Wir listen die grundlegenden Eigenschaften der Funktion y \u003d ctg x auf. Entwicklung der Lektion "Trigonometrische Funktionen, ihre Eigenschaften und Grafiken" Plan-Abstract-Lektion zum Thema einer Lektion Trigonometrische Funktionen ihrer Eigenschaften und Grafiken

Klasse: 10

Der Zweck der Lektion:

Lehrreich:
- um die Fähigkeiten auszuarbeiten, um Funktionen Diagramme mit der Häufigkeit von trigonometrischen Funktionen zu erstellen;
- sicheres erlerntes Material über Lese- und ungerade Funktionen
Entwicklung:
- entwicklung der Fähigkeiten, analysieren, bestehendes Wissen unter den Studierenden in einer modifizierten Situation anwenden.
Lehrreich:
- rail in Studentengenauigkeit, Neugier, sorgfältige Haltung gegenüber der Umwelt, moralischen Qualitäten;
- erstellen Sie Bedingungen für die Entwicklung der kognitiven Tätigkeit der Studierenden, die Realisierung der persönlichen Funktionen jedes Studenten, seiner freien Entwicklung, unter Berücksichtigung individueller Merkmale und mögliche Möglichkeiten.

Ausrüstung:

multimedia-Projektor;
aufgabenblätter für Studenten;
geschätzte Blätter;
tafel;
kreide, Vererbungswerkzeuge;
notizbuch;
billets des Koordinatensystems

Während der Klassen

I. Organisatorischer Moment

Studenten am Eingang des Klassenzimmers in der Lektion Wählen Sie Token, in denen Trigonometrische Funktionen von Sinus, Cosinus, Tangent aufgenommen werden. Dann werden sie von Gruppen mit Konstruktionen einer Funktion für Rundtische gesendet.

Die Ziele der Lektion sind stimmhaft. Während der gesamten Lektion bewerten die Studierenden unabhängig ihre Vorbereitung auf die Lektion. Dafür wird jede Gruppe durch Schätzungen verteilt, Kriterien zur Bewertung ihrer Aktivitäten in jeder Phase der Lektion werden in den Folien reflektiert ( Anhang 1 ).
Geschätzte Blätter sind mit den Schülern gefüllt und am Ende der Lektion werden mit schriftlicher Arbeit zur Überprüfung übergeben.

Beurteilungspapier

№	F. I.	Theoretisches Training, "mathematisches Lotto"	Gruppe arbeit	Prüfung	Auswertung für eine Lektion
1
2
3
4
5

II. Frontalumfrage "Theoretisches Training"

Um die praktischen Aufgaben der Lektion durchzuführen, ist es notwendig, theoretisches Material zurückzurufen. Für diese Ausgaben "Theoretisches Training" Auf der Folie ( Anhang 1 ) Tabelle mit Fragennummern, wiederum wählt jede Gruppe die Frage der Frage, liest die Frage und gibt ihm sofort eine Antwort.

Zu diesem Zeitpunkt wird das Wissen der Studierenden, die für weitere Arbeiten in der Lektion benötigt, aktualisiert werden.

Was heißt als Funktion?
Wie nennen sie den Feld Definitionsbereich?
Was tun die Funktion der Funktionswerte?
Wie heißt die Funktion viel?
Wie heißt die Funktion seltsam?
Welche Eigenschaft hat einen gleichmäßigen Funktionsplan?
Welche Eigenschaft ist das Diagramm einer ungeraden Funktion?
Geben Sie die Definition der grundlegenden trigonometrischen Funktionen an.
Was kann über die Bereitschaft von trigonometrischen Funktionen gesagt werden?
Wie heißt die Funktion periodic?
Welche Nummer ist der niedrigste positive Zeitraum für die Funktion von Sinus und Cosinus?
Welche Nummer ist der niedrigste positive Zeitraum für die Funktion der Tangente (Kottence)?
Wie ist der Bereich der Definition der Funktion von Sinus?
Wie ist der Definitionsbereich der Cosinus-Funktion?
Was ist der Bereich der Bestimmung der Funktion des Tangenten?
Wie ist der Definitionsbereich der Kotangent-Funktion?
Was ist der Bereich der Werte der Sinusfunktion?
Wie ist der Bereich der Werte der Kegelfunktion?
Wie ist der Bereich der Werte der Funktion von Tangent?
Was ist der Bereich der Werte der Funktion der Kottence?
Welche der Funktionen nimmt den größten Wert von \u003d Sin 2x oder y \u003d 2 sin x &

