Penggunaan tripel Pythagoras dalam memecahkan masalah geometris dan tugas trigonometri dalam ujian. Pythagoras tiga kali lipat bilangan prima dalam Pythagoras tiga kali lipat

Properti

Karena persamaan x 2 + kamu 2 = z 2 homogen jika dikalikan x , kamu dan z untuk nomor yang sama Anda mendapatkan triple Pythagoras lainnya. Tripel Pythagoras disebut primitif, jika tidak dapat diperoleh dengan cara ini, yaitu - bilangan relatif prima.

Contoh

Beberapa rangkap tiga Pythagoras (diurutkan dalam urutan menaik dari jumlah maksimum, yang primitif disorot):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Berdasarkan sifat-sifat bilangan Fibonacci, Anda dapat membuatnya, misalnya, tiga kali lipat Pythagoras:

Cerita

kembar tiga Pythagoras dikenal sangat lama. Dalam arsitektur batu nisan Mesopotamia kuno, ditemukan segitiga sama kaki, terdiri dari dua persegi panjang dengan sisi 9, 12 dan 15 hasta. Piramida Firaun Snefru (abad XXVII SM) dibangun menggunakan segitiga dengan sisi 20, 21 dan 29, serta 18, 24 dan 30 puluhan hasta Mesir.

Lihat juga

Tautan

• E. A. Gorin Perpangkatan bilangan prima dalam rangkap tiga Pythagoras // pendidikan matematika. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa "Bilangan Pythagoras" di kamus lain:

Kelipatan tiga bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan-bilangan ini siku-siku, mis. rangkap tiga : 3, 4, 5… Kamus Ensiklopedis Besar

Kelipatan tiga bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan-bilangan ini adalah persegi panjang, misalnya, rangkap tiga bilangan: 3, 4, 5. * * * ANGKA PYTHAGORAN ANGKA PYTHAGORAN, tiga kali lipat dari bilangan asli seperti itu ... ... kamus ensiklopedis

Kelipatan tiga bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan-bilangan ini adalah segitiga siku-siku. Menurut teorema, kebalikan dari teorema Pythagoras (lihat teorema Pythagoras), untuk ini cukup bahwa mereka ... ...

Tiga bilangan bulat bilangan positif x, y, z memenuhi persamaan x2+y 2=z2. Semua solusi persamaan ini, dan akibatnya, semua P. p., dinyatakan dengan rumus x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, di mana a, b adalah bilangan bulat positif arbitrer (a>b). P.h... Ensiklopedia Matematika

Kembar tiga bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga, yang panjang sisi-sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan-bilangan ini, adalah persegi panjang, misalnya. rangkap tiga : 3, 4, 5… Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

Dalam matematika, bilangan Pythagoras (Pythagoras triple) adalah tupel dari tiga bilangan bulat yang memenuhi hubungan Pythagoras: x2 + y2 = z2. Isi 1 Properti 2 Contoh ... Wikipedia

Angka keriting adalah nama umum angka yang terkait dengan sosok geometris tertentu. Konsep sejarah ini kembali ke Pythagoras. Agaknya, ungkapan "Persegi atau kubus" muncul dari angka keriting. Isi ... ... Wikipedia

Angka keriting adalah nama umum angka yang terkait dengan sosok geometris tertentu. Konsep sejarah ini kembali ke Pythagoras. Ada beberapa jenis bilangan keriting berikut ini: Bilangan linier adalah bilangan yang tidak terurai menjadi faktor, yaitu ... ... Wikipedia

- "Pi Paradox" lelucon tentang topik matematika, yang beredar di kalangan siswa hingga tahun 80-an (pada kenyataannya, sebelum distribusi massa mikrokalkulator) dan dikaitkan dengan akurasi perhitungan yang terbatas fungsi trigonometri dan ... ... Wikipedia

- (Aritmetika Yunani, dari bilangan aritmia) ilmu bilangan, terutama bilangan asli (bilangan bulat positif) dan pecahan (rasional), dan operasinya. Memiliki konsep bilangan asli yang cukup berkembang dan kemampuan untuk ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Buku

• Musim panas Archimedean, atau sejarah komunitas matematikawan muda. Sistem bilangan biner, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistem bilangan biner, "Menara Hanoi", gerakan ksatria, kotak ajaib, segitiga aritmatika, angka keriting, kombinasi, konsep probabilitas, strip M bius, dan botol Klein.…

"Pusat Pendidikan Daerah"

Pengembangan metodis

Menggunakan tripel Pythagoras dalam menyelesaikan

masalah geometris dan tugas trigonometri GUNAKAN

Kaluga, 2016

Saya Perkenalan

Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema utama dan, bahkan dapat dikatakan, teorema geometri yang paling penting. Signifikansinya terletak pada kenyataan bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan darinya atau dengan bantuannya. Teorema Pythagoras juga luar biasa dalam hal itu sendiri sama sekali tidak jelas. Misalnya, sifat-sifat segitiga sama kaki dapat dilihat langsung pada gambar. Tetapi tidak peduli bagaimana Anda melihat segitiga siku-siku, Anda tidak akan pernah melihat bahwa ada rasio sederhana antara sisi-sisinya: a2+b2=c2. Namun, bukan Pythagoras yang menemukan teorema yang menyandang namanya. Itu diketahui lebih awal, tetapi mungkin hanya sebagai fakta yang diturunkan dari pengukuran. Agaknya, Pythagoras mengetahui hal ini, tetapi menemukan bukti.

Ada jumlah tak terbatas bilangan asli a, b, c, memuaskan hubungan a2+b2=c2.. Mereka disebut bilangan Pythagoras. Menurut teorema Pythagoras, bilangan tersebut dapat berfungsi sebagai panjang sisi dari beberapa segitiga siku-siku Kami akan menyebutnya segitiga Pythagoras.

Objektif: untuk mempelajari kemungkinan dan efektivitas penggunaan tripel Pythagoras untuk memecahkan masalah kursus matematika sekolah, USE tugas.

