bilangan Pythagoras. Bilangan Luar Biasa Profesor Stewart Tripel bilangan Pythagoras

Contoh penting Persamaan Diophantine diberikan oleh teorema Pythagoras, yang menghubungkan panjang x dan y kaki segitiga siku-siku dengan panjang z sisi miringnya:

Tentu saja, Anda telah menemukan salah satu solusi luar biasa dari persamaan ini dalam bilangan asli, yaitu tripel bilangan Pythagoras. x=3, y=4, z=5. Apakah ada kembar tiga lainnya?

Ternyata ada banyak tripel Pythagoras yang tak terhingga, dan semuanya ditemukan sejak lama. Mereka dapat diperoleh dengan formula terkenal, yang akan Anda pelajari dari paragraf ini.

Jika persamaan Diophantine tingkat pertama dan kedua telah diselesaikan, maka pertanyaan untuk memecahkan persamaan tingkat yang lebih tinggi masih tetap terbuka, terlepas dari upaya para ahli matematika terkemuka. Saat ini, misalnya, dugaan Fermat yang terkenal bahwa untuk setiap nilai bilangan bulat n2 persamaan

tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Untuk memecahkan beberapa jenis persamaan Diophantine, yang disebut bilangan kompleks. Apa itu? Biarkan huruf i menunjukkan beberapa objek yang memenuhi kondisi saya 2 \u003d -1(jelas bahwa tidak ada bilangan real yang memenuhi kondisi ini). Pertimbangkan ekspresi bentuk +iβ, dimana dan adalah bilangan real. Ekspresi seperti itu akan disebut bilangan kompleks, setelah mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian di atasnya, serta lebih dari binomial, tetapi dengan satu-satunya perbedaan bahwa ekspresi saya 2 dimana-mana kita akan mengganti angka -1:

7.1. Banyak dari ketiganya

Buktikan jika x0, y0, z0- Tiga kali lipat Pythagoras, lalu tiga kali lipat y 0, x 0, z 0 dan x 0 k, y 0 k, z 0 k untuk setiap nilai parameter alami k juga Pythagoras.

7.2. Formula pribadi

Periksa apakah ada nilai natural m>n trinitas bentuk

adalah Pythagoras. Apakah itu tripel Pythagoras? x, y, z dapat direpresentasikan dalam bentuk ini, jika Anda mengizinkan untuk mengatur ulang angka x dan y dalam rangkap tiga?

7.3. Kembar tiga yang tidak dapat direduksi

Triple Pythagoras dari angka yang tidak memiliki pembagi yang sama lebih besar dari 1 akan disebut tak tereduksi. Buktikan bahwa rangkap tiga Pythagoras tidak dapat direduksi hanya jika dua bilangan dalam rangkap tiga itu koprima.

7.4. Properti dari rangkap tiga yang tidak dapat direduksi

Buktikan bahwa dalam rangkap tiga Pythagoras tak tereduksi x, y, z bilangan z dan tepat salah satu bilangan x atau y adalah ganjil.

7.5. Semua tiga kali lipat yang tidak dapat direduksi

Buktikan bahwa rangkap tiga bilangan x, y, z merupakan tripel Pythagoras tak dapat direduksi jika dan hanya jika bertepatan dengan rangkap tiga hingga urutan dua angka pertama 2 menit, m 2 - n 2, m 2 + n 2, di mana m>n- bilangan asli coprime dengan paritas berbeda.

7.6. Rumus umum

Buktikan bahwa semua solusi persamaan

dalam bilangan asli diberikan hingga urutan x dan y yang tidak diketahui dengan rumus

di mana m>n dan k adalah parameter alami (untuk menghindari duplikasi tiga kali lipat apa pun, cukup memilih jumlah jenis koprima dan, terlebih lagi, dengan paritas berbeda).

7.7. 10 kembar tiga pertama

Temukan semua tripel Pythagoras x, y, z memenuhi syarat x

7.8. Sifat-sifat triplet Pythagoras

Buktikan bahwa untuk sembarang tripel Pythagoras x, y, z pernyataan benar:

a) paling sedikit salah satu bilangan x atau y merupakan kelipatan 3;

b) paling sedikit salah satu bilangan x atau y merupakan kelipatan 4;

c) paling sedikit salah satu bilangan x, y atau z adalah kelipatan 5.

7.9. Penerapan bilangan kompleks

Modulus bilangan kompleks + saya disebut bilangan non-negatif

Periksa bahwa untuk setiap bilangan kompleks + saya dan + saya properti dieksekusi

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks dan modulusnya, buktikan bahwa setiap dua bilangan bulat m dan n memenuhi persamaan

yaitu, mereka memberikan solusi untuk persamaan

bilangan bulat (bandingkan dengan Soal 7.5).

7.10. Tripel non-Pythagoras

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks dan modulusnya (lihat Soal 7.9), temukan rumus untuk setiap solusi bilangan bulat dari persamaan:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Solusi

7.1. Jika sebuah x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , kemudian y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , dan untuk setiap nilai natural k yang kita miliki

Q.E.D.

7.2. Dari persamaan

kami menyimpulkan bahwa rangkap tiga yang ditunjukkan dalam masalah memenuhi persamaan x 2 + y 2 = z 2 dalam bilangan asli. Namun, tidak setiap tripel Pythagoras x, y, z dapat direpresentasikan dalam bentuk ini; misalnya, triple 9, 12, 15 adalah Pythagoras, tetapi angka 15 tidak dapat dinyatakan sebagai jumlah kuadrat dari dua bilangan asli m dan n.

7.3. Jika ada dua bilangan dari tripel Pythagoras x, y, z memiliki pembagi yang sama d, maka itu juga akan menjadi pembagi dari angka ketiga (jadi, dalam kasus ini x = x 1 d, y = y 1 d kita punya z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, dimana z 2 habis dibagi d 2 dan z habis dibagi d). Oleh karena itu, agar tripel Pythagoras tidak dapat direduksi, dua bilangan dalam tripel itu harus koprima,

7.4. Perhatikan bahwa salah satu bilangan x atau y, katakanlah x, dari tripel Pythagoras tak tereduksi x, y, z ganjil karena jika tidak, bilangan x dan y tidak akan menjadi coprime (lihat soal 7.3). Jika bilangan lain y juga ganjil, maka kedua bilangan tersebut

memberikan sisa 1 ketika dibagi dengan 4, dan nomor z 2 \u003d x 2 + y 2 memberikan sisa 2 ketika dibagi 4, yaitu habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 4, yang tidak bisa. Jadi, bilangan y harus genap, dan bilangan z karenanya harus ganjil.

