So beweisen Sie, dass Linien senkrecht sind. Lektion „senkrecht zu einer Linie“. Rechtwinkligkeit von Linien – Bedingungen der Rechtwinkligkeit

Eine Gerade (Abschnitt einer Geraden) wird durch zwei Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder einen Kleinbuchstaben bezeichnet. Der Punkt wird nur durch einen lateinischen Großbuchstaben angezeigt.

Linien dürfen sich nicht schneiden, schneiden oder zusammenfallen. Sich schneidende Linien haben nur einen gemeinsamen Punkt, sich nicht schneidende Linien haben keinen gemeinsamen Punkt und zusammenfallende Linien haben alle gemeinsame Punkte.

Definition. Zwei Geraden, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man Senkrechte. Die Rechtwinkligkeit gerader Linien (oder ihrer Segmente) wird durch das Rechtwinkligkeitszeichen „⊥“ angezeigt.

Zum Beispiel:

Dein AB Und CD(Abb. 1) schneiden sich im Punkt UM und ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BSB= 90° also AB ⊥ CD.

Wenn AB ⊥ CD(Abb. 2) und schneiden sich im Punkt IN, dann ∠ ABC = ∠ABD= 90°

Eigenschaften senkrechter Linien

1. Durch einen Punkt A(Abb. 3) Es kann nur eine senkrechte Gerade gezeichnet werden AB zu einer geraden Linie CD; die übrigen Linien verlaufen durch den Punkt A und Überqueren CD, werden geneigte Geraden genannt (Abb. 3, Geraden). AE Und AF).

2. Von einem Punkt aus A Sie können die Senkrechte auf eine gerade Linie senken CD; senkrechte Länge (Länge des Segments). AB), vom Punkt aus gezeichnet A direkt CD, ist die kürzeste Entfernung von A Vor CD(Abb. 3).

Definition senkrechter Linien

Senkrechte Linien.

Seien a und b Geraden, die sich im Punkt A schneiden (Abb. 1). Jede dieser Linien wird durch Punkt A in zwei Halblinien geteilt. Die Halblinien einer Linie bilden mit den Halblinien einer anderen Linie vier Winkel. Sei Alpha einer dieser Winkel. Dann liegt jeder der anderen drei Winkel entweder neben dem Alpha-Winkel oder vertikal zum Alpha-Winkel.

Daraus folgt: Wenn einer der Winkel recht ist, dann sind auch die anderen Winkel recht. In diesem Fall sagen wir, dass sich die Geraden im rechten Winkel schneiden.
Definition.
Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden (Abb. 2).

Die Rechtwinkligkeit von Geraden wird durch das Zeichen ⊥ angegeben. Der Eintrag a ⊥ b lautet: Gerade a steht senkrecht auf Gerade b.
Satz.

Durch jeden Punkt einer Linie kann man eine Linie senkrecht dazu ziehen, und zwar nur eine.

Nachweisen.
Sei a eine gegebene Gerade und A ein gegebener Punkt darauf. Bezeichnen wir mit Ax eine der Halblinien der Geraden a mit dem Anfangspunkt A (Abb. 3). Lassen Sie uns einen Winkel (a1b1) von 90° von der Halblinie a1 beiseite legen.
Dann steht die Linie, die den Strahl b1 enthält, senkrecht zur Linie a.

Nehmen wir an, dass es eine weitere Gerade gibt, die durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. Mit c1 bezeichnen wir die Halblinie dieser Linie, die in derselben Halbebene mit dem Strahl b2 liegt. Die Winkel (a1b1) und (a1c1), die jeweils 90° betragen, werden in einer Halbebene ausgehend von der Halblinie a1 angelegt. Aber von der Halbgeraden a1 in eine gegebene Halbebene kann nur ein Winkel gleich 90° aufgetragen werden. Daher kann es keine andere Linie geben, die durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Linie a verläuft. Der Satz ist bewiesen.

Definition.

Eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden ist ein Segment einer Geraden senkrecht zu einer gegebenen Geraden, deren eines ihrer Enden an ihrem Schnittpunkt liegt. Dieses Ende des Segments wird Basis der Senkrechten genannt.
In Abbildung 4 wird eine Senkrechte AB vom Punkt A zur Geraden a gezeichnet. Punkt B ist die Basis der Senkrechten.

Um eine Senkrechte zu konstruieren, verwenden Sie ein Zeichenquadrat (Abb. 5).

