So beweisen Sie, dass ein Flugzeug senkrecht zu einem anderen ist. Senkrechte Flugzeuge, Bedingungsbedingung der Ebenen. Die Senspendizität im Weltraum kann

Erinnern Sie sich, dass die Ebenen senkrecht genannt werden, wenn der Winkel zwischen ihnen gerade ist. Dies wird dadurch bestimmt. Nehmen Sie einen Punkt auf einer geraden Linie, mit deren Flugzeuge schneiden, und verbringen direkt (Abb. 1.9a) in Flugzeugen. Der Winkel zwischen A und B und dem Winkel wird zwischen gemessen. Wenn diese Ecke direkt ist, sagen sie, dass das Flugzeug sich gegenseitig senkrecht und geschrieben ist

Natürlich haben Sie bereits bemerkt, dass, wenn, von drei geraden Linien A, B, mit zwei zueinander senkrecht (Abb. 2.28). Insbesondere, . Daher (auf der Grundlage der Sendenität der Geraden und der Ebene). Ähnlich,

Also enthält jeder der beiden senkrechten Ebenen ein senkrecht zu einer anderen Ebene. Darüber hinaus füllen sich diese senkrechten Füllung miteinander senkrechten Ebenen. (Abb. 2.29).

Lasst uns die letzte Aussage beweisen. In der Tat, wenn durch jeden Punkt des Flugzeugs und eine gerade Linie ausgeben

Das (gemäß Satz 5 zur Parallelität von Senkretikum).

Und zum Merkmal der Senspendikatur der Flugzeuge reicht man senkrecht zur Ebene.

Theorem 7. (Zeichen der Sendenz von Flugzeugen). Wenn die Ebene durch eine senkrecht zu einer anderen Ebene durchläuft, sind diese Ebenen sich gegenseitig senkrecht.

Lassen Sie die Ebene A ein gerades A-Senkrecht zu der P-Ebene (Abb. 2.28) enthalten. Dann kreuzt gerade und überquert das Flugzeug P an der Stelle O. punkt o liegt auf einer geraden Linie, mit der sich kreuzen. Wir führen in der Ebene P durch den Direktpunkt aus. Da b im P-Flugzeug liegt, ist es deshalb

Dieses Merkmal hat eine einfache praktische Bedeutung: Die auf dem senkrechten Boden des Pfostens aufgehängte Tür der Tür ist an jedem Positionspositionen senkrecht zur Ebene des Bodens (Abb. 2.1). Eine weitere praktische Anwendung dieser Funktion lautet: Wenn es notwendig ist, prüfen, ob eine flache Oberfläche (Wand, Zaun usw.) vertikal installiert ist, dann erfolgt er mit einem Plünderungsseil mit Fracht. Die Klempnerung ist immer senkrecht gerichtet, und die Wand ist vertikal, wenn sie in einem ihrer Stelle einen Leisten, der sich entlang befindet, nicht abweicht.

Bei der Lösung von Aufgaben, in denen senkrechte Flugzeuge gefunden werden, werden häufig die folgenden drei Vorschläge verwendet.

Vorschlag 1. Leiten, liegend in einem von zwei zueinander senkrechten Ebenen und senkrecht zu ihnen mit einem gemeinsamen direkten, senkrecht zu einer anderen Ebene.

Lassen Sie das Flugzeug in einer geraden Linie C senkrecht und schneiden Sie sich in einer geraden Linie C. Lassen Sie dann gerade und liegt in der Ebene A und (Abb. 2.28). Richten Sie eine Kreuzung direkt an einem bestimmten Zeitpunkt O. Wir werden durch den Punkt O in der P-Ebene P, senkrecht zur geraden Linie mit. Seitdem. Da dann (von theorem 2).

Das zweite Angebot ist zuerst zurück.

Vorschlag 2. direkt gesamtpunkt Mit einem von zwei zueinander senkrechten Ebenen und senkrecht zu einer anderen Ebene liegt in der ersten von ihnen.

