Was ist eine Definition eines rechten Parallelepipeds? Geometrische Figuren. Parallelepiped. Wissensphase
TEXT ERLÄUTERUNG DER LEKTION:
Betrachten Sie diese Elemente:
Bausteine, Würfel, Mikrowelle. Diese Objekte werden durch eine Form vereint.
Eine Fläche, die aus zwei gleichen Parallelogrammen ABCD und A1B1C1D1 besteht
und vier Parallelogramme AA1B1B und BB1C1C, CC1D1D, AA1D1D wird ein Parallelepiped genannt.
Die Parallelogramme, aus denen das Parallelepiped besteht, werden Flächen genannt. Gesicht A1B1C1D1. Gesicht BB1S1S. Kante ABCD.
In diesem Fall werden die Flächen ABCD und A1B1C1D1 häufiger als Basen bezeichnet, und die verbleibenden Flächen sind seitlich.
Die Seiten von Parallelogrammen heißen Kanten des Parallelepipeds. Kante A1B1. Rippe CC1. Edge-AD.
Die Kante CC1 gehört nicht zu den Basen, sie wird Seitenkante genannt.
Die Ecken von Parallelogrammen heißen die Ecken des Parallelepipeds.
Oben D1. Spitze B. Spitze C.
Eckpunkte D1 und B
gehören nicht zu demselben Gesicht und werden als entgegengesetzt bezeichnet.
Der Quader kann auf verschiedene Arten gezeichnet werden.
Das Parallelepiped an der Basis, das eine Raute ist, während die Bilder der Gesichter Parallelogramme sind.
Ein Parallelepiped an der Basis, das ein Quadrat ist. Unsichtbare Kanten AA1, AB, AD sind als gestrichelte Linien dargestellt.
Das Parallelepiped an der Basis, das ein Quadrat ist
Ein Parallelepiped, an dessen Basis ein Rechteck oder Parallelogramm liegt
Ein Quader mit allen Seiten quadratisch. Häufiger wird es als Würfel bezeichnet.
Alle betrachteten Parallelepipeds haben Eigenschaften. Lassen Sie uns sie formulieren und beweisen.
Eigenschaft 1. Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich.
Betrachten Sie das Parallelepiped ABCDА1В1С1D1 und beweisen Sie zum Beispiel, dass die Flächen BB1C1C und AA1D1D parallel und gleich sind.
Nach der Definition eines Parallelepipeds ist die Fläche ABCD ein Parallelogramm, was bedeutet, dass aufgrund der Eigenschaft eines Parallelogramms die Kante BC parallel zur Kante AD ist.
Die Fläche ABV1A1 ist ebenfalls ein Parallelogramm, was bedeutet, dass die Kanten BB1 und AA1 parallel sind.
Dies bedeutet, dass zwei Schnittlinien BC bzw. BB1 einer Ebene parallel zu zwei Linien AD bzw. AA1 einer anderen Ebene sind, was bedeutet, dass die Ebenen ABB1A1 und BCC1D1 parallel sind.
Alle Flächen des Parallelepipeds sind Parallelogramme, was BC=AD, BB1=AA1 bedeutet.
In diesem Fall sind die Seiten der Winkel B1BC und A1AD jeweils gleich gerichtet, was bedeutet, dass sie gleich sind.
Somit sind zwei benachbarte Seiten und der Winkel zwischen ihnen des Parallelogramms ABB1A1 jeweils gleich zwei benachbarten Seiten und dem Winkel zwischen ihnen des Parallelogramms BCC1D1, was bedeutet, dass diese Parallelogramme gleich sind.
Das Parallelepiped hat auch die diagonale Eigenschaft. Die Diagonale eines Parallelepipeds ist ein Segment, das nicht benachbarte Eckpunkte verbindet. In der Zeichnung zeigt die gestrichelte Linie die Diagonalen B1D, BD1, A1C.
