Sinus- und Kosinuskreis mit Vorzeichen. Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Cotangens-Eigenschaften. Was sind die Werte des Kosinus?

Der trigonometrische Kreis ist eines der Grundelemente der Geometrie zum Lösen von Gleichungen mit Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Was ist die Definition dieses Begriffs, wie man einen bestimmten Kreis baut, wie man ein Viertel in der Trigonometrie definiert, wie man die Winkel in einem konstruierten trigonometrischen Kreis ermittelt - darüber und vieles mehr später.

Trigonometrischer Kreis

Die trigonometrische Form eines Zahlenkreises in der Mathematik ist ein Kreis mit einem einzigen Radius mit einem Mittelpunkt am Anfang Koordinatenebene... In der Regel wird er durch den Raum der Sinusformeln mit Kosinus, Tangens und Kotangens auf dem Koordinatensystem gebildet.

Der Zweck einer solchen Kugel mit n-dimensionalem Raum besteht darin, dass dank ihr trigonometrische Funktionen beschrieben werden können. Es sieht einfach aus: ein Kreis, in dem sich ein Koordinatensystem und mehrere rechteckige Dreiecke befinden, die aus diesem Kreis durch trigonometrische Funktionen gebildet werden.

Was ist Sinus, Kosinus, Tangens, Cotangens in einem rechtwinkligen Dreieck?

Eine rechteckige Dreiecksansicht ist eine mit einem der Winkel von 90°. Es wird von Beinen und Hypotenuse mit allen trigonometrischen Werten gebildet. Die Beine sind zwei Seiten des Dreiecks, die an einem Winkel von 90 ° angrenzen, und die dritte ist die Hypotenuse, sie ist immer länger als die Beine.

Der Sinus ist das Verhältnis eines der Schenkel zur Hypotenuse, der Kosinus ist das Verhältnis des anderen Schenkels dazu und der Tangens ist das Verhältnis der beiden Schenkel. Haltung symbolisiert Spaltung. Auch die Tangente ist Teilung spitzer Winkel Sinus mit Cosinus. Kotangens ist das Gegenteil von Tangente.

Die Formeln für die letzten beiden Beziehungen lauten wie folgt: tg (a) = sin (a) / cos (a) und ctg (a) = cos (a) / sin (a).

Zeichne einen Einheitskreis

Gebäude Einheitskreis wird auf seine Zeichnung mit einem Einheitsradius im Zentrum des Koordinatensystems reduziert. Dann müssen Sie zum Bauen die Winkel zählen und sich gegen den Uhrzeigersinn in einem ganzen Kreis bewegen und die ihnen entsprechenden Koordinatenlinien aufzeichnen.

Die Konstruktion beginnt nach dem Zeichnen des Kreises und dem Setzen eines Punkts in dessen Mittelpunkt, indem das OX-Koordinatensystem platziert wird. Punkt O oben auf der Koordinatenachse ist der Sinus und X ist der Kosinus. Dementsprechend sind sie Abszisse und Ordinate. Dann musst du Maß nehmen ∠. Sie werden in Grad und Bogenmaß angezeigt.

Es ist einfach, diese Indikatoren zu übersetzen - ein Vollkreis entspricht zwei Pi-Radianten. Der Winkel von Null geht mit einem + Zeichen gegen den Uhrzeigersinn und ∠ geht von 0 mit einem - Zeichen im Uhrzeigersinn. Positive und negative Sinus-Cosinus-Werte werden bei jeder Kreisumdrehung wiederholt.

Winkel auf einem trigonometrischen Kreis

Um die Theorie des trigonometrischen Kreises zu beherrschen, müssen Sie verstehen, wie ∠ darauf gezählt und gemessen wird. Sie gelten als sehr einfach.

Der Kreis wird durch das Koordinatensystem in vier Teile geteilt. Jedes Teil bildet ∠ 90 °. Die Hälfte dieser Winkel entspricht 45 Grad. Dementsprechend entsprechen zwei Teile eines Kreises 180 ° und drei - 360 °. Wie verwendet man diese Informationen?

