Gegenseitige Anordnung zweier Ebenen einer Geraden und einer Ebene. Gegenseitige Anordnung einer Geraden und einer Ebene. Für ein gerades Prisma gelten die Formeln

Die Linie kann zur Ebene gehören oder nicht. Er gehört zur Ebene, wenn mindestens zwei seiner Punkte auf der Ebene liegen. Abbildung 93 zeigt die Ebene Sum (axb). Gerade l gehört zur Ebene Sum, da ihre Punkte 1 und 2 zu dieser Ebene gehören.

Wenn die Linie nicht zur Ebene gehört, kann sie parallel zu ihr sein oder sie schneiden.

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn sie parallel zu einer anderen Geraden in dieser Ebene verläuft. Abbildung 93 gerade m || Summe, da sie parallel zur Linie ist l Zugehörigkeit zu diesem Flugzeug.

Eine Gerade kann eine Ebene unter verschiedenen Winkeln schneiden und insbesondere senkrecht darauf stehen. Die Konstruktion von Schnittlinien einer Geraden mit einer Ebene ist in §61 angegeben.

Abbildung 93 - Eine gerade Linie, die zu einer Ebene gehört

Ein Punkt in Bezug auf eine Ebene kann wie folgt lokalisiert werden: dazugehören oder nicht dazugehören. Ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er auf einer Geraden in dieser Ebene liegt. Abbildung 94 zeigt eine komplexe Zeichnung der Summenebene, die durch zwei parallele Linien definiert ist l und P. Die Linie liegt in der Ebene m. Punkt A liegt in der Ebene Sum, da er auf der Geraden liegt m. Punkt v gehört nicht zur Ebene, da ihre zweite Projektion nicht auf den entsprechenden Projektionen der Linie liegt.

Abbildung 94 – Komplexe Zeichnung einer Ebene, die durch zwei parallele Linien definiert ist

Konische und zylindrische Oberflächen

Konische Oberflächen umfassen Oberflächen, die durch die Verschiebung einer geradlinigen Erzeugenden gebildet werden l entlang einer gekrümmten Führung m. Ein Merkmal der Bildung einer konischen Oberfläche ist, dass in diesem Fall immer ein Punkt der Erzeugenden fixiert ist. Dieser Punkt ist die Spitze der Kegelfläche (Abbildung 95, ein). Konische Oberflächendefinition enthält Scheitel S und führen m, dabei l"~S; l"^ m.

Zylindrische Oberflächen umfassen Oberflächen, die durch eine gerade Mantellinie gebildet werden/sich entlang einer krummlinigen Führung bewegen T parallel zur angegebenen Richtung S(Abbildung 95, B). Eine Zylinderfläche kann als Sonderfall einer Kegelfläche mit einem Scheitelpunkt im Unendlichen betrachtet werden S.

Die Zylinderflächenbestimmung besteht aus einer Führung T und Richtung S, bilden l, während ich" || S; l" ^ m.

Wenn die Generatoren einer zylindrischen Oberfläche senkrecht zur Projektionsebene stehen, wird eine solche Oberfläche genannt projizieren. Abbildung 95, v eine horizontal vorstehende zylindrische Oberfläche ist gezeigt.

Auf zylindrischen und konischen Oberflächen werden bestimmte Punkte unter Verwendung von Generatoren gebildet, die durch sie hindurchgehen. Linien auf Flächen, z. B. eine Linie ein zu Abbildung 95, v oder horizontal h in Abbildung 95, a, b, werden aus einzelnen Punkten aufgebaut, die zu diesen Linien gehören.

Abbildung 95 - Konische und zylindrische Oberflächen

Torso-Oberflächen

Eine Rumpfoberfläche ist eine Oberfläche, die durch eine geradlinige Erzeugende gebildet wird l, das während seiner Bewegung in allen seinen Positionen eine bestimmte räumliche Kurve berührt T, namens Kante zurück(Abbildung 96). Die Rückkante definiert den Torso vollständig und ist der geometrische Teil des Oberflächendefinierers. Der algorithmische Teil ist die Angabe der Tangentialität der Generatoren zur Höckerkante.

Eine Kegelfläche ist ein Sonderfall eines Torsos mit einer Rückkante T zu einem Punkt degeneriert S- Spitze einer konischen Oberfläche. Eine zylindrische Oberfläche ist ein Sonderfall eines Torsos, dessen Höckerkante ein Punkt im Unendlichen ist.

Abbildung 96 – Oberkörperoberfläche

Facettierte Oberflächen

Facettierte Oberflächen umfassen Oberflächen, die durch die Verschiebung einer geradlinigen Erzeugenden gebildet werden l entlang einer unterbrochenen Linie m. Wenn jedoch ein Punkt S Die Erzeugende ist bewegungslos, eine Pyramidenfläche entsteht (Abbildung 97), wenn die Erzeugende bei der Bewegung parallel zu einer bestimmten Richtung ist S, dann wird eine prismatische Oberfläche erzeugt (Abbildung 98).

Die Elemente facettierter Flächen sind: Scheitel S(in der Nähe der prismatischen Oberfläche ist es im Unendlichen), Gesicht (Teil der Ebene, die von einem Abschnitt der Führung begrenzt wird m und die extremen Positionen der Erzeugenden relativ dazu l) und eine Kante (Schnittlinie benachbarter Flächen).

Die Determinante der Pyramidenoberfläche enthält den Scheitel S, durch die Generatoren und Führer gehen: ich" ~ S; l^ T.

Prismatische Oberflächendeterminante, außer Führung T, Richtung enthält S, zu dem alle Generatoren parallel sind l Oberflächen: l||S; l^t.

Abbildung 97 – Pyramidenoberfläche

Abbildung 98 – Prismatische Oberfläche

Geschlossene facettierte Oberflächen, die aus einer bestimmten Anzahl (mindestens vier) von Flächen bestehen, werden Polyeder genannt. Unter den Polyedern wird eine Gruppe regelmäßiger Polyeder unterschieden, bei denen alle Flächen regelmäßige und kongruente Vielecke sind, und polyedrische Winkel an den Ecken sind sie konvex und enthalten die gleiche Anzahl von Flächen. Zum Beispiel: Hexaeder - Würfel (Abbildung 99, ein), Tetraeder - regelmäßiges Viereck (Abbildung 99, 6) Oktaeder - Polyeder (Abbildung 99, v). Kristalle haben die Form verschiedener Polyeder.

Abbildung 99 - Polyeder

Pyramide- ein Polyeder, an dessen Basis ein beliebiges Polygon liegt und dessen Seitenflächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind S.

In der komplexen Zeichnung wird die Pyramide durch die Projektionen ihrer Ecken und Kanten unter Berücksichtigung ihrer Sichtbarkeit definiert. Die Sichtbarkeit einer Kante wird anhand konkurrierender Punkte bestimmt (Abbildung 100).

Abbildung 100 – Ermittlung der Sichtbarkeit einer Kante anhand konkurrierender Punkte

Prisma- ein Polyeder, dessen Basis zwei identische und zueinander parallele Polygone sind und dessen Seitenflächen Parallelogramme sind. Wenn die Kanten des Prismas senkrecht zur Ebene der Basis stehen, wird ein solches Prisma als gerade Linie bezeichnet. Wenn die Kanten eines Prismas senkrecht zu einer Projektionsebene stehen, dann Seitenfläche es heißt projektiv. Abbildung 101 zeigt eine komplexe Zeichnung eines geraden viereckigen Prismas mit einer horizontal projizierten Oberfläche.

