Was ist Hypotenuse und wie man es findet. Wie finden Sie die Seiten des rechteckigen Dreiecks? Grundlagen der Geometrie. Als nächstes verwandeln wir die Formel und erhalten: A \u003d SIN * C

Im Leben müssen wir oft mathematische Aufgaben stellen: in der Schule an der Universität und dann Ihrem Kind mit Hausaufgaben. Menschen bestimmter Berufe werden täglich der Mathematik sehen. Daher ist es nützlich, mathematische Regeln zu merken oder sich an die Erinnerung zu erinnern. In diesem Artikel werden wir eines von ihnen analysieren: eine rechteckige Dreieckkategorie finden.

Was ist ein rechteckiges Dreieck?

Erinnern Sie sich an das, was ein rechteckiges Dreieck ist. Rechteckiges Dreieck ist geometrische Figur Von den drei Segmenten, die Anschlussstellen, die nicht auf einer geraden Linie liegen, und einer der Ecken dieser Figur ist 90 Grad. Die Seiten, die einen geraden Winkel bilden, werden Kategorien genannt, und die Seite, die dem direkten Winkel entgegengesetzt liegt - Hypotenuse.

Wir finden eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Länge der Kategorie zu lernen. Ich möchte sie näher in Betracht ziehen.

Pythagores theorem, um eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks zu finden

Wenn wir für Hypotenuse und Catat bekannt sind, können wir die Länge einer unbekannten Kategorie auf dem Pythagora-Satz finden. Es klingt so: "Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten." Formel: C² \u003d A² + B², wobei C Hypotenuse, A und B - Kartets ist. Wir verwandeln die Formel und erhalten: A² \u003d C²-B².

Beispiel. Die Hypotenuse ist 5 cm und rollen - 3 cm. Wir transformieren die Formel: C² \u003d A² + B² → A² \u003d C²-B². Als nächstes entscheiden wir: A² \u003d 5²-3²; A² \u003d 25-9; A² \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (cm).

Trigonometrische Verhältnisse, um eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks zu finden

Sie können auch eine unbekannte Catat finden, wenn eine andere Seite und jede scharfe Ecke eines rechteckigen Dreiecks bekannt ist. Es gibt vier Optionen, um eine Kategorie mit zu finden trigonometrische Funktionen: In Sinus, Cosinus, Tangent, Kotangent. Um die Aufgaben zu lösen, helfen wir Ihnen, etwas niedriger zu sein. Betrachten Sie diese Optionen.

Finden Sie eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks mit Sinus

Sinuswinkel (SIN) ist das Verhältnis der entgegengesetzten Kategorie für Hypotenuse. Formel: SIN \u003d A / C, wo A-Catat, liegend, der gegen diesen Winkel liegt, und C ist Hypotenuse. Als nächstes verwandeln wir die Formel und erhalten: A \u003d Sin * c.

Beispiel. Die Hypotenuse ist 10 cm, Winkel A beträgt 30 Grad. Berechnen Sie gemäß der Tabelle den Sinuswinkel A, es ist 1/2. Dann lösen wir nach der transformierten Formel: a \u003d sin∠a * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (cm).

Finden Sie eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks mit einem Cosinus

Cosinus-Winkel (COS) ist das Verhältnis benachbarter Katech für Hypotenuse. Formel: COS \u003d B / C, wobei B-Catat neben dieser Ecke, und c Hypotenuse ist. Wir transformieren die Formel und erhalten: B \u003d cos * c.

Beispiel. Der Winkel A beträgt 60 Grad, die Hypotenuse beträgt 10 cm. Berechnen Sie den Cosinus des Winkels A, er ist 1/2. Als nächstes entscheiden wir: b \u003d cos∠a * c; B \u003d 1/2 * 10, B \u003d 5 (cm).

Finden Sie eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks mit Tangential

Tangenter Winkel (TG) ist das Verhältnis eines gegenüberliegenden Catech bis zum benachbarten. Formel: TG \u003d A / B, wobei A die Cattate-Nehmen an der Ecke ist, und B ist der berechtigte. Wir transformieren die Formel und erhalten: a \u003d tg * b.