Wenn es erforderlich ist, das Problem der Bestimmung von ∠ zu lösen, greifen Sie auf Sätze über Dreiecke und die damit verbundenen pythagoräischen Grundgesetze zurück.

Winkel werden im Bogenmaß gemessen:

• von 0 bis 90 ° - Winkelwerte von 0 bis ∏ / 2;
• von 90 bis 180 ° - Winkelwerte von ∏ / 2 bis ∏;
• von 180 bis 270 ° - von ∏ bis 3 * ∏ / 2;
• das letzte Viertel von 270 0 bis 360 0 - Werte von 3 * ∏ / 2 bis 2 * ∏.

Um ein bestimmtes Maß herauszufinden, Radiant in Grad umzurechnen oder umgekehrt, sollten Sie auf einen Spickzettel zurückgreifen.

Winkel von Grad in Bogenmaß umrechnen

Winkel können in Grad oder Bogenmaß gemessen werden. Es ist erforderlich, sich des Zusammenhangs zwischen beiden Bedeutungen bewusst zu sein. Diese Beziehung wird in der Trigonometrie mit einer speziellen Formel ausgedrückt. Dank des Verständnisses der Beziehung können Sie lernen, wie Sie die Winkel schnell steuern und von Grad auf Bogenmaß zurückgehen.

Um genau herauszufinden, was ein Bogenmaß ist, können Sie die folgende Formel verwenden:

1 froh. = 180 / = 180 / 3,1416 = 57,2956

Letztendlich entspricht 1 Radiant 57 ° und 1 Grad 0,0175 Radiant:

1 Grad = (∏ / 180) froh. = 3,1416 / 180 rad. = 0,0175 rad.

Kosinus, Sinus, Tangens, Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis

Kosinus mit Sinus, Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis - Funktionen von Alpha-Winkeln von 0 bis 360 Grad. Jede Funktion hat einen positiven oder negativen Wert, je nachdem, wie groß der Winkel ist. Sie symbolisieren die Verwandtschaft zu den im Kreis gebildeten rechtwinkligen Dreiecken.

Zählen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Materialien im Besonderen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr ausgeglichen sind ...")

Es ist fast dasselbe wie in der vorherigen Lektion. Es gibt Achsen, einen Kreis, einen Winkel, alles ist chin-chinarem. Anzahl der Viertel hinzugefügt (in den Ecken des großen Quadrats) - vom ersten bis zum vierten. Und dann plötzlich, wer weiß es nicht? Wie Sie sehen können, sind die Viertel (sie werden auch das schöne Wort "Quadranten" genannt) gegen den Uhrzeigersinn nummeriert. Hinzugefügte Werte für den Winkel auf den Achsen. Alles klar, keine Probleme.

Und ein grüner Pfeil wurde hinzugefügt. Mit Plus. Was bedeutet das? Lassen Sie mich daran erinnern, dass die feste Seite der Ecke stets auf die positive OX-Halbachse genagelt. Wenn wir also die bewegliche Seite der Ecke verdrehen entlang des Pfeils mit einem Plus, d.h. in aufsteigender Reihenfolge der Quartalszahlen, der Winkel wird als positiv betrachtet. Das Bild zeigt beispielsweise einen positiven Winkel von +60°.

Wenn wir die Ecken verschieben in die entgegengesetzte Richtung, im Uhrzeigersinn, der Winkel wird als negativ angesehen. Bewegen Sie den Cursor über das Bild (oder tippen Sie auf das Bild auf dem Tablet), Sie sehen einen blauen Pfeil mit einem Minus. Dies ist die Richtung der negativen Ablesung der Winkel. Als Beispiel ist ein negativer Winkel (- 60°) dargestellt. Und Sie werden auch sehen, wie sich die Zahlen auf den Achsen verändert haben ... Ich habe sie auch in negative Winkel übersetzt. Die Quadrantennummerierung ändert sich nicht.

Hier beginnen meist die ersten Missverständnisse. Wieso das !? Und was ist, wenn der negative Winkel auf dem Kreis mit dem positiven übereinstimmt!? Und im Allgemeinen stellt sich heraus, dass ein und dieselbe Position der bewegten Seite (oder ein Punkt auf dem Zahlenkreis) sowohl als negativer als auch als positiver Winkel bezeichnet werden kann!?

