Verwendung pythagoräischer Tripel zur Lösung geometrischer Probleme und trigonometrischer Prüfungsaufgaben. Pythagoräische Tripel Primzahlen in Pythagoräischen Tripeln

Eigenschaften

Da Gl. X 2 + j 2 = z 2 homogen, wenn man sich multipliziert X , j Und z für die gleiche Zahl erhält man ein weiteres pythagoräisches Tripel. Das pythagoräische Tripel heißt Primitive, wenn sie auf diese Weise nicht erhalten werden kann, also teilerfremde Zahlen.

Beispiele

Einige pythagoreische Tripel (sortiert in aufsteigender Reihenfolge der maximalen Anzahl, primitive hervorgehoben):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Basierend auf den Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen ist es möglich, daraus beispielsweise die folgenden pythagoräischen Tripel zusammenzusetzen:

Geschichte

Pythagoreische Tripel sind schon sehr lange bekannt. In der Architektur der antiken mesopotamischen Grabsteine ​​findet man ein gleichschenkliges Dreieck, das aus zwei rechteckigen Dreiecken mit Seitenlängen von 9, 12 und 15 Ellen besteht. Die Pyramiden des Pharao Snofru (XXVII. Jahrhundert v. Chr.) wurden aus Dreiecken mit Seitenlängen von 20, 21 und 29 sowie 18, 24 und 30 Zehntel ägyptischen Ellen gebaut.

siehe auch

Links

• E. A. Gorin Potenzen von Primzahlen in pythagoräischen Tripeln // Mathematische Ausbildung. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie, was „pythagoreische Zahlen“ in anderen Wörterbüchern sind:

Tripel natürlicher Zahlen, sodass ein Dreieck, dessen Seitenlängen proportional (oder gleich) zu diesen Zahlen sind, rechteckig ist, z. B. Zahlentripel: 3, 4, 5... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Tripel natürlicher Zahlen, so dass ein Dreieck, dessen Seitenlängen proportional (oder gleich) zu diesen Zahlen sind, rechteckig ist, zum Beispiel ein Tripel der Zahlen: 3, 4, 5. * * * PYTHAGOREISCHE ZAHLEN PYTHAGOREISCHE ZAHLEN, Tripel natürlicher Zahlen wie z Das... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Tripel natürlicher Zahlen, so dass ein Dreieck, dessen Seitenlängen proportional (oder gleich) zu diesen Zahlen sind, rechteckig ist. Nach dem umgekehrten Satz zum Satz des Pythagoras (siehe Satz des Pythagoras) reicht es dafür aus, dass sie... ...

Dreier von Ganzen positive Zahlen x, y, z, die die Gleichung x2+y 2=z2 erfüllen. Alle Lösungen dieser Gleichung und damit alle Teilzahlen werden durch die Formeln x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 ausgedrückt, wobei a und b beliebige positive ganze Zahlen (a>b) sind. P.h... Mathematische Enzyklopädie

Tripel natürlicher Zahlen, sodass beispielsweise ein Dreieck, dessen Seitenlängen proportional (oder gleich) zu diesen Zahlen sind, rechteckig ist. Zahlentripel: 3, 4, 5... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

In der Mathematik sind pythagoräische Zahlen (Pythagoräisches Tripel) ein Tupel aus drei ganzen Zahlen, die die pythagoräische Beziehung erfüllen: x2 + y2 = z2. Inhalt 1 Eigenschaften 2 Beispiele ... Wikipedia

Bezifferte Zahlen sind die allgemeine Bezeichnung für Zahlen, die mit dem einen oder anderen verknüpft sind geometrische Figur. Dieses historische Konzept geht auf die Pythagoräer zurück. Vermutlich ist der Ausdruck „Quadrat oder Würfel“ aus figurativen Zahlen entstanden. Inhalt... ...Wikipedia

Figurierte Zahlen sind die allgemeine Bezeichnung für Zahlen, die einer bestimmten geometrischen Figur zugeordnet sind. Dieses historische Konzept geht auf die Pythagoräer zurück. Man unterscheidet folgende Arten figurativer Zahlen: Lineare Zahlen sind Zahlen, die nicht faktorisiert werden können, also deren... ... Wikipedia

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- (griechisch arithmetika, von arithmys number) die Wissenschaft der Zahlen, hauptsächlich über natürliche (positive ganze Zahlen) Zahlen und (rationale) Brüche und Operationen mit ihnen. Besitz eines ausreichend entwickelten Konzepts der natürlichen Zahlen und der Fähigkeit... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Bücher

• Archimedes Summer oder die Geschichte des Commonwealth junger Mathematiker. Binäres Zahlensystem, Bobrov Sergey Pavlovich. Binäres Zahlensystem, Turm von Hanoi, Springerzug, magische Quadrate, arithmetisches Dreieck, Zahlenzahlen, Kombinationen, Wahrscheinlichkeitskonzept, Möbius-Streifen und Klein-Flasche.…

„Regionales Bildungszentrum“

Methodische Entwicklung

Verwendung pythagoräischer Tripel zum Lösen

geometrische Probleme und trigonometrische Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens

Kaluga, 2016

I. Einleitung

Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten und man könnte sogar sagen, der wichtigste Satz der Geometrie. Seine Bedeutung liegt darin, dass sich aus ihm oder mit seiner Hilfe die meisten Sätze der Geometrie ableiten lassen. Der Satz des Pythagoras ist auch deshalb bemerkenswert, weil er an sich überhaupt nicht offensichtlich ist. Beispielsweise sind die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks direkt in der Zeichnung erkennbar. Aber egal, wie sehr man sich ein rechtwinkliges Dreieck anschaut, man wird nie erkennen, dass zwischen seinen Seiten eine so einfache Beziehung besteht: a2+b2=c2. Allerdings war es nicht Pythagoras, der den nach ihm benannten Satz entdeckte. Es war schon früher bekannt, aber vielleicht nur als aus Messungen abgeleitete Tatsache. Vermutlich wusste Pythagoras das, fand aber Beweise.

Es gibt unzählige natürliche Zahlen a, b, c, die Beziehung erfüllen a2+b2=c2.. Sie werden pythagoreische Zahlen genannt. Nach dem Satz des Pythagoras können solche Zahlen als Seitenlängen einiger dienen rechtwinkliges Dreieck– wir nennen sie Pythagoräische Dreiecke.

Ziel der Arbeit: Untersuchung der Möglichkeit und Wirksamkeit der Verwendung pythagoräischer Tripel zur Lösung von Problemen in einem Schulmathematikkurs und bei Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen.