7.5. Biarkan tripel Pythagoras x, y, z tak tereduksi dan, untuk kepastian, bilangan x genap, sedangkan bilangan y, z ganjil (lihat Soal 7.4). Kemudian

dimana angkanya? utuh. Mari kita buktikan bahwa bilangan a dan b adalah koprima. Memang, jika mereka memiliki pembagi yang sama lebih besar dari 1, maka angka-angka tersebut akan memiliki pembagi yang sama z = a + b, y = a - b, yaitu, rangkap tiga tidak dapat direduksi (lihat Soal 7.3). Sekarang, dengan memperluas bilangan a dan b menjadi hasil kali faktor prima, kita perhatikan bahwa setiap faktor prima harus dimasukkan ke dalam hasil kali 4ab = x2 hanya sampai derajat genap, dan jika termasuk dalam perluasan bilangan a, maka tidak termasuk dalam perluasan bilangan b dan sebaliknya. Oleh karena itu, faktor prima apa pun termasuk dalam perluasan bilangan a atau b secara terpisah hanya hingga derajat genap, yang berarti bahwa bilangan-bilangan ini sendiri adalah kuadrat dari bilangan bulat. Mari kita taruh maka kita mendapatkan persamaan

Selain itu, parameter natural m>n bersifat koprime (karena koprimeitas bilangan a dan b) dan memiliki paritas yang berbeda (karena bilangan ganjil z \u003d m 2 + n 2).

Biarkan sekarang bilangan asli m>n dari paritas yang berbeda menjadi koprima. Kemudian troika x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, menurut Soal 7.2, adalah Pythagoras. Mari kita buktikan bahwa itu tidak dapat direduksi. Untuk melakukannya, cukup dengan memeriksa bahwa bilangan y dan z tidak memiliki pembagi yang sama (lihat Soal 7.3). Padahal, kedua angka ini ganjil, karena jenis angkanya memiliki paritas yang berbeda. Jika bilangan y dan z memiliki beberapa pembagi persekutuan sederhana (maka harus ganjil), maka masing-masing bilangan dan dan dengan mereka masing-masing bilangan m dan n memiliki pembagi yang sama, yang bertentangan dengan kesederhanaan timbal baliknya.

7.6. Berdasarkan asersi yang dirumuskan dalam Soal 7.1 dan 7.2, rumus-rumus ini hanya mendefinisikan tripel Pythagoras. Di sisi lain, setiap rangkap tiga Pythagoras x, y, z setelah dikurangi dengan pembagi persekutuan terbesar k, pasangan bilangan x dan y menjadi tak tereduksi (lihat Soal 7.3) dan, oleh karena itu, dapat direpresentasikan hingga orde bilangan x dan y dalam bentuk yang dijelaskan dalam Soal 7.5. Oleh karena itu, setiap triple Pythagoras diberikan oleh rumus yang ditunjukkan untuk beberapa nilai parameter.

7.7. Dari ketidaksetaraan z dan rumus Soal 7.6, kita peroleh estimasinya m 2 yaitu m≤5. Asumsi m = 2, n = 1 dan k = 1, 2, 3, 4, 5, kita mendapatkan kembar tiga 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Asumsi m=3, n=2 dan k = 1, 2, kita mendapatkan kembar tiga 5, 12, 13; 10, 24, 26. Asumsi m = 4, n = 1, 3 dan k = 1, kita mendapatkan kembar tiga 8, 15, 17; 7, 24, 25. Akhirnya, dengan asumsi m=5, n=2 dan k = 1, kita mendapatkan tiga 20, 21, 29.

Chervyak Vitaly

Unduh:

Pratinjau:

Kompetisi proyek ilmiah anak sekolah

Di dalam wilayah konferensi ilmiah dan praktis"Eureka"

Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil dari siswa Kuban

Mempelajari bilangan Pythagoras

Bagian matematika.

Chervyak Vitaliy Gennadievich, Kelas 9

MOBU SOSH 14

Distrik Korenovsky

Seni. Zhuravskaya

Penasihat ilmiah:

Manko Galina Vasilievna

guru matematika

MOBU SOSH 14

Korenovsk 2011

Chervyak Vitaly Gennadievich

bilangan phytagoras

Anotasi.

Topik penelitian:bilangan phytagoras

Tujuan penelitian:

Tujuan penelitian:

• Identifikasi dan pengembangan kemampuan matematika;
• Perluasan representasi matematis pada topik;
• Pembentukan minat berkelanjutan dalam subjek;
• Pengembangan keterampilan komunikasi dan pendidikan umum kerja mandiri, kemampuan memimpin diskusi, berdebat, dll.;
• Pembentukan dan pengembangan pemikiran analitis dan logis;

Metode penelitian:

• Penggunaan sumber daya Internet;
• Akses ke literatur referensi;
• Melakukan percobaan;

Kesimpulan:

• Karya ini dapat digunakan dalam pelajaran geometri sebagai bahan tambahan untuk melakukan mata kuliah pilihan atau pilihan dalam matematika, serta dalam pekerjaan ekstrakurikuler dalam matematika;

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

1. Pendahuluan………………………………………………………………………3
2. Bagian utama

2.1 Halaman sejarah………………………………………………………4

2.2 Bukti kaki genap dan ganjil ........................................................ .........5-6

2.3 Derivasi pola untuk menemukan

Bilangan Pythagoras………………………………………………………………………7

2.4 Sifat-sifat bilangan Pythagoras ……………………………………………… 8

3. Kesimpulan………………………………………………………………………9

4. Daftar sumber dan literatur yang digunakan……………………… 10

Aplikasi ................................................. ................................................. . .....sebelas

Lampiran I………………………………………………………………………11

Lampiran II…………………………………………………………………..13

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

pengantar

Saya mendengar tentang Pythagoras dan kehidupannya di kelas lima di pelajaran matematika, dan saya tertarik dengan pernyataan "Celana Pythagoras sama ke segala arah." Saat mempelajari teorema Pythagoras, saya menjadi tertarik dengan bilangan Pythagorastujuan studi: pelajari lebih lanjut tentang teorema Pythagoras dan "Bilangan Pythagoras".

Relevansi topik. Nilai teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras telah dibuktikan oleh banyak ilmuwan di seluruh dunia selama berabad-abad. Masalah yang akan dibahas dalam pekerjaan saya terlihat cukup sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku, kuadrat yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kaki. Sekarang tiga kali lipat bilangan asli x, y, z, untuk yang x 2 + y 2 = z 2 , biasa dipanggilkembar tiga Pythagoras. Ternyata tripel Pythagoras sudah dikenal di Babel. Secara bertahap, matematikawan Yunani juga menemukannya.

Tujuan dari pekerjaan ini

1. Jelajahi bilangan Pythagoras;
2. Memahami bagaimana bilangan Pythagoras diperoleh;
3. Cari tahu properti apa yang dimiliki bilangan Pythagoras;
4. Secara eksperimental membangun garis tegak lurus di tanah menggunakan bilangan Pythagoras;

Sesuai dengan tujuan pekerjaan, beberapa hal berikut: tugas:

1. Studi lebih dalam tentang sejarah teorema Pythagoras;

2. Analisis sifat-sifat universal tripel Pythagoras.

3. Analisis penerapan praktis tripel Pythagoras.

Objek studi: Tripel Pythagoras.

Subyek studi: matematika .