- Wir wiederholten mit Ihnen theoretischem Material. Und jetzt schlage ich vor, Sie zeigen Ihr Wissen bei der Bestimmung einer gleichmäßigen oder ungeraden Funktion, wenn Sie ein "mathematisches Lotto" ausführen. Jede Gruppe erhält ein Blatt - eine Aufgabe mit einem "mathematischen Lotto". ( Anlage 2. ).

Die Aufgabe: In der resultierenden Tabelle schatten diese Zellen, in denen es eine bekannte (ungerade) Funktion gibt.

"Mathematisches Lotto"

Variante 1.

Die Aufgabe: Schatten in der Tabelle Diese Zellen, in denen es eine Kinning-Funktion gibt

Option 2.

Die Aufgabe: Scharf in der Tabelle diese Zellen, in denen sich die ungerade Funktion befindet

Bewertungskriterien für eine frontale Umfrage, Teilnahme an der Zusammenarbeit an der Collaboration-Klasse:

2 Punkte, teilnahmen nicht aktiv an;
3 Punkte, beantwortete Fragen, Beiträge bei der Aufführung der Aufgabe des "mathematischen Lotto"
4 Punkte, aktiv beantwortete Fragen, boten treue Antworten bei der Lösung von "mathematischen Lotto"

III. Arbeiten Sie in Gruppen, um Diagramme von trigonometrischen Funktionen zu erstellen

In der Gruppe zusammenarbeiten, bezieht sich der Student in der Gruppe zusammen, den Student bezieht sich auf seine "I" mit sich selbst und umgibt, und vergleicht eine andere oder gleiche Sichtweise der Aufgabe und des Prozesses seiner Entscheidung und beurteilen ihre Fähigkeiten und Ansprüche. Die Schüler müssen in verschiedenen Rollen und als "Student" und in der Rolle von "Lehrern" sprechen. Hier ist die Fähigkeit, in der Gruppe zu arbeiten, gebildet, die Fähigkeit, seinen Standpunkt zu verteidigen und den Blick auf die Kameraden zu unternehmen.

Jede Gruppe wird unabhängig in Notebooks vorgeschlagen, um Diagramme von trigonometrischen Funktionen aufzubauen, die zuvor seinen Definitionsbereich, einen Wertbereich, einen Zeitraum definiert haben. Jede Gruppe erhält auch das Werkstück des Koordinatensystems auf dem A4- oder A3-Blatt, auf dem sie die ausgeführte Aufgabe darstellen müssen (es ist möglich, Diagramme für verschiedene Farbmarkierungen zu verwenden)

Nach Abschluss Ihrer Aufgabe schützt jede Gruppe ihre Arbeit vor der Klasse. Die Arbeit von jedem in der Gruppe wird von der gesamten Gruppe geschätzt, die Schätzung wird in das geschätzte Blatt eingegeben.
Kriterien für die Bewertung von Arbeiten in der Gruppe:

3 Punkte, nahmen nicht aktiv an der Arbeit teil.
4 Punkte, Beiträge zur Lösung der Aufgabe beigetragene Vorschläge;
5 Punkte, aktiv an der Arbeit der Gruppe teilgenommen, bot treue Wege, um das Problem zu lösen.

IV. Testarbeit

Bevor die Schüler den Test ausführen beginnen, müssen sie die Ebene der Komplexität auswählen, die ihren Fähigkeiten entspricht.
Zu diesem Zeitpunkt wird die Arbeit für Studenten durch die Situation geschaffen, in der sie ihr echtes Wissen und seine Möglichkeiten bewerten müssen.

1) Wenn der Student glaubt, dass er das Material auf "3" lernte, reicht es aus, 1 - 5 Aufgaben des Tests auszuführen.
2) Wenn Sie das Material auf "4" gelernt haben, müssen Sie 6 - 7 Testaufgaben ausführen.
3) Wenn das Material auf "5" assimiliert wird, müssen Sie alle Aufgaben des Tests ausführen.