Basierend auf dem Zweck der Arbeit wird Folgendes festgelegt: Aufgaben:

Studieren Sie die Geschichte und Klassifizierung pythagoräischer Drillinge. Analysieren Sie Probleme mit pythagoräischen Tripeln, die in Schulbüchern verfügbar sind und in Test- und Messmaterialien für das Einheitliche Staatsexamen zu finden sind. Bewerten Sie die Wirksamkeit der Verwendung pythagoräischer Tripel und ihrer Eigenschaften zur Lösung von Problemen.

Studienobjekt: Pythagoräische Zahlentripel.

Gegenstand der Studie: Probleme des Schulkurses Trigonometrie und Geometrie, in denen pythagoräische Drillinge verwendet werden.

Die Relevanz der Forschung. Pythagoräische Drillinge werden häufig in der Geometrie und Trigonometrie verwendet; wenn man sie kennt, werden Berechnungsfehler vermieden und Zeit gespart.

II. Hauptteil. Lösen von Problemen mit pythagoräischen Tripeln.

2.1.Tabelle der Tripel der pythagoräischen Zahlen (nach Perelman)

Pythagoräische Zahlen haben die Form A= m·n, , wobei m und n einige relativ primitiv ungerade Zahlen sind.

Pythagoräische Zahlen weisen eine Reihe interessanter Merkmale auf:

Eines der „Beine“ muss ein Vielfaches von drei sein.

Eines der „Beine“ muss ein Vielfaches von vier sein.

Eine der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von fünf sein.

Das Buch „Entertaining Algebra“ enthält eine Tabelle pythagoräischer Tripel mit Zahlen bis einhundert, die keine gemeinsamen Faktoren haben.

2.2. Klassifikation der pythagoräischen Tripel nach Schustrow.

Shustrov entdeckte das folgende Muster: Wenn alle pythagoräischen Dreiecke in Gruppen verteilt sind, dann gelten für den ungeraden Schenkel x, den geraden Schenkel y und die Hypotenuse z die folgenden Formeln:

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, wobei N die Nummer der Familie und n die fortlaufende Nummer des Dreiecks in der Familie ist.

Indem Sie in der Formel N und n durch beliebige positive ganze Zahlen, beginnend mit eins, ersetzen, können Sie alle grundlegenden pythagoreischen Zahlentripel sowie Vielfache eines bestimmten Typs erhalten. Sie können für jede Familie eine Tabelle aller pythagoräischen Drillinge erstellen.

2.3. Planimetrieprobleme

Schauen wir uns Aufgaben aus verschiedenen Geometrielehrbüchern an und finden wir heraus, wie oft Pythagoräische Tripel in diesen Aufgaben vorkommen. Wir werden nicht auf triviale Probleme bei der Suche nach dem dritten Element aus der Tabelle der pythagoräischen Tripel eingehen, obwohl sie auch in Lehrbüchern zu finden sind. Wir zeigen, wie man die Lösung eines Problems, dessen Daten nicht in natürlichen Zahlen ausgedrückt werden, auf pythagoreische Tripel reduzieren kann.

Schauen wir uns Probleme aus einem Geometrielehrbuch für die Klassen 7-9 an.

№ 000. Finden Sie mithilfe der Beine die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks A=, B=.

Lösung. Multiplizieren wir die Längen der Beine mit 7, erhalten wir zwei Elemente aus dem pythagoräischen Tripel 3 und 4. Das fehlende Element ist 5, das wir durch 7 dividieren. Antwort.

№ 000. Finden Sie im Rechteck ABCD BC, wenn CD=1,5, AC=2,5.

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Lösung. Lösen Sie das rechtwinklige Dreieck ACD. Multiplizieren wir die Längen mit 2, erhalten wir zwei Elemente aus dem pythagoräischen Tripel 3 und 5, das fehlende Element ist 4, das wir durch 2 dividieren. Antwort: 2.

Überprüfen Sie beim Lösen der nächsten Zahl das Verhältnis a2+b2=c2 Es ist völlig optional, es reicht aus, pythagoräische Zahlen und ihre Eigenschaften zu verwenden.

№ 000. Finden Sie heraus, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, wenn seine Seiten durch Zahlen ausgedrückt werden:

a) 6,8,10 (pythagoräisches Tripel 3,4,5) – ja;

Einer der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks muss durch 4 teilbar sein. Antwort: Nein.

c) 9,12,15 (pythagoräisches Tripel 3,4,5) – ja;

d) 10,24,26 (Pythagoräisches Tripel 5,12.13) – ja;

Eine der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von fünf sein. Antwort: Nein.

g) 15, 20, 25 (Pythagoräisches Tripel 3,4,5) – ja.

Von den neununddreißig Aufgaben in diesem Abschnitt (Satz des Pythagoras) werden zweiundzwanzig mündlich unter Verwendung pythagoräischer Zahlen und der Kenntnis ihrer Eigenschaften gelöst.

Betrachten Sie Aufgabe Nr. 000 (aus dem Abschnitt „Zusätzliche Aufgaben“):

Finden Sie die Fläche des Vierecks ABCD, in der AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Im Problem müssen wir die Beziehung überprüfen a2+b2=c2 und beweisen Sie, dass ein gegebenes Viereck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken besteht (der umgekehrte Satz). Und die Kenntnis der pythagoräischen Drillinge: 3, 4, 5 und 5, 12, 13 erspart Ihnen das Rechnen.

Wir präsentieren Lösungen für mehrere Probleme aus einem Geometrielehrbuch für die Klassen 7-9.

Aufgabe 156 (h). Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind 9 und 40. Finden Sie den Median, der zur Hypotenuse verläuft.

Lösung . Der zur Hypotenuse gezogene Median entspricht der Hälfte davon. Das pythagoräische Tripel ist 9,40 und 41. Daher beträgt der Median 20,5.

Aufgabe 156 (i). Die Seiten des Dreiecks sind gleich: A= 13 cm, b = 20 cm und Höhe hс = 12 cm Finden Sie die Basis Mit.

Problem (KIMY Einheitliches Staatsexamen). Finden Sie den Radius eines Kreises, der in ein spitzes Dreieck ABC eingeschrieben ist, wenn die Höhe BH 12 beträgt und das bekannt ist Sünde A=,sin С=left">

Lösung. Wir lösen das rechteckige ∆ ASK: sin A=, BH=12, also AB=13,AK=5 (Pythagoräisches Tripel 5,12,13). Wir lösen das rechteckige ∆ ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagoräisches Tripel 3,4,5). Der Radius wird mit der Formel r ===4 ermittelt. Antwort.4.