Also Eigenschaft 2. Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich an einem Punkt und der Schnittpunkt wird halbiert.
Betrachten Sie zum Beweis der Eigenschaft das Viereck BB1D1D. Seine Diagonalen В1D, BD1 sind die Diagonalen des Parallelepipeds ABCDА1В1С1D1.
Bei der ersten Eigenschaft haben wir bereits herausgefunden, dass die Kante BB1 parallel und gleich der Kante AA1 ist, aber die Kante AA1 parallel und gleich der Kante DD1 ist. Daher sind die Kanten BB1 und DD1 parallel und gleich, was das Viereck BB1D1D-Parallelogramm beweist. Und in einem Parallelogramm schneiden sich gemäß der Eigenschaft die Diagonalen B1D, BD1 an einem Punkt O und dieser Punkt wird halbiert.
Das Viereck BC1D1A ist auch ein Parallelogramm und seine Diagonalen C1A schneiden sich an einem Punkt und halbieren diesen Punkt. Die Diagonalen des Parallelogramms C1A, BD1 sind die Diagonalen des Parallelepipeds, womit die angegebene Eigenschaft bewiesen ist.
Um das theoretische Wissen über den Parallelepiped zu festigen, betrachten wir das Beweisproblem.
An den Kanten des Parallelepipeds sind die Punkte L, M, N, P markiert, so dass BL=CM=A1N=D1P. Beweisen Sie, dass ALMDNB1C1P ein Parallelepiped ist.
Die Fläche BB1A1A ist ein Parallelogramm, was bedeutet, dass die Kante BB1 gleich und parallel zur Kante AA1 ist, aber durch Bedingung die Segmente BL und A1N, was bedeutet, dass die Segmente LB1 und NA gleich und parallel sind.
3) Daher das Viereck LB1NA auf der Grundlage eines Parallelogramms.
4) Da CC1D1D ein Parallelogramm ist, bedeutet dies, dass die Kante CC1 gleich und parallel zu der Kante D1D ist und CM durch die Bedingung gleich D1P ist, so dass die Segmente MC1 und DP gleich und parallel sind
Daher ist das Viereck MC1PD auch ein Parallelogramm.
5) Die Winkel LB1N und MC1P sind gleich wie Winkel mit jeweils parallelen und gleichgerichteten Seiten.
6) Wir haben festgestellt, dass die entsprechenden Seiten der Parallelogramme und MC1PD gleich sind und die Winkel zwischen ihnen gleich sind, also sind die Parallelogramme gleich.
7) Die Segmente sind durch die Bedingung gleich, also ist BLMC ein Parallelogramm und die Seite BC ist parallel zu der Seite LM ist parallel zu der Seite B1C1.
8) Ebenso folgt aus dem Parallelogramm NA1D1P, dass die Seite A1D1 parallel zur Seite NP und parallel zur Seite AD ist.
9) Die gegenüberliegenden Flächen ABB1A1 und DCC1D1 des Parallelepipeds sind von Natur aus parallel, und die Segmente paralleler gerader Linien, die zwischen parallelen Ebenen eingeschlossen sind, sind gleich, was bedeutet, dass die Segmente B1C1, LM, AD, NP gleich sind.
Es wird festgestellt, dass in den Vierecken ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD zwei Seiten parallel und gleich sind, was bedeutet, dass es sich um Parallelogramme handelt. Dann besteht unsere Oberfläche ALMDNB1C1P aus sechs Parallelogrammen, von denen zwei gleich sind, und ist per Definition ein Parallelepiped.
oder (äquivalent) ein Polyeder mit sechs Flächen, die Parallelogramme sind. Hexagon.
Die Parallelogramme, aus denen das Parallelepiped besteht, sind Gesichter dieses Parallelepiped sind die Seiten dieser Parallelogramme quaderförmige Kanten, und die Ecken der Parallelogramme sind Spitzen parallelepiped. Jede Fläche eines Parallelepipeds ist Parallelogramm.