Der Schlüssel zum Test:

Questnummer	I voption.	II Option
A1.	IM	IM
A2.	B.	G.
A3.	IM	B.
A4.	G.	G.
A5.	ABER	G.
A6.	ABER	IM
A7.	B.	ABER
IN 1	– 7	– 6
UM 2	5	– 4

Notebooks und geschätzte Blätter werden dem Lehrer übergeben.

V. Das Ergebnis der Lektion

Zeitschriftenschätzungen werden gezeigt, nachdem sie die Arbeiten des Lehrers überprüft, den Vergleich mit den Ergebnissen der Beurteilungsdarstellungen des Wissens.

Vi. Hausaufgaben

I Group: S. 93 Nr. 18
Gruppe II: S. 19 № 19
III-Gruppe: 393 № 20

Gemeinderwunsch (austauschbar) Allgemeine Bildungsinstitution "Abend (austauschbar) Sekundarschule №4 unter einer Korrekturkolonie"

Plan-Zusammenfassung und Präsentation an die Lektion

algebra und Startanalyse in der 10. Klasse zum Thema

"Trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften"

Gegenstand der Lektion: "Trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften"

Pädagogisch: Zusammenfassend und systematisieren Sie das Wissen der Studierenden auf dem untersuchten Thema, um den Niveau des Masterings des Materials zu überwachen;

Entwicklung: Entwicklung von mathematischen Denken, intellektuellen und kognitiven Fähigkeiten, die Entwicklung der Fähigkeit, ihre Entscheidung zu begründen, zu kontrollieren und die Ergebnisse ihrer Handlungen zu bewerten;

Pädagogische Bildung: Bildung der Kultur der Kommunikation, der kognitiven Aktivität, Verantwortungsbewusstsein für die Arbeit, Disziplin, Genauigkeit, Unabhängigkeit.

Geräte und Materialien für Lektion: MultiPruster, Präsentation für Begleitungsstunden, Selbstkontrollblätter, Karten mit Text der unabhängigen Arbeiten.

Art der Lektion: Lektion aussehendes Wissen

Während der Klassen.

ICH. Zeit organisieren.

II. Nachrichtenthemen und -unterrichtszwecke.

Die heutige Lektion möchte ich mit den Worten des großen Wissenschaftler-Physiologen i.p. pavlova anfangen:

"Untersuchen Sie die Grundlagen der Wissenschaft, bevor Sie zu ihren Scheitelpunkten gehen. Nie zum Nachdenken übersteigt, ohne den vorherigen zu lernen. "Schieber 2.

Wir leben in der realen Welt und für sein Wissen brauchen wir Wissen. Bevor Sie jedoch den nächsten Schritt besteigen, müssen Sie sicherstellen, dass wir eng an den Beinen stehen, wir haben gutes, starkes Wissen über das untersuchte Thema.

Sagen Sie mir bitte, welches Thema studieren wir?

Und jedes Wissen sollte in die Fähigkeit und Fähigkeit gehen. Heute, in der Lektion, verallgemeinern und systematisieren wir das auf diesem Thema verfügbare Wissen. Überprüfen Sie Ihr Wissen, Ihre Fähigkeiten und Fähigkeiten, ermitteln Sie die Lücken heraus und versuchen Sie, sie zu beseitigen.

Aktualisierung von Referenzwissen.

einer . Frontalumfrage.

Nennen Sie die trigonometrischen Funktionen, die Sie kennen?

Und jetzt wiederholen wir die Eigenschaften der von uns bekannten trigonometrischen Funktionen.

(Die Schüler rufen die Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen an, jede richtige Antwort wird auf der Folie hervorgehoben. Als Ergebnis der Diskussion erscheint eine Tabelle.) Slide 3-6

2. Mündliche Arbeiten zur Lösung der einfachsten Aufgaben zum Umwandeln von Diagrammen von trigonometrischen Funktionen. Slide 7-9.

Arbeiten mit Selbstüberwachungsblättern . (Anhang 1)

In der Lektion führen Sie verschiedene Aufgaben aus und füllen allmählich eine Selbstkontrollliste aus. Unterschreiben Sie das Blatt der Selbstkontrolle und lernen Sie den Inhalt kennen. Bewerten Sie, wie Sie bereit sind, die Aufgaben auszufüllen und eine prognostische Bewertung einzugeben. Und bis das Blatt beiseite gesetzt ist.