Grundlagen trigonometrische Identität– ein Sonderfall des Satzes des Pythagoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Daher können einige trigonometrische Probleme leicht mündlich mithilfe pythagoräischer Drillinge gelöst werden.

Aufgaben, die erfordern Wert einstellen Funktionen zum Ermitteln der Werte der verbleibenden trigonometrischen Funktionen können ohne Quadrieren und Extrahieren gelöst werden Quadratwurzel. Alle Aufgaben dieser Art im Schulalgebra-Lehrbuch (10-11) von Mordkovich (Nr. 000-Nr. 000) können mündlich gelöst werden, wenn man nur wenige pythagoreische Tripel kennt: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Betrachten wir Lösungen für zwei Aufgaben.

Nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Lösung. Pythagoräisches Tripel: 3, 4, 5. Daher ist cos t = -3/5; tan t = -4/3,

Nr. 000 b). tan t = 2,4, π< t < 3π/2.

Lösung. tg t = 2,4=24/10=12/5. Pythagoräisches Tripel 5,12,13. Unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12.

3. Prüf- und Messmaterialien für das Einheitliche Staatsexamen

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) Sünde (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

f) Überprüfen Sie die Gleichheit:

Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13 + Arcsin 16/65 = π/2.

Lösung. Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13 + Arcsin 16/65 = π/2

Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13 = π/2 - Arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (Arcsin 4/5) cos (Arcsin 5/13) + cos (Arcsin 4/5) sin (Arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Abschluss

Bei Geometrieproblemen müssen rechtwinklige Dreiecke häufig gelöst werden, manchmal sogar mehrmals. Nach der Analyse der Aufgaben in Schulbüchern und Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen können wir den Schluss ziehen, dass hauptsächlich Drillinge verwendet werden: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; die man sich leicht merken kann. Bei der Lösung einiger trigonometrischer Probleme wird die klassische Lösung verwendet trigonometrische Formeln und eine große Anzahl von Berechnungen braucht Zeit, und die Kenntnis der pythagoräischen Tripel beseitigt Fehler in den Berechnungen und spart Zeit für die Lösung schwierigerer Probleme im Einheitlichen Staatsexamen.

Literaturverzeichnis

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» vom emeritierten Professor für Mathematik an der University of Warwick, dem berühmten Popularisierer der Wissenschaft Ian Stewart, widmete sich der Rolle der Zahlen in der Geschichte der Menschheit und der Relevanz ihrer Erforschung in unserer Zeit.

Pythagoräische Hypotenuse

Pythagoräische Dreiecke haben rechte Winkel und ganzzahlige Seiten. Die einfachste davon hat eine längste Seite mit der Länge 5, die anderen mit den Längen 3 und 4. Insgesamt gibt es 5 reguläre Polyeder. Eine Gleichung fünften Grades kann nicht mit fünften Wurzeln – oder anderen Wurzeln – gelöst werden. Gitter in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum haben keine fünflappige Rotationssymmetrie, daher fehlen solche Symmetrien in Kristallen. Man findet sie jedoch in Gittern in vier Dimensionen und in interessanten Strukturen, die als Quasikristalle bekannt sind.

Hypotenuse des kleinsten pythagoräischen Tripels

Der Satz des Pythagoras besagt, dass die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks (die berüchtigte Hypotenuse) auf eine sehr einfache und schöne Weise mit den anderen beiden Seiten dieses Dreiecks in Beziehung steht: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Hypotenuse andere zwei Seiten.

Traditionell nennen wir diesen Satz Pythagoras, aber tatsächlich ist seine Geschichte ziemlich vage. Tontafeln deuten darauf hin, dass die alten Babylonier den Satz des Pythagoras lange vor Pythagoras selbst kannten; Den Ruhm des Entdeckers erlangte er durch den Mathematikkult der Pythagoräer, deren Anhänger glaubten, dass das Universum auf numerischen Gesetzen beruhte. Antike Autoren schrieben den Pythagoräern – und damit Pythagoras – eine Vielzahl mathematischer Theoreme zu, aber tatsächlich haben wir keine Ahnung, an welcher Art von Mathematik Pythagoras selbst beteiligt war. Wir wissen nicht einmal, ob die Pythagoräer den Satz des Pythagoras beweisen konnten oder ob sie ihn einfach für wahr hielten. Oder höchstwahrscheinlich hatten sie überzeugende Beweise für die Wahrheit, die jedoch für das, was wir heute als Beweise betrachten, nicht ausreichen würden.

Beweise von Pythagoras

Der erste bekannte Beweis des Satzes des Pythagoras findet sich in Euklids Elementen. Dies ist ein ziemlich komplexer Beweis anhand einer Zeichnung, die viktorianische Schulkinder sofort als „pythagoreische Hose“ erkennen würden; Die Zeichnung ähnelt wirklich einer Unterhose, die auf einer Leine trocknet. Es gibt buchstäblich Hunderte anderer Beweise, von denen die meisten die Behauptung offensichtlicher machen.

// Reis. 33. Pythagoräische Hose

Einer der einfachsten Beweise ist eine Art mathematisches Rätsel. Nehmen Sie ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck, machen Sie vier Kopien davon und fügen Sie sie innerhalb des Quadrats zusammen. In einer Anordnung sehen wir ein Quadrat auf der Hypotenuse; mit den anderen - Quadraten auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks. Es ist klar, dass die Flächen in beiden Fällen gleich sind.

// Reis. 34. Links: Quadrat auf der Hypotenuse (plus vier Dreiecke). Rechts: Summe der Quadrate auf den anderen beiden Seiten (plus die gleichen vier Dreiecke). Beseitigen Sie nun die Dreiecke

Perigals Sektion ist ein weiterer rätselhafter Beweis.

// Reis. 35. Perigal-Dissektion

Es gibt auch einen Beweis des Satzes durch die Anordnung von Quadraten auf einer Ebene. Vielleicht haben die Pythagoräer oder ihre unbekannten Vorgänger diesen Satz auf diese Weise entdeckt. Wenn Sie sich ansehen, wie das schräge Quadrat zwei andere Quadrate überlappt, können Sie sehen, wie man schneidet Großes Quadrat in Stücke schneiden und dann in zwei kleinere Quadrate falten. Sie können auch rechtwinklige Dreiecke sehen, deren Seiten die Abmessungen der drei beteiligten Quadrate angeben.