Berdasarkan tujuan pekerjaan, berikut ini: tugas:

Untuk mempelajari sejarah dan klasifikasi tripel Pythagoras. Analisis tugas menggunakan tripel Pythagoras yang tersedia di buku teks sekolah dan ditemukan dalam materi tes dan pengukuran USE. Evaluasi keefektifan penggunaan tripel Pythagoras dan sifat-sifatnya untuk memecahkan masalah.

Objek studi: bilangan tiga kali lipat Pythagoras.

Subyek studi: tugas kursus sekolah trigonometri dan geometri, di mana tiga kali lipat Pythagoras digunakan.

Relevansi penelitian. Trigon Pythagoras sering digunakan dalam geometri dan trigonometri, mengetahuinya akan menghilangkan kesalahan dalam perhitungan dan menghemat waktu.

II. Bagian utama. Menyelesaikan masalah menggunakan tripel Pythagoras.

2.1 Tabel tiga kali lipat bilangan Pythagoras (menurut Perelman)

Bilangan Pythagoras memiliki bentuk sebuah= M N, , di mana m dan n adalah beberapa bilangan ganjil koprima.

Bilangan Pythagoras memiliki sejumlah fitur menarik:

Salah satu "kaki" harus kelipatan tiga.

Salah satu "kaki" harus kelipatan empat.

Salah satu bilangan Pythagoras harus kelipatan lima.

Buku "Aljabar Menghibur" berisi tabel tiga kali lipat Pythagoras yang berisi angka hingga seratus, yang tidak memiliki faktor persekutuan.

2.2. Klasifikasi Shustrov tentang tripel Pythagoras.

Shustrov menemukan pola berikut: jika semua segitiga Pythagoras dibagi menjadi beberapa kelompok, maka rumus berikut berlaku untuk kaki ganjil x, genap y dan sisi miring z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, di mana N adalah jumlah keluarga dan n adalah jumlah urut segitiga dalam keluarga.

Mengganti rumus di tempat N dan n bilangan bulat positif apa pun, mulai dari satu, Anda bisa mendapatkan semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras utama, serta kelipatan dari jenis tertentu. Anda dapat membuat tabel dari semua rangkap tiga Pythagoras untuk setiap keluarga.

2.3. tugas planimetri

Mari kita pertimbangkan masalah dari berbagai buku teks tentang geometri dan cari tahu seberapa sering tiga kali lipat Pythagoras ditemukan dalam tugas-tugas ini. Masalah sepele dalam menemukan elemen ketiga dalam tabel tiga kali lipat Pythagoras tidak akan dipertimbangkan, meskipun mereka juga ditemukan di buku teks. Mari kita tunjukkan cara mereduksi solusi dari masalah yang datanya tidak dinyatakan dengan bilangan asli menjadi tiga kali lipat Pythagoras.

Pertimbangkan tugas dari buku teks geometri untuk kelas 7-9.

№ 000. Cari hipotenusa segitiga siku-siku sebuah=, b=.

Larutan. Kalikan panjang kakinya dengan 7, kita mendapatkan dua elemen dari tripel Pythagoras 3 dan 4. Elemen yang hilang adalah 5, yang kita bagi dengan 7. Jawaban.

№ 000. Pada persegi panjang ABCD tentukan BC jika CD=1.5, AC=2.5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Larutan. Mari kita selesaikan segitiga siku-siku ACD. Kami mengalikan panjangnya dengan 2, kami mendapatkan dua elemen dari tripel Pythagoras 3 dan 5, elemen yang hilang adalah 4, yang kami bagi dengan 2. Jawaban: 2.

Saat memecahkan nomor berikutnya, periksa rasionya a2+b2=c2 itu sepenuhnya opsional, cukup menggunakan bilangan Pythagoras dan propertinya.

№ 000. Cari tahu apakah sebuah segitiga siku-siku jika sisi-sisinya dinyatakan dengan angka:

a) 6,8,10 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya;

Salah satu kaki segitiga siku-siku harus habis dibagi 4. Jawaban: tidak.

c) 9,12,15 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya;

d) 10,24,26 (triple Pythagoras 5,12,13) ​​- ya;

Salah satu bilangan Pythagoras harus kelipatan lima. Jawaban: tidak.

g) 15, 20, 25 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya.

Dari tiga puluh sembilan tugas di bagian ini (teorema Pythagoras), dua puluh dua diselesaikan secara lisan menggunakan bilangan Pythagoras dan pengetahuan tentang sifat-sifatnya.

Pertimbangkan masalah #000 (dari bagian "Tugas Tambahan"):

Hitunglah luas segitiga ABCD dimana AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Tugasnya adalah memeriksa rasionya a2+b2=c2 dan buktikan bahwa segi empat yang diberikan terdiri dari dua segitiga siku-siku (teorema terbalik). Dan pengetahuan tentang tiga kali lipat Pythagoras: 3, 4, 5 dan 5, 12, 13, menghilangkan kebutuhan akan perhitungan.

Mari kita berikan solusi untuk beberapa masalah dari buku teks tentang geometri untuk kelas 7-9.

Soal 156 (h). Kaki sebuah segitiga siku-siku adalah 9 dan 40. Tentukan median yang ditarik ke sisi miring.

Larutan . Median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya. Tripel Pythagoras adalah 9,40 dan 41. Oleh karena itu, mediannya adalah 20,5.

Soal 156 (i). Sisi segitiga tersebut adalah: sebuah= 13cm, b= 20 cm dan tinggi hс = 12 cm. Temukan alasnya Dengan.

Tugas (GUNAKAN KIM). Temukan jari-jari lingkaran pada segitiga lancip ABC jika tinggi BH adalah 12 dan diketahui bahwa: dosa A=,sin C \u003d kiri "\u003e

Larutan. Kami memecahkan persegi panjang ASC: sin A=, BH=12, maka AB=13,AK=5 (Pythagoras triple 5,12,13). Memecahkan persegi panjang BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagoras tripel 3,4,5). Jari-jari dicari dengan rumus r === 4. Jawaban.4.

Utama identitas trigonometri– kasus khusus dari teorema Pythagoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Oleh karena itu, beberapa tugas trigonometri mudah diselesaikan secara lisan menggunakan tripel Pythagoras.

