Pythagoräische Zahlen. Professor Stewarts unglaubliche Zahlen Pythagoräische Zahlentripel

Wichtiges Beispiel Die diophantische Gleichung ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras, der die Längen x und y der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Länge z seiner Hypotenuse verbindet:

Natürlich sind Sie auf eine der wunderbaren Lösungen dieser Gleichung in natürlichen Zahlen gestoßen, nämlich das pythagoräische Zahlentripel x=3, y=4, z=5. Gibt es noch andere Drillinge?

Es stellt sich heraus, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt, und alle wurden vor langer Zeit gefunden. Sie können durch bekannte Formeln ermittelt werden, die Sie in diesem Absatz kennenlernen werden.

Wenn diophantische Gleichungen ersten und zweiten Grades bereits gelöst wurden, bleibt die Frage der Lösung von Gleichungen höheren Grades trotz der Bemühungen führender Mathematiker noch offen. Derzeit gilt beispielsweise Fermats berühmte Vermutung für jeden ganzzahligen Wert n2 Die gleichung

hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Zur Lösung bestimmter Arten diophantischer Gleichungen werden die sogenannten komplexe Zahlen. Was ist das? Der Buchstabe i bezeichne ein Objekt, das die Bedingung erfüllt ich 2 \u003d -1(Es ist klar, dass keine reelle Zahl diese Bedingung erfüllt). Betrachten Sie Ausdrücke der Form α+iβ, wobei α und β reelle Zahlen sind. Solche Ausdrücke werden als komplexe Zahlen bezeichnet, wobei die Additions- und Multiplikationsoperationen über sie sowie über Binome definiert werden, jedoch mit dem einzigen Unterschied, dass der Ausdruck ich 2Überall werden wir die Zahl -1 ersetzen:

7.1. Viele der drei

Beweisen Sie, dass wenn x0, y0, z0- Pythagoräisches Tripel, dann Tripel y 0 , x 0 , z 0 Und x 0 k, y 0 k, z 0 k für jeden Wert des natürlichen Parameters k sind auch pythagoräisch.

7.2. Private Formeln

Überprüfen Sie dies auf natürliche Werte m>n Dreieinigkeit der Form

ist Pythagoräer. Ist es irgendein pythagoräisches Tripel? x, y, z lässt sich in dieser Form darstellen, wenn man die Zahlen x und y im Tripel umordnen lässt?

7.3. Irreduzible Drillinge

Ein pythagoräisches Tripel von Zahlen, deren gemeinsamer Teiler nicht größer als 1 ist, wird irreduzibel genannt. Beweisen Sie, dass ein pythagoräisches Tripel nur dann irreduzibel ist, wenn zwei der Zahlen im Tripel teilerfremd sind.

7.4. Eigenschaft irreduzibler Tripel

Beweisen Sie, dass in jedem irreduziblen pythagoräischen Tripel x, y, z die Zahl z und genau eine der Zahlen x oder y ungerade sind.

7.5. Alle irreduziblen Tripel

Beweisen Sie, dass ein Zahlentripel x, y, z genau dann ein irreduzibles pythagoräisches Zahlentripel ist, wenn es mit dem Zahlentripel bis zur Reihenfolge der ersten beiden Zahlen übereinstimmt 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Wo m>n- teilerfremde natürliche Zahlen unterschiedlicher Parität.

7.6. Allgemeine Formeln

Beweisen Sie, dass alle Lösungen der Gleichung

in natürlichen Zahlen sind durch die Formeln bis zur Ordnung der Unbekannten x und y gegeben

wobei m>n und k natürliche Parameter sind (um die Verdoppelung etwaiger Tripel zu vermeiden, reicht es aus, Zahlen vom Typ Koprimzahl und darüber hinaus von unterschiedlicher Parität zu wählen).

7.7. Die ersten 10 Drillinge

Finden Sie alle pythagoreischen Tripel x, y, z Erfüllung der Bedingung X

7.8. Eigenschaften pythagoräischer Drillinge

Beweisen Sie das für jedes pythagoräische Tripel x, y, z Aussagen sind wahr:

a) mindestens eine der Zahlen x oder y ist ein Vielfaches von 3;

b) mindestens eine der Zahlen x oder y ist ein Vielfaches von 4;

c) mindestens eine der Zahlen x, y oder z ein Vielfaches von 5 ist.

7.9. Anwendung komplexer Zahlen

Der Modul einer komplexen Zahl α + iβ eine nichtnegative Zahl genannt

Überprüfen Sie das für alle komplexen Zahlen α + iβ Und γ + iδ Eigentum wird ausgeführt

Beweisen Sie mithilfe der Eigenschaften komplexer Zahlen und ihrer Moduli, dass zwei beliebige ganze Zahlen m und n die Gleichheit erfüllen

d. h. sie geben eine Lösung der Gleichung an

ganze Zahlen (vergleiche mit Aufgabe 7.5).

7.10. Nichtpythagoreische Tripel

Finden Sie mithilfe der Eigenschaften komplexer Zahlen und ihrer Moduli (siehe Aufgabe 7.9) Formeln für beliebige ganzzahlige Lösungen der Gleichung:

a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.

Lösungen

7.1. Wenn x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , Das y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , und für jeden natürlichen Wert von k haben wir

Q.E.D.

7.2. Von Gleichheiten

Wir kommen zu dem Schluss, dass das in der Aufgabe angegebene Tripel die Gleichung erfüllt x2 + y2 = z2 in natürlichen Zahlen. Allerdings nicht jedes pythagoräische Tripel x, y, z kann in dieser Form dargestellt werden; Beispielsweise ist das Tripel 9, 12, 15 pythagoräisch, aber die Zahl 15 kann nicht als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen m und n dargestellt werden.

7.3. Wenn es zwei beliebige Zahlen aus dem pythagoräischen Tripel gibt x, y, z einen gemeinsamen Teiler d haben, dann ist es auch ein Teiler der dritten Zahl (also im Fall x = x 1 d, y = y 1 d wir haben z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, daher ist z 2 durch d 2 teilbar und z ist durch d teilbar). Damit ein pythagoräisches Tripel irreduzibel ist, müssen daher zwei beliebige Zahlen im Tripel teilerfremd sein.

7.4. Beachten Sie, dass eine der Zahlen x oder y, sagen wir x, eines irreduziblen pythagoräischen Tripels ist x, y, z ist ungerade, weil sonst die Zahlen x und y nicht teilerfremd wären (siehe Aufgabe 7.3). Wenn die andere Zahl y ebenfalls ungerade ist, dann beide Zahlen

Geben Sie bei Division durch 4 den Rest 1 und die Zahl an z 2 \u003d x 2 + y 2 ergibt einen Rest von 2, wenn man durch 4 dividiert, d. h. es ist durch 2 teilbar, aber nicht durch 4 teilbar, was nicht möglich ist. Daher muss die Zahl y gerade und die Zahl z daher ungerade sein.