// Reis. 36. Beweis durch Pflasterung

Es gibt interessante Beweise, die ähnliche Dreiecke in der Trigonometrie verwenden. Es sind mindestens fünfzig verschiedene Beweise bekannt.

Pythagoreische Tripel

In der Zahlentheorie wurde der Satz des Pythagoras zur Quelle einer fruchtbaren Idee: der Suche nach ganzzahligen Lösungen für algebraische Gleichungen. Ein pythagoräisches Tripel ist eine Menge von ganzen Zahlen a, b und c, so dass

Geometrisch gesehen definiert ein solches Tripel ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten.

Die kleinste Hypotenuse eines pythagoräischen Tripels ist 5.

Die anderen beiden Seiten dieses Dreiecks sind 3 und 4. Hier

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Die nächstgrößere Hypotenuse ist 10, weil

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Dies ist jedoch im Wesentlichen das gleiche Dreieck mit doppelten Seiten. Die nächstgrößere und wirklich andere Hypotenuse ist 13, für die

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklid wusste, dass es unendlich viele verschiedene Variationen pythagoräischer Triolen gab, und er gab eine Formel an, mit der man sie alle finden könnte. Später schlug Diophantus von Alexandria ein einfaches Rezept vor, das im Wesentlichen mit dem Euklidischen identisch war.

Nehmen Sie zwei beliebige natürliche Zahlen und berechnen Sie:

ihr Doppelprodukt;

die Differenz ihrer Quadrate;

die Summe ihrer Quadrate.

Die drei resultierenden Zahlen sind die Seiten des pythagoräischen Dreiecks.

Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen 2 und 1. Berechnen wir:

Doppelprodukt: 2 × 2 × 1 = 4;

Quadratdifferenz: 22 - 12 = 3;

Summe der Quadrate: 22 + 12 = 5,

und wir bekamen das berühmte 3-4-5-Dreieck. Wenn wir stattdessen die Zahlen 3 und 2 nehmen, erhalten wir:

Doppelprodukt: 2 × 3 × 2 = 12;

Differenz der Quadrate: 32 - 22 = 5;

Summe der Quadrate: 32 + 22 = 13,

und wir erhalten das nächstbekannteste Dreieck 5 - 12 - 13. Versuchen wir, die Zahlen 42 und 23 zu nehmen und zu erhalten:

Doppelprodukt: 2 × 42 × 23 = 1932;

Quadratdifferenz: 422 - 232 = 1235;

Summe der Quadrate: 422 + 232 = 2293,

Niemand hat jemals vom Dreieck 1235–1932–2293 gehört.

Aber diese Zahlen funktionieren auch:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Es gibt ein weiteres Merkmal der diophantischen Regel, das bereits angedeutet wurde: Wenn wir drei Zahlen gegeben haben, können wir eine andere beliebige Zahl nehmen und sie alle damit multiplizieren. So kann ein 3-4-5-Dreieck in ein 6-8-10-Dreieck umgewandelt werden, indem alle Seiten mit 2 multipliziert werden, oder in ein 15-20-25-Dreieck, indem alle Seiten mit 5 multipliziert werden.

Wenn wir zur Sprache der Algebra wechseln, wird die Regel nächste Ansicht: Seien u, v und k natürliche Zahlen. Dann ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten

2kuv und k (u2 - v2) hat eine Hypotenuse

Es gibt andere Möglichkeiten, die Grundidee darzustellen, aber alle laufen auf die oben beschriebene hinaus. Mit dieser Methode können Sie alle pythagoräischen Tripel erhalten.

Regelmäßige Polyeder

Es gibt genau fünf reguläre Polyeder. Ein regelmäßiges Polyeder (oder Polyeder) ist eine dreidimensionale Figur mit einer endlichen Anzahl flacher Flächen. Die Flächen treffen einander auf Linien, die Kanten genannt werden; Die Kanten treffen sich an Punkten, die Eckpunkte genannt werden.

Der Höhepunkt der Euklidischen Prinzipien ist der Beweis, dass es nur fünf reguläre Polyeder geben kann, also Polyeder, in denen jede Fläche repräsentiert regelmäßiges Vieleck(gleiche Seiten, gleiche Winkel), alle Flächen sind identisch und alle Eckpunkte sind von einer gleichen Anzahl identisch beabstandeter Flächen umgeben. Hier sind fünf reguläre Polyeder:

Tetraeder mit vier dreieckigen Flächen, vier Eckpunkten und sechs Kanten;

Würfel oder Hexaeder mit 6 quadratischen Flächen, 8 Eckpunkten und 12 Kanten;

Oktaeder mit 8 dreieckigen Flächen, 6 Ecken und 12 Kanten;

Dodekaeder mit 12 fünfeckigen Flächen, 20 Eckpunkten und 30 Kanten;

Ein Ikosaeder mit 20 Dreiecksflächen, 12 Eckpunkten und 30 Kanten.

// Reis. 37. Fünf regelmäßige Polyeder

Regelmäßige Polyeder kommen auch in der Natur vor. Im Jahr 1904 veröffentlichte Ernst Haeckel Zeichnungen winziger Organismen, die als Radiolarien bekannt sind; Viele von ihnen haben die Form derselben fünf regelmäßigen Polyeder. Vielleicht hat er jedoch die Natur leicht korrigiert und die Zeichnungen geben die Form bestimmter Lebewesen nicht vollständig wieder. Die ersten drei Strukturen werden auch in Kristallen beobachtet. In Kristallen werden Sie keine Dodekaeder und Ikosaeder finden, obwohl dort manchmal unregelmäßige Dodekaeder und Ikosaeder zu finden sind. Echte Dodekaeder können als Quasikristalle auftreten, die Kristallen in jeder Hinsicht ähneln, außer dass ihre Atome kein periodisches Gitter bilden.

// Reis. 38. Haeckels Zeichnungen: Radiolarien in Form regelmäßiger Polyeder

// Reis. 39. Entwicklungen regelmäßiger Polyeder

Es kann interessant sein, Modelle regelmäßiger Polyeder aus Papier zu erstellen, indem man zunächst eine Reihe miteinander verbundener Flächen ausschneidet – das nennt man Entwicklung eines Polyeders; Die Entwicklung wird entlang der Kanten gefaltet und die entsprechenden Kanten werden zusammengeklebt. Es ist sinnvoll, an einer der Rippen jedes solchen Paares ein zusätzliches Klebepad anzubringen, wie in Abb. 39. Wenn keine solche Plattform vorhanden ist, können Sie Klebeband verwenden.

Gleichung fünften Grades

Es gibt keine algebraische Formel zum Lösen von Gleichungen 5. Grades.