Zwei sich schneidende Geraden heißen senkrecht (oder zueinander senkrecht), wenn sie vier rechte Winkel bilden. Die Rechtwinkligkeit der Geraden AC und ÂD wird wie folgt bezeichnet: AC ⊥ ÂD (sprich: „Die Gerade AC steht senkrecht zur Geraden ÂD“).
Beachten Sie, dass sich zwei Geraden senkrecht zur dritten nicht schneiden (Abb. 6,a). Betrachten wir tatsächlich die Geraden AA1 und BB1, senkrecht zur Geraden PQ (Abb. 6, b). Biegen wir die Zeichnung gedanklich entlang der Geraden PQ, sodass der obere Teil der Zeichnung den unteren überlappt. Da die rechten Winkel 1 und 2 gleich sind, überlappt der Strahl RA den Strahl RA1. Ebenso überlappt Strahl QB mit Strahl QB1. Wenn wir also davon ausgehen, dass sich die Linien AA1 und BB1 im Punkt M schneiden, überlappt dieser Punkt einen Punkt M1, der ebenfalls auf diesen Linien liegt (Abb. 6, c), und wir erhalten, dass zwei Linien durch die Punkte M und M1 verlaufen: AA1 und BB1. Aber das ist unmöglich. Folglich ist unsere Annahme falsch und daher schneiden sich die Linien AA1 und BB1 nicht.

Rechte Winkel am Boden konstruieren

Um rechte Winkel am Boden zu konstruieren, werden spezielle Geräte verwendet, von denen das Eker das einfachste ist. Der Ecker besteht aus zwei rechtwinklig angeordneten Stangen, die auf einem Stativ montiert sind (Abb. 7). In die Enden der Stäbe werden Nägel eingeschlagen, so dass die durch sie verlaufenden Geraden senkrecht zueinander stehen. Um auf dem Boden einen rechten Winkel mit einer gegebenen Seite OA zu konstruieren, installieren Sie ein Stativ mit Eckwinkel so, dass sich die Lotlinie genau über Punkt O befindet und die Richtung einer Stange mit der Richtung des Strahls OA übereinstimmt. Die Kombination dieser Richtungen kann mithilfe einer auf dem Balken platzierten Stange erfolgen. Dann wird eine gerade Linie in Richtung des anderen Blocks gezeichnet (gerade OB in Abbildung 7). Das Ergebnis ist ein rechtwinkliger AOB.
In der Geodäsie werden fortschrittlichere Instrumente wie ein Theodolit verwendet, um rechte Winkel zu konstruieren.

Waagerecht:
3 . Ein gerades Liniensegment, das einen Punkt auf einem Kreis mit seinem Mittelpunkt verbindet. 6 . Eine Aussage, die keines Beweises bedarf. 9 . Konstruktion, Denksystem. 10 . Viereckansicht. 15 . Ein gerades Liniensegment, das zwei Punkte auf einer Kurve verbindet. 16 . Längenmaß. 17 18 . Der Schnittpunkt der Durchmesser eines Kreises. 19 . Trigonometrische Funktion. 20 . Teil eines Kreises. 21 . Ein altes Längenmaß.
Vertikal:
1 . Ein Symbol eines Alphabets. 2 . Art des Parallelogramms. 4 . Ein Akkord, der durch die Mitte eines Kreises verläuft. 5 . Geometrisches Element. 7 . Ein Strahl, der einen Winkel in zwei Hälften teilt. 8 . Symbol des griechischen Alphabets. 10 . Die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks. 11 . Ein Hilfssatz, der zum Beweis dient. 12 . Rechtwinkliges Dreieckselement. 13 . Eine der wunderbaren Linien des Dreiecks. 14 . Trigonometrische Funktion.

Es gibt eine solche Aufgabe:

Im Zauberwald gab es 10 verzauberte Quellen – Nummer 1, 2, 3, ... 10. Das Wasser jeder Quelle war in Farbe, Geschmack und Geruch nicht von gewöhnlichem Wasser zu unterscheiden, war aber ein starkes Gift. Derjenige, der es trank, war dem Untergang geweiht – es sei denn, er trank innerhalb einer Stunde danach Wasser aus einer Quelle mit einer höheren Nummer (zum Beispiel retteten die Quellen 4–10 das Gift der Quelle 3; das Gift der 10. Quelle ließ keine Chance). Erlösung). Die ersten 9 Quellen waren öffentlich zugänglich, aber Quelle 10 befand sich in der Höhle von Kaschtschei dem Unsterblichen und nur Kaschtschei hatte Zugang zu ihr.
Und dann forderte Iwan der Narr eines Tages Kaschtschei zu einem Duell heraus. Die Bedingungen waren einfach: Jeder bringt ein Glas Flüssigkeit mit, die Gegner tauschen Gläser aus und trinken den Inhalt. Und dann kommen sie so gut es geht zurecht.
Kashchei war zufrieden. Natürlich: Er wird Ivan Gift Nummer 10 geben, und nichts kann Ivan retten. Und er selbst wird das von Ivan gegebene Gift mit Wasser aus der 10. Quelle trinken – und wird gerettet.
Versuchen Sie, einen Duellplan für Ivan zu entwickeln. Die Aufgabe besteht darin, am Leben zu bleiben und Kashchei zu erledigen.

Antwort 1. Töte Kashchei. Ihm muss kein Gift verabreicht werden, sondern sauberes Wasser. Er wird es mit seinem Gift herunterspülen – und er ist verloren.
Antwort 2. Bring dich nicht um. Jedes Gift außer Nummer 1 kann auch ein Gegenmittel sein. Bevor Sie zum Duell kommen, müssen Sie minderwertiges Gift trinken. Und dann wird Gift Nummer 10, das er von Kashchei im Duell erhalten hat, nicht töten, sondern retten.