Metode penelitian: - Penggunaan sumber daya Internet; - Banding ke literatur referensi; - Melakukan percobaan;

Signifikansi teoritis:peran yang dimainkan oleh penemuan tripel Pythagoras dalam sains; aplikasi praktis dari penemuan Pythagoras dalam kehidupan manusia.

Nilai yang diterapkanpenelitian terdiri dari analisis sumber-sumber sastra dan sistematisasi fakta.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

Dari sejarah bilangan Pythagoras.

• Cina Kuno:

Buku matematika Chu-pei:[ 2]

"Jika sudut siku-siku diuraikan menjadi bagian-bagian komponennya, maka garis yang menghubungkan ujung-ujung sisinya adalah 5, alasnya 3, dan tingginya 4."

• Mesir Kuno: [2]

Penyanyi (Sejarawan matematika terbesar Jerman) percaya bahwa kesetaraan 3² + 4² = 5² sudah dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e., pada masa raja Amin (menurut Papirus 6619 dari Museum Berlin). Menurut Kantor harpedonapts, atau "penegang tali", dibuat sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3; 4 dan 5.

• Babilonia: [ 3 ]

“Kebaikan matematikawan Yunani pertama, seperti Thales, Pythagoras dan Pythagoras, bukanlah penemuan matematika, tetapi sistematisasi dan pembenarannya. Di tangan mereka, resep komputasi berdasarkan ide-ide samar telah menjadi ilmu pasti.

• Sejarah teorema Pythagoras :,

Meskipun teorema ini dikaitkan dengan nama Pythagoras, itu sudah dikenal jauh sebelum dia.

Dalam teks Babilonia, dia muncul 1200 tahun sebelum Pythagoras.

Rupanya, dia adalah orang pertama yang menemukan buktinya. Dalam hal ini, entri berikut dibuat: "... ketika dia menemukan bahwa dalam segitiga siku-siku sisi miring sesuai dengan kaki, dia mengorbankan seekor banteng yang terbuat dari adonan gandum."

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

Mempelajari bilangan Pythagoras.

• Setiap segitiga, sisi-sisinya terkait sebagai 3:4:5, menurut teorema Pythagoras yang terkenal, adalah siku-siku, karena

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Selain angka 3,4 dan 5, seperti yang Anda ketahui, ada himpunan bilangan bulat tak terbatas bilangan positif a, b dan c memenuhi hubungan
• A 2 + dalam 2 = c 2.
• Angka-angka ini disebutbilangan phytagoras

Tripel Pythagoras telah dikenal sejak lama. Dalam arsitektur batu nisan Hutan Potam kuno, ada segitiga sama kaki, terdiri dari dua persegi panjang dengan sisi 9, 12 dan 15 hasta. Piramida Firaun Snefru (abad XXVII SM) dibangun menggunakan segitiga dengan sisi 20, 21 dan 29, serta 18, 24 dan 30 puluhan hasta Mesir.[ 1 ]

Segitiga siku-siku dengan kaki 3, 4 dan sisi miring 5 disebut segitiga Mesir. Luas segitiga ini sama dengan angka sempurna 6. Kelilingnya sama dengan 12 - angka yang dianggap sebagai simbol kebahagiaan dan kemakmuran.

Dengan bantuan tali yang dibagi dengan simpul menjadi 12 bagian yang sama, orang Mesir kuno membangun segitiga siku-siku dan sudut kanan. Metode yang mudah dan sangat akurat yang digunakan oleh surveyor tanah untuk menggambar garis tegak lurus di tanah. Anda perlu mengambil kabel dan tiga pasak, kabelnya diatur dalam segitiga sehingga satu sisi terdiri dari 3 bagian, yang kedua dari 4 bagian dan yang terakhir dari lima bagian tersebut. Kabelnya akan terletak di segitiga di mana ada sudut siku-siku.

Metode kuno ini, tampaknya digunakan ribuan tahun yang lalu oleh para pembangun piramida Mesir, didasarkan pada fakta bahwa setiap segitiga yang sisi-sisinya berhubungan dengan 3:4:5, menurut teorema Pythagoras, adalah segitiga siku-siku.

Euclid, Pythagoras, Diophantus dan banyak lainnya terlibat dalam menemukan tripel Pythagoras.[ 1]

Jelas bahwa jika (x, y, z ) adalah tripel Pythagoras, maka untuk sembarang k tiga kali lipat (kx, ky, kz ) juga akan menjadi tripel Pythagoras. Secara khusus, (6, 8, 10), (9, 12, 15), dll. adalah tripel Pythagoras.

Saat jumlahnya meningkat, tripel Pythagoras menjadi semakin langka dan sulit ditemukan. Pythagoras menemukan metode menemukan

tiga kali lipat seperti itu dan, dengan menggunakannya, membuktikan bahwa ada banyak tiga kali lipat Pythagoras yang tak terhingga.

Kelipatan tiga yang tidak memiliki pembagi persekutuan lebih besar dari 1 disebut rangkap tiga sederhana.

Pertimbangkan beberapa sifat tripel Pythagoras.[ 1]

Menurut teorema Pythagoras, angka-angka ini dapat berfungsi sebagai panjang dari beberapa segitiga siku-siku; oleh karena itu, a dan b disebut "kaki", dan c disebut "sisi miring".
Jelas bahwa jika a, b, c adalah tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka pa, p, pc, di mana p adalah faktor bilangan bulat, adalah bilangan Pythagoras.
Kebalikannya juga benar!
Oleh karena itu, pertama-tama kita hanya akan mempelajari tiga kali lipat bilangan Pythagoras koprima (sisanya diperoleh dari bilangan tersebut dengan mengalikan dengan faktor bilangan bulat p).

Mari kita tunjukkan bahwa dalam setiap tiga kali lipat a, b, c, salah satu "kaki" harus genap, dan yang lainnya ganjil. Mari kita berdebat "sebaliknya". Jika kedua kaki a dan b genap maka bilangan a genap 2 + dalam 2 , dan karenanya hipotenusa. Tapi ini bertentangan dengan apa bilangan a, b dan c tidak memiliki faktor persekutuan, karena tiga bilangan genap memiliki faktor persekutuan 2. Jadi, setidaknya salah satu "kaki" a dan b ganjil.

Masih ada satu kemungkinan lagi: kedua "kaki" ganjil, dan "sisi miring" genap. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa ini tidak mungkin, karena jika "kaki" memiliki bentuk 2 x + 1 dan 2y + 1, maka jumlah kuadratnya sama dengan

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, mis. adalah bilangan yang jika dibagi 4 menghasilkan sisa 2. Sedangkan kuadrat dari sembarang bilangan genap harus habis dibagi 4 tanpa sisa.

Jadi jumlah kuadrat dua bilangan ganjil tidak mungkin kuadrat dari bilangan genap; dengan kata lain, tiga angka kita bukan Pythagoras.

KESIMPULAN:

Jadi, dari "kaki" a, ke satu genap, dan yang lainnya ganjil. Jadi bilangan a 2 + dalam 2 ganjil, yang berarti bahwa "sisi miring" c.

Pythagoras menemukan rumus yang dalam simbolisme modern dapat ditulis seperti ini: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, di mana n adalah bilangan bulat.