Abbildung 101 - Komplexe Zeichnung eines geraden viereckigen Prismas mit horizontal projizierender Oberfläche

Wenn Sie mit einer komplexen Zeichnung eines Polyeders arbeiten, müssen Sie Linien auf seiner Oberfläche erstellen, und da eine Linie eine Ansammlung von Punkten ist, müssen Sie in der Lage sein, Punkte auf der Oberfläche zu erstellen.

Jeder Punkt auf einer facettierten Oberfläche kann unter Verwendung einer Erzeugenden konstruiert werden, die durch diesen Punkt verläuft. In der Zahl 100 im Gesicht ACS Punkt gebaut m mit Hilfe des Generators S-5.

Schraubenförmige Oberflächen

Die Schraubenflächen sind diejenigen, die während der Schraubenbewegung einer geradlinigen Erzeugenden erzeugt werden. Geregelte Schraubenflächen werden genannt Helikoide.

Eine gerade Schraubenlinie wird durch die Bewegung einer geradlinigen Erzeugenden gebildet ich entlang zwei Führungen: einer Spirale T und seine Achsen ich; beim Generieren l schneidet die Schraubenachse im rechten Winkel (Abbildung 102, a). Eine gerade Wendel wird zur Herstellung von Wendeltreppen, Schrauben sowie Kraftgewinden in Werkzeugmaschinen verwendet.

Durch die Bewegung der Erzeugenden entlang der spiralförmigen Führung wird eine geneigte Spirale gebildet T und seine Achsen ich damit der Generator l kreuzt die Achse ich bei einem konstanten Winkel φ, der kein rechter Winkel ist, dh in jeder Position, die Erzeugende l parallel zu einer der Erzeugenden des Leitkegels mit einem Spitzenwinkel von 2φ (Abbildung 102, B). Geneigte Schraubenlinien begrenzen die Oberflächen der Fäden.

Abbildung 102 - Helikoide

Oberflächen der Revolution

Rotationsoberflächen umfassen Oberflächen, die durch die Drehung einer Linie gebildet werden l um eine gerade Linie ich die Rotationsachse darstellt. Sie können liniert sein, wie ein Kegel oder Rotationszylinder, und nichtlinear oder krummlinig, wie eine Kugel. Die Determinante der Rotationsfläche umfasst die Erzeugende l und Achse ich . Jeder Punkt der Erzeugenden beschreibt bei Rotation einen Kreis, dessen Ebene senkrecht zur Rotationsachse steht. Solche Kreise der Rotationsfläche werden Parallelen genannt. Die größte der Parallelen heißt Äquator. Equator.definiert den horizontalen Umriss der Oberfläche, wenn i _|_ P 1 . In diesem Fall sind die Parallelen die Horizontalen dieser Fläche.

Die Kurven der Rotationsfläche, die durch den Schnittpunkt der Oberfläche mit Ebenen gebildet werden, die durch die Rotationsachse verlaufen, werden genannt Meridiane. Alle Meridiane einer Fläche sind deckungsgleich. Der Frontalmeridian wird als Hauptmeridian bezeichnet; sie definiert den frontalen Umriß der Rotationsfläche. Der Profilmeridian bestimmt den Profilumriss der Rotationsfläche.

Es ist am bequemsten, einen Punkt auf gekrümmten Rotationsflächen unter Verwendung von Flächenparallelen zu erstellen. Abbildung 103 Punkt m gebaut auf der parallelen h 4 .

Abbildung 103 – Erstellen eines Punktes auf einer gekrümmten Oberfläche

Rotationsoberflächen haben die breiteste Anwendung in der Technik gefunden. Sie begrenzen die Oberflächen der meisten technischen Teile.

Eine Rotationskegelfläche entsteht durch die Drehung einer Geraden ich um die gerade Linie, die sie schneidet - die Achse ich(Abbildung 104, ein). Punkt m an der Oberfläche wird mit einer Erzeugenden aufgebaut l und Parallelen h. Diese Fläche wird auch Rotationskegel oder gerader Kreiskegel genannt.

Eine zylindrische Rotationsfläche wird durch die Drehung einer geraden Linie gebildet l um eine Parallelachse ich(Abbildung 104, B). Diese Fläche wird auch Zylinder oder gerader Kreiszylinder genannt.

Eine Kugel entsteht durch Drehen eines Kreises um ihren Durchmesser (Abbildung 104, v). Punkt A auf der Kugeloberfläche gehört zum Nullmeridian F, Punkt v- Äquator h, ein Punkt m auf einer Hilfsparallele gebaut h".

Abbildung 104 - Bildung von Rotationsflächen

Ein Torus entsteht durch Drehung eines Kreises oder seines Kreisbogens um eine in der Kreisebene liegende Achse. Wenn sich die Achse innerhalb des gebildeten Kreises befindet, wird ein solcher Torus als geschlossen bezeichnet (Abbildung 105, a). Wenn die Drehachse außerhalb des Kreises liegt, wird ein solcher Torus als offen bezeichnet (Abbildung 105, B). Ein offener Torus wird auch als Ring bezeichnet.

Abbildung 105 - Bildung eines Torus

Die Rotationsflächen können auch durch andere Kurven zweiter Ordnung gebildet werden. Rotationsellipsoid (Abbildung 106, ein) gebildet durch die Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen; Rotationsparaboloid (Abbildung 106, B) - Drehung der Parabel um ihre Achse; Einblatt-Rotationshyperboloid (Abbildung 106, v) wird durch die Rotation der Hyperbel um die imaginäre Achse gebildet und ist zweischalig (Abbildung 106, g) - Drehung der Hyperbel um die reelle Achse.

Abbildung 106 - Bildung von Rotationsflächen durch Kurven zweiter Ordnung

Im allgemeinen Fall sind die Flächen in Ausbreitungsrichtung der Erzeugenden als nicht begrenzt dargestellt (siehe Abbildungen 97, 98). Um spezifische Probleme zu lösen und geometrische Formen zu erhalten, sind sie auf Schnittebenen beschränkt. Um beispielsweise einen Kreiszylinder zu erhalten, ist es notwendig, den Abschnitt der zylindrischen Oberfläche mit Schnittebenen zu begrenzen (siehe Abbildung 104, B). Als Ergebnis erhalten wir seine obere und untere Basis. Wenn die Schnittebenen senkrecht zur Rotationsachse sind, ist der Zylinder gerade, wenn nicht, ist der Zylinder geneigt.

Um einen kreisförmigen Kegel zu erhalten (siehe Abbildung 104, ein), müssen Sie entlang des Scheitelpunkts und darüber hinaus schneiden. Wenn die Schnittebene des Zylinderbodens senkrecht zur Rotationsachse steht, ist der Kegel gerade, wenn nicht, ist er geneigt. Wenn beide Schnittebenen nicht durch den Scheitelpunkt verlaufen, wird der Kegel abgeschnitten.

Mit der Schnittebene können Sie ein Prisma und eine Pyramide erhalten. Beispielsweise ist eine sechseckige Pyramide gerade, wenn alle ihre Kanten die gleiche Neigung zur Schnittebene haben. In anderen Fällen wird es schräg sein. Wenn es fertig ist Mit mit Hilfe von Trimmebenen und keine von ihnen geht durch die Spitze - die Pyramide ist abgeschnitten.