Tugas yang membutuhkan tetapkan nilai fungsi untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang tersisa, dapat diselesaikan tanpa mengkuadratkan dan mengekstraksi akar pangkat dua. Semua tugas jenis ini dalam buku teks sekolah aljabar (10-11) Mordkovich (No. 000-No. 000) dapat diselesaikan secara lisan, hanya mengetahui beberapa kali lipat Pythagoras: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Mari kita pertimbangkan solusi dari dua tugas.

Nomor 000 a). sin t = 4/5, /2< t < π.

Larutan. Tripel Pythagoras: 3, 4, 5. Oleh karena itu, cos t = -3/5; tgt = -4/3,

Nomor 000 b). tg t = 2,4,< t < 3π/2.

Larutan. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Tripel Pythagoras 5,12,13. Mengingat tanda-tandanya, kita mendapatkan sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Mengontrol dan mengukur bahan ujian

a) cos (busur 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) dosa (arccos 13/5)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (busur 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) memeriksa validitas persamaan:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = /2.

Larutan. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = /2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = /2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

AKU AKU AKU. Kesimpulan

Dalam masalah geometri, seseorang sering kali harus menyelesaikan segitiga siku-siku, terkadang beberapa kali. Setelah menganalisis tugas buku teks sekolah dan materi USE, kita dapat menyimpulkan bahwa triplet terutama digunakan: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; yang mudah diingat. Saat menyelesaikan beberapa tugas trigonometri, solusi klasik menggunakan rumus trigonometri dan sejumlah besar perhitungan membutuhkan waktu, dan pengetahuan tentang tiga kali lipat Pythagoras akan menghilangkan kesalahan dalam perhitungan dan menghemat waktu untuk memecahkan masalah yang lebih sulit pada ujian.

Daftar bibliografi

1. Aljabar dan awal mula analisis. kelas 10-11. Pukul 2. Bagian 2. Buku tugas untuk lembaga pendidikan/ [ dan sebagainya.]; ed. . - Edisi ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 hal. : Saya akan.

2. Aljabar Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 hal.

3. Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan mendalam studi pendidikan umum matematika. sekolah dari Rusia lang. belajar, - edisi ke-3. - M N.; tidak. Asveta, 2000. - 574 hal.: sakit.

4. Matematika: Pembaca sejarah, metodologi, didaktik. / Komp. . - M.: Penerbitan URAO, 2001. - 384 hal.

5. Jurnal “Matematika di Sekolah” No. 1 Tahun 1965.

6. Mengontrol dan mengukur bahan ujian.

7. Geometri, 7-9: Proc. untuk lembaga pendidikan /, dll - ed 13. - M.: Pendidikan, 2003. – 384 hal. : Saya akan.

8. Geometri: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah /, dll - 2nd ed. - M.: Pendidikan, 1993, - 207 hal.: sakit.

aljabar Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 hal.

Jurnal “Matematika di Sekolah” No. 1 Tahun 1965.

Geometri, 7-9: Proc. untuk lembaga pendidikan /, dll - ed 13. - M.: Pendidikan, 2003. – 384 hal. : Saya akan.

Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan mendalam studi pendidikan umum matematika. sekolah dari Rusia lang. belajar, - edisi ke-3. - M N.; tidak. Asveta, 2000. - 574 hal.: sakit.

Aljabar dan awal analisis. kelas 10-11. Pada jam 2 Bagian 2. Buku tugas untuk lembaga pendidikan / [dan lain-lain]; ed. . - Edisi ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 hal. : sakit., hal.18.

» Profesor Matematika yang Terhormat di Universitas Warwick, seorang pempopuler sains terkenal Ian Stewart, yang didedikasikan untuk peran angka dalam sejarah umat manusia dan relevansi studi mereka di zaman kita.

hipotenusa phytagoras

Segitiga Pythagoras memiliki sudut siku-siku dan sisi bilangan bulat. Dalam yang paling sederhana, sisi terpanjang memiliki panjang 5, sisanya adalah 3 dan 4. Ada total 5 polihedra biasa. Persamaan derajat kelima tidak dapat diselesaikan dengan akar derajat kelima - atau akar lainnya. Kisi-kisi dalam bidang dan dalam ruang tiga dimensi tidak memiliki simetri rotasi lima lobus; oleh karena itu, simetri seperti itu juga tidak ada dalam kristal. Namun, mereka dapat berada di kisi dalam ruang empat dimensi dan dalam struktur menarik yang dikenal sebagai quasicrystals.

Sisi miring dari tripel Pythagoras terkecil

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa sisi terpanjang dari segitiga siku-siku (sisi miring yang terkenal) berkorelasi dengan dua sisi lainnya dari segitiga ini dengan cara yang sangat sederhana dan indah: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi lainnya dua sisi.

Secara tradisional, kita menyebut teorema ini setelah Pythagoras, tetapi sebenarnya sejarahnya agak kabur. Tablet tanah liat menunjukkan bahwa orang Babilonia kuno mengetahui teorema Pythagoras jauh sebelum Pythagoras sendiri; kemuliaan penemu dibawa kepadanya oleh kultus matematika Pythagoras, yang pendukungnya percaya bahwa alam semesta didasarkan pada pola numerik. Penulis kuno dikaitkan dengan Pythagoras - dan karenanya ke Pythagoras - berbagai teorema matematika, tetapi sebenarnya kita tidak tahu jenis matematika apa yang digunakan Pythagoras sendiri. Kita bahkan tidak tahu apakah Pythagoras dapat membuktikan Teorema Pythagoras, atau apakah mereka hanya percaya bahwa itu benar. Atau, lebih mungkin, mereka memiliki data yang meyakinkan tentang kebenarannya, yang bagaimanapun tidak akan cukup untuk apa yang kita anggap sebagai bukti hari ini.

Bukti Pythagoras

Bukti teorema Pythagoras pertama yang diketahui ditemukan dalam Elemen Euclid. Ini adalah bukti yang agak rumit dengan menggunakan gambar yang akan segera dikenali oleh anak-anak sekolah Victoria sebagai "celana Pythagoras"; gambarnya benar-benar menyerupai celana dalam yang dijemur di atas tali. Secara harfiah ratusan bukti lain diketahui, sebagian besar membuat pernyataan lebih jelas.