Ja. Genau so. Nehmen wir an, ein positiver Winkel von 90 Grad nimmt einen Kreis ein genauso Position als negativer Winkel von minus 270 Grad. Ein positiver Winkel, zum Beispiel + 110° Grad, dauert genauso Position als negativer Winkel von -250 °.

Kein Problem. Alles ist richtig.) Die Wahl der positiven oder negativen Winkelberechnung hängt von der Bedingung der Aufgabe ab. Wenn die Bedingung nichts sagt im Klartext über das Vorzeichen des Winkels, (wie "bestimme den kleinsten positiv Winkel" usw.), dann arbeiten wir mit für uns bequemen Werten.

Die Ausnahme (und wie ohne?!) sind trigonometrische Ungleichungen, aber dort werden wir diesen Trick meistern.

Nun eine Frage an dich. Woher wusste ich, dass die 110°-Winkelposition der -250°-Winkelposition entspricht?
Ich werde darauf hinweisen, dass dies auf den vollen Umsatz zurückzuführen ist. 360° ... Nicht klar? Dann zeichne einen Kreis. Wir zeichnen selbst auf Papier. Ecke markieren etwa 110°. UND Erwägen wie viel bleibt bis zum vollen Umsatz übrig. Es bleiben nur 250°...

Habe es? Und jetzt - Achtung! Wenn die Winkel 110° und -250° auf dem Kreis liegen gleich Stellung, was dann? Ja, das bei den Winkeln 110° und -250 ° genauso Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens!
Jene. sin110 ° = sin (-250°), ctg110 ° = ctg (-250°) und so weiter. Das ist schon sehr wichtig! Und an sich - es gibt viele Aufgaben, bei denen Sie Ausdrücke vereinfachen und als Grundlage für die spätere Entwicklung von Reduktionsformeln und anderen Weisheiten der Trigonometrie verwenden müssen.

Offensichtlich habe ich 110° und -250° zufällig genommen, nur als Beispiel. Alle diese Gleichungen funktionieren für alle Winkel, die dieselbe Position auf dem Kreis einnehmen. 60 ° und -300°, -75° und 285° und so weiter. Ich stelle sofort fest, dass die Ecken in diesen Paaren - unterschiedlich. Aber ihre trigonometrischen Funktionen - das gleiche.

Ich denke, Sie verstehen, was negative Winkel sind. Es ist ganz einfach. Gegen den Uhrzeigersinn - positiver Zählerstand. Unterwegs - negativ. Betrachten Sie einen positiven oder negativen Winkel hängt von uns ab... Von unserem Wunsch. Nun, und natürlich auch von der Aufgabe ... Ich hoffe, Sie verstehen, wie man in trigonometrischen Funktionen von negativen Winkeln zu positiven Winkeln wechselt und umgekehrt. Zeichnen Sie einen Kreis, einen ungefähren Winkel und sehen Sie, wie viel zu einer vollen Drehung fehlt, d. bis 360°.

Winkel größer als 360 °.

Nehmen wir Winkel an, die größer als 360 ° sind. Und es gibt solche? Es gibt natürlich. Wie zeichnet man sie auf einen Kreis? Kein Problem! Nehmen wir an, wir müssen herausfinden, in welches Viertel der 1000°-Winkel fällt? Leicht! Wir machen eine volle Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (der Winkel wurde uns positiv gegeben!). 360° abgewickelt. Nun, lass uns weitermachen! Noch eine Wendung - schon 720°. Wieviel ist übrig? 280°. Für eine volle Umdrehung nicht genug ... Aber der Winkel beträgt mehr als 270° - und das ist die Grenze zwischen dem dritten und vierten Viertel. Unser Winkel von 1000° fällt also in das vierte Viertel. Alles.

Wie Sie sehen, ist es ganz einfach. Lassen Sie mich noch einmal daran erinnern, dass ein Winkel von 1000° und ein Winkel von 280°, den wir durch das Weglassen von "zusätzlichen" vollen Umdrehungen erhalten haben, streng genommen unterschiedlich Ecken. Aber die trigonometrischen Funktionen bei diesen Winkeln genauso! Jene. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° usw. Wenn ich ein Sinus wäre, würde ich den Unterschied zwischen diesen beiden Winkeln nicht bemerken ...