Beispiel. Der Winkel A beträgt 45 Grad, der Hypotenuse ist 10 cm. Berechnen Sie den Tangentenwinkel A, er nimmt ab: a \u003d tg∠a * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (cm).

Finden Sie eine Rolle eines rechteckigen Dreiecks mit Cotangent

Der Cotangent-Winkel (CTG) ist das Verhältnis der angrenzenden Kategorie zum Gegenteil. Formel: CTG \u003d B / A, wobei B ein Strickmesser ist, aber das Gegenteil ist. Mit anderen Worten, Cotangenes ist "umgekehrt tangential". Wir bekommen: B \u003d CTG * A.

Beispiel. Der Winkel A beträgt 30 Grad, die gegenüberliegende Katat ist 5 cm. Gemäß der Tangenten-Tabelle des Winkels A ist √3. Berechnen: B \u003d CTG∠A * A; B \u003d √3 * 5; B \u003d 5√3 (cm).

Jetzt wissen Sie, wie Sie ein CATT in einem rechteckigen Dreieck finden können. Wie Sie sehen, ist es nicht so schwierig, die Hauptsache ist, sich an die Formeln zu erinnern.

Das rechteckige Dreieck enthält eine große Auswahl an Abhängigkeiten. Dies macht es zu einem attraktiven Objekt für alle möglichen geometrischen Aufgaben. Eine der häufigsten Aufgaben ist die Feststellung von Hypotenusen.

Rechtwinkliges Dreieck

Das rechteckige Dreieck ist ein Dreieck, das einen geraden Winkel enthält, d. H. Winkel von 90 Grad. Nur in einem rechteckigen Dreieck kann durch die Werte der Parteien trigonometrische Funktionen ausgedrückt werden. In einem willkürlichen Dreieck muss zusätzliche Konstruktionen erstellen.
In einem rechteckigen Dreieck sind zwei der drei Höhen mit den von Catech genannten Parteien zusammenfallen. Der Dritte wird als Hypotenuse bezeichnet. Die an den Hypotenuse ausgeführte Höhe ist das einzige Dreieck in dieser Form, das zusätzliche Konstruktionen erfordern.

Feige. 1. Dreiecke.

In einem rechteckigen Dreieck kann es keine stumpfen Ecken geben. Genauso wie das Vorhandensein eines zweiten geraden Winkels. In diesem Fall wird die Identität der Menge der Dreieckwinkel verletzt, was immer 180 Grad entspricht.

Hypotenuse

Wir wenden sich direkt an das Dreieck Hypotenuze. Hypotenuse ist die größte Seite des Dreiecks. Hypotenuse ist immer mehr als jede der Katheten, aber es ist immer weniger als die Menge an Katheten. Dies ist eine Folge eines Dreieck-Ungleichheits-Satzes.

Der Satz sagt: Im Dreieck kann keiner der Parteien nicht mehr die Menge der anderen beiden sein. Es gibt auch das zweite Wortlaut oder den zweiten Teil des Satzes: Im Dreieck, im Gegenteil, gibt es einen größeren Winkel und umgekehrt.

Feige. 2. Rechteckiges Dreieck.

In einem rechteckigen Dreieck ist ein großer Winkel ein geringer Winkel, da der zweite Direktwinkel oder ein dummer Winkel nicht für die bereits benannten Gründe sein kann. Das direkte Winkel liegt also immer die größte Seite.

Es scheint unverständlich, warum das rechteckige Dreieck einen separaten Namen jeder der Parteien verdient hat. In der Tat haben die Parteien auch in einem äquilibrierten Dreieck ihre Namen: die Seiten und die Grundlage. Es ist jedoch für die Katheten und Hypotenuisse des Lehrers, die besonders gerne zwei. Warum? Einerseits ist dies ein Tribut an die alten Griechen, Erfinder der Mathematik. Sie, die rechteckige Dreiecke studierten, und hinterließen zusammen mit diesen Wissen eine ganze Reihe von Informationen, auf denen er gebaut ist moderne Wissenschaft. Andererseits vereinfacht die Existenz dieser Titel den Wortlaut der Thenorems und der trigonometrischen Identitäten erheblich.

Satz des Pythagoras

Wenn der Lehrer nach der Formel des Hypothenus eines rechteckigen Dreiecks fragt, bedeutet dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% den Satz von Pythagora. Der Satz sagt: In einem rechteckigen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

Feige. 3. Die Hypotenuse des rechteckigen Dreiecks.