Angka-angka ini adalah tripel Pythagoras.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

Derivasi pola untuk menemukan bilangan Pythagoras.

Berikut adalah tripel Pythagoras berikut:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika mengalikan setiap bilangan dari triple Pythagoras dengan 2, 3, 4, 5, dll., kita mendapatkan tiga kali lipat berikut.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 dst.

Mereka juga bilangan Pythagoras/

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

Sifat-sifat bilangan Pythagoras.

• Saat mempertimbangkan bilangan Pythagoras, saya melihat sejumlah properti:
• 1) Salah satu bilangan Pythagoras harus kelipatan tiga;
• 2) Yang lain harus kelipatan empat;
• 3) Dan bilangan Pythagoras ketiga harus kelipatan lima;

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

Kesimpulan.

Geometri, seperti ilmu lainnya, muncul dari kebutuhan latihan. Kata "geometri" - bahasa Yunani, dalam terjemahan berarti "survei".

Orang-orang sangat awal menghadapi kebutuhan untuk mengukur tanah. Sudah selama 3-4 ribu tahun SM. setiap bagian tanah subur di lembah Sungai Nil, Efrat dan Tigris, sungai-sungai di Cina, penting bagi kehidupan masyarakat. Ini membutuhkan pengetahuan geometris dan aritmatika tertentu.

Secara bertahap, orang mulai mengukur dan mempelajari sifat-sifat bentuk geometris yang lebih kompleks.

Baik di Mesir maupun di Babel, kuil-kuil raksasa dibangun, yang pembangunannya hanya dapat dilakukan berdasarkan perhitungan awal. Saluran air juga dibangun. Semua ini membutuhkan gambar dan perhitungan. Pada saat ini, kasus khusus dari teorema Pythagoras sudah diketahui, mereka sudah tahu bahwa jika kita mengambil segitiga dengan sisi x, y, z, di mana x, y, z adalah bilangan bulat sehingga x 2 + y 2 = z 2 , maka segitiga-segitiga ini akan siku-siku.

Semua pengetahuan ini langsung diterapkan di banyak bidang kehidupan manusia.

Jadi sampai sekarang, penemuan besar ilmuwan dan filsuf kuno Pythagoras menemukan aplikasi langsung dalam kehidupan kita.

Konstruksi rumah, jalan, pesawat ruang angkasa, mobil, peralatan mesin, pipa minyak, pesawat terbang, terowongan, kereta bawah tanah dan banyak lagi. Kembar tiga Pythagoras menemukan aplikasi langsung dalam merancang banyak hal yang mengelilingi kita dalam kehidupan sehari-hari.

Dan pikiran para ilmuwan terus mencari versi baru dari bukti teorema Pythagoras.

• PADA Sebagai hasil dari pekerjaan saya, saya berhasil:
• 1. Pelajari lebih lanjut tentang Pythagoras, hidupnya, persaudaraan Pythagoras.
• 2. Berkenalan dengan sejarah teorema Pythagoras.
• 3. Pelajari tentang bilangan Pythagoras, sifat-sifatnya, pelajari cara menemukannya dan menerapkannya dalam praktik.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Wilayah Krasnodar, desa Zhuravskaya, sekolah menengah MOBU No. 14, kelas 9

bilangan phytagoras

Pengawas: Manko Galina Vasilievna, guru matematika, sekolah menengah MOBU No. 14

Literatur.

1. Aljabar yang menghibur. SAYA DAN. Perelman (hal.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Sebuah melihat matematika dan sesuatu dari itu. – M.: MTsNMO, 2003.

5. Ensiklopedia anak. - M .: Rumah penerbitan Akademi Ilmu Pedagogis RSFSR, 1959.

6. Stepanova L.L. Bab yang dipilih teori dasar angka. – M.: Prometheus, 2001.

7. Segitiga V. Sierpinsky Pythagoras. - M.: Uchpedgiz, 1959. S.111

Kemajuan penelitian halaman Sejarah; Teori Pitagoras; Buktikan bahwa salah satu "kaki" harus genap dan yang lainnya ganjil; Derivasi pola untuk menemukan bilangan Pythagoras; Mengungkapkan sifat-sifat bilangan Pythagoras;

Pendahuluan Saya mendengar tentang Pythagoras dan kehidupannya di kelas lima pada pelajaran matematika, dan saya tertarik dengan pernyataan "Celana Pythagoras sama ke segala arah." Ketika mempelajari teorema Pythagoras, saya menjadi tertarik pada bilangan Pythagoras. Saya menetapkan tujuan penelitian: untuk mempelajari lebih lanjut tentang teorema Pythagoras dan "bilangan Pythagoras".

Kebenaran akan abadi, segera setelah diketahui orang yang lemah! Dan sekarang teorema Pythagoras Verne, seperti di zamannya yang jauh

Dari sejarah bilangan Pythagoras. Buku Matematika Cina Kuno Chu-pei: "Jika sebuah sudut siku-siku diuraikan menjadi bagian-bagian komponennya, maka garis yang menghubungkan ujung-ujung sisinya adalah 5 ketika alasnya 3 dan tingginya 4."

Bilangan Pythagoras di antara orang Mesir kuno Kantor (sejarawan matematika terbesar Jerman) percaya bahwa persamaan 3 ² + 4 ² = 5² sudah diketahui orang Mesir sekitar 2300 SM. e., pada masa Raja Amenemhat (menurut papirus 6619 Museum Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "stringer", membangun sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3; 4 dan 5.

Teorema Pythagoras di Babilonia “Kebaikan matematikawan Yunani pertama, seperti Thales, Pythagoras, dan Pythagoras, bukanlah penemuan matematika, tetapi sistematisasi dan pembenarannya. Di tangan mereka, resep komputasi berdasarkan ide-ide samar telah menjadi ilmu pasti.

Setiap segitiga, sisi-sisinya terkait sebagai 3:4:5, menurut teorema Pythagoras yang terkenal, adalah persegi panjang, karena 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. Selain angka 3,4 dan 5, ada , seperti yang Anda tahu, himpunan tak terbatas bilangan bulat positif a , di dan c, memenuhi hubungan A 2 + dalam 2 \u003d c 2. Angka-angka ini disebut bilangan Pythagoras

Menurut teorema Pythagoras, angka-angka ini dapat berfungsi sebagai panjang dari beberapa segitiga siku-siku; oleh karena itu, a dan b disebut "kaki", dan c disebut "sisi miring". Jelas bahwa jika a, b, c adalah tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka pa, p, pc, di mana p adalah faktor bilangan bulat, adalah bilangan Pythagoras. Kebalikannya juga benar! Oleh karena itu, pertama-tama kita hanya akan mempelajari tiga kali lipat bilangan Pythagoras koprima (sisanya diperoleh dari bilangan tersebut dengan mengalikan dengan faktor bilangan bulat p)

Kesimpulan! Jadi, dari bilangan a dan b, yang satu genap, dan yang lainnya ganjil, artinya bilangan ketiga juga ganjil.

