Kreis auf der Koordinatenebene. Numerischer Kreis. Finden der rechteckigen Koordinaten von Punkten, deren curvilinear-Koordinaten mehrere sind

Schieber 2.

Was wir lernen werden: Definition. Wichtige Koordinaten des numerischen Kreises. Wie suche ich nach der Koordinate des numerischen Kreises? Tabelle der Hauptkoordinaten des numerischen Kreises. Beispiele für Aufgaben.

Slide 3.

Definition. Wir haben einen numerischen Kreis in der Koordinatenebene, so dass die Mitte des Kreises mit dem Ursprung der Koordinaten kombiniert wird, und sein Radius wird für ein einzelnes Segment akzeptiert. Der Anfangspunkt des numerischen Kreises A ist mit einem Punkt (1; 0) kombiniert. Jeder Punkt des numerischen Kreises hat seine eigenen Koordinaten x und y in der Koordinatenebene und: X\u003e 0, AT\u003e 0 im ersten Quartal; x 0 im zweiten Quartal; x 0, u

Schieber 4.

Es ist wichtig, dass wir lernen, die Koordinaten der in der folgenden Abbildung dargestellten Punkte des numerischen Kreises zu finden:

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Wir finden die Koordinate des Punkts π / 4: Der Punkt M (π / 4) ist die Mitte des ersten Quartals. Wir senken das Senkrechten der MR auf die direkte OA und betrachten das EMP-Dreieck. Wenn ein AM-Bogen einen halben ARC AB ist, dann bedeutet dann ∡MOP \u003d 45 ° das EMP-Dreieck ein verkettetes rechteckiges Dreieck und op \u003d MP, d. H. An Punkt M sind die Abszisse und die Ordinate gleich: x \u003d y, da die Koordinaten des Punkts M (x; y) die Gleichung des numerischen Kreises erfüllen, dann ist es erforderlich, das System von Gleichungen zu lösen: Lösen Dieses System erhalten wir: Erhalten Die Koordinaten des Punkts M, der der Zahl π / 4 entspricht, die die Koordinaten der auf dem vorherigen Objektträger dargestellten Punkte entsprechen, werden auf dieselbe Weise berechnet.

Schieber 6.

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Die Koordinaten der Punkte des numerischen Kreises.

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Beispiel Finden Sie den Koordinatenpunkt des numerischen Kreises: P (45π / 4) Lösung: weil Die Zahlen t und t + 2π k (k-ganzzahl) entsprechen dem gleichen Punkt des numerischen Kreises: 45π / 4 \u003d (10 + 5/4) π \u003d 10π + 5π / 4 \u003d 5π / 4 + 2π 5 bedeutet das Die Nummer 45π / 4 entspricht dem gleichen Punkt des numerischen Kreises als Nummer 5π / 4. Blick auf den Punkt von 5π / 4 in der Tabelle bekommen wir:

Folie 9.

Beispiel Finden Sie die Koordinate des Punktes des numerischen Umfangs: p (-37π / 3) Lösung: weil Die Zahlen t und t + 2π k (k-ganzzahl) entsprechen dem gleichen Punkt des numerischen Kreises: -37π / 3 \u003d - (12 + 1/3) π \u003d -12π -π / 3 \u003d -π / 3 + 2π (-6) bedeutet, dass die Anzahl von -37π / 3 dem gleichen Punkt des numerischen Kreises entspricht, der die Zahl -π / 3 ist, und die Zahl -π / 3 entspricht dem gleichen Punkt wie 5π / 3. Blick auf den Punkt von 5π / 3 in der Tabelle, die wir erhalten:

Schieber 10.

Finden Sie den numerischen Umfang des Punktes mit der Ordinate y \u003d 1/2 und schreiben Sie auf, wie die Zahlen entsprechen. Ein Beispiel gerade y \u003d 1/2 kreuzt den numerischen Kreis an den Punkten M und R. Punkt M entspricht der Anzahl π / 6 (aus den Daten der Tabelle), und beliebig viele der Form π / 6 + 2π k . Punkt P entspricht der Anzahl 5 & π / 6, was bedeutet, dass eine beliebige Anzahl der Form 5π / 6 + 2 π k empfangen wird, da sie in solchen Fällen oft in solchen Fällen sprachen, zwei Wertereihen: π / 6 + 2 π k und 5π / 6 + 2 π k Antwort: t \u003d π / 6 + 2 π k и \u003d 5π / 6 + 2 π K numerischer Kreis auf der Koordinatenebene.

Folie 11.

Ein Beispiel ist auf dem numerischen Kreis eines Punktes mit einer Abszisse x ≥ und notieren, wie die Zahlen T entsprechen. Direct x \u003d 1/2 kreuzt den numerischen Kreis an den Punkten M und R. Ungleichheit ≥ entspricht dem Punkt des Bogens RM. Punkt M entspricht der Anzahl von 3π / 4 (aus der Tabelle) und einer beliebigen Anzahl von Typ -3π / 4 + 2π k. Punkt P entspricht der Zahl -3π / 4 und daher und eine beliebige Anzahl von Typ - -3π / 4 + 2 π k, dann erhalten wir -3π / 4 + 2 π k ≤ t ≤ 3π / 4 + 2 π k Antwort: -3π / 4 + 2 π k ≤ t ≤ 3π / 4 + 2 π k Anzahl Kreis auf der Koordinatenebene.

Schieber 12.

Numerischer Kreis auf der Koordinatenebene.