Im Allgemeinen sieht eine Gleichung fünften Grades so aus:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Das Problem besteht darin, eine Formel für Lösungen für eine solche Gleichung zu finden (es kann bis zu fünf Lösungen geben). Erfahrungen mit quadratischen und kubischen Gleichungen sowie Gleichungen vierten Grades legen nahe, dass eine solche Formel auch für Gleichungen fünften Grades existieren sollte und theoretisch Wurzeln fünften, dritten und zweiten Grades darin vorkommen müssten. Auch hier können wir mit Sicherheit davon ausgehen, dass eine solche Formel, sofern sie existiert, sehr, sehr komplex sein wird.

Diese Annahme erwies sich letztlich als falsch. Tatsächlich gibt es keine solche Formel; Zumindest gibt es keine Formel, die aus den Koeffizienten a, b, c, d, e und f besteht, die durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie durch Wurzelziehen erstellt werden. Die Zahl 5 hat also etwas ganz Besonderes. Die Gründe für dieses ungewöhnliche Verhalten der fünf sind sehr tiefgreifend und es hat viel Zeit gekostet, sie zu verstehen.

Das erste Anzeichen von Schwierigkeiten war, dass die Mathematiker, egal wie sehr sie sich bemühten, eine solche Formel zu finden, egal wie schlau sie waren, ausnahmslos scheiterten. Eine Zeit lang glaubte jeder, dass die Gründe in der unglaublichen Komplexität der Formel lägen. Man glaubte, dass niemand diese Algebra einfach richtig verstehen könne. Doch mit der Zeit begannen einige Mathematiker daran zu zweifeln, dass eine solche Formel überhaupt existierte, und 1823 konnte Niels Hendrik Abel das Gegenteil beweisen. Eine solche Formel gibt es nicht. Kurz darauf fand Évariste Galois eine Möglichkeit zu bestimmen, ob eine Gleichung des einen oder anderen Grades – 5., 6., 7., irgendeiner Art – mit dieser Art von Formel lösbar war.

Die Schlussfolgerung aus all dem ist einfach: Die Zahl 5 ist etwas Besonderes. Sie können algebraische Gleichungen (mit Wurzeln) lösen n. Grad für verschiedene Werte von n) für Potenzen 1, 2, 3 und 4, jedoch nicht für die 5. Potenz. Hier endet das offensichtliche Muster.

Es überrascht niemanden, dass sich Gleichungen mit einem Grad größer als 5 noch schlechter verhalten; Insbesondere ist mit ihnen die gleiche Schwierigkeit verbunden: Es gibt keine allgemeinen Formeln für ihre Lösung. Das bedeutet nicht, dass die Gleichungen keine Lösungen haben; Dies bedeutet auch nicht, dass es unmöglich ist, für diese Lösungen sehr genaue Zahlenwerte zu finden. Es geht um die Grenzen traditioneller Algebra-Tools. Dies erinnert an die Unmöglichkeit, einen Winkel mit Lineal und Zirkel zu dreiteilen. Die Antwort existiert, aber die aufgeführten Methoden reichen nicht aus und erlauben uns nicht, sie zu bestimmen.

Kristallographische Einschränkung

Kristalle in zwei und drei Dimensionen haben keine 5-Strahlen-Rotationssymmetrie.

Atome in einem Kristall bilden ein Gitter, also eine Struktur, die sich in mehreren unabhängigen Richtungen periodisch wiederholt. Beispielsweise wiederholt sich das Muster auf einer Tapete über die gesamte Länge der Rolle. Darüber hinaus wiederholt es sich meist in horizontaler Richtung, manchmal mit einem Wechsel von einem Tapetenstück zum nächsten. Im Wesentlichen ist eine Tapete ein zweidimensionaler Kristall.

Es gibt 17 verschiedene Tapetenmuster auf einer Ebene (siehe Kapitel 17). Sie unterscheiden sich in der Art der Symmetrie, das heißt in der Art und Weise, das Muster starr zu verschieben, sodass es in seiner ursprünglichen Position genau auf sich selbst liegt. Zu den Symmetriearten zählen insbesondere verschiedene Varianten der Rotationssymmetrie, bei denen das Muster um einen bestimmten Winkel um einen bestimmten Punkt – das Symmetriezentrum – gedreht werden soll.

Die Reihenfolge der Rotationssymmetrie gibt an, wie oft der Körper in einem vollständigen Kreis gedreht werden kann, sodass alle Details des Musters in ihre ursprüngliche Position zurückkehren. Beispielsweise entspricht eine 90°-Drehung einer Rotationssymmetrie 4. Ordnung*. Die Liste möglicher Arten von Rotationssymmetrie in einem Kristallgitter weist erneut auf die Ungewöhnlichkeit der Zahl 5 hin: Sie ist nicht vorhanden. Es gibt Optionen mit Rotationssymmetrie 2., 3., 4. und 6. Ordnung, aber keines der Tapetendesigns verfügt über Rotationssymmetrie 5. Ordnung. Rotationssymmetrie der Ordnung größer als 6 gibt es in Kristallen ebenfalls nicht, die erste Verletzung der Ordnung tritt jedoch immer noch bei Nummer 5 auf.

Das Gleiche passiert mit kristallographischen Systemen im dreidimensionalen Raum. Hier wiederholt sich das Gitter in drei unabhängigen Richtungen. Es gibt 219 verschiedene Symmetriearten, bzw. 230, wenn man das Spiegelbild eines Designs als eigenständige Variante zählt – obwohl in diesem Fall keine Spiegelsymmetrie vorliegt. Auch hier werden Rotationssymmetrien der Ordnungen 2, 3, 4 und 6 beobachtet, jedoch nicht der Ordnung 5. Diese Tatsache wird als kristallographischer Einschluss bezeichnet.

Im vierdimensionalen Raum existieren Gitter mit Symmetrie 5. Ordnung; Im Allgemeinen ist für Gitter ausreichend großer Dimension jede vorgegebene Ordnung der Rotationssymmetrie möglich.

// Reis. 40. Kristallgitter aus Speisesalz. Dunkle Kugeln stellen Natriumatome dar, helle Kugeln stellen Chloratome dar

Quasikristalle

Obwohl Rotationssymmetrie 5. Ordnung in 2D- oder 3D-Gittern nicht möglich ist, kann sie in etwas weniger regelmäßigen Strukturen, sogenannten Quasikristallen, existieren. Anhand von Keplers Skizzen entdeckte Roger Penrose flache Systeme mit mehr allgemeiner Typ fünfzählige Symmetrie. Sie werden Quasikristalle genannt.

