So extrahieren Sie die vierte Wurzel einer Zahl. Quadratwurzel. Ausführliche Theorie mit Beispielen. Warum braucht man Wurzeln überhaupt

Auf unserer Website veröffentlicht. Das Rooten einer Zahl wird oft in verschiedenen Berechnungen verwendet, und unser Rechner ist ein großartiges Werkzeug für diese Art von Mathematik.

Mit dem Online-Rechner mit Wurzeln können Sie schnell und einfach alle Berechnungen durchführen, bei denen die Wurzel gezogen wird. Die Wurzel dritten Grades ist so einfach zu berechnen wie die Quadratwurzel einer Zahl, die Wurzel einer negativen Zahl, die Wurzel einer komplexen Zahl, die Wurzel von Pi usw.

Die Berechnung der Wurzel einer Zahl ist manuell möglich. Wenn es möglich ist, die ganze Wurzel einer Zahl zu berechnen, dann finden wir einfach den Wert des Wurzelausdrucks mithilfe der Wurzeltabelle. In anderen Fällen reduziert sich die Näherungsberechnung der Wurzeln auf die Erweiterung des Wurzelausdrucks in das Produkt einfacherer Faktoren, die Potenzen sind und die für das Wurzelzeichen entfernt werden können, um den Ausdruck unter dem Wurzelsatz so weit wie möglich zu vereinfachen.

Aber verwenden Sie nicht eine solche Root-Lösung. Und deshalb. Erstens müssen Sie viel Zeit für solche Berechnungen aufwenden. Zahlen an der Wurzel bzw. Ausdrücke können ziemlich komplex sein, und der Grad ist nicht unbedingt quadratisch oder kubisch. Zweitens ist die Genauigkeit solcher Berechnungen nicht immer erfüllt. Und drittens gibt es einen Online-Wurzelrechner, der jede Wurzelextraktion in Sekundenschnelle für Sie durchführt.

Eine Wurzel aus einer Zahl zu ziehen bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit n potenziert wird, gleich dem Wert des Wurzelausdrucks ist, wobei n die Potenz der Wurzel und die Zahl selbst die Wurzel der Wurzel ist. Die Wurzel 2. Grades heißt einfach oder quadratisch, die Wurzel 3. Grades kubisch, wobei die Gradangabe in beiden Fällen weggelassen wird.

Das Lösen von Wurzeln in einem Online-Rechner beschränkt sich darauf, einen mathematischen Ausdruck in die Eingabezeile zu schreiben. Die Extraktion aus einer Wurzel im Taschenrechner wird als sqrt bezeichnet und erfolgt mit drei Schlüsseln - Extraktion der Quadratwurzel sqrt (x), Extraktion der Kubikwurzel sqrt3 (x) und Extraktion der n-ten Wurzel aus sqrt (x, y) . Ausführlichere Informationen zum Bedienfeld finden Sie auf der Seite.

Ziehen der Quadratwurzel

Durch Drücken dieser Schaltfläche wird ein Quadratwurzelextraktionseintrag in die Eingabezeile eingefügt: sqrt (x), Sie müssen nur den Wurzelausdruck eingeben und die Klammer schließen.

Lösungsbeispiel Quadratwurzeln im Rechner:

Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl liegt und der Grad der Wurzel gerade ist, wird die Antwort als komplexe Zahl mit einer imaginären Einheit i dargestellt.

Quadratwurzel einer negativen Zahl:

Dritte Wurzel

Verwenden Sie diesen Schlüssel, wenn Sie die Kubikwurzel extrahieren müssen. Es fügt sqrt3 (x) in die Eingabezeile ein.

Wurzel 3 Grad:

Wurzel des Grades n

Natürlich können Sie mit dem Online-Wurzelrechner nicht nur die Quadrat- und Kubikwurzeln einer Zahl, sondern auch die Wurzel der Potenz n ziehen. Durch Drücken dieser Schaltfläche wird ein Datensatz der Form sqrt (x x, y) angezeigt.

Wurzel des 4. Grades:

Eine exakte n-te Wurzel einer Zahl kann nur extrahiert werden, wenn die Zahl selbst eine exakte n-te Wurzel ist. Andernfalls wird sich die Berechnung als ungefähr herausstellen, obwohl sie dem Ideal sehr nahe kommt, da die Genauigkeit der Berechnungen Online-Rechner erreicht 14 Nachkommastellen.

5. Wurzel mit ungefährem Ergebnis:

Bruchwurzel

Der Taschenrechner kann die Wurzel aus verschiedenen Zahlen und Ausdrücken berechnen. Das Finden der Wurzel eines Bruchs wird auf ein separates Ziehen der Wurzel aus Zähler und Nenner reduziert.

Quadratwurzel eines Bruchs:

Wurzel von Wurzel

In Fällen, in denen die Wurzel des Ausdrucks unter der Wurzel liegt, können sie gemäß der Eigenschaft der Wurzeln durch eine Wurzel ersetzt werden, deren Grad dem Produkt der Grade beider entspricht. Einfach ausgedrückt, um die Wurzel aus der Wurzel zu extrahieren, reicht es aus, die Indikatoren der Wurzeln zu multiplizieren. In dem in der Abbildung gezeigten Beispiel kann der Ausdruck Wurzel dritten Grades durch eine Wurzel zweiten Grades durch eine Wurzel sechsten Grades ersetzt werden. Geben Sie den Ausdruck nach Belieben an. Der Rechner berechnet sowieso alles richtig.

