Fraktionierte rationale Gleichungen. Algorithmuslösungen. Gleichungen auf dem Algorithmusalgorithmus lösen, um gewöhnliche Gleichungen zu lösen

Eine Zusammenfassung der Lektion auf dem Thema "Lösung von Gleichungen" (Klasse 6)

Der Zweck der Lektion: Wenden Sie das Wissen an, das bei der Lösung von Gleichungen gewonnen wird.

Art der Lektion: Erläuterung des neuen Materials.

Unterrichtsplan:

Durchführen von Aufgaben zur Vereinfachung der Ausdrücke, die Füllung des Tisches und Erkennung des Wirkungsverfahrens bei der Lösung von Gleichungen.

Durch die Lösung von Aufgaben zum Wiegen, das Problem der Lösung neuer Gleichungen einstellen.

Aufzeichnen eines Algorithmus zum Lösen von Gleichungen in einer Zusammenfassung in Paaren.

Gleichungen auf dem Algorithmus lösen. Die Entwicklung nur der Übertragung der Komponenten von einem Teil der Gleichung an einen anderen, starke Schüler lösen Gleichung bis zum Ende und am Ende der Lektion schützen die Lösung.

Während der Klassen:

Den Ausdruck vereinfachen:

G.

Hinweis, die Summe der entgegengesetzten Begriffe ist gleich 0.

Um eine Aufgabe zu lösen.

Auf einer Tasse Waagen 5 Laiben auf einem anderen 1 solcher Laib und Gewichten von 5 kg, 2 kg und 1 kg. Bestimmen Sie das Gewicht von 1 Laib Brot.

Entscheidung:

Sei x kg - das Gewicht von 1 Laib Brot,

5 x kg - Gewicht 5 von solchen Brotlasten.

Sie können eine Gleichung erstellen: 5 x. = x. +8

Einsendungen aus beiden Teilen der X-Gleichung (entfernen von beiden Tassen von Gewichten 1 Laib Brot).

Es ist möglich, beide Teile der Gleichung derselben Nummer hinzuzufügen.Über.

Wir erhalten 5 x-x \u003d x- x +8.

Aber x - x \u003d 0, dann 5 x. - x. = 8.

Diese Gleichung kann dadurch erhalten werden, wenn der Begriff x. Um von der rechten Seite nach links zu übertragen, indem Sie das Zeichen in das Gegenteil ändern.

Linker Teil der Gleichung vereinfachen 5 x. - x. = 8, wir erhalten 4 x \u003d 8.

Wir teilen den Koeffizienten mit der variablen Teil der Gleichung auf

Beide Teile der Gleichung können multipliziert (teilen) auf dieselbe Zahl (außer 0).

Nummer 2 und es gibt Gleichungen 5 x. = x. +8 Seit 5. 2=2+8.

Notieren Sie die Eigenschaften von Gleichungen in der Zusammenfassung.

3. Algorithmuslösungsgleichungen.

1) Die Begriffe, die die variable Übertragung auf den linken Teil der Gleichung enthalten, und die Zahlen in seinem rechten Teil, nicht vergessen, wenn Sie Anzeichen auf das Gegenteil übertragen;

2) Leiten Sie ähnliche Begriffe in der linken und rechten Teil der Gleichung;

3) Teilen Sie die Zahl im rechten Teil der Gleichung auf den Koeffizienten mit einer Variablen.

Arbeiten mit der Regel. (Pupillen in Paaren erzählen einander die Regel auf der Karte auf der Folie)

1) Die Komponenten mit ............ .., Transfer auf den linken Teil der Gleichung, und ...... .... .. Anzeichen auf ............ ..;

2) Blei .......... die beleuchteten und rechten Teile der Gleichung;

3) ... ........... Die Zahl im rechten Teil der Gleichung auf ................ Mit einer Variablen.

Eine kleine Geschichte.

