Apa sisa pembagian dengan 45. Pembagian bilangan bulat dengan sisa: aturan, contoh. Gagasan umum pembagian bilangan bulat dengan sisa
Tanda-tanda pembagian bilangan- ini adalah aturan yang memungkinkan, tanpa membagi, untuk mengetahui dengan relatif cepat apakah bilangan ini habis dibagi dengan bilangan yang diberikan tanpa sisa.
Beberapa tanda-tanda perpecahan cukup sederhana, beberapa lebih sulit. Pada halaman ini Anda akan menemukan tanda-tanda pembagian bilangan prima, seperti, misalnya, 2, 3, 5, 7, 11, dan tanda-tanda pembagian dari bilangan komposit, seperti 6 atau 12.
Saya harap informasi ini akan bermanfaat bagi Anda.
Selamat belajar!
Tanda habis dibagi 2
Ini adalah salah satu tanda pembagian yang paling sederhana. Kedengarannya seperti ini: jika catatan bilangan asli berakhir dengan angka genap, maka itu genap (dibagi tanpa sisa dengan 2), dan jika catatan suatu angka berakhir dengan angka ganjil, maka angka ini ganjil.
Dengan kata lain, jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2
, 4
, 6
, 8
atau 0
- bilangan habis dibagi 2, jika tidak maka tidak habis dibagi
Misalnya, angka: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
habis dibagi 2 karena genap.
Angka A: 23 5
, 137
, 2303
tidak habis dibagi 2 karena ganjil.
Tanda habis dibagi 3
Tanda dapat dibagi ini memiliki aturan yang sama sekali berbeda: jika jumlah digit suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan tersebut juga habis dibagi 3; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 3, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.
Jadi, untuk memahami apakah suatu bilangan habis dibagi 3, Anda hanya perlu menjumlahkan bilangan-bilangan yang membentuknya.
Terlihat seperti ini: 3987 dan 141 dibagi 3, karena pada kasus pertama 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - habis dibagi tanpa sisa dengan 3), dan pada bilangan kedua 1+4+1= 6
(6:3=2 - juga habis dibagi 3 tanpa sisa).
Tetapi bilangan: 235 dan 566 tidak habis dibagi 3, karena 2+3+5= 10
dan 5+6+6= 17
(dan kita tahu bahwa baik 10 maupun 17 tidak dapat dibagi 3 tanpa sisa).
Dapat dibagi dengan 4 tanda
Tes keterbagian ini akan lebih rumit. Jika 2 angka terakhir dari bilangan tersebut membentuk bilangan yang habis dibagi 4 atau 00, maka bilangan tersebut habis dibagi 4, jika tidak, bilangan tersebut tidak habis dibagi 4 tanpa sisa.
Misalnya: 1 00
dan 3 64
habis dibagi 4, karena pada kasus pertama jumlahnya berakhiran 00
, dan yang kedua 64
, yang habis dibagi 4 tanpa sisa (64:4=16)
Nomor 3 57
dan 8 86
tidak habis dibagi 4 karena keduanya 57
juga tidak 86
tidak habis dibagi 4, dan karena itu tidak sesuai dengan kriteria pembagian ini.
Tanda habis dibagi 5
Dan lagi, kita memiliki tanda pembagian yang agak sederhana: jika catatan bilangan asli berakhir dengan angka 0 atau 5, maka bilangan ini habis dibagi 5 tanpa sisa. Jika catatan bilangan berakhir dengan angka yang berbeda, maka bilangan tanpa sisa tidak habis dibagi 5.
Ini berarti bahwa setiap angka yang diakhiri dengan angka 0
dan 5
, misalnya 1235 5
dan 43 0
, termasuk dalam aturan dan habis dibagi 5.
Dan, misalnya, 1549 3
dan 56 4
tidak berakhiran 5 atau 0, yang berarti tidak dapat dibagi 5 tanpa sisa.
Tanda habis dibagi 6
Di depan kita ada bilangan komposit 6, yang merupakan produk dari bilangan 2 dan 3. Oleh karena itu, tanda habis dibagi 6 juga komposit: agar suatu bilangan dapat dibagi 6, itu harus sesuai dengan dua tanda pembagian pada saat yang sama: tanda habis dibagi 2 dan tanda habis dibagi 3. Pada saat yang sama, perhatikan bahwa bilangan gabungan seperti 4 memiliki tanda habis dibagi, karena merupakan produk dari bilangan 2 dengan sendirinya . Tetapi kembali ke tes untuk pembagian dengan 6.
Bilangan 138 dan 474 genap dan sesuai dengan tanda-tanda habis dibagi 3 (1+3+8=12, 12:3=4 dan 4+7+4=15, 15:3=5), yang artinya adalah habis dibagi 6. Tapi 123 dan 447, walaupun habis dibagi 3 (1+2+3=6, 6:3=2 dan 4+4+7=15, 15:3=5), tapi ganjil, dan oleh karena itu tidak sesuai dengan kriteria dapat dibagi 2, dan oleh karena itu tidak sesuai dengan kriteria dapat dibagi 6.
Tanda habis dibagi 7
Kriteria pembagian ini lebih kompleks: suatu bilangan habis dibagi 7 jika hasil pengurangan angka terakhir yang digandakan dari bilangan puluhan bilangan ini habis dibagi 7 atau sama dengan 0.
Kedengarannya agak membingungkan, tetapi dalam praktiknya sederhana. Lihat sendiri: nomor 95
9 habis dibagi 7 karena 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 habis dibagi 7 tanpa sisa). Selain itu, jika ada kesulitan dengan jumlah yang diperoleh selama transformasi (karena ukurannya, sulit untuk memahami apakah itu habis dibagi 7 atau tidak, maka prosedur ini dapat dilanjutkan sebanyak yang Anda inginkan).
Sebagai contoh, 45
5 dan 4580
1 memiliki tanda-tanda dapat dibagi dengan 7. Dalam kasus pertama, semuanya cukup sederhana: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Dalam kasus kedua, kami akan melakukan ini: 4580
-2*1=4580-2=4578. Sulit bagi kita untuk memahami apakah 457
8 dengan 7, jadi mari kita ulangi prosesnya: 457
-2*8=457-16=441. Dan sekali lagi kita akan menggunakan tanda pembagian, karena kita masih memiliki bilangan tiga digit di depan kita 44
1. Jadi, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, mis. 42 habis dibagi 7 tanpa sisa, artinya 45801 juga habis dibagi 7.
