α - β ____ 2· Sünde α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d sin (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tGα - TGβ \u003d sin (α - β) ________ cosα · cosβ .

Verwendung der Genauigkeit der Funktionen von Sinus und Tangent: sin (-α) \u003d - sin (α); TG (-α) \u003d - TG (α),
Sie können Formeln für die Unterschiede von zwei Funktionen, um die Formeln für ihre Summen zu reduzieren. Beispielsweise,

sin90º - sin30º \u003d sin90º + sin (-30º) \u003d 2 · Sünde 90º + (-30º) __________ 2· COS. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Daher merken sich die Formeln des Unterschieds von Nebenhöhlen und Tangenten nicht unbedingt sofort aus.
Mit der Summe und dem Unterschied von Cosinus ist die Situation komplizierter. Diese Formeln sind nicht austauschbar. Aber mit der Parität des Cosinus können Sie jedoch an die folgenden Regeln erinnern.

Die Menge an COSα + Cosβ kann das Zeichen nicht für Änderungen in den Anzeichen der Winkel ändern, sodass das Produkt auch aus sogar Funktionen bestehen sollte, d. H. Zwei Cosinus.

Das COSα-Cosβ-Differenzzeichen hängt von den Werten der Funktionen selbst ab, dh das Arbeitszeichen sollte von der Korrelation der Winkel abhängen, sodass das Produkt aus ungeraden Funktionen bestehen sollte, d. H. zwei Sines.

Trotzdem ist diese Formulaturgruppe nicht am einfachsten, sich zu merken. Dies ist der Fall, wenn es besser ist, sich zu schärfen, aber mehr Überprüfung. Um Fehler in der Formel in einer bestimmten Prüfung zu vermeiden, stellen Sie sicher, dass Sie ihn zunächst auf dem Entwurf aufnehmen und zwei Arten überprüfen. Erste Substitutionen β \u003d α und β \u003d -α, dann durch bekannte Werte von Funktionen für einfache Winkel. Um dies zu tun, dauert es am besten, 90º und 30 ° zu nehmen, da es in dem obigen Beispiel erfolgt ist, da die Halbdiät und die Sedimentalität dieser Werte wieder einfache Winkel geben, und Sie können leicht sehen, wie Gleichheit zur Identität wird die richtige Option. Oder im Gegenteil, nicht ausgeführt, wenn Sie falsch sind.

BeispielÜberprüfungen der Formel COSα - COSβ \u003d 2 · Sünde α - β ____ 2· Sünde α + β ____ 2 Für den Unterschied von Counneen mit einem fehler !

1) Lassen Sie β \u003d α, dann cosα - cosα \u003d 2 · Sünde α - α _____ 2· Sünde α + α _____ 2 \u003d 2Sin0 · sinα \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Lassen Sie β \u003d - α, dann cosα - cos (- α) \u003d 2 · Sünde α - (-α) _______ 2· Sünde α + (-α) _______ 2 \u003d 2Sinα · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Diese Überprüfungen zeigten, dass die Funktionen in der Formel ordnungsgemäß verwendet werden, aber aufgrund der Tatsache, dass die Identität den Typ 0 ≡ 0 erhielt, könnte ein Fehler mit einem Zeichen oder einem Koeffizienten verpasst werden. Wir machen einen dritten Check.

3) Lassen Sie α \u003d 90º, β \u003d 30º, dann cos90º - cos30º \u003d 2 · Sünde 90º - 30º ________ 2· Sünde 90º + 30º ________ 2 \u003d 2Sin30º · sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Der Fehler war wirklich im Schild und nur im Zeichen vor der Arbeit.

V Band. Arbeit - in der Menge / Unterschied

sinα · sin · \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Sünde (α - β) + Sin (α + β)).