Der erste Empfang der Transformation der Gleichungen beschrieb den berühmten arabischen mathematischen Mohammed Al-Khorezmi, der in Khorezmi und in Bagdad wegen der Wende des 9. Jahrhunderts lebte. Einer seiner Hauptwerke auf Arabisch bedeutet "Buch über Wiederherstellung und Opposition". Übertragen der Mitglieder der Gleichung von einem Teil zur anderen sind wir in einem Teil "zerstört", sondern in einem anderen "Wiederherstellen", während sie ihre Anzeichen auf das Gegenteil ändern. Restaurierung - Arabisch al-jhebr. Von diesem Wort und der Name passierte - algebra.Die Algebra, die Sie studieren, stammten und entwickelten sich vor vielen Jahrhunderten präzise als Wissenschaft, um Gleichungen zu lösen.

Gleichungen lösen

Studenten mit Hilfe von Folien zerlegen die Lösung der Gleichungen und notieren Sie die Lösung in das Notebook.

1) 3x. -12 = 0

3x. – 2 = 10

3) 2x. – 2 = 10 - X.

Gleichungen lösen mit einer Wahl der Antwort

1) 5x - 2 \u003d 18

2) 7x \u003d x + 24

B. 7x - x \u003d 24

2x - 4 \u003d 6x - 20

A. 2x - 6x \u003d -20 + 4

B. 6x - 2x \u003d 4-20

B. 2x - 6x \u003d 20 +4

3x + 9 \u003d x + 9

A. 3x + x \u003d 9 + 9

B. 3x - x \u003d 9 - 9

V. 9 - 9 \u003d x - 3x

Eine Gruppe stärkerer Studierender wird vorgeschlagen, Gleichungen bis zum Ende zu lösen und ihre Lösung zu schützen.

Antworten: 4, 4, 4, 0.

Einen Fehler finden.

Algorithmus-Lösungsgleichungen: 1. Die Gelegenheit vereinfachen den Ausdruck (Erweitern von Klammern, bringen Sie ähnliche Begriffe). 2. Übertragen Sie die Begriffe, die einen unbekannten mit einem Teil der Gleichung (üblicherweise in der linken Seite) enthalten, und die verbleibenden Komponenten zu einem anderen Teil der Gleichung, und wechseln Sie die Anzeichen auf das Gegenteil. 3. Ähnliche Begriffe mitbringen. 4. Finden Sie die Wurzel der Gleichung.

Mathematik-Klasse 6.

"Die Entstehung natürlicher Nummern" - Zahlen. Maya-Inder. Alte Hirten. Wie natürliche Zahlen auftauchten. Die Zahlen der ersten zehn. Mathematik der Steinzeit. Live-Zählmaschine. Zehn Abzeichen für Aufzeichnungsnummern. Zahlen fangen an, Namen zu erhalten. Ganze Zahlen. Wie die Leute gelernt haben, Zahlen aufzunehmen. Negative und fraktionale Zahlen.

"Die Fraktionen" Klasse 6 "- Diese Fraktionen führten zu demselben Nenner. Prüfung. Versuchen Sie, sich selbst zu tun. Jungs lass uns Freunde sein. Reise. Harte Aktion. Trainieren. Ägypter. Finde einen Freund. Aktionsplan. Die Notwendigkeit von Fraktionen. Ah, diese Fraktionen. Der Mensch ist wie ein Bruchteil. Freundschaft. Obst in Russland.

"Quadratische Eigenschaften" - die Aufgaben der Zusammenfassung. Erstaunliche quadratische Eigenschaften. Aufgaben zum Schneiden von Quadrat. Was ist das Quadrat? Platz auf dem Platz. Quadratischer Bereich mehr Bereiche eines jeden Rechtecks. Die wichtigsten Eigenschaften des Platzes. Die Kampfreihenfolge der Infanterie in Form eines Quadrats. Ziele der Zusammenfassung. Was ist das Geheimnis von Origami. Quadrat. Inhaltsverzeichnis. Origami. Tangram. Quadrat in der Mathematik.

"" Mündliches Konto "Grade 6 Mathematik" - ein mathematisches Labyrinth. Ergebnis. Knoten Finden Sie den arithmetischen Durchschnitt. Ob der Keilzeichen gleich ist. Knoten finden. Vereinfachen. Zahlen-Divisors 45. Unabhängige Arbeit. Unter den Zahlen sind festgestellt, dass in 2 und 5. Überprüfung unterteilt sind. Verbales Zählen Oralkonto (an einer Kette). Berechnung.

