Die arithmetische Folge ermittelt die Summe der ersten fünf. Formel des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge. Der Wert des angegebenen Mitglieds

Jemand geht mit dem Wort „Progression“ mit Vorsicht um, da es sich um einen sehr komplexen Begriff aus den Bereichen der höheren Mathematik handelt. Mittlerweile ist die einfachste arithmetische Folge die Arbeit am Taxischalter (wo sie noch stehen). Und das Wesentliche (und in der Mathematik gibt es nichts Wichtigeres als „das Wesentliche zu verstehen“) einer arithmetischen Folge zu verstehen, ist nach der Analyse einiger elementarer Konzepte nicht so schwierig.

Mathematische Zahlenfolge

Es ist üblich, eine Zahlenfolge als eine Reihe von Zahlen zu bezeichnen, von denen jede ihre eigene Nummer hat.

und 1 ist das erste Mitglied der Sequenz;

und 2 ist das zweite Mitglied der Sequenz;

und 7 ist das siebte Mitglied der Folge;

und n ist das n-te Mitglied der Sequenz;

Allerdings interessiert uns nicht irgendein beliebiges Zahlenwerk. Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf eine Zahlenfolge richten, in der der Wert des n-ten Elements durch eine mathematisch eindeutig formulierbare Abhängigkeit mit seiner Ordnungszahl zusammenhängt. Mit anderen Worten: Der Zahlenwert der n-ten Zahl ist eine Funktion von n.

a - Wert eines Mitglieds der Zahlenfolge;

n ist seine Seriennummer;

f(n) ist eine Funktion, bei der die Ordnungszahl in der Zahlenfolge n das Argument ist.

Definition

Eine arithmetische Folge wird üblicherweise als Zahlenfolge bezeichnet, in der jeder nachfolgende Term um dieselbe Zahl größer (kleiner) als der vorherige ist. Die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet wie folgt:

a n – der Wert des aktuellen Mitglieds arithmetische Folge;

a n+1 – die Formel der nächsten Zahl;

d - Differenz (eine bestimmte Zahl).

Es lässt sich leicht feststellen, dass bei positiver Differenz (d>0) jedes nachfolgende Mitglied der betrachteten Reihe größer als das vorherige ist und eine solche arithmetische Folge zunimmt.

In der folgenden Grafik ist leicht zu erkennen, warum die Zahlenfolge „steigend“ genannt wird.

In Fällen, in denen die Differenz negativ ist (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Der Wert des angegebenen Mitglieds

Manchmal ist es notwendig, den Wert eines beliebigen Termes a n einer arithmetischen Folge zu bestimmen. Sie können dies tun, indem Sie nacheinander die Werte aller Mitglieder der arithmetischen Folge berechnen, vom ersten bis zum gewünschten. Dieser Weg ist jedoch nicht immer akzeptabel, wenn es beispielsweise darum geht, den Wert des fünftausendsten oder achtmillionsten Termes zu ermitteln. Die herkömmliche Berechnung wird lange dauern. Mit bestimmten Formeln lässt sich jedoch eine bestimmte arithmetische Folge untersuchen. Es gibt auch eine Formel für den n-ten Term: Der Wert eines beliebigen Glieds einer arithmetischen Folge kann als Summe des ersten Glieds der Folge mit der Differenz der Folge, multipliziert mit der Nummer des gewünschten Glieds minus eins, bestimmt werden .

Die Formel ist universell für zunehmende und abnehmende Progression.

Ein Beispiel für die Berechnung des Wertes eines bestimmten Mitglieds

Lösen wir das folgende Problem, den Wert des n-ten Elements einer arithmetischen Folge zu ermitteln.

Bedingung: Es liegt eine arithmetische Folge mit Parametern vor:

Das erste Mitglied der Sequenz ist 3;

Der Unterschied in der Zahlenreihe beträgt 1,2.

Aufgabe: Es gilt, den Wert von 214 Begriffen zu ermitteln

Lösung: Um den Wert eines bestimmten Elements zu bestimmen, verwenden wir die Formel:

a(n) = a1 + d(n-1)

Wenn wir die Daten aus der Problemstellung in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Antwort: Das 214. Glied der Folge ist gleich 258,6.

Die Vorteile dieser Berechnungsmethode liegen auf der Hand – die gesamte Lösung benötigt nicht mehr als 2 Zeilen.

Summe einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern

Sehr oft ist es in einer bestimmten arithmetischen Reihe erforderlich, die Summe der Werte einiger ihrer Segmente zu bestimmen. Es ist auch nicht erforderlich, die Werte jedes Termes zu berechnen und sie dann zusammenzufassen. Diese Methode ist anwendbar, wenn die Anzahl der Terme, deren Summe gefunden werden muss, klein ist. In anderen Fällen ist es bequemer, die folgende Formel zu verwenden.

Die Summe der Elemente einer arithmetischen Folge von 1 bis n ist gleich der Summe des ersten und n-ten Elements, multipliziert mit der Elementnummer n und dividiert durch zwei. Wenn in der Formel der Wert des n-ten Elements durch den Ausdruck aus dem vorherigen Absatz des Artikels ersetzt wird, erhalten wir:

Berechnungsbeispiel

Lassen Sie uns beispielsweise ein Problem mit den folgenden Bedingungen lösen:

Der erste Term der Folge ist Null;

Der Unterschied beträgt 0,5.

In der Aufgabe ist es erforderlich, die Summe der Terme der Reihe von 56 bis 101 zu bestimmen.

Lösung. Verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Summe der Progression:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Zunächst ermitteln wir die Summe der Werte von 101 Mitgliedern der Progression, indem wir die gegebenen Bedingungen unseres Problems in die Formel einsetzen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Um die Summe der Terme der Progression vom 56. zum 101. herauszufinden, ist es natürlich notwendig, S 55 von S 101 zu subtrahieren.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Die Summe der arithmetischen Folge für dieses Beispiel ist also:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Beispiel für die praktische Anwendung der arithmetischen Folge

Kehren wir am Ende des Artikels zum Beispiel der arithmetischen Folge aus dem ersten Absatz zurück – einem Taxameter (Taxameter). Betrachten wir ein solches Beispiel.