Dan inilah angka-angkanya 11
1 dan 34
5 tidak habis dibagi 7 karena 11
-2*1=11-2=9 (9 tidak habis dibagi 7) dan 34
-2*5=34-10=24 (24 tidak habis dibagi 7).
Tanda habis dibagi 8
Tanda habis dibagi 8 berbunyi seperti ini: jika 3 digit terakhir membentuk bilangan yang habis dibagi 8, atau 000, maka bilangan tersebut habis dibagi 8.
Nomor 1 000
atau 1 088
habis dibagi 8: yang pertama berakhir dengan 000
, kedua 88
:8=11 (habis dibagi 8 tanpa sisa).
Dan inilah nomor 1 100
atau 4 757
tidak habis dibagi 8 karena bilangan 100
dan 757
tidak habis dibagi 8 tanpa sisa.
Tanda habis dibagi 9
Tanda habis dibagi ini mirip dengan tanda habis dibagi 3: jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan tersebut juga habis dibagi 9; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 9, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 9.
Contoh: 3987 dan 144 habis dibagi 9 karena pada kasus pertama 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - habis dibagi tanpa sisa dengan 9), dan pada bilangan kedua 1+4+4= 9
(9:9=1 - juga habis dibagi tanpa sisa dengan 9).
Tetapi bilangan: 235 dan 141 tidak habis dibagi 9, karena 2+3+5= 10
dan 1+4+1= 6
(dan kita tahu bahwa baik 10 maupun 6 tidak dapat dibagi 9 tanpa sisa).
Tanda-tanda pembagian dengan 10, 100, 1000 dan unit bit lainnya
Saya menggabungkan kriteria keterbagian ini karena mereka dapat dijelaskan dengan cara yang sama: suatu bilangan habis dibagi oleh satuan bit jika jumlah nol pada akhir bilangan lebih besar atau sama dengan jumlah nol dalam satuan bit yang diberikan.
Dengan kata lain, misalnya, kita memiliki angka seperti ini: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. semuanya habis dibagi 1 0
; 46400
dan 867 000
juga habis dibagi 1 00
; dan hanya satu dari mereka - 867 000
habis dibagi 1 000
.
Setiap angka yang diakhiri dengan nol kurang dari satu satuan bit tidak habis dibagi oleh satuan bit itu, seperti 600 30
dan 7 93
jangan berbagi 1 00
.
Tanda habis dibagi 11
Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi 11, Anda perlu mendapatkan selisih antara jumlah digit genap dan ganjil dari bilangan tersebut. Jika selisih ini sama dengan 0 atau habis dibagi 11 tanpa sisa, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 11 tanpa sisa.
Untuk membuatnya lebih jelas, saya mengusulkan untuk mempertimbangkan contoh: 2
35
4 habis dibagi 11 karena ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 juga habis dibagi 11 karena ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Dan inilah 1 1
1 atau 4
35
4 tidak habis dibagi 11, karena dalam kasus pertama kita dapatkan (1 + 1) - 1
=1, dan yang kedua ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Tanda habis dibagi 12
Angka 12 adalah gabungan. Tanda dapat dibaginya adalah korespondensi dengan tanda-tanda dapat dibagi oleh 3 dan 4 secara bersamaan.
Misalnya, 300 dan 636 sesuai dengan tanda-tanda habis dibagi 4 (2 digit terakhir adalah nol atau habis dibagi 4) dan tanda-tanda habis dibagi 3 (jumlah digit dan angka pertama dan kedua habis dibagi 3 ), dan oleh karena itu, mereka habis dibagi 12 tanpa sisa.
Tetapi 200 atau 630 tidak habis dibagi 12, karena dalam kasus pertama jumlahnya hanya sesuai dengan tanda habis dibagi 4, dan yang kedua - hanya tanda habis dibagi 3. Tetapi tidak kedua tanda pada saat yang sama.
Tanda habis dibagi 13
Tanda habis dibagi 13 adalah jika jumlah puluhan suatu bilangan, yang ditambahkan ke satuan bilangan ini dikalikan 4, merupakan kelipatan 13 atau sama dengan 0, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 13.
Ambil contoh 70
2. Jadi 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 habis dibagi 13), jadi 70
2 habis dibagi 13 tanpa sisa. Contoh lain adalah nomor 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Angka 130 habis dibagi 13 tanpa sisa, yang berarti bahwa angka yang diberikan sesuai dengan tanda habis dibagi 13.
Jika kita mengambil angka 12
5 atau 21
2, maka kita dapatkan 12
+4*5=32 dan 21
+4*2=29 masing-masing, dan 32 maupun 29 tidak habis dibagi 13 tanpa sisa, yang berarti bahwa bilangan yang diberikan tidak habis dibagi 13 tanpa sisa.
Pembagian bilangan
Seperti yang dapat dilihat di atas, dapat diasumsikan bahwa salah satu bilangan asli dapat dicocokkan dengan tanda pembagiannya sendiri atau tanda "gabungan" jika bilangan tersebut merupakan kelipatan dari beberapa bilangan yang berbeda. Tetapi seperti yang ditunjukkan oleh praktik, pada dasarnya semakin besar angkanya, semakin kompleks fiturnya. Mungkin waktu yang dihabiskan untuk memeriksa kriteria keterbagian mungkin sama atau lebih besar dari pembagian itu sendiri. Itulah sebabnya kami biasanya menggunakan tes keterbagian yang paling sederhana.
Artikel ini menganalisis konsep pembagian bilangan bulat dengan sisa. Kami membuktikan teorema tentang pembagian bilangan bulat dengan sisa dan melihat hubungan antara habis dibagi dan pembagi, hasil bagi tidak lengkap dan sisa. Pertimbangkan aturan ketika pembagian bilangan bulat dengan sisa dilakukan, setelah diperiksa secara rinci dengan contoh. Di akhir solusi, kami akan melakukan pemeriksaan.
Pemahaman umum tentang pembagian bilangan bulat dengan sisa
Pembagian bilangan bulat dengan sisa dianggap sebagai pembagian umum dengan sisa bilangan asli. Hal ini dilakukan karena bilangan asli merupakan konstituen dari bilangan bulat.