"Kreuzworträtsel in Mathematik" - Mathematik. Werkzeug zum Zeichnen von Kreisen. Kreuzworträtsel. Die Welt der mathematischen Kreuzworträtsel. Mathematische Aktion. Kreuzworträtselregeln. Sorten von Kreuzworträtseln. Schnitt, der zwei Punkte verbindet. Geschichte. Abschnitt der Mathematik.

"Mathematische Spiele für Grad 6" - Entschlüsseln Sie die Inschrift. Kleine Spule, aber wertvoll. Berühmte Mathematiker. Welche zwei Ziffern endet die Arbeit. Wie viel kostet das Buch. Ägyptische Mathematik. Union "und". Länge messen Setzen Sie eine Reihe von drei Zahlen fort. Frohe Fragen. Spielregel. Archimedes. Während wie oft der Weg in der 16. Etage des Hauses länger in den 4. Stock ist. Wie viel Äpfel waren. Protokollsäge in Halbmähmsprotokollen. Bruder Professor. Die Treppe steigt an.

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe von linearen Gleichungen, die auf demselben Algorithmus gelöst werden - weil sie einfachste genannt werden.

Um damit zu beginnen, werden wir definieren: Was ist eine lineare Gleichung und das, was Sie am einfachsten nennen können?

Die lineare Gleichung ist, dass nur eine Variable vorhanden ist und ausschließlich im ersten Grad.

Unter der einfachsten Gleichung impliziert ein Design:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf den einfachsten reduziert:

1. Klammern aufdecken, wenn sie sind;
2. Übertragen Sie die Begriffe, die eine variable Einheit aus dem Gleichungszeichen enthalten, und die Komponenten ohne Variablen - zum anderen;
3. Erstellen Sie ähnliche Komponenten links und rechts vom Zeichen der Gleichheit;
4. Teilen Sie die erhaltene Gleichung auf den Koeffizienten mit einer variablen $ x $ auf.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass manchmal nach all diesen Machinationen der Koeffizient mit einer variablen $ x $ als Null herausschaltet. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn zum Beispiel etwas im Sinne von $ 0 \\ cdot x \u003d 8 $ erhalten wird, d. H. Die Linke ist Null und rechts - eine andere Zahl als Null. In dem untenstehenden Video werden wir auf einmal mehrere Gründe in Betracht ziehen, nach denen diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung ist alle Zahlen. Der einzige Fall, in dem dies möglich ist - die Gleichung wird auf das Design von $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $ reduziert. Es ist ziemlich logisch, dass alles, was wir substituiert haben, immer noch ausarbeiten wird "Null ist Null", d. H. Treue numerische Gleichheit.

Und jetzt sehen wir uns, wie alles am Beispiel echte Aufgaben arbeitet.

Beispiele für das Lösen von Gleichungen

Heute engagieren wir uns mit linearen Gleichungen und nur der einfachste. Im Allgemeinen impliziert unter der linearen Gleichung jede Gleichstellung, die genau eine Variable an sich enthält, und es ist nur im ersten Grad.

Diese Designs werden ungefähr gleichermaßen gelöst:

1. Zunächst ist es notwendig, Klammern anzuzeigen, wenn sie (wie in unserem letzten Beispiel);
2. Dann reduzieren Sie dengleichen
3. Endlich, um die Variable zurückzuziehen, d. H. Alles, was mit der Variablen zugeordnet ist, sind die Komponenten, in denen er enthalten ist - um eine Richtung zu übertragen, und alles, was ohne ihn verbleibt, transferieren Sie auf die andere Seite.

In der Regel ist es in der Regel notwendig, ähnliche von jeder Seite der erhaltenen Gleichheit mitzubringen, und danach bleibt er nur in den Koeffizienten an der "ICC" unterteilt, und wir erhalten die endgültige Antwort.

Theoretisch sieht es wunderschön aus und einfach, aber in der Praxis können sogar erfahrene Studierende von High Schools beleidigende Fehler in ausreichend einfachen linearen Gleichungen tätigen. Normalerweise sind Fehler entweder bei der Offenlegung von Klammern oder beim Berechnen der "PLUSES" und "Minus" zulässig.