7.5. Lassen Sie den Pythagoras verdreifachen x, y, z ist irreduzibel und der Bestimmtheit halber ist die Zahl x gerade, während die Zahlen y, z ungerade sind (siehe Aufgabe 7.4). Dann

Wo sind die Zahlen? sind ganz. Beweisen wir, dass die Zahlen a und b teilerfremd sind. Wenn sie einen gemeinsamen Teiler hätten, der größer als 1 wäre, hätten die Zahlen tatsächlich denselben Teiler z = a + b, y = a - b, d. h. das Tripel wäre nicht irreduzibel (siehe Aufgabe 7.3). Wenn wir nun die Zahlen a und b in Produkte von Primfaktoren erweitern, stellen wir fest, dass jeder Primfaktor im Produkt enthalten sein muss 4ab = x2 nur in geradem Maße, und wenn es in der Entwicklung der Zahl a enthalten ist, dann ist es nicht in der Entwicklung der Zahl b enthalten und umgekehrt. Daher geht jeder Primfaktor nur bis zu einem geraden Grad separat in die Entwicklung der Zahl a oder b ein, was bedeutet, dass diese Zahlen selbst Quadrate ganzer Zahlen sind. Lasst uns dann erhalten wir die Gleichheiten

Darüber hinaus sind die natürlichen Parameter m>n teilerfremd (aufgrund der Koprimheit der Zahlen a und b) und haben unterschiedliche Parität (aufgrund der ungeraden Zahl). z \u003d m 2 + n 2).

Es seien nun natürliche Zahlen m>n unterschiedlicher Parität teilerfremd. Dann die Troika x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2 ist laut Aufgabe 7.2 pythagoräisch. Beweisen wir, dass es irreduzibel ist. Dazu genügt es zu überprüfen, dass die Zahlen y und z keine gemeinsamen Teiler haben (siehe Aufgabe 7.3). Tatsächlich sind beide Zahlen ungerade, da die Typnummern unterschiedliche Paritäten haben. Wenn die Zahlen y und z einen einfachen gemeinsamen Teiler haben (dann muss dieser ungerade sein), dann hat jede der Zahlen und damit auch jede der Zahlen m und n den gleichen Teiler, was ihrer gegenseitigen Einfachheit widerspricht.

7.6. Aufgrund der in den Aufgaben 7.1 und 7.2 formulierten Behauptungen definieren diese Formeln nur pythagoreische Tripel. Andererseits jedes pythagoräische Tripel x, y, z Nach seiner Reduktion um den größten gemeinsamen Teiler k wird das Zahlenpaar x und y irreduzibel (siehe Aufgabe 7.3) und kann daher bis zur Ordnung der Zahlen x und y in der in Aufgabe 7.5 beschriebenen Form dargestellt werden. Daher ist jedes pythagoräische Tripel durch die angegebenen Formeln für einige Werte der Parameter gegeben.

7.7. Aus Ungleichheit z und den Formeln aus Aufgabe 7.6 erhalten wir die Schätzung m 2 d.h. m≤5. Vorausgesetzt m = 2, n = 1 Und k = 1, 2, 3, 4, 5, wir bekommen Drillinge 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Vorausgesetzt m=3, n=2 Und k = 1, 2, wir bekommen Drillinge 5, 12, 13; 10, 24, 26. Vorausgesetzt m = 4, n = 1, 3 Und k = 1, wir bekommen Drillinge 8, 15, 17; 7, 24, 25. Abschließend angenommen m=5, n=2 Und k = 1, wir bekommen drei 20, 21, 29.

Chervyak Vitaly

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Vorschau:

Wettbewerb wissenschaftliche Projekte Schulkinder

Innerhalb der Region Wissenschaftliche und praktische Konferenz„Heureka“

Kleinere Akademie der Wissenschaften der Studenten des Kuban

Studium der pythagoräischen Zahlen

Abschnitt der Mathematik.

Chervyak Vitaliy Gennadievich, Klasse 9

MOBU SOSH №14

Bezirk Korenovsky

Kunst. Schurawskaja

Wissenschaftlicher Leiter:

Manko Galina Wassiljewna

Mathematiklehrer

MOBU SOSH №14

Korenowsk 2011

Chervyak Vitaly Gennadievich

Pythagoräische Zahlen

Anmerkung.

Forschungsthema:Pythagoräische Zahlen

Forschungsschwerpunkte:

Forschungsschwerpunkte:

• Identifizierung und Entwicklung mathematischer Fähigkeiten;
• Erweiterung der mathematischen Darstellung zum Thema;
• Bildung eines nachhaltigen Interesses am Thema;
• Entwicklung kommunikativer und allgemeinpädagogischer Fähigkeiten unabhängige Arbeit, die Fähigkeit, eine Diskussion zu leiten, zu argumentieren usw.;
• Bildung und Entwicklung des analytischen und logischen Denkens;

Forschungsmethoden:

• Nutzung von Internetressourcen;
• Zugang zu Referenzliteratur;
• Durchführung eines Experiments;

Abschluss:

• Diese Arbeit kann im Geometrieunterricht als zusätzliches Material zum Dirigieren verwendet werden Wahlfächer oder Wahlfächer in Mathematik sowie in außerschulischer Arbeit in Mathematik;

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

1. Einleitung…………………………………………………………………3
2. Hauptteil

2.1 Historische Seite………………………………………………………4

2.2 Beweis von geraden und ungeraden Beinen ………................................................5-6

2.3 Ableitung eines Musters zum Finden

Pythagoräische Zahlen………………………………………………………………7

2.4 Eigenschaften pythagoräischer Zahlen ……………………………………………… 8

3. Fazit…………………………………………………………………………9

4. Liste der verwendeten Quellen und Literatur…………………… 10

Anwendungen......................................................................................................................11

Anhang I………………………………………………………………………11

Anhang II………………………………………………………………..13

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Einführung

Ich hörte in der fünften Klasse im Mathematikunterricht von Pythagoras und seinem Leben und interessierte mich für die Aussage „Pythagoras-Hosen sind in alle Richtungen gleich.“ Als ich den Satz des Pythagoras studierte, interessierte ich mich für pythagoräische ZahlenZweck der Studie: Erfahren Sie mehr über den Satz des Pythagoras und „Pythagoräische Zahlen“.

Relevanz des Themas. Der Wert des Satzes des Pythagoras und der Tripel des Pythagoras wurde seit vielen Jahrhunderten von vielen Wissenschaftlern auf der ganzen Welt bewiesen. Das Problem, das in meiner Arbeit besprochen wird, sieht recht einfach aus, weil es auf einer mathematischen Aussage basiert, die jeder kennt – dem Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Schenkeln gebildeten Quadrate. Nun Tripel der natürlichen Zahlen x, y, z, für die x2 + y2 = z2 , allgemein genanntPythagoreische Drillinge. Es stellt sich heraus, dass in Babylon bereits pythagoräische Tripel bekannt waren. Nach und nach fanden sie auch griechische Mathematiker.

Der Zweck dieser Arbeit

1. Entdecken Sie pythagoräische Zahlen;
2. Verstehen Sie, wie pythagoräische Zahlen ermittelt werden.
3. Finden Sie heraus, welche Eigenschaften pythagoräische Zahlen haben;
4. Konstruieren Sie experimentell senkrechte Linien auf dem Boden mit pythagoräischen Zahlen;

Entsprechend dem Zweck der Arbeit eine Reihe von Folgendem Aufgaben :

1. Vertieftes Studium der Geschichte des Satzes des Pythagoras;

2. Analyse der universellen Eigenschaften pythagoräischer Tripel.

3. Analyse der praktischen Anwendung pythagoräischer Tripel.

Studienobjekt: Pythagoreische Tripel.