Der Name der fünften Gruppe von Formeln selbst legt nahe, dass diese Formeln in Bezug auf die vorherige Gruppe umkehren. Es ist klar, dass es in diesem Fall einfacher ist, die Formel auf dem Entwurf wiederherzustellen, als wieder lernen zu lernen, wodurch das Risiko der Erstellung von Brei in den Kopf erhöht wird. Das einzige, was Sinn macht, sich für eine schnellere Erholung der Formel zu konzentrieren, sind dies die folgenden Gleichungen (Überprüfen Sie sie):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Erwägen beispiel: müssen sin5 konvertieren x.· COS3. x. in der Summe zweier trigonometrischer Funktionen.
Da die Arbeit Sinus und Cosinus umfasst, nehmen wir die Formel der vorherigen Gruppe die Formel für die Menge an Naserhöhlen, die bereits gelernt wurde, und schreibe es auf den Entwurf.

sinα + sin β \u003d 2 · Sünde α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2

Lass 5. x. = α + β ____ 2 und 3. x. = α - β ____ 2 dann α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Wir ersetzen in der Formel auf den Entwurf der Werte der Winkel, ausgedrückt durch die Variablen α und β, auf den Werten der Winkel, ausgedrückt durch die Variable x..
Erhalten sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.

Wir teilen beide Teil der Gerechtigkeit für 2 auf und schreiben es an das Finale nach rechts sin5. x.· COS3. x. = 1 _ 2 (Sin8 x. + Sin2. x.). Die Antwort ist fertig.

Vi Gruppe. Grad-Reduktionsformeln.

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3Cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3Sinα - sin3α ____________ 4.

Die ersten beiden Formeln dieser Gruppe sind sehr notwendig. Es wird häufig bei der Lösung von trigonometrischen Gleichungen verwendet, einschließlich der Ebene einer einzelnen Prüfung sowie bei der Berechnung von Integralen, die die Elementarfunktionen eines trigonometrischen Typs enthalten.

Es kann einfacher sein, sich an sie in der folgenden "One-Story" -Form zu erinnern
2COS 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
Und Sie können immer in 2 oder im Entwurf teilen.

Die Notwendigkeit, die folgenden zwei Formeln (mit Funktionswürfeln) an den Prüfungen zu verwenden, ist viel weniger üblich. In einer anderen Einstellung haben Sie immer Zeit, den Entwurf zu verwenden. Die folgenden Optionen sind möglich:
1) Wenn Sie sich an die letzten beiden Formeln der Gruppe III erinnern, drücken Sie sie an, um SIN 3 α und cos 3 α durch einfache Transformationen auszudrücken.
2) Wenn Sie in den letzten beiden Formeln dieser Gruppe die Elemente der Symmetrie bemerkten, die zu ihrer Speicherung beitragen, wenden Sie sich an die Skizzen der Formeln auf den Entwurf und prüfen Sie sie durch die Werte der wichtigsten Ecken.
3) Wenn neben der solchen Grad-Reduktionsformeln vorhanden sind, wissen Sie nichts über sie, dann lösen Sie das Problem in den Stufen, basierend auf der Tatsache, dass SIN 3 α \u003d SIN 2 α · SINα und andere erlernte Formeln. Grad-Reduktionsformeln für das Quadrat und die Formel für die Umwandlung der Arbeit in der Menge.

VII-Gruppe. Halbes Argument

sünde. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos. α _ 2. = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - COSα ________ 1 + cosα._____

Ich sehe den Punkt nicht, in dem sich in der Form dieser Formulaturen in der Form, in der sie in Lehrbüchern und Referenzbüchern präsentiert werden, auswendig. Wenn Sie das verstehen α ist die Hälfte von 2α, Dass dies ausreicht, um schnell die gewünschte Formel des Halbarguments abzuleiten, basierend auf den ersten beiden Formeln, um den Grad zu senken.

Dies gilt auch für einen halben Winkel Tangent, der Formel, für das er erhalten wird, indem der Ausdruck für den Sinus auf den entsprechenden Ausdruck für Cosinus teilen wird.

Vergessen Sie nicht nur, wenn Sie die Quadratwurzel entfernen, um ein Zeichen zu setzen ± .