Im Allgemeinen ist die Idee trivial. Es ist nicht immer möglich, eine Aktion isoliert abzuwägen. Die gleiche Wirkung kann sowohl ein Gift als auch ein Gegenmittel sein. Viel hängt vom Hintergrund ab. Ich werde nicht alles sagen, aber zweifellos viel.
Und wenn Sie hören, dass jemand, den Sie kennen, dies oder jenes Schlimme getan hat, beeilen Sie sich nicht, ihn zu beschimpfen. Sind Sie sicher, dass das nur böse Dinge sind? Könnte es sein, dass sie einfach so aussehen? Sind Sie sicher, dass Sie den Hintergrund dieser Aktionen kennen?

Konstruieren einer senkrechten Linie

Jetzt versuchen wir, mit einem Zirkel eine senkrechte Gerade zu konstruieren. Dazu haben wir den Punkt O und die Gerade a.

Das erste Bild zeigt eine Gerade, auf der der Punkt O liegt, und im zweiten Bild liegt dieser Punkt nicht auf der Geraden a.

Schauen wir uns nun diese beiden Optionen getrennt an.

1. Möglichkeit

Zuerst nehmen wir einen Zirkel, platzieren ihn in der Mitte des Punktes O und zeichnen einen Kreis mit einem beliebigen Radius. Nun sehen wir, dass dieser Kreis die Gerade a in zwei Punkten schneidet. Dies seien die Punkte A und B.

Als nächstes nehmen und zeichnen wir Kreise aus den Punkten A und B. Der Radius dieser Kreise ist AB, aber Punkt C ist der Schnittpunkt dieser Kreise. Wenn Sie sich erinnern, haben wir ganz am Anfang die Punkte A und B erhalten, als wir einen Kreis gezeichnet und einen beliebigen Radius genommen haben.

Als Ergebnis sehen wir, dass die gewünschte Senkrechte durch die Punkte C und O verläuft.

Nachweisen

Für diesen Beweis müssen wir die Segmente AC und CB zeichnen. Und wir sehen, dass die resultierenden Dreiecke gleich sind: Δ ACO = Δ BCO, dies folgt aus dem dritten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken, das heißt, es stellt sich heraus, dass AO = OB, AC = CB und CO in der Konstruktion üblich sind. Die resultierenden Winkel ∠COA und ∠COB sind gleich und haben beide einen Betrag von 90°. Daraus folgt, dass die Linie CO senkrecht zu AB steht.

Daraus können wir schließen, dass die am Schnittpunkt zweier Geraden gebildeten Winkel senkrecht sind, wenn mindestens eine von ihnen senkrecht ist, was bedeutet, dass ein solcher Winkel 90 Grad beträgt und rechts ist.

2. Möglichkeit

Betrachten wir nun die Möglichkeit, eine Senkrechte zu konstruieren, bei der ein gegebener Punkt nicht auf der Geraden a liegt.

In diesem Fall zeichnen wir mit einem Zirkel vom Punkt O aus einen Kreis mit einem solchen Radius, dass dieser Kreis die Gerade a schneidet. Und seien die Punkte A und B die Schnittpunkte dieses Kreises mit einer gegebenen Geraden a.

Als nächstes nehmen wir den gleichen Radius, zeichnen aber Kreise, deren Mittelpunkt die Punkte A und B sein werden. Wir schauen uns die Abbildung an und sehen, dass wir Punkt O1 haben, der auch der Schnittpunkt der Kreise ist und in a liegt Halbebene, aber anders als die, in der Punkt O liegt.

Als nächstes zeichnen wir eine gerade Linie durch die Punkte O und O1. Dies wird die senkrechte Gerade sein, nach der wir gesucht haben.

Nachweisen

Nehmen wir an, dass der Schnittpunkt der Geraden OO1 und AB der Punkt C ist. Dann sind die Dreiecke AOB und BO1A gemäß dem dritten Kriterium für die Gleichheit der Dreiecke gleich und AO = OB = AO1 = O1B, und AB ist in der Konstruktion üblich. Daraus folgt, dass die Winkel OAC und O1AC gleich sind. Die Dreiecke OAC und O1AC folgen aus dem ersten Kriterium für die Gleichheit der Dreiecke AO gleich AO1, und konstruktionsbedingt sind die Winkel OAC und O1AC gleich mit einem gemeinsamen AC. Folglich ist der Winkel OCA gleich dem Winkel O1CA, aber da sie benachbart sind, bedeutet dies, dass sie gerade sind. Daraus schließen wir, dass OC eine Senkrechte ist, die vom Punkt O zur Geraden a fällt.

So können Sie nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals ganz einfach senkrechte Geraden konstruieren. Dabei spielt es keine Rolle, wo sich der Punkt befindet, durch den die Senkrechte verlaufen soll, auf einem Segment oder außerhalb dieses Segments, in diesen Fällen kommt es vor allem darauf an, die Anfangspunkte A und B richtig zu finden und zu bezeichnen.