Gegenstand der Studie: Mathematik .

Forschungsmethoden: - Nutzung von Internetressourcen; - Berufung auf Referenzliteratur; - Durchführung eines Experiments;

Theoretische Bedeutung:die Rolle, die die Entdeckung der pythagoreischen Tripel in der Wissenschaft spielte; praktische Anwendung der Entdeckung des Pythagoras im menschlichen Leben.

Angewandter WertForschung besteht in der Analyse literarischer Quellen und der Systematisierung von Fakten.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Aus der Geschichte der pythagoräischen Zahlen.

• Antikes China:

Chu-pei-Mathebuch:[ 2]

„Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Linie, die die Enden seiner Seiten verbindet, 5, wenn die Basis 3 und die Höhe 4 ist.“

• Altes Ägypten: [2]

Kantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt an Gleichheit 3² + 4² = 5² war den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. bekannt. h., zur Zeit des Königs Amenemhet (nach Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Kantor Harpedonapts, oder „Seilspanner“, rechtwinklig gebaut aus rechtwinkligen Dreiecken mit einer Seitenlänge von 3; 4 und 5.

• Babylonien: [ 3 ]

„Das Verdienst der ersten griechischen Mathematiker wie Thales, Pythagoras und der Pythagoräer liegt nicht in der Entdeckung der Mathematik, sondern in ihrer Systematisierung und Begründung.“ In ihren Händen sind rechnerische Rezepte, die auf vagen Ideen basieren, zu einer exakten Wissenschaft geworden.

• Geschichte des Satzes des Pythagoras:,

Obwohl dieser Satz mit dem Namen Pythagoras verbunden ist, war er schon lange vor ihm bekannt.

In babylonischen Texten kommt sie 1200 Jahre vor Pythagoras vor.

Anscheinend war er der Erste, der den Beweis fand. In diesem Zusammenhang wurde folgender Eintrag gemacht: „... als er entdeckte, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse den Beinen entspricht, opferte er einen Stier aus Weizenteig.“

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Studium der pythagoräischen Zahlen.

• Jedes Dreieck, dessen Seiten nach dem bekannten Satz des Pythagoras im Verhältnis 3:4:5 zueinander stehen, ist rechtwinklig, da

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Neben den Zahlen 3,4 und 5 gibt es bekanntlich eine unendliche Menge ganzer Zahlen positive Zahlen a, b und c erfüllen die Beziehung
• A 2 + in 2 = c 2.
• Diese Nummern werden aufgerufenPythagoräische Zahlen

Pythagoräische Tripel sind seit sehr langer Zeit bekannt. In der Architektur der alten Grabsteine ​​von Forest Potam gibt es ein gleichschenkliges Dreieck, das aus zwei rechteckigen Dreiecken mit Seitenlängen von 9, 12 und 15 Ellen besteht. Die Pyramiden des Pharaos Snefru (XXVII. Jahrhundert v. Chr.) wurden aus Dreiecken mit Seitenlängen von 20, 21 und 29 sowie 18, 24 und 30 Zehntel ägyptischen Ellen gebaut.[ 1 ]

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln 3, 4 und der Hypotenuse 5 wird Ägyptisches Dreieck genannt. Die Fläche dieses Dreiecks entspricht der perfekten Zahl 6. Der Umfang beträgt 12 – eine Zahl, die als Symbol für Glück und Wohlstand galt.

Mit Hilfe eines durch Knoten in 12 gleiche Teile geteilten Seils bauten die alten Ägypter rechtwinkliges Dreieck und rechter Winkel. Eine praktische und sehr genaue Methode, mit der Landvermesser senkrechte Linien auf dem Boden zeichnen. Man muss eine Schnur und drei Stifte nehmen, die Schnur wird in einem Dreieck angeordnet, so dass eine Seite aus 3 Teilen, die zweite aus 4 Teilen und die letzte aus fünf solcher Teile besteht. Die Schnur liegt in einem Dreieck, in dem sich ein rechter Winkel befindet.

Diese alte Methode, die offenbar vor Tausenden von Jahren von den Erbauern der ägyptischen Pyramiden angewendet wurde, basiert auf der Tatsache, dass jedes Dreieck, dessen Seiten gemäß dem Satz des Pythagoras im Verhältnis 3:4:5 zueinander stehen, ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Euklid, Pythagoras, Diophantus und viele andere waren damit beschäftigt, pythagoräische Tripel zu finden.[ 1]

Es ist klar, dass wenn (x, y, z ) ist ein pythagoreisches Tripel, also für jedes natürliche k-Triple (kx, ky, kz) wird auch ein pythagoräisches Tripel sein. Insbesondere (6, 8, 10), (9, 12, 15) usw. sind pythagoräische Tripel.

Mit zunehmender Zahl werden pythagoräische Tripel immer seltener und schwerer zu finden. Die Pythagoräer erfanden die Methode des Findens

solche Tripel und bewies damit, dass es unendlich viele pythagoräische Tripel gibt.

Tripel, deren gemeinsamer Teiler nicht größer als 1 ist, werden einfache Tripel genannt.

Betrachten Sie einige Eigenschaften pythagoräischer Tripel.[ 1]

Nach dem Satz des Pythagoras können diese Zahlen als Längen eines rechtwinkligen Dreiecks dienen; daher werden a und b „Beine“ und c „Hypotenuse“ genannt.
Es ist klar, dass, wenn a, b, c ein Tripel pythagoräischer Zahlen sind, pa, p, pc, wobei p ein ganzzahliger Faktor ist, pythagoräische Zahlen sind.
Das Gegenteil ist auch der Fall!
Daher werden wir zunächst nur Tripel von teilerfremden pythagoräischen Zahlen untersuchen (der Rest wird aus ihnen durch Multiplikation mit einem ganzzahligen Faktor p erhalten).

Lassen Sie uns das in jedem dieser Punkte zeigen Drillinge a, b, c Eines der „Beine“ muss gerade und das andere ungerade sein. Lassen Sie uns „im Gegenteil“ argumentieren. Wenn beide „Beine“ a und b gerade sind, dann ist die Zahl a gerade 2 + in 2 und damit die Hypotenuse. Aber das steht im Widerspruch zu dem, was Zahlen a, b und c haben keine gemeinsamen Teiler, da drei gerade Zahlen einen gemeinsamen Teiler von 2 haben. Somit ist mindestens eines der „Beine“ a und b ungerade.

Es bleibt noch eine Möglichkeit: Beide „Beine“ sind ungerade und die „Hypotenuse“ ist gerade. Dass dies nicht möglich ist, lässt sich leicht beweisen, denn wenn die „Beine“ die Form 2 x + 1 und 2y + 1 haben, dann ist die Summe ihrer Quadrate gleich

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, d.h. ist eine Zahl, die bei Division durch 4 den Rest 2 ergibt. Das Quadrat einer geraden Zahl muss hingegen ohne Rest durch 4 teilbar sein.

Die Summe der Quadrate zweier ungerader Zahlen kann also nicht das Quadrat einer geraden Zahl sein; mit anderen Worten, unsere drei Zahlen sind nicht pythagoräisch.