Aufgaben für Selbstlösungen. 1) Finden Sie den Koordinatenpunkt des numerischen Umfangs: p (61π / 6)? 2) Finden Sie den Koordinatenpunkt des numerischen Umfangs: p (-52π / 3) 3), um auf dem numerischen Kreis des Punktes mit der Ordinate y \u003d -1/2 zu finden und aufzuschreiben, welche Zahlen sie entsprechen. 4) Finden Sie den numerischen Umfang des Punktes mit der Ordinate in ≥ 1/2 und aufnehmen, welche Nummern von T entsprechen. 5) Finden Sie auf dem numerischen Kreis des Punktes mit der Abszisse X ≥ und notieren, wie die Zahlen T entsprechen.

Alle Folien anzeigen.

Der numerische Kreis in der 10. Klasse wird ziemlich lange bezahlt. Dies ist auf die Bedeutung dieser mathematischen Einrichtung für den gesamten Mut der Mathematik zurückzuführen.

Eine ordnungsgemäße Auswahl an Lernwerkzeugen hat eine große Bedeutung für ein gutes Lernen. Die effizientesten solcher Mittel umfassen Video-Tutorials. In letzter Zeit erreichen sie einen Gipfel der Beliebtheit. Daher hat der Autor nicht hinter der Moderne zurückgezogen und entwickelt, um den Lehrern von Mathematik zu helfen, ein so wunderbares Handbuch zu helfen - Video-Tutorial im Thema "Numerischer Kreis auf der Koordinatenebene".

Diese Lektion in der Dauer dauert 15:22 Minuten. Dies ist fast die maximale Zeit, die der Lehrer für eine unabhängige Erklärung des Materials zum Thema ausgeben kann. Da es so viel Zeit gibt, um das neue Material zu erklären, ist es notwendig, die effektivsten Aufgaben und Übungen abzuholen, und andere Lektion zuweisen, in denen die Schüler Aufgaben zu diesem Thema lösen werden.

Die Lektion beginnt mit einem Bild eines numerischen Kreises im Koordinatensystem. Der Autor errichtet diesen Kreis und erklärt seine Aktionen. Der Autor ruft dann die Kreuzungspunkte des numerischen Kreises mit den Koordinatenachsen auf. Als nächstes wird erläutert, welche Koordinaten Umfangspunkte in verschiedenen Quartalen haben.

Danach erinnert der Autor daran, wie der Umfangsgleichung aussieht. Und die Aufmerksamkeit der Zuhörer sind zwei Layouts, die einige Punkte im Kreis darstellen. Aufgrund dessen zeigt der Autor im nächsten Schritt, wie die Koordinaten der Umfangspunkte entsprechend bestimmten in Vorlagen markierten Zahlen angeordnet sind. Dadurch wird die Anzeige der Werte der Variablen X y in der Kreisgleichung herausgestellt.

Folgendes wird vorgeschlagen, ein Beispiel in Betracht zu ziehen, wenn es erforderlich ist, die Koordinaten der Umfangspunkte zu bestimmen. Bevor Sie mit dem Lösen eines Beispiels beginnen, werden einige Anmerkung eingeführt, die beim Lösen hilft. Und dann erscheint der Bildschirm vollständig, klar strukturiert und mit Abbildungen gefüllt. Es gibt auch Tische, die das Verständnis der Essenz des Beispiels erleichtern.

Dann gibt es noch sechs Beispiele, die weniger arbeitsintensiv sind als das erste, aber ebenso wichtig und reflektieren die Hauptidee der Lektion. Hier werden Lösungen vollständig präsentiert, mit einer detaillierten Geschichte und mit Elementen der Sichtbarkeit. In der Entscheidung gibt es nämlich Zeichnungen, die den Verlauf der Lösung veranschaulichen, und eine mathematische Aufnahme, die die mathematische Alphabetisierung der Schüler bilden.

Der Lehrer kann sich an diese Beispiele beschränken, die in der Lektion berücksichtigt werden, aber dies reicht möglicherweise nicht aus, um eine hochwertige Assimilation des Materials zu erhalten. Daher ist es einfach wichtig, die Aufgaben zur Konsolidierung auszuwählen.

Die Lektion kann nicht nur für Lehrer nützlich sein, deren Zeit ständig begrenzt ist, sondern auch ein Student. Besonders diejenigen, die Familienbildung oder Selbstbildung erhalten. Materialien können diese Studenten verwenden, die die Lektion auf diesem Thema verpasst haben.

Textdekodierung:

Das Thema unserer Lektion "Numerischer Kreis auf der Koordinatenebene"

Wir sind bereits mit dem kartesischen rechteckigen Xoy-Koordinatensystem (Xrejs IX) vertraut. In diesem Koordinatensystem haben wir einen numerischen Kreis, so dass die Mitte des Kreises mit dem Ursprung der Koordinaten kombiniert wird und der Radius ein großes Segment übernimmt.

Der Anfangspunkt des numerischen Kreises wird mit einem Punkt mit Koordinaten (1; 0), B - mit einem Punkt (0; 1), c - c (-1; 0) (minus eins, null) und d - C (0; - 1) (Null, minus eins).