Pembagian dengan sisa bilangan arbitrer mengatakan bahwa bilangan bulat a habis dibagi bilangan b , yang berbeda dari nol. Jika b = 0 maka tidak ada pembagian dengan sisa yang dilakukan.
Seperti halnya pembagian bilangan asli dengan sisa, pembagian bilangan bulat a dan b dilakukan, dengan b berbeda dari nol, oleh c dan d. Dalam hal ini, a dan b disebut pembagian dan pembagi, dan d adalah sisa pembagian, c adalah bilangan bulat atau hasil bagi sebagian.
Jika kita berasumsi bahwa sisanya adalah bilangan bulat non-negatif, maka nilainya tidak lebih besar dari modulus bilangan b. Mari kita tulis seperti ini: 0 d b . Rantai ketidaksetaraan ini digunakan ketika membandingkan 3 angka atau lebih.
Jika c adalah hasil bagi yang tidak lengkap, maka d adalah sisa pembagian bilangan bulat a dengan b, Anda dapat memperbaiki secara singkat: a: b \u003d c (tetap d).
Sisanya ketika membagi angka a dengan b mungkin nol, maka mereka mengatakan bahwa a dibagi dengan b sepenuhnya, yaitu tanpa sisa. Pembagian tanpa sisa dianggap sebagai kasus khusus pembagian.
Jika kita membagi nol dengan beberapa angka, hasilnya adalah nol. Sisa pembagian juga akan menjadi nol. Hal ini dapat dilihat dari teori pembagian nol dengan bilangan bulat.
Sekarang perhatikan arti pembagian bilangan bulat dengan sisa.
Diketahui bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka ketika membagi dengan sisa, artinya akan sama dengan ketika membagi bilangan asli dengan sisa.
Membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b masuk akal. Mari kita lihat sebuah contoh. Bayangkan situasi dimana kita memiliki hutang barang sebesar a yang harus dilunasi oleh b orang. Untuk melakukan ini, semua orang perlu berkontribusi secara setara. Untuk menentukan besarnya utang masing-masing perlu memperhatikan nilai swasta c. Sisa d menunjukkan bahwa jumlah barang setelah melunasi hutang diketahui.
Mari kita ambil contoh dengan apel. Jika 2 orang membutuhkan 7 apel. Jika kita menghitung bahwa setiap orang harus mengembalikan 4 apel, setelah perhitungan penuh mereka akan memiliki 1 apel yang tersisa. Mari kita tulis persamaan ini: (− 7): 2 = 4 (о t. 1) .
Membagi angka apa pun dengan bilangan bulat tidak masuk akal, tetapi dimungkinkan sebagai opsi.
Teorema pembagian untuk bilangan bulat dengan sisa
Kami menemukan bahwa a adalah dividen, kemudian b adalah pembagi, c adalah hasil bagi sebagian, dan d adalah sisanya. Mereka saling berhubungan. Kami akan menunjukkan hubungan ini menggunakan persamaan a = b · c + d . Hubungan di antara mereka dicirikan oleh teorema pembagian dengan sisa.
Dalil
Setiap bilangan bulat hanya dapat direpresentasikan dalam bentuk bilangan bulat dan bilangan bukan nol b dengan cara ini: a = b · q + r , di mana q dan r adalah beberapa bilangan bulat. Di sini kita memiliki 0 r b .
Mari kita buktikan kemungkinan adanya a = b · q + r .
Bukti
Jika ada dua bilangan a dan b, dan a habis dibagi b tanpa sisa, maka dari definisi bahwa ada bilangan q, persamaan a = b · q benar. Maka persamaan tersebut dapat dianggap benar: a = b q + r untuk r = 0.
Maka perlu untuk mengambil q sedemikian rupa sehingga diberikan oleh pertidaksamaan b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Kita memiliki bahwa nilai dari ekspresi a b · q lebih besar dari nol dan tidak lebih besar dari nilai bilangan b, maka dapat disimpulkan bahwa r = a b · q . Kita dapatkan bahwa bilangan a dapat direpresentasikan sebagai a = b · q + r.
Sekarang kita perlu mempertimbangkan kemungkinan merepresentasikan a = b · q + r untuk nilai negatif b .
Modulus bilangan tersebut ternyata positif, maka diperoleh a = b q 1 + r, dimana nilai q 1 adalah suatu bilangan bulat, r adalah bilangan bulat yang memenuhi syarat 0 r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Bukti keunikan
Asumsikan bahwa a = b q + r , q dan r adalah bilangan bulat dengan kondisi 0 r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 dan r1 adalah beberapa angka di mana q 1 q, 0 r1< b .
Ketika pertidaksamaan dikurangi dari ruas kiri dan kanan, maka diperoleh 0 = b · (q q 1) + r − r 1 , yang ekivalen dengan r - r 1 = b · q 1 - q . Karena modul yang digunakan, kita mendapatkan persamaan r - r 1 = b · q 1 - q.
Kondisi yang diberikan mengatakan bahwa 0 r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q dan q 1- utuh, dan q q 1, maka q 1 - q 1 . Oleh karena itu kita memiliki b · q 1 - q b . Pertidaksamaan yang dihasilkan r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa bilangan a tidak dapat direpresentasikan dengan cara lain, kecuali dengan notasi seperti a = b · q + r.
Hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi sebagian dan sisa
Dengan menggunakan persamaan a \u003d b c + d, Anda dapat menemukan dividen yang tidak diketahui a ketika pembagi b diketahui dengan hasil bagi yang tidak lengkap c dan sisanya d.
Contoh 1
Tentukan dividen jika, saat membagi, kita mendapatkan - 21, hasil bagi 5 yang tidak lengkap dan sisanya 12.
Larutan
Penting untuk menghitung dividen a dengan pembagi yang diketahui b = 21, hasil bagi yang tidak lengkap c = 5, dan sisa d = 12. Kita perlu mengacu pada persamaan a = b c + d, dari sini kita mendapatkan a = (− 21) 5 + 12. Tunduk pada urutan operasi, kami mengalikan - 21 dengan 5, setelah itu kami mendapatkan (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.
Menjawab: - 93 .
Hubungan antara pembagi dan hasil bagi sebagian dan sisa dapat dinyatakan dengan persamaan: b = (a d) : c , c = (a d) : b dan d = a b · c . Dengan bantuan mereka, kita dapat menghitung pembagi, hasil bagi sebagian, dan sisa. Ini bermuara pada pencarian sisa pembagian bilangan bulat a dengan b secara konstan dengan pembagian, pembagi, dan hasil bagi sebagian yang diketahui. Rumus d = a b · c diterapkan. Mari kita pertimbangkan solusinya secara rinci.