Fragen:

1. Welche Geraden heißen Senkrechte?
2. Wie groß ist der Winkel zwischen senkrechten Linien?
3. Womit konstruiert man senkrechte Linien?

Satz. Von einem Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, können Sie eine Senkrechte zu dieser Geraden zeichnen.

Nachweisen. Sei A ein Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie a liegt (Abb. 56, a). Beweisen wir, dass wir vom Punkt A aus eine Senkrechte zur Geraden a zeichnen können. Biegen wir die Ebene gedanklich entlang der Geraden a (Abb. 56, b), sodass die Halbebene mit der Grenze a, die den Punkt A enthält, eine andere Halbebene überlappt. In diesem Fall überlappt Punkt A einen Punkt. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben B. Erweitern wir die Ebene und zeichnen wir eine gerade Linie durch die Punkte A und B.

Sei H der Schnittpunkt der Geraden AB und a (Abb. 56, c). Wenn die Ebene wieder geradlinig gebogen wird, bleibt Punkt H an Ort und Stelle. Daher überlappt der Strahl HA den Strahl HB und somit überlappt sich Winkel 1 mit Winkel 2. Somit ist ∠1 = ∠2. Da die Winkel 1 und 2 benachbart sind, beträgt ihre Summe 180°, sie sind also jeweils ein rechter Winkel. Daher steht die Strecke AH senkrecht zur Geraden a. Der Satz ist bewiesen.

26. Beweisen Sie den Satz über die Eindeutigkeit einer Senkrechten zu einer Geraden. (Abb. 57 im Lehrbuch)

Satz. Von einem Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, ist es unmöglich, zwei Senkrechte zu dieser Geraden zu zeichnen.

Nachweisen. Sei A ein Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden a liegt (siehe Abb. 56, a). Beweisen wir, dass es von Punkt A aus unmöglich ist, zwei Senkrechte zur Geraden a zu zeichnen. Nehmen wir an, dass man vom Punkt A aus zwei Senkrechte AH und AK zur Geraden a zeichnen kann (Abb. 57). Biegen wir die Ebene gedanklich entlang der Geraden a, sodass die Halbebene mit der Grenze a, die den Punkt A enthält, eine andere Halbebene überlappt. Beim Biegen bleiben die Punkte H und K an Ort und Stelle, Punkt A wird einem bestimmten Punkt überlagert. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben B. In diesem Fall überlagern sich die Segmente AH und AK mit den Segmenten BH und BK.

Die Winkel AHB und AKB sind umgekehrte Winkel, da jeder von ihnen gleich der Summe zweier rechter Winkel ist. Daher liegen die Punkte A, H und B auf derselben Geraden und auch die Punkte A, K und B liegen auf derselben Geraden.

Somit haben wir erhalten, dass zwei Geraden AH und AK durch die Punkte A und B verlaufen. Aber das kann nicht sein. Folglich ist unsere Annahme falsch, was bedeutet, dass es vom Punkt A aus unmöglich ist, zwei Senkrechte zur Geraden a zu zeichnen. Der Satz ist bewiesen.

http://mthm.ru/geometry7/perpendicular

Senkrechte Linien kommen in fast jedem geometrischen Problem vor. Manchmal ist die Rechtwinkligkeit von Linien aus der Bedingung bekannt, in anderen Fällen muss die Rechtwinkligkeit von Linien nachgewiesen werden. Um die Rechtwinkligkeit zweier Geraden zu beweisen, genügt es, mit beliebigen geometrischen Methoden zu zeigen, dass der Winkel zwischen den Geraden neunzig Grad beträgt.

Wie lässt sich die Frage „Sind die Linien senkrecht“ beantworten, wenn die Gleichungen bekannt sind, die diese Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum definieren?

Dazu sollten Sie verwenden notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Formulieren wir es in Form eines Theorems.

Satz.

A Und B Es ist notwendig und ausreichend, dass der Richtungsvektor gerade ist A war senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden B.

Der Beweis dieser Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Geraden basiert auf der Definition des Richtungsvektors der Geraden und auf der Definition senkrechter Geraden.

Lassen Sie uns Einzelheiten hinzufügen.

In der Ebene soll ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem eingeführt werden Oxy und die Gleichungen einer Linie auf einer Ebene irgendeiner Art werden angegeben, die die Linien definieren A Und B. Bezeichnen wir die Richtungsvektoren der Geraden A Und B als und dementsprechend. Durch Geradengleichungen A Und B Wir können die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Geraden bestimmen – wir erhalten und . Dann für die Rechtwinkligkeit der Linien A Und B Es ist notwendig und ausreichend, dass die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren erfüllt ist, d. h. dass das Skalarprodukt der Vektoren und gleich Null ist: .

Also, A Und B in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy im Flugzeug hat die Form , wobei und die Richtungsvektoren der Linien sind A Und B jeweils.