Achten Sie darauf, wie der Satz klar formuliert ist. Es ist unmöglich, eine solche Einfachheit zu erreichen, ohne die Konzepte von Hypotenuse und Kategorie zu verwenden.

Theorem hat folgende Formel:

$ C ^ 2 \u003d B ^ 2 + A ^ 2 $ - wobei C Hypotenuse, A und B - die MATTEN des rechteckigen Dreiecks ist.

Was haben wir kennen?

Wir haben darüber gesprochen, was ein rechteckiges Dreieck ist. Finden Sie heraus, warum sie die Namen von Katheten und Hypotengen in der Regel erfunden haben. Einige Eigenschaften der Hypotenuse und führten die Formel der Länge des Dreiecks Hypotenuse durch den Pythagora-Satz.

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Bevor Sie ein Dreieck-Hypothen finden, müssen Sie herausfinden, welche Funktionen diese Zahl hat. Betrachten Sie die wichtigsten:

In einem rechteckigen Dreieck sind beide scharfen Ecken in der Menge 90º betragen.
Wurzel, das gegen einen Winkel von 30º liegt, ist ½ von der Größe der Hypotenuse.
Wenn die Rolle ½ vom Hypotenuswert ist, hat der zweite Winkel den gleichen Wert - 30º.

Sie finden die Hypotenuse in einem rechteckigen Dreieck auf verschiedene Arten. Die einfachste Lösung ist die Berechnung durch die Katheten. Angenommen, Sie kennen die Werte der Katheten der Parteien A und B. Dann sagt uns der Pipagoror-Satz, dass, wenn Sie jede Größe der Kategorie in das Quadrat einsetzen und die erhaltenen Daten summieren, wir erfahren, was in Hypotenuse gleich ist . Daher müssen wir einfach den Wert einer Quadratwurzel extrahieren:

Wenn zum Beispiel A \u003d 3 cm rollt, und kart \u003d 4 cm, hat die Berechnung das folgende Formular:

Wie kann man Hypotenuse durch einen Winkel finden?

Eine andere Art und Weise, die dazu beitragen wird, was in einem rechteckigen Dreieck gleich Hypotenuse ist, ist die Berechnung durch den angegebenen Winkel. Dazu müssen wir den Betrag durch die Sinus-Formel zurückziehen. Angenommen, wir kennen den Wert von Catech (A) und den Wert des entgegengesetzten Winkels (α). Dann ist die Lösung in einer Formel: c \u003d a / sin (α).

Wenn beispielsweise die Länge der Kategorie 40 cm beträgt und der Winkel 45 ° beträgt, kann die Länge der Hypotenuse wie folgt angezeigt werden:

Es ist auch möglich, den gewünschten Wert durch den Cosinus des angegebenen Winkels zu bestimmen. Angenommen, wir kennen den Wert einer Kategorie (B) und einen akuten benachbarten Winkel (α). Dann muss eine Formel benötigt werden, um das Problem zu lösen: C \u003d B / COS (α).

Wenn beispielsweise die Länge der Kategorie einen Wert von 50 cm hat und ein Winkel 45 ° beträgt, kann die Hypotenuse wie folgt berechnet werden:

So betrachteten wir die wichtigsten Möglichkeiten, die Hypothen im Dreieck zu lernen. Während der Lösung der Aufgabe ist es wichtig, sich auf die verfügbaren Daten zu konzentrieren, dann reicht der unbekannte Wert einfach aus. Sie müssen ein paar Formeln kennen, und der Prozess der Lösung von Problemen ist einfach und angenehm.