(siehe Abbildung 1)

Da jeder Punkt des numerischen Kreises seine Koordinaten im Xoy-System hat, dann für die Punkte des ersten Viertels von IRCS, mehr Null und spielen mehr Null;

Das zweite Viertel des ICC ist weniger als Null und Simret mehr Null,

für die Punkte des dritten Viertels der IRC von weniger als Null und weniger als Null gehört,

und für das vierte Viertel der IRCs, mehr Null und kleiner weniger Null

Für jeden Punkt E (x; y) (mit den Koordinaten von X, dem Igrek) des numerischen Kreises werden Ungleichheiten -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ ≤ 1 (x ist mehr oder gleich minus eins, sondern weniger oder gleich einem; IRET ist mehr oder mehr gleichermaßen minus eins, aber weniger oder gleich einem).

Erinnern Sie sich daran, dass die Kreisgleichung mit der Radius-R-Center am Anfang der Koordinate das Formular X 2 + in 2 \u003d R 2 (X-Quadrat plus das Quadrat-Quadrat ist, der gleich einem Quadrat ist) aufweist. Und für einen einzelnen Kreis R \u003d 1, also erhalten wir x 2 + y 2 \u003d 1

(X Square Plus Player-Quadrat gleich einem).

Wir finden die Koordinaten der Punkte des numerischen Kreises, die auf zwei Layouts dargestellt werden (siehe Abb. 2, 3)

Lassen Sie den Punkt E entspricht

(Pi vier) - die Mitte des ersten Quartals in der Figur. Von Punkt E senken wir den senkrechten EK in die direkte OA und betrachten die Triangle-Oek. Winkel OU \u003d 45 0, da AE ARC ein halber ARC AV ist. Folglich ist das Dreieck der OEK ein äquilibriertes rechteckiges, in dem ok \u003d EC. So ist der Abszisse und der Ordinat-Punkt E gleich, d. H. XA ist gleichermaßen gespielt. Um die Koordinaten des Punktes E zu finden, lösen Sie das Gleichungssystem: (x ist gleich dem ersten System des Systems und X. Square Plus, der Quadrat-Quadrat ist gleich eins - die zweite Gleichung des Systems). Die zweite Gleichung des Systems anstelle von substituierten Y erhalten wir 2 O 2 \u003d 1 (zwei Spieler-Quadrat gleichermaßen gleichermaßen), von wo y \u003d \u003d (Igarek ist eine in die Wurzel von zwei in die Wurzel von zwei in zwei geteilten Wurzel geteilt) ( Die Ordinate ist positiv). Es bedeutet, dass der Punkt E in dem rechteckigen Koordinatensystem Koordinaten () (die Wurzel von zwei geteilten zwei, die Wurzel von zwei in zwei geteilt ist) aufweist.

In ähnlicher Weise finden wir die Koordinaten für Punkte, die den anderen Nummern des ersten Layouts entsprechen, und erhalten: entspricht dem Punkt mit Koordinaten (-,) (minus der Wurzel von zwei in zwei geteilt in zwei, die Wurzel von zwei in zwei geteilt in zwei geteilt); Für - (-, -) (abzüglich der Wurzel von zwei in zwei, minus die Wurzel von zwei in zwei geteilt); Für (sieben Pi vier) (,) (die Wurzel von zwei in zwei geteilt, minus die Wurzel von zwei in zwei geteilt).

Lassen Sie den Punkt D entsprechen (Abb. 5). Lassen Sie senkrecht von Dr. (de pe) bis OA weg und betrachten Sie das Dreieck von ODR. Die Hypotenuse dieses Dreiecks od ist gleich dem Radius eines einzelnen Kreises, dh eine Einheit, und der Winkel des Dors ist gleich dreißig Grad, da der Bogen AD \u003d Digi AV ist (A de ist gleich einem Drittel A BE) und der ARC AV ist gleich neunzig Grad. Folglich ist dr \u003d (de pe gleich einer Sekunde um der einen gleich einer Sekunde) als die Katat, die gegen einen Winkel von dreißig Grad strömt, der Hälfte der Hälfte der Hypotenuse, dh y \u003d (Simret ist eine Sekunde ). Mit dem Pythagora-Satz erhalten wir oder 2 \u003d OD 2 - DR 2 (über PE-Quadrat, gleich von De Square minus de Pe-Quadrat), aber oder \u003d x (über PE-Gleiche x). Also x 2 \u003d od 2 - dr 2 \u003d

also x 2 \u003d (x quadrat ist gleich den drei vierten) und x \u003d (x ist gleich der Wurzel von drei bis zwei).

Iks positiv, weil Im ersten Quartal gelegen. Es wurde erhalten, dass der Punkt D im rechteckigen Koordinatensystem Koordinaten (,) die Wurzel von drei in zwei, eine Sekunde aufweist.

In ähnlicher Weise argumentieren wir die Koordinaten für Punkte, die den anderen Zahlen des zweiten Layouts entsprechen, und alle empfangenen Daten, die wir auf den Tisch schreiben:

Beispiele in Betracht ziehen.

Beispiel 1. Finden Sie die Koordinaten der Punkte des numerischen Kreises: a) von 1 ();

b) von 2 (); c) mit 3 (41π); d) mit 4 (- 26π). (CE eins entsprechend fünfunddreißig Pi pro vier, CE zwei entsprechende minus fünfundvierzig pi pro drei, ce drei pass einsundvierzig pi, ce vier entsprechende minus zwanzig sechs pi).