// Beras. 33. Celana Pythagoras

Salah satu bukti paling sederhana adalah semacam teka-teki matematika. Ambil segitiga siku-siku, buat empat salinannya dan kumpulkan di dalam kotak. Dengan satu peletakan, kita melihat persegi di sisi miring; dengan yang lain - kotak di dua sisi segitiga lainnya. Jelas bahwa area dalam kedua kasus adalah sama.

// Beras. 34. Kiri: persegi pada sisi miring (ditambah empat segitiga). Kanan: jumlah kuadrat di dua sisi lainnya (ditambah empat segitiga yang sama). Sekarang hilangkan segitiga

Pembedahan Perigal adalah bukti lain yang membingungkan.

// Beras. 35. Diseksi Perigal

Ada juga bukti teorema menggunakan kotak susun di pesawat. Mungkin begitulah cara Pythagoras atau pendahulu mereka yang tidak diketahui menemukan teorema ini. Jika Anda melihat bagaimana persegi miring tumpang tindih dengan dua kotak lainnya, Anda dapat melihat cara memotong persegi besar menjadi beberapa bagian, lalu lipat menjadi dua kotak yang lebih kecil. Anda juga dapat melihat segitiga siku-siku, sisi-sisinya memberikan dimensi tiga kotak yang terlibat.

// Beras. 36. Pembuktian dengan pengaspalan

Ada bukti menarik menggunakan segitiga serupa dalam trigonometri. Setidaknya lima puluh bukti berbeda diketahui.

kembar tiga Pythagoras

Dalam teori bilangan, teorema Pythagoras menjadi sumber ide yang bermanfaat: untuk menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan aljabar. Triple Pythagoras adalah himpunan bilangan bulat a, b dan c sedemikian rupa sehingga

Secara geometris, triple seperti itu mendefinisikan segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat.

Sisi miring terkecil dari tripel Pythagoras adalah 5.

Dua sisi lain dari segitiga ini adalah 3 dan 4. Berikut

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Sisi miring terbesar berikutnya adalah 10 karena

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Namun, ini pada dasarnya adalah segitiga yang sama dengan sisi ganda. Sisi miring terbesar dan benar-benar berbeda berikutnya adalah 13, di mana

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid tahu bahwa ada jumlah tak terbatas variasi yang berbeda dari tiga kali lipat Pythagoras, dan dia memberikan apa yang bisa disebut formula untuk menemukan semuanya. Belakangan, Diophantus dari Alexandria menawarkan resep sederhana, yang pada dasarnya sama dengan Euclidean.

Ambil dua bilangan asli dan hitung:

produk ganda mereka;

perbedaan kuadrat mereka;

jumlah kuadrat mereka.

Tiga angka yang dihasilkan akan menjadi sisi segitiga Pythagoras.

Ambil, misalnya, angka 2 dan 1. Hitung:

produk ganda: 2 × 2 × 1 = 4;

selisih kuadrat: 22 - 12 = 3;

jumlah kuadrat: 22 + 12 = 5,

dan kami mendapatkan segitiga 3-4-5 yang terkenal. Jika kita mengambil angka 3 dan 2 sebagai gantinya, kita mendapatkan:

produk ganda: 2 × 3 × 2 = 12;

selisih kuadrat: 32 - 22 = 5;

jumlah kuadrat: 32 + 22 = 13,

dan kita mendapatkan segitiga terkenal berikutnya 5 - 12 - 13. Mari kita coba ambil angka 42 dan 23 dan dapatkan:

produk ganda: 2 × 42 × 23 = 1932;

selisih kuadrat: 422 - 232 = 1235;

jumlah kuadrat: 422 + 232 = 2293,

tidak ada yang pernah mendengar tentang segitiga 1235-1932-2293.

Tetapi angka-angka ini juga berfungsi:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Ada fitur lain dalam aturan Diophantine yang telah diisyaratkan: setelah menerima tiga angka, kita dapat mengambil angka arbitrer lain dan mengalikan semuanya dengan itu. Jadi, segitiga 3-4-5 dapat diubah menjadi segitiga 6-8-10 dengan mengalikan semua sisi dengan 2, atau menjadi segitiga 15-20-25 dengan mengalikan semuanya dengan 5.

Jika kita beralih ke bahasa aljabar, aturannya menjadi tampilan berikutnya: misalkan u, v dan k bilangan asli. Maka segitiga siku-siku dengan sisi

2kuv dan k (u2 - v2) memiliki sisi miring

Ada cara lain untuk menyajikan gagasan utama, tetapi semuanya bermuara pada yang dijelaskan di atas. Metode ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan semua tiga kali lipat Pythagoras.

Polihedral biasa

Tepatnya ada lima polihedra biasa. Sebuah polihedron biasa (atau polihedron) adalah sosok tiga dimensi dengan jumlah wajah datar yang terbatas. Sisi bertemu satu sama lain pada garis yang disebut tepi; tepi bertemu di titik-titik yang disebut simpul.

Puncak dari "Awal" Euclidean adalah bukti bahwa hanya ada lima polyhedra biasa, yaitu polyhedra di mana setiap wajah poligon beraturan(sisi yang sama, sudut yang sama), semua wajah identik dan semua simpul dikelilingi oleh jumlah wajah yang sama dengan jarak yang sama. Berikut adalah lima polyhedra biasa:

tetrahedron dengan empat wajah segitiga, empat simpul dan enam tepi;

kubus, atau segi enam, dengan 6 wajah persegi, 8 simpul dan 12 tepi;

segi delapan dengan 8 wajah segitiga, 6 simpul dan 12 tepi;

dodecahedron dengan 12 wajah pentagonal, 20 simpul dan 30 tepi;

icosahedron dengan 20 wajah segitiga, 12 simpul dan 30 tepi.