Contoh 2
Temukan sisa pembagian bilangan bulat - 19 dengan bilangan bulat 3 dengan hasil bagi tidak lengkap yang diketahui sama dengan - 7 .
Larutan
Untuk menghitung sisa pembagian, kami menerapkan rumus bentuk d = a b c . Dengan syarat, semua data a = 19 , b = 3 , c = 7 tersedia. Dari sini kita mendapatkan d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (perbedaan - 19 - (- 21)... Contoh ini dihitung dengan aturan pengurangan bilangan bulat negatif.
Menjawab: 2 .
Semua bilangan bulat positif adalah alami. Oleh karena itu, pembagian dilakukan sesuai dengan semua aturan pembagian dengan sisa bilangan asli. Kecepatan pembagian dengan sisa bilangan asli adalah penting, karena tidak hanya pembagian bilangan positif yang didasarkan padanya, tetapi juga aturan untuk membagi bilangan bulat arbitrer.
Metode pembagian yang paling mudah adalah kolom, karena lebih mudah dan lebih cepat untuk mendapatkan hasil bagi yang tidak lengkap atau hanya dengan sisa. Mari kita pertimbangkan solusinya secara lebih rinci.
Contoh 3
Bagilah 14671 dengan 54 .
Larutan
Pembagian ini harus dilakukan dalam kolom:
Artinya, hasil bagi tidak lengkap sama dengan 271, dan sisanya adalah 37.
Menjawab: 14671: 54 = 271. (istirahat. 37)
Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, contoh
Untuk melakukan pembagian dengan sisa bilangan positif dengan bilangan bulat negatif, perlu untuk merumuskan aturan.
Definisi 1
Hasil bagi tidak lengkap dari membagi bilangan bulat positif a dengan bilangan bulat negatif b memberikan angka yang berlawanan dengan hasil bagi tidak lengkap dari membagi modul angka a dengan b. Maka sisanya adalah sisa ketika a dibagi dengan b.
Oleh karena itu kita memiliki hasil bagi yang tidak lengkap dari membagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dianggap sebagai bilangan bulat non-positif.
Kami mendapatkan algoritma:
- membagi modulus pembagian dengan modulus pembagi, maka kita mendapatkan hasil bagi yang tidak lengkap dan
- sisa;
- tuliskan bilangan yang berlawanan.
Perhatikan contoh algoritma untuk membagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif.
Contoh 4
Lakukan pembagian dengan sisa 17 dengan - 5 .
Larutan
Mari kita terapkan algoritma pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Hal ini diperlukan untuk membagi 17 dengan - 5 modulo. Dari sini kita mendapatkan bahwa hasil bagi tidak lengkap adalah 3, dan sisanya adalah 2.
Kami mendapatkan angka yang diinginkan dari membagi 17 dengan - 5 \u003d - 3 dengan sisa sama dengan 2.
Menjawab: 17: (− 5) = 3 (sisa 2).
Contoh 5
Bagilah 45 dengan - 15 .
Larutan
Hal ini diperlukan untuk membagi angka modulo. Kami membagi angka 45 dengan 15, kami mendapatkan hasil bagi 3 tanpa sisa. Jadi bilangan 45 habis dibagi 15 tanpa sisa. Dalam jawaban yang kita dapatkan - 3, karena pembagian dilakukan secara modulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Menjawab: 45: (− 15) = − 3 .
Rumusan aturan pembagian dengan sisa adalah sebagai berikut.
Definisi 2
Untuk mendapatkan hasil bagi c yang tidak lengkap saat membagi bilangan bulat negatif a dengan b positif, Anda perlu menerapkan kebalikan dari angka ini dan mengurangi 1 darinya, maka sisa d akan dihitung dengan rumus: d = a b · c.
Berdasarkan aturan, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika membagi, kita mendapatkan bilangan bulat non-negatif. Untuk akurasi solusi, algoritma untuk membagi a dengan b dengan sisa digunakan:
- temukan modul dividen dan pembagi;
- membagi modulo;
- tulis kebalikan dari angka yang diberikan dan kurangi 1 ;
- gunakan rumus untuk sisa d = a b c .
Pertimbangkan contoh solusi di mana algoritma ini diterapkan.
Contoh 6
Temukan hasil bagi tidak lengkap dan sisa pembagian - 17 dengan 5.
Larutan
Kami membagi angka yang diberikan modulo. Kami mendapatkan bahwa ketika membagi, hasil bagi adalah 3, dan sisanya adalah 2. Karena kita mendapat 3 , kebalikannya adalah 3 . Hal ini diperlukan untuk mengurangi 1 .
− 3 − 1 = − 4 .
Nilai yang diinginkan sama dengan - 4 .
Untuk menghitung sisanya, Anda memerlukan a = 17 , b = 5 , c = 4 , maka d = a b c = 17 5 (− 4) = 17 (− 20) = 17 + 20 = 3 .
Ini berarti hasil bagi pembagian tidak lengkap adalah angka - 4 dengan sisa sama dengan 3.
Menjawab:(− 17) : 5 = 4 (sisa 3).
Contoh 7
Bagilah bilangan bulat negatif - 1404 dengan positif 26 .
Larutan
Hal ini diperlukan untuk membagi dengan kolom dan modulus.
Kami mendapat pembagian modul angka tanpa sisa. Ini berarti bahwa pembagian dilakukan tanpa sisa, dan hasil bagi yang diinginkan = - 54.
Menjawab: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif, contoh
Hal ini diperlukan untuk merumuskan aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif.
Definisi 3
Untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat negatif b, maka perlu dilakukan perhitungan modulo, setelah itu dijumlahkan 1, maka kita dapat menghitung dengan menggunakan rumus d = a b · c.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat negatif akan menjadi bilangan positif.
Kami merumuskan aturan ini dalam bentuk algoritma:
- temukan modul dividen dan pembagi;
- bagi modulus pembagian dengan modulus pembagi untuk mendapatkan hasil bagi yang tidak lengkap dengan
- sisa;
- menambahkan 1 ke hasil bagi tidak lengkap;
- perhitungan sisanya, berdasarkan rumus d = a b c .