Darüber hinaus kommt es passiert, dass die lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, so dass die Lösung alle numerischen Geraden ist, d. H. Irgendeine Nummer. Diese Feinheiten, die wir in der heutigen Lektion analysieren werden. Aber lass uns anfangen, wie du schon verstanden hast, mit den einfachsten Aufgaben.

Schema, das die einfachsten linearen Gleichungen löst

Lassen Sie mich für den Anfang erneut das gesamte Schema für die Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Offenbaren Klammern, wenn sie sind.
2. Wir geben Variablen, d. H. Alles, was "ICES" enthält, wird auf eine Seite übertragen, und ohne "ICs" zu einem anderen.
3. Wir geben ähnliche Begriffe.
4. Wir teilen alles auf den Koeffizienten am "ICC".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es hat bestimmte Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Wir lösen die eigentlichen Beispiele für einfache lineare Gleichungen

Aufgabe Nummer 1.

Im ersten Schritt müssen wir Klammern offenbaren. Aber in diesem Beispiel gibt es keine sie, also überspringen wir diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir Variablen zurückziehen. Bitte beachten Sie: Wir sprechen nur über individuelle Begriffe. Lass uns schreiben:

Wir geben solche Komponenten links und rechts, aber es ist hier bereits erledigt. Gehen Sie daher in den vierten Schritt: geteilt durch das Verhältnis:

\\ [\\ Frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Task Nummer 2.

In dieser Aufgabe können wir Klammern beobachten, also zeigen wir sie:

Und auf der linken Seite und rechts sehen wir über das gleiche Design, aber lass uns nach dem Algorithmus handeln, d. H. Variablen verhindern:

Lass uns ähnlich geben:

Unter welchen Wurzeln läuft es. Antwort: für jeden. Daher kann es geschrieben werden, dass $ x $ eine beliebige Nummer ist.

Task Nummer 3.

Die dritte lineare Gleichung ist interessanter:

\\ [\\ Links (6-× \\ rechts) + \\ links (12 + x \\ rechts) - \\ links (3-2x \\ rechts) \u003d 15 \\]

Es gibt mehrere Klammern, aber sie werden nicht mit irgendetwas multipliziert, nur vor ihnen sind unterschiedliche Anzeichen. Lass uns offenbaren:

Wir führen den zweiten Schritt, der uns bereits bekannt ist, durchführen:

\\ [x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]

Erwägen:

Wir führen den letzten Schritt durch - wir teilen alles auf den Koeffizienten auf "X":

\\ [\\ Frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]

Was Sie brauchen, um sich zu erinnern, wenn Sie lineare Gleichungen lösen

Wenn Sie von zu einfachen Aufgaben ablenken, möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, gibt es möglicherweise Null unter ihnen - es ist nichts schreckliches dabei.

Null ist die gleiche Nummer wie der Rest, es ist nicht notwendig, irgendwie zu diskriminieren oder anzunehmen, wenn Sie Null bekommen, dann haben Sie etwas falsch gemacht.

Ein weiteres Merkmal ist mit der Offenbarung der Klammern verbunden. Bitte beachten Sie: Wenn sie vor ihnen "minus" sind, entfernen wir es, aber in Klammern wechseln Sie Zeichen an gegenteil. Und dann können wir es nach Standard-Algorithmen offenlegen: Wir bekommen, was Sie die Berechnungen oben gesehen haben.

Wenn Sie diese einfache Tatsache verstehen, erlaubt Ihnen, dass Sie nicht dumme und beleidigende Fehler in High Schools zulassen, wenn die Ausführung solcher Handlungen als erteilt angesehen werden.

Lösung komplexer linearer Gleichungen

Lassen Sie uns komplexere Gleichungen wenden. Nun werden die Designs komplizierter und die quadratische Funktion tritt auf, wenn Sie verschiedene Transformationen durchführen. Es lohnt sich jedoch nicht, Angst zu haben, denn wenn von dem Autor wir die lineare Gleichung lösen, dann sind alle in dem Umwandlungsprozess mit einer quadratischen Funktion aufgeschlossen, um sicherzustellen, dass sie verringert werden.

Beispiel №1.