Berikut adalah tripel Pythagoras berikut: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika mengalikan setiap bilangan dari triple Pythagoras dengan 2, 3, 4, 5, dll., kita mendapatkan tiga kali lipat berikut. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 dst. Mereka juga bilangan Pythagoras

Sifat-sifat bilangan Pythagoras Ketika mempertimbangkan bilangan Pythagoras, saya melihat sejumlah sifat: 1) Salah satu bilangan Pythagoras harus kelipatan tiga; 2) salah satunya harus kelipatan empat; 3) Dan bilangan Pythagoras lainnya harus kelipatan lima;

Aplikasi praktis bilangan Pythagoras

Kesimpulan: Sebagai hasil dari pekerjaan saya, saya berhasil 1. Pelajari lebih lanjut tentang Pythagoras, hidupnya, persaudaraan Pythagoras. 2. Berkenalan dengan sejarah teorema Pythagoras. 3. Pelajari tentang bilangan Pythagoras, sifat-sifatnya, pelajari cara menemukannya. Eksperimen-eksperimen menyisihkan sudut siku-siku menggunakan bilangan Pythagoras.

Metode yang mudah dan sangat akurat yang digunakan oleh surveyor tanah untuk menggambar garis tegak lurus di tanah adalah sebagai berikut. Biarkan diperlukan untuk menggambar tegak lurus terhadap garis MN melalui titik A (Gbr. 13). Lay off dari A ke arah AM tiga kali beberapa jarak a. Kemudian tiga simpul diikat pada tali, jarak antara 4a dan 5a. Memasang simpul ekstrem ke titik A dan B, tarik kabel melewati simpul tengah. Tali tersebut akan ditempatkan dalam sebuah segitiga, di mana sudut A adalah siku-siku.

Metode kuno ini, tampaknya digunakan ribuan tahun yang lalu oleh para pembangun piramida Mesir, didasarkan pada fakta bahwa setiap segitiga, yang sisi-sisinya terkait dengan 3:4:5, menurut teorema Pythagoras yang terkenal, adalah siku-siku, karena

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Selain bilangan 3, 4, 5, seperti diketahui, ada himpunan bilangan bulat positif a, b, c yang tak terhitung yang memenuhi relasi

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Mereka disebut bilangan Pythagoras. Menurut teorema Pythagoras, bilangan tersebut dapat berfungsi sebagai panjang sisi dari beberapa segitiga siku-siku; oleh karena itu, a dan b disebut "kaki", dan c disebut "sisi miring".

Jelas bahwa jika a, b, c adalah tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka pa, pb, pc, di mana p adalah faktor bilangan bulat, adalah bilangan Pythagoras. Sebaliknya, jika bilangan Pythagoras memiliki faktor persekutuan, maka dengan faktor persekutuan ini Anda dapat mengurangi semuanya, dan sekali lagi Anda mendapatkan tiga kali lipat bilangan Pythagoras. Oleh karena itu, pertama-tama kita hanya akan mempelajari tiga kali lipat bilangan Pythagoras koprima (sisanya diperoleh dari bilangan tersebut dengan mengalikan dengan faktor bilangan bulat p).

Mari kita tunjukkan bahwa dalam setiap kembar tiga seperti a, b, c salah satu "kaki" harus genap dan yang lainnya ganjil. Mari kita berdebat "sebaliknya". Jika kedua "kaki" a dan b genap, maka angka a 2 + b 2 akan genap, dan karenanya "sisi miring". Namun, ini bertentangan dengan fakta bahwa bilangan a, b, c tidak memiliki faktor persekutuan, karena tiga bilangan genap memiliki faktor persekutuan 2. Jadi, setidaknya salah satu dari "kaki" a, b adalah ganjil.

Masih ada satu kemungkinan lagi: kedua "kaki" ganjil, dan "sisi miring" genap. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa ini tidak mungkin. Memang, jika "kaki" memiliki bentuk

2x + 1 dan 2y + 1,

maka jumlah kuadratnya adalah

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

yaitu, itu adalah angka yang, ketika dibagi dengan 4, memberikan sisa 2. Sementara itu, kuadrat dari setiap bilangan genap harus habis dibagi 4 tanpa sisa. Jadi jumlah kuadrat dua bilangan ganjil tidak mungkin kuadrat dari bilangan genap; dengan kata lain, tiga angka kita bukan Pythagoras.

Jadi, dari "kaki" a, b, yang satu genap dan yang lainnya ganjil. Oleh karena itu, angka a 2 + b 2 adalah ganjil, yang berarti bahwa "sisi miring" c juga ganjil.

Misalkan, untuk kepastian, ganjil itu adalah "kaki" a, dan genap b. Dari kesetaraan

a2 + b2 = c2

kita dengan mudah mendapatkan:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Faktor c + b dan c - b di ruas kanan adalah koprima. Memang, jika angka-angka ini memiliki faktor prima yang sama selain satu, maka jumlahnya juga akan habis dibagi oleh faktor ini.

(c + b) + (c - b) = 2c,

dan perbedaan

(c + b) - (c - b) = 2b,

dan bekerja

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

yaitu angka 2c, 2b dan a akan memiliki faktor persekutuan. Karena a ganjil, faktor ini berbeda dari dua, dan oleh karena itu bilangan a, b, c memiliki faktor persekutuan yang sama, yang, bagaimanapun, tidak mungkin. Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa bilangan c + b dan c - b adalah koprima.

Tetapi jika hasil kali bilangan koprima adalah kuadrat eksak, maka masing-masing bilangan tersebut adalah bujur sangkar, mis.

Memecahkan sistem ini, kami menemukan:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, dan 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d M N.

Jadi, bilangan Pythagoras yang dipertimbangkan memiliki bentuk

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

di mana m dan n adalah beberapa bilangan ganjil koprima. Pembaca dapat dengan mudah memverifikasi kebalikannya: untuk semua jenis ganjil, rumus tertulis memberikan tiga bilangan Pythagoras a, b, c.

Berikut beberapa triplet bilangan Pythagoras yang diperoleh dengan berbagai jenis:

Untuk m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 untuk m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 untuk m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 untuk m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 pada m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 pada m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 pada m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 untuk m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 untuk m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 untuk m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 pada m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 pada m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 pada m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 pada m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 pada m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 pada m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras lainnya memiliki faktor persekutuan atau mengandung bilangan yang lebih besar dari seratus.)

Selanjutnya, kami mempertimbangkan metode terkenal untuk menghasilkan tripel Pythagoras yang efektif. Para siswa Pythagoras adalah yang pertama menemukan cara sederhana untuk menghasilkan tiga kali lipat Pythagoras, menggunakan rumus yang bagian-bagiannya mewakili tiga kali lipat Pythagoras:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Di mana m- tidak berpasangan, m>2. Betulkah,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Formula serupa diusulkan filosof Yunani kuno Plato:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Di mana m- nomor berapa pun. Untuk m= 2,3,4,5 dihasilkan triplet berikut:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Seperti yang Anda lihat, rumus-rumus ini tidak dapat memberikan semua kemungkinan tiga kali lipat primitif.