Lassen Sie das Flugzeug miteinander senkrecht zu, geraden sowie gerade a mit einer Ebene und einem gemeinsamen Punkt A (Abb. 2.30). Durch den Punkt A in der Ebene, aber wir führen eine direkte senkrechte gerader Linie C-Line-Kreuzung der Flugzeuge durch. Gemäß dem Vorschlag, da nur eine gerade Linie senkrecht zu dieser Ebene, dann direkt und übereinstimmt, durchläuft jeder Punkt in den Raum. Da ist es in der Ebene A, dann und und liegt in der Ebene

Vorschlag 3. Wenn zwei Ebenen senkrecht zum dritten Flugzeug schneidet, ist ihre direkte Kreuzung senkrecht zur dritten Ebene.

Lassen Sie zwei Ebenen, die sich in direktem, senkrecht zur Ebene an der Ebene kreuzen (Abb. 2.31). Dann durch jeden Punkt direkt und wir führen eine gerade, senkrechte Ebene Y durch. Nach dem Vorschlag 2 liegt diese direkte Lügen in der Ebene A und im P-Flugzeug, d. H. Es fällt mit Direct a zusammen. So,

Die Haltung der Sendenität der Flugzeuge ist einer der wichtigsten und am meisten genutzten Raum und Anwendungen in der Geometrie des Raums.

Der Vielfalt der gegenseitigen Lage

zwei Ebenen besonderer Aufmerksamkeit und Studien verdient, dass in dem die Ebenen senkrecht zueinander sind (zum Beispiel die Ebene der angrenzenden Wände des Raums,

zaun und Grundstück von Land, Türen und Geschlecht usw. (Abb. 417, A-B).

Mit den obigen Beispielen können Sie eines der wichtigsten Eigenschaften der Beziehung sehen, die wir studieren werden, sind die Symmetrie des Standorts jedes der Flugzeuge relativ zum anderen. Die Symmetrie wird durch die Tatsache sichergestellt, dass das Flugzeug von senkrechten "gewebt" zu sein scheint. Versuchen wir, diese Beobachtungen zu klären.

Lassen Sie sie ein Flugzeug α aufweisen und gerade mit ihm (Abb. 418, A). Wir werden durch jeden Punkt direkt gerade, senkrechten Ebenen α ausgeben. All diese Direkte sind parallel zwischen sich selbst (warum?) Und bilden auf der Grundlage von Problem 1 § 8 einige Ebene β (Abb. 418, B). Natürlich nennen Sie das Flugzeug β aufrechtflugzeuge α.

In der Ebene liegen alle geraden in der Ebene α und senkrecht, direkt die Ebene α und senkrecht zur Ebene β (418, B). Wenn es ein beliebiges, solches Direkt ist, kreuzt es irgendwann direkt überquert. Durch den Punkt durchläuft das β senkrechte α-Licht und somit b a. Folglich und C und B, daher β. Somit ist die Ebene α senkrecht zur Ebene β senkrecht, und die Linie ist die Linie ihrer Kreuzung.

Zwei Ebenen werden senkrecht genannt, wenn jeder von ihnen mit geraden, senkrecht zu der festen zweiten Ebene gebildet wird und durch die Schnittpunkte dieser Ebenen passiert.

Die Sendenz von Compositicsαiβ-Standort- beginnt das bereits vertraute übliche: α β.

Eine der Illustrationen dieser Definition kann eingereicht werden, wenn Sie das Fragment des Raumes des Landes betrachten (Abb. 419). Darin bestehen der Boden und die Wand aus Brettern, senkrecht entsprechender Wand und Boden. Daher sind sie senkrecht. Auf der Praxis

dies bedeutet, dass der Boden horizontal ist und die Wand vertikal ist.

Die reduzierte Definition ist bei der tatsächlichen Überprüfung der Senspendikatur der Flugzeuge schwierig zu verwenden. Wenn Sie jedoch sorgfältig die Argumente analysieren, die zu dieser Definition geführt haben, sehen wir, dass die Senspendikatur der α- und β-Ebenen das Vorhandensein in der Ebene β-Directb senkrecht zur Ebene α (418, B) bereitgestellt hat. Wir kamen zum Anzeichen von Senspendikatur der beiden Flugzeuge, die meistens in der Praxis verwendet werden.