ABSCHLUSS:

Also, von den „Beinen“ a zu einem geraden und dem anderen ungeraden. Also die Zahl a 2 + in 2 ungerade, was bedeutet, dass die „Hypotenuse“ c.

Pythagoras fand Formeln, die in der modernen Symbolik wie folgt geschrieben werden können: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 Nr. 2 +2n+1, wobei n eine ganze Zahl ist.

Diese Zahlen sind pythagoreische Tripel.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Ableitung eines Musters zum Finden pythagoräischer Zahlen.

Hier sind die folgenden pythagoräischen Tripel:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Es ist leicht zu erkennen, dass wir die folgenden Tripel erhalten, wenn wir jede der Zahlen des pythagoräischen Tripels mit 2, 3, 4, 5 usw. multiplizieren.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 usw.

Es sind auch pythagoräische Zahlen/

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Eigenschaften pythagoräischer Zahlen.

• Bei der Betrachtung pythagoräischer Zahlen fielen mir eine Reihe von Eigenschaften auf:
• 1) Eine der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von drei sein;
• 2) Ein anderer von ihnen muss ein Vielfaches von vier sein;
• 3) Und die dritte der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von fünf sein;

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Abschluss.

Die Geometrie entstand wie andere Wissenschaften aus den Bedürfnissen der Praxis. Das Wort „Geometrie“ selbst stammt aus dem Griechischen und bedeutet übersetzt „Vermessung“.

Die Menschen standen schon sehr früh vor der Notwendigkeit, Land zu vermessen. Bereits seit 3-4 Tausend Jahren v. Jedes Stück fruchtbares Land in den Tälern von Nil, Euphrat und Tigris, den Flüssen Chinas, war wichtig für das Leben der Menschen. Dies erforderte einen gewissen Vorrat an geometrischen und arithmetischen Kenntnissen.

Nach und nach begannen die Menschen, die Eigenschaften komplexerer geometrischer Formen zu messen und zu untersuchen.

Sowohl in Ägypten als auch in Babylon wurden kolossale Tempel gebaut, deren Bau nur auf der Grundlage vorläufiger Berechnungen durchgeführt werden konnte. Es wurden auch Aquädukte gebaut. All dies erforderte Zeichnungen und Berechnungen. Zu diesem Zeitpunkt waren Sonderfälle des Satzes des Pythagoras gut bekannt, sie wussten bereits, dass, wenn wir Dreiecke mit den Seiten x, y, z nehmen, wobei x, y, z solche ganzen Zahlen sind, dass x2 + y2 = z2 , dann sind diese Dreiecke rechtwinklig.

All dieses Wissen wurde in vielen Bereichen des menschlichen Lebens direkt angewendet.

Bis heute findet die große Entdeckung des Wissenschaftlers und Philosophen der Antike Pythagoras direkte Anwendung in unserem Leben.

Bau von Häusern, Straßen, Raumschiffen, Autos, Werkzeugmaschinen, Ölpipelines, Flugzeugen, Tunneln, U-Bahnen und vielem mehr. Pythagoräische Drillinge finden direkte Anwendung bei der Gestaltung vieler Dinge, die uns im Alltag umgeben.

Und die Köpfe der Wissenschaftler suchen weiterhin nach neuen Versionen der Beweise des Satzes des Pythagoras.

• IN Als Ergebnis meiner Arbeit ist es mir gelungen:
• 1. Erfahren Sie mehr über Pythagoras, sein Leben und die Pythagoräer-Bruderschaft.
• 2. Machen Sie sich mit der Geschichte des Satzes des Pythagoras vertraut.
• 3. Lernen Sie die pythagoräischen Zahlen und ihre Eigenschaften kennen, erfahren Sie, wie Sie sie finden und in der Praxis anwenden.

Chervyak Vitaly Gennadievich

Region Krasnodar, Dorf Zhuravskaya, MOBU-Sekundarschule Nr. 14, Klasse 9

Pythagoräische Zahlen

Betreuer: Manko Galina Vasilievna, Mathematiklehrerin, MOBU-Sekundarschule Nr. 14

Literatur.

1. Unterhaltsame Algebra. ICH UND. Perelman (S. 117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Ein Blick auf die Mathematik und etwas daraus. – M.: MTsNMO, 2003.

5. Kinderlexikon. - M.: Verlag der Akademie der Pädagogischen Wissenschaften der RSFSR, 1959.

6. Stepanova L.L. Ausgewählte Kapitel Elementartheorie Zahlen. – M.: Prometheus, 2001.

7. V. Sierpinsky Pythagoräische Dreiecke. - M.: Uchpedgiz, 1959. S.111

Forschungsfortschritt Historische Seite; Satz des Pythagoras; Beweisen Sie, dass eines der „Beine“ gerade und das andere ungerade sein muss; Ableitung eines Musters zum Finden pythagoräischer Zahlen; Enthüllen Sie die Eigenschaften pythagoräischer Zahlen;

Einleitung Ich hörte in der fünften Klasse im Mathematikunterricht von Pythagoras und seinem Leben und interessierte mich für die Aussage „Die Hosen des Pythagoras sind in alle Richtungen gleich.“ Als ich den Satz des Pythagoras studierte, begann ich mich für pythagoräische Zahlen zu interessieren. Ich habe mir das Ziel der Studie gesetzt: mehr über den Satz des Pythagoras und „Pythagoräische Zahlen“ zu erfahren.

Die Wahrheit wird ewig sein, sobald sie erkannt wird schwache Person! Und nun der Satz von Pythagoras Verne, wie in seiner fernen Zeit

Aus der Geschichte der pythagoräischen Zahlen. Altes chinesisches Mathematikbuch Chu-pei: „Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Linie, die die Enden seiner Seiten verbindet, 5, wenn die Basis 3 und die Höhe 4 ist.“

Pythagoräische Zahlen bei den alten Ägyptern Kantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3² + 4² = 5² den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. bekannt war. h., zur Zeit König Amenemhats (laut Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten die Harpedonapts oder „Stringer“ rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit einer Seitenlänge von 3; 4 und 5.

Der Satz des Pythagoras in Babylonien „Das Verdienst der ersten griechischen Mathematiker wie Thales, Pythagoras und der Pythagoräer liegt nicht in der Entdeckung der Mathematik, sondern in ihrer Systematisierung und Rechtfertigung.“ In ihren Händen sind rechnerische Rezepte, die auf vagen Ideen basieren, zu einer exakten Wissenschaft geworden.

Jedes Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis 3:4:5 zueinander stehen, ist nach dem bekannten Satz des Pythagoras rechteckig, da 3 2 + 4 2 = 5 2. Zusätzlich zu den Zahlen 3,4 und 5 gibt es, wie Sie wissen, eine unendliche Menge positiver Ganzzahlen a, b und c, die die Beziehung A 2 + b 2 = c 2 erfüllen. Diese Zahlen werden pythagoräische Zahlen genannt

Nach dem Satz des Pythagoras können diese Zahlen als Längen eines rechtwinkligen Dreiecks dienen; daher werden a und b „Beine“ und c „Hypotenuse“ genannt. Es ist klar, dass, wenn a, b, c ein Tripel pythagoräischer Zahlen sind, pa, p, pc, wobei p ein ganzzahliger Faktor ist, pythagoräische Zahlen sind. Das Gegenteil ist auch der Fall! Daher werden wir zunächst nur Tripel von teilerfremden pythagoräischen Zahlen untersuchen (der Rest wird aus ihnen durch Multiplikation mit einem ganzzahligen Faktor p erhalten).