VIII-Gruppe. Universelle Substitution.

sinα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 + Tg 2 (α / 2);

cosα \u003d. 1 - Tg 2 (α / 2) __________ 1 + Tg 2 (α / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Diese Formeln können äußerst nützlich sein, um trigonometrische Aufgaben aller Art zu lösen. Sie ermöglichen es Ihnen, das Prinzip des "One Arguments ist eine Funktion", mit der Sie Variablen ersetzen können, die komplexe trigonometrische Ausdrücke in Algebraic reduzieren. Kein Wunder, dass diese Substitution universal heißt.
Die ersten beiden Formeln lernen. Der dritte kann erhalten werden, indem die ersten beiden aufeinander unter Definition von TGα Tangent \u003d teilgenommen werden \u003d sinα ___ cosα.

IX-Gruppe. Anspruchsformeln.

X-Gruppe. Werte für Hauptecken.

Also mach es ausgabe: Formulas-Trigonometrie muss wissen. Je mehr desto besser. Aber was um Ihre Zeit und Mühe zu verbringen - um die Formeln oder auf ihre Erholung beim Lösen von Aufgaben zu speichern, sollte jeder unabhängig voneinander lösen.

Beispiel für die Aufgabe der Verwendung von Trigonometrie-Formeln

Wir haben zwei verschiedene Funktionen SIN () und cos () und vier! Verschiedene Argumente 5. x., 3x., 8x. und 6. x.. Ohne vorläufige Transformationen ist es nicht möglich, die einfachsten Arten von trigonometrischen Gleichungen zu reduzieren. Daher versuchen wir zunächst, die Werke an den Mengen oder Differenz der Funktionen zu ersetzen.
Wir tun es genauso wie im obigen Beispiel (siehe Abschnitt).

sin (5 x. + 3x.) + Sin (5 x. − 3x.) \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.
sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.

sin (8. x. + 6x.) + Sin (8 x. − 6x.) \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.
Sin14. x. + Sin2. x. \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.

Die Arbeit aus diesen Gleichungen ausdrücken, ersetzen wir sie der Gleichung. Wir bekommen:

(Sin8 x. + Sin2. x.) / 2 - (SIN14 x. + Sin2. x.)/2 = 0.

Wir vermehren uns mit zwei Teilen der Gleichung, offenbaren Klammern und geben solche Mitglieder

Sin8. x. + Sin2. x. - sin14. x. - sin2. x. = 0;
sin8. x. - sin14. x. = 0.

Die Gleichung hat erheblich vereinfacht, aber um es so zu lösen, dass SIN8 x. \u003d Sin14. x., also 8. x. = 14x. + T, wo T - der Zeitraum ist falsch, da wir den Wert dieser Zeit nicht kennen. Daher verwenden wir das im rechten Teil der Gleichheit, dass es 0 wert ist, mit dem es einfach ist, Multiplikatoren in jedem Ausdruck zu vergleichen.
Sin8 zu zersetzen x. - sin14. x. Für Multiplikatoren müssen Sie vom Unterschied zur Arbeit gehen. Dazu können Sie die Sinusdifferenz-Formel oder erneut die Formelsumme der Nebenhöhlen und der Eigenschaft der Sinusfunktion verwenden (siehe Beispiel im Abschnitt).

sin8. x. - sin14. x. \u003d sin8. x. + sin (-14 x.) \u003d 2 · Sünde 8x. + (−14x.) __________ 2 · COS. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d Sin (-3 x.) · COS11. x. \u003d -Sin3. x.· COS11. x..

Also, Gleichung sin8 x. - sin14. x. \u003d 0 ist gleichwertig der Sin3-Gleichung x.· COS11. x. \u003d 0, was wiederum der Kombination von zwei einfachen SIN3-Gleichungen entspricht x. \u003d 0 und cos11 x. \u003d 0. Lösen der letzteren, wir erhalten zwei Antworten?
x. 1 \u003d π. n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

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