// Beras. 37. Lima polihedra biasa

Polihedra biasa juga dapat ditemukan di alam. Pada tahun 1904, Ernst Haeckel menerbitkan gambar organisme kecil yang dikenal sebagai radiolaria; banyak dari mereka berbentuk seperti lima polihedra biasa yang sama. Mungkin, bagaimanapun, dia sedikit mengoreksi alam, dan gambarnya tidak sepenuhnya mencerminkan bentuk makhluk hidup tertentu. Tiga struktur pertama juga diamati dalam kristal. Anda tidak akan menemukan dodecahedron dan icosahedron dalam kristal, meskipun dodecahedron dan icosahedron yang tidak beraturan terkadang ditemukan di sana. Dodecahedron sejati dapat muncul sebagai quasicrystals, yang seperti kristal dalam segala hal, kecuali atom-atomnya tidak membentuk kisi periodik.

// Beras. 38. Gambar oleh Haeckel: radiolaria dalam bentuk polihedra biasa

// Beras. 39. Perkembangan Polihedral Reguler

Mungkin menarik untuk membuat model polihedra biasa dari kertas dengan terlebih dahulu memotong satu set wajah yang saling berhubungan - ini disebut sapuan polihedron; pindaian dilipat di sepanjang tepinya dan tepi yang sesuai direkatkan. Hal ini berguna untuk menambahkan area tambahan untuk lem ke salah satu tepi setiap pasangan tersebut, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 39. Jika tidak ada platform seperti itu, Anda dapat menggunakan pita perekat.

Persamaan derajat kelima

Tidak ada rumus aljabar untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-5.

Secara umum, persamaan derajat kelima terlihat seperti ini:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Masalahnya adalah menemukan rumus untuk menyelesaikan persamaan seperti itu (dapat memiliki hingga lima solusi). Pengalaman dalam berurusan dengan persamaan kuadrat dan kubik, serta dengan persamaan tingkat keempat, menunjukkan bahwa rumus seperti itu juga harus ada untuk persamaan tingkat kelima, dan, secara teori, akar dari tingkat kelima, ketiga dan kedua harus muncul di dalamnya. Sekali lagi, orang dapat dengan aman berasumsi bahwa formula seperti itu, jika ada, akan menjadi sangat, sangat rumit.

Anggapan ini pada akhirnya ternyata salah. Memang, tidak ada formula seperti itu; paling tidak tidak ada rumus yang terdiri dari koefisien a, b, c, d, e dan f, yang disusun menggunakan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, serta akar. Jadi, ada sesuatu yang sangat istimewa tentang angka 5. Alasan untuk perilaku yang tidak biasa dari kelimanya sangat dalam, dan butuh banyak waktu untuk mengetahuinya.

Tanda pertama dari masalah adalah tidak peduli seberapa keras matematikawan mencoba menemukan rumus seperti itu, tidak peduli seberapa pintar mereka, mereka selalu gagal. Untuk beberapa waktu, semua orang percaya bahwa alasannya terletak pada kompleksitas formula yang luar biasa. Diyakini bahwa tidak ada yang bisa memahami aljabar ini dengan benar. Namun, seiring waktu, beberapa ahli matematika mulai meragukan bahwa formula seperti itu ada, dan pada tahun 1823 Niels Hendrik Abel mampu membuktikan sebaliknya. Tidak ada rumus seperti itu. Tak lama kemudian, variste Galois menemukan cara untuk menentukan apakah persamaan satu derajat atau lainnya - ke-5, ke-6, ke-7, umumnya apa saja - dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus semacam ini.

Kesimpulan dari semua ini sederhana: angka 5 istimewa. Anda dapat menyelesaikan persamaan aljabar (menggunakan akar derajat ke-n untuk nilai n yang berbeda) untuk derajat 1, 2, 3 dan 4, tetapi tidak untuk derajat ke-5. Di sinilah pola yang jelas berakhir.

Tidak ada yang terkejut bahwa persamaan kekuatan yang lebih besar dari 5 berperilaku lebih buruk; khususnya, kesulitan yang sama terkait dengan mereka: tidak ada rumus umum untuk solusi mereka. Ini tidak berarti bahwa persamaan tidak memiliki solusi; itu tidak berarti juga bahwa tidak mungkin untuk menemukan nilai numerik yang sangat tepat dari solusi ini. Ini semua tentang keterbatasan alat aljabar tradisional. Ini mengingatkan pada ketidakmungkinan membagi tiga sudut dengan penggaris dan kompas. Ada jawaban, tetapi metode yang tercantum tidak cukup dan tidak memungkinkan Anda untuk menentukan apa itu.

Keterbatasan kristalografi

Kristal dalam dua dan tiga dimensi tidak memiliki simetri rotasi 5 balok.

Atom-atom dalam kristal membentuk kisi, yaitu struktur yang berulang secara berkala dalam beberapa arah independen. Misalnya, pola pada wallpaper diulang sepanjang gulungan; selain itu, biasanya diulang dalam arah horizontal, terkadang dengan pergeseran dari satu bagian wallpaper ke bagian berikutnya. Pada dasarnya, wallpaper adalah kristal dua dimensi.

Ada 17 jenis pola wallpaper di pesawat (lihat bab 17). Mereka berbeda dalam jenis simetri, yaitu, dalam cara menggeser pola secara kaku sehingga terletak tepat pada dirinya sendiri pada posisi aslinya. Jenis simetri termasuk, khususnya, berbagai varian simetri rotasi, di mana pola harus diputar melalui sudut tertentu di sekitar titik tertentu - pusat simetri.

Urutan simetri rotasi adalah berapa kali Anda dapat memutar tubuh menjadi satu lingkaran penuh sehingga semua detail gambar kembali ke posisi semula. Misalnya, rotasi 90° adalah simetri rotasi orde ke-4*. Daftar kemungkinan jenis simetri rotasi dalam kisi kristal sekali lagi menunjukkan keanehan angka 5: itu tidak ada. Terdapat varian dengan simetri putar orde 2, 3, 4, dan 6, tetapi tidak ada pola wallpaper yang memiliki simetri putar orde 5. Juga tidak ada simetri rotasi orde lebih besar dari 6 dalam kristal, tetapi pelanggaran pertama dari urutan masih terjadi pada nomor 5.