Die Fahrt mit dem Taxi (die 3 km zurücklegt) kostet 50 Rubel. Jeder weitere Kilometer wird mit 22 Rubel/km vergütet. Reisestrecke 30 km. Berechnen Sie die Kosten der Reise.

1. Lassen Sie uns die ersten 3 km wegwerfen, deren Preis in den Landekosten enthalten ist.

30 - 3 = 27 km.

2. Die weitere Berechnung ist nichts anderes als das Parsen einer arithmetischen Zahlenreihe.

Die Mitgliedsnummer ist die Anzahl der zurückgelegten Kilometer (abzüglich der ersten drei).

Der Wert des Mitglieds ist die Summe.

Der erste Term in dieser Aufgabe ist a 1 = 50 Rubel.

Progressionsunterschied d = 22 p.

die für uns interessante Zahl - der Wert des (27 + 1)-ten Glieds der arithmetischen Folge - der Zählerstand am Ende des 27. Kilometers - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Berechnungen von Kalenderdaten für einen beliebig langen Zeitraum basieren auf Formeln, die bestimmte Zahlenfolgen beschreiben. In der Astronomie ist die Länge der Umlaufbahn geometrisch abhängig von der Entfernung des Himmelskörpers zum Himmelskörper. Darüber hinaus werden verschiedene Zahlenreihen erfolgreich in der Statistik und anderen angewandten Teilgebieten der Mathematik eingesetzt.

Eine andere Art von Zahlenfolge ist geometrisch

Ein geometrischer Verlauf ist im Vergleich zu einem arithmetischen Verlauf durch eine große Änderungsrate gekennzeichnet. Es ist kein Zufall, dass in Politik, Soziologie und Medizin oft gesagt wird, dass sich der Prozess exponentiell entwickelt, um die hohe Geschwindigkeit der Ausbreitung eines bestimmten Phänomens, beispielsweise einer Krankheit während einer Epidemie, aufzuzeigen.

Das N-te Mitglied der geometrischen Zahlenreihe unterscheidet sich vom vorherigen dadurch, dass es mit einer konstanten Zahl multipliziert wird – der Nenner ist zum Beispiel das erste Mitglied 1, der Nenner ist 2, dann:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – der Wert des aktuellen Mitglieds der geometrischen Folge;

b n+1 – die Formel des nächsten Mitglieds der geometrischen Folge;

q ist der Nenner einer geometrischen Folge (konstante Zahl).

Wenn der Graph einer arithmetischen Folge eine Gerade ist, dann zeichnet der geometrische ein etwas anderes Bild:

Wie bei der Arithmetik gibt es auch bei einer geometrischen Folge eine Formel für den Wert eines beliebigen Elements. Jeder n-te Term einer geometrischen Folge ist gleich dem Produkt aus dem ersten Term und dem Nenner der Folge hoch n reduziert um eins:

Beispiel. Wir haben eine geometrische Folge mit dem ersten Term gleich 3 und dem Nenner der Folge gleich 1,5. Finden Sie das 5. Glied der Progression

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Die Summe einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern wird ebenfalls nach einer speziellen Formel berechnet. Die Summe der ersten n Mitglieder einer geometrischen Folge ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt des n-ten Mitglieds der Folge und seinem Nenner und dem ersten Mitglied der Folge geteilt durch den um eins reduzierten Nenner:

Wenn b n mit der oben diskutierten Formel ersetzt wird, nimmt der Wert der Summe der ersten n Mitglieder der betrachteten Zahlenreihe die Form an:

Beispiel. Die geometrische Folge beginnt mit dem ersten Term gleich 1. Der Nenner wird gleich 3 gesetzt. Lassen Sie uns die Summe der ersten acht Terme ermitteln.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Beim Studium der Algebra an einer weiterführenden Schule (Klasse 9) ist eines der wichtigen Themen das Studium numerischer Folgen, die Progressionen umfassen – geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Folge und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betrachteten Fortschritt zu definieren und die Grundformeln anzugeben, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.

Eine arithmetische oder algebraische Folge ist eine solche Menge geordneter rationaler Zahlen, deren jedes Mitglied sich um einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird als Differenz bezeichnet. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Nehmen wir ein Beispiel. Die nächste Zahlenfolge wird eine arithmetische Folge sein: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann jedoch nicht mehr der betrachteten Progressionsart zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Wir geben nun die Grundformeln an, die benötigt werden, um Probleme mithilfe einer arithmetischen Folge zu lösen. Sei a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Der Unterschied wird mit dem lateinischen Buchstaben d bezeichnet. Dann sind die folgenden Ausdrücke wahr:

1. Um den Wert des n-ten Termes zu bestimmen, eignet sich die Formel: a n = (n-1) * d + a 1.
2. Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n + a 1)*n/2.

Um Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung in der 9. Klasse zu verstehen, reicht es aus, sich diese beiden Formeln zu merken, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung aufbauen. Vergessen Sie auch nicht, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel bestimmt wird: d = a n - a n-1 .

Beispiel Nr. 1: Ein unbekanntes Mitglied finden

Wir geben ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln, die zur Lösung verwendet werden müssen.

Gegeben sei die Folge 10, 8, 6, 4, ..., es müssen fünf Terme darin gefunden werden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

1. Berechnen wir zunächst die Differenz. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnte man zwei beliebige andere nebeneinander stehende Begriffe nehmen. Zum Beispiel d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d \u003d a n - a n-1, dann d \u003d a 5 - a 4, woraus wir erhalten: a 5 \u003d a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Auch die zweite Methode erfordert die Kenntnis des Unterschieds der jeweiligen Progression, daher muss dieser zunächst ermittelt werden, wie oben gezeigt (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die n-Zahl der Folge. Wir haben: a n = (n – 1) * d + a 1 = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2 * n. Wenn wir n = 5 in den letzten Ausdruck einsetzen, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führen beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz d der Progression negativ ist. Solche Folgen werden als absteigend bezeichnet, da jeder nachfolgende Term kleiner ist als der vorherige.