Entscheidung. Wir verwenden die zuvor erhaltene Behauptung: Wenn der Numeric-Kreis des Punkts d der Zahl T entspricht, entspricht es einer beliebigen Anzahl von Typ T + 2πk (TE plus zwei Pi-Ka), wobei KA-wenig Ganzzahl, d. H. Kεz (KA gehört zum Set).

a) Wir bekommen \u003d ∙ π \u003d (8 +) ∙ π \u003d + 2π 4. (fünfunddreißig Pi vier sind gleichunddreißig bis vier, multipliziert von PI entspricht der Menge von acht und drei viert, multipliziert von PI ist gleich drei Pi von vier plus der Arbeit von zwei Pi bis vier). Es bedeutet, dass die Anzahl von fünfunddreißig Pi um vier dem gleichen Punkt des numerischen Kreises entspricht, der die Anzahl von drei Pi bis vier ist. Unter Verwendung von Tabelle 1 erhalten wir von 1 () \u003d C 1 (-;).

b) in ähnlicher Weise die Koordinaten von C 2: \u003d ∙ π \u003d - (16 + ∙ π \u003d + 2π ∙ (- 8). Die Anzahl

der gleiche Punkt des numerischen Kreises entspricht der Zahl. Und die Zahl entspricht demselben Punkt des numerischen Kreises als Nummer

(Zeigen Sie das zweite Layout und Tabelle 2). Für einen Punkt haben wir x \u003d, y \u003d.

c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Geeignet, die Anzahl 41π entspricht dem gleichen Punkt des numerischen Kreises, der die Zahl π ein Punkt mit Koordinaten (-1; 0) ist.

d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), das heißt, die Zahl 26π entspricht dem gleichen Punkt des numerischen Kreises, der die Anzahl von Null ist, ist ein Punkt mit Koordinaten (1; 0).

Beispiel 2. Finden Sie den numerischen Umfang des Punktes mit der Ordinate y \u003d

Entscheidung. Direct y \u003d kreuzt den numerischen Kreis an zwei Punkten. Ein Punkt entspricht der Anzahl, der zweite Punkt entspricht der Zahl,

Folglich erhalten alle Punkte die volle Wende von 2πk, in denen k zeigt, wie viele volle Umdrehungen einen Punkt tun, d. H. Wir bekommen

und eine beliebige Anzahl aller Nummern des Formulars + 2πk. In solchen Fällen sagen sie oft, dass sie zwei Werteserie erhalten haben: + 2πk, + 2πk.

Beispiel 3. Finden Sie auf dem numerischen Kreis des Punkts mit der Abszisse x \u003d und schreiben Sie auf, welche Zahlen sie entsprechen.

Entscheidung. Gerade h. \u003d kreuzt den numerischen Kreis an zwei Punkten. Ein Punkt entspricht der Nummer (siehe das zweite Layout),

und daher eine beliebige Anzahl von Typ + 2πk. Und der zweite Punkt entspricht der Anzahl und daher eine beliebige Anzahl des Formulars + 2πk. Diese beiden Wertereihen können mit einem Eintrag abgedeckt werden: ± + 2πk (plus minus zwei pi pro plus zwei pi ka).

Beispiel 4. Finden Sie auf dem numerischen Kreis des Punktes mit der Ordinate w. \u003e Und aufschreiben, welche Zahlen t korrespondieren.

Die gerade Linie Y \u003d kreuzt den numerischen Kreis an zwei Punkten M und P. und die Ungleichung von O\u003e entspricht dem Öffnungsbogen von MR, dh Bögen ohne Enden (das ist ohne beide), wenn Sie um den Kreis gegen den Uhrzeigersinn fahren, beginnend von Punkt M und endet mit dem Punkt R. SO ist der Kernel des analytischen Aufzeichnungen des Bogens Mr Ungleichung< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

Beispiel. Finden Sie am numerischen Umfang des Punktes mit der Ordinate w. < и записать, каким числам t они соответствуют.

Gerade y \u003d kreuzt den numerischen Kreis an zwei Punkten M und R. und Ungleichung< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk.< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

Beispiel 6. Finden Sie auf dem numerischen Kreis des Punktes mit der Abszisse h. \u003e Und aufschreiben, welche Zahlen t korrespondieren.

Die gerade Linie x \u003d kreuzt den numerischen Kreis an zwei Punkten M und R. Ungleichheit x\u003e entspricht den Punkten des offenen Bogens der PM, wenn sich der Kreis mit dem Beginn an dem Punkt P gegen einen Pfeil im Uhrzeigersinn bewegt, der entspricht, der entspricht, und das Ende an dem Punkt M, der entspricht. Dies bedeutet, dass der Kernel des analytischen Aufzeichnungen des ARC RM Ungleichheit ist< t <

(Te mehr als minus zwei Pi pro drei, aber weniger als zwei Pi pro drei), und die analytische Aufzeichnung des Bogens hat das Erscheinungsbild von + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

Beispiel 7. Finden Sie auf dem numerischen Kreis des Punktes mit der Abszisse h. < и записать, каким числам t они соответствуют.

Gerade x \u003d kreuzt den numerischen Kreis an zwei Punkten M und R. Ungleichheit x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(TE mehr als zwei Pi pro drei, aber weniger als vier Pi pro drei), und der analytische Eintrag des Bogens hat das Formular + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Wenn Sie einen einzelnen numerischen Kreis auf der Koordinatenebene arrangieren, können Sie für seine Punkte die Koordinaten finden. Der numerische Kreis befindet sich so, dass seine Mitte mit dem Ursprungspunkt der Ebenen der Ebene koordiniert, d. H. Der Punkt O (0; 0).