Perhatikan polinomial berikut, yang didekomposisi menjadi jumlah polinomial:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Oleh karena itu rumus berikut untuk mendapatkan triple primitif:

sebuah = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Rumus-rumus ini menghasilkan tiga kali lipat di mana jumlah rata-rata berbeda dari yang terbesar dengan tepat satu, yaitu, tidak semua kemungkinan tiga kali lipat juga dihasilkan. Di sini tiga kali lipat pertama adalah: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Untuk menentukan bagaimana menghasilkan semua triple primitif, kita harus memeriksa sifat-sifatnya. Pertama, jika ( a,b,c) adalah tripel primitif, maka sebuah dan b, b dan c, sebuah dan c— harus koprime. Membiarkan sebuah dan b dibagi menjadi d. Kemudian sebuah 2 + b 2 juga habis dibagi d. Masing-masing, c 2 dan c harus dibagi menjadi d. Artinya, ini bukan triple primitif.

Kedua, di antara angka-angka sebuah, b yang satu harus berpasangan dan yang lain tidak berpasangan. Memang, jika sebuah dan b- berpasangan, maka Dengan akan berpasangan, dan bilangan tersebut dapat dibagi paling sedikit 2. Jika keduanya tidak berpasangan, maka dapat direpresentasikan sebagai 2 k+1 saya 2 aku+1, di mana k,aku- beberapa nomor. Kemudian sebuah 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4aku 2 +4aku+1, yaitu, Dengan 2 , serta sebuah 2 + b 2 memiliki sisa 2 jika dibagi 4.

Membiarkan Dengan- nomor berapa pun, yaitu Dengan = 4k+saya (saya=0,…,3). Kemudian Dengan 2 = (4k+saya) 2 memiliki sisa 0 atau 1 dan tidak dapat memiliki sisa 2. Jadi, sebuah dan b tidak bisa tidak berpasangan, yaitu sebuah 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4aku 2 +4aku+1 dan sisanya Dengan 2 dengan 4 harus 1, yang berarti bahwa Dengan harus tidak berpasangan.

Persyaratan seperti itu untuk elemen tripel Pythagoras dipenuhi oleh angka-angka berikut:

sebuah = 2M N, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Di mana m dan n adalah koprime dengan pasangan yang berbeda. Untuk pertama kalinya, dependensi ini diketahui dari karya Euclid, yang hidup pada tahun 2300 r. kembali.

Mari kita buktikan validitas dependensi (2). Membiarkan sebuah- ganda, maka b dan c- tidak berpasangan. Kemudian c + b saya c − b- pasangan. Mereka dapat direpresentasikan sebagai c + b = 2kamu dan c − b = 2v, di mana kamu,v adalah beberapa bilangan bulat. Itu sebabnya

sebuah 2 = Dengan 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2kamu 2 v = 4UV

Dan maka dari itu ( sebuah/2) 2 = UV.

Dapat dibuktikan dengan kontradiksi bahwa kamu dan v adalah koprima. Membiarkan kamu dan v- dibagi menjadi d. Kemudian ( c + b) dan ( c − b) dibagi menjadi d. Dan maka dari itu c dan b harus dibagi menjadi d, dan ini bertentangan dengan kondisi untuk tripel Pythagoras.

Karena UV = (sebuah/2) 2 dan kamu dan v coprime, mudah untuk membuktikannya kamu dan v harus kuadrat dari beberapa angka.

Jadi ada bilangan bulat positif m dan n, seperti yang kamu = m 2 dan v = n 2. Kemudian

sebuah 2 = 4UV = 4m 2 n 2 jadi
sebuah = 2M N; b = kamu − v = m 2 − n 2 ; c = kamu + v = m 2 + n 2 .

Karena b> 0, maka m > n.

Tetap menunjukkan bahwa m dan n memiliki pasangan yang berbeda. Jika sebuah m dan n- berpasangan, maka kamu dan v harus dipasangkan, tetapi ini tidak mungkin, karena mereka koprima. Jika sebuah m dan n- tidak berpasangan, maka b = m 2 − n 2 dan c = m 2 + n 2 akan dipasangkan, yang tidak mungkin karena c dan b adalah koprima.

Jadi, setiap tripel Pythagoras primitif harus memenuhi kondisi (2). Pada saat yang sama, angka m dan n ditelepon menghasilkan angka kembar tiga primitif. Sebagai contoh, mari kita memiliki tripel Pythagoras primitif (120.119.169). Pada kasus ini

sebuah= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 25, dan c = 144+25=169,

Di mana m = 12, n= 5 - menghasilkan angka, 12 > 5; 12 dan 5 adalah koprima dan pasangan yang berbeda.

Dapat dibuktikan bahwa bilangan m, n rumus (2) memberikan tripel Pythagoras primitif (a,b,c). Betulkah,

sebuah 2 + b 2 = (2M N) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Itu adalah ( sebuah,b,c) adalah tripel Pythagoras. Mari kita buktikan sementara sebuah,b,c adalah bilangan koprima dengan kontradiksi. Biarkan angka-angka ini dibagi dengan p> 1. Sejak m dan n memiliki pasangan yang berbeda, maka b dan c- tidak berpasangan, yaitu p 2. Sejak R membagi b dan c, kemudian R harus membagi 2 m 2 dan 2 n 2 , yang tidak mungkin karena p 2. Oleh karena itu m, n adalah koprima dan sebuah,b,c juga koprima.

Tabel 1 menunjukkan semua tripel Pythagoras primitif yang dihasilkan oleh rumus (2) untuk m≤10.

Tabel 1. Tripel Pythagoras Primitif untuk m≤10

Analisis tabel ini menunjukkan adanya rangkaian pola berikut:

• atau sebuah, atau b dibagi 3;
• salah satu nomor sebuah,b,c habis dibagi 5;
• nomor sebuah habis dibagi 4;
• kerja sebuah· b habis dibagi 12.

Pada tahun 1971, matematikawan Amerika Teigan dan Hedwin mengusulkan parameter segitiga siku-siku yang kurang diketahui seperti tingginya (height) untuk menghasilkan kembar tiga. h = c b dan kelebihan (berhasil) e = sebuah + b − c. Pada Gambar.1. jumlah ini ditampilkan pada segitiga siku-siku tertentu.

Gambar 1. Segitiga siku-siku dan pertumbuhan dan kelebihannya

Nama "kelebihan" berasal dari fakta bahwa ini adalah jarak tambahan yang harus dilalui sepanjang kaki segitiga dari satu titik ke titik yang berlawanan, jika Anda tidak mengikuti diagonalnya.

Melalui kelebihan dan pertumbuhan, sisi-sisi segitiga Pythagoras dapat dinyatakan sebagai:

e 2 e 2
sebuah = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Tidak semua kombinasi h dan e mungkin sesuai dengan segitiga Pythagoras. Untuk yang diberikan h nilai yang mungkin e adalah produk dari beberapa nomor d. Nomor ini d disebut pertumbuhan dan mengacu pada h dengan cara berikut: d adalah bilangan bulat positif terkecil yang kuadratnya habis dibagi 2 h. Karena e banyak d, maka ditulis sebagai e = kd, di mana k adalah bilangan bulat positif.