Beispiel Nr. 2: Fortschrittsunterschied

Lassen Sie uns die Aufgabe nun etwas komplizieren und ein Beispiel dafür geben

Es ist bekannt, dass in einigen Fällen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Reihenfolge auf den 7. Term wiederherzustellen.

Verwenden wir die Formel, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Setzen wir darin die bekannten Daten aus der Bedingung ein, also die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 = 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie die Differenz leicht berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit war der erste Teil der Aufgabe gelöst.

Um die Folge bis zum siebten Glied wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Folge verwenden, also a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d usw. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 und 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: Fortschritte machen

Lassen Sie uns den Zustand des Problems noch komplizierter machen. Jetzt müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie eine arithmetische Folge finden. Wir können das folgende Beispiel geben: Es werden zwei Zahlen angegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu erstellen, damit drei weitere Terme dazwischen passen.

Bevor man mit der Lösung dieses Problems beginnt, muss man verstehen, welchen Platz die gegebenen Zahlen in der zukünftigen Entwicklung einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme liegen, dann a 1 = -4 und a 5 = 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit einer Aufgabe fort, die der vorherigen ähnelt. Auch für den n-ten Term verwenden wir die Formel, wir erhalten: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Von: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier ist die Differenz kein ganzzahliger Wert, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression dieselben bleiben.

Nun addieren wir die gefundene Differenz zu einer 1 und stellen die fehlenden Mitglieder der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, was mit dem Zustand des Problems übereinstimmte.

Beispiel Nr. 4: Das erste Mitglied der Progression

Wir geben weiterhin Beispiele für eine arithmetische Folge mit Lösung. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten Sie nun ein Problem anderer Art: Es seien zwei Zahlen gegeben, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es gilt herauszufinden, mit welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist im Zustand des Problems nichts bekannt. Schreiben wir dennoch die Ausdrücke für jeden Term auf, über den wir Informationen haben: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen erhalten, in denen es zwei unbekannte Größen gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Das angegebene System lässt sich am einfachsten lösen, wenn Sie in jeder Gleichung eine 1 ausdrücken und dann die resultierenden Ausdrücke vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, woraus sich die Differenz d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 ergibt (es werden nur 3 Dezimalstellen angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie einen der beiden oben genannten Ausdrücke für a 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, können Sie es überprüfen, beispielsweise das 43. Glied der Progression ermitteln, das in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel #5: Summe

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine numerische Folge der folgenden Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie kann dieses Problem gelöst werden, indem alle Zahlen nacheinander addiert werden, was der Computer ausführt, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem kann jedoch mental gelöst werden, wenn man beachtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 beträgt. Wenn wir die Formel für die Summe anwenden, erhalten wir: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist merkwürdig, dass dieses Problem „Gaussian“ genannt wird, da der berühmte Deutsche, noch im Alter von nur 10 Jahren, es zu Beginn des 18. Jahrhunderts in wenigen Sekunden in seinem Kopf lösen konnte. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer das gleiche Ergebnis erhält, wenn man Zahlenpaare an den Rändern der Folge addiert, also 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) betragen, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel Nr. 6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das Folgende: Bei einer gegebenen Zahlenreihe: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie die Summe ihrer Terme von 8 bis 14 ermitteln.

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Begriffe von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zusammenzufassen. Da es nur wenige Begriffe gibt, ist diese Methode nicht aufwendig genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem mit der zweiten Methode zu lösen, die universeller ist.

Die Idee besteht darin, eine Formel für die Summe einer algebraischen Folge zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Schreiben wir für beide Fälle zwei Ausdrücke für die Summe auf:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2. Summe die erste einschließt. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen nehmen und den Term a m hinzufügen (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn = S n – S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 – m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n – m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). In diesen Ausdruck müssen Formeln für a n und a m eingesetzt werden. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall ist a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen ersetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen hervorgeht, basieren alle Probleme auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, dass Sie die Bedingung sorgfältig lesen, klar verstehen, was Sie finden möchten, und erst dann mit der Lösung fortfahren.

Ein weiterer Tipp ist, nach Einfachheit zu streben, d. h. wenn Sie die Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Beispielsweise könnte man im Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, und bleiben Teilen Sie die allgemeine Aufgabe in separate Unteraufgaben auf (in diesem Fall suchen Sie zuerst die Begriffe a n und a m).

Wenn Zweifel am erzielten Ergebnis bestehen, empfiehlt es sich, es zu überprüfen, wie dies auch in einigen der aufgeführten Beispiele der Fall war. Wie man eine arithmetische Folge findet, haben wir herausgefunden. Sobald Sie es herausgefunden haben, ist es nicht mehr so ​​schwer.

Unterrichtsart: neues Material lernen.

Lernziele:

• Erweiterung und Vertiefung der Vorstellungen der Studierenden über Aufgaben, die mittels arithmetischer Progression gelöst werden; Organisation der Suchaktivität der Studierenden bei der Ableitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung von Fähigkeiten, sich selbstständig neues Wissen anzueignen, bereits erworbenes Wissen zur Lösung der Aufgabe zu nutzen;
• Entwicklung des Wunsches und Bedürfnisses, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Unabhängigkeit.

Aufgaben:

• das vorhandene Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ verallgemeinern und systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Elemente einer arithmetischen Folge ableiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln zur Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren zum Ermitteln des Werts eines numerischen Ausdrucks aufmerksam.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für die Arbeit in Gruppen und Paaren;
• Bewertungspapier;
• Präsentation„Arithmetische Folge“.