Quasikristalle kommen in der Natur vor. 1984 entdeckte Daniel Shechtman, dass eine Legierung aus Aluminium und Mangan Quasikristalle bilden kann; Zunächst reagierten Kristallographen mit einiger Skepsis auf seine Botschaft, doch später wurde die Entdeckung bestätigt und 2011 wurde Shekhtman ausgezeichnet Nobelpreis in Chemie. Im Jahr 2009 entdeckte ein Wissenschaftlerteam unter der Leitung von Luca Bindi Quasikristalle in einem Mineral aus dem russischen Korjaken-Hochland – eine Verbindung aus Aluminium, Kupfer und Eisen. Heute heißt dieses Mineral Ikosaedrit. Durch die Messung des Gehalts verschiedener Sauerstoffisotope im Mineral mithilfe eines Massenspektrometers zeigten Wissenschaftler, dass dieses Mineral nicht von der Erde stammt. Es entstand vor etwa 4,5 Milliarden Jahren, zu einer Zeit, als Sonnensystem steckte noch in den Kinderschuhen und verbrachte die meiste Zeit im Asteroidengürtel, wo er die Sonne umkreiste, bis eine Störung seine Umlaufbahn veränderte und ihn schließlich zur Erde brachte.

// Reis. 41. Links: eines von zwei quasikristallinen Gittern mit exakter fünfzähliger Symmetrie. Rechts: Atommodell eines ikosaedrischen Aluminium-Palladium-Mangan-Quasikristalls

Eine praktische und sehr genaue Methode, mit der Landvermesser Vermessungen vor Ort durchführen senkrechte Linien, ist wie folgt. Es sei notwendig, eine Senkrechte durch Punkt A zur Geraden MN zu zeichnen (Abb. 13). Verzögern Sie dreimal eine Strecke a von A in Richtung AM. Anschließend werden drei Knoten an der Kordel befestigt, wobei die Abstände zwischen ihnen 4a und 5a betragen. Nachdem Sie die äußersten Knoten an den Punkten A und B befestigt haben, ziehen Sie die Schnur am mittleren Knoten. Die Schnur wird in einem Dreieck angeordnet, wobei Winkel A ein rechter Winkel ist.

Diese alte Methode, die offenbar vor Tausenden von Jahren von den Erbauern der ägyptischen Pyramiden angewendet wurde, basiert auf der Tatsache, dass jedes Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis 3:4:5 stehen, nach dem bekannten Satz des Pythagoras rechteckig ist. seit

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Zusätzlich zu den Zahlen 3, 4, 5 gibt es bekanntlich eine unendliche Menge positiver ganzer Zahlen a, b, c, die die Beziehung erfüllen

A 2 + b 2 = c 2.

Sie werden pythagoräische Zahlen genannt. Nach dem Satz des Pythagoras können solche Zahlen als Seitenlängen eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks dienen; daher werden a und b „Beine“ und c „Hypotenuse“ genannt.

Es ist klar, dass, wenn a, b, c ein Tripel pythagoräischer Zahlen ist, pa, pb, pc, wobei p ein ganzzahliger Faktor ist, pythagoräische Zahlen sind. Wenn umgekehrt die pythagoräischen Zahlen einen gemeinsamen Faktor haben, dann können sie alle um diesen gemeinsamen Faktor reduziert werden, und man erhält wieder ein Tripel der pythagoräischen Zahlen. Daher werden wir zunächst nur Tripel von teilerfremden pythagoräischen Zahlen untersuchen (der Rest wird aus ihnen durch Multiplikation mit einem ganzzahligen Faktor p erhalten).

Zeigen wir, dass in jedem dieser Tripel a, b, c eines der „Beine“ gerade und das andere ungerade sein muss. Lassen Sie uns durch Widerspruch argumentieren. Wenn beide „Beine“ a und b gerade sind, dann ist die Zahl a 2 + b 2 gerade und damit die „Hypotenuse“. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Tatsache, dass die Zahlen a, b, c keine gemeinsamen Teiler haben, da drei gerade Zahlen einen gemeinsamen Teiler von 2 haben. Somit ist mindestens eines der „Beine“ a, b ungerade.

Es bleibt noch eine Möglichkeit: Beide „Beine“ sind ungerade und die „Hypotenuse“ ist gerade. Es ist nicht schwer zu beweisen, dass dies nicht sein kann. Tatsächlich: wenn die „Beine“ die Form haben

2x + 1 und 2y + 1,

dann ist die Summe ihrer Quadrate gleich

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2,

Das heißt, es ist eine Zahl, die bei Division durch 4 einen Rest von 2 übrig lässt. Das Quadrat einer geraden Zahl muss hingegen ohne Rest durch 4 teilbar sein. Das bedeutet, dass die Summe der Quadrate zweier ungerader Zahlen nicht das Quadrat einer geraden Zahl sein kann; mit anderen Worten, unsere drei Zahlen sind nicht pythagoräisch.

Von den „Beinen“ a, b ist also eines gerade und das andere ungerade. Daher ist die Zahl a 2 + b 2 ungerade, was bedeutet, dass auch die „Hypotenuse“ c ungerade ist.

Nehmen wir zur Bestimmtheit an, dass „Seite“ a ungerade und b gerade ist. Aus Gleichheit

a 2 + b 2 = c 2

wir erhalten leicht:

A 2 = c 2 – b 2 = (c + b)(c – b).

Die Faktoren c + b und c - b auf der rechten Seite sind teilerfremd. Wenn diese Zahlen tatsächlich einen gemeinsamen Primfaktor hätten, der von eins verschieden ist, dann würde die Summe durch diesen Faktor dividiert werden

(c + b) + (c - b) = 2c,

und Unterschied

(c + b) - (c - b) = 2b,

und Arbeit

(c + b)(c - b) = a 2,

das heißt, die Zahlen 2c, 2b und a hätten einen gemeinsamen Faktor. Da a ungerade ist, unterscheidet sich dieser Faktor von zwei, und daher haben die Zahlen a, b, c den gleichen gemeinsamen Faktor, der jedoch nicht sein kann. Der resultierende Widerspruch zeigt, dass die Zahlen c + b und c – b teilerfremd sind.

Wenn aber das Produkt relativer Primzahlen ein exaktes Quadrat ist, dann ist jede von ihnen ein Quadrat, d.h.