Warum brauchst du das alles? Warum müssen wir Winkel von einem zum anderen übersetzen? Ja, alle gleich.) Um Ausdrücke zu vereinfachen. Die Vereinfachung von Ausdrücken ist in der Tat die Hauptaufgabe der Schulmathematik. Nun, nebenbei trainiert der Kopf.)

Nun, lass uns üben?)

Wir beantworten die Fragen. Anfangs einfach.

1. In welches Viertel fällt der Winkel -325 °?

2. In welches Viertel fällt der Winkel 3000°?

3. In welches Viertel fällt der Winkel -3000°?

Es gibt ein Problem? Oder Unsicherheit? Wir gehen zu Abschnitt 555, Praktische Arbeit mit dem trigonometrischen Kreis. Dort, in der ersten Lektion dieses sehr " Praktische Arbeit... "alles ist detailliert ... eine solche Fragen der Unsicherheit zu sein sollte nicht!

4. Welches Vorzeichen hat sin555°?

5. Was ist das Vorzeichen von tg555°?

Haben Sie identifiziert? Bußgeld! Zweifel? Es sollte in Abschnitt 555 stehen ... Dort lernst du übrigens, wie man Tangente und Cotangente auf dem trigonometrischen Kreis zeichnet. Eine sehr nützliche Sache.

Und jetzt sind die Fragen klüger.

6. Reduzieren Sie den Ausdruck sin777 ° auf den Sinus des kleinsten positiven Winkels.

7. Reduzieren Sie den Ausdruck cos777 ° auf den Kosinus des größten negativen Winkels.

8. Reduzieren Sie den Ausdruck cos (-777 °) auf den Kosinus des kleinsten positiven Winkels.

9. Reduzieren Sie den Ausdruck sin777 ° auf den Sinus des größten negativen Winkels.

Verwirren Sie die Fragen 6-9? Gewöhnen Sie sich an die Prüfung, und solche Formulierungen werden nicht gefunden... So sei es, ich werde übersetzen. Nur für Sie!

Die Worte "einen Ausdruck in ... umwandeln" bedeuten, einen Ausdruck so umzuwandeln, dass seine Bedeutung hat sich nicht geändert ein Aussehen entsprechend der Aufgabenstellung geändert. In den Aufgaben 6 und 9 sollten wir also einen Sinus erhalten, in dem ist kleinster positiver Winkel. Alles andere ist egal.

Ich werde die Antworten der Reihe nach geben (in Verletzung unserer Regeln). Aber was tun, es gibt nur zwei Schilder und nur vier Viertel ... Sie werden nicht in Varianten davonlaufen.

6.sin57 °.

7.cos (-57 °).

8.cos57 °.

9.-Sünde (-57 °)

Ich nehme an, die Antworten auf die Fragen 6-9 haben einige verwirrt. Besonders -Sünde (-57 °), oder?) In der Tat, in den elementaren Regeln zum Zählen von Winkeln gibt es Raum für Fehler ... Deshalb musste ich eine Lektion machen: "Wie bestimme ich die Vorzeichen von Funktionen und bringe Winkel auf einen trigonometrischen Kreis?" Abschnitt 555. Dort werden die Aufgaben 4 - 9 aussortiert. Gut zerlegt, mit allen Tücken. Und sie sind hier.)

In der nächsten Lektion werden wir uns mit den mysteriösen Radianten und Pi-Zahlen befassen. Lassen Sie uns lernen, wie man Grad einfach und korrekt in Bogenmaß umwandelt und umgekehrt. Und wir werden überrascht sein, dass diese elementaren Informationen auf der Website schon genug um einige nicht standardmäßige trigonometrische Probleme zu lösen!

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Übrigens habe ich noch ein paar interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Dieser Artikel enthält Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenstabellen... Zuerst geben wir eine Tabelle der Hauptwerte trigonometrischer Funktionen, dh eine Tabelle von Sinus, Kosinus, Tangente und Kotangens der Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad ( 0, π / 6, / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π Bogenmaß). Danach geben wir eine Sinus- und Kosinustabelle sowie eine Tangenten- und Kotangenstabelle von V. M. Bradis an und zeigen, wie diese Tabellen zum Ermitteln der Werte trigonometrischer Funktionen verwendet werden.