Mari kita pertimbangkan algoritma ini dengan sebuah contoh.
Contoh 8
Temukan hasil bagi dan sisa tidak lengkap saat membagi - 17 dengan - 5 .
Larutan
Untuk kebenaran solusi, kami menerapkan algoritma untuk pembagian dengan sisa. Pertama, bagilah bilangan modulo. Dari sini kita mendapatkan bahwa hasil bagi tidak lengkap \u003d 3, dan sisanya adalah 2. Menurut aturan, perlu untuk menambahkan hasil bagi tidak lengkap dan 1. Kami mendapatkan bahwa 3 + 1 = 4 . Dari sini kita mendapatkan bahwa hasil bagi tidak lengkap dari membagi angka-angka yang diberikan adalah 4.
Untuk menghitung sisanya, kami akan menerapkan rumus. Dengan syarat, kami memiliki a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, kemudian, dengan menggunakan rumus, kami mendapatkan d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = 17 + 20 = 3 . Jawaban yang diinginkan, yaitu sisanya, adalah 3, dan hasil bagi yang tidak lengkap adalah 4.
Menjawab:(− 17) : (− 5) = 4 (sisa 3).
Memeriksa hasil pembagian bilangan bulat dengan sisa
Setelah melakukan pembagian angka dengan sisa, perlu dilakukan pemeriksaan. Pemeriksaan ini melibatkan 2 tahap. Pertama, sisa d diperiksa untuk non-negatif, kondisi 0 d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Mari kita lihat contoh.
Contoh 9
Divisi yang dihasilkan - 521 oleh - 12. Hasil bagi adalah 44, sisanya adalah 7. Jalankan cek.
Larutan
Karena sisanya adalah bilangan positif, nilainya lebih kecil dari modulus pembagi. Pembaginya adalah -12, jadi modulusnya adalah 12. Anda dapat melanjutkan ke pos pemeriksaan berikutnya.
Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Dari sini kita menghitung b c + d , dimana b c + d = 12 44 + 7 = 528 + 7 = 521 . Ini berarti bahwa persamaan itu benar. Cek lulus.
Contoh 10
Cek pembagian ( 17) : 5 = 3 (sisa 2). Apakah kesetaraan itu benar?
Larutan
Arti dari tahap pertama adalah bahwa perlu untuk memeriksa pembagian bilangan bulat dengan sisa. Ini menunjukkan bahwa tindakan itu dilakukan secara tidak benar, karena sisanya diberikan, sama dengan - 2. Sisanya bukan bilangan negatif.
Kami memiliki kondisi kedua terpenuhi, tetapi tidak cukup untuk kasus ini.
Menjawab: tidak.
Contoh 11
Angka - 19 dibagi - 3 . Hasil bagi sebagian adalah 7 dan sisanya adalah 1. Periksa apakah perhitungan ini benar.
Larutan
Diberikan sisa 1. Dia positif. Nilainya lebih kecil dari modul pembagi, yang berarti tahap pertama dilakukan. Mari kita lanjutkan ke tahap kedua.
Mari kita hitung nilai dari ekspresi b · c + d . Dengan syarat, kami memiliki b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, oleh karena itu, dengan mengganti nilai numerik, kami mendapatkan b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Oleh karena itu persamaan a = b · c + d tidak terpenuhi, karena kondisi diberikan a = - 19 .
Ini menyiratkan bahwa pembagian itu dibuat dengan kesalahan.
Menjawab: tidak.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Pertimbangkan contoh sederhana:
15:5=3
Dalam contoh ini, kami membagi bilangan asli 15 sama sekali 3, tidak ada sisa.
Terkadang bilangan asli tidak dapat dibagi sepenuhnya. Misalnya, pertimbangkan masalahnya:
Ada 16 mainan di dalam lemari. Ada lima anak dalam kelompok itu. Setiap anak mengambil jumlah mainan yang sama. Berapa banyak mainan yang dimiliki setiap anak?
Larutan:
Bagilah angka 16 dengan 5 dengan kolom dan dapatkan:
Kita tahu bahwa 16 kali 5 tidak habis dibagi. Bilangan terkecil terdekat yang habis dibagi 5 adalah 15 dengan sisa 1. Kita dapat menulis angka 15 sebagai 5⋅3. Hasilnya (16 - dividen, 5 - pembagi, 3 - hasil bagi sebagian, 1 - sisa). Telah mendapatkan rumus pembagian dengan sisa yang bisa dilakukan verifikasi solusi.
sebuah=
b⋅
c+
d
sebuah - habis dibagi
b - pembagi,
c - hasil bagi yang tidak lengkap,
d - sisa.
Jawaban: Setiap anak akan mengambil 3 mainan dan satu mainan akan tetap ada.
Sisa divisi
Sisanya harus selalu lebih kecil dari pembagi.
Jika sisanya adalah nol saat membagi, maka dividen tersebut dapat dibagi. sama sekali atau tidak ada sisa per pembagi.
Jika saat membagi sisa lebih besar dari pembagi, berarti bilangan yang ditemukan bukan yang terbesar. Ada angka yang lebih besar yang akan membagi dividen dan sisanya akan lebih kecil dari pembagi.
Pertanyaan tentang topik "Pembagian dengan sisa":
Bisakah sisa lebih besar dari pembagi?
Jawaban: tidak.
Bisakah sisa sama dengan pembagi?
Jawaban: tidak.
Bagaimana menemukan dividen dengan hasil bagi, pembagi, dan sisa yang tidak lengkap?
Jawaban: kami mengganti nilai hasil bagi, pembagi, dan sisa yang tidak lengkap ke dalam rumus dan menemukan pembagiannya. Rumus:
a=b⋅c+d
Contoh 1:
Lakukan pembagian dengan sisa dan periksa: a) 258:7 b) 1873:8
Larutan:
a) Bagi dalam kolom: 
258 - habis dibagi,
7 - pembagi,
36 - hasil bagi tidak lengkap,
6 - sisa. Sisanya kurang dari pembagi 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Bagi dalam kolom: 
1873 - habis dibagi,
8 - pembagi,
234 - hasil bagi tidak lengkap,
1 adalah sisa. Sisanya kurang dari pembagi 1<8.
Ganti dalam rumus dan periksa apakah kami menyelesaikan contoh dengan benar:
8⋅234+1=1872+1=1873
Contoh #2:
Berapa sisa yang diperoleh saat membagi bilangan asli: a) 3 b) 8?