Abschluss! Von den Zahlen a und b ist also eine gerade und die andere ungerade, was bedeutet, dass die dritte Zahl ebenfalls ungerade ist.

Hier sind die folgenden pythagoräischen Tripel: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Es ist leicht zu erkennen, dass wir die folgenden Tripel erhalten, wenn wir jede der Zahlen des pythagoräischen Tripels mit 2, 3, 4, 5 usw. multiplizieren. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 usw. Es sind auch pythagoräische Zahlen

Eigenschaften pythagoräischer Zahlen Bei der Betrachtung pythagoräischer Zahlen fielen mir mehrere Eigenschaften auf: 1) Eine der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von drei sein; 2) einer davon muss ein Vielfaches von vier sein; 3) Und die andere der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von fünf sein;

Praktische Anwendung pythagoräischer Zahlen

Fazit: Als Ergebnis meiner Arbeit ist es mir gelungen, 1. mehr über Pythagoras, sein Leben, die Pythagoras-Bruderschaft zu erfahren. 2. Machen Sie sich mit der Geschichte des Satzes des Pythagoras vertraut. 3. Erfahren Sie mehr über pythagoreische Zahlen, ihre Eigenschaften und erfahren Sie, wie Sie sie finden. Experimentell-experimentell einen rechten Winkel mit pythagoräischen Zahlen beiseite legen.

Eine bequeme und sehr genaue Methode, mit der Landvermesser senkrechte Linien auf dem Boden zeichnen, ist die folgende. Es sei erforderlich, eine Senkrechte zur Linie MN durch Punkt A zu zeichnen (Abb. 13). Dreimal von A in Richtung AM abfahren und eine Strecke a zurücklegen. Anschließend werden an der Kordel drei Knoten geknüpft, deren Abstände 4a und 5a betragen. Befestigen Sie die äußersten Knoten an den Punkten A und B und ziehen Sie die Schnur über den mittleren Knoten. Die Schnur liegt in einem Dreieck, in dem Winkel A ein rechter Winkel ist.

Diese alte Methode, die offenbar vor Tausenden von Jahren von den Erbauern der ägyptischen Pyramiden angewendet wurde, basiert auf der Tatsache, dass jedes Dreieck, dessen Seiten nach dem bekannten Satz des Pythagoras im Verhältnis 3:4:5 zueinander stehen, seither rechtwinklig ist

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Zusätzlich zu den Zahlen 3, 4, 5 gibt es bekanntlich eine überzählbare Menge positiver ganzer Zahlen a, b, c, die die Beziehung erfüllen

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Sie werden pythagoräische Zahlen genannt. Nach dem Satz des Pythagoras können solche Zahlen als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks dienen; daher werden a und b „Beine“ und c „Hypotenuse“ genannt.

Es ist klar, dass, wenn a, b, c ein Tripel pythagoräischer Zahlen ist, pa, pb, pc, wobei p ein ganzzahliger Faktor ist, pythagoräische Zahlen sind. Wenn umgekehrt die pythagoräischen Zahlen einen gemeinsamen Faktor haben, dann kann man sie alle um diesen gemeinsamen Faktor reduzieren, und man erhält wieder ein Dreifaches der pythagoräischen Zahlen. Daher werden wir zunächst nur Tripel von teilerfremden pythagoräischen Zahlen untersuchen (der Rest wird aus ihnen durch Multiplikation mit einem ganzzahligen Faktor p erhalten).

Zeigen wir, dass in jedem dieser Tripletts a, b, c eines der „Beine“ gerade und das andere ungerade sein muss. Lassen Sie uns „im Gegenteil“ argumentieren. Wenn beide „Beine“ a und b gerade sind, dann ist die Zahl a 2 + b 2 gerade und damit die „Hypotenuse“. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Tatsache, dass die Zahlen a, b, c keine gemeinsamen Teiler haben, da drei gerade Zahlen einen gemeinsamen Teiler von 2 haben. Somit ist mindestens eines der „Beine“ a, b ungerade.

Es bleibt noch eine Möglichkeit: Beide „Beine“ sind ungerade und die „Hypotenuse“ ist gerade. Es ist leicht zu beweisen, dass dies nicht sein kann. In der Tat, wenn die „Beine“ die Form haben

2x + 1 und 2y + 1,

dann ist die Summe ihrer Quadrate

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

Das heißt, es ist eine Zahl, die, wenn sie durch 4 geteilt wird, einen Rest von 2 ergibt. Das Quadrat jeder geraden Zahl muss hingegen ohne Rest durch 4 teilbar sein. Die Summe der Quadrate zweier ungerader Zahlen kann also nicht das Quadrat einer geraden Zahl sein; mit anderen Worten, unsere drei Zahlen sind nicht pythagoräisch.

Von den „Beinen“ a, b ist also eines gerade und das andere ungerade. Daher ist die Zahl a 2 + b 2 ungerade, was bedeutet, dass auch die „Hypotenuse“ c ungerade ist.

Nehmen wir zur Bestimmtheit an, dass ungerade „Bein“ a und gerade b ist. Aus Gleichheit

a 2 + b 2 = c 2

wir erhalten leicht:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Die Faktoren c + b und c - b auf der rechten Seite sind teilerfremd. Wenn diese Zahlen tatsächlich einen anderen gemeinsamen Primfaktor als eins hätten, wäre die Summe auch durch diesen Faktor teilbar.

(c + b) + (c - b) = 2c,

und Unterschied

(c + b) - (c - b) = 2b,

und Arbeit

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

d.h. die Zahlen 2c, 2b und a hätten einen gemeinsamen Faktor. Da a ungerade ist, unterscheidet sich dieser Faktor von zwei, und daher haben die Zahlen a, b, c den gleichen gemeinsamen Faktor, der jedoch nicht sein kann. Der resultierende Widerspruch zeigt, dass die Zahlen c + b und c – b teilerfremd sind.

Wenn aber das Produkt von teilerfremden Zahlen ein exaktes Quadrat ist, dann ist jede von ihnen ein Quadrat, d.h.

Wenn wir dieses System lösen, finden wir:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 und 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Die betrachteten pythagoräischen Zahlen haben also die Form

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

wobei m und n einige ungerade teilerfremde Zahlen sind. Der Leser kann das Gegenteil leicht überprüfen: Für jeden ungeraden Typ ergeben die geschriebenen Formeln drei pythagoräische Zahlen a, b, c.

Hier sind einige Tripletts pythagoräischer Zahlen, die mit verschiedenen Typen erhalten wurden:

Bei m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 bei m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 bei m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 bei m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 bei m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 bei m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 bei m = 5, n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 bei m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 bei m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 6 5 2 bei m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 bei m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 bei m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 bei m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 bei m = 1 3 , n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 für m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 für m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Alle anderen Tripel der pythagoräischen Zahlen haben entweder gemeinsame Faktoren oder enthalten Zahlen größer als einhundert.)