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Sinus-, Kosinus-, Tangenten- und Kotangenstabelle für die Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch. für 9cl. Mittwoch Schule / Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Hrsg. S. A. Telyakovsky.- M.: Bildung, 1990.- 272 S.: Abb.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra und der Beginn der Analyse: Lehrbuch. für 10-11 cl. Mittwoch shk. - 3. Aufl. - M.: Bildung, 1993.-- 351 S.: Ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra und der Beginn der Analyse: Lehrbuch. für 10-11 cl. Allgemeinbildung. Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Hrsg. A. N. Kolmogorov - 14. Aufl. - M.: Bildung, 2004. - 384 S.: Abb. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (Handbuch für Fachschulbewerber): Lehrbuch. Handbuch - M .; Höher. shk., 1984.-351 S., mit Abb.
• Bradis V. M. Vierstellige mathematische Tabellen: Für die Allgemeinbildung. lernen. Institutionen. - 2. Aufl. - M.: Trappe, 1999. - 96 S.: Abb. ISBN 5-7107-2667-2

Vielfältig. Einige von ihnen befassen sich damit, in welchen Vierteln der Cosinus positiv und negativ ist, in welchen Vierteln der Sinus positiv und negativ ist. Alles wird einfach, wenn Sie wissen, wie man den Wert dieser Funktionen bei verschiedenen Winkeln berechnet, und mit dem Prinzip des Zeichnens von Funktionen in einem Graphen vertraut ist.

Was sind die Werte des Kosinus?

Betrachten wir dann folgendes Seitenverhältnis, das es bestimmt: der Kosinus des Winkels ein ist das Verhältnis des Nachbarschenkels BC zur Hypotenuse AB (Abb. 1): cos ein= BC / AB.

Mit dem gleichen Dreieck können Sie den Sinus eines Winkels, Tangens und Kotangens berechnen. Der Sinus ist das Verhältnis des entgegengesetzten Winkels des Beins AC zur Hypotenuse AB. Der Tangens eines Winkels wird gefunden, wenn der Sinus des gewünschten Winkels durch den Cosinus desselben Winkels geteilt wird; durch Einsetzen der entsprechenden Formeln für die Bestimmung von Sinus und Cosinus erhalten wir, dass tg ein= AC / BC. Der Kotangens als Kehrwert der Tangensfunktion wird wie folgt ermittelt: ctg ein= BC / AC.

Das heißt, bei gleichen Winkelwerten wurde festgestellt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Seitenverhältnis immer gleich ist. Es scheint, dass klar wurde, woher diese Werte stammen, aber warum werden negative Zahlen erhalten?

Dazu müssen Sie das Dreieck im kartesischen Koordinatensystem berücksichtigen, in dem sowohl positive als auch negative Werte vorhanden sind.

Ganz klar zu den Quartieren, wo ist was

Was sind kartesische Koordinaten? Wenn wir vom zweidimensionalen Raum sprechen, haben wir zwei gerichtete Geraden, die sich im Punkt O schneiden - dies ist die Abszissenachse (Ox) und die Ordinatenachse (Oy). Vom Punkt O in Richtung der Geraden befinden sich positive Zahlen, und in die entgegengesetzte Richtung - negativ. Dies bestimmt letztlich direkt, in welchen Vierteln der Kosinus positiv bzw. negativ ist.

Erstes Viertel

Wenn du platzierst rechtwinkliges Dreieck im ersten Quartal (von 0 o bis 90 o), wo die x- und y-Achsen positive Werte haben (die Segmente AO und BO liegen auf den Achsen, wo die Werte ein "+"-Zeichen haben), dann beide Sinus und Kosinus werden ebenfalls positive Werte haben und mit einem Pluszeichen versehen. Aber was passiert, wenn Sie das Dreieck in das zweite Viertel verschieben (von 90o auf 180o)?