Ein Prisma (siehe Abbildung 101) kann erhalten werden, indem ein Teil der prismatischen Oberfläche auf zwei Schnittebenen beschränkt wird. Wenn die Schnittebene senkrecht zu den Kanten steht, z. B. bei einem achteckigen Prisma, ist sie gerade, wenn nicht senkrecht, ist sie geneigt.

Durch Wahl der geeigneten Position der Schnittebenen ist es möglich, je nach den Bedingungen des zu lösenden Problems verschiedene Formen geometrischer Figuren zu erhalten.

In der Planimetrie ist das Flugzeug eine der Hauptfiguren, daher ist es sehr wichtig, eine klare Vorstellung davon zu haben. Dieser Artikel wurde erstellt, um dieses Thema zu behandeln. Zuerst werden das Konzept einer Ebene, ihre grafische Darstellung und die Bezeichnungen von Ebenen gezeigt. Weiterhin wird die Ebene zusammen mit einem Punkt, einer Geraden oder einer anderen Ebene betrachtet, wobei sich Optionen aus der relativen Lage im Raum ergeben. Im zweiten, dritten und vierten Absatz des Artikels werden alle Varianten der gegenseitigen Anordnung zweier Ebenen, einer Geraden und einer Ebene sowie eines Punktes und einer Ebene, analysiert, die wichtigsten Axiome und grafischen Darstellungen angegeben. Abschließend werden die wichtigsten Möglichkeiten zur Spezifizierung einer Ebene im Raum angegeben.

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Ebene - Grundkonzepte, Notation und Bild.

Das einfachste und grundlegendste geometrische Formen im dreidimensionalen Raum sind ein Punkt, eine Linie und eine Ebene. Wir haben bereits eine Vorstellung von einem Punkt und einer Linie in der Ebene. Wenn wir eine Ebene platzieren, auf der Punkte und Linien im dreidimensionalen Raum dargestellt werden, erhalten wir Punkte und Linien im Raum. Die Idee einer Ebene im Raum ermöglicht es Ihnen, beispielsweise die Oberfläche eines Tisches oder einer Wand zu erhalten. Ein Tisch oder eine Wand hat jedoch endliche Abmessungen, und die Ebene erstreckt sich über ihre Grenzen hinaus ins Unendliche.

Punkte und Linien im Raum werden wie in der Ebene bezeichnet - in großen bzw. kleinen lateinischen Buchstaben. Zum Beispiel Punkte A und Q, Linien a und d. Wenn zwei Punkte gegeben sind, die auf einer Linie liegen, dann kann die Linie durch zwei diesen Punkten entsprechende Buchstaben bezeichnet werden. Beispielsweise verläuft die Linie AB oder BA durch die Punkte A und B. Flugzeuge werden normalerweise mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet, z. B. Flugzeuge oder.

Bei der Lösung von Problemen ist es notwendig, Ebenen in der Zeichnung darzustellen. Die Ebene wird normalerweise als Parallelogramm oder als beliebige einfache geschlossene Fläche dargestellt.

Die Ebene wird üblicherweise zusammen mit Punkten, Geraden oder anderen Ebenen betrachtet, und es ergeben sich verschiedene Varianten ihrer gegenseitigen Anordnung. Wir wenden uns ihrer Beschreibung zu.

Gegenseitige Anordnung einer Ebene und eines Punktes.

Beginnen wir mit einem Axiom: In jeder Ebene gibt es Punkte. Daraus folgt die erste Variante der gegenseitigen Anordnung von Ebene und Punkt - der Punkt kann zur Ebene gehören. Mit anderen Worten, eine Ebene kann einen Punkt passieren. Um die Zugehörigkeit eines Punktes zu irgendeiner Ebene anzuzeigen, wird das Symbol "" verwendet. Wenn das Flugzeug zum Beispiel durch Punkt A geht, dann kannst du kurz schreiben.

Es sollte verstanden werden, dass es unendlich viele Punkte auf einer gegebenen Ebene im Raum gibt.

Das folgende Axiom zeigt, wie viele Punkte im Raum markiert werden müssen, damit sie eine bestimmte Ebene definieren: Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, geht eine Ebene, und nur eine. Sind drei Punkte bekannt, die in einer Ebene liegen, so kann die Ebene durch drei diesen Punkten entsprechende Buchstaben bezeichnet werden. Wenn die Ebene beispielsweise durch die Punkte A, B und C verläuft, kann sie als ABC bezeichnet werden.

Formulieren wir noch ein Axiom, das die zweite Variante der gegenseitigen Anordnung von Ebene und Punkt angibt: Es gibt mindestens vier Punkte, die nicht in derselben Ebene liegen. Ein Punkt im Raum gehört also möglicherweise nicht zur Ebene. In der Tat geht eine Ebene aufgrund des vorherigen Axioms durch drei Raumpunkte, und der vierte Punkt kann auf dieser Ebene liegen oder nicht. Als Abkürzung wird das Symbol „“ verwendet, was dem Ausdruck „gehört nicht dazu“ entspricht.

Liegt beispielsweise der Punkt A nicht in der Ebene, so wird eine Kurzschreibweise verwendet.

Linie und Ebene im Raum.

Erstens kann eine Linie in einer Ebene liegen. Dabei liegen mindestens zwei Punkte dieser Geraden in der Ebene. Dies wird durch das Axiom festgestellt: Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, so liegen alle Punkte dieser Geraden in der Ebene. Verwenden Sie für eine kurze Aufzeichnung der Zugehörigkeit zu einer bestimmten Linie eines bestimmten Flugzeugs das Symbol "". Beispielsweise bedeutet der Eintrag, dass die Linie a in der Ebene liegt.

Zweitens kann die Linie die Ebene schneiden. In diesem Fall haben die Linie und die Ebene einen einzigen gemeinsamen Punkt, der als Schnittpunkt der Linie und der Ebene bezeichnet wird. Bei einem kurzen Satz wird die Kreuzung durch das Symbol "" gekennzeichnet. Der Eintrag bedeutet beispielsweise, dass die Gerade a die Ebene im Punkt M schneidet. Wenn eine bestimmte Linie eine Ebene schneidet, entsteht das Konzept eines Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene.

Unabhängig davon lohnt es sich, auf einer Linie zu verweilen, die eine Ebene schneidet und senkrecht zu jeder Linie ist, die in dieser Ebene liegt. Eine solche Linie heißt senkrecht zur Ebene. Für eine kurze Aufzeichnung der Rechtwinkligkeit wird das Symbol "" verwendet. Für ein tieferes Studium des Materials können Sie sich auf den Artikel Rechtwinkligkeit einer geraden Linie und einer Ebene beziehen.

Von besonderer Bedeutung bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Ebene ist der sogenannte Normalenvektor der Ebene. Ein Normalenvektor einer Ebene ist jeder Nicht-Null-Vektor, der auf einer Linie senkrecht zu dieser Ebene liegt.