Das erste, was Sie brauchen, um Klammern anzuzeigen. Lass es uns sehr sorgfältig machen:

Jetzt werden wir mit der Einsamkeit umgehen:

\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]

Wir bieten ähnliche an:

Natürlich hat diese Gleichung keine Lösungen, daher in der Antwort und schreiben:

\\ [\\ \\ Varnothing \\]

oder keine Wurzeln.

Beispiel Nummer 2.

Führen Sie die gleichen Aktionen aus. Erster Schritt:

Wir übertragen alles mit einer Variablen nach links und ohne es - richtig:

Wir bieten ähnliche an:

Es ist offensichtlich, dass diese lineare Gleichung keine Lösung hat, also schreiben wir:

\\ [\\ \\ varnothing \\],

entweder keine Wurzeln.

Nuancenlösungen

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Mit dem Beispiel dieser beiden Ausdrücke waren wir erneut davon überzeugt, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein konnte: Die Wurzeln können entweder eins oder ein einzelner oder unendlich viel sein. In unserem Fall betrachteten wir zwei Gleichungen, in beiden Wurzeln gibt es einfach Nein.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache ziehen: Wie man mit Klammern zusammenarbeitet und wie man sie offenlegen soll, wenn es ein "Minus" -Zeichen gibt. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Bevor Sie sich enthüllen, müssen Sie alles auf X multiplizieren. Bitte beachten Sie: Multipliziert jede separate Begriff. Innerhalb gibt es zwei Begriffe - jeweils die beiden Komponenten und multipliziert.

Und erst nach diesen scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen können Sie eine Halterung aus der Sicht offenlegen, die danach ein "Minus" -Zeichen ist. Ja, ja: Nur jetzt, wenn die Umwandlungen gemacht werden, denken wir daran, dass das Zeichen "Minus" vor den Klammern steht, was bedeutet, dass alles, was unten in der Unterseite ist, nur Zeichen ändert. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem verschwindet die Front "Minus" auch.

Wir machen es auch mit der zweiten Gleichung:

Ich achte nicht versehentlich auf diese Kleine, sondern erscheint geringe Fakten. Da die Lösung der Gleichungen immer eine Folge von Elementartransformationen ist, wo die Unfähigkeit, eindeutig und kompetent eindeutig und kompetent durchzuführen, führt die Tatsache, dass Schüler von High Schools zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, und Sie werden diese Fähigkeiten in den Automatismus decken. Sie müssen nicht mehr so \u200b\u200bviele Transformationen jedes Mal ausführen, Sie schreiben alles in einer Zeile. Aber während Sie nur lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösung von noch komplexeren linearen Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, sind bereits schwierig, die einfachste Aufgabe aufzurufen, aber die Bedeutung bleibt gleich.

Aufgabe Nummer 1.

\\ [\\ \\ links (7x + 1 \\ rechts) \\ links (3x-1 \\ rechts) -21 (((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]

Senden wir alle Elemente in den ersten Teil:

Lassen Sie uns eine Privatsphäre machen:

Wir bieten ähnliche an:

Führen Sie den letzten Schritt aus:

\\ [\\ Frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]

Hier ist unsere endgültige Antwort. Und trotz der Tatsache, dass wir eine quadratische Funktion im Prozess der Lösung haben, aber sie sich gegenseitig zerstört haben, was die Gleichung genau linear und nicht quadratisch macht.

Task Nummer 2.

\\ [\\ Linke (1-4x \\ rechts) \\ links (1-3x \\ rechts) \u003d 6x \\ links (2x-1 \\ rechts) \\]

Lassen Sie uns den ersten Schritt ordentlich ausführen: Sie multiplizieren jedes Element von der ersten Halterung an jedem Element von der zweiten. Insgesamt sollten nach Transformationen vier neue Begriffe geben:

Und nun ordentlich Multiplikation in jeder Probe ausführen:

Wir übertragen die Bedingungen mit den "IKS" links und ohne - richtig:

\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]

Wir geben ähnliche Bedingungen:

Wir haben wieder die endgültige Antwort.

