Formeln, um trigonometrische Funktionen zu vereinfachen. Identische Transformationen von trigonometrischen Ausdrücken

Voronkov Olga Ivanovna.

MBou "Mittelschule

№ 18 "

g. Engels Saratov Region.

Mathematischer Lehrer.

"Trigonometrische Ausdrücke und ihre Transformationen"

Einführung ................................................. ................................... .... 3

Kapitel 1 Klassifizierung von Aufgaben zur Verwendung von Transformationen von trigonometrischen Ausdrücke ..................................... ............................... ... 5.

1.1. Aufgaben zur Berechnung Werte von trigonometrischen Ausdrücken ......... 5

1.2. Aufgaben zur Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke .... 7

1.3. Aufgaben zum Umwandeln numerischer trigonometrischer Ausdrücke ....7

1.4 Aufgaben des gemischten Typs .............................................. ................................. 9.

Kapitel 2. Methodische Aspekte Organisation der letzten Wiederholung des Themas "Transformation von trigonometrischen Ausdrücke" ............................... .. 11.

2.1 Thematische Wiederholung in der 10. Klasse ........................................... .. ... 11.

Test 1 ................................................ ...............................................12.

Test 2 ................................................ .......................................... ..13.

Test 3 ................................................ ...............................................14.

2.2 Gesamtwiederholung in der 11. Klasse ............................................. ..........................

Test 1 ................................................ .......................................... ..17.

Test 2 ................................................ .................................................. ........17.

Test 3 ................................................ .......................................... ..18.

Fazit ................................................. .................................................. 19.

Liste der gebrauchte Literatur .............................................. ...... .20.

Einführung

In den heutigen Bedingungen ist das Wichtigste die Frage: "Wie können wir dazu beitragen, einige Lücken in der Kenntnis von Studenten zu beseitigen und sie von möglichen Fehlern auf der Prüfung zu warnen?" Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, von den Schülern keine formelle Assimilation des Softwarematerials und seines tiefen und bewussten Verständnisses, der Entwicklung der Geschwindigkeit der mündlichen Rechen- und Transformationen sowie der Entwicklung der Fähigkeiten der Lösung des einfachste Aufgaben im Kopf. Es ist notwendig, die Jünger in der Tatsache zu überzeugen, dass nur in Anwesenheit einer aktiven Position, wenn sie Mathematik studieren, vorbehaltlich der Erwerb von praktischen Fähigkeiten, Fähigkeiten und deren Verwendung, auf den richtigen Erfolg zählen kann. Es ist notwendig, jede Gelegenheit zur Vorbereitung auf die Verwendung, einschließlich Wahlelemente in 10-11-Klassen, nutzen, regelmäßig komplexe Aufgaben mit Studenten analysieren, indem sie die rationalisierte Art, in Lektionen und zusätzlichen Klassen zu lösen.Positives Ergebnis B.der Bereich der Lösungen typischer Aufgaben kann erreicht werden, wenn die Lehrer der Mathematik-Lehrer erstellt werden Gute Grundausbildung von Studenten, sucht nach neuen Wegen, um Probleme zu lösen, die vor uns geöffnet haben, aktiv experimentieren, moderne pädagogische Technologien, Methoden, Techniken anwenden, die günstige Bedingungen für eine wirksame Selbstverwirklichung und Selbstbestimmung von Studenten an neuen sozialen Bedingungen erstellen.

Trigonometrie ist ein wesentlicher Bestandteil des Schulkurs der Mathematik. Gutes Wissen und dauerhafte Trigonometrie-Fähigkeiten sind Hinweise auf ein ausreichendes Maß an mathematischer Kultur, ein unverzichtbarer Zustand für ein erfolgreiches Studium an der Universität Mathematik, Physik, eine Reihe von technischendisziplinen.

Relevanz der Arbeit.. Ein erheblicher Teil der Schulabsolventen zeigt von Jahr zu den Jahr sehr schwachen Vorbereitungen auf diesem wichtigen Teil der Mathematik, der von den Ergebnissen vergangener Jahre (der Prozentsatz von 2011-248.41%, 2012-51,05%), seit der Analyse der Die Kommission einer einzelnen staatlichen Prüfung zeigte, dass die Schüler viele Fehler bei der Durchführung der Aufgaben dieses bestimmten Abschnitts ermöglichen oder nicht für solche Aufgaben aufgenommen werden. In Eins Die staatlichen Prüfungsfragen zu Trigonometrien befinden sich in fast drei Arten von Aufgaben. Dies ist die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen in der Aufgabe der Q5 und arbeiten mit trigonometrischen Ausdrücken in der Q7-Aufgabe sowie die Untersuchung von trigonometrischen Funktionen in einer Q14-Aufgabe sowie Q12, in dem es Formeln gibt, in denen physikalische Phänomene beschrieben werden, die physikalische Phänomene beschreiben und enthalten trigonometrische Funktionen. Und das ist nur ein Teil der Aufgaben in! Es gibt jedoch noch geliebte trigonometrische Gleichungen mit der Auswahl der Wurzeln C1 und "nicht sehr geliebte" geometrische Aufgaben C2 und C4.

Zweck der Arbeit.. Analysieren des Materials von zB Aufgaben B7 auf trigonometrischem Ausdruck wandelt sich um und berücksichtigen Sie die Aufgaben, um sie in Tests zu bilden.

Die Arbeit besteht aus zwei Kapiteln, Einleitungen und Inhaftierung. Bei der Einführung wird die Relevanz der Arbeit betont. Das erste Kapitel bietet eine Klassifizierung von Aufgaben zur Verwendung von Transformationen von trigonometrischen Ausdrücken in den Testaufgaben der EGE (2012).

Das zweite Kapitel diskutiert die Organisation der Wiederholung des Themas "Transformation von trigonometrischen Ausdrücke" in 10, 11 Klassen und Tests in diesem Thema wurden entwickelt.

Die Liste der Referenzen umfasst 17 Quellen.

Kapitel 1. Klassifizierung von Aufgaben zur Verwendung von Transformationen von trigonometrischen Ausdrücken.

In Übereinstimmung mit dem Standard der mittleren (vollständigen) Bildung und den Anforderungen an das Trainingsniveau der Studierenden im Anforderungskodizierer sind Aufgaben zur Kenntnis von Trigonometrie enthalten.

Das Studium der Grundlagen der Trigonometrie wird am effektivsten sein, wenn:

es wird eine positive Motivation der Studierenden für die Wiederholung des zuvor untersuchten Materials geben.

der Bildungsprozess wird ein persönlichorientierter Ansatz umgesetzt.

das System der Aufgaben wird angewendet, der zur Ausweitung, Vertiefung, Systematisierung des Wissens der Schüler trägt;

erweiterte pädagogische Technologien werden verwendet.

Nach der Analyse der Literatur- und Internetressourcen zur Vorbereitung der Prüfung haben wir eine der möglichen Klassifizierungen der Aufgaben B7 (Kim EGE 2012 Trigonometrie): Aufgabenaufgaben vorgeschlagen Werte von trigonometrischen Ausdrücken; Aufgaben antransformation numerischer trigonometrischer Ausdrücke; aufgaben zum Umwandeln alphabetischer trigonometrischer Ausdrücke; Mischtypaufgaben.

1.1. Aufgaben zur Berechnung Werte von trigonometrischen Ausdrücken.

Eine der häufigsten Arten von einfachen Aufgaben auf Trigonometrie besteht darin, die Werte von trigonometrischen Funktionen durch den Wert eines von ihnen zu berechnen:

a) die Verwendung der wichtigsten trigonometrischen Identität und ihrer Folge.

Beispiel 1. . Finden Sie, ob
und
.

Entscheidung.
,
,

weil T.
.

Antworten.

Beispiel 2. . Finden
, wenn ein
und.

Entscheidung.
,
,
.

weil T.
.

Antworten. .

b) die Verwendung einer dualen Eckformel.

Beispiel 3. . Finden
, wenn ein
.