In der Regel, in einem einzelnen numerischen Kreis, Punkte, die dem Beginn des Countdowns auf dem Kreis entsprechen

• viertel - 0 oder 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• reihe von Viertel - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• thaon Drittel - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Auf der Koordinatenebene kann mit dem obigen Ort darauf ein einzelner Kreis gefunden werden, die diesen Umfangspunkten entsprechen.

Die Koordinaten der Enden der Quartale finden sehr einfach. Am Punkt 0 des Umfangs der Koordinate X ist 1 und y 0 ist. Es kann so ein (0) \u003d A (1; 0) bezeichnet werden.

Das Ende des ersten Quartals befindet sich auf der positiven Halbachse. Folglich b (π / 2) \u003d b (0; 1).

Das Ende des zweiten Quartals liegt auf der negativen Halbachse der Abszisse: C (π) \u003d C (-1; 0).

Das Ende des dritten Quartals: D ((2π) / 3) \u003d D (0; -1).

Aber wie man Koordinaten der Koordinaten des Quartals finden kann? Erstellen Sie dazu ein rechteckiges Dreieck. Seine Hypotenuse ist ein Segment aus der Mitte des Kreises (oder dem Beginn der Koordinaten) bis zum Punkt der Mitte des Viertels des Kreises. Dies ist ein Kreisradius. Da der Umfang Single ist, ist die Hypotenuse 1. Als nächstes wird als nächstes senkrecht vom Umfang auf eine beliebige Achse durchgeführt. Lass es an der x-Achse sein. Es erscheint ein rechteckiges Dreieck, dessen Länge der Katheten die Koordinaten des X und Y des Umfangspunkts sind.

Ein Viertel des Kreises beträgt 90º. Und ein halbes Viertel beträgt 45º. Da Hypotenuse bis zum Punkt der Mitte eines Viertels durchgeführt wurde, beträgt der Winkel zwischen dem Hypotenuse und dem Katheter, der aus dem Ursprung der Koordinaten herauskommt, 45º. Die Summe der Winkel eines jeden Dreiecks beträgt jedoch 180º. Folglich bleibt 45º im Winkel zwischen Hypotenuse und anderen Katheten. Es stellt sich ein ädigungsfähiges rechteckiges Dreieck heraus.

Aus dem Theorem der Pythagoren erhalten wir die Gleichung x 2 + y 2 \u003d 1 2. Da x \u003d y, a 1 2 \u003d 1, vereinfacht die Gleichung auf x 2 + x 2 \u003d 1. Durch die Entscheidung erhalten wir x \u003d √ ½ \u003d 1 / √2 \u003d √ 2/2.

Somit sind die Koordinaten des Punkts M1 (π / 4) \u003d M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

In den Koordinaten der Mitte der Mitte der anderen Quartale ändert sich nur Schilder, und die Module der Werte bleiben gleich, da das rechteckige Dreieck nur umdreht. Wir bekommen:
M 2 ((3π) / 4) \u003d M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 (((5 & π) / 4) \u003d M 3 (-√2 / 2; -√ 2/2)
M 4 (((7π) / 4) \u003d M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Bei der Bestimmung der Koordinaten der dritten Teile des Viertels des Kreises ist auch das rechteckige Dreieck gebaut. Wenn Sie den Punkt π / 6 nehmen und senkrecht zur X-Achse ausführen, beträgt der Winkel zwischen dem auf der X-Achse liegenden Hypotenurus und dem Katheter 30 °. Es ist bekannt, dass die Katat, die gegen einen Winkel von 30º liegt, der Hälfte der Hülle der Hypotenuse entspricht. Wir haben also die Y-Koordinate gefunden, es ist gleich ½.

Wenn Sie die Länge der Hypotenus und eines der Katheten kennen, finden wir auf dem Pythagora-Satz einen anderen Catat:
x 2 + (½) 2 \u003d 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x \u003d √3 / 2

Somit t 1 (π / 6) \u003d t 1 (√3 / 2; ½).

Denn der Punkt des zweiten Drittels des ersten Quartals (π / 3) ist senkrecht zur Achse besser, um die Y-Achse auszuführen. Dann wird der Winkel zu Beginn der Koordinaten auch 30º betragen. Hier ist die X-Koordinate gleich ½ und y jeweils √3 / 2: t 2 (π / 3) \u003d T 2 (½; ½; √3 / 2).

Für andere Punkte des dritten Quartals ändert sich die Anzeichen und Reihenfolge der Koordinatenwerte. Alle Punkte, die näher an der X-Achse sind, haben den Wert der Koordinate x, gleich √3 / 2. Diese Punkte, die näher an der Y-Achse näher sind, haben einen Wert von y, gleich √3 / 2.
T 3 ((2π) / 3) \u003d T 3 (-1; √3 / 2)
T 4 ((5 & π) / 6) \u003d T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) \u003d T 5 (-√3 / 2; -1)
T 6 ((4π) / 3) \u003d t 6 (-1; -√3 / 2)
T 7 (((5 & π) / 3) \u003d T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) \u003d T 8 (√3 / 2; -1)

Datum: Lektion.1
thema: Numerischer Kreis auf der Koordinate direkt

Ziele: Führen Sie das Konzept des Modells eines numerischen Kreises im kartesischen und kürzerlichen Koordinatensystem ein; Um eine Fähigkeit zu bilden, um die kartesischen Koordinaten der numerischen Umfangspunkte zu finden und das Gegenteil auszuführen: die kartesische Punktkoordinate zu kennen, bestimmen Sie den numerischen Wert auf dem numerischen Kreis.