Herzlichen Glückwunsch: Heute beschäftigen wir uns mit Wurzeln - einem der hirnreichsten Themen der 8. Klasse. :)

Viele sind verwirrt über die Wurzeln, nicht weil sie komplex sind (was so schwierig ist - ein paar Definitionen und ein paar Eigenschaften), sondern weil in den meisten Schulbüchern die Wurzeln durch einen solchen Dschungel bestimmt werden, dass nur die Autoren der Lehrbücher selbst können dieses Gekritzel herausfinden. Und selbst dann nur mit einer Flasche guten Whiskys. :)

Daher werde ich jetzt die korrekteste und kompetenteste Definition der Wurzel geben - die einzige, an die Sie sich wirklich erinnern sollten. Und erst dann erkläre ich: warum das alles nötig ist und wie man es in der Praxis umsetzt.

Aber erinnern Sie sich zunächst an einen wichtigen Punkt, den viele Lehrbuch-Compiler aus irgendeinem Grund "vergessen":

Wurzeln können von geradem Grad (unser geliebtes $ \ sqrt (a) $, sowie alle Arten von $ \ sqrt (a) $ und gerade $ \ sqrt (a) $) und ungeraden Graden (alle Arten von $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ usw.). Und die Definition einer Wurzel ungeraden Grades unterscheidet sich etwas von einer geraden.

Hier in diesem verdammten "etwas anderen" versteckt sich wohl 95% aller Fehler und Missverständnisse, die mit den Wurzeln verbunden sind. Befassen wir uns daher ein für alle Mal mit der Terminologie:

Definition. Sogar Wurzel n von $ a $ ist alles nicht negativ eine Zahl $ b $ mit $ ((b) ^ (n)) = a $. Und die ungerade Wurzel derselben Zahl $ a $ ist im Allgemeinen jede Zahl $ b $, für die dieselbe Gleichheit gilt: $ ((b) ^ (n)) = a $.

In jedem Fall wird die Wurzel wie folgt angezeigt:

\ (ein) \]

Die Zahl $ n $ in einem solchen Satz heißt Exponent der Wurzel, und die Zahl $ a $ heißt Wurzelausdruck. Insbesondere für $ n = 2 $ erhalten wir unsere "Lieblings"-Quadratwurzel (das ist übrigens eine gerade Wurzel), und für $ n = 3 $ - kubisch (ungerade Grad), was auch oft in Problemen vorkommt und Gleichungen.

Beispiele. Klassische Beispiele für Quadratwurzeln:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ Quadrat (81) = 9; \\ & \ Quadrat (256) = 16. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Übrigens, $ \ sqrt (0) = 0 $ und $ \ sqrt (1) = 1 $. Dies ist durchaus logisch, da $ ((0) ^ (2)) = 0 $ und $ ((1) ^ (2)) = 1 $ ist.

Kubische Wurzeln sind ebenfalls weit verbreitet - haben Sie keine Angst vor ihnen:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ Quadrat (343) = 7. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Nun, und ein paar "exotische Beispiele":

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ Quadrat (-32) = - 2. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Wenn Sie den Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Grad nicht verstehen, lesen Sie die Definition noch einmal. Es ist sehr wichtig!

In der Zwischenzeit betrachten wir eine unangenehme Eigenschaft der Wurzeln, weshalb wir eine separate Definition für gerade und ungerade Indikatoren einführen mussten.

Warum brauchen wir überhaupt Wurzeln?

Nachdem sie die Definition gelesen haben, werden viele Schüler fragen: "Was haben die Mathematiker geraucht, als sie darauf kamen?" In der Tat: Wozu brauchen wir diese Wurzeln überhaupt?

Um diese Frage zu beantworten, gehen wir für eine Minute zurück zu Grundschulklassen... Denken Sie daran: In jenen fernen Zeiten, als Bäume grüner und Knödel schmackhafter waren, war es unser Hauptanliegen, Zahlen richtig zu multiplizieren. Nun, so etwas wie "fünf mal fünf - fünfundzwanzig", das ist alles. Aber immerhin können Sie Zahlen nicht paarweise, sondern in Dreier-, Vierer- und im Allgemeinen in ganzen Sätzen multiplizieren:

\ [\ begin (ausrichten) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (align) \]

Dies ist jedoch nicht der Punkt. Der Trick ist ein anderer: Mathematiker sind faule Menschen, also mussten sie die Multiplikation von zehn Fünfen so aufschreiben:

Also kamen sie mit Abschlüssen. Warum nicht die Anzahl der Faktoren anstelle einer langen Zeichenfolge hochstellen? So was:

Es ist sehr bequem! Alle Berechnungen werden erheblich reduziert, und Sie müssen nicht einen Haufen Pergamentblätter in Notizbüchern verschwenden, um etwa 5.183 aufzuschreiben. Ein solcher Rekord wurde als Zahlengrad bezeichnet, sie fanden eine Reihe von Eigenschaften darin, aber das Glück erwies sich als kurzlebig.

Nach einem riesigen Schnaps, der nur um die "Entdeckung" von Graden organisiert wurde, fragte plötzlich ein besonders hartnäckiger Mathematiker: "Was ist, wenn wir den Grad einer Zahl kennen, aber die Zahl selbst nicht kennen?" Nun, wenn wir wissen, dass eine bestimmte Zahl $ b $ zum Beispiel in der 5. Potenz 243 ergibt, wie können wir dann erraten, welcher Zahl $ b $ gleich ist?