Diese Bedingung ist praktisch, wenn die Koordinaten der Richtungsvektoren von geraden Linien leicht zu finden sind, und auch wenn gerade Linien vorhanden sind A Und B entsprechen kanonischen Gleichungen einer Geraden in einer Ebene oder parametrischen Gleichungen einer Geraden in einer Ebene.

Beispiel.

In einem rechteckigen Koordinatensystem Oxy Es werden drei Punkte vergeben. Stehen die Linien senkrecht? AB Und Wechselstrom?

Lösung.

Die Vektoren und sind die Richtungsvektoren der Linien AB Und Wechselstrom. Unter Bezugnahme auf die Artikelkoordinaten eines Vektors, basierend auf den Koordinaten seiner Anfangs- und Endpunkte, berechnen wir . Vektoren und sind seitdem senkrecht . Damit ist die notwendige und ausreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Linien erfüllt AB Und Wechselstrom. Daher gerade AB Und Wechselstrom aufrecht.

Antwort:

Ja, gerade Linien stehen senkrecht.

Beispiel.

Sind die geraden und aufrecht?

Lösung.

Der Richtungsvektor ist eine Gerade und der Richtungsvektor einer Geraden . Berechnen wir das Skalarprodukt von Vektoren und: . Es ist ungleich Null, daher stehen die Richtungsvektoren der Geraden nicht senkrecht. Das heißt, die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien ist nicht erfüllt, daher sind die ursprünglichen Linien nicht senkrecht.

Antwort:

Nein, die Linien stehen nicht senkrecht.

Ebenfalls, notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien A Und B in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im dreidimensionalen Raum hat die Form , Wo Und - Richtungsvektoren von Geraden A Und B jeweils.

Beispiel.

Sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem definierte Linien senkrecht? Oxyz im dreidimensionalen Raum durch Gleichungen Und ?

Lösung.

Die Zahlen in den Nennern der kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum sind die entsprechenden Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden. Und die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden, der durch die parametrischen Gleichungen der Geraden im Raum angegeben wird, sind die Koeffizienten des Parameters. Auf diese Weise, und sind die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden. Finden wir heraus, ob sie senkrecht stehen: . Da das Skalarprodukt Null ist, stehen diese Vektoren senkrecht zueinander. Dies bedeutet, dass die Bedingung der Rechtwinkligkeit der gegebenen Linien erfüllt ist.

Antwort:

Geraden stehen senkrecht.

Um die Rechtwinkligkeit zweier Linien in einer Ebene zu prüfen, gibt es weitere notwendige und hinreichende Bedingungen für die Rechtwinkligkeit.

Satz.

Für die Rechtwinkligkeit von Linien A Und B In der Ebene ist es notwendig und ausreichend, dass der Normalenvektor eine Gerade ist A war senkrecht zum Normalenvektor der Linie B.

Die angegebene Bedingung der Rechtwinkligkeit von Linien ist praktisch anzuwenden, wenn mithilfe der gegebenen Liniengleichungen die Koordinaten der Normalenvektoren der Linien leicht ermittelt werden können. Diese Aussage entspricht der allgemeinen Geradengleichung der Form , die Gleichung einer Geraden in Segmenten und die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass es gerade ist und senkrecht.

Lösung.

Ausgehend von den Geradengleichungen ist es leicht, die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Geraden zu finden. – Normallinienvektor . Schreiben wir die Gleichung im Formular um , von wo aus die Koordinaten des Normalenvektors dieser Linie sichtbar sind: .

Vektoren und sind senkrecht, da ihr Skalarprodukt gleich Null ist: . Somit ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der gegebenen Linien erfüllt, das heißt, sie sind wirklich senkrecht.

Insbesondere wenn direkt A auf der Ebene bestimmt die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten der Form , und der Geraden B– der Form , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien die Koordinaten bzw. und die Bedingung für die Rechtwinkligkeit dieser Linien reduziert sich auf die folgende Beziehung zwischen den Winkelkoeffizienten .

Beispiel.

Stehen die Linien senkrecht zueinander?

Lösung.

Die Steigung einer Geraden ist gleich, und die Steigung einer Geraden ist gleich. Das Produkt der Winkelkoeffizienten ist gleich minus eins, daher stehen die Geraden senkrecht.

Antwort:

die angegebenen Geraden stehen senkrecht zueinander.

Es kann noch eine weitere Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien auf einer Ebene angegeben werden.

Satz.

Für die Rechtwinkligkeit von Linien A Und B In einer Ebene ist es notwendig und ausreichend, dass der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor der zweiten Geraden kollinear sind.

Diese Bedingung ist offensichtlich praktisch, wenn die Koordinaten des Richtungsvektors einer Linie und die Koordinaten des Normalenvektors der zweiten Linie leicht zu finden sind, d. h. wenn eine Linie durch eine kanonische Gleichung oder parametrische Gleichungen einer Linie gegeben ist auf einer Ebene und die zweite entweder durch eine allgemeine Geradengleichung oder eine Geradengleichung in Segmenten oder die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten.

Beispiel.

Sind Geraden und Senkrechte?

Lösung.