406 Summe der Direkt- und Flugzeuge

Satz 1 (Merkmal der Senspendikatur der Flugzeuge).

Wenn einer von zwei Ebenen durch eine gerade, senkrechte zweite Ebene durchläuft, sind diese Ebenen senkrecht.

 Lassen Sie die Ebene β direkt durchlaufen, die senkrechte Ebene α ist die Schnittlinie α und β (420, a). Die gesamte gerade Ebene β, parallel zu Directb und Kreuzung unkompliziert, zusammen mit DirectB bilden eine Ebene β. Durch den Satz auf zwei parallelen geraden Linien ist einer senkrecht zur Ebene (Satz 1 § 19), alle mit DirectB senkrecht zur α-Ebene. Das heißt, die Ebene β besteht aus direkter Durchlauf durch die Linienkreuzung der Ebenen α und β und der senkrechten Ebene α (420, B).

Nun in der Ebene α durch den Punkt A führt die Kreuzung der IP der IP einen geraden, senkrechten direkten Ort aus (Abb. 420, B). Die gerade Linie ist senkrecht zu der Ebene β, auf der Grundlage der Senspendikatur der direkten und der Ebene (a c, durch Konstruktion und B, als B α). Die Wiederholung der vorherigen Argumente erzielen wir, dass die Ebene α aus direkten, senkrechten Ebenen β besteht, die durch die Kreuzungslinie der Ebenen passieren. Gemäß dem Bestimmen sind die Ebene α und β senkrecht. ■

Das angegebene Merkmal ermöglicht es, die Sendenz der Flugzeuge festzulegen oder darzulegen.

Pri m e p 1. Befestigen Sie den Abschirmung an den Pfosten, damit er vertikal angeordnet ist.

 Wenn die Säule vertikal ist, reicht es aus, einen willkürlichen Abschirmung zum Pfosten herzustellen und sie zu sichern (Abb. 421, A). Gemäß der oben beschriebenen ist die Ebene der Abschirmung senkrecht zur Erdoberfläche. In diesem Fall hat die Aufgabe eine nicht-stille Lösung.

Wenn die Säule schräg für den Boden schräg ist, reicht es aus, eine vertikale Schiene an den Pfosten anzubringen (Abb. 421, B), und dann ist die Abschirmung an der Schiene und an der Stelle befestigt. In diesem Fall wird die Position des Abschirms vollständig definiert, da die Säule und der Rake die einzige Ebene bestimmen. ■

Im vorherigen Beispiel wurde die "technische" Aufgabe auf die materielle Aufgabe, durch diese direkte Ebene, senkrecht zu einer anderen Ebene zu leiten.

PRI ME P 2. Aus dem Scheitelpunkt des SquareAbcd wurde er von seiner Segmentebene, ab \u003d Ak \u003d a, durchdringend durchgeführt.

1) Bestimmen Sie den gegenseitigen Ort der AKC-Andabd-Ebenen,

AKD und ABK.

2) Konstruieren Sie ein Flugzeug, das durch den direkten BD senkrechter PreseAbc führt.

3) Durch die Mitte des Segments CCC-Flugzeug, senkrechter Planekac, leiten.

4) Finden Sie den BDF-Dreieckbereich.

 Wir erstellen eine Zeichnung, die dem Zustand des Beispiels entspricht (Abb. 422).

1) Die Ebene AKC IABD ist senkrecht, auf der Grundlage der Sendenz der Ebene der Ebene (Satz 1): AK ABD, durch Zustand. Planeakd IABK auch senkrecht

lARNS, auf der Grundlage der Senspendikatur der Flugzeuge (Theorem 1). In der Tat straßen, durch den das Flugzeug senkrecht zur Seeakd, auf der Grundlage der Senspendizitität der Direkt- und Ebene (Satz 1 § 18): AD, als angrenzende Seite des Platzes; AK AK, da

AK ABD.

2) Auf der Grundlage der Senspendikatur der Flugzeuge für die gewünschten Konstrukte des Tensids

408 Summe der Geraden und Flugzeuge

direkte, senkrechte Ebene ABC. Dafür ist es ausreichend durch diesen Punkt, um eine gerade Linie, parallel zu DirectAk zu verbringen.