I. Aktualisierung des Grundwissens.

1. Selbstständige Arbeit in Paaren.

1. Möglichkeit:

Definieren Sie eine arithmetische Folge. Schreiben Sie eine rekursive Formel auf, die eine arithmetische Folge definiert. Geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Folge und geben Sie deren Unterschied an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie das 100. Glied einer arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu diesem Zeitpunkt bereiten zwei Schüler auf der Rückseite der Tafel Antworten auf dieselben Fragen vor.
Die Studierenden bewerten die Arbeit des Partners durch Vergleich mit der Tafel. (Flugblätter mit Antworten werden ausgehändigt).

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich habe mir eine arithmetische Folge ausgedacht. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell das 7. Mitglied dieser Progression benennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Fragen von Studierenden.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine weiteren Fragen gibt, kann der Lehrer sie anregen – ein „Verbot“ von d (Unterschied), das heißt, es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist das 6. Semester der Progression und was ist das 8. Semester der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel stehen 20 Zahlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler sagen die Nummer der Nummer und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst an. Erklären Sie, wie ich das machen kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel des n-ten Semesters a n \u003d 3n - 2 und findet durch Ersetzen der gegebenen Werte von n die entsprechenden Werte ein .

II. Darstellung der pädagogischen Aufgabe.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lass euch sagen: Verteilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen, der Unterschied zwischen jedem und seinem Nachbarn beträgt 1/8 des Maßes.“

• In welcher Beziehung steht dieses Problem zum Thema arithmetische Progression? (Jede nächste Person erhält 1/8 des Maßes mehr, der Unterschied beträgt also d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet Ihrer Meinung nach die Zahl 10? (Die Summe aller Mitglieder der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um die Aufteilung der Gerste entsprechend dem Problemzustand einfach und unkompliziert zu gestalten? (Das erste Glied der Progression.)

Unterrichtsziel- Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Progressionsglieder von ihrer Zahl, dem ersten Glied und der Differenz und Prüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, wollen wir uns ansehen, wie die alten Ägypter das Problem gelöst haben.

Und sie haben es so gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme – durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte – verdoppelt Durchschnitt Aktie.
verdoppelt Durchschnitt Der Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte – 1/8 Takt = 1 7/8 Takte – doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - der Anteil der Quinte; usw. Sie können den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person ermitteln.

Wir erhalten die Reihenfolge:

III. Die Lösung der Aufgabe.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

1. Gruppe: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Allgemein

II. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Legende vom kleinen Gauß).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Abschluss:

III-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Abschluss:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Abschluss:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird als „Gauss-Methode“ bezeichnet.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der vorgeschlagenen Lösungen für eine beliebige arithmetische Folge:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wir finden diese Summe, indem wir ähnlich argumentieren:

4. Haben wir die Aufgabe gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfung der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel bei der Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Ausbildung der Fähigkeit, die Formel bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Finden: S 1500

Lösung: , und 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( und n) - arithmetische Folge;
(und n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Finden: N
Lösung:

V. Unabhängiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis arbeitete als Kurier. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat erhöhte es sich um 30 Rubel. Wie viel hat er in einem Jahr verdient?

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;
a 1 = 200, d=30, n=12
Finden: S 12
Lösung:

Antwort: Denis erhielt für das Jahr 4380 Rubel.

VI. Hausaufgabenunterricht.

1. S. 4.3 - Lernen Sie die Ableitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Verfassen Sie ein Problem, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden würde.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Punkteblatt

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute im Unterricht habe ich gelernt...
• Gelernte Formeln...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 ermitteln? Mit welcher Methode werden Sie dieses Problem lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Anleitung für Bildungsinstitutionen. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskau: Aufklärung, 2009.

Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, dann sagen mir die internen Cap-Beweise, dass Sie immer noch nicht wissen, was eine arithmetische Folge ist, Sie es aber wirklich (nein, so: SOOOOO!) wissen wollen. Deshalb werde ich Sie nicht mit langen Einführungen quälen und sofort zur Sache kommen.

Zu Beginn ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Zahlenmengen:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Was haben alle diese Sets gemeinsam? Auf den ersten Blick nichts. Aber tatsächlich gibt es etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich vom vorherigen durch die gleiche Nummer.

Urteile selbst. Der erste Satz besteht nur aus aufeinanderfolgenden Zahlen, jede mehr als die vorherige. Im zweiten Fall beträgt die Differenz zwischen benachbarten Zahlen bereits fünf, diese Differenz ist jedoch immer noch konstant. Im dritten Fall gibt es überhaupt Wurzeln. Allerdings gilt $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, während $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.h. In diesem Fall erhöht sich jedes nächste Element einfach um $\sqrt(2)$ (und haben Sie keine Angst, dass diese Zahl irrational ist).

Also: Alle solchen Folgen werden einfach arithmetische Folgen genannt. Lassen Sie uns eine strenge Definition geben:

Definition. Eine Folge von Zahlen, bei der sich jede nächste um genau den gleichen Betrag von der vorherigen unterscheidet, wird als arithmetische Folge bezeichnet. Der genaue Betrag, um den sich die Zahlen unterscheiden, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet und am häufigsten mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ist die Progression selbst, $d$ ist ihre Differenz.

Und nur ein paar wichtige Bemerkungen. Erstens wird nur der Fortschritt berücksichtigt ordentlich Zahlenfolge: Sie dürfen streng in der Reihenfolge gelesen werden, in der sie geschrieben sind – und sonst nichts. Sie können die Nummern nicht neu anordnen oder austauschen.

Zweitens kann die Folge selbst entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Menge (1; 2; 3) offensichtlich eine endliche arithmetische Folge. Aber wenn Sie so etwas wie (1; 2; 3; 4; ...) schreiben, ist dies bereits eine unendliche Entwicklung. Die Auslassungspunkte nach der Vier deuten sozusagen darauf hin, dass viele Zahlen weiter gehen. Unendlich viele zum Beispiel. :)

Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Fortschritte zu- und abnehmen. Wir haben bereits steigende Einsen gesehen – die gleiche Menge (1; 2; 3; 4; ...). Hier sind Beispiele für abnehmende Verläufe:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Das letzte Beispiel mag übermäßig kompliziert erscheinen. Aber den Rest, denke ich, verstehen Sie. Deshalb führen wir neue Definitionen ein:

Definition. Eine arithmetische Folge heißt:

1. zunehmend, wenn jedes nächste Element größer als das vorherige ist;
2. abnehmend, wenn im Gegenteil jedes nachfolgende Element kleiner ist als das vorherige.