Offensichtlich ist es der Normalenvektor der Linie und der Richtungsvektor der Linie. Vektoren und sind nicht kollinear, da für sie die Bedingung der Kollinearität zweier Vektoren nicht erfüllt ist (es gibt keine solche reelle Zahl). T, bei welchem). Daher sind die angegebenen Linien nicht senkrecht.

Antwort:

die Linien sind nicht senkrecht.

21. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie wird durch den Abstand von Punkt zu Punkt bestimmt. Lassen Sie uns zeigen, wie es geht.

Gegeben sei eine Gerade in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum A und Punkt M 1, nicht auf einer geraden Linie A. Lassen Sie uns den Punkt durchziehen M 1 Direkte B, senkrecht zur Linie A. Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Geraden A Und B Wie H 1. Liniensegment M 1 H 1 angerufen aufrecht, aus dem Punkt gezogen M 1 zu einer geraden Linie A.

Definition.

Abstand vom Punkt M 1 zu einer geraden Linie A nennen Sie den Abstand zwischen Punkten M 1 Und H 1.

Die gebräuchlichste Definition des Abstands von einem Punkt zu einer Geraden ist jedoch die Länge der Senkrechten.

Definition.

Abstand vom Punkt zur Linie ist die Länge der Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden gezogen wird.

Diese Definition entspricht der ersten Definition des Abstands von einem Punkt zu einer Linie.

Bitte beachten Sie, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Linie der kleinste der Abstände von diesem Punkt zu den Punkten auf einer bestimmten Linie ist. Zeigen wir es.

Nehmen wir es auf einer geraden Linie A Punkt Q, stimmt nicht mit dem Punkt überein M 1. Liniensegment M 1 Q angerufen geneigt, aus dem Punkt gezogen M 1 zu einer geraden Linie A. Wir müssen zeigen, dass die Senkrechte vom Punkt aus gezogen wird M 1 zu einer geraden Linie A, kleiner als jede vom Punkt aus gezeichnete Steigung M 1 zu einer geraden Linie A. Es stimmt: ein Dreieck M 1 QH 1 rechteckig mit Hypotenuse M 1 Q, und die Länge der Hypotenuse ist immer größer als die Länge eines der Beine, daher .

22. Flugzeug im R3-Raum. Gleichung einer Ebene.

Eine Ebene in einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem kann durch die Gleichung angegeben werden: Was heisst allgemeine Gleichung Flugzeug.

Definition. Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und wird als ihr bezeichnet Normalenvektor.

Wenn in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die Koordinaten von drei Punkten bekannt sind, die nicht auf derselben Linie liegen, lautet die Gleichung der Ebene wie folgt: .

Nachdem wir diese Determinante berechnet haben, erhalten wir die allgemeine Gleichung der Ebene.

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte verläuft.

Lösung:

Ebenengleichung: .

23. Studium der allgemeinen Gleichung der Ebene.

Definition 2. Jeder Vektor senkrecht zu einer Ebene wird Normalenvektor dieser Ebene genannt.

Wenn ein Fixpunkt bekannt ist M 0 (X 0 , j 0 , z 0), der in einer gegebenen Ebene liegt, und der Vektor senkrecht zu einer gegebenen Ebene, dann die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt verläuft M 0 (X 0 , j 0 , z 0), senkrecht zum Vektor, hat die Form

A(x-x 0)+B(j-j 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)

Zeigen wir, dass Gleichung (3.22) die allgemeine Gleichung der Ebene (3.21) ist. Öffnen Sie dazu die Klammern und setzen Sie den freien Begriff in Klammern:

.Ax + By+ Cz +(-Axt 0 -By-Cz 0)= 0

Bestimmt haben D = -Axt 0 -By-Cz 0, wir erhalten die Gleichung Ax + By + Cz + D= 0.

Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die senkrecht zum Vektor durch Punkt A verläuft, wenn A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Lösung. Finden wir den Normalenvektor der Ebene:

Um die Gleichung der Ebene zu finden, verwenden wir Gleichung (3.22):

Antwort: -3X + 5j + 2z + 25 = 0.

Aufgabe 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch einen Punkt verläuft M 0 (-1, 2, -1), senkrecht zur Achse OZ.

Lösung. Als Normalenvektor der gewünschten Ebene können Sie beispielsweise einen beliebigen Vektor nehmen, der auf der OZ-Achse liegt, dann die Gleichung der Ebene

Antwort: z + 1 = 0.

24. Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird durch den Abstand von einem Punkt zu einem Punkt bestimmt, von denen einer ein gegebener Punkt und der andere die Projektion eines gegebenen Punktes auf eine gegebene Ebene ist.

Gegeben sei ein Punkt im dreidimensionalen Raum M 1 und Flugzeug. Lassen Sie uns den Punkt durchziehen M 1 Direkte A, senkrecht zur Ebene. Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Geraden A und Flugzeuge mögen H 1. Liniensegment M 1 H 1 angerufen aufrecht, fiel vom Punkt M 1 zu einer Ebene und einem Punkt H 1 – Basis der Senkrechten.

Definition.

ist der Abstand von einem gegebenen Punkt zur Basis einer Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Ebene gezogen wird.