Zweites Viertel

Wir sehen, dass die AO-Schenkel entlang der y-Achse einen negativen Wert haben. Kosinus eines Winkels ein hat nun gegenüber dieser Seite ein Minus, und deshalb wird sein Endwert negativ. Es stellt sich heraus, dass in welchem ​​Viertel der Kosinus positiv ist, von der Lage des Dreiecks im kartesischen Koordinatensystem abhängt. Und in diesem Fall wird der Kosinus des Winkels negativ. Für den Sinus hat sich jedoch nichts geändert, denn um sein Vorzeichen zu bestimmen, wird die OB-Seite benötigt, die in diesem Fall mit Pluszeichen belassen wurde. Fassen wir die ersten beiden Quartale zusammen.

Um herauszufinden, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und in welchen negativ ist (sowie Sinus und andere trigonometrische Funktionen), müssen Sie sich ansehen, welches Vorzeichen dem einen oder anderen Bein zugewiesen ist. Für den Kosinus eines Winkels ein das AO-Bein ist wichtig, für den Sinus - OB.

Das erste Viertel ist bisher das einzige, das die Frage beantwortet: "In welchen Vierteln sind Sinus und Cosinus gleichzeitig positiv?" Mal sehen, ob es noch Zufälle im Vorzeichen dieser beiden Funktionen geben wird.

Im zweiten Quartal begann der AO-Bein einen negativen Wert zu haben, was bedeutet, dass auch der Kosinus negativ wurde. Für Sinus wird ein positiver Wert gespeichert.

Drittes Quartal

Jetzt sind beide Beine AO ​​und OB negativ geworden. Erinnern wir uns an die Beziehungen für Kosinus und Sinus:

Cos a = AO/AB;

Sina = VO / AB.

AB hat in einem gegebenen Koordinatensystem immer ein positives Vorzeichen, da es auf keine der beiden durch die Achsen definierten Seiten gerichtet ist. Aber die Beine wurden negativ, was bedeutet, dass das Ergebnis für beide Funktionen auch negativ ist, denn wenn Sie Multiplikations- oder Divisionsoperationen mit Zahlen durchführen, von denen eine und nur eine ein Minuszeichen hat, wird das Ergebnis auch dieses Vorzeichen haben.

Das Ergebnis in dieser Phase:

1) In welchem ​​Viertel ist der Kosinus positiv? Im ersten von drei.

2) In welchem ​​Viertel ist der Sinus positiv? Im ersten und zweiten der drei.

Viertes Quartal (von 270 o bis 360 o)

Hier erhält das AO-Bein wieder das Pluszeichen und damit auch den Kosinus.

Beim Sinus sind die Fälle noch "negativ", da das OB-Bein tiefer geblieben ist StartpunktÖ.

Schlussfolgerungen

Um zu verstehen, in welchen Vierteln der Cosinus positiv, negativ usw. ist, müssen Sie sich das Verhältnis zur Berechnung des Cosinus merken: das dem Winkel benachbarte Bein dividiert durch die Hypotenuse. Einige Lehrer schlagen vor, sich Folgendes zu merken: k (Osin) = (k) Winkel. Wenn Sie sich an diesen "Cheat" erinnern, verstehen Sie automatisch, dass der Sinus das Verhältnis des Gegenteils zum Winkel des Beins zur Hypotenuse ist.

Es ist ziemlich schwierig, sich zu erinnern, in welchen Vierteln der Kosinus positiv und in welchen negativ ist. Trigonometrische Funktionen viele, und sie alle haben ihre eigene Bedeutung. Aber dennoch als Ergebnis: positive Werte für den Sinus - 1, 2 Viertel (von 0 o bis 180 o); für Kosinus 1, 4 Viertel (von 0 o bis 90 o und von 270 o bis 360 o). In den restlichen Quartalen haben Funktionen Werte mit einem Minus.

Vielleicht fällt es jemandem leichter, sich zu merken, wo welches Zeichen laut Funktionsbild steht.