Grafische Diktat.

Das Ergebnis der Durchführung eines Diktats an den Flugblättern der Schüler der Studierenden ist ein solcher Rekord.

wo Zeichen angezeigt werden: + Ja, nein. Nach dem Ende des Diktierens wird das Training von einem Diktat mit einem Vorschlag zur Überprüfung ausgetauscht. Jede korrekte Antwort wird auf 1 Punkt geschätzt, 0 Punkte werden für die falsche Antwort und das Fehlen einer Antwort gezeigt. Schieber 10.

Unabhängige Arbeiten an Optionen . (Anlage 2)

Ich habe Option.

keine Punktkreuzung

Ii Option.

Geben Sie den Satz von Funktionswerten an:

4) Keine Kreuzungspunkte

Finden Sie die niedrigste positive Zeit der Funktion

Selbsttest. Folie 11.

Jede korrekte Antwort wird auf 1 Punkt geschätzt, 0 Punkte werden für die falsche Antwort und das Fehlen einer Antwort gezeigt.

In Gruppen arbeiten. Schieber 12.

Führen Sie die Aufgaben der erhöhten Komplexität aus.

Ich erinnere Sie an das Verfahren zum Arbeiten in Gruppen: 10 Minuten Entscheiden Sie sich selbst, 5 Minuten diskutieren die Entscheidung der Aufgaben zusammen. Vergessen Sie nicht, das Selbstwertgefühl zu setzen und Ihr Wissen zu bestimmen. Für eine fehlerfreie Ausführung der Aufgabe werden 2 Punkte gezeigt, die Lösung mit den Mängeln wird auf 1 Punkt geschätzt.

Ich gruppierte

Erstellen Sie ein Funktionsdiagramm

Gruppe II

Erstellen Sie ein Funktionsdiagramm

2) Finden Sie das niedrigste positive Merkmal der Funktion:

Wer will ihre Entscheidung erklären? Schieber 13-15.

Das Ergebnis der Lektion.

Lassen Sie uns unsere Arbeit zusammenfassen. Berechnen Sie Punkte und setzen Sie den Kriterien die endgültige Bewertung ein. Wenn Sie mit Ihren Ergebnissen zufrieden sind, geben Sie unter Ihrer Beurteilung eine Unterschrift ein. Analysieren Sie Ihr Wissensniveau. Wenn nicht alles passiert ist, denken Sie darüber nach, was Sie sonst noch arbeiten müssen.

Aufgabe für das Haus erneut, um zu analysieren, dass es möglich war, dass ich nicht, was zu arbeiten konnte. An den Aufgaben, in denen Sie Fehler erlaubt, wählen Sie ähnliche Aufgaben und entscheiden Sie sie. Die Ergebnisse Ihrer Arbeit in der Lektion zeigen mir Ihre Lippen der Selbstkontrolle. Danke für die Lektion!

Anhang 1

SUMMOKONTROL-BLATT des Studenten ________________________________________

(Familienname)

An die Lektion, Algebra und begann die Analyse zum Thema "trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften"

Prognostische Schätzung ________

№1 Grafische Diktat.

№2 Selbstständige Arbeit.

Nummer 3. In Gruppen arbeiten. Aufgaben der erhöhten Komplexität.

Wenn Sie 21-23 Punkte erzielen - die Bewertung "5"

16-20 Punkte - Bewertung "4"Ich habe ________ Punkte erzielt

10-15BALLOV - Bewertung "3" Meine Marke "____" ___________________

(Schülerunterschrift)

Beantworten Sie Fragen und legen Sie eine Schätzung des 5-Punkte-Systems ein

Wie ist Ihrer Meinung nach eine Lektion verabschiedet, haben Sie alle verstanden? _______________

Haben Sie sich in der Lektion zuversichtlich fühlten? ___________________

Warst du genug Wissen früher?? ____________

Anlage 2.

Selbstständige Arbeit.

Ich habe Option.