Drittens kann eine gerade Linie parallel zu einer Ebene sein, dh keine gemeinsamen Punkte darin haben. Als Abkürzung für Parallelität wird das Symbol „“ verwendet. Wenn zum Beispiel die Linie a parallel zur Ebene ist, dann kannst du schreiben. Wir empfehlen Ihnen, diesen Fall genauer zu untersuchen, indem Sie auf den Artikel Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene verweisen.

Es sei gesagt, dass eine in einer Ebene liegende Gerade diese Ebene in zwei Halbebenen teilt. Die Gerade wird in diesem Fall als Grenze der Halbebenen bezeichnet. Zwei beliebige Punkte derselben Halbebene liegen auf derselben Seite der Linie, und zwei Punkte verschiedener Halbebenen liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Grenzlinie.

Gegenseitige Anordnung von Flugzeugen.

Zwei Ebenen im Raum können zusammenfallen. In diesem Fall haben sie mindestens drei Punkte gemeinsam.

Zwei Ebenen im Raum können sich schneiden. Der Schnittpunkt zweier Ebenen ist eine Gerade, die durch das Axiom festgelegt wird: Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Gerade, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.

In diesem Fall entsteht das Konzept des Winkels zwischen sich schneidenden Ebenen. Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn der Winkel zwischen den Ebenen neunzig Grad beträgt. Solche Ebenen werden senkrecht genannt. Wir haben darüber im Artikel Rechtwinkligkeit von Ebenen gesprochen.

Schließlich können zwei Ebenen im Raum parallel sein, also keine gemeinsamen Punkte haben. Wir empfehlen Ihnen, den Artikel Parallelität von Ebenen zu lesen, um sich ein vollständiges Bild von dieser Variante der relativen Lage der Ebenen zu machen.

Methoden zur Ebenendefinition.

Jetzt listen wir die wichtigsten Möglichkeiten auf, um eine bestimmte Ebene im Raum zu platzieren.

Erstens kann eine Ebene definiert werden, indem drei Punkte im Raum fixiert werden, die nicht auf derselben Geraden liegen. Diese Methode basiert auf dem Axiom: Durch je drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, gibt es nur eine Ebene.

Wenn eine Ebene fest und im dreidimensionalen Raum gegeben ist, indem die Koordinaten ihrer drei verschiedenen Punkte angegeben werden, die nicht auf einer geraden Linie liegen, dann können wir die Gleichung einer Ebene schreiben, die durch drei gegebene Punkte geht.

Die nächsten beiden Möglichkeiten, eine Ebene anzugeben, sind eine Folge der vorherigen. Sie basieren auf den Konsequenzen des Axioms über eine Ebene, die durch drei Punkte geht:

• eine Ebene geht durch eine Gerade und einen nicht darauf liegenden Punkt, außerdem nur einen (siehe auch die Artikelgleichung einer Ebene, die durch eine Gerade und einen Punkt geht);
• eine einzelne Ebene verläuft durch zwei sich schneidende Linien (wir empfehlen, dass Sie sich mit dem Material des Artikels vertraut machen die Gleichung einer Ebene, die durch zwei sich schneidende Linien verläuft).

Die vierte Art, eine Ebene im Raum zu definieren, basiert auf der Definition paralleler Linien. Denken Sie daran, dass zwei Linien im Raum parallel genannt werden, wenn sie in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden. Indem wir also zwei parallele Linien im Raum angeben, bestimmen wir die einzige Ebene, in der diese Linien liegen.

Wenn im dreidimensionalen Raum in Bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem eine Ebene in der angegebenen Weise gegeben ist, dann können wir eine Gleichung für eine Ebene aufstellen, die durch zwei parallele Geraden geht.

Im Kurs weiterführende Schule Im Geometrieunterricht wird folgender Satz bewiesen: Eine einzelne Ebene geht durch einen festen Punkt im Raum, senkrecht zu einer gegebenen Linie. Wir können also eine Ebene definieren, wenn wir einen Punkt angeben, durch den sie verläuft, und eine dazu senkrechte Linie.

Wenn ein rechtwinkliges Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum fixiert und eine Ebene auf die angegebene Weise gegeben ist, dann ist es möglich, eine Gleichung für eine Ebene aufzustellen, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen geraden Linie verläuft.

Statt einer Geraden senkrecht zu einer Ebene kann auch einer der Normalenvektoren dieser Ebene angegeben werden. In diesem Fall ist es möglich zu schreiben

Der Artikel erzählt vom Konzept einer geraden Linie in einer Ebene. Beachten Sie die Grundbegriffe und ihre Bezeichnungen. Arbeiten wir mit der gegenseitigen Anordnung einer Linie und eines Punktes und zweier Linien auf einer Ebene. Reden wir über Axiome. Als Ergebnis werden wir Methoden und Methoden zum Setzen einer geraden Linie in einer Ebene diskutieren.

Linie im Flugzeug - das Konzept

Zuerst müssen Sie eine klare Vorstellung davon haben, was ein Flugzeug ist. Jede Oberfläche von etwas kann einer Ebene zugeordnet werden, nur unterscheidet sie sich von Objekten in ihrer Unendlichkeit. Wenn wir uns vorstellen, dass das Flugzeug ein Tisch ist, dann hat es in unserem Fall keine Grenzen, sondern ist unendlich groß.

Wenn Sie den Tisch mit einem Bleistift berühren, bleibt eine Markierung zurück, die als „Punkt“ bezeichnet werden kann. So bekommen wir eine Vorstellung von einem Punkt auf einer Ebene.

Betrachten Sie das Konzept einer geraden Linie auf einer Ebene. Wenn Sie auf einem Blatt eine gerade Linie zeichnen, wird diese mit einer begrenzten Länge darauf angezeigt. Wir haben nicht die ganze Linie bekommen, sondern nur einen Teil davon, da sie tatsächlich kein Ende hat, wie das Flugzeug. Daher ist das Bild von Linien und Ebenen in einem Notizbuch formal.

Wir haben ein Axiom:

Bestimmung 1

Punkte können auf jeder Linie und in jeder Ebene markiert werden.

Punkte werden sowohl mit großen als auch mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Zum Beispiel A und D oder a und d.

Für einen Punkt und eine Linie sind nur zwei Ortsvarianten bekannt: ein Punkt auf einer Linie, dh dass die Linie durch sie verläuft, oder ein Punkt nicht auf der Linie, dh die Linie verläuft nicht durch sie .

Um anzugeben, ob ein Punkt auf einer Ebene oder ein Punkt auf einer Geraden dazugehört, verwenden Sie das Zeichen „∈“. Ist sie unter der Bedingung gegeben, dass der Punkt A auf der Geraden a liegt, dann hat sie die Form A ∈ a . Falls der Punkt A nicht dazugehört, dann ist ein anderer Datensatz A ∉ a .

Faires Urteil:

Bestimmung 2

Durch zwei beliebige Punkte in jeder Ebene gibt es nur eine Linie, die durch sie verläuft.

Diese Aussage wird als akisome angesehen und erfordert daher keinen Beweis. Wenn Sie selbst darüber nachdenken, können Sie sehen, dass es bei den vorhandenen zwei Punkten nur eine Möglichkeit gibt, sie zu verbinden. Wenn wir zwei gegebene Punkte A und B haben, kann die durch sie verlaufende Linie diese Buchstaben genannt werden, zum Beispiel die Linie A B. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Eine gerade Linie, die sich in einer Ebene befindet, hat eine große Anzahl von Punkten. Hier kommt das Axiom her:

Bestimmung 3

Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, so liegen alle anderen Punkte der Geraden in der Ebene.