Darüber hinaus gibt es sogenannte „stationäre“ Sequenzen – sie bestehen aus der gleichen sich wiederholenden Zahl. Zum Beispiel (3; 3; 3; ...).

Bleibt nur noch eine Frage: Wie kann man einen zunehmenden Verlauf von einem abnehmenden unterscheiden? Glücklicherweise hängt hier alles nur vom Vorzeichen der Zahl $d$ ab, d.h. Fortschrittsunterschiede:

1. Wenn $d \gt 0$, dann nimmt die Progression zu;
2. Wenn $d \lt 0$, dann nimmt die Progression offensichtlich ab;
3. Schließlich gibt es den Fall $d=0$ – in diesem Fall wird die gesamte Folge auf eine stationäre Folge identischer Zahlen reduziert: (1; 1; 1; 1; ...) usw.

Versuchen wir, die Differenz $d$ für die drei oben genannten abnehmenden Progressionen zu berechnen. Dazu reicht es aus, zwei beliebige benachbarte Elemente (z. B. das erste und das zweite) zu nehmen und von der Zahl rechts die Zahl links abzuziehen. Es wird so aussehen:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Wie Sie sehen, fiel der Unterschied in allen drei Fällen tatsächlich negativ aus. Und nachdem wir nun die Definitionen mehr oder weniger herausgefunden haben, ist es an der Zeit, herauszufinden, wie Progressionen beschrieben werden und welche Eigenschaften sie haben.

Mitglieder der Progression und der wiederkehrenden Formel

Da die Elemente unserer Folgen nicht vertauschbar sind, können sie nummeriert werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Rechts\)\]

Einzelne Elemente dieser Menge werden als Mitglieder der Progression bezeichnet. Sie werden auf diese Weise mit Hilfe einer Nummer angegeben: das erste Mitglied, das zweite Mitglied usw.

Darüber hinaus sind, wie wir bereits wissen, benachbarte Mitglieder der Progression durch die Formel verbunden:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kurz gesagt, um den $n$-ten Term der Progression zu finden, müssen Sie den $n-1$-ten Term und die Differenz $d$ kennen. Eine solche Formel wird als rekurrent bezeichnet, da Sie mit ihrer Hilfe jede Zahl finden können, indem Sie nur die vorherige (und tatsächlich alle vorherigen) kennen. Das ist sehr umständlich, deshalb gibt es eine kniffligere Formel, die jede Berechnung auf den ersten Term und die Differenz reduziert:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Diese Formel ist Ihnen wahrscheinlich schon einmal begegnet. Sie geben es gerne in allen möglichen Nachschlagewerken und Reshebniks wieder. Und in jedem vernünftigen Mathematiklehrbuch ist es eines der ersten.

Ich empfehle Ihnen jedoch, ein wenig zu üben.

Aufgabe Nummer 1. Schreiben Sie die ersten drei Terme der arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$ auf, wenn $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lösung. Wir kennen also den ersten Term $((a)_(1))=8$ und die Progressionsdifferenz $d=-5$. Verwenden wir die gerade angegebene Formel und ersetzen wir $n=1$, $n=2$ und $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Antwort: (8; 3; -2)

Das ist alles! Beachten Sie, dass unser Fortschritt abnimmt.

Natürlich konnte $n=1$ nicht ersetzt werden – den ersten Term kennen wir bereits. Durch das Ersetzen der Einheit haben wir jedoch sichergestellt, dass unsere Formel auch für den ersten Term funktioniert. In anderen Fällen lief alles auf banale Arithmetik hinaus.

Aufgabe Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge auf, wenn ihr siebter Term −40 und ihr siebzehnter Term −50 ist.

Lösung. Wir beschreiben den Zustand des Problems in den üblichen Worten:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Rechts.\]

Ich habe das Zeichen des Systems gesetzt, weil diese Anforderungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Und jetzt stellen wir fest, dass wir Folgendes erhalten, wenn wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren (wir haben das Recht dazu, weil wir ein System haben):

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Einfach so haben wir den Fortschrittsunterschied entdeckt! Es bleibt die gefundene Zahl in einer der Gleichungen des Systems einzusetzen. Zum Beispiel im ersten:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Da wir nun den ersten Term und den Unterschied kennen, müssen wir noch den zweiten und dritten Term finden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Bereit! Problem gelöst.

Antwort: (-34; -35; -36)

Beachten Sie eine merkwürdige Eigenschaft der Progression, die wir entdeckt haben: Wenn wir den $n$-ten und den $m$-ten Term nehmen und sie voneinander subtrahieren, erhalten wir die Differenz der Progression multipliziert mit der Zahl $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, die Sie unbedingt kennen sollten – mit ihrer Hilfe können Sie die Lösung vieler Fortschrittsprobleme deutlich beschleunigen. Hier ist ein Paradebeispiel dafür:

Aufgabe Nummer 3. Der fünfte Term der arithmetischen Folge ist 8,4 und der zehnte Term ist 14,4. Finden Sie den fünfzehnten Term dieser Progression.

Lösung. Da $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ und wir $((a)_(15))$ finden müssen, stellen wir Folgendes fest:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Aber nach der Bedingung $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, also $5d=6$, woraus folgt:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Antwort: 20.4

Das ist alles! Wir mussten keine Gleichungssysteme aufstellen und den ersten Term und die Differenz berechnen – alles wurde in nur wenigen Zeilen entschieden.