Beim Sinus ist zu erkennen, dass von Null bis 180 о der Scheitel über der Linie der Sinus(x)-Werte liegt, was bedeutet, dass die Funktion auch hier positiv ist. Für den Kosinus ist es das gleiche: In welchem ​​Viertel ist der Kosinus positiv (Foto 7), und in welchem ​​Viertel wird er durch die Bewegung der Linie über und unter der Kosinus (x)-Achse gesehen. Als Ergebnis können wir uns zwei Möglichkeiten merken, um das Vorzeichen der Sinus- und Kosinusfunktionen zu bestimmen:

1. Entlang eines imaginären Kreises mit einem Radius gleich eins (wobei es eigentlich egal ist, welchen Radius der Kreis hat, aber in Lehrbüchern wird ein solches Beispiel meistens gegeben; dies macht es leichter zu verstehen, aber am gleichzeitig, wenn Sie nicht erwähnen, dass es nicht darauf ankommt, können Kinder verwirrt werden).

2. Durch das Bild der Abhängigkeit der Funktion von (x) vom Argument x selbst, wie in der letzten Abbildung.

Mit der ersten Methode können Sie VERSTEHEN, wovon genau das Zeichen abhängt, und wir haben dies oben ausführlich erklärt. Abbildung 7, die auf diesen Daten basiert, ist die beste Möglichkeit, die resultierende Funktion und ihr Vorzeichen zu visualisieren.

Lektion Nummer 1

Trigonometrische Funktionen eines beliebigen Arguments.

Definition und Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens.

Bogenmaß des Winkels.

Wir markieren Punkt A auf der Ox-Achse aus dem Koordinatenursprung und ziehen einen Kreis durch ihn mit Mittelpunkt im Punkt O. Der Radius OA heißt Anfangsradius.

Der Winkel Р (ОМ; ОЕ) kann als Ergebnis einer Rotation um den Ursprung des Strahls mit dem Ursprung im Punkt О von der Position ОМ - der Anfangsposition bis zur Position ОЕ - der Endposition beschrieben werden. Diese Drehung kann entweder gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn erfolgen, und

a) entweder für einen unvollständigen Umsatz,

b) entweder durch eine ganze Zahl von vollen Umdrehungen;

c) entweder durch eine ganze Zahl voller Umdrehungen und eine unvollständige Umdrehung.

Winkel gegen den Uhrzeigersinn gelten als positiv und im Uhrzeigersinn als negativ

Wir werden solche Winkel als gleiche Winkel betrachten, bei denen, wenn ihre Anfangsstrahlen auf irgendeine Weise kombiniert werden, die Endstrahlen kombiniert werden und die Bewegung vom Anfangsstrahl zum Endstrahl in derselben Richtung für dieselbe Anzahl von . ausgeführt wird volle und unvollständige Umdrehungen um den Punkt O.

Nullwinkel werden als gleich betrachtet.

Eigenschaften des Winkelmaßes:

Die gebräuchlichsten Winkelmaße sind Grad und Bogenmaß.

Winkeleinheit in Gradmaß ist ein Winkel der Größe von einem Grad - 1/180 des entfalteten Winkels. Aus dem Geometriekurs ist bekannt, dass das Maß eines Winkels in Grad ab dem 01.01.01 durch eine Zahl ausgedrückt wird. Der Drehwinkel kann in Grad durch eine beliebige reelle Zahl von -∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Als Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung nehmen wir einen Kreis mit Einheitsradius, der die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bezeichnet A (1; 0), B (0; 1), C (-1; 0), D (0; -1). Der Strahl OA wird als Anfangswinkel bei den betrachteten Winkeln verwendet.

Die Abszissen- und Ordinatenachse stehen senkrecht aufeinander und teilen die Ebene in vier Koordinatenviertel: I, II, III, IV (siehe Abbildung).

Je nachdem, welches Koordinatenviertel der Radius von OM sein wird, ist der Winkelα wird der gleiche Winkel dieses Quartals sein.

Also wenn 00< α <900 , то угол α - Winkel des ersten Viertels;

Wenn 900< α <1800 , то угол α - Winkel des zweiten Viertels;

Wenn 1800< α <2700 , то угол α - Winkel des dritten Viertels;

Wenn 2700< α <3600 , то угол α Ist der Winkel des vierten Viertels.