Die Menge der Punkte zwischen zwei gegebenen Punkten heißt ein gerades Liniensegment. Es hat einen Anfang und ein Ende. Mit zwei Buchstaben bezeichnet.

Wenn angegeben wird, dass die Punkte A und P die Enden des Segments sind, hat seine Bezeichnung die Form Р А oder А Р. Da die Bezeichnungen des Segments und der Linie übereinstimmen, wird empfohlen, die Worte „ Segment“, „Gerade“.

Die knappe Notation der Zugehörigkeit beinhaltet die Verwendung der Zeichen ∈ und ∉ . Um die Position des Segments relativ zu einer gegebenen geraden Linie festzulegen, verwenden Sie ⊂ . Wenn es unter der Bedingung gegeben ist, dass das Segment А Р zur Zeile b gehört, sieht der Datensatz so aus: А Р ⊂ b.

Es tritt der Fall der gleichzeitigen Zugehörigkeit von drei Punkten zu einer Geraden auf. Dies ist der Fall, wenn ein Punkt zwischen zwei anderen liegt. Diese Aussage gilt als Axiom. Wenn Punkte A, B, C gegeben sind, die zu derselben Geraden gehören, und Punkt B zwischen A und C liegt, folgt daraus, dass alle gegebenen Punkte auf derselben Geraden liegen, da sie auf beiden Seiten von Punkt B liegen.

Der Punkt teilt die Linie in zwei Teile, Strahlen genannt.Wir haben ein Axiom:

Bestimmung 4

Jeder Punkt O, der sich auf einer Linie befindet, teilt sie in zwei Strahlen, und zwei beliebige Punkte eines Strahls liegen auf einer Seite des Strahls relativ zum Punkt O, und die anderen liegen auf der anderen Seite des Strahls.

Die Anordnung von Geraden auf einer Ebene kann zwei Zustände annehmen.

Bestimmung 5

übereinstimmen.

Diese Möglichkeit tritt auf, wenn die Linien gemeinsame Punkte haben. Basierend auf dem oben geschriebenen Axiom haben wir, dass eine gerade Linie durch zwei Punkte und nur einen geht. Das heißt, wenn 2 Geraden durch die gegebenen 2 Punkte verlaufen, fallen sie zusammen.

Bestimmung 6

Zwei Geraden in einer Ebene überqueren.

Dieser Fall zeigt, dass es einen gibt gemeinsamer Punkt, was als Schnittpunkt von Geraden bezeichnet wird. Die Notation Schnittpunkt wird durch das Symbol ∩ eingeleitet. Wenn es eine Form a ∩ b = M gibt, dann folgt daraus, dass sich die gegebenen Geraden a und b im Punkt M schneiden.

Am Schnittpunkt von Geraden beschäftigen wir uns mit dem gebildeten Winkel. Der Abschnitt des Schnittpunkts von Linien in einer Ebene unter Bildung eines Winkels von 90 Grad, dh eines rechten Winkels, wird gesondert betrachtet. Dann heißen die Geraden senkrecht.Die Schreibweise zweier senkrechter Geraden ist diese: a ⊥ b, was bedeutet, dass die Gerade a senkrecht auf der Geraden b steht.

Bestimmung 7

Zwei Geraden in einer Ebene können sein sind parallel.

Nur wenn zwei gegebene Geraden keine gemeinsamen Schnittpunkte und damit keine Punkte haben, sind sie parallel. Es wird eine Notation verwendet, die für eine gegebene Parallelität der Linien a und b geschrieben werden kann: a ∥ b .

Eine Gerade auf einer Ebene wird zusammen mit Vektoren betrachtet. Eine besondere Bedeutung kommt Nullvektoren zu, die auf einer gegebenen Geraden oder auf einer der parallelen Geraden liegen, die als Richtungsvektoren der Geraden bezeichnet werden. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Nicht-Null-Vektoren, die sich auf Linien senkrecht zu der gegebenen befinden, werden ansonsten als Normalenvektoren der Linie bezeichnet. Eine ausführliche Beschreibung finden Sie im Artikel Normalenvektor einer Geraden auf einer Ebene. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Wenn in einem Flugzeug 3 Linien angegeben sind, kann deren Position sehr unterschiedlich sein. Es gibt mehrere Möglichkeiten für ihre Position: Schnittpunkt aller, Parallelität oder das Vorhandensein verschiedener Schnittpunkte. Die Abbildung zeigt den senkrechten Schnitt zweier Linien in Bezug auf eine.

Dazu präsentieren wir die notwendigen Faktoren, die ihre relative Position beweisen:

• wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie alle parallel;
• wenn zwei Geraden senkrecht zu einer dritten stehen, dann sind die beiden Geraden parallel;
• Wenn eine Gerade eine parallele Gerade in einer Ebene schneidet, dann schneidet sie eine andere.

Werfen wir einen Blick auf die Bilder.

Eine gerade Linie auf einer Ebene kann auf verschiedene Arten definiert werden. Es hängt alles vom Zustand des Problems und davon ab, worauf seine Lösung basiert. Dieses Wissen kann für die praktische Ortung von Leitungen hilfreich sein.

Bestimmung 8

Die gerade Linie wird durch die angegebenen zwei Punkte definiert, die sich in der Ebene befinden.

Aus dem betrachteten Axiom folgt, dass man durch zwei Punkte eine gerade Linie ziehen kann und außerdem nur eine einzige Linie. Wenn ein rechteckiges Koordinatensystem die Koordinaten zweier nicht zusammenfallender Punkte angibt, dann ist es möglich, die Gleichung einer geraden Linie festzulegen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Stellen Sie sich eine Figur vor, bei der wir eine gerade Linie haben, die durch zwei Punkte verläuft.

Bestimmung 9

Eine Gerade lässt sich durch einen Punkt und eine Parallele definieren.

Diese Methode hat ihren Platz, da es möglich ist, durch einen Punkt eine gerade Linie parallel zu der gegebenen zu ziehen, und zwar nur eine. Der Beweis ist aus einem Schulkurs in Geometrie bekannt.

Wird die Gerade relativ zum kartesischen Koordinatensystem angegeben, so lässt sich die Gleichung der durchlaufenden Geraden aufstellen gegebener Punkt parallel zu einer bestimmten Linie. Betrachten Sie das Prinzip, eine gerade Linie auf einer Ebene zu setzen.

Bestimmung 10

Die Linie wird durch den angegebenen Punkt und den Richtungsvektor angegeben.

Wenn in einem rechteckigen Koordinatensystem eine gerade Linie gegeben ist, ist es möglich, kanonische und parametrische Gleichungen auf einer Ebene zu erstellen. Betrachten Sie in der Abbildung die Position der geraden Linie bei Vorhandensein eines Richtungsvektors.

Der vierte Punkt des Setzens einer Geraden ist sinnvoll, wenn ein Punkt angegeben wird, durch den gezogen werden soll, und eine Gerade senkrecht dazu. Aus dem Axiom haben wir:

Bestimmung 11

Durch einen gegebenen Punkt in einer Ebene verläuft nur eine gerade Linie senkrecht zu der gegebenen.