Menjawab:
a) Sisanya kurang dari pembagi, oleh karena itu kurang dari 3. Dalam kasus kami, sisanya bisa 0, 1 atau 2.
b) Sisanya kurang dari pembagi, oleh karena itu, kurang dari 8. Dalam kasus kami, sisanya bisa 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 7.
Contoh #3:
Berapa sisa terbesar yang dapat diperoleh dengan membagi bilangan asli: a) 9 b) 15?
Menjawab:
a) Sisanya kurang dari pembagi, oleh karena itu, kurang dari 9. Tetapi kita perlu menunjukkan sisa terbesar. Yaitu bilangan terdekat dengan pembagi. Angka ini 8.
b) Sisanya kurang dari pembagi, oleh karena itu, kurang dari 15. Tetapi kita perlu menunjukkan sisa terbesar. Yaitu bilangan terdekat dengan pembagi. Nomor ini adalah 14.
Contoh #4:
Temukan dividen: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)
Larutan:
a) Selesaikan dengan rumus:
a=b⋅c+d
(a adalah hasil bagi, b adalah pembagi, c adalah hasil bagi sebagian, d adalah sisanya.)
a:6=3(istirahat.4)
(a adalah pembagian, 6 adalah pembagi, 3 adalah hasil bagi yang tidak lengkap, 4 adalah sisanya.) Substitusikan angka-angka dalam rumus:
a=6⋅3+4=22
Jawabannya: a=22
b) Selesaikan dengan rumus:
a=b⋅c+d
(a adalah hasil bagi, b adalah pembagi, c adalah hasil bagi sebagian, d adalah sisanya.)
s:24=4(istirahat.11)
(c adalah pembagian, 24 adalah pembagi, 4 adalah hasil bagi yang tidak lengkap, 11 adalah sisanya.) Substitusikan angka-angka dalam rumus:
c=24⋅4+11=107
Jawab: s=107
Sebuah tugas:
Kawat 4m. harus dipotong-potong 13 cm. Berapa banyak dari potongan-potongan ini akan ada?
Larutan:
Pertama, Anda perlu mengonversi meter ke sentimeter.
4m.=400cm.
Anda dapat membagi dengan kolom atau dalam pikiran Anda, kami mendapatkan:
400:13=30(istirahat 10)
Mari kita periksa:
13⋅30+10=390+10=400
Jawaban: 30 buah akan keluar dan 10 cm kawat akan tersisa.
Pada artikel ini, kami akan menganalisis pembagian bilangan bulat dengan sisa. Mari kita mulai dengan prinsip umum pembagian bilangan bulat dengan sisa, merumuskan dan membuktikan teorema tentang pembagian bilangan bulat dengan sisa, dan menelusuri hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi sebagian, dan sisa. Selanjutnya, kami akan mengumumkan aturan pembagian bilangan bulat dengan sisa, dan mempertimbangkan penerapan aturan ini saat menyelesaikan contoh. Setelah itu, kita akan belajar cara mengecek hasil pembagian bilangan bulat dengan sisa.
Navigasi halaman.
Gagasan umum pembagian bilangan bulat dengan sisa
Pembagian bilangan bulat dengan sisa akan kita anggap sebagai generalisasi pembagian dengan sisa bilangan asli. Hal ini karena bilangan bulat merupakan bagian yang tidak terpisahkan bilangan bulat.
Mari kita mulai dengan istilah dan notasi yang digunakan dalam deskripsi.
Dengan analogi pembagian bilangan asli dengan sisa, kita asumsikan bahwa hasil pembagian dengan sisa dua bilangan bulat a dan b (b tidak sama dengan nol) adalah dua bilangan bulat c dan d . Bilangan a dan b disebut terbagi dan pembagi masing-masing, bilangan d adalah sisa dari membagi a dengan b, dan bilangan bulat c disebut pribadi tidak lengkap(atau sederhananya pribadi jika sisanya nol).
Mari kita asumsikan ada sisa bilangan bulat non-negatif, dan nilainya tidak melebihi b , yaitu, (kami bertemu rantai ketidaksetaraan yang sama ketika kami berbicara tentang membandingkan tiga atau lebih bilangan bulat).
Jika bilangan c adalah hasil bagi sebagian, dan bilangan d adalah sisa pembagian bilangan bulat a dengan bilangan bulat b, maka kita akan menulis fakta ini secara singkat sebagai persamaan bentuk a:b=c (sisa d) .
Perhatikan bahwa ketika bilangan bulat a dibagi dengan bilangan bulat b, sisanya bisa menjadi nol. Dalam hal ini, kita katakan bahwa a habis dibagi b tanpa jejak(atau sama sekali). Lewat sini, pembagian bilangan bulat tanpa sisa adalah kasus khusus dari pembagian bilangan bulat dengan sisa.
Perlu juga dikatakan bahwa ketika membagi nol dengan beberapa bilangan bulat, kita selalu berurusan dengan pembagian tanpa sisa, karena dalam hal ini hasil bagi akan sama dengan nol (lihat bagian teori pembagian nol dengan bilangan bulat), dan sisanya juga akan menjadi nol.
Kami telah memutuskan terminologi dan notasi, sekarang mari kita cari tahu arti membagi bilangan bulat dengan sisa.
Membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b juga masuk akal. Untuk ini, pertimbangkan bilangan bulat negatif sebagai hutang. Mari kita bayangkan situasi seperti itu. Hutang yang membentuk barang-barang tersebut harus dilunasi oleh b orang, memberikan kontribusi yang sama. Nilai mutlak dari hasil bagi c dalam hal ini akan menentukan jumlah hutang masing-masing orang tersebut, dan sisa d akan menunjukkan berapa banyak barang yang akan tersisa setelah melunasi hutang tersebut. Mari kita ambil contoh. Katakanlah 2 orang berutang 7 apel. Jika kita berasumsi bahwa masing-masing dari mereka berutang 4 apel, maka setelah membayar utang mereka akan memiliki 1 apel tersisa. Situasi ini sesuai dengan persamaan (−7):2=−4 (sisa 1) .
Kami tidak akan melampirkan arti apa pun pada pembagian dengan sisa bilangan bulat arbitrer a dengan bilangan bulat negatif, tetapi kami akan membiarkannya tetap ada.