Hal yang sama terjadi dengan sistem kristalografi dalam ruang tiga dimensi. Di sini kisi berulang dalam tiga arah independen. Ada 219 jenis simetri yang berbeda, atau 230 jika kita menganggap pantulan cermin dari pola sebagai versi terpisah darinya - apalagi, dalam hal ini tidak ada simetri cermin. Sekali lagi, simetri rotasi orde 2, 3, 4, dan 6 diamati, tetapi tidak 5. Fakta ini disebut kendala kristalografi.

Dalam ruang empat dimensi, kisi-kisi dengan simetri orde ke-5 ada; secara umum, untuk kisi-kisi dengan dimensi yang cukup tinggi, setiap urutan simetri rotasi yang telah ditentukan sebelumnya dimungkinkan.

// Beras. 40. Kisi kristal garam meja. Bola gelap mewakili atom natrium, bola terang mewakili atom klorin.

kristal kuasi

Sementara simetri rotasi orde 5 tidak mungkin dalam kisi 2D dan 3D, ia dapat eksis dalam struktur yang sedikit kurang teratur yang dikenal sebagai quasicrystals. Menggunakan sketsa Kepler, Roger Penrose menemukan sistem datar dengan lebih banyak lagi tipe umum simetri lipat lima. Mereka disebut quasicrystals.

Quasicrystals ada di alam. Pada tahun 1984, Daniel Shechtman menemukan bahwa paduan aluminium dan mangan dapat membentuk kristal kuasi; Awalnya, ahli kristalografi menyambut pesannya dengan skeptis, tetapi kemudian penemuan itu dikonfirmasi, dan pada tahun 2011 Shekhtman dianugerahi Penghargaan Nobel dalam kimia. Pada tahun 2009, tim ilmuwan yang dipimpin oleh Luca Bindi menemukan kristal kuasi dalam mineral dari Dataran Tinggi Koryak Rusia - senyawa aluminium, tembaga dan besi. Hari ini mineral ini disebut ikosahedrit. Dengan mengukur kandungan berbagai isotop oksigen dalam mineral dengan spektrometer massa, para ilmuwan menunjukkan bahwa mineral ini tidak berasal dari Bumi. Itu terbentuk sekitar 4,5 miliar tahun yang lalu, pada saat tata surya masih dalam masa pertumbuhan, dan menghabiskan sebagian besar waktunya di sabuk asteroid yang mengorbit Matahari sampai beberapa gangguan mengubah orbitnya dan akhirnya membawanya ke Bumi.

// Beras. 41. Kiri: salah satu dari dua kisi kuasi-kristal dengan simetri lima kali lipat yang tepat. Kanan: Model atom dari quasicrystal aluminium-palladium-mangan ikosahedral

Metode yang mudah dan sangat akurat yang digunakan oleh surveyor tanah untuk menggambar garis tegak lurus di tanah adalah sebagai berikut. Biarkan diperlukan untuk menggambar tegak lurus terhadap garis MN melalui titik A (Gbr. 13). Lay off dari A ke arah AM tiga kali beberapa jarak a. Kemudian tiga simpul diikat pada tali, jarak antara 4a dan 5a. Memasang simpul ekstrem ke titik A dan B, tarik kabel melewati simpul tengah. Tali tersebut akan ditempatkan dalam sebuah segitiga, di mana sudut A adalah siku-siku.

Metode kuno ini, tampaknya digunakan ribuan tahun yang lalu oleh para pembangun piramida Mesir, didasarkan pada fakta bahwa setiap segitiga, yang sisi-sisinya terkait dengan 3:4:5, menurut teorema Pythagoras yang terkenal, adalah siku-siku, karena

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Selain bilangan 3, 4, 5, seperti diketahui, ada himpunan bilangan bulat positif a, b, c yang tak terhitung yang memenuhi relasi

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Mereka disebut bilangan Pythagoras. Menurut teorema Pythagoras, bilangan tersebut dapat berfungsi sebagai panjang sisi dari beberapa segitiga siku-siku; oleh karena itu, a dan b disebut "kaki", dan c disebut "sisi miring".

Jelas bahwa jika a, b, c adalah tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka pa, pb, pc, di mana p adalah faktor bilangan bulat, adalah bilangan Pythagoras. Sebaliknya, jika bilangan Pythagoras memiliki faktor persekutuan, maka dengan faktor persekutuan ini Anda dapat mengurangi semuanya, dan sekali lagi Anda mendapatkan tiga kali lipat bilangan Pythagoras. Oleh karena itu, pertama-tama kita hanya akan mempelajari tiga kali lipat bilangan Pythagoras koprima (sisanya diperoleh dari bilangan tersebut dengan mengalikan dengan faktor bilangan bulat p).

Mari kita tunjukkan bahwa dalam setiap kembar tiga seperti a, b, c salah satu "kaki" harus genap dan yang lainnya ganjil. Mari kita berdebat "sebaliknya". Jika kedua "kaki" a dan b genap, maka angka a 2 + b 2 akan genap, dan karenanya "sisi miring". Namun, ini bertentangan dengan fakta bahwa bilangan a, b, c tidak memiliki faktor persekutuan, karena tiga bilangan genap memiliki faktor persekutuan 2. Jadi, setidaknya salah satu dari "kaki" a, b adalah ganjil.

Masih ada satu kemungkinan lagi: kedua "kaki" ganjil, dan "sisi miring" genap. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa ini tidak mungkin. Memang, jika "kaki" memiliki bentuk

2x + 1 dan 2y + 1,

maka jumlah kuadratnya adalah

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

yaitu, itu adalah angka yang, ketika dibagi dengan 4, memberikan sisa 2. Sementara itu, kuadrat dari setiap bilangan genap harus habis dibagi 4 tanpa sisa. Jadi jumlah kuadrat dua bilangan ganjil tidak mungkin kuadrat dari bilangan genap; dengan kata lain, tiga angka kita bukan Pythagoras.

Jadi, dari "kaki" a, b, yang satu genap dan yang lainnya ganjil. Oleh karena itu, angka a 2 + b 2 adalah ganjil, yang berarti bahwa "sisi miring" c juga ganjil.