Wenn Sie eine der Katheten in einem rechteckigen Dreieck kennen, können Sie die zweite Catat und Hypotenuse mit trigonometrischen Beziehungen finden - Sinus und Tangent des berühmten Winkels. Da das Verhältnis der gegenüberliegenden Ecke der Kategorie an den Hypotenuse dem Sinus dieses Winkels entspricht, um die Hypotenuse zu finden, müssen Sie die Ecke auf die Sinus aufteilen. A / C \u003d SIN\u2061α C \u003d A / SIN\u2061α

Die zweite Katat kann von der Tangente des berühmten Winkels als Haltung der berühmten Kategorie zu Tangente gefunden werden. A / b \u003d tan\u2061α b \u003d a / tan\u2061α

Um einen unbekannten Winkel in einem rechteckigen Dreieck zu berechnen, ist es erforderlich, den Wert des Winkels α von 90 Grad zu berechnen. β \u003d 90 ° -α

Der Umkreis und der Bereich des rechteckigen Dreiecks durch die Catat und die gegenüberliegende Ecke können ausgedrückt werden, wodurch die zuvor erhaltenen Ausdrücke für die zweite Kategorie und Hypotenus in der Formel ersetzt werden. P \u003d a + b + c \u003d a + a / tan\u2061α + a / sin\u2061α \u003d a tan\u2061α sin\u2061α + a sin\u2061α + a tan\u2061α s \u003d ab / 2 \u003d a ^ 2 / ( 2 tan\u2061α)

Berechnen der Höhe ist auch durch ein trigonometrisches Verhältnis möglich, jedoch bereits im inneren rechteckigen Dreieck mit der Seite A, die es bildet. Dazu brauchen Sie eine Seite A, als Hypothenus eines solchen Dreiecks, das den Winkel von β oder Cosinus α multipliziert, wie nach trigonometrischen Identitäten gleichwertig sind. (Abb. 79.2) H \u003d A cos\u2061α

Die mittleren Hypotenusionen entsprechen der Hälfte des Hypotenus oder einer bekannten Kathete, die von zwei Sinus α gemeinsam genutzt wird. Um Mediane von Katheten zu finden, geben wir Formeln dem angemessenen Erscheinungsbild für die bekannte Seiten- und Ecken. (Fig. 79.3) M_C \u003d C / 2 \u003d A / (2 sin\u2061α) m_b \u003d √ (2a ^ 2 + 2c ^ 2 - B ^ 2) / 2 \u003d √ (2a ^ 2 + 2a ^ 2 + 2b ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (4a ^ 2 + b ^ 2) / 2 \u003d √ (4a ^ 2 + a ^ 2 / tan ^ 2\u2061α) / 2 \u003d (A√ (4 Tan ^ 2\u2061 α + 1)) / (2 tan\u2061α) m_a \u003d √ (2c ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 \u003d √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 \u003d √ (4b ^ 2 + a ^ 2) / 2 \u003d √ (4b ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (3 a ^ 2 / tan ^ 2\u2061α + a ^ 2 / sünde ^ 2\u2061α) / 2 \u003d √ ((3A ^ 2 sin ^ 2\u2061α + a ^ 2 tan ^ 2\u2061α) / (tan ^ 2\u2061α sin ^ 2\u2061α)) / 2 \u003d (a√ 3 sin ^ 2\u2061α + tan ^ 2\u2061α)) / (2 tan\u2061α sin\u2061α)

Da der Feiertor des direkten Winkels im Dreieck die Arbeit von zwei Seiten und der Wurzel von zwei ist, in die Summe dieser Seiten unterteilt, dann ersetzen wir dann einen der Katheten auf das Verhältnis einer bekannten Kategorie in Tangente, wir erhalten folgende Ausdruck. In ähnlicher Weise ist es möglich, das Verhältnis in die zweite und dritte Formel zu ersetzen, ist es möglich, den Feiertor der Winkel α und β zu berechnen. (Fig. 79.4) l_s \u003d (aa / tan\u2061α √2) / (a \u200b\u200b+ a / tan\u2061α) \u003d (a ^ 2 √2) / (a \u200b\u200btan\u2061α + a) \u003d (a √2) / (tan\u2061α + 1) l_a \u003d √ (BC (A + B + C) (B + CA)) / (B + C) \u003d √ (BC (B + C) ^ 2-A ^ 2) / (B + C) \u003d √ (BC (B ^ 2 + 2bc + C ^ 2-A ^ 2)) / (B + C) \u003d √ (BC (B ^ 2 + 2bc + B ^ 2)) / (B + C) \u003d √ (BC (2b ^ 2 + 2bc)) / (B + C) \u003d (B + C) \u003d (B + (2c (B + C))) / (B + C) \u003d (a / tan\u2061α √ (2c (A / tan\u2061α + c))) / (a \u200b\u200b/ tan\u2061α + c) \u003d (a √ (2c (a / tan\u2061α + c))) / (a \u200b\u200b+ c tan\u2061α) l_b \u003d √ (AC (A + B + C) (A + CB)) / (A + C) \u003d (A √ (2c (2c (a + c))) / (a \u200b\u200b+ c) \u003d (a√ (2c (a + a / sin\u2061α)) / (a \u200b\u200b+ a / sin\u2061α) \u003d (a siní\u2061α √ (2c (a + a / sin\u2061α)) / (a \u200b\u200bsin\u2061α + a)