Während der Klassen

I. Organisationsmoment.

II. Erläuterung des neuen Materials.

1. Platzieren eines numerischen Kreises in das kartesische Koordinatensystem, detaillierte Eigenschaften der Punkte des numerischen Umfangs in verschiedenen Koordinatenquartiers.

Für einen Punkt M. Numerischer Kreis verwenden Aufnahme M.(t.) Wenn wir über die Curvilinear-Punktkoordinate sprechen M.oder aufnehmen M. (h.; W.), Wenn wir über die kartesischen Koordinaten des Punktes sprechen.

2. Einführung der kartesischen Koordinaten der "guten" Punkte des numerischen Kreises. Wir sprechen davon, von der Aufnahme zu bewegen M.(t.) K. M. (h.; W.).

3. Sagen Sie die Anzeichen der Koordinaten der "schlechten" Punkte des numerischen Kreises. Wenn zum Beispiel M.(2) = M. (h.; W.), T. h. 0; w. 0. (Schulkinder lernen, die Anzeichen von trigonometrischen Funktionen auf den Vierteln des numerischen Kreises zu ermitteln.)

1. Nr. 5,1 (a; b), Nr. 5,2 (a; b), Nr. 5,3 (a; b).

Diese Gruppe von Aufgaben richtet sich auf die Bildung der Fähigkeit, die kartesischen Koordinaten der "guten" Punkte auf dem numerischen Kreis zu finden.

Entscheidung:

№ 5.1 (aber).

2. Nr. 5,4 (a; b), Nr. 5,5 (a; b).

Diese Task-Gruppe richtet sich an die Bildung der Fähigkeiten, um die kürzerlichen Koordinaten des Punktes nach seinen decartianischen Koordinaten zu finden.

Entscheidung:

№ 5.5 (b).

3. Nr. 5.10 (a; b).

Diese Übung richtet sich an die Bildung der Fähigkeit, die kartesischen Koordinaten "schlechte" Punkte zu finden.

V. Ergebnisse der Lektion.

Fragen der Studierenden:

- Wie lautet das Modell - der numerische Kreis auf der Koordinatenebene?

- Wie, wodurch die krümmungslosen Koordinaten des Punktes auf dem numerischen Umfang, ihre kartesischen Koordinaten und im Gegenteil finden?

Hausaufgaben: Nr. 5.1 (B; D) - 5,5 (B; D), Nr. 5,10 (B; D).

Datum: Lektion.2
Thema: Lösen von Aufgaben auf dem Modell "Numerischer Kreis auf der Koordinatenebene"

Ziele: Setzen Sie die Bildung der Fähigkeit fort, sich von den krümmungslosen Koordinaten des Punktes auf dem numerischen Kreis an die kartesischen Koordinaten zu bewegen; Um die Fähigkeit zu bilden, einen Punkt am numerischen Umfang des Punkts zu finden, dessen Koordinaten die angegebene Gleichung oder Ungleichung erfüllen.

Während der Klassen

I. Organisationsmoment.

II. Mündliche Arbeit.

1. Nennen Sie die kürzerlichen und dekartenförmigen Koordinaten der Punkte auf dem numerischen Kreis.

2. Passen Sie den Bogen mit dem Kreis und seinem analytischen Datensatz an.

III. Erläuterung des neuen Materials.

2. Einleitung zum numerischen Umfang von Punkten, deren Koordinaten die angegebene Gleichung erfüllen.

Wir betrachten die Beispiele 2 und 3 c mit. 41-42 Lehrbücher.

Die Bedeutung dieses "Spiels" ist offensichtlich: Die Studierenden bereiten sich darauf vor, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen der Art zu lösen, um die Essenz des Falls zu verstehen, zunächst den Schulkindern, um diese Gleichungen mit einem numerischen Kreis zu lösen, ohne zu beenden Formeln.

Wenn Sie ein Beispiel in Betracht ziehen, um einen Punkt mit einer Abszisse zu finden, ziehen wir die Aufmerksamkeit der Schüler auf die Möglichkeit, die DD-Serie von Antworten auf eine Formel zu vereinigen:

3. Einleitung zum numerischen Umfang von Punkten, deren Koordinaten die vorbestimmte Ungleichung erfüllen.

Wir betrachten die Beispiele 4-7 mit. 43-44 Lehrbücher. Wenn Sie solche Aufgaben lösen, bereiten wir Studierende zur Lösung von trigonometrischen Ungleichheiten des Formulars vor

Nach Berücksichtigung von Beispielen können die Schüler unabhängig formulieren algorithmus Lösungen von Ungleichheiten des angegebenen Typs:

1) Aus dem analytischen Modell wenden wir uns an das geometrische Modell - Bogen HERR numerischer Kreis;

2) Erstellen Sie den Kernel des analytischen Datensatzes HERR; Für ARC GET.

3) Machen Sie einen allgemeinen Eintrag:

IV. Bildung von Fähigkeiten und Fähigkeiten.

1. Gruppe. Finden eines Punktes auf einem numerischen Kreis mit einer Koordinate, die die angegebene Gleichung erfüllt.

Nr. 5,6 (a; b) - Nr. 5,9 (a; b).

Bei der Arbeitsweise an diesen Übungen arbeiten wir Schritt in Schritt der Ausführung zusammen: Aufzeichnen des Kerns des Punkts, analytischer Datensatz.