Nachdem wir dieses System gelöst haben, finden wir:

C = (m 2 + n 2)/2, b = (m 2 - n 2)/2, a 2 = (c + b)(c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Die betrachteten pythagoräischen Zahlen haben also die Form

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

wobei m und n einige relativ primitiv ungerade Zahlen sind. Der Leser kann das Gegenteil leicht überprüfen: Für jeden ungeraden Typ ergeben die geschriebenen Formeln drei pythagoräische Zahlen a, b, c.

Hier sind mehrere Tripletts pythagoräischer Zahlen, die mit unterschiedlichen Typen erhalten wurden:

Für m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 für m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 für m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 für m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 mit m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 mit m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 mit m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 für m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 für m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 für m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 für m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 für m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 für m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 mit m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 mit m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 mit m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Alle anderen Tripletts pythagoräischer Zahlen haben entweder gemeinsame Faktoren oder enthalten Zahlen größer als einhundert.)

Belotelov V.A. Pythagoreische Drillinge und ihre Zahl // Nesterov-Enzyklopädie

Dieser Artikel ist eine Antwort an einen Professor – Shchipach. Schauen Sie, Professor, wie man das in unserem Dorf macht.

Region Nischni Nowgorod, Sawolschje.

Erfordert Kenntnisse des Algorithmus zur Lösung diophantischer Gleichungen (ARDE) und Kenntnisse über Polynomverläufe.

IF ist eine Primzahl.

SP ist eine zusammengesetzte Zahl.

Es gebe eine ungerade Zahl N. Für jede ungerade Zahl außer eins können Sie eine Gleichung erstellen.

p 2 + N = q 2,

wobei ð + q = N, q – ð = 1.

Für die Zahlen 21 und 23 wären die Gleichungen beispielsweise: -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Wenn N eine Primzahl ist, ist diese Gleichung eindeutig. Wenn die Zahl N zusammengesetzt ist, können ähnliche Gleichungen mithilfe der Anzahl der Faktorpaare erstellt werden, die diese Zahl darstellen, einschließlich 1 x N.

Nehmen wir die Zahl N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Ich fragte mich, ob es möglich wäre, durch Festhalten an diesem Unterschied zwischen ZF und Mittelton eine Methode zu finden, sie zu identifizieren.

Lassen Sie uns einige Notationen einführen.

Ändern wir die untere Gleichung, -

N = in 2 – a 2 = (in – a)(in + a).

Gruppieren wir die Werte von N nach dem Kriterium b – a, d.h. Machen wir einen Tisch.

Die Zahlen N wurden in einer Matrix zusammengefasst, -

Für diese Aufgabe mussten wir uns mit Folgen von Polynomen und ihren Matrizen befassen. Es stellte sich heraus, dass alles umsonst war – die IFs hielten ihre Verteidigung kraftvoll. Geben wir eine Spalte in Tabelle 1 ein, in der b – a = 1 (q – p = 1).

Noch einmal. Tabelle 2 entstand als Ergebnis eines Versuchs, das Problem der Identifizierung von IF und MF zu lösen. Aus der Tabelle folgt, dass es für jede Zahl N so viele Gleichungen der Form a 2 + N = in 2 gibt, in wie viele Faktorpaare die Zahl N unterteilt werden kann, einschließlich des Faktors 1 x N. Zusätzlich zu die Zahlen N = ℓ 2, wobei

ℓ - WENN. Für N = ℓ 2, wobei ℓ der Frequenzwandler ist, gibt es eine eindeutige Gleichung p 2 + N = q 2. Über welche Art von zusätzlichem Beweis können wir sprechen, wenn die Tabelle die kleineren Faktoren aus den Faktorpaaren, die N bilden, von eins bis ∞ aufzählt. Wir werden Tisch 2 in die Truhe stellen und die Truhe im Schrank verstecken.

Kehren wir zum im Titel des Artikels genannten Thema zurück.

Dieser Artikel ist eine Antwort an einen Professor – Shchipach.

Ich bat um Hilfe; ich brauchte eine Reihe von Nummern, die ich im Internet nicht finden konnte. Ich stieß auf Fragen wie „Warum?“, „Zeigen Sie mir die Methode.“ Insbesondere stellte sich die Frage, ob die Reihe der pythagoräischen Tripel unendlich ist, „wie kann man das beweisen?“ Er hat mir nicht geholfen. Schauen Sie, Professor, wie man das in unserem Dorf macht.

Nehmen wir die Formel der pythagoräischen Drillinge:

x 2 = y 2 + z 2. (1)

Lassen wir es durch die ARD weiterleiten.

Drei Situationen sind möglich:

I. x – ungerade Zahl,

y ist eine gerade Zahl,

z ist eine gerade Zahl.

Und es gibt eine Bedingung x > y > z.

II. x ist eine ungerade Zahl,

y ist eine gerade Zahl,

z ist eine ungerade Zahl.

x > z > y.

III.x – gerade Zahl,

y ist eine ungerade Zahl,

z ist eine ungerade Zahl.

x > y > z.

Beginnen wir in der Reihenfolge von I.

Lassen Sie uns neue Variablen einführen

Setzen wir es in Gleichung (1) ein.

Reduzieren wir um eine kleinere Variable 2γ.

(2α – 2γ + 2k + 1) 2 = (2β – 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Reduzieren wir die Variable 2β – 2γ um eine kleinere Variable und führen gleichzeitig einen neuen Parameter ƒ ein, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Dann ist 2α – 2β = x – y – 1.

Gleichung (2) hat die Form –

(x – y + 2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Lass es uns in Ordnung bringen -

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) + (2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) – (2k + 1) 2 = 0. (3)

Die ARDE gibt über Parameter die Beziehung zwischen den führenden Termen der Gleichung an, sodass wir Gleichung (3) erhalten.

Es ist keine gute Idee, Lösungen auszuwählen. Aber erstens gibt es keinen Ausweg, und zweitens sind mehrere dieser Lösungen erforderlich, und wir können eine endlose Reihe von Lösungen wiederherstellen.

Wenn ƒ = 1, k = 1, gilt x – y = 1.

Mit ƒ = 12, k = 16 gilt x – y = 9.

Mit ƒ = 4, k = 32 ergibt sich x – y = 25.

Die Auswahl kann lange dauern, aber am Ende wird die Serie die Form annehmen –

x – y = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Betrachten wir Option II.

Lassen Sie uns neue Variablen in Gleichung (1) einführen.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2.

Reduzieren wir um eine kleinere Variable 2 β, -

(2α – 2β + 2k + 1) 2 = (2α – 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2.

Reduzieren wir um eine kleinere Variable 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α – 2γ = x – z und setze es in Gleichung (4) ein.