Dengan bantuan pasangan ( k,h) Anda dapat membuat semua segitiga Pythagoras, termasuk non-primitif dan umum, sebagai berikut:

(dk) 2 (dk) 2
sebuah = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Selain itu, triple adalah primitif jika k dan h adalah koprima dan jika h =± q 2 jam q- tidak berpasangan.
Selain itu, itu akan menjadi tripel Pythagoras jika k> 2 h/d dan h > 0.

Mencari k dan h dari ( sebuah,b,c) lakukan hal berikut:

• h = c − b;
• tuliskan h bagaimana h = pq 2 , dimana p> 0 dan yang bukan persegi;
• d = 2pq jika p- tidak berpasangan dan d = pq, jika p berpasangan;
• k = (sebuah − h)/d.

Misalnya, untuk rangkap tiga (8,15,17) kita memiliki h= 17−15 = 2 1, jadi p= 2 dan q = 1, d= 2, dan k= (8 2)/2 = 3. Jadi rangkap tiga ini diberikan sebagai ( k,h) = (3,2).

Untuk rangkap tiga (459.1260.1341) kita memiliki h= 1341 1260 = 81, jadi p = 1, q= 9 dan d= 18, maka k= (459 81)/18 = 21, jadi kode rangkap tiga ini adalah ( k,h) = (21, 81).

Menentukan rangkap tiga dengan h dan k memiliki nomor properti menarik. Parameter k sama dengan

k = 4S/(dP), (5)

Di mana S = ab/2 adalah luas segitiga, dan P = sebuah + b + c adalah kelilingnya. Ini mengikuti dari kesetaraan eP = 4S, yang berasal dari teorema Pythagoras.

Untuk segitiga siku-siku e sama dengan diameter lingkaran yang tertulis dalam segitiga. Ini berasal dari fakta bahwa sisi miring Dengan = (sebuah − r)+(b − r) = sebuah + b − 2r, di mana r adalah jari-jari lingkaran. Dari sini h = c − b = sebuah − 2r dan e = sebuah − h = 2r.

Untuk h> 0 dan k > 0, k adalah jumlah urut kembar tiga sebuah-b-c dalam barisan segitiga Pythagoras dengan kenaikan h. Dari tabel 2, yang menunjukkan beberapa opsi untuk kembar tiga yang dihasilkan oleh pasangan h, k, dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya k sisi segitiga bertambah. Jadi, tidak seperti penomoran klasik, penomoran berpasangan h, k memiliki urutan yang lebih tinggi dalam urutan kembar tiga.

Tabel 2. Tripel Pythagoras dihasilkan oleh pasangan h, k.

Untuk h > 0, d memenuhi pertidaksamaan 2√ h ≤ d ≤ 2h, di mana batas bawah tercapai di p= 1, dan yang atas, di q= 1. Oleh karena itu, nilai d sehubungan dengan 2√ h adalah ukuran seberapa h jauh dari kuadrat suatu bilangan.

Tripel bilangan Pythagoras

karya kreatif

siswa 8 "SEBUAH" kelas

MAOU "Gymnasium No. 1"

Distrik Oktyabrsky di Saratov

Panfilova Vladimir

Supervisor - guru matematika dari kategori tertinggi

Grishina Irina Vladimirovna

Isi

Pendahuluan………………………………………………………………………………………3

Bagian teoretis dari pekerjaan

Menemukan dasar segitiga Pythagoras

(rumus Hindu kuno)………………………………………………………………………4

Bagian praktis dari pekerjaan

Menyusun rangkap tiga Pythagoras dengan berbagai cara …………………………… 6

Sifat penting dari segitiga Pythagoras………………………………………………...8

Kesimpulan……………………………………………………………………………………….9

Sastra………………………………………………………………………………...10

pengantar

Karena tahun akademik dalam pelajaran matematika, kami mempelajari salah satu teorema geometri yang paling populer - teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras diterapkan dalam geometri di setiap langkah, telah menemukan aplikasi luas dalam praktik dan kehidupan sehari-hari. Namun, selain teorema itu sendiri, kita juga mempelajari teorema kebalikan dari teorema Pythagoras. Sehubungan dengan studi teorema ini, kita telah berkenalan dengan bilangan tiga kali lipat Pythagoras, yaitu. dengan himpunan 3 bilangan aslisebuah , b danc , yang relasinya valid: = + . Set tersebut termasuk, misalnya, kembar tiga berikut:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Saya segera memiliki pertanyaan: berapa banyak tiga kali lipat Pythagoras yang dapat Anda buat? Dan bagaimana menyusunnya?

Dalam buku teks geometri kami, setelah menyajikan teorema kebalikan dari teorema Pythagoras, sebuah pernyataan penting dibuat: dapat dibuktikan bahwa kakisebuah danb dan hipotenusaDengan segitiga siku-siku, yang panjang sisinya dinyatakan dalam bilangan asli, dapat ditemukan dengan rumus:

sebuah = 2 km b = k( - )c = k( + , (1)

di manak , m , n adalah sembarang bilangan asli, danm > n .

Secara alami, muncul pertanyaan - bagaimana membuktikan formula ini? Dan apakah hanya dengan rumus-rumus inilah rangkap tiga Pythagoras dapat dibentuk?

Dalam pekerjaan saya, saya telah berusaha untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang muncul dalam pikiran saya.

Bagian teoretis dari pekerjaan

Menemukan segitiga Pythagoras utama (rumus Hindu kuno)

Mari kita buktikan dulu rumus (1):

Mari kita tunjukkan panjang kaki melaluiX danpada , dan panjang sisi miring melaluiz . Dengan teorema Pythagoras, kita memiliki persamaan:+ = .(2)

Persamaan ini disebut persamaan Pythagoras. Studi tentang segitiga Pythagoras direduksi menjadi penyelesaian persamaan (2) dalam bilangan asli.

Jika setiap sisi dari beberapa segitiga Pythagoras bertambah dengan jumlah yang sama, maka kita mendapatkan segitiga siku-siku baru yang serupa dengan yang diberikan dengan sisi-sisi yang dinyatakan dalam bilangan asli, yaitu. lagi segitiga Pythagoras.

Di antara semua segitiga yang sebangun, ada yang terkecil, mudah ditebak bahwa ini adalah segitiga yang sisi-sisinyaX danpada dinyatakan dalam bilangan koprima

(gcd (x,y )=1).

Kami menyebutnya segitiga Pythagorasutama .

Menemukan segitiga Pythagoras utama.

Misalkan segitiga (x , kamu , z ) adalah segitiga Pythagoras utama. AngkaX danpada adalah koprima, dan karena itu tidak mungkin keduanya genap. Mari kita buktikan bahwa keduanya tidak mungkin ganjil. Untuk ini, kami mencatat bahwaKuadrat suatu bilangan ganjil bila dibagi 8 memberikan sisa 1. Memang, setiap bilangan asli ganjil dapat direpresentasikan sebagai2 k -1 , di manak milikN .