In der Regel werden alle 2. gegenüberliegenden Flächen unterschieden und als solche bezeichnet die Basen des Parallelepipeds, und die restlichen Gesichter Seitenflächen des Parallelepipeds. Die Kanten des Parallelepipeds, die nicht zu den Basen gehören, sind es Seitenrippen.
Die 2 Seiten eines Quaders, die eine Kante teilen, sind verbunden, und diejenigen, die keine gemeinsamen Kanten haben - Gegenteil.
Ein Segment, das 2 Eckpunkte verbindet, die nicht zur 1. Fläche gehören, ist die Diagonale des Parallelepipeds.
Die Längen der nicht parallelen Kanten eines Quaders sind lineare Abmessungen (Messungen) ein Parallelepiped. Ein rechteckiges Parallelepiped hat 3 lineare Dimensionen.
Arten von Parallelepiped.
Es gibt verschiedene Arten von Parallelepipeden:
Direkte ist ein Parallelepiped mit einer Kante senkrecht zur Ebene der Basis.
Ein Quader mit allen 3 Dimensionen gleich groß ist Würfel. Jede der Flächen des Würfels ist gleich Quadrate .
Beliebiges Parallelepiped. Das Volumen und die Verhältnisse in einer Skew-Box werden hauptsächlich mithilfe von Vektoralgebra definiert. Das Volumen der Box ist gleich dem Absolutwert des Mischprodukts von 3 Vektoren, die durch die 3 Seiten der Box (die von derselben Ecke kommen) bestimmt werden. Das Verhältnis zwischen den Seitenlängen des Parallelepipeds und den Winkeln zwischen ihnen zeigt die Aussage, dass die Gram-Determinante der gegebenen 3 Vektoren gleich dem Quadrat ihres gemischten Produkts ist.
Eigenschaften eines Parallelepipeds.
- Das Parallelepiped ist symmetrisch um den Mittelpunkt seiner Diagonalen.
- Jedes Segment, dessen Enden zur Oberfläche des Parallelepipeds gehören und das durch den Mittelpunkt seiner Diagonalen verläuft, wird von ihm in zwei gleiche Teile geteilt. Alle Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich im 1. Punkt und werden durch diesen in zwei gleiche Teile geteilt.
- Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und haben gleiche Abmessungen.
- Das Quadrat ist die Länge der Diagonale eines Quaders
In dieser Lektion kann jeder das Thema "Rechteckige Box" studieren. Zu Beginn der Lektion werden wir wiederholen, was ein beliebiger und gerader Parallelepiped ist, und uns an die Eigenschaften ihrer gegenüberliegenden Flächen und Diagonalen des Parallelepipeds erinnern. Dann werden wir uns überlegen, was ein Quader ist, und seine Haupteigenschaften besprechen.
Thema: Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen
Lektion: Quader
Eine Fläche bestehend aus zwei gleichen Parallelogrammen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 und vier Parallelogrammen ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 wird genannt parallelepiped(Abb. 1).
Reis. 1 Parallelepiped
Das heißt: Wir haben zwei gleiche Parallelogramme ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 (Basen), sie liegen in parallelen Ebenen, so dass die Seitenkanten AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 parallel sind. So wird eine aus Parallelogrammen zusammengesetzte Fläche genannt parallelepiped.
Die Oberfläche eines Parallelepipeds ist also die Summe aller Parallelogramme, aus denen der Parallelepiped besteht.
1. Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich.
(die Zahlen sind gleich, dh sie können durch Überlagerung kombiniert werden)
Zum Beispiel:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (per Definition gleiche Parallelogramme),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (da AA 1 B 1 B und DD 1 C 1 C gegenüberliegende Flächen des Parallelepipeds sind),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (da AA 1 D 1 D und BB 1 C 1 C gegenüberliegende Flächen des Parallelepipeds sind).
2. Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und halbieren diesen Punkt.