2. Gruppe. Finden von Punkten auf einem numerischen Kreis mit einer Koordinate, die die angegebene Ungleichheit erfüllt.

Nr. 5.11 (a; b) - 5.14 (a; b).

Die wichtigste Fähigkeit, dass Schulkinder beim Durchführen von Übungsdaten erwerben müssen, ist die Zusammenstellung eines Arc-Analytical Record Core.

V. Unabhängige Arbeit.

Möglichkeit 1

1. Geben Sie einen Punkt im numerischen Kreis an, der einer bestimmten Anzahl entspricht, und finden Sie kartesische Koordinaten:

2. Finden Sie einen Punkt mit dieser Abszisse auf dem numerischen Kreis und schreiben Sie auf, welche Zahlen t. Sie entsprechen.

3. Bezeichnen Sie einen punktierten Punkt mit einem Rückstand, der Ungleichheit erfüllt und mit doppelter Ungleichheit aufschreibt, welche Zahlen t. Sie entsprechen.

Möglichkeit 2

1. Geben Sie den Punkt in dem numerischen Kreis an, der der Zahl entspricht, und findet seine kartesischen Koordinaten:

2. Finden Sie einen Punkt mit einer bestimmten Reihenfolge in einem numerischen Kreis. w. \u003d 0.5 und notieren Sie, welche Zahlen t. Sie entsprechen.

3. Geben Sie den Punkt des Punktes mit einer Abszisse an, die die Ungleichheit erfüllt und mit Hilfe der doppelten Ungleichheit aufschreibt, welche Zahlen t. Sie entsprechen.

Vi. Die Ergebnisse der Lektion.

Fragen der Studierenden:

- Wie Sie einen Punkt im Kreis finden, dessen Abszisse die angegebene Gleichung erfüllt?

- Wie Sie einen Punkt im Umfang finden, dessen Ordinate die angegebene Gleichung erfüllt?

- Nennen Sie den Algorithmus mit einem numerischen Kreis, um Lösungen von Lösungen zu nennen.

Hausaufgaben: Nr. 5,6 (b; d) - Nr. 5,9 (in; d),

Nr. 5.11 (B; D) - Nr. 5,14 (B; D).

Zahlenkreis - Dies ist ein einzelner Kreis, deren Punkte bestimmten gültigen Zahlen entsprechen.

Ein einzelner Kreis wird als Radiuskreis 1 bezeichnet.

Allgemeine Ansicht eines numerischen Kreises.

1) Sein Radius wird pro Messeinheit genommen.

2) Horizontale und vertikale Durchmesser Teilen Sie einen numerischen Kreis um vier Viertel. Sie werden dementsprechend als erstes, zweites, drittes und viertes Viertel bezeichnet.

3) Horizontaler Durchmesser bezeichnen AC, und ein - das ist extrem recht Punkt.
Der vertikale Durchmesser ist mit BD gekennzeichnet, und b ist ein extremer oberster Punkt.
Beziehungsweise:

das erste Quartal ist ein AB-ARC

zweites Quartal - Arc BC

drittes Quartal - CD ARC

viertes Quartal - da arc

4) Der Anfangspunkt des numerischen Kreises A.

Der Countdown auf dem numerischen Kreis kann sowohl im Uhrzeigersinn als auch gegen den Uhrzeigersinn durchgeführt werden.

Zählen von Punkt A vs. Der Uhrzeigersinn wird genannt positive Richtung.

Zählen von Punkt A durch Der Uhrzeigersinn wird genannt negative Richtung.

Numerischer Kreis auf der Koordinatenebene.

Die Mitte des numerischen Kreisradius entspricht dem Ursprung der Koordinaten (Nummer 0).

Horizontaler Durchmesser entspricht der Achse x.Vertikale Achse y..

Startpunkt und numerischer Kreisti ist auf der Achsex. und hat Koordinaten (1; 0).

Namen und Ort der Hauptpunkte des numerischen Umfangs:

So erinnern Sie sich an die Namen des numerischen Kreises.

Es gibt mehrere einfache Muster, die Ihnen dabei helfen, sich leicht an die Hauptnamen des numerischen Kreises zu erinnern.

Vor dem Start, erinnern Sie sich an: Der Countdown wird in positiver Richtung durchgeführt, dh von Punkt A (2π) gegen den Uhrzeigersinn.

1) Beginnen wir mit extremen Punkten an den Koordinatenachsen.

Der Startpunkt ist 2π (der äußerste rechte Punkt auf der Achse h.gleich 1).

Wie Sie wissen, ist 2π die Länge des Kreises. Also ist die Hälfte des Kreises 1π oder π. Achse h. teilt den Kreis nur halbiert. Dementsprechend der extreme linke Punkt auf der Achse h.gleich -1, genannt π.

Extremer oberster Punkt auf der Achse w.Unterteilt gleich 1, teilt das obere halbfreundliche Hälfte teil. Wenn also die Semi-Lebensdauer π ist, ist die Hälfte des Halbkreises π / 2.

Gleichzeitig ist π / 2 ein Viertel des Kreises. Drücken Sie drei solcher Viertel aus dem ersten nach dem dritten - und wir kommen zum äußersten unteren Punkt auf der Achse w.gleich -1 Wenn es jedoch drei Viertel beinhaltet - heißt es, dass er 3π / 2 Name ist.