Und der letzte Punkt, der sich auf die Zuordnung einer geraden Linie in einer Ebene bezieht, befindet sich an einem bestimmten Punkt, durch den die gerade Linie verläuft, und bei Vorhandensein eines Normalenvektors der geraden Linie. Mit bekannten Koordinaten eines Punktes, der sich auf einer gegebenen Linie befindet, und den Koordinaten eines Normalenvektors ist es möglich zu schreiben allgemeine Gleichung gerade.

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direkt kann gehören zum Flugzeug, Sei sie parallel oder überqueren Flugzeug. Eine Gerade gehört zu einer Ebene, wenn zwei der Geraden und der Ebene zugehörige Punkte die gleiche Höhe haben. Die Folge des Gesagten: ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er zu einer Linie gehört, die in dieser Ebene liegt.

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn sie parallel zu einer Geraden in dieser Ebene ist.

Eine gerade Linie, die eine Ebene schneidet. Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu finden, ist es notwendig (Abb. 3.28):

1) Zeichnen Sie eine Hilfsebene durch eine gegebene Linie m T;

2) Baue eine Linie n Schnittpunkt der gegebenen Ebene Σ mit der Hilfsebene T;

3) Markieren Sie den Schnittpunkt R, gegebene Zeile m mit Schnittlinie n.

Betrachten Sie das Problem (Abb. 3.29): Die Linie m ist auf dem Plan durch den Punkt gegeben Eine 6 und einem Neigungswinkel von 35°. Durch diese Linie wird eine vertikale Hilfsebene gezogen. T, die die Ebene Σ entlang der Geraden schneidet n (B 2 C 3). Somit bewegen sie sich von der gegenseitigen Position einer geraden Linie und einer Ebene zu der gegenseitigen Position zweier gerader Linien, die in derselben vertikalen Ebene liegen. Dieses Problem wird gelöst, indem die Profile dieser geraden Linien konstruiert werden. Schnittpunkt der Linie m und n definiert den gewünschten Punkt auf dem Profil R. Punkthöhe R bestimmt durch die vertikale Skala.

Eine gerade Linie senkrecht zu einer Ebene. Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf zwei sich schneidenden Geraden dieser Ebene steht. Abbildung 3.30 zeigt eine Gerade m, senkrecht zur Ebene Σ und schneidet sie im Punkt A. Auf dem Plan der Projektion der geraden Linie m und die Horizontalen der Ebene sind zueinander senkrecht (ein rechter Winkel, dessen eine Seite parallel zur Projektionsebene ist, wird ohne Verzerrung projiziert. Beide Linien liegen in derselben vertikalen Ebene, daher sind die Positionen solcher Linien umgekehrt zu gegenseitig: l m = ll du . Aber l uΣ = lΣ, dann l m = llΣ , dh die Verlegung der Geraden m ist umgekehrt proportional zur Verlegung der Ebene. Stürze auf einer geraden Linie und einer Ebene sind in unterschiedliche Richtungen gerichtet.

3.4. Vorsprünge mit numerischen Markierungen. Oberflächen

3.4.1 Polyeder und gekrümmte Flächen. Topographische Oberfläche

In der Natur haben viele Substanzen eine kristalline Struktur in Form von Polyedern. Ein Polyeder ist eine Ansammlung von ebenen Polygonen, die nicht in derselben Ebene liegen, wobei jede Seite des einen gleichzeitig eine Seite des anderen ist. Bei der Darstellung eines Polyeders reicht es aus, die Projektionen seiner Eckpunkte anzugeben und sie in einer bestimmten Reihenfolge mit geraden Linien zu verbinden - den Projektionen der Kanten. In diesem Fall müssen sichtbare und unsichtbare Kanten auf der Zeichnung angegeben werden. Auf Abb. 3.31 zeigt ein Prisma und eine Pyramide sowie das Auffinden der Markierungen von Punkten, die zu diesen Flächen gehören.

Eine spezielle Gruppe konvexer Polygone ist eine Gruppe regelmäßiger Polygone, bei denen alle Flächen einander gleich sind regelmäßige Polygone und alle Polygonwinkel sind gleich. Es gibt fünf Arten von regelmäßigen Polygonen.

Tetraeder- Ein regelmäßiges Viereck, das von gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird, hat 4 Ecken und 6 Kanten (Abb. 3.32 a).

Hexaeder- ein regelmäßiges Sechseck (Würfel) - 8 Ecken, 12 Kanten (Abb. 3.32b).

Oktaeder- ein regelmäßiges Oktaeder, begrenzt durch acht gleichseitige Dreiecke - 6 Ecken, 12 Kanten (Abb. 3.32c).

Dodekaeder- ein regelmäßiges Dodekaeder, begrenzt durch zwölf regelmäßige Fünfecke, verbunden durch drei in der Nähe jeder Ecke.

Es hat 20 Ecken und 30 Kanten (Abb. 3.32 d).

Ikosaeder- ein regelmäßiges zwanzigseitiges Dreieck, begrenzt durch zwanzig gleichseitige Dreiecke, die in der Nähe jeder Ecke durch fünf verbunden sind, 12 Ecken und 30 Kanten (Abb. 3.32 e).

Beim Konstruieren eines Punktes, der auf einer Fläche eines Polyeders liegt, ist es notwendig, eine zu dieser Fläche gehörende Linie zu zeichnen und die Projektion des Punktes auf seiner Projektion zu markieren.

Konische Oberflächen werden gebildet, indem eine geradlinige Erzeugende entlang einer krummlinigen Führung bewegt wird, so dass die Erzeugende in allen Positionen durch einen festen Punkt verläuft - die Oberseite der Oberfläche. Kegelflächen einer Gesamtansicht auf den Plan werden als Führungshorizontal und als Scheitelpunkt dargestellt. Auf Abb. 3.33 zeigt das Auffinden der Markierung eines Punktes auf der Oberfläche einer Kegelfläche.

Ein gerader Kreiskegel wird als eine Reihe konzentrischer Kreise dargestellt, die in regelmäßigen Abständen gezeichnet werden (Abb. 3.34a). Elliptischer Kegel mit kreisförmiger Basis - eine Reihe exzentrischer Kreise (Abb. 3.34 b)

sphärische Oberflächen. Eine sphärische Oberfläche wird als Rotationsfläche bezeichnet. Es wird gebildet, indem ein Kreis um seinen Durchmesser gedreht wird. Auf dem Plan wird eine Kugeloberfläche durch den Mittelpunkt definiert ZU und die Projektion einer ihrer Konturen (des Äquators der Kugel) (Abb. 3.35).

Topographische Oberfläche. Die topographische Oberfläche wird als geometrisch unregelmäßige Oberfläche bezeichnet, da sie kein geometrisches Formationsgesetz hat. Zur Charakterisierung der Oberfläche wird die Lage ihrer charakteristischen Punkte relativ zur Projektionsebene bestimmt. Auf Abb. 3.3 b und ein Beispiel für einen Ausschnitt einer topographischen Oberfläche gegeben, der die Projektionen ihrer einzelnen Punkte zeigt. Ein solcher Plan ermöglicht zwar eine Vorstellung von der Form der abgebildeten Fläche, ist aber nicht sehr eindeutig. Um die Zeichnung übersichtlicher zu machen und damit das Lesen zu erleichtern, werden die Projektionen von Punkten mit denselben Markierungen durch glatte gekrümmte Linien verbunden, die als Höhenlinien (Isolinien) bezeichnet werden (Abb. 3.36 b).