Dieses Problem stellte sich als viel globaler heraus, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Denn es stellte sich heraus, dass es für die Mehrzahl der "fertigen" Abschlüsse keine solchen "Anfangs"-Nummern gibt. Urteile selbst:

\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Pfeil nach rechts b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Pfeil nach rechts b = 4. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Was ist, wenn $ ((b) ^ (3)) = $ 50 ist? Es stellt sich heraus, dass Sie eine bestimmte Zahl finden müssen, die uns, dreimal mit sich selbst multipliziert, 50 ergibt. Aber was ist diese Zahl? Er ist deutlich größer als 3, da 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Das heißt. diese Zahl liegt irgendwo zwischen drei und vier, aber was sie gleicht - Feigen, die Sie verstehen werden.

Dafür haben Mathematiker die Wurzeln des $ n $ -ten Grades erfunden. Aus diesem Grund wurde das Wurzelsymbol $ \ sqrt (*) $ eingeführt. Um genau die Zahl $ b $ zu bezeichnen, die uns bis zu dem angegebenen Grad einen zuvor bekannten Wert gibt

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Pfeil nach rechts ((b) ^ (n)) = a \]

Ich argumentiere nicht: Diese Wurzeln sind oft leicht zu zählen - wir haben oben mehrere solcher Beispiele gesehen. In den meisten Fällen jedoch, wenn Sie eine beliebige Zahl erraten und dann versuchen, eine beliebige Wurzel daraus zu ziehen, haben Sie eine grausame Enttäuschung vor sich.

Was ist dort! Selbst das einfachste und bekannteste $ \ sqrt (2) $ kann nicht in unserer üblichen Form dargestellt werden - als ganze Zahl oder als Bruch. Und wenn Sie diese Zahl in einen Taschenrechner eingeben, sehen Sie Folgendes:

\ [\ Quadrat (2) = 1,414213562 ... \]

Wie Sie sehen, gibt es nach dem Komma eine endlose Folge von Zahlen, die keiner Logik gehorchen. Sie können diese Zahl natürlich aufrunden, um sie schnell mit anderen Zahlen vergleichen zu können. Zum Beispiel:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ ca. 1,4 \ lt 1,5 \]

Oder hier ist ein anderes Beispiel:

\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ ca. 1,7 \ gt 1,5 \]

Aber alle diese Rundungen sind erstens ziemlich grob; und zweitens muss man auch mit Näherungswerten arbeiten können, da man sonst eine Menge nicht offensichtlicher Fehler erwischen kann (die Fähigkeit des Vergleichens und Rundens wird übrigens bei der Profilprüfung zwingend geprüft).

Daher können Sie in der ernsthaften Mathematik nicht auf Wurzeln verzichten - sie sind die gleichen gleichwertigen Vertreter der Menge aller reellen Zahlen $ \ mathbb (R) $ sowie Brüche und ganze Zahlen, die uns seit langem bekannt sind.

Die Unmöglichkeit, eine Wurzel als Bruch der Form $ \ frac (p) (q) $ darzustellen, bedeutet, dass diese Wurzel keine rationale Zahl ist. Solche Zahlen werden irrational genannt und können nicht anders als mit Hilfe eines Radikals oder anderer speziell konstruierter Konstruktionen (Logarithmen, Grade, Grenzwerte usw.) genau dargestellt werden. Aber dazu ein andermal mehr.

Betrachten Sie einige Beispiele, bei denen nach all den Berechnungen immer noch irrationale Zahlen in der Antwort bleiben.

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ ca. 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ ungefähr -1,2599 ... \\ \ Ende (ausrichten) \]

Natürlich nach äußeres Erscheinungsbild root es ist fast unmöglich zu erraten, welche Zahlen nach dem Komma kommen. Sie können sich jedoch auf einen Taschenrechner verlassen, aber selbst der perfekteste Datumsrechner liefert uns nur die ersten paar Stellen einer irrationalen Zahl. Daher ist es viel richtiger, die Antworten in der Form $ \ sqrt (5) $ und $ \ sqrt (-2) $ zu schreiben.

Deshalb wurden sie erfunden. Um die Antworten bequem aufzuzeichnen.

Warum werden zwei Definitionen benötigt?

Dem aufmerksamen Leser ist wahrscheinlich schon aufgefallen, dass alle in den Beispielen angegebenen Quadratwurzeln von abgeleitet sind positive Zahlen... Nun, als letztes Mittel von Grund auf neu. Aber die Kubikwurzeln werden in aller Ruhe aus absolut jeder Zahl extrahiert - sei es positiv oder negativ.

Warum passiert es? Schauen Sie sich den Graphen der Funktion $ y = ((x) ^ (2)) $ an:

Versuchen wir, $ \ sqrt (4) $ mit diesem Diagramm zu berechnen. Dazu wird auf dem Chart eine horizontale Linie $ y = 4 $ gezeichnet (rot markiert), die die Parabel an zwei Punkten schneidet: $ ((x) _ (1)) = 2 $ und $ ((x ) _ (2)) = -2 $. Das ist ganz logisch, denn

Mit der ersten Zahl ist alles klar - sie ist positiv, also die Wurzel:

Aber was tun dann mit dem zweiten Punkt? Als ob die vier gleichzeitig zwei Wurzeln haben? Wenn wir die Zahl −2 quadrieren, erhalten wir schließlich auch 4. Warum nicht $ \ sqrt (4) = - 2 $ schreiben? Und warum schauen sich Lehrer solche Platten an, als wollten sie dich verschlingen? :)

Das Problem ist, dass, wenn keine zusätzlichen Bedingungen auferlegt werden, die vier zwei Quadratwurzeln haben - positiv und negativ. Und jede positive Zahl hat auch zwei. Aber negative Zahlen haben überhaupt keine Wurzeln - dies ist aus der gleichen Grafik ersichtlich, da die Parabel nie unter die Achse fällt ja, d.h. akzeptiert keine negativen Werte.