Nuancenlösungen

Die wichtigste Note zu diesen beiden Gleichungen ist wie folgt: Sobald wir anfangen, die Klammern zu multiplizieren, in denen es mehr gibt, in dem es mehr ist, als es der Begriff ist, läuft dies auf der folgenden Regel: Wir nehmen den ersten Begriff von der ersten und drehen mit jedem Element mit dem zweiten; Dann nehmen wir das zweite Element von der ersten und ähnlich, um mit dem zweiten Element mit jedem Element zu drehen. Infolgedessen haben wir vier Bedingungen.

Über den algebraischen Betrag

Im letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was ein algebraischer Betrag ist. In einer klassischen Mathematik unter 1 bis 7 $ bedeutet wir ein einfaches Design: Ich ziehe sieben vom Gerät ab. In Algebra meinen wir mit den folgenden: Durch die Nummer "Einheit" fügen wir eine andere Zahl hinzu, nämlich "minus sieben". Dieser algebraische Betrag unterscheidet sich von der üblichen Arithmetik.

Wenn Sie einmal alle Umwandlungen, jede Zugabe und Multiplikation durchführen, werden Sie beginnen, die Strukturen ähnlich wie oben zu sehen, keine Probleme in der Algebra, wenn Sie mit Polynomialen und Gleichungen arbeiten, nicht.

Abschließend betrachten wir ein paar Beispiele, die noch komplexer sind als diejenigen, die wir gerade berücksichtigen, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus etwas ausbauen.

Lösung der Gleichungen

Um solche Aufgaben zu lösen, muss unser Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus erinnern:

1. Klammern entfernen.
2. Pensionsvariablen.
3. Ähnliches erstellen
4. Auf den Koeffizienten teilen.

Leider ist dieser schöne Algorithmus mit all seiner Wirksamkeit nicht ganz angemessen, wenn wir einen Bruchteil haben. Und in der Tatsache, dass wir unten sehen werden, haben wir nach links, und das Recht in beiden Gleichungen gibt es einen Bruchteil.

Wie funktioniert man in diesem Fall? Ja, alles ist sehr einfach! Dazu müssen Sie einen weiteren Schritt im Algorithmus hinzufügen, der sowohl vor der ersten Aktion als auch danach durchgeführt werden kann, nämlich Fraktionen loswerden. Somit wird der Algorithmus wie folgt sein:

1. Risse von Fellen los.
2. Klammern entfernen.
3. Pensionsvariablen.
4. Ähnliches erstellen
5. Auf den Koeffizienten teilen.

Was bedeutet "Fraktionen loswerden"? Und warum kann es sich nach und vor dem ersten Standardschritt gemacht? In unserem Fall sind in unserem Fall alle Fraktionen vom Nenner numerisch, d. H. Überall im Nenner ist nur eine Zahl. Wenn wir beide Teil der inländischen Gleichung für diese Zahl sind, werden wir Fraktionen loswerden.

Beispiel №1.

\\ [\\ Frac (links (links (2x + 1 \\ rechts) \\ links (2x-3 \\ rechts)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]

Lassen Sie uns Fraktionen in dieser Gleichung loswerden:

\\ [\\ Frac (links (links (2x + 1 \\ rechts) \\ links (2x-3 \\ rechts) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ links ((((x) ^ (2)) - 1 \\ rechts) \\ CDOT vier \\]

Bitte beachten Sie: "Vier" multipliziert alle einmal, d. H. Wenn Sie zwei Klammern haben, bedeutet dies nicht, dass jeder von ihnen mit "vier" multipliziert werden muss. Wir schreiben:

\\ [\\ \\ links (2x + 1 \\ rechts) \\ links (2x-3 \\ rechts) \u003d \\ links (((((x) ^ (2)) - 1 \\ rechts) \\ cdot 4 \\]

Jetzt offenbaren:

Führen Sie eine variable Einsamkeit aus:

Wir führen die Schaffung ähnlicher Hinweise auf:

\\ [- 4x \u003d -1 \\ links | : \\ Links (-4 \\ rechts) \\ richtig. \\]

\\ [\\ Frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]

Wir haben eine endgültige Entscheidung erhalten, gehen Sie zur zweiten Gleichung.

Beispiel Nummer 2.

\\ [\\ Frac (\\ linke (1-x \\ rechts) \\ links (1 + 5x \\ rechts)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]

Hier führen wir alle gleichen Maßnahmen aus:

\\ [\\ Frac (links (links (1-x \\ rechts) \\ links (1 + 5x \\ rechts) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]

\\ [\\ Frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]

Die Aufgabe ist gelöst.