Dari sini: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Angka( k -1) dank berurutan, salah satunya harus genap. Kemudian ekspresik ( k -1) dibagi dengan2 , 4 k ( k -1) habis dibagi 8, artinya jika dibagi 8, sisanya adalah 1.

Jumlah kuadrat dari dua bilangan ganjil memberikan sisa 2 ketika dibagi 8, oleh karena itu, jumlah kuadrat dari dua bilangan ganjil adalah bilangan genap, tetapi bukan kelipatan 4, dan oleh karena itu bilangan initidak bisa menjadi kuadrat dari bilangan asli.

Jadi persamaan (2) tidak dapat berlaku jikax danpada keduanya ganjil.

Jadi, jika segitiga Pythagoras (x, y, z ) - yang utama, lalu di antara angka-angkaX danpada satu harus genap dan yang lain harus ganjil. Biarkan angka y menjadi genap. AngkaX danz ganjil (ganjilz mengikuti dari kesetaraan (2)).

Dari persamaan+ = kita mengerti itu= ( z + x )( z - x ) (3).

Angkaz + x danz - x karena jumlah dan selisih dua bilangan ganjil adalah bilangan genap, maka (4):

z + x = 2 sebuah , z - x = 2 b , di manasebuah danb milikN .

z + x =2 sebuah , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = sebuah - b. (5)

Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwasebuah danb adalah bilangan yang relatif prima.

Kami membuktikan ini dengan berdebat dari yang sebaliknya.

Biarkan GCD (sebuah , b )= d , di manad >1 .

Kemudiand z danx , dan oleh karena itu bilanganz + x danz - x . Kemudian, berdasarkan persamaan (3) akan menjadi pembagi . Pada kasus inid akan menjadi pembagi umum dari angkapada danX , tapi angkapada danX harus koprime.

Nomorpada diketahui genap, jadiy = 2s , di manaDengan - bilangan asli. Kesetaraan (3) atas dasar kesetaraan (4) membutuhkan tampilan berikutnya: =2a*2 b , atau = ab.

Diketahui dari aritmatika bahwajika hasil kali dua bilangan koprima adalah kuadrat dari bilangan asli, maka masing-masing bilangan tersebut juga merupakan kuadrat dari bilangan asli.

Cara,a = danb = , di manam dann adalah bilangan koprima, karena mereka adalah pembagi bilangan koprimasebuah danb .

Berdasarkan kesetaraan (5) kami memiliki:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = M N

Kemudiany = 2 M N .

Angkam dann , karena adalah coprime, tidak bisa genap pada saat yang bersamaan. Tapi mereka tidak bisa ganjil pada saat yang sama, karena pada kasus inix = - akan menjadi genap, yang tidak mungkin. Jadi salah satu nomorm ataun adalah genap dan yang lainnya ganjil. Jelas sekali,y = 2 M N habis dibagi 4. Oleh karena itu, di setiap segitiga Pythagoras utama, setidaknya salah satu kakinya habis dibagi 4. Oleh karena itu, tidak ada segitiga Pythagoras, yang semua sisinya adalah bilangan prima.

Hasil yang diperoleh dapat dinyatakan sebagai teorema berikut:

Semua segitiga besar di manapada adalah bilangan genap, diperoleh dari rumus

x = - , kamu =2 M N , z = + ( m > n ), di manam dann - semua pasangan bilangan koprima, salah satunya genap dan yang lainnya ganjil (tidak masalah yang mana). Setiap rangkap tiga Pythagoras dasar (x, y, z ), di manapada – genap, ditentukan secara unik dengan cara ini.

Angkam dann tidak bisa keduanya genap atau keduanya ganjil, karena dalam kasus-kasus ini

x = akan menjadi genap, yang tidak mungkin. Jadi salah satu nomorm ataun genap dan yang ganjil lainnyakamu = 2 M N habis dibagi 4).

Bagian praktis dari pekerjaan

Menyusun tripel Pythagoras dengan berbagai cara

Dalam rumus Hindum dann - coprime, tetapi dapat berupa bilangan paritas arbitrer dan cukup sulit untuk membuat tripel Pythagoras menggunakannya. Oleh karena itu, mari kita coba mencari pendekatan lain untuk mengkompilasi tripel Pythagoras.

= - = ( z - kamu )( z + kamu ), di manaX - aneh,kamu - bahkan,z - aneh

v = z - kamu , kamu = z + kamu

= UV , di manakamu - aneh,v – ganjil (koprima)

Karena hasil kali dua bilangan koprima ganjil adalah kuadrat dari bilangan asli, makakamu = , v = , di manak danaku adalah koprima, bilangan ganjil.

z - kamu = z + kamu = k 2 , dari mana, menambahkan persamaan dan mengurangi satu sama lain, kita mendapatkan:

2 z = + 2 kamu = - itu adalah

z= y= x = cl

k

aku

x

kamu

z

37

9

1

9

40

41 (snol)*(100…0 (snol) +1)+1 =200…0 (s-1nol) 200…0 (s-1nol) 1

Sifat penting dari segitiga Pythagoras

Dalil

Dalam segitiga Pythagoras utama, salah satu kaki harus habis dibagi 4, salah satu kaki harus habis dibagi 3, dan luas segitiga Pythagoras harus kelipatan 6.

Bukti

Seperti yang kita ketahui, dalam segitiga Pythagoras setidaknya salah satu kakinya habis dibagi 4.

Mari kita buktikan bahwa salah satu kaki juga habis dibagi 3.

Untuk membuktikan ini, misalkan dalam segitiga Pythagoras (x , kamu , z x ataukamu kelipatan 3.

Sekarang kita buktikan bahwa luas segitiga Pythagoras habis dibagi 6.

Setiap segitiga Pythagoras memiliki luas yang dinyatakan sebagai kelipatan alami 6. Ini mengikuti dari fakta bahwa setidaknya satu kaki habis dibagi 3 dan setidaknya satu kaki habis dibagi 4. Luas segitiga, ditentukan oleh setengah produk kaki, harus dinyatakan dengan kelipatan 6 .

Kesimpulan

Sedang bekerja

- formula terbukti dari Hindu kuno

- melakukan studi tentang jumlah tiga kali lipat Pythagoras (ada banyak sekali dari mereka)

- metode untuk menemukan tripel Pythagoras ditunjukkan

- Mempelajari beberapa sifat segitiga Pythagoras

Bagi saya itu sangat topik yang menarik dan menemukan jawaban atas pertanyaan saya telah menjadi kegiatan yang sangat menarik. Di masa depan, saya berencana untuk mempertimbangkan hubungan tripel Pythagoras dengan deret Fibonacci dan teorema Fermat dan mempelajari lebih banyak lagi sifat-sifat segitiga Pythagoras.

literatur

L.S. Atanasyan "Geometri. Kelas 7-9" M.: Pendidikan, 2012.

V. Serpinsky "segitiga Pythagoras" M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014