Ein ähnliches Problem tritt für alle Wurzeln mit einem geraden Exponenten auf:

1. Streng genommen hat jede positive Zahl zwei Wurzeln mit einem geraden Exponenten $ n $;
2. Aus negativen Zahlen wird die Wurzel mit geraden $ n $ überhaupt nicht extrahiert.

Deshalb wird in der Definition der Wurzel einer geraden Potenz von $ n $ speziell festgelegt, dass die Antwort eine nicht negative Zahl sein muss. So beseitigen wir Unklarheiten.

Aber für ungerade $ n $ gibt es kein solches Problem. Um dies zu überprüfen, schauen wir uns den Graphen der Funktion $ y = ((x) ^ (3)) $ an:

Aus dieser Grafik lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:

1. Die Äste einer kubischen Parabel gehen im Gegensatz zur üblichen in beide Richtungen ins Unendliche - sowohl nach oben als auch nach unten. Daher schneidet sich diese Linie in jeder Höhe, in der wir eine horizontale Linie zeichnen, notwendigerweise mit unserem Graphen. Folglich kann die Kubikwurzel immer aus absolut jeder Zahl gezogen werden;
2. Darüber hinaus wird ein solcher Schnittpunkt immer der einzige sein, sodass Sie nicht darüber nachdenken müssen, welche Zahl als "richtige" Wurzel betrachtet und welche Zahl gewertet werden soll. Aus diesem Grund ist die Definition von Wurzeln für einen ungeraden Grad einfacher als für einen geraden (es ist keine Nicht-Negativität erforderlich).

Es ist schade, dass diese einfachen Dinge in den meisten Lehrbüchern nicht erklärt werden. Stattdessen beginnt das Gehirn mit allen möglichen arithmetischen Wurzeln und deren Eigenschaften zu uns zu schweben.

Ja, ich argumentiere nicht: Was ist eine arithmetische Wurzel - Sie müssen es auch wissen. Und ich werde dies in einem separaten Tutorial ausführlich behandeln. Heute werden wir auch darüber sprechen, denn ohne sie wären alle Gedanken über die Wurzeln der $ n $ -ten Vielheit unvollständig.

Aber zuerst müssen Sie die Definition, die ich oben gegeben habe, klar verstehen. Andernfalls beginnt aufgrund der Fülle an Begriffen ein solches Durcheinander in Ihrem Kopf, dass Sie am Ende überhaupt nichts verstehen.

Sie müssen lediglich den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Indikatoren verstehen. Lassen Sie uns also noch einmal alles zusammenstellen, was Sie wirklich über Wurzeln wissen müssen:

1. Eine gerade Wurzel existiert nur aus einer nicht-negativen Zahl und ist selbst immer eine nicht-negative Zahl. Bei negativen Zahlen ist eine solche Wurzel undefiniert.
2. Aber die Wurzel eines ungeraden Grades besteht aus jeder Zahl und kann selbst eine beliebige Zahl sein: für positive Zahlen ist sie positiv und für negative, wie die Obergrenze andeutet, negativ.

Ist es schwer? Nein, nicht schwer. Klar? Ja, im Allgemeinen ist es offensichtlich! Nun üben wir einige Berechnungen.

Grundlegende Eigenschaften und Einschränkungen

Wurzeln haben viele seltsame Eigenschaften und Einschränkungen - dazu wird es eine separate Lektion geben. Daher betrachten wir jetzt nur den wichtigsten "Trick", der nur für Wurzeln mit geradem Exponenten gilt. Schreiben wir diese Eigenschaft in Form einer Formel:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ links | x \ rechts | \]

Mit anderen Worten, wenn Sie eine Zahl gerade potenzieren und daraus die Wurzel derselben Potenz ziehen, erhalten wir nicht die ursprüngliche Zahl, sondern ihren Modulus. Dies ist ein einfacher Satz, der leicht bewiesen werden kann (es reicht aus, die nicht-negativen $ x $ separat zu betrachten und dann die negativen separat). Die Lehrer reden ständig darüber, sie geben es in jedem Schulbuch. Aber sobald es darum geht, irrationale Gleichungen (also Gleichungen mit Wurzelzeichen) zu lösen, vergessen die Schüler diese Formel einvernehmlich.

Um die Frage im Detail zu verstehen, vergessen wir für eine Minute alle Formeln und versuchen, zwei Zahlen geradeaus zu zählen:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ links (-3 \ rechts)) ^ (4))) =? \]

Das ist sehr einfache Beispiele... Das erste Beispiel wird von den meisten Leuten gelöst, aber beim zweiten bleiben viele. Um einen solchen Mist problemlos zu lösen, bedenken Sie immer die Reihenfolge der Aktionen:

1. Zuerst wird die Zahl in die vierte Potenz erhoben. Nun, es ist irgendwie einfach. Sie erhalten eine neue Zahl, die sogar im Einmaleins zu finden ist;
2. Und jetzt ist es notwendig, aus dieser neuen Zahl die vierte Wurzel zu extrahieren. Jene. es findet keine "Reduzierung" von Wurzeln und Graden statt - dies sind sequentielle Aktionen.

Wir arbeiten mit dem ersten Ausdruck: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Offensichtlich müssen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel berechnen:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Dann extrahiere die vierte Wurzel der Zahl 81:

Machen wir nun dasselbe mit dem zweiten Ausdruck. Zuerst erhöhen wir die Zahl −3 in die vierte Potenz, für die wir sie viermal mit sich selbst multiplizieren müssen:

\ [((\ left (-3 \ right)) ^ (4)) = \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ links (-3 \ rechts) = 81 \]

Wir haben eine positive Zahl erhalten, da die Gesamtzahl der Minuspunkte in der Arbeit 4 Stück beträgt und alle gegenseitig zerstört werden (immerhin ergibt Minus für Minus ein Plus). Dann extrahieren wir die Wurzel wieder:

Im Prinzip hätte diese Zeile nicht geschrieben werden können, da es selbstverständlich ist, dass die Antwort dieselbe ist. Jene. eine gerade Wurzel der gleichen geraden Potenz „brennt“ die Minuspunkte aus, und in diesem Sinne ist das Ergebnis nicht vom üblichen Modul zu unterscheiden:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ rechts | = 3; \\ & \ sqrt (((\ links (-3 \ rechts)) ^ (4))) = \ links | -3 \ rechts | = 3. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Diese Berechnungen stimmen gut mit der Definition einer geraden Wurzel überein: Das Ergebnis ist immer nicht negativ, und unter dem Wurzelzeichen steht immer eine nicht negative Zahl. Andernfalls ist die Wurzel undefiniert.

Verfahrenshinweis

1. Die Notation $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ bedeutet, dass wir zuerst die Zahl $ a $ quadrieren und dann aus dem resultierenden Wert die Quadratwurzel ziehen. Daher können wir sicher sein, dass eine nicht negative Zahl immer unter dem Wurzelzeichen steht, da $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ auf jeden Fall;
2. Der Datensatz $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ hingegen bedeutet, dass wir zuerst die Wurzel aus einer bestimmten Zahl $ a $ ziehen und erst dann das Ergebnis quadrieren. Daher darf die Zahl $ a $ auf keinen Fall negativ sein - dies ist eine zwingende Voraussetzung in der Definition.

Daher sollten Sie auf keinen Fall die Wurzeln und Abstufungen gedankenlos reduzieren und dadurch den ursprünglichen Ausdruck angeblich "vereinfachen". Denn wenn es eine negative Zahl unter der Wurzel gibt und ihr Exponent gerade ist, bekommen wir eine Menge Probleme.

All diese Probleme sind jedoch nur für gerade Indikatoren relevant.

Entfernen des Minus aus dem Wurzelzeichen

Wurzeln mit ungeraden Indikatoren haben natürlich auch einen eigenen Zähler, den es bei geraden im Prinzip nicht gibt. Nämlich:

\ [\ Quadrat (-a) = - \ Quadrat (a) \]

Kurz gesagt, Sie können das Minus unter dem Vorzeichen der Wurzeln ungeraden Grades herausnehmen. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, mit der Sie alle Minuspunkte "wegwerfen" können:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ Ende (ausrichten) \]

Diese einfache Eigenschaft vereinfacht viele Berechnungen erheblich. Jetzt brauchen Sie sich keine Sorgen zu machen: Plötzlich hat sich ein negativer Ausdruck unter der Wurzel eingeschlichen, und der Grad an der Wurzel stellt sich als gleichmäßig heraus? Es reicht aus, alle Minuspunkte außerhalb der Wurzeln einfach "wegzuwerfen", danach können sie miteinander multipliziert, geteilt und allgemein viele verdächtige Dinge getan werden, die uns bei "klassischen" Wurzeln garantiert zu einem führen ein Fehler.

Und hier kommt eine andere Definition ins Spiel - genau die, mit der in den meisten Schulen das Studium irrationaler Ausdrücke beginnt. Und ohne die unsere Argumentation unvollständig wäre. Bitte willkommen!

Arithmetische Wurzel

Nehmen wir für einen Moment an, dass es unter dem Wurzelzeichen nur positive Zahlen oder höchstens Null geben kann. Vergessen wir gerade / ungerade Indikatoren, vergessen wir alle oben angegebenen Definitionen - wir arbeiten nur mit nicht-negativen Zahlen. Was dann?

Und dann erhalten wir die arithmetische Wurzel - sie überschneidet sich teilweise mit unseren "Standard"-Definitionen, unterscheidet sich aber immer noch von ihnen.

Definition. Eine arithmetische Wurzel des $ n $-ten Grades einer nicht negativen Zahl $ a $ ist eine nicht negative Zahl $ b $ mit $ ((b) ^ (n)) = a $.

Wie Sie sehen, sind wir nicht mehr an Parität interessiert. Stattdessen ist eine neue Einschränkung aufgetaucht: Der radikale Ausdruck ist jetzt immer nicht-negativ, und die Wurzel selbst ist auch nicht-negativ.

Um besser zu verstehen, wie sich die arithmetische Wurzel von der üblichen unterscheidet, werfen Sie einen Blick auf die bereits bekannten quadratischen und kubischen Parabeldiagramme:

Wie Sie sehen, interessieren uns ab jetzt nur noch die Teile der Graphen, die sich im ersten Koordinatenviertel befinden – wo die Koordinaten $ x $ und $ y $ positiv (oder zumindest null) sind. Sie müssen sich den Indikator nicht mehr ansehen, um zu verstehen, ob wir das Recht haben, eine negative Zahl zu rooten oder nicht. Denn negative Zahlen werden grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt.

Sie mögen fragen: "Nun, warum brauchen wir so eine kastrierte Definition?" Oder: "Warum kommen Sie nicht mit der oben angegebenen Standarddefinition aus?"