In der Tat wollte ich heute alles, was ich heute erzählen wollte.

Schlüsselpunkte

Die wichtigsten Schlussfolgerungen lauten wie folgt:

• Kennen Sie den Algorithmus, um lineare Gleichungen zu lösen.
• Die Fähigkeit, Klammern anzuzeigen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo quadratische Funktionen haben, werden sie am wahrscheinlichsten im Prozess weiterer Transformationen reduziert.
• Wurzeln in linearen Gleichungen, sogar am einfachsten, sind drei Typen: Einer ist die einzige Wurzel, die ganze Zahl gerade ist die Wurzel, es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen helfen wird, das einfache, aber sehr wichtig für das weitere Verständnis des gesamten Mathematik-Themas zu beherrschen. Wenn etwas unverständlich ist, gehen Sie zur Website, lösen Sie die dort dargestellten Beispiele. Bleib bei uns, du wartest auf viele interessante!

Wir haben bereits gelernt, eckige Gleichungen zu lösen. Jetzt verbreiten wir die untersuchten Methoden für rationale Gleichungen.

Was ist ein rationaler Ausdruck? Wir sind bereits auf dieses Konzept gestoßen. Rationale Ausdrücke Sie werden als Ausdrücke genannt, die aus Zahlen, Variablen, ihren Abschlüssen und Anzeichen mathematischer Handlungen bestehen.

Dementsprechend werden die rationalen Gleichungen als Gleichungen des Formulars bezeichnet: wobei - rationale Ausdrücke.

Zuvor gaben wir nur die rationalen Gleichungen an, die auf lineare reduziert werden. Betrachten Sie nun sowohl die rationalen Gleichungen, die reduziert und quadratisch sind.

Beispiel 1.

Gleichung lösen :.

Entscheidung:

Die Fraktion ist 0, wenn und nur, wenn sein Zähler 0 ist, und der Nenner ist nicht gleich 0.

Wir erhalten das folgende System:

Die erste Systemgleichung ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir uns entscheiden, dividieren wir alle Koeffizienten um 3.

Wir bekommen zwei Wurzeln :; .

Da 2 niemals gleich 0 ist, ist es notwendig, dass zwei Bedingungen durchgeführt werden: . Da keine der Gleichung die oben erhaltene Gleichung nicht mit den inakzeptablen Werten der Variablen übereinstimmt, die sich herausstellte, um die zweite Ungleichung zu lösen, sind sie beide Lösungen dieser Gleichung.

Antworten:.

Lassen Sie uns also den Algorithmus formulieren, um rationale Gleichungen zu lösen:

1. Um alle Begriffe in den linken Teil zu übertragen, so dass sie im rechten Teil herausstellt 0.

2. Verwandeln und vereinfachen Sie den linken Teil, bringen Sie alle Fraktionen in den allgemeinen Nenner.

3. Die resultierende Fraktion zur Gleichung von 0, gemäß dem folgenden Algorithmus: .

4. Notieren Sie die Wurzeln, die sich in der ersten Gleichung herausstellten, und erfüllen die zweite Ungleichheit als Antwort.

Betrachten wir ein anderes Beispiel.

Beispiel 2.

Gleichung lösen: .

Entscheidung

Zu Beginn verschieben wir alle Komponenten auf der linken Seite, so dass das Recht 0 bleibt. Wir erhalten:

Jetzt geben wir den linken Teil der Gleichung an den allgemeinen Nenner an:

Diese Gleichung entspricht dem System:

Die erste Systemgleichung ist eine quadratische Gleichung.

Die Koeffizienten dieser Gleichung :. Diskriminierungsmittel berechnen:

Wir bekommen zwei Wurzeln :; .

Jetzt lösen wir die zweite Ungleichung: Das Produkt von Multiplizierern ist nicht 0, wenn und nur, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.

Es ist notwendig, dass zwei Bedingungen durchgeführt werden: . Wir bekommen das von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eins - 3 geeignet.

Antworten:.