Als nächstes betrachten wir die bekannten Methoden zur Erzeugung effektiver pythagoräischer Tripel. Die Schüler von Pythagoras waren die ersten, die eine einfache Methode zur Erzeugung pythagoräischer Tripel entwickelten, indem sie eine Formel verwendeten, deren Teile ein pythagoräisches Tripel darstellten:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Wo M- ungepaart, M>2. Wirklich,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Eine ähnliche Formel wurde vorgeschlagen antiker griechischer Philosoph Plato:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Wo M- irgendeine Nummer. Für M= 2,3,4,5 werden folgende Tripel erzeugt:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Wie Sie sehen, können diese Formeln nicht alle möglichen primitiven Tripel liefern.

Betrachten Sie das folgende Polynom, das in eine Summe von Polynomen zerlegt wird:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Daher die folgenden Formeln zum Erhalten primitiver Tripel:

A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Diese Formeln generieren Tripel, bei denen die durchschnittliche Zahl genau um eins von der größten abweicht, d. h. es werden auch nicht alle möglichen Tripel generiert. Hier sind die ersten Tripel: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Um zu bestimmen, wie alle primitiven Tripel erzeugt werden, müssen ihre Eigenschaften untersucht werden. Erstens, wenn ( ABC) ist also ein primitives Tripel A Und B, B Und C, A Und C– muss teilerfremd sein. Lassen A Und B sind geteilt in D. Dann A 2 + B 2 ist auch durch teilbar D. Bzw, C 2 und C sollte unterteilt werden in D. Das heißt, es handelt sich nicht um ein primitives Tripel.

Zweitens unter den Zahlen A, B einer muss gepaart und der andere ungepaart sein. In der Tat, wenn A Und B- also gepaart Mit werden gepaart und die Zahlen können durch mindestens 2 geteilt werden. Wenn beide ungepaart sind, können sie als 2 dargestellt werden k+1 und 2 l+1, wo k,l- einige Zahlen. Dann A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, das heißt, Mit 2 , sowie A 2 + B 2 hat einen Rest von 2, wenn man es durch 4 dividiert.

Lassen Mit- also eine beliebige Zahl Mit = 4k+ich (ich=0,…,3). Dann Mit 2 = (4k+ich) 2 hat einen Rest von 0 oder 1 und kann keinen Rest von 2 haben. Somit gilt: A Und B kann also nicht ungepaart sein A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 und Rest Mit 2 mal 4 sollte 1 sein, was bedeutet Mit sollte ungepaart sein.

Solche Anforderungen an die Elemente des pythagoräischen Tripels werden durch die folgenden Zahlen erfüllt:

A = 2mn, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Wo M Und N sind Koprime mit unterschiedlichen Paarungen. Diese Abhängigkeiten wurden erstmals aus den Werken von Euklid bekannt, der 2300 r. lebte. zurück.

Beweisen wir die Gültigkeit der Abhängigkeiten (2). Lassen A- also doppelt B Und C- ungepaart. Dann C + B ich C − B- Paare. Sie können dargestellt werden als C + B = 2u Und C − B = 2v, Wo u,v sind einige ganze Zahlen. Deshalb

A 2 = Mit 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2u 2 v = 4UV

Und deswegen ( A/2) 2 = UV.

Das lässt sich durch Widerspruch beweisen u Und v sind Koprime. Lassen u Und v- sind geteilt in D. Dann ( C + B) Und ( C − B) sind geteilt in D. Und deswegen C Und B sollte unterteilt werden in D, und dies widerspricht der Bedingung für das pythagoräische Tripel.

Als UV = (A/2) 2 und u Und v Koprime, das lässt sich leicht beweisen u Und v müssen Quadrate einiger Zahlen sein.

Es gibt also positive ganze Zahlen M Und N, so dass u = M 2 und v = N 2. Dann

A 2 = 4UV = 4M 2 N 2 also
A = 2mn; B = u − v = M 2 − N 2 ; C = u + v = M 2 + N 2 .

Als B> 0 also M > N.

Das bleibt noch zu zeigen M Und N haben unterschiedliche Paarungen. Wenn M Und N- also gepaart u Und v müssen gepaart sein, aber das ist unmöglich, da sie teilerfremd sind. Wenn M Und N- also ungepaart B = M 2 − N 2 und C = M 2 + N 2 wären gepaart, was unmöglich ist, weil C Und B sind Koprime.

Daher muss jedes primitive pythagoräische Tripel die Bedingungen (2) erfüllen. Gleichzeitig sind die Zahlen M Und N genannt Zahlen generieren primitive Drillinge. Nehmen wir zum Beispiel ein primitives pythagoräisches Tripel (120,119,169). In diesem Fall

A= 120 = 2 12 5, B= 119 = 144 − 25, und C = 144+25=169,

Wo M = 12, N= 5 - Zahlen erzeugen, 12 > 5; 12 und 5 sind teilerfremd und haben unterschiedliche Paarungen.

Es kann bewiesen werden, dass die Zahlen M, N Formeln (2) ergeben ein primitives pythagoräisches Tripel (a,b,c). Wirklich,

A 2 + B 2 = (2mn) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

Also ( A,B,C) ist ein pythagoräisches Tripel. Lassen Sie uns das beweisen A,B,C sind durch Widerspruch teilerfremde Zahlen. Teilen wir diese Zahlen durch P> 1. Seit M Und N haben also unterschiedliche Paarungen B Und C- also ungepaart P≠ 2. Da R teilt B Und C, Das R muss 2 teilen M 2 und 2 N 2 , was unmöglich ist, weil P≠ 2. Deshalb M, N sind Koprime und A,B,C sind auch Koprime.

Tabelle 1 zeigt alle primitiven pythagoräischen Tripel, die durch die Formeln (2) für generiert wurden M≤10.

Tabelle 1. Primitive pythagoräische Tripel für M≤10

Die Analyse dieser Tabelle zeigt das Vorhandensein der folgenden Reihe von Mustern:

• oder A, oder B werden durch 3 geteilt;
• eine der Zahlen A,B,C ist durch 5 teilbar;
• Nummer A ist durch 4 teilbar;
• arbeiten A· B ist durch 12 teilbar.

1971 schlugen die amerikanischen Mathematiker Teigan und Hedwin so wenig bekannte Parameter eines rechtwinkligen Dreiecks wie seine Höhe (Höhe) vor, um Drillinge zu erzeugen H = C− b und Exzess (Erfolg) e = A + B − C. In Abb.1. Diese Größen werden auf einem bestimmten rechtwinkligen Dreieck dargestellt.

Abbildung 1. Rechtwinkliges Dreieck und sein Wachstum und Übermaß

Der Name „Überschuss“ leitet sich von der Tatsache ab, dass dies die zusätzliche Distanz ist, die entlang der Schenkel des Dreiecks von einem Scheitelpunkt zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt zurückgelegt werden muss, wenn man nicht entlang seiner Diagonale geht.

Durch Übermaß und Wachstum können die Seiten des pythagoräischen Dreiecks wie folgt ausgedrückt werden:

e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Nicht alle Kombinationen H Und e kann pythagoräischen Dreiecken entsprechen. Für ein gegebenes H mögliche Werte e ist das Produkt einer Zahl D. Diese Nummer D heißt Wachstum und bezieht sich auf H auf die folgende Weise: D ist die kleinste positive ganze Zahl, deren Quadrat durch 2 teilbar ist H. Als e mehrere D, dann wird es geschrieben als e = kd, Wo k ist eine positive ganze Zahl.