Betrachten wir nun eine andere Art von Problem – die Suche nach negativen und positiven Mitgliedern der Progression. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn die Progression zunimmt, während ihr erster Term negativ ist, früher oder später positive Terme darin auftauchen. Und umgekehrt: Die Bedingungen einer abnehmenden Progression werden früher oder später negativ.

Gleichzeitig ist es bei weitem nicht immer möglich, diesen Moment „auf der Stirn“ zu finden und die Elemente nacheinander zu sortieren. Oft sind Aufgaben so gestaltet, dass die Berechnungen ohne Kenntnis der Formeln mehrere Blätter in Anspruch nehmen würden – wir würden einfach einschlafen, bis wir die Antwort gefunden hätten. Daher werden wir versuchen, diese Probleme schneller zu lösen.

Aufgabe Nummer 4. Wie viele negative Terme in einer arithmetischen Folge -38,5; -35,8; …?

Lösung. Also $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, woraus wir sofort den Unterschied finden:

Beachten Sie, dass die Differenz positiv ist, die Progression also zunimmt. Der erste Term ist negativ, also werden wir tatsächlich irgendwann auf positive Zahlen stoßen. Die Frage ist nur, wann dies geschehen wird.

Versuchen wir herauszufinden, wie lange (d. h. bis zu welcher natürlichen Zahl $n$) die Negativität der Terme erhalten bleibt:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Die letzte Zeile bedarf einer Klarstellung. Wir wissen also, dass $n \lt 15\frac(7)(27)$. Andererseits passen für uns nur ganzzahlige Werte der Zahl (außerdem: $n\in \mathbb(N)$), daher ist die größte zulässige Zahl genau $n=15$ und auf keinen Fall 16.

Aufgabennummer 5. In der arithmetischen Folge $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finden Sie die Nummer des ersten positiven Termes dieser Folge.

Dies wäre genau das gleiche Problem wie das vorherige, aber wir kennen $((a)_(1))$ nicht. Aber die Nachbarterme sind bekannt: $((a)_(5))$ und $((a)_(6))$, sodass wir den Fortschrittsunterschied leicht finden können:

Versuchen wir außerdem, den fünften Term durch den ersten und die Differenz mithilfe der Standardformel auszudrücken:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nun gehen wir analog zum vorherigen Problem vor. Wir finden heraus, an welcher Stelle in unserer Folge positive Zahlen erscheinen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Die kleinste ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 56.

Bitte beachten Sie, dass in der letzten Aufgabe alles auf strikte Ungleichung reduziert wurde, sodass die Option $n=55$ für uns nicht geeignet ist.

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einfache Probleme löst, gehen wir zu komplexeren Problemen über. Aber lernen wir zunächst eine weitere sehr nützliche Eigenschaft arithmetischer Folgen kennen, die uns in Zukunft viel Zeit und ungleiche Zellen ersparen wird. :) :)

Arithmetisches Mittel und gleiche Einzüge

Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Terme der steigenden arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$. Versuchen wir, sie auf einem Zahlenstrahl zu markieren:

Ich habe speziell die willkürlichen Elemente $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ und keine $((a)_(1)) erwähnt. \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ usw. Denn die Regel, die ich Ihnen jetzt verrate, funktioniert für alle „Segmente“ gleich.

Und die Regel ist ganz einfach. Erinnern wir uns an die rekursive Formel und schreiben sie für alle markierten Mitglieder auf:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Diese Gleichheiten können jedoch anders umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Na so was? Aber die Tatsache, dass die Terme $((a)_(n-1))$ und $((a)_(n+1))$ im gleichen Abstand von $((a)_(n)) $ liegen . Und dieser Abstand ist gleich $d$. Das Gleiche gilt für die Terme $((a)_(n-2))$ und $((a)_(n+2))$ – sie werden auch aus $((a)_(n) entfernt. )$ um den gleichen Abstand gleich $2d$. Sie können unbegrenzt fortfahren, aber das Bild verdeutlicht die Bedeutung gut

Was bedeutet das für uns? Das bedeutet, dass Sie $((a)_(n))$ finden können, wenn die Nachbarzahlen bekannt sind:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wir haben eine großartige Aussage abgeleitet: Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Mitglieder! Darüber hinaus können wir von unserem $((a)_(n))$ nach links und rechts nicht um einen Schritt, sondern um $k$ Schritte abweichen – und trotzdem ist die Formel korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Diese. wir können leicht einige $((a)_(150))$ finden, wenn wir $((a)_(100))$ und $((a)_(200))$ kennen, weil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass uns diese Tatsache nichts Nützliches bringt. In der Praxis werden jedoch viele Aufgaben speziell für die Verwendung des arithmetischen Mittels „geschärft“. Schau mal:

Aufgabennummer 6. Finden Sie alle Werte von $x$, sodass die Zahlen $-6((x)^(2))$, $x+1$ und $14+4((x)^(2))$ aufeinanderfolgende Mitglieder von sind eine arithmetische Folge (in angegebener Reihenfolge).

Lösung. Da diese Zahlen Mitglieder einer Progression sind, ist die Bedingung des arithmetischen Mittels für sie erfüllt: Das zentrale Element $x+1$ kann durch benachbarte Elemente ausgedrückt werden:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Das Ergebnis ist eine klassische quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $x=2$ und $x=-3$ sind die Antworten.

Antwort: -3; 2.

Aufgabennummer 7. Finden Sie die Werte von $$ so, dass die Zahlen $-1;4-3;(()^(2))+1$ eine arithmetische Folge bilden (in dieser Reihenfolge).

Lösung. Auch hier drücken wir den Mittelterm durch das arithmetische Mittel benachbarter Terme aus:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Eine weitere quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $x=6$ und $x=1$.

Antwort 1; 6.

Wenn Sie bei der Lösung eines Problems brutale Zahlen erhalten oder sich der Richtigkeit der gefundenen Antworten nicht ganz sicher sind, gibt es einen wunderbaren Trick, mit dem Sie überprüfen können: Haben wir das Problem richtig gelöst?