In dieser Lektion erinnerten wir uns daran, dass ein solcher rationaler Ausdruck gelernt wurde, und er lernte, rationale Gleichungen zu lösen, die auf eckige Gleichungen reduziert werden.

In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modell echter Situationen ansehen und die Bewegungsaufgaben berücksichtigen.

Referenzliste

1. Bashmakov M.i. Algebra, Grade 8. - M.: Erleuchtung, 2004.
2. Dorofeyev G.V., SUVOROVA S.B., Baynovich E.A. und andere. Algebra, 8. 5. - M.: Erleuchtung, 2010.
3. Nikolsky s.m., Potapov ma, Reshetnikov n.n., Shevkin A.V. Algebra, Grade 8. Lehrbuch für allgemeine Bildungseinrichtungen. - M.: Bildung, 2006.

1. Festival der pädagogischen Ideen "Open Lesson" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Hausaufgaben

"Gauß-Methode und Crawler" - Gauß-Methode. Elementartransformationen. Wir unterteilen die erste Gleichung des Systems (1) auf A11. (fünf). Gauß starb am 23. Februar 1855 in Göttingen. Gauß-Methode ist ein klassisches Verfahren zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Dann werden X2 und X3 in die erste Gleichung ersetzt und X1 gefunden. Lassen Sie den Koeffizienten.

"Gleichungen und Ungleichung" lautet wie folgt: Bau in einem Systemkoordinaten der Grafiken von zwei Funktionen. 4. Grafikmethode beim Bestimmen der Anzahl der Wurzeln der Gleichung. 3. Wie viele Wurzeln haben eine Gleichung? 2. Finden Sie den Betrag der Zahlen, die Ungleichheit erfüllen. Lösungssystem grafisch. 3. Finden Sie die Lücke, die die größte Ganzzahl zufrieden mit der Ungleichheit enthielt.

"Theorem Gausa-Markova" - wir beweisen die Inkonsistenz von Schätzungen (7.3). Wir bilden einen Vektor und eine Matrix von systembasierten Koeffizienten (7.2). Wenn die Matrix X NOLLYLLELEAR und der Vektor zufällige Störungen die folgenden Anforderungen erfüllt: wo. (7.7). Um den gewünschten Extremumzustand zu erhalten, differenzieren Sie (7.6) vom Parametervektor.

"Methoden zur Lösung von Gleichungen von Gleichungen" - B. 1. Berechnen: 14. 6. Wie viele Prozent ist die Zahl 8 von ihrem Platz? 12. 7. Finden Sie die höchste Wurzel der Gleichung. 9. Welches Merkmal ist die Grafik in der Figur? Finden Sie den Wert des Ausdrucks. %. H. O. V. 15x + 10 (1 - X) \u003d 1.

"Irrationale Gleichung" - Finden Sie einen Fehler. Gleichungen, bei denen die Variable unter der Wurzel enthalten ist, wird irrational bezeichnet. ? X - 6 \u003d 2? x - 3 \u003d 0? x + 4 \u003d 7? 5 - x \u003d 0? 2 - X \u003d X + 4. Problem: Die Studierenden wissen nicht immer, wie sie Informationen über die irrationalen Gleichungen bewusst nutzen können. Ist die Nummer x die Wurzel der Gleichung: a)? x - 2 \u003d? 2 - x, x0 \u003d 4 b) 2 - x \u003d? x - 2, x0 \u003d 2 v)? x - 5 \u003d? 2x - 13, x0 \u003d 6 g)? 1 - x \u003d? 1 + x, x0 \u003d 0.

"Die Lösung der Gleichungen mit dem Parameter" ist eine Lösung. Beispiel. 6. Klasse. Beispiele: In der Grad 5, wenn die Wiederholung der Eigenschaften von Zahlen, sind Beispiele in Betracht gezogen werden. Bei außerschulischen Aktivitäten in der Mathematik in der 6. Klasse ist die Lösung der Gleichungen mit den Parametern des Formulars: 1) AH \u003d 6 2) (A - 1) x \u003d 8,3 3) BX \u003d -5 wird berücksichtigt. Wenn A \u003d -1/2, erhalten wir Gleichung 0x \u003d 0. Die Gleichung hat unendliche Set-Lösungen.

Insgesamt im Gegenstand von 49 Präsentationen