Misalkan, untuk kepastian, ganjil itu adalah "kaki" a, dan genap b. Dari kesetaraan

a2 + b2 = c2

kita dengan mudah mendapatkan:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Faktor c + b dan c - b di ruas kanan adalah koprima. Memang, jika angka-angka ini memiliki faktor prima yang sama selain satu, maka jumlahnya juga akan habis dibagi oleh faktor ini.

(c + b) + (c - b) = 2c,

dan perbedaan

(c + b) - (c - b) = 2b,

dan bekerja

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

yaitu angka 2c, 2b dan a akan memiliki faktor persekutuan. Karena a ganjil, faktor ini berbeda dari dua, dan oleh karena itu bilangan a, b, c memiliki faktor persekutuan yang sama, yang, bagaimanapun, tidak mungkin. Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa bilangan c + b dan c - b adalah koprima.

Tetapi jika hasil kali bilangan koprima adalah kuadrat eksak, maka masing-masing bilangan tersebut adalah bujur sangkar, mis.

Memecahkan sistem ini, kami menemukan:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, dan 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d M N.

Jadi, bilangan Pythagoras yang dipertimbangkan memiliki bentuk

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

di mana m dan n adalah beberapa bilangan ganjil koprima. Pembaca dapat dengan mudah memverifikasi kebalikannya: untuk semua jenis ganjil, rumus tertulis memberikan tiga bilangan Pythagoras a, b, c.

Berikut beberapa triplet bilangan Pythagoras yang diperoleh dengan berbagai jenis:

Untuk m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 untuk m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 untuk m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 untuk m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 pada m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 pada m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 pada m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 untuk m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 untuk m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 untuk m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 pada m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 pada m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 pada m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 pada m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 pada m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 pada m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras lainnya memiliki faktor persekutuan atau mengandung bilangan yang lebih besar dari seratus.)

Belotelov V.A. Tiga kali lipat Pythagoras dan jumlahnya // Encyclopedia of the Nesterovs

Artikel ini adalah jawaban untuk salah satu profesor - seorang pincher. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di desa kami.

Wilayah Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

Pengetahuan tentang algoritma untuk memecahkan persamaan Diophantine (ADDE) dan pengetahuan tentang progresi polinomial diperlukan.

JIKA adalah bilangan prima.

MF adalah bilangan komposit.

Misalkan ada bilangan ganjil N. Untuk bilangan ganjil selain satu, Anda dapat menulis persamaan.

p 2 + N \u003d q 2,

dimana + q = N, q – = 1.

Misalnya, untuk angka 21 dan 23, persamaannya adalah, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jika N prima, persamaan ini unik. Jika bilangan N adalah komposit, maka dimungkinkan untuk membuat persamaan serupa untuk jumlah pasangan faktor yang mewakili bilangan ini, termasuk 1 x N.

Misalkan bilangan N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Saya bermimpi, tetapi mungkinkah, berpegang teguh pada perbedaan antara IF dan MF ini, untuk menemukan metode untuk identifikasi mereka.

Mari kita perkenalkan notasinya;

Mari kita ubah persamaan yang lebih rendah, -

N \u003d dalam 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Mari kita kelompokkan nilai-nilai N menurut kriteria di - a, yaitu. mari kita buat tabel.

Angka-angka N diringkas dalam matriks, -

Untuk tugas inilah saya harus berurusan dengan progresi polinomial dan matriksnya. Semuanya ternyata sia-sia - pertahanan PCh dipegang dengan kuat. Mari kita masukkan kolom di tabel 1, di mana di - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Sekali lagi. Tabel 2 diperoleh sebagai hasil dari upaya untuk memecahkan masalah mengidentifikasi IF dan MF. Dari tabel berikut bahwa untuk sembarang bilangan N, ada sebanyak mungkin persamaan berbentuk a 2 + N \u003d dalam 2, menjadi berapa banyak pasangan faktor bilangan N yang dapat dibagi, termasuk faktor 1 x N. Selain itu ke angka N \u003d 2, di mana

- FC. Untuk N = 2 , di mana adalah JIKA, ada persamaan unik p 2 + N = q 2 . Bukti tambahan apa yang dapat kita bicarakan jika tabel mencantumkan faktor-faktor yang lebih kecil dari pasangan faktor-faktor yang membentuk N, dari satu hingga . Kami akan menempatkan Tabel 2 di peti, dan menyembunyikan peti di lemari.

Mari kembali ke topik yang tertera pada judul artikel.

Artikel ini adalah jawaban untuk salah satu profesor - seorang pincher.

Saya meminta bantuan - saya membutuhkan serangkaian angka yang tidak dapat saya temukan di Internet. Saya mendapat pertanyaan seperti, - "untuk apa?", "Tapi tunjukkan metodenya." Secara khusus, ada pertanyaan apakah deret tripel Pythagoras tidak terbatas, "bagaimana membuktikannya?". Dia tidak membantu saya. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di desa kami.

Mari kita ambil rumus tripel Pythagoras, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (satu)

Mari kita melewati ARDU.

Tiga situasi yang mungkin:

I.x adalah bilangan ganjil,

y adalah bilangan genap

z adalah bilangan genap.

Dan ada kondisi x > y > z.

II. x bilangan ganjil

y adalah bilangan genap

z adalah bilangan ganjil.

x > z > y.

III.x - bilangan genap,

y bilangan ganjil

z adalah bilangan ganjil.

x > y > z.

Mari kita mulai dengan saya.

Mari kita perkenalkan variabel baru

Substitusi ke persamaan (1).

Mari kita batalkan dengan variabel yang lebih kecil 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Mari kita kurangi variabel 2β – 2γ dengan variabel yang lebih kecil dengan pengenalan parameter baru , -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Maka, 2α - 2β = x - y - 1.

Persamaan (2) akan berbentuk, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Mari kita kuadratkan -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU memberikan melalui parameter hubungan antara istilah senior persamaan, jadi kami mendapat persamaan (3).

Tidak solid untuk menghadapi pemilihan solusi. Namun, pertama, tidak ada tempat untuk dituju, dan kedua, kita membutuhkan beberapa solusi ini, dan kita dapat memulihkan solusi dalam jumlah tak terbatas.

Untuk = 1, k = 1, kita memiliki x – y = 1.

Dengan = 12, k = 16, kita mendapatkan x - y = 9.

Dengan = 4, k = 32, kita mendapatkan x - y = 25.

Anda dapat mengambilnya untuk waktu yang lama, tetapi pada akhirnya seri akan mengambil bentuk -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Pertimbangkan opsi II.

Mari kita perkenalkan variabel baru ke dalam persamaan (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Kami mengurangi dengan variabel yang lebih kecil 2 , -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Mari kita kurangi dengan variabel yang lebih kecil 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (empat)

2α - 2γ = x - z dan substitusikan ke persamaan (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Dengan = 3, k = 4, kita mendapatkan x - z = 2.

Dengan = 8, k = 14, kita mendapatkan x - z = 8.

Dengan = 3, k = 24, kita mendapatkan x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Mari menggambar trapesium -

Mari kita menulis rumus.

dimana n=1, 2,...∞.

Kasus III tidak akan dijelaskan - tidak ada solusi di sana.

Untuk kondisi II, himpunan rangkap tiga adalah sebagai berikut:

Persamaan (1) disajikan sebagai x 2 = z 2 + y 2 untuk kejelasan.

Untuk kondisi I, himpunan rangkap tiga adalah sebagai berikut:

Secara total, 9 kolom tiga kali lipat dicat, masing-masing lima kali lipat. Dan setiap kolom yang disajikan dapat ditulis hingga .

Sebagai contoh, pertimbangkan tiga kali lipat dari kolom terakhir, di mana x - y \u003d 81.

Untuk nilai x, kami menulis trapesium, -

Ayo tulis rumusnya

Untuk nilai kami menulis trapesium, -

Ayo tulis rumusnya

Untuk nilai z, kami menulis trapesium, -

Ayo tulis rumusnya

Dimana n = 1 .

Seperti yang dijanjikan, serangkaian kembar tiga dengan x - y = 81 terbang ke .

Ada upaya untuk kasus I dan II untuk membangun matriks untuk x, y, z.

Tuliskan lima kolom terakhir x dari baris atas dan buat trapesium.

Itu tidak berhasil, dan polanya harus kuadrat. Untuk membuat semuanya menjadi kerawang, ternyata perlu untuk menggabungkan kolom I dan II.

Dalam kasus II, kuantitas y, z dipertukarkan lagi.

Kami berhasil menggabungkan karena satu alasan - kartunya cocok dengan tugas ini - kami beruntung.

Sekarang Anda dapat menulis matriks untuk x, y, z.

Mari kita ambil dari lima kolom terakhir dari nilai x dari baris atas dan membangun trapesium.

Semuanya baik-baik saja, Anda dapat membangun matriks, dan mari kita mulai dengan matriks untuk z.

Aku lari ke lemari untuk peti.

Total: Selain satu, setiap bilangan ganjil dari sumbu numerik berpartisipasi dalam pembentukan kembar tiga Pythagoras dengan jumlah pasangan faktor yang sama yang membentuk bilangan ini N, termasuk faktor 1 x N.

Angka N \u003d ℓ 2, di mana - JIKA, membentuk satu rangkap tiga Pythagoras, jika adalah MF, maka tidak ada tiga kali lipat pada faktor ℓхℓ.

Mari kita membangun matriks untuk x, y.

Mari kita mulai dengan matriks untuk x. Untuk melakukan ini, kita akan menarik grid koordinat dari masalah mengidentifikasi IF dan MF.

Penomoran baris vertikal dinormalisasi dengan ekspresi

Mari kita hapus kolom pertama, karena

Matriks akan berbentuk -

Mari kita gambarkan baris vertikal, -

Mari kita gambarkan koefisien di "a", -

Mari kita jelaskan anggota gratis, -

Mari kita buat rumus umum untuk "x", -

Jika kita melakukan pekerjaan serupa untuk "y", kita mendapatkan -

Anda dapat mendekati hasil ini dari sisi lain.

Mari kita ambil persamaannya,

dan 2 + N = dalam 2 .

Mari kita ubah sedikit -

N \u003d dalam 2 - a 2.

Mari kita kuadratkan -

N 2 \u003d dalam 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Ke kiri dan kanan persamaan, tambahkan besarnya 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d dalam 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Dan akhirnya -

(dalam 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Tripel Pythagoras disusun sebagai berikut:

Perhatikan contoh dengan nomor N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Kolom vertikal Tabel 2 diberi nomor dengan nilai - a, sedangkan kolom vertikal Tabel 3 diberi nomor dengan nilai x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Mari kita buat tiga persamaan.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktor 3 dan 39 bukanlah bilangan prima, jadi satu kali lipat ternyata dengan faktor 9.

Mari kita gambarkan di atas tertulis dalam simbol-simbol umum, -

Dalam karya ini, semuanya, termasuk contoh untuk menghitung tiga kali lipat Pythagoras dengan nomor

N = 117, terikat dengan faktor yang lebih kecil di - a. Diskriminasi eksplisit dalam kaitannya dengan faktor dalam + a. Mari kita perbaiki ketidakadilan ini - kita akan membuat tiga persamaan dengan faktor di + a.

Mari kembali ke soal identifikasi IF dan MF.

Banyak hal telah dilakukan ke arah ini, dan hari ini pemikiran berikut telah muncul di tangan - tidak ada persamaan identifikasi, dan tidak ada yang namanya menentukan faktor-faktornya.

Misalkan kita telah menemukan relasi F = a, b (N).

Ada rumusnya

Anda dapat menghilangkan rumus F dari dalam dan Anda mendapatkan persamaan homogen tingkat ke-n sehubungan dengan a, yaitu. F = a(N).

Untuk sembarang derajat n dari persamaan ini, terdapat bilangan N dengan m pasang faktor, untuk m > n.

Dan sebagai konsekuensinya, persamaan homogen derajat n harus memiliki m akar.

Ya, ini tidak bisa.

Dalam makalah ini, bilangan N dipertimbangkan untuk persamaan x 2 = y 2 + z 2 ketika mereka berada dalam persamaan di tempat z. Ketika N menggantikan x, ini adalah tugas lain.

Hormat kami, Belotelov V.A.