Die gebräuchlichste Definition des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene lautet wie folgt.

Definition.

Abstand vom Punkt zur Ebene ist die Länge der Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Ebene gezogen wird.

Es ist zu beachten, dass der Abstand vom Punkt M 1 zur auf diese Weise definierten Ebene ist der kleinste der Abstände von einem gegebenen Punkt M 1 zu jedem Punkt im Flugzeug. In der Tat, lassen Sie es auf den Punkt kommen H 2 liegt in der Ebene und unterscheidet sich vom Punkt H 1. Offensichtlich ein Dreieck M 2 H 1 H 2 ist rechteckig, darin M 1 H 1– Bein, und M 1 H 2– Hypotenuse also, . Übrigens, das Segment M 1 H 2 angerufen geneigt, aus dem Punkt gezogen M 1 zum Flugzeug. Daher ist eine Senkrechte, die von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene gezogen wird, immer kleiner als eine Senkrechte, die von demselben Punkt zu einer bestimmten Ebene verläuft.

Wenn eine Gerade durch zwei gegebene Punkte geht , dann sie Die gleichung im Formular geschrieben : .

Definition. Der Vektor heißt Führer Vektor einer Geraden, wenn sie parallel zu ihr ist oder zu ihr gehört.

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft .

Lösung: Wir verwenden die allgemeine Formel einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft: - kanonische Gleichung einer Geraden, die durch Punkte verläuft und . Der Vektor ist ein Vektor mit gerader Richtung.

26. Relative Position der Linien im Raum R3.

Kommen wir zu den Optionen für die relative Position zweier Linien im Raum.

Erstens können zwei Geraden zusammenfallen, also unendlich viele gemeinsame Punkte haben (mindestens zwei gemeinsame Punkte).

Zweitens können sich zwei Linien im Raum schneiden, also einen gemeinsamen Punkt haben. In diesem Fall liegen diese beiden Linien in einer Ebene des dreidimensionalen Raums. Wenn sich zwei Geraden im Raum schneiden, dann kommt man auf den Begriff eines Winkels zwischen den sich schneidenden Geraden.

Drittens können zwei Linien im Raum parallel sein. In diesem Fall liegen sie in derselben Ebene und haben keine gemeinsamen Punkte. Wir empfehlen Ihnen, den Artikel Parallele Linien, Parallelität von Linien zu studieren.

Nachdem wir die Definition paralleler Linien im Raum gegeben haben, sollten wir aufgrund ihrer Bedeutung über die Richtungsvektoren einer Geraden sprechen. Jeder Vektor ungleich Null, der auf dieser Linie oder auf einer Linie liegt, die parallel zu dieser Linie ist, wird als Richtungsvektor der Linie bezeichnet. Der Richtungsvektor einer Geraden wird sehr häufig bei der Lösung von Problemen mit einer Geraden im Raum verwendet.

Schließlich können sich zwei Linien im dreidimensionalen Raum schneiden. Zwei Linien im Raum werden als Schräge bezeichnet, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen. Diese gegenseitige Anordnung zweier Geraden im Raum führt uns zum Konzept eines Winkels zwischen sich schneidenden Geraden.

Von besonderer praktischer Bedeutung ist der Fall, wenn der Winkel zwischen sich schneidenden oder kreuzenden Linien im dreidimensionalen Raum neunzig Grad beträgt. Solche Linien werden als Senkrechten bezeichnet (siehe den Artikel senkrechte Linien, Rechtwinkligkeit von Linien).

27. Die relative Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum R3.

Eine Gerade kann auf einer bestimmten Ebene liegen, parallel zu einer bestimmten Ebene sein oder diese in einem Punkt schneiden, siehe die folgenden Abbildungen.

Wenn, dann bedeutet dies, dass. Und dies ist nur möglich, wenn die Gerade in der Ebene liegt oder parallel zu dieser verläuft. Wenn eine Linie auf einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Linie ein Punkt auf der Ebene und die Koordinaten jedes Punktes auf der Linie erfüllen die Gleichung der Ebene. Daher genügt es zu prüfen, ob der Punkt auf der Ebene liegt. Wenn, dann zeigen - liegt auf der Ebene, was bedeutet, dass die Gerade selbst auf der Ebene liegt.

Wenn , a , dann liegt der Punkt auf der Geraden nicht auf der Ebene, was bedeutet, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft.

Der Satz ist bewiesen.

Die Videolektion „Senkrecht zu einer Linie“ ist eine visuelle Hilfe, die in einer Geometriestunde zu diesem Thema verwendet werden kann. Die Videolektion enthält eine Einführung in das Konzept einer Senkrechten sowie einen Beweis des Satzes über das Zeichnen einer Geraden senkrecht zu einer gegebenen Geraden.