Wenn Sie dem Winkel eine ganzzahlige Anzahl von Umdrehungen hinzufügen, erhalten Sie offensichtlich den Winkel des gleichen Viertels.

Der Winkel 4300 ist beispielsweise der Winkel ich - tes Quartal, da 4300 = 3600 + 700 = 700;

Winkel 9200 ist der Winkel III -tes Quartal, seit 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000

(d.h. die Anzahl der ganzen Umdrehungen kann vernachlässigt werden!)

Winkel 00, ± 900, ± 1800, ± 2700, ± 3600 - gelten für kein Viertel .

Bestimmen wir, welches Viertel der Winkel istα wenn:

α = 2830 (IV) α = 1900 (III) α = 1000 (II) α = -200 (IV h - negative Richtung)

Und jetzt du selbst:

α = 1790 α = 3250 α = 8000 α = -1200

Im Geometriekurs wurden Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens des Winkels α bei bestimmt

00 ≤ α ≤ 1800. Wir betrachten nun diese Definitionen für einen beliebigen Winkel α.

Schriftgröße: 12.0pt; Zeilenhöhe: 115% "> Lassen Sie beim Drehen um Punkt O um einen Winkelα der Anfangsradius OA geht in den Radius OM über.

Sinuswinkelα nennt man das Verhältnis der Ordinate eines Punktes M zur Länge des Radius, d.h.

Kosinuswinkelα nennt man das Verhältnis der Abszisse des Punktes M zur Länge des Radius, d.h.

Tangente des Winkelsα das Verhältnis der Ordinate des Punktes M zu seiner Abszisse heißt, d.h.

Kotangentialwinkel α das Verhältnis der Abszisse des Punktes M zu seiner Ordinate heißt, d.h.

Betrachten wir Beispiele für die Berechnung trigonometrischer Funktionen unter Verwendung von Wertetabellen einiger Winkel. Bindestriche werden gesetzt, wenn der Ausdruck keinen Sinn ergibt.

Beispiel №1. Finden Sie sin300; cos450; tg600.

Lösung: a) Wir finden in der Spalte der Tabelle sinα und in Zeile 300, am Schnittpunkt von Spalte und Zeile, finden wir den Wert Sünde 300 ist eine Zahl. Sie schreiben so: Sünde 300 =

b) finden wir in der Spalte der Tabelle cosα und in Zeile 450, am Schnittpunkt von Spalte und Zeile, finden wir den Wert weil 450 ist eine Zahl. Sie schreiben so: cos 450 =

c) finden wir in der Spalte der Tabelle tgα und in Zeile 600, am Schnittpunkt von Spalte und Zeile, finden wir den Wert tg 600 ist eine Zahl EN-US style = "font-size: 12.0pt; line-height: 115%" "> tg600 = Schriftgröße: 12.0pt; Zeilenhöhe: 115% "> Beispiel #2

Berechnung a) 2c os 600 + EN-US "style =" Schriftgröße: 12.0pt; Zeilenhöhe: 115% "> cos300 = 2 Schriftgröße: 12.0pt; Zeilenhöhe: 115% "> b) 3 tg 450 tg 600 = 3 · 1 · https: //pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif "width =" 24 "height =" 24 src = ">

Berechnen Sie selbst : a) 5 sin 300 - ctg 450 b) 2 sin 300 + 6 cos 600 - 4 tg 450

c) 4tg 600 sin 600 c) 2cossin 900 + 5tg 1800

Betrachten wir einige Eigenschaften trigonometrischer Funktionen.

Lassen Sie uns herausfinden, welche Vorzeichen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens in jedem der Koordinatenviertel haben.

Lassen Sie beim Drehen den Radius OA gleich R um den Winkel α , Punkt A wurde zu Punkt M mit den Koordinaten x und y verschoben. Als(R = 1), dann ist das Vorzeichen hängt vom Vorzeichen von y ab.

In I und II in Vierteln y> 0 und in II und IV Viertel - at<0.

Unterschrift hängt von x ab, da, dann für Winkel I und IV Viertel - x> 0, und in

II und III Viertel x<0.

Als ; , dann im I und III Viertel und haben ein "+"-Zeichen und in II und IV in Vierteln haben sie ein Minuszeichen.