Nehmen wir an, wir haben in Aufgabe 6 die Antworten -3 und 2 erhalten. Wie können wir überprüfen, ob diese Antworten richtig sind? Lassen Sie uns sie einfach in den Originalzustand stecken und sehen, was passiert. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($-6(()^(2))$, $+1$ und $14+4(()^(2))$, die eine arithmetische Folge bilden sollten. Ersetzen Sie $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Wir haben die Zahlen -54; −2; 50, die sich um 52 unterscheiden, sind zweifellos eine arithmetische Folge. Das Gleiche passiert für $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Wieder eine Progression, allerdings mit einer Differenz von 27. Somit ist das Problem richtig gelöst. Wer möchte, kann die zweite Aufgabe selbst überprüfen, aber ich sage gleich: Auch da stimmt alles.

Im Allgemeinen sind wir beim Lösen der letzten Aufgaben auf eine andere gestoßen interessante Tatsache, was auch beachtet werden muss:

Wenn drei Zahlen so sind, dass die zweite der Durchschnitt ist Rechnen zuerst und schließlich bilden diese Zahlen eine arithmetische Folge.

Das Verständnis dieser Aussage wird es uns in Zukunft ermöglichen, die notwendigen Fortschritte basierend auf dem Zustand des Problems buchstäblich zu „konstruieren“. Doch bevor wir uns auf eine solche „Konstruktion“ einlassen, sollten wir noch einen weiteren Sachverhalt beachten, der sich unmittelbar aus dem bereits Geschilderten ergibt.

Gruppierung und Summe der Elemente

Kehren wir noch einmal zum Zahlenstrahl zurück. Wir bemerken dort mehrere Mitglieder der Progression, zwischen denen vielleicht. vielen anderen Mitgliedern wert:

Versuchen wir, den „linken Schwanz“ durch $((a)_(n))$ und $d$ und den „rechten Schwanz“ durch $((a)_(k))$ und $ auszudrücken d$. Es ist sehr einfach:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Beachten Sie nun, dass die folgenden Summen gleich sind:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Einfach ausgedrückt, wenn wir zunächst zwei Elemente der Progression betrachten, die in ihrer Summe einer Zahl $S$ entsprechen, und dann beginnen wir, von diesen Elementen aus schrittweise zu gehen gegenüberliegende Seiten(zueinander oder umgekehrt, um sie zu entfernen), dann Die Summen der Elemente, auf die wir stoßen, werden ebenfalls gleich sein$S$. Dies lässt sich am besten grafisch darstellen:

Wenn wir diese Tatsache verstehen, können wir Probleme lösen, deren Komplexität grundsätzlich höher ist als die, die wir oben betrachtet haben. Zum Beispiel diese:

Aufgabennummer 8. Bestimmen Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, bei der der erste Term 66 ist und das Produkt aus dem zweiten und zwölften Term das kleinstmögliche ist.

Lösung. Schreiben wir alles auf, was wir wissen:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Wir kennen also den Unterschied der Progression $d$ nicht. Tatsächlich wird die gesamte Lösung um die Differenz herum aufgebaut, da das Produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Für diejenigen im Tank: Ich habe den gemeinsamen Faktor 11 aus der zweiten Klammer genommen. Somit ist das gewünschte Produkt eine quadratische Funktion bezüglich der Variablen $d$. Betrachten Sie daher die Funktion $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – ihr Graph wird eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen sein, weil Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Wie Sie sehen können, beträgt der Koeffizient am höchsten Term 11 – das ist positive Zahl, wir haben es also eigentlich mit einer Parabel mit nach oben gerichteten Ästen zu tun:

Zeitplan quadratische Funktion- Parabel

Bitte beachten Sie: Diese Parabel nimmt ihren Minimalwert an ihrem Scheitelpunkt mit der Abszisse $((d)_(0))$ an. Natürlich können wir diese Abszisse nach dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), aber es wäre viel sinnvoller Beachten Sie, dass der gewünschte Scheitelpunkt auf der Achsensymmetrie der Parabel liegt, sodass der Punkt $((d)_(0))$ den gleichen Abstand von den Wurzeln der Gleichung $f\left(d \right)=0$ hat:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Deshalb hatte ich es nicht eilig, die Klammern zu öffnen: In der Originalform waren die Wurzeln sehr, sehr leicht zu finden. Daher ist die Abszisse gleich dem arithmetischen Mittel der Zahlen −66 und −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Was gibt uns die entdeckte Zahl? Damit nimmt das geforderte Produkt den kleinsten Wert an ($((y)_(\min ))$ haben wir übrigens nicht berechnet – das wird von uns nicht verlangt). Gleichzeitig ist diese Zahl die Differenz des Anfangsverlaufs, d.h. Wir haben die Antwort gefunden. :)

Antwort: -36

Aufgabennummer 9. Fügen Sie drei Zahlen zwischen den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$ ein, sodass sie zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

Lösung. Tatsächlich müssen wir eine Folge von fünf Zahlen erstellen, wobei die erste und die letzte Zahl bereits bekannt sind. Bezeichnen Sie die fehlenden Zahlen durch die Variablen $x$, $y$ und $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Beachten Sie, dass die Zahl $y$ die „Mitte“ unserer Folge ist – sie hat den gleichen Abstand von den Zahlen $x$ und $z$ sowie von den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac (1)( 6)$. Und wenn wir von den Zahlen $x$ und $z$ ausgehen, sind wir dabei dieser Moment können wir $y$ nicht bekommen, dann ist die Situation an den Enden der Progression anders. Denken Sie an das arithmetische Mittel:

Wenn wir nun $y$ kennen, werden wir die verbleibenden Zahlen finden. Beachten Sie, dass $x$ zwischen $-\frac(1)(2)$ und $y=-\frac(1)(3)$ liegt, die gerade gefunden wurden. Deshalb

Wenn wir ähnlich argumentieren, finden wir die verbleibende Zahl:

Bereit! Wir haben alle drei Zahlen gefunden. Schreiben wir sie in der Antwort in der Reihenfolge auf, in der sie zwischen den ursprünglichen Zahlen eingefügt werden sollen.

Antwort: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Aufgabennummer 10. Fügen Sie zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingefügten Zahlen 56 beträgt.

Lösung. Eine noch schwierigere Aufgabe, die jedoch auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird – durch das arithmetische Mittel. Das Problem ist, dass wir nicht genau wissen, wie viele Zahlen wir einfügen müssen. Aus Gründen der Bestimmtheit gehen wir daher davon aus, dass es nach dem Einfügen genau $n$ Zahlen gibt, und die erste davon ist 2 und die letzte ist 42. In diesem Fall kann die gewünschte arithmetische Folge wie folgt dargestellt werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Beachten Sie jedoch, dass sich die Zahlen $((a)_(2))$ und $((a)_(n-1))$ aus den Zahlen 2 und 42 ergeben, die an den Kanten um einen Schritt zueinander stehen , d.h. . in die Mitte der Sequenz. Und das bedeutet das

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Aber dann kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Wenn wir $((a)_(3))$ und $((a)_(1))$ kennen, können wir den Fortschrittsunterschied leicht finden:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Es bleibt nur noch, die restlichen Mitglieder zu finden:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Somit kommen wir bereits im 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz – der Zahl 42. Insgesamt mussten nur 7 Zahlen eingefügt werden: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textaufgaben mit Fortschritten

Abschließend möchte ich einige davon betrachten einfache Aufgaben. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die in der Schule Mathematik lernen und das oben Geschriebene nicht gelesen haben, scheinen diese Aufgaben wie eine Geste zu sein. Dennoch sind es genau solche Aufgaben, die in der OGE und der USE in Mathematik auftauchen, daher empfehle ich Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Aufgabennummer 11. Das Team produzierte im Januar 62 Teile und in jedem Folgemonat 14 Teile mehr als im Vormonat. Wie viele Teile hat die Brigade im November produziert?

Lösung. Offensichtlich wird die Anzahl der pro Monat lackierten Teile eine zunehmende arithmetische Folge sein. Und:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ist der 11. Monat des Jahres, also müssen wir $((a)_(11))$ finden:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Somit werden im November 202 Teile gefertigt.

Aufgabennummer 12. Die Buchbindewerkstatt hat im Januar 216 Bücher gebunden, und jeden Monat wurden vier Bücher mehr gebunden als im Vormonat. Wie viele Bücher hat der Workshop im Dezember gebunden?

Lösung. Alles das selbe:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezember ist der letzte, 12. Monat des Jahres, also suchen wir nach $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Das ist die Antwort: Im Dezember werden 260 Bücher gebunden.

Nun, wenn Sie bis hierher gelesen haben, möchte ich Ihnen gratulieren: Sie haben den „Kurs für junge Kämpfer“ in arithmetischen Progressionen erfolgreich abgeschlossen. Wir können getrost mit der nächsten Lektion fortfahren, in der wir die Progressionssummenformel sowie wichtige und sehr nützliche Konsequenzen daraus studieren.

Beispielsweise ist die Folge \(2\); \(5\); \(8\); \(elf\); \(14\)… ist eine arithmetische Folge, da sich jedes nächste Element um drei vom vorherigen unterscheidet (kann aus dem vorherigen durch Addition von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Verläufe nennt man zunehmend.

\(d\) kann jedoch auch sein negative Zahl. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Verläufe werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Der Fortschritt wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Zahlen, die eine Progression bilden, nennt man sie Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie die arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Lösen von Problemen auf einer arithmetischen Folge

Im Prinzip reichen die oben genannten Informationen bereits aus, um fast jedes Problem einer arithmetischen Folge (einschließlich der an der OGE angebotenen) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) gegeben. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antworten: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge sind angegeben: \(62; 49; 36…\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Termes dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge: \(...5; x; 10; 12,5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die folgenden Bedingungen gegeben: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In der arithmetischen Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finden Sie den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antworten: \(d=7\).

Wichtige arithmetische Progressionsformeln

Wie Sie sehen, können viele arithmetische Folgeprobleme einfach dadurch gelöst werden, dass man die Hauptsache versteht – dass eine arithmetische Folge eine Kette von Zahlen ist und jedes nächste Element in dieser Kette durch Addition derselben Zahl zur vorherigen (der Differenz) erhalten wird des Verlaufs).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen eine Lösung „auf der Stirn“ sehr umständlich ist. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Was ist es, wir \ (385 \) mal vier zu addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten dreiundsiebzig Elemente ermitteln müssen. Zählen ist verwirrend...

Daher lösen sie in solchen Fällen nicht „auf der Stirn“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Folge abgeleitet sind. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe \(n\) der ersten Terme.

Formel für das \(n\)-te Mitglied: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Mitglied der Progression ist;
\(n\) – Nummer des erforderlichen Elements;
\(a_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Mit dieser Formel können wir schnell mindestens das dreihundertste oder sogar das millionste Element finden, wobei wir nur das erste und den Fortschrittsunterschied kennen.

Beispiel. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen gegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antworten: \(b_(246)=1850\).

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) ist der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen \(a_n=3,4n-0,6\) gegeben. Finden Sie die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) anstelle von \(a_n\) ersetzen Sie die Formel dafür durch \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe \(n\) der ersten Elemente;
\(a_1\) ist der erste Term, der summiert wird;
\(d\) – Fortschrittsunterschied;
\(n\) – die Anzahl der Elemente in der Summe.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Jetzt verfügen Sie über alle Informationen, die Sie benötigen, um fast jedes arithmetische Folgeproblem zu lösen. Beenden wir das Thema mit der Betrachtung von Problemen, bei denen Sie nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken müssen (in der Mathematik kann dies nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen gegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis zum \(42\)-ten Element einschließlich.
Lösung:

Antworten: \(S=1683\).

Für eine arithmetische Folge gibt es noch einige weitere Formeln, die wir aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens in diesem Artikel nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.