Mit Hilfe einer Videolektion ist es einfacher, den Stoff zu erlernen, da alle Konstruktionen mithilfe von Animationen erstellt werden, die die Vorführung des Stoffes durch einen Lehrer anhand einer Lehrtafel simulieren. In diesem Fall werden alle wichtigen Details farblich oder mit einem speziellen Cursor hervorgehoben. Die der Konstruktion beigefügte ausführliche Erklärung stellt klar und deutlich einen der schwierigsten Teile der Geometrie dar – den Beweis. Eine Videolektion kann ein eigenständiger Teil einer Unterrichtsstunde werden und dem Lehrer Freiraum für individuelle Arbeit geben oder eine Erklärung begleiten.

Zu Beginn der Videolektion wird der Titel des Themas „Senkrecht zu einer Linie“ bekannt gegeben. Die Konstruktion einer Senkrechten beginnt mit der Konstruktion des Punktes A und der Geraden a. Von Punkt A wird ein Segment auf die Gerade a zum Punkt H abgesenkt. Es wird angezeigt, dass das auf die Gerade a abgesenkte Segment AN als senkrecht bezeichnet wird, wenn die durch dieses Segment verlaufende Gerade senkrecht zur Geraden a steht. In der der Erläuterung beigefügten Abbildung ist der zwischen diesen Linien gebildete rechte Winkel mit einem speziellen Symbol gekennzeichnet und mit Hilfe einer Animation wird die Strecke AN zu einer Geraden fortgeführt. Basierend auf dieser Aussage wird eine Senkrechte als ein Segment definiert, das Teil einer Geraden ist, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden steht. Die Definition wird auf dem Bildschirm angezeigt und die untersuchten Konzepte werden rot hervorgehoben. Diese Präsentation lenkt die Aufmerksamkeit der Schüler auf die Definition; es besteht die Möglichkeit, sie in ein Notizbuch zu schreiben, um sie sich leichter zu merken. Es ist zu beachten, dass der Punkt H, an dem sich diese Linien schneiden, Basis der Senkrechten genannt wird.

Als nächstes wird den Schülern ein Beweis eines wichtigen Theorems vorgelegt, der zur Lösung vieler geometrischer Probleme und zum Beweis der folgenden Theoreme beitragen wird. Der Text des Theorems wird auf dem Bildschirm angezeigt und kann den Schülern zum Eintragen in ihre Hefte angeboten werden. Der Beweis des Satzes beginnt mit der Konstruktion einer Geraden BC und eines Punktes A, der nicht zur Geraden BC gehört. Der erste Teil des Beweises besteht darin, dass man von Punkt A aus eine Senkrechte zur Linie BC zeichnen kann. Um diese Aussage zu beweisen, wird zunächst der Winkel ∠MVS konstruiert, der gleich dem Winkel ∠ABC ist, der vom Beginn des Strahls BC aus konstruiert wurde. Da diese Winkel gleich sind, fallen sie bei Überlagerung zusammen. Die Seiten BA und BC ∠ABC fallen auch mit den Seiten BM und BC des Winkels ∠MVS zusammen. In diesem Fall wird Punkt A dem Punkt A 1 überlagert. Punkt H ist markiert, der der Schnittpunkt des Segments AA 1 und der Geraden BC ist. Diese Überlappung kann als Krümmung des Musters entlang der Geraden BC interpretiert werden. In diesem Fall steht das durch die Konstruktion erhaltene Segment AN senkrecht zur Geraden H. Und der Strahl HA wird mit dem Strahl HA 1 kombiniert. In diesem Fall wird ∠1 – der Schnittwinkel des Segments AN und der Geraden BC – überlagert mit ∠2 – dem Schnittwinkel des Segments NA 1 und der Geraden BC. In diesem Fall liegen die Winkel ∠1 und ∠2 nebeneinander. Man kann argumentieren, dass jeder dieser Winkel recht ist, da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt und da rechte Winkel am Schnittpunkt gebildet werden, dann steht AN senkrecht zur Geraden BC. Die Bezeichnung senkrechter Linien wird auf dem Bildschirm durch ein spezielles Symbol angezeigt und zum Einprägen hervorgehoben.

Der zweite Teil des Beweises ist der Tatsache gewidmet, dass vom Punkt A nur eine Senkrechte zu BC gezogen werden kann. Dazu wird unterhalb der ersten Figur eine zusätzliche Konstruktion vorgenommen. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Es wird angenommen, dass vom Punkt A aus mehrere Geraden senkrecht zur Geraden BC gezogen werden können. In der Abbildung wird zusätzlich zur Senkrechten eine weitere Gerade konstruiert, die vom Punkt A zur Geraden BC abgesenkt wird. Es stellt sich jedoch heraus, dass die konstruierte Gerade AN 1 die bestehende Senkrechte AN schneidet. Dies ist jedoch unmöglich, daher kann man von Punkt A aus nur eine Gerade senkrecht zu BC zeichnen – das beweist den Satz.

Die Videolektion „Senkrecht zu einer Linie“ kann vom Lehrer genutzt werden, um neues Material zu diesem Thema vorzustellen. Außerdem helfen klare und visuelle Beweise dem Schüler, das neue Thema selbstständig zu verstehen. Das Material kann auch im Fernunterricht eingesetzt werden.