Mit Hilfe von Paaren ( k,H) können Sie alle pythagoräischen Dreiecke, einschließlich nicht-primitiver und verallgemeinerter Dreiecke, wie folgt generieren:

(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H

Darüber hinaus ist ein Tripel primitiv, wenn k Und H sind teilerfremd und if H =± Q 2 um Q- ungepaart.
Darüber hinaus wird es genau ein pythagoräisches Tripel sein, wenn k> √2 H/D Und H > 0.

Finden k Und H aus ( A,B,C) Mach Folgendes:

• H = C − B;
• aufschreiben H Wie H = pq 2 , wo P> 0 und solche, die kein Quadrat sind;
• D = 2pq Wenn P- ungepaart und D = pq, wenn p gepaart ist;
• k = (A − H)/D.

Zum Beispiel gilt für das Tripel (8,15,17). H= 17−15 = 2 1, also P= 2 und Q = 1, D= 2, und k= (8 − 2)/2 = 3. Dieses Tripel ist also gegeben als ( k,H) = (3,2).

Für das Tripel (459,1260,1341) haben wir H= 1341 − 1260 = 81, also P = 1, Q= 9 und D= 18, also k= (459 − 81)/18 = 21, daher lautet der Code dieses Tripels ( k,H) = (21, 81).

Angabe von Tripeln mit H Und k hat eine Nummer interessante Eigenschaften. Parameter k gleicht

k = 4S/(dP), (5)

Wo S = ab/2 ist die Fläche des Dreiecks und P = A + B + C ist sein Umfang. Dies folgt aus der Gleichheit eP = 4S, was aus dem Satz des Pythagoras stammt.

Für ein rechtwinkliges Dreieck e entspricht dem Durchmesser des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises. Dies liegt daran, dass die Hypotenuse Mit = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, Wo R ist der Radius des Kreises. Von hier H = C − B = A − 2R Und e = A − H = 2R.

Für H> 0 und k > 0, k ist die Ordnungszahl der Tripletts A-B-C in einer Folge pythagoräischer Dreiecke mit zunehmender Bedeutung H. Aus Tabelle 2, die mehrere Optionen für durch Paare erzeugte Tripletts zeigt H, k, es ist zu erkennen, dass mit zunehmender k Die Seiten des Dreiecks nehmen zu. Im Gegensatz zur klassischen Nummerierung erfolgt die Nummerierung daher paarweise H, k hat eine höhere Ordnung in Folgen von Tripletts.

Tabelle 2. Pythagoräische Tripel, erzeugt durch die Paare h, k.

Für H > 0, D erfüllt die Ungleichung 2√ H ≤ D ≤ 2H, bei dem die Untergrenze erreicht wird P= 1, und der obere, bei Q= 1. Daher der Wert D bezüglich 2√ H ist ein Maß dafür, wie viel H weit entfernt vom Quadrat einer Zahl.

Pythagoräische Zahlentripel

kreative Arbeit

Schüler 8 "A" Klasse

MAOU „Gymnasium Nr. 1“

Oktjabrski-Bezirk von Saratow

Panfilova Wladimir

Betreuer - Mathematiklehrer der höchsten Kategorie

Grischina Irina Wladimirowna

Inhalt

Einleitung…………………………………………………………………………………3

Theoretischer Teil der Arbeit

Das grundlegende pythagoräische Dreieck finden

(Formeln der alten Hindus)…………………………………………………………………4

Praktischer Teil der Arbeit

Pythagoreische Tripel auf verschiedene Weise komponieren……………………........ 6

Eine wichtige Eigenschaft pythagoräischer Dreiecke………………………………………...8

Fazit……………………………………………………………………………....9

Literatur……………………………………………………………………………...10

Einführung

Darin Akademisches Jahr Im Mathematikunterricht haben wir einen der beliebtesten Sätze der Geometrie studiert – den Satz des Pythagoras. Der Satz des Pythagoras wird in der Geometrie bei jedem Schritt angewendet und hat in der Praxis und im Alltag breite Anwendung gefunden. Aber neben dem Satz selbst haben wir auch den Satz untersucht, der zum Satz des Pythagoras invers ist. Im Zusammenhang mit dem Studium dieses Satzes haben wir pythagoräische Zahlentripel kennengelernt, d.h. mit Mengen von 3 natürlichen ZahlenA , B UndC , für die die Beziehung gilt: = + . Zu solchen Sätzen gehören beispielsweise die folgenden Drillinge:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Ich hatte sofort Fragen: Wie viele pythagoreische Tripel fallen Ihnen ein? Und wie komponiert man sie?

In unserem Geometrielehrbuch wurde nach der Darstellung des Umkehrsatzes zum Satz des Pythagoras eine wichtige Bemerkung gemacht: Es kann bewiesen werden, dass die BeineA UndB und HypotenuseMit rechtwinklige Dreiecke, deren Seitenlängen in natürlichen Zahlen ausgedrückt werden, können durch die Formeln ermittelt werden:

A = 2km b = k( - )c = k( + , (1)

Wok , M , N sind beliebige natürliche Zahlen undM > N .

Natürlich stellt sich die Frage: Wie kann man diese Formeln beweisen? Und können nur mit diesen Formeln pythagoreische Tripel gebildet werden?

In meiner Arbeit habe ich versucht, die Fragen zu beantworten, die mir durch den Kopf gingen.

Theoretischer Teil der Arbeit

Finden des Hauptdreiecks des Pythagoras (Formeln der alten Hindus)

Beweisen wir zunächst die Formeln (1):

Bezeichnen wir die Länge der Beine durchX Undbei , und die Länge der Hypotenuse durchz . Nach dem Satz des Pythagoras gilt die Gleichheit:+ = .(2)

Diese Gleichung wird Pythagoräische Gleichung genannt. Das Studium pythagoräischer Dreiecke reduziert sich auf die Lösung von Gleichung (2) in natürlichen Zahlen.

Wenn jede Seite eines pythagoräischen Dreiecks um die gleiche Anzahl vergrößert wird, erhalten wir ein neues rechtwinkliges Dreieck ähnlich dem gegebenen, dessen Seiten in natürlichen Zahlen ausgedrückt werden, d. h. wieder das pythagoräische Dreieck.

Unter allen ähnlichen Dreiecken gibt es das kleinste. Es ist leicht zu erraten, dass es sich um ein Dreieck mit Seiten handeltX Undbei ausgedrückt in Koprimzahlen

(gcd (x,y )=1).

Wir nennen ein solches pythagoräisches Dreieckhauptsächlich .

Die wichtigsten pythagoräischen Dreiecke finden.

Lassen Sie das Dreieck (X , j , z ) ist das Hauptdreieck des Pythagoras. ZahlenX Undbei sind teilerfremd und können daher nicht beide gerade sein. Beweisen wir, dass nicht beide ungerade sein können. Hierzu weisen wir darauf hinDas Quadrat einer ungeraden Zahl ergibt bei Division durch 8 einen Rest von 1. Tatsächlich kann jede ungerade natürliche Zahl dargestellt werden als2 k -1 , Wok gehörtN .