Nun, ich werde nur eine Eigenschaft angeben, aufgrund derer die neue Definition angemessen wird. Die Regel für die Exponentiation lautet beispielsweise:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Bitte beachten Sie: Wir können den Wurzelausdruck beliebig potenzieren und gleichzeitig den Wurzelexponenten mit der gleichen Potenz multiplizieren - und das Ergebnis ist die gleiche Zahl! Hier sind einige Beispiele:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (ausrichten) \]

Was ist also die große Sache? Warum hätten wir das nicht früher machen können? Hier ist der Grund. Betrachten Sie einen einfachen Ausdruck: $ \ sqrt (-2) $ - diese Zahl ist in unserem klassischen Sinne ganz normal, aber aus Sicht der arithmetischen Wurzel absolut inakzeptabel. Versuchen wir es zu transformieren:

$ \ begin (ausrichten) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ links (-2 \ rechts)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (ausrichten) $

Wie Sie sehen, haben wir im ersten Fall das Minus unter dem Radikal entfernt (wir haben jedes Recht, da der Indikator ungerade ist), und im zweiten haben wir die obige Formel verwendet. Jene. aus mathematischer Sicht wird alles nach den Regeln gemacht.

WTF?! Wie kann dieselbe Zahl sowohl positiv als auch negativ sein? Auf keinen Fall. Es ist nur so, dass die Potenzierungsformel, die für positive Zahlen und Null gut funktioniert, bei negativen Zahlen anfängt, Ketzerei zu sein.

Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, haben sie arithmetische Wurzeln entwickelt. Ihnen wird eine eigene große Lektion gewidmet, in der wir alle ihre Eigenschaften im Detail betrachten. Deshalb werden wir jetzt nicht weiter darauf eingehen - die Lektion hat sich bereits als zu lang erwiesen.

Algebraische Wurzel: für alle, die mehr wissen wollen

Ich habe lange überlegt, ob ich dieses Thema in einen separaten Absatz stellen soll oder nicht. Am Ende habe ich beschlossen, hier wegzugehen. Dieses Material ist für diejenigen gedacht, die die Wurzeln noch besser verstehen wollen - nicht auf einem durchschnittlichen "Schulniveau", sondern auf einem Niveau nahe dem Olympia-Niveau.

Also: neben der "klassischen" Definition der $ n $ -ten Wurzel einer Zahl und der damit verbundenen Aufteilung in gerade und ungerade Indikatoren gibt es eine "erwachsenere" Definition, die überhaupt nicht auf Parität und andere Feinheiten angewiesen ist . Dies wird als algebraische Wurzel bezeichnet.

Definition. Die algebraische Wurzel des $ n $-ten Grades eines beliebigen $ a $ ist die Menge aller Zahlen $ b $ mit $ ((b) ^ (n)) = a $. Es gibt keine etablierte Bezeichnung für solche Wurzeln, daher setzen wir nur einen Strich oben:

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]

Der grundlegende Unterschied zur Standarddefinition zu Beginn der Lektion besteht darin, dass eine algebraische Wurzel keine bestimmte Zahl, sondern eine Menge ist. Und da wir mit reellen Zahlen arbeiten, gibt es nur drei Arten dieser Menge:

1. Leeres Set. Tritt auf, wenn aus einer negativen Zahl eine algebraische Wurzel geraden Grades gefunden werden muss;
2. Ein Set bestehend aus einem einzelnen Element. Alle Wurzeln ungeraden Grades sowie Wurzeln geraden Grades von Null aus fallen in diese Kategorie;
3. Schließlich kann die Menge zwei Zahlen enthalten - die gleichen $ ((x) _ (1)) $ und $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, die wir auf die quadratische Funktion des Graphen. Dementsprechend ist eine solche Ausrichtung nur möglich, wenn eine gerade Wurzel aus einer positiven Zahl gezogen wird.

Der letztere Fall verdient eine genauere Betrachtung. Lassen Sie uns ein paar Beispiele zählen, um den Unterschied zu verstehen.

Beispiel. Ausdrücke auswerten:

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Lösung. Der erste Ausdruck ist einfach:

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]

Es sind zwei Zahlen, aus denen das Set besteht. Weil jeder von ihnen im Quadrat eine Vier gibt.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]

Hier sehen wir eine Menge, die nur aus einer Zahl besteht. Dies ist ganz logisch, da der Wurzelexponent ungerade ist.

Zum Schluss der letzte Ausdruck:

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Wir haben ein leeres Set. Weil es keine einzige reelle Zahl gibt, die uns, wenn sie auf den vierten (d. h. geraden!) Grad erhöht wird, eine negative Zahl -16 ergibt.

Abschließende Bemerkung. Bitte beachte: es war kein Zufall, dass ich überall bemerkt habe, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. Denn es gibt auch komplexe Zahlen - dort kann man durchaus $ \ sqrt (-16) $ zählen und viele andere seltsame Dinge.

Im Mathematikunterricht der modernen Schule werden komplexe Zahlen jedoch fast nie gefunden. Sie wurden aus den meisten Lehrbüchern gestrichen, weil unsere Beamten dieses Thema für "zu schwer zu verstehen" halten.

Das ist alles. In der nächsten Lektion werden wir uns alle wichtigen Eigenschaften von Wurzeln ansehen und schließlich lernen, wie man irrationale Ausdrücke vereinfacht. :)

Leistungsformeln werden beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C ist ein n-te Potenz der Zahl ein Wenn:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Wenn man Grade mit derselben Basis multipliziert, addieren sich ihre Indikatoren:

binA n = a m + n.

2. Bei der Teilung von Graden mit gleicher Basis werden ihre Indikatoren abgezogen:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Die Potenz eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Potenzen des Dividenden und des Divisors:

(a / b) n = a n / b n.

5. Wenn man einen Grad auf einen Grad erhöht, werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n.

Jede der obigen Formeln gilt von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Root-Operationen.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel der Beziehung ist gleich dem Verhältnis von Dividende und Divisor der Wurzeln:

3. Beim Potenzieren einer Wurzel genügt es, die Wurzelzahl zu potenzieren:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad in . erhöhen n einmal und gleichzeitig einbauen n-te Potenz der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wurzelwert nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren n die Wurzel einmal und gleichzeitig extrahieren n-te Potenz der radikalen Zahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Die Potenz einer Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten gleich Absolutwert nicht positiver Indikator:

Formel bin: a n = a m - n kann nicht nur verwendet werden für m> n, aber auch bei m< n.

Zum Beispiel. ein4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Damit die Formel bin: a n = a m - n wurde gerecht, als m = n, das Vorhandensein des Nullgrads ist erforderlich.

Null Grad. Die Potenz einer Zahl ungleich null mit einem Exponenten von null ist gleich eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Bruchexponent. Um eine reelle Zahl aufzustellen ein bis zum grad m / n, du musst die Wurzel extrahieren n-ter Grad von m-te Potenz dieser Zahl ein.

Ich schaute noch einmal auf das Schild ... Und los geht's!

Beginnen wir mit einem einfachen:

Nur eine Minute. dies, was bedeutet, dass wir so schreiben können:

Ich habs? Hier ist der nächste für Sie:

Die Wurzeln der resultierenden Zahlen werden nicht genau extrahiert? Egal – hier einige Beispiele:

Was aber, wenn die Faktoren nicht zwei sind, sondern mehr? Das selbe! Die Wurzelmultiplikationsformel funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Jetzt ganz alleine:

Antworten: Gut erledigt! Stimmen Sie zu, alles ist sehr einfach, Hauptsache, Sie kennen das Einmaleins!

Aufteilung der Wurzeln

Wir haben die Multiplikation von Wurzeln herausgefunden, jetzt werden wir zur Eigenschaft der Division übergehen.

Lassen Sie mich daran erinnern, dass die allgemeine Formel wie folgt aussieht:

Dies bedeutet, dass die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Nun, lassen Sie es uns anhand von Beispielen herausfinden:

Das ist alles Wissenschaft. Hier ist ein Beispiel:

Alles ist nicht so glatt wie im ersten Beispiel, aber wie Sie sehen, ist nichts kompliziert.

Aber was ist, wenn so ein Ausdruck rüberkommt:

Sie müssen die Formel nur in die entgegengesetzte Richtung anwenden:

Und hier ist ein Beispiel:

Sie können auch auf diesen Ausdruck stoßen:

Alles ist gleich, nur hier müssen Sie sich daran erinnern, wie man Brüche übersetzt (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an und kommen Sie zurück!). Fiel ein? Jetzt entscheiden wir!

Ich bin sicher, Sie haben alles gemeistert, alles, jetzt versuchen wir, Wurzeln in der Macht zu schlagen.

Potenzierung

Was passiert, wenn die Quadratwurzel quadriert wird? Es ist ganz einfach, erinnern wir uns an die Bedeutung der Quadratwurzel einer Zahl - dies ist eine Zahl, deren Quadratwurzel gleich ist.

Wenn wir also eine Zahl erhöhen, deren Quadratwurzel gleich dem Quadrat ist, was erhalten wir dann?

Nun, natürlich, !

Schauen wir uns Beispiele an:

Es ist einfach, nicht wahr? Und wenn die Wurzel in einem anderen Grad ist? Nichts Schlimmes!

Bleiben Sie bei der gleichen Logik und merken Sie sich die Eigenschaften und möglichen Aktionen mit Graden.

Lesen Sie die Theorie zum Thema "" und alles wird Ihnen sehr klar.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie wieder die Leistungseigenschaften an und faktorisieren Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel einer Zahl hoch? Dies ist zum Beispiel:

Ziemlich einfach, oder? Und wenn der Abschluss mehr als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik mit Gradeigenschaften:

Na, ist alles klar? Dann lösen Sie die Beispiele selbst:

Und hier die Antworten:

Einführung unter dem Wurzelzeichen

Was haben wir mit Wurzeln nicht gelernt! Es bleibt nur noch das Eingeben der Nummer unter dem Wurzelzeichen zu üben!

Es ist einfach!

Nehmen wir an, wir haben die Nummer aufgeschrieben

Was können wir damit machen? Nun, natürlich verstecken Sie die Drei unter der Wurzel und denken Sie daran, dass die Drei die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir das? Ja, nur um unsere Fähigkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft der Wurzeln? Macht es das Leben viel einfacher? Für mich stimmt das! Nur wir müssen daran denken, dass wir nur positive Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen einführen können.

Lösen Sie dieses Beispiel selbst -
Hast du es geschafft? Mal sehen, was Sie bekommen sollten:

Gut erledigt! Sie haben es geschafft, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzufügen! Kommen wir zu einem ebenso wichtigen Punkt - schauen wir uns an, wie man Zahlen vergleicht, die die Quadratwurzel enthalten!

Vergleich der Wurzeln

Warum sollten wir lernen, Zahlen zu vergleichen, die die Quadratwurzel enthalten?

Sehr einfach. Oft bekommen wir in großen und langen Ausdrücken, denen man bei der Prüfung begegnet, eine irrationale Antwort (erinnern Sie sich noch, was es ist? Sie und ich haben heute schon darüber gesprochen!)

Wir müssen die erhaltenen Antworten beispielsweise auf einer Koordinatenlinie platzieren, um zu bestimmen, welches Intervall zum Lösen der Gleichung geeignet ist. Und hier entsteht ein Haken: Es gibt keinen Taschenrechner in der Prüfung, und wie kann man sich ohne ihn vorstellen, welche Zahl größer und welche kleiner ist? Das ist es!

Definieren Sie beispielsweise, was größer ist: oder?

Das kann man nicht auf Anhieb sagen. Nun, verwenden wir die analysierte Eigenschaft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben?

Fahre fort:

Und je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist, desto größer ist natürlich die Wurzel selbst!

Jene. wenn, dann,.

Daraus schließen wir fest. Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Wurzeln aus großen Zahlen ziehen

Zuvor haben wir den Faktor unter dem Wurzelzeichen eingeführt, aber wie bekommt man ihn heraus? Sie müssen es nur faktorisieren und extrahieren, was extrahiert wird!

Es war möglich, einen anderen Weg zu gehen und sich in andere Faktoren zu zerlegen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, was am besten zu Ihnen passt.

Factoring ist sehr nützlich, wenn Sie nicht standardmäßige Aufgaben wie diese lösen:

Wir haben keine Angst, aber wir handeln! Lassen Sie uns jeden Faktor unter der Wurzel in separate Faktoren zerlegen:

Probieren Sie es jetzt selbst aus (ohne Taschenrechner! Es kommt nicht in die Prüfung):

Ist das das Ende? Nicht auf halbem Weg aufhören!

Das ist alles, nicht so beängstigend, oder?

Passiert? Gut gemacht, das stimmt!

Versuchen Sie nun, dieses Beispiel zu lösen:

Und ein Beispiel ist eine harte Nuss zu knacken, so dass Sie einfach nicht herausfinden können, wie Sie es angehen sollen. Aber wir können es natürlich hartnäckig halten.

Fangen wir mit dem Factoring an? Beachten Sie sofort, dass Sie eine Zahl teilen können durch (denken Sie an die Teilbarkeitskriterien):

Probieren Sie es jetzt selbst aus (wieder ohne Taschenrechner!):

Na, hat es funktioniert? Gut gemacht, das stimmt!

Fassen wir zusammen

1. Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
   .
2. Wenn wir nur die Quadratwurzel von etwas ziehen, erhalten wir immer ein nicht-negatives Ergebnis.
3. Arithmetische Wurzeleigenschaften:
4. Beim Vergleich von Quadratwurzeln ist zu beachten, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist.

Wie gefällt dir die Quadratwurzel? Alles klar?

Wir haben versucht, Ihnen ohne Wasser alles zu erklären, was Sie in der Quadratwurzelprüfung wissen müssen.

Jetzt bist du dran. Schreiben Sie uns, ob es für Sie ein schwieriges Thema ist oder nicht.

Hast du etwas Neues gelernt oder war schon alles klar.

Schreibt in die Kommentare und viel Erfolg bei euren Prüfungen!

Um die Operation zum Extrahieren einer Wurzel in der Praxis erfolgreich einsetzen zu können, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen.
Alle Eigenschaften werden nur für nicht negative Werte der Variablen formuliert und bewiesen, die unter den Vorzeichen der Wurzeln enthalten sind.

Satz 1. Wurzel nth Grad (n = 2, 3, 4, ...) aus dem Produkt zweier nicht negativer Chipzellen ist gleich dem Produkt Wurzeln des nth Potenzen dieser Zahlen:

Kommentar:

1. Satz 1 bleibt gültig für den Fall, dass der Wurzelausdruck das Produkt von mehr als zwei nichtnegativen Zahlen ist.

Satz 2.Wenn, und n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist die Gleichheit

Satz 1 erlaubt uns, m . zu multiplizieren nur Wurzeln gleichen Grades , d.h. nur Wurzeln mit dem gleichen Index.

Satz 3 Wenn ,k eine natürliche Zahl und n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist die Gleichheit

Mit anderen Worten, um eine Wurzel in zu bauen natürlicher Grad, genügt es, den radikalen Ausdruck in diesem Maße zu erheben.
Dies ist eine Konsequenz aus Satz 1. In der Tat erhalten wir zum Beispiel für k = 3: Ebenso kann man bei jedem anderen natürlichen Wert des Exponenten k folgern.

Satz 4 Wenn ,k, n natürliche Zahlen größer als 1 sind, dann ist die Gleichheit

Mit anderen Worten, um eine Wurzel aus einer Wurzel zu ziehen, genügt es, die Indizes der Wurzeln zu multiplizieren.
Zum Beispiel,

Seien Sie aufmerksam! Wir haben gelernt, dass vier Operationen an Wurzeln durchgeführt werden können: Multiplikation, Division, Exponentiation und Wurzelextraktion (aus der Wurzel). Aber was ist mit der Addition und Subtraktion von Wurzeln? Auf keinen Fall.
Zum Beispiel ist es unmöglich, Wahrhaftig zu schreiben, aber es ist offensichtlich, dass

Satz 5 Wenn die Indizes der Wurzel und des Wurzelausdrucks mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht, d.h.

Beispiele für das Lösen von Aufgaben

Beispiel 2. Berechnung
Lösung. Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um.
Wir verwenden die zweite Eigenschaft der Wurzeln ( Satz 2 ), wir bekommen:

Beispiel 3. Berechnung:

Lösung. Jede Formel in der Algebra wird bekanntlich nicht nur "von links nach rechts", sondern auch "von rechts nach links" verwendet. Die erste Eigenschaft von Wurzeln bedeutet also, dass sie in der Form dargestellt und umgekehrt durch einen Ausdruck ersetzt werden kann. Das gleiche gilt für die zweite Eigenschaft von Wurzeln. In diesem Sinne führen wir die Berechnungen durch.