Die Diagonalen des Parallelepipeds AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B schneiden sich in einem Punkt O, und jede Diagonale wird durch diesen Punkt halbiert (Abb. 2).
Reis. 2 Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden und halbieren den Schnittpunkt.
3. Es gibt drei Vierlinge mit gleichen und parallelen Kanten des Parallelepipeds: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definition. Ein Parallelepiped heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen.
Lassen Sie die Seitenkante AA 1 senkrecht zur Basis stehen (Abb. 3). Das bedeutet, dass die Linie AA 1 senkrecht zu den Linien AD und AB steht, die in der Ebene der Basis liegen. Und deshalb liegen Rechtecke in den Seitenflächen. Und die Basen sind beliebige Parallelogramme. Es sei ∠BAD = φ, der Winkel φ kann beliebig sein.
Reis. 3 Rechter Kasten
Eine rechte Box ist also eine Box, bei der die Seitenkanten senkrecht zu den Basen der Box stehen.
Definition. Das Parallelepiped heißt rechteckig, wenn seine Seitenkanten senkrecht zur Basis stehen. Die Basen sind Rechtecke.
Der Quader АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 ist rechteckig (Abb. 4), wenn:
1. AA 1 ⊥ ABCD (seitliche Kante steht senkrecht zur Ebene der Basis, also ein gerades Parallelepiped).
2. ∠BAD = 90°, d.h. die Grundfläche ist ein Rechteck.
Reis. 4 Quader
Eine rechteckige Box hat alle Eigenschaften einer beliebigen Box. Es gibt aber noch weitere Eigenschaften, die sich aus der Definition eines Quaders ableiten.
Damit, Quader ist ein Quader, dessen Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen. Die Grundfläche eines Quaders ist ein Rechteck.
1. Bei einem Quader sind alle sechs Flächen Rechtecke.
ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind per Definition Rechtecke.
2. Seitliche Rippen stehen senkrecht zur Basis. Das bedeutet, dass alle Seitenflächen eines Quaders Rechtecke sind.
3. Alle Flächenwinkel eines Quaders sind rechte Winkel.
Betrachten wir zum Beispiel den Flächenwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds mit einer Kante AB, also den Flächenwinkel zwischen den Ebenen ABB 1 und ABC.
AB ist eine Kante, Punkt A 1 liegt in einer Ebene - in der Ebene ABB 1 und Punkt D in der anderen - in der Ebene A 1 B 1 C 1 D 1. Dann kann der betrachtete Flächenwinkel auch wie folgt bezeichnet werden: ∠А 1 АВD.
Nehmen Sie Punkt A auf Kante AB. AA 1 ist senkrecht zur Kante AB in der Ebene ABB-1, AD ist senkrecht zur Kante AB in der Ebene ABC. Daher ist ∠A 1 AD der lineare Winkel des gegebenen Diederwinkels. ∠A 1 AD \u003d 90 °, was bedeutet, dass der Diederwinkel an der Kante AB 90 ° beträgt.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass alle Flächenwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds richtig sind.
Das Quadrat der Diagonalen eines Quaders ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen.
Notiz. Die Längen der drei vom gleichen Eckpunkt des Quaders ausgehenden Kanten sind die Maße des Quaders. Sie werden manchmal Länge, Breite, Höhe genannt.
Gegeben: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ein rechteckiges Parallelepiped (Abb. 5).
Beweisen: .
Reis. 5 Quader
Nachweisen:
Die Linie CC 1 steht senkrecht auf der Ebene ABC und damit auf der Linie AC. Also ist das Dreieck CC 1 A ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras:
Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Nach dem Satz des Pythagoras:
Aber BC und AD sind gegenüberliegende Seiten des Rechtecks. Also BC = AD. Dann:
Als , aber , dann. Da CC 1 = AA 1, was dann bewiesen werden musste.
Die Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich.
Bezeichnen wir die Abmessungen des Quaders ABC mit a, b, c (siehe Abb. 6), dann AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