Die Horizontalen einer topographischen Fläche werden manchmal auch als Schnittlinien dieser Fläche mit horizontalen Ebenen mit gleichem Abstand voneinander definiert (Abb. 3.37). Die Höhendifferenz zweier benachbarter Horizontalen wird Schnitthöhe genannt.

Die Abbildung der topografischen Oberfläche ist umso genauer, je geringer der Höhenunterschied zwischen zwei benachbarten Höhenlinien ist. Auf den Plänen werden Höhenlinien innerhalb oder außerhalb der Zeichnung geschlossen. An steileren Hängen der Oberfläche konvergieren die Projektionen der Höhenlinien, an sanften Hängen divergieren ihre Projektionen.

Der kürzeste Abstand zwischen den Projektionen zweier benachbarter Horizontalen auf den Plan wird als Verlegung bezeichnet. Auf Abb. 3,38 durch den Punkt EIN topografische Oberfläche werden mehrere Segmente von geraden Linien gezeichnet UND SIE und ANZEIGE. Alle haben unterschiedliche Einfallswinkel. Der größte Einfallswinkel hat ein Segment AC, dessen Position den Mindestwert hat. Daher ist es die Projektion der Einfallslinie der Oberfläche an einem bestimmten Ort.

Auf Abb. 3.39 ist ein Beispiel für die Konstruktion einer Projektion der Falllinie durch einen gegebenen Punkt EIN. Von einem Punkt Ein 100, zeichnen Sie von der Mitte aus einen Kreisbogen, der die nächste Horizontale an diesem Punkt tangiert Mit 90. Punkt Mit 90, auf der Waagerechten liegen h 90 , wird zur Falllinie gehören. Von einem Punkt Mit 90 Zeichnen Sie an einem Punkt einen Tangentenbogen an die nächste Horizontale Ab 80, usw. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Einfallslinie der topografischen Oberfläche eine unterbrochene Linie ist, von der jedes Glied senkrecht zu der Horizontalen ist, die durch das untere Ende des Glieds verläuft, das eine niedrigere Höhe hat.

3.4.2 Schnitt einer Kegelfläche mit einer Ebene

Wenn die Schnittebene durch den Scheitel einer Kegelfläche verläuft, dann schneidet sie diese entlang gerader Linien, die die Fläche bilden. In allen anderen Fällen ist die Schnittlinie eine flache Kurve: ein Kreis, eine Ellipse usw. Betrachten Sie den Fall des Schnitts einer Kegelfläche mit einer Ebene.

Beispiel 1. Konstruieren Sie die Projektion der Schnittlinie Kreiskegel Φ( ho , S5) mit der Ebene Ω parallel zur Mantellinie der Kegelfläche.

Eine konische Oberfläche an einem gegebenen Ort der Ebene schneidet entlang einer Parabel. Nachdem die Erzeugende interpoliert wurde T Wir bauen Horizontale eines kreisförmigen Kegels - konzentrische Kreise mit einem Mittelpunkt S 5 . Dann bestimmen wir die Schnittpunkte der gleichnamigen Horizontalen der Ebene und des Kegels (Abb. 3.40).

3.4.3. Schnittpunkt einer topographischen Fläche mit einer Ebene und einer Geraden

Der Fall der Überschneidung einer topografischen Oberfläche mit einer Ebene tritt am häufigsten bei der Lösung geologischer Probleme auf. Auf Abb. 3.41 gibt ein Beispiel für die Konstruktion des Schnitts einer topographischen Fläche mit einer Ebene Σ. Die gewünschte Kurve m werden durch die Schnittpunkte der gleichnamigen Höhenlinien der Ebene und der topographischen Oberfläche bestimmt.

Auf Abb. 3.42 gibt ein Beispiel für die Konstruktion einer wahren Ansicht einer topographischen Oberfläche mit einer vertikalen Ebene Σ. Die gewünschte Linie m wird durch Punkte bestimmt A, B, C… Schnittpunkte der Höhenlinien der topographischen Oberfläche mit der Schnittebene Σ. Auf dem Plan degeneriert die Projektion der Kurve zu einer Geraden, die mit der Projektion der Ebene zusammenfällt: m≡Σ. Das Profil der Kurve m wird unter Berücksichtigung der Lage der Projektionspunkte ihrer Punkte sowie ihrer Höhen auf dem Plan erstellt.

3.4.4. Gleichmäßige Neigungsfläche

Eine Fläche mit gleicher Neigung ist eine Regelfläche, bei der alle geradlinigen Erzeuger einen konstanten Winkel mit der horizontalen Ebene bilden. Sie können eine solche Oberfläche erhalten, indem Sie einen geraden kreisförmigen Kegel mit einer Achse senkrecht zur Ebene des Plans bewegen, sodass seine Oberseite entlang einer Führung gleitet und die Achse in jeder Position vertikal bleibt.

Auf Abb. 3.43 zeigt eine Fläche mit gleicher Neigung (i \u003d 1/2), die von einer räumlichen Kurve geführt wird A B C D.

Ebene Graduierung. Betrachten Sie als Beispiel die Ebene der Fahrbahnneigungen.

Beispiel 1. Längsneigung der Fahrbahn i=0, Böschungsneigung i n = 1:1,5, (Abb. 3.44a). Es ist erforderlich, horizontale Linien durch 1 m zu ziehen. Die Lösung läuft auf Folgendes hinaus. Wir zeichnen die Skala der Neigung der Ebene senkrecht zum Fahrbahnrand, markieren die Punkte in einem Abstand von 1,5 m aus der linearen Skala und bestimmen die Markierungen 49, 48 und 47. Durch die erhaltenen Punkte zeichnen wir die horizontalen Linien der Steigung parallel zum Straßenrand.

Beispiel 2. Die Längsneigung der Straße i≠0, die Böschungsneigung i n = 1:1,5, (Abb. 3.44b). Die Ebene der Fahrbahn ist abgestuft. Die Steigung der Fahrbahn ist wie folgt abgestuft. Am Punkt mit dem Scheitelpunkt 50.00 (oder einem anderen Punkt) platzieren wir die Spitze des Kegels, beschreiben einen Kreis mit einem Radius, der dem Intervall der Böschungsneigung entspricht (in unserem Beispiel l= 1,5 m). Die Höhe dieser horizontalen Linie des Kegels ist um eins kleiner als die Höhe des Scheitels, d.h. 49m. Wir zeichnen eine Reihe von Kreisen, wir erhalten die Markierungen der Konturlinien 48, 47, tangential zu denen wir die horizontalen Linien der Böschungsneigung von den Kantenpunkten mit den Markierungen 49, 48, 47 zeichnen.

Oberflächensortierung.

Beispiel 3. Wenn die Längsneigung der Straße i = 0 und die Neigung der Böschung in = 1: 1,5 ist, werden die horizontalen Neigungen durch die Punkte der Neigungsskala gezogen, deren Intervall gleich dem Intervall der ist Böschungen, (Abb. 3.45a). Der Abstand zwischen zwei Projektionen benachbarter Horizontalen in Richtung der allgemeinen Norm (Steigungsskala) ist überall gleich.