Teorema pembagian untuk bilangan bulat dengan sisa
Ketika kita berbicara tentang pembagian bilangan asli dengan sisa, kita menemukan bahwa pembagian a, pembagi b, hasil bagi tidak lengkap c dan sisa d berhubungan dengan persamaan a=b c+d. Bilangan bulat a , b , c dan d memiliki hubungan yang sama. Koneksi ini dikonfirmasi oleh berikut: teorema pembagian dengan sisa.
Dalil.
Setiap bilangan bulat a dapat direpresentasikan dengan cara yang unik melalui bilangan bulat dan bilangan bukan nol b dalam bentuk a=b q+r , di mana q dan r adalah beberapa bilangan bulat, dan .
Bukti.
Mari kita buktikan terlebih dahulu kemungkinan merepresentasikan a=b·q+r .
Jika bilangan bulat a dan b sedemikian rupa sehingga a habis dibagi oleh b, maka menurut definisi terdapat bilangan bulat q sedemikian rupa sehingga a=b q . Dalam hal ini, persamaan a=b q+r berlaku untuk r=0 .
Sekarang kita asumsikan b adalah bilangan bulat positif. Kami memilih bilangan bulat q sedemikian rupa sehingga produk b·q tidak melebihi angka a , dan produk b·(q+1) sudah lebih besar dari a . Artinya, kita mengambil q sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan b q Tetap membuktikan kemungkinan merepresentasikan a=b q+r untuk b negatif. Karena modulus dari bilangan b dalam hal ini adalah bilangan positif, maka terdapat representasi untuk , dimana q 1 adalah suatu bilangan bulat, dan r adalah bilangan bulat yang memenuhi kondisi . Kemudian, dengan asumsi q=−q 1 , kita memperoleh representasi yang diperlukan a=b q+r untuk b negatif . Kami beralih ke bukti keunikan. Misalkan selain representasi a=b q+r, q dan r adalah bilangan bulat dan , ada representasi lain a=b q 1 +r 1 , di mana q 1 dan r 1 adalah beberapa bilangan bulat, dan q 1 q dan . Setelah mengurangkan masing-masing bagian kiri dan kanan persamaan pertama, bagian kiri dan kanan persamaan kedua, kita memperoleh 0=b (q−q 1)+r−r 1 , yang ekivalen dengan persamaan r− r 1 =b (q 1 q) . Maka persamaan bentuk Dari kondisi dan kita dapat menyimpulkan bahwa . Karena q dan q 1 adalah bilangan bulat dan q≠q 1 , maka , dari mana kita menyimpulkan bahwa Persamaan a=b c+d memungkinkan Anda untuk menemukan dividen yang tidak diketahui a jika pembagi b, hasil bagi sebagian c dan sisa d diketahui. Pertimbangkan sebuah contoh. Contoh. Berapa pembagiannya jika pembagiannya dengan bilangan bulat 21 menghasilkan hasil bagi 5 yang tidak lengkap dan sisa 12? Larutan. Kita perlu menghitung dividen a ketika kita mengetahui pembagi b=−21 , hasil bagi sebagian c=5 dan sisanya d=12 . Beralih ke persamaan a=b c+d , kita mendapatkan a=(−21) 5+12 . Mengamati , pertama-tama kita melakukan perkalian bilangan bulat 21 dan 5 dengan aturan perkalian bilangan bulat dengan tanda berbeda, setelah itu kita eksekusi penjumlahan bilangan bulat dengan tanda berbeda: (−21) 5+12=−105+12=−93 . Menjawab: −93
.
Hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi sebagian, dan sisa juga dinyatakan dengan persamaan dalam bentuk b=(a−d):c , c=(a−d):b dan d=a−b·c . Persamaan ini memungkinkan kita untuk menghitung pembagi, hasil bagi sebagian, dan sisa, masing-masing. Kita sering perlu mencari sisa pembagian bilangan bulat a dengan bilangan bulat b jika pembagian, pembagi, dan hasil bagi sebagian diketahui, dengan menggunakan rumus d=a−b·c . Untuk menghindari pertanyaan lebih lanjut, kami akan menganalisis contoh penghitungan sisanya. Contoh. Temukan sisa pembagian bilangan bulat 19 dengan bilangan bulat 3 jika hasil bagi sebagian diketahui 7. Larutan. Untuk menghitung sisa pembagian, kami menggunakan rumus dalam bentuk d=a−b·c . Dari kondisi tersebut kita memiliki semua data yang diperlukan a=−19 , b=3 , c=−7 . Kita peroleh d=a−b c=−19−3 (−7)= 19−(−21)=−19+21=2 (selisih 19−(−21) kita hitung dari aturan untuk mengurangkan bilangan bulat negatif).
Menjawab: Seperti yang telah kita catat lebih dari sekali, bilangan bulat positif adalah bilangan asli. Oleh karena itu, pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dilakukan sesuai dengan semua aturan pembagian dengan sisa bilangan asli. Sangat penting untuk dapat melakukan dengan mudah pembagian dengan sisa bilangan asli, karena itu yang mendasari pembagian tidak hanya bilangan bulat positif, tetapi juga dasar dari semua aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat arbitrer. Dari sudut pandang kami, paling nyaman untuk melakukan pembagian kolom, metode ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan hasil bagi yang tidak lengkap (atau hanya hasil bagi) dan sisanya. Perhatikan contoh pembagian dengan sisa bilangan bulat positif. Contoh. Lakukan pembagian dengan sisa 14671 dengan 54 . Larutan. Mari kita lakukan pembagian bilangan bulat positif ini dengan kolom: Hasil bagi yang tidak lengkap menjadi 271, dan sisanya adalah 37. Menjawab: 14 671:54=271 (istirahat 37) . Mari kita merumuskan aturan yang memungkinkan Anda untuk melakukan pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Hasil bagi sebagian dari pembagian bilangan bulat positif a dengan bilangan bulat negatif b adalah kebalikan dari hasil bagi sebagian dari membagi a dengan modulus dari b, dan sisa dari membagi a dengan b adalah sisa dari membagi . Dari aturan ini, hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat non-positif. Mari kita buat kembali aturan bersuara menjadi algoritme untuk membagi dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif: Mari kita berikan contoh penggunaan algoritma untuk membagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Contoh. Bagilah dengan sisa bilangan bulat positif 17 dengan bilangan bulat negatif 5 . Larutan. Mari kita gunakan algoritma pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Pemisah Nomor, nomor berlawanan 3 adalah 3 . Jadi, hasil bagi parsial yang diperlukan untuk membagi 17 dengan 5 adalah 3, dan sisanya adalah 2. Menjawab: 17 :(−5)=−3 (istirahat 2). Contoh. Membagi 45 dengan -15 . Larutan. Modul dividen dan pembagi masing-masing adalah 45 dan 15. Bilangan 45 habis dibagi 15 tanpa sisa, sedangkan hasil bagi adalah 3. Oleh karena itu, bilangan bulat positif 45 habis dibagi dengan bilangan bulat negatif 15 tanpa sisa, sedangkan hasil bagi sama dengan bilangan yang berlawanan dengan 3, yaitu, 3. Memang, oleh aturan untuk membagi bilangan bulat dengan tanda yang berbeda kita punya . Menjawab: 45:(−15)=−3
.