(x – z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x – z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1)(x – z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x – z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1)(x – z) – (2k) 2 = 0

Mit ƒ = 3, k = 4 gilt x – z = 2.

Mit ƒ = 8, k = 14 gilt x – z = 8.

Mit ƒ = 3, k = 24 haben wir x – z = 18.

x – z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Lass uns ein Trapez zeichnen -

Schreiben wir die Formel.

wobei n=1, 2,... ∞.

Wir werden Fall III nicht beschreiben, da es dort keine Lösungen gibt.

Für Bedingung II sieht die Menge der Drillinge wie folgt aus:

Gleichung (1) wird der Übersichtlichkeit halber als x 2 = z 2 + y 2 dargestellt.

Für Bedingung I lautet die Menge der Tripel wie folgt:

Insgesamt gibt es 9 Spalten mit Drillingen mit jeweils fünf Drillingen. Und jede der vorgestellten Spalten kann bis zu ∞ geschrieben werden.

Betrachten Sie als Beispiel die Tripel der letzten Spalte, wobei x – y = 81.

Für die Größen x schreiben wir ein Trapez, -

Schreiben wir die Formel -

Für die Größen y schreiben wir ein Trapez, -

Schreiben wir die Formel -

Für Werte von z schreiben wir ein Trapez, -

Schreiben wir die Formel -

Wobei n = 1 ÷ ∞.

Wie versprochen fliegt eine Reihe von Tripeln bei x – y = 81 nach ∞.

Für die Fälle I und II wurde versucht, Matrizen für die Werte x, y, z zu konstruieren.

Schreiben wir die Werte von x aus den oberen Zeilen der letzten fünf Spalten auf und konstruieren ein Trapez.

Es hat nicht geklappt, aber das Muster sollte quadratisch sein. Um alles in Ordnung zu halten, stellte sich heraus, dass es notwendig war, die Spalten I und II zusammenzufassen.

Im Fall II werden die Werte y und z wieder vertauscht.

Wir haben es aus einem Grund geschafft, zusammenzuführen: Die Karten haben bei dieser Aufgabe gut funktioniert: Glück.

Jetzt können Sie die Matrizen für x, y, z schreiben.

Nehmen wir die x-Werte der oberen Zeilen der letzten fünf Spalten und bilden ein Trapez.

Alles ist in Ordnung, wir können Matrizen erstellen und beginnen wir mit der Matrix für z.

Lauf zum Schrank, um die Truhe zu holen.

Gesamt: Zusätzlich zur Eins ist jede ungerade Zahl auf der Zahlengeraden an der Bildung pythagoräischer Tripel beteiligt, die der Anzahl der Faktorpaare entspricht, die eine bestimmte Zahl N bilden, einschließlich des Faktors 1 x N.

Die Zahl N = ℓ 2, wobei ℓ der Frequenzfaktor ist, bildet ein pythagoräisches Tripel. Wenn ℓ die Frequenzfrequenz ist, dann gibt es kein Tripel auf den Faktoren ℓxℓ.

Konstruieren wir Matrizen für die Werte x, y.

Beginnen wir mit der Arbeit mit der Matrix für x. Dazu strecken wir das Koordinatengitter von der Aufgabe, IF und MF zu identifizieren, darauf aus.

Die Nummerierung vertikaler Zeilen wird durch den Ausdruck normalisiert

Wir werden die erste Spalte entfernen, weil

Die Matrix wird die Form annehmen:

Beschreiben wir die vertikalen Reihen, -

Beschreiben wir die Koeffizienten für „a“, -

Lassen Sie uns die kostenlosen Bedingungen beschreiben -

Lassen Sie uns eine allgemeine Formel für „x“ erstellen –

Wenn wir eine ähnliche Arbeit für „y“ durchführen, erhalten wir –

Sie können dieses Ergebnis auch von der anderen Seite angehen.

Nehmen wir die Gleichung –

a 2 + N = in 2.

Lassen Sie es uns ein wenig verändern -

N = in 2 – a 2 .

Lass es uns in Ordnung bringen –

N 2 = in 4 – 2 in 2 a 2 + a 4.

Auf der linken und rechten Seite der Gleichung addieren wir den Wert 4в 2 à 2, -

N 2 + 4b 2 a 2 = b 4 + 2b 2 a 2 + a 4.

Und schlussendlich, -

(in 2 + a 2) 2 = (2va) 2 + N 2.

Pythagoreische Drillinge setzen sich wie folgt zusammen:

Betrachten wir ein Beispiel mit der Zahl N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Die vertikalen Spalten von Tabelle 2 sind mit den Werten a – a nummeriert, während die vertikalen Spalten von Tabelle 3 mit den Werten x – y nummeriert sind.

x – y = (c – a) 2,

x = y + (c – a) 2.

Stellen wir drei Gleichungen auf.

(y + 1 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 = y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Die Faktoren 3 und 39 sind keine teilerfremden Zahlen, daher wurde ein Tripel mit einem Koeffizienten von 9 erhalten.

Lassen Sie uns das oben Geschriebene in allgemeinen Symbolen darstellen –

Alles in dieser Arbeit, einschließlich eines Beispiels für die Berechnung pythagoräischer Tripel mit der Zahl

N = 117, gebunden an den kleineren Faktor in - a. Explizite Diskriminierung in Bezug auf den Faktor in + a. Korrigieren wir diese Ungerechtigkeit – wir stellen drei Gleichungen mit einem Faktor in + a auf.

Kehren wir zur Frage der Identifizierung von IF und MF zurück.

In dieser Richtung wurde viel getan, und heute hat sich die Idee durchgesetzt: Eine Identifikationsgleichung, und zwar eine, die die Faktoren bestimmen kann, existiert nicht.

Angenommen, die Beziehung F = a,b (N) ist gefunden.

Es gibt eine Formel

Man kann b in der Formel F weglassen und erhält eine homogene Gleichung n-ten Grades bezüglich a, d. h. F = a(N).

Für jeden Grad n dieser Gleichung gibt es eine Zahl N mit m Faktorpaaren, für m > n.

Und als Konsequenz muss eine homogene Gleichung vom Grad n m Wurzeln haben.

Ja, das kann nicht sein.

In dieser Arbeit wurden die Zahlen N für die Gleichung x 2 = y 2 + z 2 berücksichtigt, wenn sie in der Gleichung anstelle von z stehen. Wenn N anstelle von x steht, ist dies ein anderes Problem.

Mit freundlichen Grüßen Belotelov V.A.