Die mittlere Linie strömt parallel zu einer der Seiten des Dreiecks, während ein weiteres ähnliches rechteckiges Dreieck mit demselben in der Größe der Winkel eingesetzt wird, in dem alle Parteien doppelt so wenig sind als der der ersten. Basierend auf diesem ist die durchschnittlichen Linien in den folgenden Formeln zu finden, wobei nur Catat und den Winkel entgegengesetzt werden. (Fig. 79.7) m_a \u003d a / 2 m_b \u003d b / 2 \u003d a / (2 tan\u2061α) m_c \u003d c / 2 \u003d a / (2 sin\u2061α)

Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist gleich der Differenz von Katheten und Hypotenusen, die in zwei geteilt werden, und um den Radius des beschriebenen Umfangs zu finden, müssen Sie in zwei Hypotene teilen. Wir ersetzen die zweite Catat und Hypotenuse, um das Verhältnis des Verhältnisses A zu Sinus bzw. Tangent. (Abb. 79,5, 79,6) R \u003d (a + bc) / 2 \u003d (a + a / tan\u2061α -a / sin\u2061α) / 2 \u003d (a tan\u2061α siníα + a siníα-a tan\u2061α) / (2 tan\u2061α sin\u2061α) r \u003d c / 2 \u003d a / 2sin\u2061α

Anweisung

Ecken, entgegengesetzte Kategorien A und B, durch A und B. Hypotenuse, ist definitionsgemäß die Seite des rechteckigen Dreiecks, das das Gegenteil ist gerade Ecke (Gleichzeitig mit anderen Seiten des Dreiecks von Hypotenuse, scharfen Ecken bildet sich). Die Länge der Hypotenus ist mit mit bezeichnet.

Du wirst brauchen:
Taschenrechner.

Verwenden Sie für die Kategorie mit dem folgenden Ausdruck: a \u003d sqrt (c ^ 2-b ^ 2), wenn Sie für die Hypotene und anderen Kategorien bekannt sind. Diese Expression wird aus dem Pythagora-Satz erhalten, der besagt, dass das Quadrat des Dreiecks Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist. Die SQRT-Anweisung zeigt die Quadratwurzel-Extraktion an. Das Zeichen "^ 2" bedeutet den Bau des zweiten Grades.

Verwenden Sie die Formel A \u003d C * SINA, wenn Sie für Hypotenuse (C) und Winkel bekannt sind, die der gewünschten Kathete entgegengesetzt ist (dieser Winkel, den wir als A) bezeichnet haben.
Ausdruck A \u003d C * COSB-Verwendung, um die Kategorie zu finden, wenn Sie für Hypotenuse (C) bekannt sind, und einen Winkel, der an die gewünschte CATHET (wir als B) benannt sind.
Berechnen Sie den Katat gemäß der Formel A \u003d B * TGA in dem Fall, wenn ein Karting B und Winkel, gegenüber dem gewünschten Katand (dieses Winkel, den wir vereinbart haben, a) einverstanden sind).

Beachten Sie:
Wenn Ihre Aufgabe nicht in keiner der beschriebenen Methoden ist, kann es höchstwahrscheinlich auf einige reduziert werden.

Hilfreiche Ratschläge:
Alle diese Ausdrücke werden aus den bekannten Definitionen von trigonometrischen Funktionen erhalten, daher, auch wenn Sie einige von ihnen vergessen haben, können Sie immer schnell mit einfachen Vorgängen in der Lage sein. Es ist auch nützlich, die Werte von trigonometrischen Funktionen für die typischen Winkel von 30, 45, 60, 90, 180 Grad kennenzulernen.