1. Erlernen Sie den Satz von Funktionswerten: y \u003d 4x.

1) viele gültige Zahlen;

2) viele gültige Zahlen, mit Ausnahme der Anzahl der Form;

3) Viele gültige Zahlen, mit Ausnahme der Nummern der Art

Bestimmen Sie die SIN 1 COS 9 TG (-2) Zeichen

3) Es ist unmöglich zu bestimmen

;

keine Kreuzungspunkte.

Ii Option.

Viele gültige Zahlen;

2) viele gültige Zahlen, mit Ausnahme der Anzahl der Art

3) Viele gültige Zahlen, mit Ausnahme der Nummern der Art

3) Es ist unmöglich zu bestimmen

4) Keine Kreuzungspunkte

Finden Sie die niedrigste positive Zeit der Funktion

Sehen Sie sich den Inhalt der Präsentation an
"Trigonometrische Funktionen"

"Trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften"

Pugacheva A.V., Mathematik-Lehrer MKOU "in (c) Osh №4 mit IR"

mariinsk, Kemerovo Region

"Untersuchen Sie die Grundlagen der Wissenschaft, bevor Sie zu ihren Scheitelpunkten gehen. Holen Sie sich niemals für das Anschließende, ohne den vorherigen zu lernen. " .

I.p. pavlov.

y x.

Zeitplanfunktion

ÜBER

Eigenschaften Funktion.

Domain

Punkte der Kreuzung von Grafiken mit Achsen

koordinaten

Parität / ungerade.

Gaps

aufsteigend

monotonie

seltsam

monotonie

seltsam

absteigend

Extreme

Periodizität

Intervalle des Zeichens

Viele Werte

y x.

Zeitplanfunktion

ÜBER

Eigenschaften Funktion.

Domain

Punkte der Kreuzung von Grafiken mit Achsen

koordinaten

Parität / ungerade.

Monotonie-Intervalle

aufsteigend

absteigend

Extreme

Periodizität

Intervalle des Zeichens

Viele Werte

Zeitplanfunktion

ytg x.

Eigenschaften Funktion.

Domain

Punkte der Kreuzung von Grafiken mit Achsen

koordinaten

Parität / ungerade.

Gaps

aufsteigend

seltsam

monotonie

seltsam

aufsteigend

monotonie

absteigend

Extreme

Periodizität

Lücken des Zeichen beständig

Viele Werte

ÜBER

Eigenschaften Funktion.

Domain

Punkte der Kreuzung von Grafiken mit Achsen

koordinaten

Parität / ungerade.

Gaps

monotonie

aufsteigend

monotonie

aufsteigend

seltsam

Extreme

absteigend

Extreme

Periodizität

Lücken des Zeichen beständig

Viele Werte

Zeitplanfunktion

ytg x.

ÜBER

1. Welche Funktion zeigt die Grafik auf dem Bild?

ÜBER

-1

1) YCOS x

2) y2 cos x

3) y2cos x

4) y2 sin x

2. Welche Funktion zeigt sich die Grafik in der Abbildung?

ÜBER

1) y x

2) y 2x

4) YCOS x

3) y 2x

3. Welche Funktion ist die Grafik in der Figur?

ÜBER

1) y2cos x

2) YCOS (x +

3) YCOS X + 1

4) YCOS (x +

Überprüfen eines grafischen Diktats:

Selbstständige Arbeit.

Prüfen:

Ich habe Option.

Ii Option.

Ich gruppierte

1) Erstellen Sie eine Funktion der Funktion:

a) y \u003d

b) y \u003d 3

zeitraumfunktion:

y (x) \u003d

Gruppe II

1) Erstellen Sie einen Funktionszeitplan

a) y \u003d

b) y \u003d 2

2) Finden Sie das kleinste Positiv

zeitraumfunktion:

y (x) \u003d cos5x

Prüfen:

Ich gruppierte

y \u003d.

ÜBER

y \u003d 3.

Prüfen:

Gruppe II

y \u003d.

ÜBER

y \u003d.

Ich gruppierte

Wir verwenden die Formel für den Sinus des Unterschieds von zwei Winkeln

und bekomme

y (x) \u003d\u003d

T \u003d 2.

Gruppe II

Verwenden Sie die Formel für den Cosinus der Differenz von zwei Winkeln

und bekomme

y (x) \u003d\u003d

Die kleinste positive Periode der Funktion ist gleich

T \u003d 2.

Entwicklung des kognitiven Interesses beim Lernen.
Die Verwendung der mathematischen Modellierung als Möglichkeit, analytisches Denken zu aktivieren.
Bildung von praktischen Fähigkeiten, um Diagramme von Funktionen auf der Grundlage des untersuchten theoretischen Materials zu erstellen.

Verwenden Sie das verfügbare Wissenspotenzial über die Eigenschaften von Funktionen in bestimmten Situationen.
In der Lage sein, Ihren Standpunkt zu verteidigen.
Wenden Sie eine bewusste Etablierung von Verbindungen zwischen analytischen und geometrischen Modellen von trigonometrischen Funktionen an.

Während der Klassen.

1. Organisationsmoment.

2. "Melden Sie sich an der Lektion".

Auf dem Vorstand wurden 3 Vorwürfe geschrieben:

1) Trigonometrische Gleichungen sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a hat immer Lösungen.

2) ein Diagramm der trigonometrischen Funktion y \u003d f (-x) kann aus der Funktion der Funktion y \u003d f (x) erhalten werden nur Durch Umwandlung von Symmetrie in Bezug auf die OU-Achse.

3) Das Diagramm der harmonischen Oszillation kann mit einer Haupthalbwelle gebaut werden.

Die Schüler werden paarweise diskutiert: Ist die Genehmigung wahr? (1 Minute). Dann werden die Ergebnisse der anfänglichen Diskussion (Ja, Nein) in der Spalte "vor" in die Tabelle gebracht.

Der Lehrer bringt den Zweck und die Ziele der Lektion.

3. Orale Übungen (Frontal) ).

1) Prüfen Sie, ob die Punkte der Funktionen gehören:

y \u003d sin x punkt mit koordinaten

y \u003d cos x punkt mit koordinaten.

2) Finden Sie die größten und kleinsten Werte der Funktionen:

y \u003d sin x im Segment

y \u003d cos x im halbenintervall

y \u003d tg x im Halbjahrintervall

3) Entscheiden Sie die Gleichungen: cos x \u003d 0, tg x \u003d -1, sin x \u003d 2.

4) ist die Zahl 15? Die Funktionen der Funktionen: y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x?

Nennen Sie die Hauptperiode dieser Funktionen.

5) Machen Sie mit den Abbildungen 14-17 auf einer Seite 38 Page 38 Analytische Funktionenmodelle von Grafiken.

4. Aufwärmen (unabhängig, mit einem Scheck für den Vorstand).

№ 216 (b). Lösen Sie grafisch sin x + cos x \u003d 0 Gleichung.

5. Praktische Arbeit Nummer 1 (Arbeit an geernteten Layouts in 4 Gruppen, die Gruppen werden auf der Niveau der Studentenbereitschaft erstellt).

1 Gruppe. № 210 (g). Wie viele Lösungen hat ein Gleichungssystem?

2 Gruppe. № 183 (b). Entscheiden Sie grafisch Gleichung sin x \u003d x 2 + 1.

3 Gruppe. № 209 (b). Entscheiden Sie grafisch Gleichung

4 Gruppe. Wie viele Lösungen ist Sin 2x \u003d Tgx-Gleichung im Segment

(Überprüfen und Diskussion über Layouts).

Praktische Arbeit Nr. 2 (Unabhängige Arbeiten an Blättern, 4 Optionen, Aufgaben werden durch die Niveau der Studentenbereitschaft zusammengestellt).

Erstellen Sie ein Funktionsgrad:

7. Verallgemeinerung und Summierung.

№ 194 (B, B). Baue und lesen Sie den Graph der Funktion y \u003d f (x), wo

8. Das Ergebnis der Lektion. Wir kehren in die Aussagen (Anfang der Lektion) zurück, wir diskutieren die Verwendung der Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen und füllen die Tabelle "Nach" -Säule in der Tabelle aus.

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Wir listen die grundlegenden Eigenschaften der Funktion y \u003d ctg x auf. Entwicklung der Lektion "Trigonometrische Funktionen, ihre Eigenschaften und Grafiken" Plan-Abstract-Lektion zum Thema einer Lektion Trigonometrische Funktionen ihrer Eigenschaften und Grafiken

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