Entscheidung. . .

Antworten.
.

Beispiel 4. . Finden Sie den Wert des Ausdrucks
.

Entscheidung. .

Antworten.
.

, wenn ein
und
. Antworten. -0.2.

2. Finden , wenn ein
und
. Antworten. 0,4.

, wenn ein . Antworten. -12,88.

Finden

, wenn ein
. Antworten. -0.84.

. Antworten. 6.

1.2. Aufgaben zur Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke. Die Klärungsformeln sollten von den Studenten gut gelernt werden, da sie in den Lehren der Geometrie, Physik und anderen benachbarten Disziplinen weiternutzen werden.

Beispiel 5 . Vereinfachungen vereinfachen
.

Entscheidung. .

Antworten.
.

Aufgaben für Selbstlösungen:

Vereinfachen Sie den Ausdruck
.

Finden
, wenn ein
und

Finden Sie den Wert des Ausdrucks
, wenn ein
.

1.3. Aufgaben zum Umwandeln numerischer trigonometrischer Ausdrücke.

Wenn Sie die Fähigkeiten und Fähigkeiten von Aufgaben für die Umwandlung numerischitomischer Ausdrücke erarbeiten, sollten Sie auf das Wissen der Werte-Tabelle von trigonometrischen Funktionen, den Eigenschaften der Parität und der Häufigkeit von trigonometrischen Funktionen achten sollten.

a) Die Verwendung von genauen Werten von trigonometrischen Funktionen für einige Winkel.

Beispiel 6. . Berechnung
.

Entscheidung.
.

Antworten.
.

b) Verwendung von Paritätseigenschaften trigonometrische Funktionen.

Beispiel 7. . Berechnung
.

Entscheidung. .

Antworten.

im) Verwendung von Häufigkeitseigenschaftentrigonometrische Funktionen.

Beispiel 8. . Finden Sie den Wert des Ausdrucks
.

Entscheidung. .

Antworten.
.

Aufgaben für Selbstlösungen:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks
.

2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks
.

3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks
. Antworten. 6.

.

1.4 Mischtypaufgaben.

Die Testform der Zertifizierung hat sehr wichtige Merkmale, so dass es wichtig ist, auf die auf die Verwendung mehrerer trigonometrischer Formeln verbundene Aufgaben zu achten, die gleichzeitig verbunden sind.

Beispiel 9. Finden
, wenn ein
.

Entscheidung.
.

Antworten.
.

Beispiel 10. . Finden
, wenn ein
und
.

Entscheidung. .

weil T.
.

Antworten.
.

Beispiel 11. Finden
, wenn ein .

Entscheidung. , ,
,
,
,
,
.

Antworten.

Beispiel 12. Berechnung
.

Entscheidung. .

Antworten.
.

Beispiel 13. Finden Sie den Wert des Ausdrucks
, wenn ein
.

Entscheidung. .

Antworten.
.

Aufgaben für Selbstlösungen:

Finden
, wenn ein
.

Finden
, wenn ein
.

3. FINDEN
, wenn ein .

4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks
, wenn ein
.

5. Finden Sie den Wert des Ausdrucks
, wenn ein
.

Kapitel 2. Methodische Aspekte Organisation der endgültigen Wiederholung des Themas "Transformation von trigonometrischen Ausdrücken".

Eine der wichtigsten Fragen, die zur weiteren Verbesserung der akademischen Leistung beiträgt, ist die Erreichung tiefer und dauerhafter Kenntnisse der Studierenden die Frage der Wiederholung des zuvor passierten Materials. Die Praxis zeigt, dass es in der 10. Klasse ratsam ist, die thematische Wiederholung zu organisieren; In der 11. Klasse - die letzte Wiederholung.

2.1. Thematische Wiederholung in der 10. Klasse.

Bei dem Arbeitsprozess an mathematischem Material ist die Wiederholung jedes fertigen Themas oder eines ganzen Abschnitts des Kurses besonders wichtig.

Bei tötender Wiederholung wird das Wissen der Schüler auf der Endphase seiner Passage systematisiert oder nach einiger Unterbrechung.

Zur thematischen Wiederholung werden spezielle Lektionen zugeteilt, die das Material eines Themas konzentriert und zusammenfasst.

Die Wiederholung in der Lektion wird durch Gespräch mit der breiten Beteiligung von Studenten in diesem Gespräch durchgeführt. Danach erhalten die Studierenden eine Aufgabe, ein bestimmtes Thema zu wiederholen, und werden gewarnt, dass Testarbeit in Tests durchgeführt werden.

Test auf dem Thema sollten alle wichtigen Fragen einschließen. Nach der Arbeit wird es von charakteristischen Fehlern analysiert und eine Wiederholung organisiert, um sie zu beseitigen.

Für den Unterricht der thematischen Wiederholung werden wir entwickelt testarbeit in Form von Testszum Thema "Transformation von trigonometrischen Ausdrücken".

Test Nr. 1.

Test Nummer 2.

Testnummer 3.

Tabelle der Antworten

Prüfung

2.2. Endgültige Wiederholung in der Klasse 11.

Die endgültige Wiederholung erfolgt in der letzten Stufe des Studiums der Hauptfragen des Verlaufs der Mathematik und wird in einer logischen Verbindung mit der Untersuchung des Bildungsmaterials in diesem Abschnitt oder dem Kurs insgesamt durchgeführt.

Die endgültige Wiederholung des Bildungsmaterials strebt an:

1. Aktivierung des Materials des gesamten Schulungskurs, um seine logische Struktur zu klären und das System in Innensektor und zwischen den Subjektverbindungen zu bauen.

2. Tieferation und, wenn möglich, erweitert das Wissen der Schüler über die wichtigsten Fragen des Kurses im Wiederholungsprozess.

Bei den Pflichtbedingungen für alle Absolventen der Übermittlung der Prüfung in der Mathematik lässt die schrittweise Einführung der Nutzung die Lehrer auf einen neuen Weg zur Vorbereitung und Durchführung von Lehren, Angesichts der Notwendigkeit, die Beherrschung aller Studenten des Bildungsmaterials an der Basis sicherzustellen Ebene sowie die Möglichkeit motivierter Studierende, die daran interessiert sind, hohe Punkte für die Zulassung zur Universität, der dynamischen Förderung in den Mastering-Materialien auf einem erhöhten und hohen Niveau zu erhalten.

Im Ergebnis der endgültigen Wiederholung können Sie die folgenden Aufgaben berücksichtigen:

Entscheidung. \u003d.
= =
=
=
=
=0,5.

Geben Sie die größte Ganzzahl an, die ein Ausdruck annehmen kann
.

Entscheidung. Als
kann eine Bedeutung, die dem Segment gehört [-1; 1] Dann
nimmt einen Wert des Segments [-0.4; 0,4], daher. Ein ganzzahliger Wert des Ausdrucks ist eine - Nummer 4.

Vereinfachen Sie den Ausdruck
.

Lösung: Wir verwenden die Zersetzungsformel für die Faktoren der Würfel :. Haben

Wir haben:
.

Antwort 1.

Beispiel 4. Berechnung
.

Entscheidung. .

Antwort: 0,28.

Für den Unterricht der endgültigen Wiederholung schlagen wir entwickelte Tests zum Thema "Transformation von trigonometrischen Ausdrücke" vor.

Geben Sie die größte Ganzzahl an, nicht mehr, 1

Fazit.

Nach der Arbeit an der entsprechenden methodologischen Literatur zu diesem Thema kann der Schluss gezogen werden, dass die Fähigkeiten und die Fähigkeiten, um die mit trigonometrischen Transformationen im Schullauf der Mathematik verbundenen Aufgaben zu lösen, sehr wichtig ist.

Während der Arbeit wurde eine Klassifizierung der Aufgaben B7 durchgeführt. Die trigonometrischen Formeln gelten als am häufigsten in Kyakh 2012. Beispiele für Aufgaben mit Lösungen sind angegeben. Zur Organisation der Wiederholung und der Systematisierung von Wissen in Vorbereitung der Verwendung wurden unterschiedliche Tests entwickelt.

Es ist ratsam, die Arbeit fortzusetzen, indem Sie in Betracht ziehen Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen in der Aufgabe der Q5, der Untersuchung von trigonometrischen Funktionen in der Task der Q14-Tasks, Aufgaben B12, in dem es Formeln gibt, die physikalische Phänomene beschreiben und trigonometrische Funktionen enthalten.

Zusammenfassend möchte ich feststellen, dass die Wirksamkeit der Untersuchung der Verwendung weitgehend bestimmt wird, indem der Prozess des Trainings auf allen Ebenen des Lernens organisiert wird, mit allen Kategorien der Studenten. Und wenn wir uns in der Lage sein, sich auf dem Studenten auf Unabhängigkeit, Verantwortung und Bereitschaft zu bilden, um weiterhin das Lernen während des späteren Lebens zu lernen, werden wir nicht nur die Ordnung des Staates und der Gesellschaft erfüllen, sondern auch ihr eigenes Selbstwertgefühl verbessern.

Wiederholung von Bildungsmaterial erfordert einen kreativen Arbeitslehrer. Es sollte eine klare Verbindung zwischen den Arten der Wiederholung bereitstellen, indem ein tief durchdachtes Wiederholungssystem ausgeführt wird. Senden Sie die Kunst der Organisation der Wiederholung, ist die Aufgabe des Lehrers. Von seiner Lösung hängt weitgehend der Stärke des Wissens der Schüler ab.

Literatur.

Profitables J. Ja, Verzeichnis der elementaren Mathematik. -M.: Wissenschaft, 1970.

Ziele der erhöhten Schwierigkeit an Algebra und Anwaltsanwälte: Tutorial 10-11 Sekundarschulklassen / BM Ivlev, as. Abramov, Yu.p. Dudnitsyn, S.i. Schwartzbord. - M.: Erleuchtung, 1990.

Die Verwendung von grundlegenden trigonometrischen Formeln zur Transformation von Ausdrücken (10. Klasse) // Festival der pädagogischen Ideen. 2012-2013.

Koryanov A.g. , Prokofiev a.a. Wir bereiten uns auf die Prüfungen der Güte und Ehrungen vor. - M.: Pädagogische Universität "First September", 2012. - 103 p.

Kuznetsova e.n. Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken. Die Lösung von trigonometrischen Gleichungen durch verschiedene Verfahren (Vorbereitung für die Verwendung). 11. Klasse. 2012-2013.

Kulan E. D. 3000 Konkurrenzfähige Mathematikaufgaben. 4. ID., Tat. und hinzufügen. - M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.g. Methodische Probleme des Studiums der Trigonometrie in der Sekundarschule // Mathematik in der Schule. 2002. №6

Pichurin l.f. Über Trigonometrie und nicht nur darüber: -m. Bildung, 1985.

Reshetnikov n.n. Trigonometrie in der Schule: -m. : Pädagogische Universität "First September", 2006, Lux 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.a. Mathematik. Algebra. Beginn der mathematischen Analyse. Profilniveau: Tutorial für 10 - M.: Binin. Labor des Wissens, 2007.

Bildungsportal zur Vorbereitung auf die Prüfung.

Vorbereitung auf die Prüfung in der Mathematik "Oh, diese Trigonometrie! http://festival.1september.ru/artikel/621971/

Projekt "Mathematik? Einfach !!!"http://www.resolventa.ru/

Abschnitte: Mathematik

Klasse: 11

Lektion 1.

Gegenstand: Grad 11 (Vorbereitung für die Verwendung)

Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken.

Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (2 Stunden)

Ziele:

• Systematisieren, fassen, erweitern Sie das Wissen und die Fähigkeiten der Schüler, die mit der Verwendung von Trigonometrie-Formeln verbunden sind, und lösen Sie die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Ausrüstung für Lektion:

Lektion Struktur:

1. Orgmoment.
2. Testen auf Laptops. Die Diskussion der Ergebnisse.
3. Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken
4. Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen
5. Selbstständige Arbeit.
6. Das Ergebnis der Lektion. Erklärung der Aufgabe des Hauses.

1. Orgmant. (2 Minuten.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, kündigt den Betreff der Lektion an, erinnert daran, dass die Aufgabe zuvor gegeben wurde, die Trigonometrie-Formeln wiederholen und die Schüler anpassen zu testen.

2. Prüfung (15min + 3min. Diskussion)

Ziel ist es, das Wissen über trigonometrische Formeln und die Fähigkeit, sie anzuwenden, zu überprüfen. Jeder Schüler hat einen Laptop-Desk, in dem die Testversion.

Optionen können so viel sein, wie Sie möchten, ich werde ein Beispiel eines von ihnen geben:

Ich habe Option.

Vereinfachen Ausdrücke:

a) grundlegende trigonometrische Identitäten

1. SIN 2 3Y + COS 2 3Y + 1;

b) Ergänzung der Formeln

3. SIN5X - SIN3X;

c) die Umwandlung der Arbeit in der Menge

6. 2Sin8y cos3y;

d) Doppelwinkelformel

7. 2Sin5x cos5x;

e) Half-Ecken

e) Formeln der Triple-Ecken

g) Universalersatz

h) Kleiner Grad

16. cos 2 (3x / 7);

Studenten auf einem Laptop gegenüber jeder Formel sehen ihre Antworten.

Die Arbeit prüft sofort den Computer. Die Ergebnisse werden auf einem großen Bildschirm zu Universal Ferris angezeigt.

Auch nach dem Ende der Arbeit werden die richtigen Antworten auf Laptops angezeigt. Jeder Schüler sieht, wo der Fehler gemacht wird und welche Formeln er wiederholen muss.

3. Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken. (25 min.)

Ziel ist es, den Einsatz der grundlegenden Formeln der Trigonometrie wiederholen, auszuarbeiten und zu konsolidieren. Lösen Sie die Aufgaben B7 aus der Prüfung.

Zu diesem Zeitpunkt ist die Klasse ratsam, in starke Gruppen von starkem (unabhängig voneinander gefolgt von der Prüfung) und schwachen Studierenden, die mit dem Lehrer arbeiten, aufgeteilt werden.

Aufgabe für starke Studenten (auf einer gedruckten Basis vorbereitet). Der Hauptmerkmal erfolgt gemäß EGE 2011 auf der Formel des Bringings und des Doppelwinkels.

Vereinfachung der Ausdrücke (für starke Studenten):

Parallel dazu arbeitet der Lehrer mit schwachen Studenten, diskutieren und entscheiden sich unter dem Diktieren der Schüler der Aufgaben auf dem Bildschirm.

Berechnung:

5) SIN (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Vereinfachen:

Es gab eine Warteschlange der Erörterung der Ergebnisse einer starken Gruppe.

Antworten werden auf dem Bildschirm angezeigt, und mit Hilfe des Camcorders werden 5 verschiedene Studierende angezeigt (jeweils eine Aufgaben) angezeigt.

Eine schwache Gruppe sieht eine Bedingungs- und Lösungsmethode. Es gibt eine Diskussion und Analyse. Die Verwendung von technischen Mitteln bedeutet, dass es schnell passiert.

4. Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (30 Minuten.)

Ziel ist es, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu wiederholen, systematisieren und zusammenzufassen, ihre Wurzeln aufzunehmen. Problem lösen B3.

Jede trigonometrische Gleichung, egal wie wir es lösen, führt zum einfachsten.

Bei der Durchführung einer Aufgabe sollten die Studierenden an den Aufzeichnungen der Wurzeln der Sonderfälle und der allgemeinen Form und der allgemeinen Form und der Auswahl der Wurzeln in der letzten Gleichung gezahlt werden.

Gleichungen lösen:

Als Reaktion darauf, die kleinste positive Wurzel zu schreiben.

5. Unabhängige Arbeit (10 Minuten)

Ziel ist es, die gesammelten Fähigkeiten zu überprüfen, Probleme, Fehler und ihre Eliminierungspfade zu identifizieren.

Es wird vorgeschlagen, dass eine Vulneravas-Arbeit, um einen Studenten zu wählen, vorgeschlagen.

Option auf "3"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck 1 - SIN 2 3α - COS 2 3α

3) Gleichung lösen

Option auf "4"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Lösen Sie Gleichung Als Reaktion darauf, die kleinste positive Wurzel zu schreiben.

Option auf "5"

1) Finden Sie TGα, wenn

2) Finden Sie die Wurzel der Gleichung Notieren Sie sich als Antwort auf die kleinste positive Wurzel.

6. Ergebnisstunde (5 min.)

Der Lehrer fasst zusammen, dass trigonometrische Formeln, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen, wiederholt und an der Lektion gesichert wurde.

Eine Hausaufgabe ist mit einer selektiven Prüfung in der nächsten Lektion ein Hausaufgaben eingestellt (auf einer gedruckten Basis vorbereitet).

Gleichungen lösen:

9)

10) Als Antwort auf die kleinste positive Wurzel.

Lektion 2.

Gegenstand: Grad 11 (Vorbereitung für die Verwendung)

Verfahren zur Lösungsmethode von trigonometrischen Gleichungen. Auswahl der Wurzeln. (2 Stunden)

Ziele:

• Zusammenfassend und systematisieren Sie das Wissen, um die trigonometrischen Gleichungen verschiedener Typen zu lösen.
• Um die Entwicklung des mathematischen Denkens von Studenten zu fördern, die Fähigkeit, zu beobachten, zu vergleichen, zusammenzufassen, zu klassifizieren.
• Bewegen Sie die Studierenden, um Schwierigkeiten im Prozess der geistigen Tätigkeit zu überwinden, zur Selbstkontrolle, Selbstanalyse seiner Aktivitäten.

Ausrüstung für Lektion: Crum, Laptops für jeden Schüler.

Lektion Struktur:

1. Orgmoment.
2. Diskussion D / S und Samot. Arbeit der letzten Lektion
3. Wiederholung von Lösungen von trigonometrischen Gleichungen.
4. Trigonometrische Gleichungen lösen
5. Die Auswahl der Wurzeln in trigonometrischen Gleichungen.
6. Selbstständige Arbeit.
7. Das Ergebnis der Lektion. Hausaufgaben.

1. Orgmoment (2 min.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, kündigt das Thema der Lektion und des Arbeitsplans an.

2. a) Hausaufgaben (5 min)

Das Ziel ist es, die Ausführung zu überprüfen. Ein Job mit einer Videokamera wird auf dem Bildschirm angezeigt, der Rest wird selektiv den Lehrer überprüfen.

b) Analyse unabhängiger Arbeit (3 min.)

Ziel ist es, Fehler zu machen, Wege angeben, um sie zu überwinden.

Auf dem Bildschirmantworten und -entscheidungen haben die Studierenden ihre Arbeit vorgegeben. Die Analyse ist schnell.

3. Wiederholung von Methoden zur Lösung von trigonometrischen Gleichungen (5 min.)

Ziel ist es, die Methoden zur Lösung von trigonometrischen Gleichungen abzurufen.

Bitten Sie die Schüler, welche Methoden für lösende Lösungen von trigonometrischen Gleichungen, die sie kennen. Betonen Sie, dass es sogenannte grundlegende (häufig verwendete) Methoden gibt:

• ersatzvariable
• faktorisierung,
• homogene Gleichungen

und es gibt angewandte Methoden:

• entsprechend den Formeln der Umwandlung des Betrags in die Arbeit und Arbeit in der Menge,
• nach den Verringerungsformeln,
• universelle trigonometrische Substitution.
• einführung des Hilfswinkels
• multiplizieren einer trigonometrischen Funktion.

Es ist auch notwendig, daran zu erinnern, dass eine Gleichung auf verschiedene Weise gelöst werden kann.

4. Lösung von trigonometrischen Gleichungen (30 min.)

Ziel ist es, Wissen und Fähigkeiten zu diesem Thema zu spielen und zu konsolidieren, auf die Entscheidung von C1 von der Prüfung vorzubereiten.

Ich halte es für angemessen, die Gleichung für jede Methode zusammen mit den Schülern zu brechen.

Der Student diktiert eine Entscheidung, der Lehrer zeichnet auf dem Tablet auf, der gesamte Prozess wird auf dem Bildschirm angezeigt. Dadurch können Sie das zuvor passierte Material schnell und effektiv wiederherstellen.

Gleichungen lösen:

1) Ersetzen einer Variablen 6COS 2 x + 5Sinx - 7 \u003d 0

2) Zersetzung von 3COS-Multiplikatoren (X / 3) + 4COS 2 (X / 3) \u003d 0

3) Gleichmäßige Gleichungen Sin 2 x + 3cos 2 x - 2Sin2x \u003d 0

4) Transformieren des Betrags in die Arbeit cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) Konvertieren eines Produkts in die Menge an 2Sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) Grad von SIN2X - SIN 2 2X + SIN 2 3X \u003d 0,5

7) Universeller trigonometrischer Substitution sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Bei der Lösung dieser Gleichung ist zu beachten, dass die Verwendung dieses Verfahrens zu einer Verengung des Definitionsbereichs führt, da Sinus und Cosinus durch TG (X / 2) ersetzt werden. Bevor Sie die Antwort ausstellen, müssen Sie daher prüfen, ob die Zahlen aus dem Satz π + 2πn, n Z-Pferde dieser Gleichung hergestellt sind.

8) Einführung des Hilfswinkels √3Sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) Multiplikation einer trigonometrischen Funktion cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Auswahl der Wurzeln von trigonometrischen Gleichungen (20 Minuten)

Da angesichts des harten Wettbewerbs beim Eintritt von Universitäten die Lösung eines ersten Teils der Prüfung nicht ausreicht, reicht die meisten Schüler auf die Aufgaben des zweiten Teils (C1, C2, C3).

Daher ist das Ziel dieses Berufsspitzens, an das zuvor studierte Material zurückzurufen, sich auf die Lösung des C1-Problems von der Aufgabe 2011 vorzubereiten.

Es gibt trigonometrische Gleichungen, in denen die Wurzelauswahl ausgewählt werden sollte, wenn die Antwort abgegeben wird. Dies ist auf einige Einschränkungen zurückzuführen, zum Beispiel: Nenner der Fraktion ist nicht Null, der Ausdruck unter der Wurzel des genialen Grades ist nicht negativ, der Ausdruck unter dem Zeichen des Logarithmus positiv usw.

Solche Gleichungen gelten als Gleichungen der erhöhten Komplexität und in der Version der Verwendung befinden sich im zweiten Teil, nämlich C1.

Gleichung lösen:

Die Fraktion ist, wenn dann Null Mit einem einzelnen Kreis machen wir die Wurzelauswahl (siehe Abbildung 1).

Bild 1.

wir erhalten x \u003d π + 2πn, n z

Antwort: π + 2πn, n z

Auf dem Bildschirm wird die Auswahl der Wurzeln im Kreis im Farbbild angezeigt.

Die Arbeit ist Null, wenn mindestens einer der Multiplizierer Null ist, und der Bogen, während er denn nicht sinkt. Dann

Mit Hilfe eines einzelnen Kreises speichern Sie die Wurzeln (siehe Abbildung 2)

Abschnitte: Mathematik

Klasse: 11

Lektion 1.

Gegenstand: Grad 11 (Vorbereitung für die Verwendung)

Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken.

Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (2 Stunden)

Ziele:

• Systematisieren, fassen, erweitern Sie das Wissen und die Fähigkeiten der Schüler, die mit der Verwendung von Trigonometrie-Formeln verbunden sind, und lösen Sie die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Ausrüstung für Lektion:

Lektion Struktur:

1. Orgmoment.
2. Testen auf Laptops. Die Diskussion der Ergebnisse.
3. Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken
4. Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen
5. Selbstständige Arbeit.
6. Das Ergebnis der Lektion. Erklärung der Aufgabe des Hauses.

1. Orgmant. (2 Minuten.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, kündigt den Betreff der Lektion an, erinnert daran, dass die Aufgabe zuvor gegeben wurde, die Trigonometrie-Formeln wiederholen und die Schüler anpassen zu testen.

2. Prüfung (15min + 3min. Diskussion)

Ziel ist es, das Wissen über trigonometrische Formeln und die Fähigkeit, sie anzuwenden, zu überprüfen. Jeder Schüler hat einen Laptop-Desk, in dem die Testversion.

Optionen können so viel sein, wie Sie möchten, ich werde ein Beispiel eines von ihnen geben:

Ich habe Option.

Vereinfachen Ausdrücke:

a) grundlegende trigonometrische Identitäten

1. SIN 2 3Y + COS 2 3Y + 1;

b) Ergänzung der Formeln

3. SIN5X - SIN3X;

c) die Umwandlung der Arbeit in der Menge

6. 2Sin8y cos3y;

d) Doppelwinkelformel

7. 2Sin5x cos5x;

e) Half-Ecken

e) Formeln der Triple-Ecken

g) Universalersatz

h) Kleiner Grad

16. cos 2 (3x / 7);

Studenten auf einem Laptop gegenüber jeder Formel sehen ihre Antworten.

Die Arbeit prüft sofort den Computer. Die Ergebnisse werden auf einem großen Bildschirm zu Universal Ferris angezeigt.

Auch nach dem Ende der Arbeit werden die richtigen Antworten auf Laptops angezeigt. Jeder Schüler sieht, wo der Fehler gemacht wird und welche Formeln er wiederholen muss.

3. Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken. (25 min.)

Ziel ist es, den Einsatz der grundlegenden Formeln der Trigonometrie wiederholen, auszuarbeiten und zu konsolidieren. Lösen Sie die Aufgaben B7 aus der Prüfung.

Zu diesem Zeitpunkt ist die Klasse ratsam, in starke Gruppen von starkem (unabhängig voneinander gefolgt von der Prüfung) und schwachen Studierenden, die mit dem Lehrer arbeiten, aufgeteilt werden.

Aufgabe für starke Studenten (auf einer gedruckten Basis vorbereitet). Der Hauptmerkmal erfolgt gemäß EGE 2011 auf der Formel des Bringings und des Doppelwinkels.

Vereinfachung der Ausdrücke (für starke Studenten):

Parallel dazu arbeitet der Lehrer mit schwachen Studenten, diskutieren und entscheiden sich unter dem Diktieren der Schüler der Aufgaben auf dem Bildschirm.

Berechnung:

5) SIN (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Vereinfachen:

Es gab eine Warteschlange der Erörterung der Ergebnisse einer starken Gruppe.

Antworten werden auf dem Bildschirm angezeigt, und mit Hilfe des Camcorders werden 5 verschiedene Studierende angezeigt (jeweils eine Aufgaben) angezeigt.

Eine schwache Gruppe sieht eine Bedingungs- und Lösungsmethode. Es gibt eine Diskussion und Analyse. Die Verwendung von technischen Mitteln bedeutet, dass es schnell passiert.

4. Die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (30 Minuten.)

Ziel ist es, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu wiederholen, systematisieren und zusammenzufassen, ihre Wurzeln aufzunehmen. Problem lösen B3.

Jede trigonometrische Gleichung, egal wie wir es lösen, führt zum einfachsten.

Bei der Durchführung einer Aufgabe sollten die Studierenden an den Aufzeichnungen der Wurzeln der Sonderfälle und der allgemeinen Form und der allgemeinen Form und der Auswahl der Wurzeln in der letzten Gleichung gezahlt werden.

Gleichungen lösen:

Als Reaktion darauf, die kleinste positive Wurzel zu schreiben.

5. Unabhängige Arbeit (10 Minuten)

Ziel ist es, die gesammelten Fähigkeiten zu überprüfen, Probleme, Fehler und ihre Eliminierungspfade zu identifizieren.

Es wird vorgeschlagen, dass eine Vulneravas-Arbeit, um einen Studenten zu wählen, vorgeschlagen.

Option auf "3"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck 1 - SIN 2 3α - COS 2 3α

3) Gleichung lösen

Option auf "4"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Lösen Sie Gleichung Als Reaktion darauf, die kleinste positive Wurzel zu schreiben.

Option auf "5"

1) Finden Sie TGα, wenn

2) Finden Sie die Wurzel der Gleichung Notieren Sie sich als Antwort auf die kleinste positive Wurzel.

6. Ergebnisstunde (5 min.)

Der Lehrer fasst zusammen, dass trigonometrische Formeln, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen, wiederholt und an der Lektion gesichert wurde.

Eine Hausaufgabe ist mit einer selektiven Prüfung in der nächsten Lektion ein Hausaufgaben eingestellt (auf einer gedruckten Basis vorbereitet).

Gleichungen lösen:

9)

10) Als Antwort auf die kleinste positive Wurzel.

Lektion 2.

Gegenstand: Grad 11 (Vorbereitung für die Verwendung)

Verfahren zur Lösungsmethode von trigonometrischen Gleichungen. Auswahl der Wurzeln. (2 Stunden)

Ziele:

• Zusammenfassend und systematisieren Sie das Wissen, um die trigonometrischen Gleichungen verschiedener Typen zu lösen.
• Um die Entwicklung des mathematischen Denkens von Studenten zu fördern, die Fähigkeit, zu beobachten, zu vergleichen, zusammenzufassen, zu klassifizieren.
• Bewegen Sie die Studierenden, um Schwierigkeiten im Prozess der geistigen Tätigkeit zu überwinden, zur Selbstkontrolle, Selbstanalyse seiner Aktivitäten.

Ausrüstung für Lektion: Crum, Laptops für jeden Schüler.

Lektion Struktur:

1. Orgmoment.
2. Diskussion D / S und Samot. Arbeit der letzten Lektion
3. Wiederholung von Lösungen von trigonometrischen Gleichungen.
4. Trigonometrische Gleichungen lösen
5. Die Auswahl der Wurzeln in trigonometrischen Gleichungen.
6. Selbstständige Arbeit.
7. Das Ergebnis der Lektion. Hausaufgaben.

1. Orgmoment (2 min.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, kündigt das Thema der Lektion und des Arbeitsplans an.

2. a) Hausaufgaben (5 min)

Das Ziel ist es, die Ausführung zu überprüfen. Ein Job mit einer Videokamera wird auf dem Bildschirm angezeigt, der Rest wird selektiv den Lehrer überprüfen.

b) Analyse unabhängiger Arbeit (3 min.)

Ziel ist es, Fehler zu machen, Wege angeben, um sie zu überwinden.

Auf dem Bildschirmantworten und -entscheidungen haben die Studierenden ihre Arbeit vorgegeben. Die Analyse ist schnell.

3. Wiederholung von Methoden zur Lösung von trigonometrischen Gleichungen (5 min.)

Ziel ist es, die Methoden zur Lösung von trigonometrischen Gleichungen abzurufen.

Bitten Sie die Schüler, welche Methoden für lösende Lösungen von trigonometrischen Gleichungen, die sie kennen. Betonen Sie, dass es sogenannte grundlegende (häufig verwendete) Methoden gibt:

• ersatzvariable
• faktorisierung,
• homogene Gleichungen

und es gibt angewandte Methoden:

• entsprechend den Formeln der Umwandlung des Betrags in die Arbeit und Arbeit in der Menge,
• nach den Verringerungsformeln,
• universelle trigonometrische Substitution.
• einführung des Hilfswinkels
• multiplizieren einer trigonometrischen Funktion.

Es ist auch notwendig, daran zu erinnern, dass eine Gleichung auf verschiedene Weise gelöst werden kann.

4. Lösung von trigonometrischen Gleichungen (30 min.)

Ziel ist es, Wissen und Fähigkeiten zu diesem Thema zu spielen und zu konsolidieren, auf die Entscheidung von C1 von der Prüfung vorzubereiten.

Ich halte es für angemessen, die Gleichung für jede Methode zusammen mit den Schülern zu brechen.

Der Student diktiert eine Entscheidung, der Lehrer zeichnet auf dem Tablet auf, der gesamte Prozess wird auf dem Bildschirm angezeigt. Dadurch können Sie das zuvor passierte Material schnell und effektiv wiederherstellen.

Gleichungen lösen:

1) Ersetzen einer Variablen 6COS 2 x + 5Sinx - 7 \u003d 0

2) Zersetzung von 3COS-Multiplikatoren (X / 3) + 4COS 2 (X / 3) \u003d 0

3) Gleichmäßige Gleichungen Sin 2 x + 3cos 2 x - 2Sin2x \u003d 0

4) Transformieren des Betrags in die Arbeit cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) Konvertieren eines Produkts in die Menge an 2Sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) Grad von SIN2X - SIN 2 2X + SIN 2 3X \u003d 0,5

7) Universeller trigonometrischer Substitution sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Bei der Lösung dieser Gleichung ist zu beachten, dass die Verwendung dieses Verfahrens zu einer Verengung des Definitionsbereichs führt, da Sinus und Cosinus durch TG (X / 2) ersetzt werden. Bevor Sie die Antwort ausstellen, müssen Sie daher prüfen, ob die Zahlen aus dem Satz π + 2πn, n Z-Pferde dieser Gleichung hergestellt sind.

8) Einführung des Hilfswinkels √3Sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) Multiplikation einer trigonometrischen Funktion cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Auswahl der Wurzeln von trigonometrischen Gleichungen (20 Minuten)

Da angesichts des harten Wettbewerbs beim Eintritt von Universitäten die Lösung eines ersten Teils der Prüfung nicht ausreicht, reicht die meisten Schüler auf die Aufgaben des zweiten Teils (C1, C2, C3).

Daher ist das Ziel dieses Berufsspitzens, an das zuvor studierte Material zurückzurufen, sich auf die Lösung des C1-Problems von der Aufgabe 2011 vorzubereiten.

Es gibt trigonometrische Gleichungen, in denen die Wurzelauswahl ausgewählt werden sollte, wenn die Antwort abgegeben wird. Dies ist auf einige Einschränkungen zurückzuführen, zum Beispiel: Nenner der Fraktion ist nicht Null, der Ausdruck unter der Wurzel des genialen Grades ist nicht negativ, der Ausdruck unter dem Zeichen des Logarithmus positiv usw.

Solche Gleichungen gelten als Gleichungen der erhöhten Komplexität und in der Version der Verwendung befinden sich im zweiten Teil, nämlich C1.

Gleichung lösen:

Die Fraktion ist, wenn dann Null Mit einem einzelnen Kreis machen wir die Wurzelauswahl (siehe Abbildung 1).

Bild 1.

wir erhalten x \u003d π + 2πn, n z

Antwort: π + 2πn, n z

Auf dem Bildschirm wird die Auswahl der Wurzeln im Kreis im Farbbild angezeigt.

Die Arbeit ist Null, wenn mindestens einer der Multiplizierer Null ist, und der Bogen, während er denn nicht sinkt. Dann

Mit Hilfe eines einzelnen Kreises speichern Sie die Wurzeln (siehe Abbildung 2)

Figur 2.

5)

Gehen Sie zum System:

In der ersten Gleichung des Systems ersetzen wir Protokoll 2 (SINX) \u003d Y, wir erhalten die Gleichung dann zurück zum System

mit Hilfe eines einzelnen Kreises speichern Sie die Wurzeln (siehe Abbildung 5),

Abbildung 5.

6. Unabhängige Arbeiten (15 min.)

Ziel ist es, das Lernen des Materials zu fixieren und zu überprüfen, Fehler zu ermitteln, ihre Korrekturen zu skizzieren.

Die Arbeit wird in drei Versionen angeboten, die im Voraus auf einer gedruckten Basis vorbereitet sind, um Schüler auszuwählen.

Sie können Gleichungen in irgendeiner Weise lösen.

Option auf "3"

Gleichungen lösen:

1) 2Sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

Option auf "4"

Gleichungen lösen:

1) cos2x \u003d 11SInx - 5

2) (2Sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

Option auf "5"

Gleichungen lösen:

1) 2Sinx - 3cosx \u003d 2

2)

7. Ergebnisstunde, Hausaufgaben (5 min.)

Der Lehrer fasst die Lektion zusammen, wiederum wird die Aufmerksamkeit auf die Tatsache gezogen, dass die trigonometrische Gleichung auf verschiedene Weise gelöst werden kann. Der beste Weg, um ein schnelles Ergebnis zu erzielen, ist derjenige, der am besten einem bestimmten Schüler zugewiesen ist.

Bei der Vorbereitung der Prüfung ist es notwendig, die Formeln und Methoden systematisch wiederholen, um Gleichungen zu lösen.

Hausaufgaben (im Voraus auf einer gedruckten Basis vorbereitet) Verteilt und kommentiert Lösungen einiger Gleichungen.

Gleichungen lösen:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5Sin (X / 6) - COS (X / 3) + 3 \u003d 0

3) 4Sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) SIN 2 x + SIN 2 2X - SIN 2 3X - SIN 2 4X \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4Sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3Sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2Sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

IM identische Transformationen trigonometrische Ausdrücke Die folgenden algebraischen Techniken können verwendet werden: Hinzufügen und Subtrahieren derselben Begriffe; einen gemeinsamen Faktor für Klammern machen; Multiplikation und Abteilung auf demselben Wert; Anwendung von Formeln der abgekürzten Multiplikation; Zuteilung eines vollen Platzes; Die Zersetzung des Platzes ist drei Entscheidungen über Multiplikatoren; Einführung neuer Variablen, um Transformationen zu vereinfachen.

Bei Transformationen von trigonometrischen Ausdrücken, die Fraktionen enthalten, ist es möglich, die Eigenschaften des Anteils, eine Verringerung der Fraktionen oder Brüche an einen gemeinsamen Nenner zu nutzen. Darüber hinaus können Sie die Auswahl eines Teils der Fraktion verwenden, den Zähler und den Nenner der Fraktion auf denselben Wert multiplizieren, und wenn möglich, berücksichtigen Sie die Gleichmäßigkeit des Zählers oder den Nenner. Bei Bedarf können Sie einen Bruchteil in Form einer Summe oder einen Unterschied mehrerer einfacherer Fraktionen darstellen.

Anwenden aller erforderlichen Methoden zur Umwandlung von trigonometrischen Ausdrücken müssen die Hinderniswerte der transformierten Ausdrücke ständig berücksichtigt werden.

Betrachten Sie mehrere Beispiele.

Beispiel 1.

Berechnen Sie a \u003d (Sünde (2x - π) · cos (3π - x) + Sünde (2x - 9π / 2) · cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) · cos ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) · Sünde (2x -5π / 2)) 2

Entscheidung.

Aus der Formel des Bringings:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; Cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -Sin X;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; Cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; Sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Wo ist die Formel für das Hinzufügen von Argumenten und die wichtigste trigonometrische Identität?

A \u003d (Sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-Sin x · Sin 2x + cos x · cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d Sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Antwort 1.

Beispiel 2.

Konvertieren Sie den Expression M \u003d cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - Sin (α + β) · Sin γ + cos γ.

Entscheidung.

Aus den Formeln des Hinzufügens von Argumenten und den Formeln zum Umwandeln der Summe der trigonometrischen Funktionen in die Arbeit nach der entsprechenden Gruppierung

M \u003d (cos (α + β) · cos γ - Sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2COS ((β + γ) / 2) · cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2) \u003d

2COS ((β + γ) / 2) · 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) · cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4COS ((β + γ) / 2) · cos ((α + β) / 2) · cos ((α + γ) / 2).

Antwort: M \u003d 4COS ((α + β) / 2) · cos ((α + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2).

Beispiel 3..

Zeigen Sie diesen Ausdruck A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) · cos (x - π / 6) · cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) dauert für alle x von R eins und Die selbe Bedeutung. Finden Sie diesen Wert.

Entscheidung.

Wir geben zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Anwenden der ersten Methode, indem Sie ein volles Quadrat auswählen und die entsprechenden Haupt-trigonometrischen Formeln verwenden, erhalten wir

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) · cos (x - π / 6) \u003d

4Sin 2 x · Sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

SIN 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Durch die Lösung des Problems auf dem zweiten Weg berücksichtigen wir als Funktion von X von R und berechnen sein Derivat. Nach der Transformation bekommen wir

A '\u003d -2cos (x + π / 6) · Sin (x + π / 6) + (Sünde (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) · Sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) · Sünde (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (Sin (2x + π / 3) + Sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2Sin 2x · cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Von hier aus, da das Kriterium für die Konstanz der im Intervall differenzierenden Funktion differenziert ist, schließen wir das ab

A (X) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x R.

Antwort: A \u003d 3/4 für x R.

Die Haupttechniken von Beweismittel von trigonometrischen Identitäten sind:

aber) die Verringerung des linken Teils der Identität nach rechts auf relevante Umwandlungen;
b) Reduzieren der rechten Seite der Identität nach links;
im) Die Verringerung der rechten und linken Teile der Identität in derselben Form;
d) Kehenswürdigkeit auf Null des Unterschieds zwischen den linken und rechten Teilen der Beweisidentität.

Beispiel 4.

Überprüfen Sie, ob cos 3x \u003d -4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3).

Entscheidung.

Konvertieren der rechten Seite dieser Identität gemäß den entsprechenden trigonometrischen Formeln haben wir

4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos (cos (x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x · cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Die rechte Seite der Identität wird nach links reduziert.

Beispiel 5

Beweisen Sie, dass SIN 2 α + SIN 2 β + SIN 2 γ - 2cos α · cos β · cos γ \u003d 2, wenn α, β, γ die inneren Winkel einiger Dreiecks ist.

Entscheidung.

In Anbetracht dessen, dass α, β, γ - die inneren Winkel einiger Dreiecks, verstehen wir das

α + β + γ \u003d π und daher γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α · cos β · cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α · cos β · cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

SIN 2 α + SIN 2 β + (SIN 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Die anfängliche Gleichheit ist nachgewiesen.

Beispiel 6.

Um zu beweisen, dass in der Reihenfolge eines der Winkel α, β, das Dreieck des Dreiecks 60 ° beträgt, ist es notwendig und genug, um die Sin 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d 0 zu reichen.

Entscheidung.

Die Bedingung dieser Aufgabe impliziert den Nachweis sowohl des Bedürfnisses als auch der Erreichung.

Erst erweist sich notwendigkeit.

Sie können das zeigen

sIN 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d -4cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3 γ / 2).

Von hier, wenn man bedenkt, dass cos (3/2 · 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, erhalten wir, wenn einer der Winkel α, β oder γ 60 ° beträgt, dann

cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3 γ / 2) \u003d 0 und daher Sin 3α + Sin 3β + Sin 3γ \u003d 0.

Wir beweisen jetzt angemessenheit angegebener Zustand.

Wenn SIN 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d 0, dann cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2) \u003d 0 und deshalb

entweder cos (3α / 2) \u003d 0 oder cos (3β / 2) \u003d 0 oder cos (3 γ / 2) \u003d 0.

Daher,

entweder 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, d. H. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

entweder 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, d. H. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

entweder 3 γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

jene. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, wobei k ε z.

Aus der Tatsache, dass α, β, γ die Ecken des Dreiecks sind, haben wir

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Daher für α \u003d π / 3 + 2πk / 3 oder β \u003d π / 3 + 2πk / 3 oder

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 von allen kεz ist nur k \u003d 0 geeignet.

Von dem darauf folgt, dass entweder α \u003d π / 3 \u003d 60 ° oder β \u003d π / 3 \u003d 60 ° oder γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Die Anweisung ist nachgewiesen.

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Das Video-Tutorial "Vereinfachung von trigonometrischen Ausdrücken" ist für die Bildung von Fähigkeiten in den Schülern, um trigonometrische Probleme mit den grundlegenden trigonometrischen Identitäten zu lösen. Während des Video-Tutorials werden Arten von trigonometrischen Identitäten, Beispiele, um Probleme mit ihrer Verwendung zu lösen, berücksichtigt. Anwenden eines visuellen Handbuchs, der Lehrer ist einfacher, um die Lektionsziele zu erreichen. Eine helle Präsentation des Materials trägt dazu bei, wichtige Punkte auswendig zu speichern. Die Verwendung von animierten Effekten und Sounding ermöglicht es, den Lehrer in der materiellen Erklärungsphase vollständig zu ersetzen. Durch das Anwenden dieser visuellen Zulage in den Mathematikunterricht kann der Lehrer die Wirksamkeit des Lernens erhöhen.

Zu Beginn des Videos wird sein Thema angekündigt. Dann sind die zuvor stammenden trigonometrischen Identitäten reministiert. Der Bildschirm zeigt die Gleichheit SIN 2 T + cos 2 t \u003d 1, Tg T \u003d SIN T / cos t, wobei T ≠ π / 2 + πk für kεz, ctg t \u003d cos t / sin t, korrekt für t ≠ πk, wobei kεz, tg t · ctg t \u003d 1, bei t ≠ πk / 2, wobei Kεz die wichtigsten trigonometrischen Identitäten genannt wurde. Es wird angemerkt, dass diese Identitäten häufig bei der Lösung von Aufgaben verwendet werden, in denen es notwendig ist, Gleichheit nachzuweisen oder den Ausdruck zu vereinfachen.

Beispiele gilt als Beispiele für die Anwendung von Identitäten bei der Lösung von Aufgaben. Erstens wird vorgeschlagen, die Lösungsaufgaben zur Vereinfachung der Ausdrücke zu lösen. In Beispiel 1 ist es notwendig, die Expression COS 2 T-COS 4 T + SIN 4 T zu vereinfachen. Um ein Beispiel zu lösen, wird der allgemeine Multiplizierer COS 2 T für Klammern eingereicht. Als Ergebnis einer solchen Umwandlung in Klammern wird der Ausdruck 1-cos 2 t erhalten, wobei der Wert von der Hauptidentität der Trigonometrie Sin 2 T ist. Nach der Umwandlung des Ausdrucks ist die Möglichkeit der Ausgrabung für die Halterung eines anderen allgemeinen Multiplizierers SIN 2 T offensichtlich, wonach der Expression den Typ der Sin 2 T (SIN 2 T + cos 2 t) erfasst. Aus derselben Grundidentität ergeben wir den Wert des Ausdrucks in Klammern, gleich 1. Infolge der Vereinfachung erhalten wir COS 2 T-COS 4 T + SIN 4 T \u003d SIN 2 T.

In Beispiel 2 müssen die Expressionskosten / (1- Sint) + Kosten / (1+ SINT) vereinfacht werden. Da in den Zähler beider Fraktionen der Kostenausdruck ist, kann er als gemeinsamer Faktor für die Halterung abgeleitet werden. Dann werden die Fraktionen in Klammern einer gemeinsamen Nennermultiplikation (1+ Sint) angegeben. Nachdem Sie solche Begriffe in den Zähler gebracht haben, bleibt 2 Reste und im Nenner 1- sin 2 T. Die rechte Seite des Bildschirms ähnelt der wichtigsten trigonometrischen Identitätssin 2 t + cos 2 t \u003d 1. Verwenden Sie es, finden wir den COS 2 T-Denomottern. Nach dem Schneiden der Fraktionen erhalten wir eine vereinfachte Art von Kosten / (1- Sint-Expression + Kosten / (1+ Sint) \u003d 2 / Kosten.

Die folgenden Adressen sind Beispiele für Nachweis von Identitäten, in denen das auf den Hauptidentitäten der Trigonometrie gewonnene Wissen angewendet wird. In Beispiel 3 ist es notwendig, die Identität (Tg 2 T-SIN 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T nachzuweisen. Auf der rechten Seite des Bildschirms werden drei Identitäten angezeigt, die für den Proof-Tg T · CTG T \u003d 1, CTG T \u003d COS T / SIN T und TG T \u003d SIN T / COS T mit Einschränkungen erforderlich sind. Um Identität nachzuweisen, werden die Klammern zuerst offenbart, wonach das Produkt gebildet wird, was den Expression der wichtigsten trigonometrischen Identität Tg T · ctg t \u003d 1 widerspiegelt. Dann wird CTG 2 T gemäß der Identität aus der Definition von Kotangent umgewandelt. Als Ergebnis der Transformation wird der Ausdruck 1-cos 2 t erhalten. Mit der Hauptidentität finden wir den Wert des Ausdrucks. Somit ist es bewiesen, dass (Tg 2 T-SIN 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T.

In Beispiel 4 ist es notwendig, den Wert des Ausdrucks TG 2 T + CTG 2 T zu finden, wenn Tg t + ctg t \u003d 6 ist. Um den Ausdruck zu berechnen, zuerst den rechten und linken Teil der Gleichheit (Tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2. Die Formel der abgekürzten Multiplikation wird auf der rechten Seite des Bildschirms erinnert. Nach den Offenbarungen der Klammern in dem linken Teil des Expressions wird die Summe Tg 2 T + 2 · Tg T · Ctg t + ctg 2 t gebildet, um umzuwandeln, welcher der trigonometrischen Identitäten von Tg T · ctg t \u003d 1 Die Ansicht wird auf der rechten Seite des Bildschirms erinnert. Nach der Transformation wird die Gleichheit TG 2 T + CTg 2 T \u003d 34 erhalten. Der linke Teil der Gleichheit fällt mit dem Zustand des Problems zusammen, sodass die Antwort 34 ist. Die Aufgabe ist gelöst.

Das Video-Tutorial "Vereinfachen trigonometrische Ausdrücke" wird empfohlen, an der traditionellen Schulunterricht der Mathematik verwendet zu werden. Das Material wird auch für den Lehrer nützlich sein, der Fernunterricht durchführt. Um die Fähigkeit bei der Lösung von trigonometrischen Aufgaben zu bilden.

Textdekodierung:

"Vereinfachen Sie trigonometrische Ausdrücke."

Gleichberechtigung

1) SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1 (Sinus Square TE plus Cosinus Square PE ist gleich einem)

2) TGT \u003d, bei t ≠ + πk, kεz (Tentol Pe entspricht dem Verhältnis von Sinus TE an der Cosinus des TE mit einem PE an der nicht gleich dem zwei plus pi, ka gehört zu Set)

3) CTGT \u003d, bei T ≠ πk, Kεz (TE Catangent ist der Verhältnis von Cosinus TE bis zum Sinus des Te mit einem PE mit einem PI, KA zum Set).

4) TGT ∙ CTGT \u003d 1 bei T ≠, Kεz (das Produkt von TEGENS TE auf Kotangent PE ist gleich einem in einem PE, der nicht gleich PI ist, geteilt von zwei, kAT gehört zu Set)

grundlegende trigonometrische Identitäten genannt.

Oft werden sie zur Vereinfachung und Nachweise von trigonometrischen Ausdrücken eingesetzt.

Betrachten Sie die Beispiele für die Verwendung dieser Formeln, wenn Sie trigonometrische Ausdrücke vereinfachen.

Beispiel 1. Lebensdauer: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Ausdruck und Cosinus Square te Minus Cosinus Vierter Grad PA plus Sinus viertes Grad TE).

Entscheidung. Cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + Sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d Sin 2 t · 1 \u003d Sin 2 t

(Ich werde den gesamten Multiplizierer des Cosinus-Square TE in Klammern mitbringen, in Klammern, in den wir den Unterschied zwischen der Einheit und dem Quadrat des Cosinus TE erhalten, der dem ersten Identitätsquadrat der Sinus-TE hinter den Klammern in Klammern ist wird die Summe der Quadrate des Cosinus und der Sinus erhalten, was der wichtigsten trigonometrischen Identität entspricht. Infolgedessen erhalten wir das Quadrat der Sinus TE).

Beispiel 2. Ausdruck: +.

(Expression ist die Summe von zwei Fraktionen im Zähler des ersten Cosinus von TE in der Nennereinheit Minus Sinus TE, im Zähler des zweiten Cosinus des TE im Nenner, der zweiten Einheit plus Sinus TE).

(Ich fasse Cosinus TE für Klammern zusammen, und in Klammern geben wir einen gemeinsamen Nenner, der eine Arbeit ein Minus-Sinus Te für ein Plus-Sinus TE ist.

Im Zähler bekommen wir: Eine Einheit plus Sinus TE plus eine Einheit Minus sinus te, wir geben dergleichen, der Zähler ist zwei, nachdem sie dengleichen gebracht haben.

Im Nenner können Sie die Formel der abgekürzten Multiplikation (den Differenz der Quadrate) auftragen und den Unterschied zwischen der Einheit und dem Quadrat der Sinus TE erhalten, was durch die wichtigste trigonometrische Identität ist

ebenso das Quadrat von Cosinus TE. Nach dem Schneiden der Cosinus des TE erhalten wir die endgültige Antwort: zwei geteilt durch Cosinus TE).

Betrachten Sie Beispiele für die Verwendung dieser Formeln im Nachweis von trigonometrischen Ausdrücken.

Beispiel 3. Um die Identität (TG 2 T - SIN 2 T) zu beweisen der Sinus des TE).

Beweise.

Wir verwandeln den linken Teil der Gleichheit:

(Tg 2 T - SIN 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d TG 2 T ∙ CTG 2 T - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - Sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d Sin 2 t

(Wir öffnen die Klammern aus der zuvor erhaltenen Beziehung, es ist bekannt, dass das Produkt der Felder TEGENS TE auf Cotangent PE einem gleich ist. Erinnerung, dass Cotangent PE gleich dem Verhältnis des Cosinus des TE auf der Sinus des TE, bedeutet dies, dass Kotangen Platz das Verhältnis des Kosinus-Quadrat TE Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus

Nachdem der Sinus reduziert wurde, erhält das Quadrat des TE den Unterschied in der Einheit und Cosinus des Platzes des TE, der dem Sinusquadrat des TE ist). Q.E.D.

Beispiel 4. Geben Sie den Wert des Ausdrucks TG 2 T + CTG 2 T an, falls TGT + CTGT \u003d 6.

(Die Summe der Quadrate der Tangente TE und KOTANSENS TE, wenn die Summe von Tangent und Kotangent sechs ist).

Entscheidung. (TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2

tG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 36-2

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 34

Stellen Sie beide Teile der anfänglichen Gleichheit auf dem Platz ein:

(TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2 (Das Quadrat der Summe der TEGENS TE und Cotgensa TE ist gleich sechs in einem Quadrat). Erinnern Sie sich an die Formel der abgekürzten Multiplikation: Das Quadrat der Summe von zwei Werten ist gleich dem Quadrat des ersten plus einem doppelten Produkt zuerst auf dem zweiten Plus des zweiten Platzes. (A + b) 2 \u003d a 2 + 2AB + B 2 Wir erhalten TG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36 (Tangent Square TE plus ein doppeltes Produkt von Tangenten TE auf Cotangent PE plus Cotangent Pa Square ist gleich sechsunddreißig).

Da die Arbeit der Tanger-TE auf Cotangent PE eins gleich ist, dann sind Tg 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36 (die Summe der Quadrate von Tangent TE und Kotansteuers TE und zwei gleich sechsunddreißig),