2) Wir wenden sich jetzt an den Rest der Punkte. Bitte beachten Sie: Alle entgegengesetzten Punkte haben den gleichen Nenner - und dies sind entgegengesetzte Punkte und relativ zur Achse w.und relativ zur Mitte der Achsen und relativ zur Achse h.. Es wird uns helfen, ihre Werte von Punkten ohne Krämpfe zu kennen.

Es ist notwendig, sich an den Wert der Punkte des ersten Quartals zu erinnern: π / 6, π / 4 und π / 3. Und dann werden wir einige Regelmäßigkeiten sehen:

- In Bezug auf die Achse w. An Punkten des zweiten Quartals sind die entgegengesetzten Punkte des ersten Quartals die Zahlen in Zwergern weniger als die Werte der Nenner. Nehmen Sie zum Beispiel den Punkt π / 6. Der entgegengesetzte Punkt relativ zur Achse w. Auch im Nenner hat 6 und in einem Zähler 5 (1 weniger). Das heißt, der Name dieses Punktes: 5π / 6. Der gegenüber π / 4 gegenüberliegende Punkt hat auch in dem Nenner 4 und in einem Zähler 3 (1 weniger als 4) - das heißt, es ist Punkt 3π / 4.
Der gegenüber π / 3 gegenüberliegende Punkt ist auch im Nenner 3 und im Zähler 1 weniger: 2π / 3.

- In Bezug auf das Zentrum der Koordinatenachsen Der andere im Gegenteil: Zahlen in der Anzahl der entgegengesetzten Punkte (im dritten Quartal) 1 weitere Werte von Nennern. Nehmen Sie erneut Punkt π / 6. Der entgegengesetzte Punkt der Mitte befindet sich ebenfalls im Nenner 6 und in der Zählernummer 1 mehr - das heißt, es ist 7π / 6.
Der gegenüber dem Punkt π / 4 gegenüberliegende Punkt hat auch im Nenner 4 und in der Zählernummer 1 größer: 5π / 4.
Der dem Punkt π / 3 gegenüberliegende Punkt ist auch im Nenner 3 und in der Zählernummer 1 größer: 4π / 3.

- In Bezug auf die Achse h. (viertes Viertel) Der Fall ist umfangreicher. Hier ist es notwendig, eine Zahl auf den Wert des Nenner hinzuzufügen, der 1 weniger ist - diesen Betrag und ist gleich dem numerischen Abschnitt des entgegengesetzten Punkts. Beginnen wir wieder mit π / 6. Wir addieren den Wert des Nenners gleich 6, die Zahl, die 1 weniger als diese Zahl ist - das ist, 5. Wir erhalten: 6 + 5 \u003d 11. Das Gegenteil davon relativ zur Achse h. Der Punkt wird in dem Nenner 6 und im Zähler 11 - das heißt, es ist 11π / 6.

Punkt π / 4. Wir addieren den Wert des Nenner-Nummer 1 weniger: 4 + 3 \u003d 7. Das Gegenteil davon relativ zur Achse h. Der Punkt weist in dem Nenner 4 und in dem Zähler 7 - das heißt, 7π / 4.
Punkt π / 3. Der Nenner ist 3. Addieren Sie 3 pro Einheit eine kleinere Zahl - das heißt, 2. Wir erhalten 5

3) Eine weitere Regelmäßigkeit für die Punkte des Quartetts grau. Es ist klar, dass ihr Nenner 4 ist. 4. Achten Sie auf die Ziffern. Der Zähler der Mitte des ersten Quartals ist 1π (aber 1 wird nicht zum Schreiben genommen). Der mittlere Numerator des zweiten Quartals ist 3π. Der Zähler der Mitte des dritten Quartals beträgt 5π. Der Zähler der Mitte des vierten Quartals beträgt 7π. Es stellt sich heraus, dass in den Ziffern der Quartale Serinen - vier der ersten ungeraden Zahlen in der Reihenfolge ihrer Erhöhung:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Es ist auch sehr einfach. Da die Mitte aller Quartale 4 in Nenner 4 aufweist, kennen wir bereits ihre vollständigen Namen: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.

Merkmale des numerischen Kreises. Vergleich mit numerischer Gerade.

Wie Sie wissen, entspricht jeder Punkt auf einer numerischen Direkte der einzigen Nummer. Wenn zum Beispiel der Punkt A auf der Leitung 3 ist, kann es nicht mehr gleich einer anderen Zahl sein.

Auf dem numerischen Kreis ist alles anders, weil es ein Kreis ist. Um beispielsweise von dem Punkt zu kommen und zum Punkt M-Punkt zu kommen, ist es möglich, dies wie auf einer geraden Linie (nur durch Übergeben des Bogens) zu tun, und Sie können auch in einen ganzen Kreis kommen, und Dann kommen Sie zum Punkt M. Schlussfolgerung:

Lassen Sie den Punkt M gleich einer Nummer T sind T. Wie wir wissen, ist die Umfangslänge 2π. Der Punkt des Kreises t kann also zwei brennen: t oder t + 2π. Dies sind gleichwertige Werte.
Das heißt, t \u003d t + 2π. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie im ersten Fall sofort auf den Punkt M kamen, ohne einen Kreis zu machen, und im zweiten Fall haben Sie einen Kreis gemacht, aber am Ende war es am selben Punkt M. Solche Kreise können durchgeführt werden Zwei und drei und zweihundert. Wenn Sie die Anzahl der Kreise des Briefes festlegen n.Ich bekomme einen neuen Ausdruck:
T \u003d t + 2π n..

Daher die Formel: