Möglichkeiten, einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden - Berechnungsformeln. Fläche des Dreiecks Berechnen Sie das rechtwinklige Dreieck

In der Realität findet man an fast jeder Ecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Kenntnis der Eigenschaften einer bestimmten Figur sowie die Fähigkeit, ihre Fläche zu berechnen, werden Ihnen zweifellos nicht nur bei der Lösung von Geometrieproblemen, sondern auch in Lebenssituationen nützlich sein.

Dreiecksgeometrie

In der Elementargeometrie ist ein rechtwinkliges Dreieck eine Figur, die aus drei verbundenen Segmenten besteht, die drei Winkel bilden (zwei spitze und einen geraden). Das rechtwinklige Dreieck ist eine originelle Figur, die sich durch eine Reihe wichtiger Eigenschaften auszeichnet, die die Grundlage der Trigonometrie bilden. Im Gegensatz zu einem regelmäßigen Dreieck haben die Seiten einer rechteckigen Figur ihre eigenen Namen:

• Die Hypotenuse ist die längste Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
• Beine sind Segmente, die einen rechten Winkel bilden. Abhängig vom betrachteten Winkel kann das Bein benachbart (den Winkel mit der Hypotenuse bildend) oder gegenüberliegend (dem Winkel gegenüber liegend) sein. Es gibt keine Beine für nicht rechtwinklige Dreiecke.

Es ist das Verhältnis der Schenkel und der Hypotenuse, das die Grundlage der Trigonometrie bildet: Sinus, Tangens und Sekante werden als das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert.

In Wirklichkeit ein rechtwinkliges Dreieck

Diese Zahl ist in der Realität weit verbreitet. Dreiecke werden in Design und Technik verwendet, daher muss die Berechnung der Fläche einer Figur von Ingenieuren, Architekten und Designern durchgeführt werden. Die Grundflächen von Tetraedern oder Prismen – dreidimensionale Figuren, denen man im Alltag leicht begegnet – haben die Form eines Dreiecks. Darüber hinaus ist ein Quadrat in der Realität die einfachste Darstellung eines „flachen“ rechtwinkligen Dreiecks. Ein Winkel ist ein Metallbearbeitungs-, Zeichen-, Konstruktions- und Tischlerwerkzeug, das sowohl von Schulkindern als auch von Ingenieuren zum Konstruieren von Winkeln verwendet wird.

Fläche eines Dreiecks

Die Fläche einer geometrischen Figur ist eine quantitative Schätzung dafür, wie viel von der Ebene durch die Seiten des Dreiecks begrenzt wird. Die Fläche eines gewöhnlichen Dreiecks kann auf fünf Arten ermittelt werden, indem man die Heron-Formel verwendet oder Variablen wie Basis, Seite, Winkel und Radius des eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises verwendet. Die einfachste Flächenformel lautet:

Dabei ist a die Seite des Dreiecks und h seine Höhe.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist noch einfacher:

wobei a und b Beine sind.

Mit unserem Online-Rechner können Sie die Fläche eines Dreiecks anhand von drei Parameterpaaren berechnen:

• zwei Beine;
• Bein und angrenzender Winkel;
• Bein und Gegenwinkel.

Bei Problemen oder Alltagssituationen werden Ihnen unterschiedliche Variablenkombinationen vorgegeben, sodass Sie mit dieser Form des Rechners die Fläche eines Dreiecks auf verschiedene Arten berechnen können. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Keramikfliesen

Nehmen wir an, Sie möchten die Küchenwände mit Keramikfliesen verkleiden, die die Form eines rechtwinkligen Dreiecks haben. Um den Fliesenverbrauch zu ermitteln, müssen Sie die Fläche eines Verkleidungselements und die Gesamtfläche der zu behandelnden Fläche ermitteln. Nehmen wir an, Sie müssen 7 Quadratmeter bearbeiten. Die Länge der Beine eines Elements beträgt 19 cm, dann beträgt die Fläche der Fliese:

Das bedeutet, dass die Fläche eines Elements 24,5 Quadratzentimeter oder 0,01805 Quadratmeter beträgt. Wenn Sie diese Parameter kennen, können Sie berechnen, dass Sie für die Fertigstellung von 7 Quadratmetern Wand 7/0,01805 = 387 Elemente Verkleidungsfliesen benötigen.

Schulaufgabe

Nehmen wir an, Sie müssen bei einer Schulgeometrieaufgabe die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln und dabei nur wissen, dass die Seite eines Beins 5 cm und der gegenüberliegende Winkel 30 Grad beträgt. Unser Online-Rechner enthält eine Abbildung, die die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zeigt. Wenn die Seite a = 5 cm ist, ist ihr entgegengesetzter Winkel der Winkel Alpha, der 30 Grad entspricht. Geben Sie diese Daten in das Rechnerformular ein und erhalten Sie das Ergebnis:

Somit berechnet der Rechner nicht nur die Fläche eines gegebenen Dreiecks, sondern bestimmt auch die Länge des angrenzenden Schenkels und der Hypotenuse sowie den Wert des zweiten Winkels.

Abschluss

Rechtwinklige Dreiecke gibt es in unserem Leben buchstäblich an jeder Ecke. Die Bestimmung der Fläche solcher Figuren wird Ihnen nicht nur bei der Lösung von Schulaufgaben in der Geometrie, sondern auch bei alltäglichen und beruflichen Aktivitäten nützlich sein.

Dreiecksdefinition

Dreieck ist eine geometrische Figur, die durch den Schnittpunkt dreier Segmente entsteht, deren Enden nicht auf derselben Geraden liegen. Jedes Dreieck hat drei Seiten, drei Eckpunkte und drei Winkel.

Online-Rechner

Dreiecke gibt es in verschiedenen Ausführungen. Beispielsweise gibt es ein gleichseitiges Dreieck (bei dem alle Seiten gleich sind), ein gleichschenkliges Dreieck (bei dem zwei Seiten gleich sind) und ein rechtwinkliges Dreieck (bei dem einer der Winkel gerade ist, d. h. gleich 90 Grad).

Die Fläche eines Dreiecks kann auf verschiedene Weise ermittelt werden, je nachdem, welche Elemente der Figur aus den Problembedingungen bekannt sind, seien es Winkel, Längen oder sogar die Radien der mit dem Dreieck verbundenen Kreise. Schauen wir uns jede Methode einzeln anhand von Beispielen an.

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf seiner Grundfläche und Höhe

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ ein ⋅H,

A a A- Basis des Dreiecks;
hh H- die Höhe des Dreiecks, das zur angegebenen Basis a gezeichnet wird.

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, wenn die Länge seiner Basis bekannt ist, gleich 10 (cm) und die zu dieser Basis gezeichnete Höhe gleich 5 (cm).

Lösung

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Wir setzen dies in die Flächenformel ein und erhalten:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (siehe Quadrat)

Antwort: 25 (cm²)

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf den Längen aller Seiten

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Längen der Seiten des Dreiecks;
p p P- die Hälfte der Summe aller Seiten des Dreiecks (d. h. der halbe Umfang des Dreiecks):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (ein +b+C)

Diese Formel heißt Herons Formel.

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, wenn die Längen seiner drei Seiten bekannt sind, gleich 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Lösung

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Finden wir den halben Umfang p p P:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Dann beträgt die Fläche des Dreiecks nach Herons Formel:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (siehe Quadrat)

Antwort: 6 (siehe Quadrat)

Formel für die Fläche eines Dreiecks mit einer Seite und zwei Winkeln

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 A 2 ​ ⋅ sin(β + γ)Sünde β Sünde γ ​ ,

A a A- Länge der Seite des Dreiecks;
β , γ \beta, \gamma β , γ - Winkel neben der Seite ein a A.

Gegeben sei eine Seitenlänge eines Dreiecks von 10 (cm) und zwei benachbarte Winkel von 30 Grad. Finden Sie die Fläche des Dreiecks.

Lösung

A = 10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Nach der Formel:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\ungefähr14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ Sünde(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) Sünde 3 0 ∘ Sünde 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (siehe Quadrat)

Antwort: 14,4 (siehe Quadrat)

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des Umkreises

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Seiten des Dreiecks;
R R R- Radius des umschriebenen Kreises um das Dreieck.

Nehmen wir die Zahlen aus unserem zweiten Problem und addieren dazu den Radius R R R Kreise. Es sei gleich 10 (cm).

Lösung

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (siehe Quadrat)

Antwort: 1,5 (cm2)

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des eingeschriebenen Kreises

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= P⋅ R,

p pP- halber Umfang des Dreiecks:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)P= 2 A+ B+ C​ ,

a, b, c a, b, cA, B, C- Seiten des Dreiecks;
r rR- der Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Der Radius des eingeschriebenen Kreises sei 2 (cm). Wir übernehmen die Seitenlängen aus der vorherigen Aufgabe.

Lösung

$A=3b\; =\; 4\; b=4B=4c\; =\; 5\; c=5C=5r\; =\; 2\; r=2R=2$

$P=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (siehe Quadrat)

Antwort: 12 (cm²)

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ B⋅ C⋅ Sünde(α ) ,

b , c b, cB, C- Seiten des Dreiecks;

α\alphaα - Winkel zwischen den Seiten b bB Und c cC.

Die Seiten des Dreiecks betragen 5 (cm) und 6 (cm), der Winkel zwischen ihnen beträgt 30 Grad. Finden Sie die Fläche des Dreiecks.

Lösung

$B=5c\; =\; 6\; c=6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ Sünde(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (siehe Quadrat)

Antwort: 7,5 (cm²)

Wir präsentieren Ihnen einen Rechner, mit dem Sie alle möglichen...

Darauf möchte ich Sie aufmerksam machen Dies ist ein universeller Bot. Es berechnet alle Parameter eines beliebigen Dreiecks bei gegebenen willkürlich angegebenen Parametern. Sie werden nirgendwo einen solchen Bot finden.

Kennen Sie die Seite und zwei Höhen? oder zwei Seiten und ein Median? Oder die Winkelhalbierende zweier Winkel und die Grundfläche eines Dreiecks?

Für alle Anfragen können wir die korrekte Berechnung der Dreiecksparameter erhalten.

Sie müssen nicht nach Formeln suchen und die Berechnungen selbst durchführen. Es wurde bereits alles für Sie erledigt.

Erstellen Sie eine Anfrage und erhalten Sie eine genaue Antwort.

Dargestellt ist ein beliebiges Dreieck. Lassen Sie uns sofort klären, wie und was angezeigt wird, damit es in Zukunft nicht zu Verwirrungen und Berechnungsfehlern kommt.

Die jedem Winkel gegenüberliegenden Seiten werden ebenfalls nur mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet. Das heißt, der gegenüberliegende Winkel A liegt auf der Seite des Dreiecks, Seite C ist der gegenüberliegende Winkel C.

ma ist die Medina, die auf Seite a fällt; dementsprechend gibt es auch Mediane mb und mc, die auf die entsprechenden Seiten fallen.

lb ist die Winkelhalbierende, die auf Seite b fällt, bzw. es gibt auch Winkelhalbierende la und lc, die auf die entsprechenden Seiten fallen.

hb ist die Höhe, die auf Seite b fällt, bzw. es gibt auch Höhen ha und hc, die auf die entsprechenden Seiten fallen.

Nun, zweitens denken Sie daran, dass ein Dreieck eine Figur ist, in der es etwas gibt grundlegend Regel:

Die Summe zweier beliebiger Seiten muss größer seindritte.

Seien Sie also nicht überrascht, wenn Sie eine Fehlermeldung erhalten P Für solche Daten existiert kein Dreieck beim Versuch, die Parameter eines Dreiecks mit den Seiten 3, 3 und 7 zu berechnen.

Syntax

Für diejenigen, die XMPP-Clients zulassen, ist die Anfrage hier<список параметров>

Für Site-Benutzer wird auf dieser Seite alles erledigt.

Liste der Parameter – bekannte Parameter, getrennt durch Semikolon

Der Parameter wird geschrieben als Parameter=Wert

Wenn beispielsweise die Seite a mit dem Wert 10 bekannt ist, schreiben wir a=10

Darüber hinaus können die Werte nicht nur in Form einer reellen Zahl vorliegen, sondern beispielsweise auch als Ergebnis eines Ausdrucks

Und hier ist die Liste der Parameter, die in den Berechnungen auftreten können.

Seite A

Seite b

Seite c

Halbumfang p

Winkel A

Winkel B

Winkel C

Fläche des Dreiecks S

Höhe ha auf Seite a

Höhe hb auf Seite b

Höhe hc an der Seite c

Median ma zu Seite a

Mittlerer MB zur Seite b

Mittlerer MC zur Seite c

Scheitelpunktkoordinaten (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Beispiele

wir schreiben treug a=8;C=70;ha=2

Dreiecksparameter gemäß vorgegebenen Parametern

Seite a = 8

Seite b = 2,1283555449519

Seite c = 7,5420719851515

Halbumfang p = 8,8352137650517

Winkel A = 2,1882518638666 in Grad 125,37759631119

Winkel B = 2,873202966917 in Grad 164,62240368881

Winkel C = 1,221730476396 in 70 Grad

Fläche des Dreiecks S = 8

Höhe ha auf Seite a = 2

Höhe hb auf Seite b = 7,5175409662872

Höhe hc auf Seite c = 2,1214329472723

Median ma pro Seite a = 3,8348889915443

Mittlere MB pro Seite b = 7,7012304590352

Median mc pro Seite c = 4,4770789813853

Das sind alle Parameter des Dreiecks.

Die Frage ist, warum wir die Seite benannt haben A, und nicht V oder Mit? Dies hat keinen Einfluss auf die Entscheidung. Die Hauptsache ist, der von mir bereits erwähnten Bedingung standzuhalten. Die jedem Winkel gegenüberliegenden Seiten werden gleich genannt, nur mit einem kleinen Buchstaben„Und dann zeichnen Sie in Ihrem Kopf ein Dreieck und wenden Sie es auf die gestellte Frage an.

Es könnte stattdessen genommen werden A V, aber dann wird der angrenzende Winkel nicht sein MIT A A Nun, die Höhe wird sein hb. Wenn Sie dies überprüfen, wird das Ergebnis dasselbe sein.

Zum Beispiel so: (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

eine Anfrage schreiben treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

und wir bekommen

Dreiecksparameter gemäß vorgegebenen Parametern

Seite a = 17

Seite b = 11,401754250991

Seite c = 13,453624047073

Halbumfang p = 20,927689149032

Winkel A = 1,4990243938603 in Grad 85,887771155351

Winkel B = 0,73281510178655 in Grad 41,987212495819

Winkel C = 0,90975315794426 in Grad 52,125016348905

Fläche des Dreiecks S = 76,5

Höhe ha auf Seite a = 9

Höhe hb auf Seite b = 13,418987695398

Höhe hc auf Seite c = 11,372400437582

Median ma pro Seite a = 9,1241437954466

Mittlere MB pro Seite b = 14,230249470757

Median mc pro Seite c = 12,816005617976

Viel Spaß beim Rechnen!!

Die ersten sind die Segmente, die an den rechten Winkel angrenzen, und die Hypotenuse ist der längste Teil der Figur und liegt gegenüber dem Winkel von 90 Grad. Ein pythagoräisches Dreieck ist eines, dessen Seiten den natürlichen Zahlen entsprechen; ihre Längen werden in diesem Fall „pythagoräisches Tripel“ genannt.

Ägyptisches Dreieck

Damit die heutige Generation die Geometrie in der Form erkennen kann, wie sie heute in der Schule gelehrt wird, hat sie sich über mehrere Jahrhunderte hinweg weiterentwickelt. Als grundlegender Punkt gilt der Satz des Pythagoras. Die Seiten eines Rechtecks ​​sind in der ganzen Welt bekannt) sind 3, 4, 5.

Nur wenige Menschen kennen nicht den Satz „Pythagoras-Hosen sind in alle Richtungen gleich.“ In Wirklichkeit klingt der Satz jedoch so: c 2 (Quadrat der Hypotenuse) = a 2 + b 2 (Summe der Quadrate der Beine).

Unter Mathematikern wird ein Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 (cm, m usw.) „ägyptisch“ genannt. Das Interessante ist, dass das, was in die Figur eingeschrieben ist, gleich eins ist. Der Name entstand etwa im 5. Jahrhundert v. Chr., als griechische Philosophen nach Ägypten reisten.

Beim Bau der Pyramiden verwendeten Architekten und Vermesser das Verhältnis 3:4:5. Solche Strukturen erwiesen sich als proportional, schön anzusehen und geräumig und stürzten auch selten ein.

Um einen rechten Winkel zu bilden, verwendeten die Bauherren ein Seil, an dem 12 Knoten befestigt waren. In diesem Fall stieg die Wahrscheinlichkeit, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, auf 95 %.

Zeichen der Gleichheit der Figuren

• Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck und eine lange Seite, die den gleichen Elementen im zweiten Dreieck entsprechen, sind ein unbestreitbares Zeichen für die Gleichheit der Figuren. Unter Berücksichtigung der Winkelsumme lässt sich leicht beweisen, dass auch die zweiten spitzen Winkel gleich sind. Somit sind die Dreiecke nach dem zweiten Kriterium identisch.
• Wenn wir zwei Figuren übereinander legen, drehen wir sie so, dass sie in der Kombination ein gleichschenkliges Dreieck ergeben. Aufgrund seiner Eigenschaft sind die Seiten bzw. Hypotenusen gleich, ebenso die Winkel an der Basis, was bedeutet, dass diese Figuren gleich sind.

Anhand des ersten Zeichens lässt sich sehr einfach beweisen, dass die Dreiecke tatsächlich gleich sind. Hauptsache, die beiden kleineren Seiten (also die Schenkel) sind einander gleich.

Die Dreiecke sind nach dem zweiten Kriterium identisch, dessen Kern die Gleichheit des Schenkels und des spitzen Winkels ist.

Eigenschaften eines Dreiecks mit rechtem Winkel

Die vom rechten Winkel abgesenkte Höhe teilt die Figur in zwei gleiche Teile.

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und sein Median lassen sich leicht anhand der Regel erkennen: Der Median, der auf die Hypotenuse fällt, ist gleich der Hälfte davon. kann sowohl durch die Formel von Heron als auch durch die Aussage gefunden werden, dass es gleich der Hälfte des Produkts der Beine ist.

In einem rechtwinkligen Dreieck gelten die Eigenschaften der Winkel 30°, 45° und 60°.

• Bei einem Winkel von 30° ist zu beachten, dass das gegenüberliegende Bein der Hälfte der größten Seite entspricht.
• Wenn der Winkel 45° beträgt, beträgt der zweite spitze Winkel ebenfalls 45°. Dies deutet darauf hin, dass das Dreieck gleichschenklig ist und seine Schenkel gleich sind.
• Die Eigenschaft eines Winkels von 60° besteht darin, dass der dritte Winkel ein Gradmaß von 30° hat.

Die Fläche lässt sich ganz einfach mit einer von drei Formeln ermitteln:

1. durch die Höhe und die Seite, auf der es abfällt;
2. nach Herons Formel;
3. an den Seiten und der Winkel zwischen ihnen.

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bzw. die Schenkel laufen in zwei Höhen zusammen. Um das dritte zu finden, ist es notwendig, das resultierende Dreieck zu betrachten und dann mit dem Satz des Pythagoras die erforderliche Länge zu berechnen. Zusätzlich zu dieser Formel gibt es auch einen Zusammenhang zwischen der doppelten Fläche und der Länge der Hypotenuse. Der unter Studierenden am häufigsten verwendete Ausdruck ist der erste, da er weniger Berechnungen erfordert.

Sätze, die auf rechtwinklige Dreiecke anwendbar sind

Die Geometrie eines rechtwinkligen Dreiecks beinhaltet die Verwendung von Theoremen wie:

Online-Rechner.
Dreiecke lösen.

Beim Lösen eines Dreiecks werden alle sechs Elemente (d. h. drei Seiten und drei Winkel) aus drei beliebigen Elementen ermittelt, die das Dreieck definieren.

Dieses mathematische Programm ermittelt die Seite \(c\), die Winkel \(\alpha \) und \(\beta \) von benutzerdefinierten Seiten \(a, b\) und den Winkel zwischen ihnen \(\gamma \).

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Prozess der Lösungsfindung an.

Dieser Online-Rechner kann für Gymnasiasten in weiterführenden Schulen bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen und für Eltern bei der Kontrolle der Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra nützlich sein. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie Ihre Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben einfach so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihre eigenen Schulungen und/oder Schulungen Ihrer jüngeren Geschwister durchführen und gleichzeitig den Bildungsstand im Bereich der Problemlösung erhöhen.

Wenn Sie mit den Regeln zur Zahleneingabe nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe von Zahlen

Zahlen können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden.
Die ganzzahligen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalbrüche wie 2,5 oder 2,5 eingeben

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Eine kleine Theorie.

Satz der Sinus

Satz

Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinuswerten der entgegengesetzten Winkel:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinussatz

Satz
Sei AB = c, BC = a, CA = b im Dreieck ABC. Dann
Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten minus dem Doppelten des Produkts dieser Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Dreiecke lösen

Das Lösen eines Dreiecks bedeutet, alle seine sechs Elemente (d. h. drei Seiten und drei Winkel) aus drei beliebigen Elementen zu finden, die das Dreieck definieren.

Schauen wir uns drei Probleme an, bei denen es um die Lösung eines Dreiecks geht. In diesem Fall verwenden wir die folgende Notation für die Seiten des Dreiecks ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Lösen eines Dreiecks anhand zweier Seiten und des Winkels zwischen ihnen

Gegeben: \(a, b, \angle C\). Finden Sie \(c, \angle A, \angle B\)

Lösung
1. Mit dem Kosinussatz finden wir \(c\):

3. \(\Winkel B = 180^\circ -\Winkel A -\Winkel C\)

Ein Dreieck nach Seite und angrenzenden Winkeln lösen

Gegeben: \(a, \angle B, \angle C\). Finden Sie \(\Winkel A, b, c\)

Lösung
1. \(\Winkel A = 180^\circ -\Winkel B -\Winkel C\)

Ein Dreieck mit drei Seiten lösen

Gegeben: \(a, b, c\). Finden Sie \(\angle A, \angle B, \angle C\)

Lösung
1. Mit dem Kosinussatz erhalten wir:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Ebenso finden wir Winkel B.
3. \(\Winkel C = 180^\circ -\Winkel A -\Winkel B\)

Lösen eines Dreiecks mit zwei Seiten und einem Winkel gegenüber einer bekannten Seite

Gegeben: \(a, b, \angle A\). Finden Sie \(c, \angle B, \angle C\)

Lösung
1. Unter Verwendung des Sinussatzes finden wir \(\sin B\) und erhalten:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Führen wir die Notation ein: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Abhängig von der Zahl D sind folgende Fälle möglich:
Wenn D > 1, existiert ein solches Dreieck nicht, weil \(\sin B\) kann nicht größer als 1 sein
Wenn D = 1, gibt es ein eindeutiges \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Wenn D Wenn D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B\)

3. Mit dem Sinussatz berechnen wir die Seite c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$