Mari kita rumuskan aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan hasil bagi c tidak lengkap dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b, Anda perlu mengambil angka yang berlawanan dengan hasil bagi tidak lengkap dari membagi modul angka asli dan mengurangi satu darinya, setelah itu sisa d dihitung menggunakan rumus d=a−b c . Dari aturan pembagian dengan sisa ini dapat disimpulkan bahwa hasil bagi tidak lengkap dari membagi bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif. Dari aturan bersuara berikut algoritma pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b: Mari kita menganalisis solusi dari contoh, di mana kita menggunakan algoritma pembagian tertulis dengan sisa. Contoh. Temukan hasil bagi sebagian dan sisa bilangan bulat negatif 17 dibagi dengan bilangan bulat positif 5 . Larutan. Modulus pembagi 17 adalah 17, dan modulus pembagi 5 adalah 5. Pemisah 17 dengan 5 , kita mendapatkan hasil bagi 3 yang tidak lengkap dan sisa 2 . Lawan dari 3 adalah 3 . Kurangi satu dari 3: 3−1=−4 . Jadi, hasil bagi tidak lengkap yang diinginkan adalah 4. Tinggal menghitung sisanya. Dalam contoh kita a=−17 , b=5 , c=−4 , maka d=a−b c=−17−5 (−4)= 17−(−20)=−17+20=3 . Jadi, hasil bagi parsial dari bilangan bulat negatif 17 dibagi dengan bilangan bulat positif 5 adalah 4, dan sisanya adalah 3. Menjawab: (−17)::5=−4 (istirahat. 3) . Contoh. Bagilah bilangan bulat negatif 1 404 dengan bilangan bulat positif 26 . Larutan. Modulus dividen adalah 1404, modulus pembagi adalah 26. Bagilah 1404 dengan 26 dalam kolom: Karena modulus pembagian dibagi dengan modulus pembagi tanpa sisa, bilangan bulat asli dibagi tanpa sisa, dan hasil bagi yang diinginkan sama dengan angka yang berlawanan dengan 54, yaitu, 54. Menjawab: (−1 404):26=−54
.
Mari kita rumuskan aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif. Untuk mendapatkan hasil bagi c tidak lengkap dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat negatif b, Anda perlu menghitung hasil bagi tidak lengkap dari membagi modul dari bilangan asli dan menambahkan satu ke dalamnya, setelah itu, hitung sisa d menggunakan rumus d =a−b c . Dari aturan ini dapat disimpulkan bahwa hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. Mari kita tulis ulang aturan bersuara dalam bentuk algoritma untuk membagi bilangan bulat negatif: Pertimbangkan penerapan algoritma untuk membagi bilangan bulat negatif ketika memecahkan sebuah contoh. Contoh. Temukan hasil bagi sebagian dan sisa bilangan bulat negatif 17 dibagi dengan bilangan bulat negatif 5. Larutan. Kami menggunakan algoritma pembagian yang sesuai dengan sisa. Modulus dividen adalah 17 , modulus pembagi adalah 5 . Divisi 17 kali 5 memberikan hasil bagi tidak lengkap 3 dan sisanya 2. Kami menambahkan satu ke hasil bagi tidak lengkap 3: 3+1=4. Oleh karena itu, hasil bagi tidak lengkap yang diinginkan dari membagi 17 dengan 5 adalah 4. Tinggal menghitung sisanya. Dalam contoh ini a=−17 , b=−5 , c=4 , lalu d=a−b c=−17−(−5) 4= 17−(−20)=−17+20=3 . Jadi, hasil bagi parsial dari bilangan bulat negatif 17 dibagi dengan bilangan bulat negatif 5 adalah 4 , dan sisanya adalah 3 . Menjawab: (−17):(−5)=4 (istirahat 3) . Setelah pembagian bilangan bulat dengan sisa dilakukan, akan berguna untuk memeriksa hasilnya. Verifikasi dilakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, diperiksa apakah sisa d adalah bilangan non-negatif, dan juga kondisinya diperiksa. Jika semua kondisi verifikasi tahap pertama terpenuhi, maka Anda dapat melanjutkan ke verifikasi tahap kedua, jika tidak, dapat dikatakan bahwa kesalahan dibuat di suatu tempat saat membagi dengan sisa. Pada tahap kedua, validitas persamaan a=b·c+d diperiksa. Jika kesetaraan ini benar, maka pembagian dengan sisanya dilakukan dengan benar, jika tidak, kesalahan dibuat di suatu tempat. Mari kita pertimbangkan solusi dari contoh di mana hasil pembagian bilangan bulat dengan sisa diperiksa. Contoh. Saat membagi angka -521 dengan -12, hasil bagi sebagian adalah 44 dan sisanya adalah 7 , periksa hasilnya. Larutan. 2 untuk b=−3 , c=7 , d=1 . Kita punya b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Jadi, persamaan a=b c+d salah (dalam contoh kita a=−19 ). Oleh karena itu, pembagian dengan sisa dilakukan secara tidak benar.
, dan karena sifat-sifat modulus bilangan - dan persamaan 
.
. Dari pertidaksamaan yang diperoleh dan maka persamaan bentuk tidak mungkin menurut asumsi kami. Oleh karena itu, tidak ada representasi lain dari bilangan a , kecuali a=b·q+r .Hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi sebagian, dan sisa
Pembagian dengan sisa bilangan bulat positif, contoh
Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, contoh
Pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, contoh
Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif, contoh
Memeriksa hasil pembagian bilangan bulat dengan sisa