Von hier: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Zahlen( k -1) Undk aufeinanderfolgend sind, muss eine davon gerade sein. Dann der Ausdruckk ( k -1) geteilt durch2 , 4 k ( k -1) ist durch 8 teilbar, das heißt bei Division durch 8 ist der Rest 1.

Die Summe der Quadrate zweier ungerader Zahlen ergibt bei Division durch 8 einen Rest von 2, daher ist die Summe der Quadrate zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl, aber kein Vielfaches von 4 und daher diese Zahlkann nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl sein.

Gleichheit (2) kann also nicht gelten, wennX Undbei beides ist seltsam.

Wenn also das pythagoräische Dreieck (x, y, z ) - die wichtigste, dann unter den ZahlenX Undbei einer muss gerade und der andere ungerade sein. Die Zahl y sei gerade. ZahlenX Undz ungerade (ungeradez folgt aus Gleichung (2)).

Aus der Gleichung+ = Das verstehen wir= ( z + X )( z - X ) (3).

Zahlenz + X Undz - X da Summe und Differenz zweier ungerader Zahlen gerade Zahlen sind, und daher (4):

z + X = 2 A , z - X = 2 B , WoA UndB gehörenN .

z + X =2 A , z - X = 2 B ,

z = a+b , X = A - B. (5)

Aus diesen Gleichheiten folgt dasA UndB sind relativ Primzahlen.

Wir beweisen dies, indem wir das Gegenteil argumentieren.

Sei GCD (A , B )= D , WoD >1 .

DannD z UndX , und daher die Zahlenz + X Undz - X . Dann basierend auf Gleichheit (3) wäre ein Teiler . In diesem FallD wäre ein gemeinsamer Teiler von Zahlenbei UndX , aber die Zahlenbei UndX muss teilerfremd sein.

Nummerbei ist bekanntermaßen gerade, alsoy = 2s , WoMit - natürliche Zahl. Gleichheit (3) wird auf der Grundlage von Gleichheit (4) angenommen nächste Ansicht: =2a*2 B , oder =ab.

Aus der Arithmetik ist das bekanntWenn das Produkt zweier teilerfremder Zahlen das Quadrat einer natürlichen Zahl ist, dann ist jede dieser Zahlen auch das Quadrat einer natürlichen Zahl.

Bedeutet,a = UndB = , WoM UndN sind Koprimzahlen, weil Sie sind Teiler von teilerfremden ZahlenA UndB .

Basierend auf Gleichheit (5) haben wir:

z = + , X = - , = ab = * = ; c = mn

Danny = 2 mn .

ZahlenM UndN , Weil sind Koprime, können also nicht gleichzeitig gerade sein. Aber sie können nicht gleichzeitig seltsam sein, denn in diesem Fallx = - wäre gerade, was unmöglich ist. Also eine der ZahlenM oderN ist gerade und der andere ist ungerade. Offensichtlich,y = 2 mn ist durch 4 teilbar. Daher ist in jedem pythagoräischen Hauptdreieck mindestens einer der Schenkel durch 4 teilbar. Daraus folgt, dass es keine pythagoräischen Dreiecke gibt, deren Seiten alle Primzahlen wären.

Die erhaltenen Ergebnisse können als folgender Satz ausgedrückt werden:

Alle großen Dreiecke, in denenbei eine gerade Zahl ist, werden aus der Formel erhalten

x = - , j =2 mn , z = + ( M > N ), WoM UndN - alle Paare von teilerfremden Zahlen, von denen eines gerade und das andere ungerade ist (egal welches). Jedes grundlegende pythagoreische Tripel (x, y, z ), Wobei – sogar, wird auf diese Weise eindeutig bestimmt.

ZahlenM UndN kann nicht beide gerade oder beide ungerade sein, weil in diesen Fällen

x = wäre gerade, was unmöglich ist. Also eine der ZahlenM oderN gerade und das andere ungeradej = 2 mn teilbar durch 4).

Praktischer Teil der Arbeit

Pythagoreische Tripel auf verschiedene Weise komponieren

In hinduistischen FormelnM UndN - Koprime, können aber Zahlen beliebiger Parität sein und es ist ziemlich schwierig, daraus pythagoreische Tripel zu erstellen. Versuchen wir daher, einen anderen Ansatz für die Zusammenstellung pythagoräischer Tripel zu finden.

= - = ( z - j )( z + j ), WoX - seltsam,j - selbst,z - seltsam

v = z - j , u = z + j

= UV , Wou - seltsam,v – ungerade (koprime)

Weil Das Produkt zweier ungerader teilerfremder Zahlen ist also das Quadrat einer natürlichen Zahlu = , v = , Wok Undl sind teilerfremde, ungerade Zahlen.

z - j = z + j = k 2 , Wenn wir also die Gleichungen addieren und voneinander subtrahieren, erhalten wir:

2 z = + 2 j = - also

z= y= x = cl

k

l

X

j

z

37

9

1

9

40

41 (SNullen)*(100…0 (SNullen) +1)+1 =200…0 (s-1Nullen) 200…0 (s-1Nullen) 1

Eine wichtige Eigenschaft pythagoräischer Dreiecke

Satz

Im pythagoräischen Hauptdreieck ist eines der Beine notwendigerweise durch 4 teilbar, eines der Beine ist notwendigerweise durch 3 teilbar und die Fläche des pythagoräischen Dreiecks ist notwendigerweise ein Vielfaches von 6.

Nachweisen

Wie wir wissen, ist in jedem pythagoräischen Dreieck mindestens einer der Schenkel durch 4 teilbar.

Beweisen wir, dass eines der Beine auch durch 3 teilbar ist.

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass im pythagoräischen Dreieck (X , j , z X oderj Vielfaches von 3.

Jetzt beweisen wir, dass die Fläche des pythagoräischen Dreiecks durch 6 teilbar ist.

Jedes pythagoräische Dreieck hat eine Fläche, die durch eine natürliche Zahl ausgedrückt wird, die durch 6 teilbar ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass mindestens eines der Beine durch 3 teilbar ist und mindestens eines der Beine durch 4 teilbar ist. Die Fläche des Dreiecks, bestimmt durch das Halbprodukt der Beine, muss als Vielfaches von 6 ausgedrückt werden.

Abschluss

Bei der Arbeit

- bewährte Formeln der alten Hindus

- führte eine Studie über die Anzahl der pythagoräischen Tripel durch (es gibt unendlich viele davon)

- Methoden zum Auffinden pythagoräischer Tripel werden angegeben

- Studierte einige Eigenschaften pythagoräischer Dreiecke

Für mich war es sehr interessantes Thema und Antworten auf meine Fragen zu finden, ist zu einer sehr interessanten Aktivität geworden. In der Zukunft habe ich vor, den Zusammenhang pythagoräischer Dreiecke mit der Fibonacci-Folge und dem Satz von Fermat zu untersuchen und viele weitere Eigenschaften pythagoräischer Dreiecke kennenzulernen.

Literatur

L.S. Atanasyan „Geometrie. 7-9 Klassen“ M.: Bildung, 2012.

V. Serpinsky „Pythagoreische Dreiecke“ M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratow

2014