Beispiel 4. Wenn die Längsneigung der Straße i≠0 und die Neigung des Damms in \u003d 1: 1,5 (Abb. 3.45b) sind, werden die Horizontalen auf die gleiche Weise gebaut, mit der Ausnahme, dass die Neigungshorizontalen sind nicht in geraden Linien gezeichnet, sondern in Kurven.

3.4.5. Bestimmung der Grabungsgrenzlinie

Da die meisten Böden keine senkrechten Wände aufrechterhalten können, müssen Böschungen (künstliche Strukturen) gebaut werden. Die Neigung, die durch die Steigung gegeben ist, hängt vom Untergrund ab.

Um einem Diagramm der Erdoberfläche das Aussehen einer Ebene mit einer bestimmten Neigung zu verleihen, müssen Sie die Grenzlinie für Ausgrabungen und Nullarbeiten kennen. Diese Linie, die das geplante Gebiet begrenzt, wird durch die Schnittlinien der Böschungshänge und Einschnitte mit einer bestimmten topografischen Oberfläche dargestellt.

Da jede Oberfläche (einschließlich flacher) unter Verwendung von Höhenlinien dargestellt wird, wird die Schnittlinie der Oberflächen als ein Satz von Schnittpunkten von Höhenlinien mit denselben Markierungen aufgebaut. Betrachten Sie Beispiele.

Beispiel 1. In Abb. 3.46 ist eine irdene Struktur gegeben, die die Form einer abgestumpften viereckigen Pyramide hat, die auf einer Ebene steht h. Top Basis A B C D Pyramide hat eine Markierung 4m und Seitenmaße 2×2,5 m. Die Seitenflächen (Böschungsböschungen) haben eine Neigung von 2:1 und 1:1, deren Richtung durch Pfeile angedeutet ist.

Es ist notwendig, eine Schnittlinie der Hänge der Struktur mit der Ebene zu erstellen h und untereinander sowie entlang der Symmetrieachse ein Längsprofil bilden.

Zunächst wird ein Diagramm der Neigungen, Intervalle und Maßstäbe der Fundamente bei gegebenen Neigungen erstellt. Senkrecht zu jeder Seite des Geländes werden die Skalen der Hänge der Hänge in bestimmten Abständen gezeichnet, wonach die Projektionen von Konturlinien mit denselben Markierungen benachbarter Flächen die Schnittlinien der Hänge sind, die Projektionen der sind Seitenkanten dieser Pyramide.

Die untere Basis der Pyramide fällt mit den Nullkonturlinien der Hänge zusammen. Wenn dieses Erdwerk von einer vertikalen Ebene gekreuzt wird Q, im Abschnitt erhalten Sie eine gestrichelte Linie - das Längsprofil der Struktur.

Beispiel 2. Konstruieren Sie eine Schnittlinie der Hänge der Grube mit einem flachen Hang und untereinander. Unterseite ( A B C D) der Grube ist eine rechteckige Fläche mit einer Markierung von 10 m und Abmessungen von 3 × 4 m. Die Grundstücksachse bildet mit der Süd-Nord-Linie einen Winkel von 5°. Die Steigungen der Aussparungen haben die gleichen Steigungen von 2:1 (Abb. 3.47).

Die Arbeitsnulllinie wird gemäß Geländeplan festgelegt. Sie ist nach den Schnittpunkten der gleichnamigen Projektionen der Horizontalen der betrachteten Flächen aufgebaut. Gemäß den Schnittpunkten der Höhenlinien der Hänge und der topografischen Oberfläche mit denselben Markierungen wird die Schnittlinie der Hänge gefunden, die Projektionen der Seitenkanten der gegebenen Grube sind.

In diesem Fall grenzen die Seitenschrägen der Vertiefungen an den Boden der Grube an. Linie A B C D ist die erforderliche Schnittlinie. Aa, Bb, Cs, Dd- die Ränder der Grube, die Schnittlinien der Hänge miteinander.

4. Fragen zur Selbstkontrolle und Aufgaben zur unabhängige Arbeit zum Thema "Rechteckige Vorsprünge"

Punkt

4.1.1. Die Essenz der Projektionsmethode.

4.1.2. Was ist Punktprojektion?

4.1.3. Wie werden Projektionsebenen genannt und bezeichnet?

4.1.4. Was sind die Projektionsverbindungslinien in der Zeichnung und wie liegen sie in der Zeichnung in Relation zu den Projektionsachsen?

4.1.5. Wie konstruiert man die dritte (Profil-)Projektion eines Punktes?

4.1.6. Konstruieren Sie drei Projektionen der Punkte A, B, C auf einer Dreibildzeichnung, notieren Sie ihre Koordinaten und füllen Sie die Tabelle aus.

4.1.7. Bilden Sie die fehlenden Projektionsachsen, x A =25, y A =20. Konstruieren Sie eine Profilprojektion von Punkt A.

4.1.8. Konstruieren Sie drei Projektionen von Punkten gemäß ihren Koordinaten: A(25,20,15), B(20,25,0) und C(35,0,10). Geben Sie die Position der Punkte in Bezug auf die Ebenen und Projektionsachsen an. Welcher der Punkte liegt näher an der Ebene P 3?

4.1.9. materielle Punkte A und B beginnen gleichzeitig zu fallen. Wo wird Punkt B sein, wenn Punkt A den Boden berührt? Bestimmen Sie die Sichtbarkeit von Punkten. Konstruieren Sie Punkte an einer neuen Position.

4.1.10. Konstruieren Sie drei Projektionen von Punkt A, wenn der Punkt in der Ebene P 3 liegt und der Abstand von ihm zur Ebene P 1 20 mm beträgt, zur Ebene P 2 - 30 mm. Notieren Sie die Koordinaten des Punktes.

Gerade

4.2.1. Was ist eine gerade Linie in einer Zeichnung?

4.2.2. Welche gerade Linie heißt gerade Linie allgemeine Stellung?

4.2.3. Welche Lage kann eine Gerade relativ zu den Projektionsebenen einnehmen?

4.2.4. Wann wird die Projektion einer Geraden zu einem Punkt?

4.2.5. Was ist typisch für eine komplexe Zeichnung einer geraden Ebene?

4.2.6. Bestimmen Sie die relative Position dieser Linien.

ein … b ein … b ein … b

4.2.7. Konstruieren Sie Projektionen einer geraden Strecke AB mit einer Länge von 20 mm parallel zu den Ebenen: a) P 2; b) P1; c) Ochsenachse. Bezeichnen Sie die Neigungswinkel des Segments zu den Projektionsebenen.

4.2.8. Konstruieren Sie Projektionen des Segments AB gemäß den Koordinaten seiner Enden: A (30,10,10), B (10,15,30). Konstruieren Sie Projektionen von Punkt C, der das Segment in Bezug auf AC:CB = 1:2 teilt.

4.2.9. Bestimmen und notieren Sie die Anzahl der Kanten eines gegebenen Polyeders und ihre Position relativ zu den Projektionsebenen.

4.2.10. Zeichnen Sie durch Punkt A eine horizontale Linie und eine Frontlinie, die die Linie m schneiden.

4.2.11. Bestimmen Sie den Abstand zwischen Linie b und Punkt A

4.2.12. Konstruieren Sie Projektionen eines Segments AB mit einer Länge von 20 mm, die durch Punkt A und gehen senkrecht zur Ebene a) P2; b) P1; c) P3.