In der Tat, durch Zustand, lenken Sie sich senkrecht zum PlanEABC und deshalb, entsprechend dem Satz etwa zwei parallel gerade

Satz 2 (um senkrecht zur Linienkreuzung von senkrechten Ebenen).

Wenn zwei Ebenen senkrecht sind, dann direkt zu einer Ebene und senkrecht zu den Schnittlinien dieser Ebenen senkrecht zur zweiten Ebene.

 Senkrechte Ebenen lassen

α und β kreuzen sich in einer geraden Linie C, und die gerade Linie in der Ebene β ist senkrecht zum direkten Ort und kreuzt es in Punkte (425). Durch Verteidigung

division Senkrechtlichkeit der Ebenen, in der Ebene β durch den Punkt in der direkten

b 1, senkrechte Ebene α. Es ist klar, dass es senkrecht zu einem direkten Ort ist. Aber

der direkte Punkt der Linie in der Ebene kann auch nur einen direkten, senkrecht zu dieser geraden Linie überprüfen. deshalb

gerade B Ib 1 übereinstimmen. Und das bedeutet, dass die gerade eine flache, senkrechte Kreuzungslinie von zwei senkrechten Ebenen senkrecht zur zweiten Ebene senkrecht. ■.

Wenden Sie das angesehene Theorem an, um ein weiteres Zeichen der Sendenität der Ebenen zu belegen, was aus dem Punkt der Folgen der anschließenden Untersuchung der gegenseitigen Anordnung der beiden Ebene wichtig ist.

Die Verwirrung der α-senkrechten, direkten C - Linie ihrer Kreuzung. Durch einen beliebigen Punkt direkt

in den α- und β-Ebenen, gerade ein Ib, senkrecht, direkt (Abb. 426). Auf dem Satz

iU 2, lenken ein IB senkrecht zu den Ebenen β und α entsprach, so dass sie senkrecht zueinander sind: a b. Gerade

mein und IB bestimmen ein paar Flugzeug γ. Linienkreuzung der Ebenen α und β

senkrecht zu der Ebene γ, auf der Grundlage der Senspendikatur der direkten und der Ebene (Satz 1 § 18): C a, c b, a γ, b γ. Wenn Sie die Willkürlichkeit der Wahl des Punkts sofort berücksichtigen, und die Tatsache, dass durch den Punkt das einzige Flugzeug ist, ist es senkrecht dazu, dann können Sie den folgenden Ausgang vornehmen.

Theorem 3 (um das Flugzeug senkrecht zur Kreuzung der senkrechten Ebenen).

Die Ebene senkrecht zur Kreuzungslinie von zwei senkrechten Ebenen kreuzt diese Flugzeuge durch senkrechte direkte.

Somit wurde eine andere Eigenschaft von senkrechten Ebenen eingerichtet. Diese Eigenschaft ist charakteristisch, das heißt, wenn er für einige Ebenen gültig ist, dann ist die Ebene senkrecht zueinander. Wir haben eine weitere Annahme der Senspendikatur der Flugzeuge.

Theorem 4 (das zweite Zeichen der Sendenz von Flugzeugen).

Wenn die direkten Schnittpunkte der beiden Ebenen eine dritte Ebene sind, senkrecht zur Linie ihrer Kreuzung senkrecht zu den Ebenendaten senkrecht senkrecht.

 Lassen Sie die Ebene α und β die Ebene schneiden, und die Ebene γ, senkrecht zum direkten Ort, kreuzt die Ebene α und β

gelöst auf direkten IB (Abb. 427). Unter dem Zustand und b. Da γс, toa s. Daher ist die direkte Senkrecht zu der Ebene β auf der Grundlage der Senspendikatur der Geraden und der Ebene (Satz 1 § 18). Apropos

dies bedeutet, dass die Ebenen α und β auf der Grundlage senkrechter Ebenen (Satz 1) senkrecht sind. ■

Die Theorems auf den Anleihen der Senspendizitologie der beiden Flugzeuge der dritten Ebene mit ihrer gegenseitigen Hilfe sind verdient.

Satz 5 (um die Kreuzungslinie zweier Ebenen, senkrechte dritte Ebene).

Wenn zwei Ebenen senkrecht zum dritten Flugzeug kreuzen, ist die Linie ihrer Kreuzung senkrecht zu dieser Ebene.

 Lassen Sie das Flugzeug α und β senkrecht zur Ebene γ, in eine gerade Linie (A || γ) und den Schnittpunkt der direkten Übersetzen

Betrachten Sie den Satz, der den Zusammenhang zwischen der Parallelität und der Senkrechtär der Ebenen beschreibt. Das entsprechende Ergebnis, das wir bereits für direkte und Flugzeuge hatten.

Satz 6 (auf parallelen Ebenen senkrecht zur dritten Ebene).

Wenn einer der beiden parallelen Ebenen senkrecht zum dritten ist, dann ist die zweite Ebene senkrecht dazu.

 Lassen Sie die Ebene α und β parallel und die Ebene γ senkrecht zur Ebene α an. Seit der Ebene γ.

kreuzt die Ebene α, dann sollte es die Ebene β kreuzen und parallel dazu bringen. Nehmen Sie das Flugzeug α ein

die berühmteste direkte m, senkrechte Ebene γ und verbringen Sie sie sowie durch einen beliebigen Punkt der Ebene β, der Ebene Δ (429).

Die Ebene δ und β kreuzen sich in einer geraden Linie P und da α║ β, dass ║ p (theorem 2 §18). Aus Theorem 1 folgt, dass das Kit γ ist, und daher ist die senkrechte Ebene γ die direkte Durchlaufebene der Ebene β. ■.

Der bewährte Theorem gibt ein weiteres Zeichen der Senspendikatur der Flugzeuge.

Durch einen bestimmten Punkt kann die ebenso senkrechte Ebene mit einem Zeichen der Senspendikatur der Ebene (Satz 1) durchgeführt werden. Es reicht durch diesen Punkt, eine gerade, senkrechte dieser Ebene auszuführen (siehe Aufgabe 1 § 19). Und dann durch die konstruierte prawsplessplose. Die Übersetzung der Senkrechten dieser Ebene auf das angegebene Merkmal. Es ist klar, dass solche Ebenen ein unendliches Set durchgeführt werden können.

Eine größere materielle Aufgabe ist die Aufgabe, ein Flugzeug senkrecht dazu zu bauen, vorausgesetzt, dass er diese direkte durchläuft. Es ist klar, dass, wenn diese Direkte senkrecht zu dieser Ebene ist, solche Ebenen ein unendliches Set erstellt werden können. Es bleibt, den Fall zu berücksichtigen, wenn diese Direkte nicht senkrecht zu dieser Ebene ist. Die Möglichkeit einer solchen Konstruktion ist auf dem Niveau der physikalischen Modelle von Direkt- und Ebenen in Beispiel 1 gerechtfertigt.

C und d a c 1. Beweisen Sie, dass durch eine willkürliche gerade, nicht senkrechte Ebene eine Ebene, senkrecht zu dieser Ebene, durchgeführt werden kann.

 Lassen Sie das Flugzeug α und die gerade Linie, L b \\ a gegeben werden. Wir nehmen einen direkt willkürlichen Punkt an und tragen sie durch eine gerade senkrechte Ebene α (430, A). Da l in der Bedingung L nicht senkrecht zu α ist, dann schneidet das direkt. Durch diese geraden Linien kann die Ebene β (Fig. 430, B) durchgeführt werden, die gemäß dem Vorzeichen der Sendenität der Ebenen (Satz 1) senkrecht zur Ebene α sein wird. ■.

PRI ME P 3. Durch die Oberseite des rechten Pyramiidsabc mit der Baseabc, um eine gerade, senkrechte Ebene der dem Sidsbc zugewandten Seite auszuführen.

 Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir den ersten Modus auf der senkrechten Linie der Kreuzungslinie der senkrechten Ebenen.

(Theorem 2). Lassen Sie k die Mitte der RIBC sein (Abb. 431). Die Flugzeuge der IBCs sind senkrecht auf der Grundlage senkrechter Ebenen (Satz 1). In der Tat, Sun SK IVS AK, wie Mediane auf dem Gelände in einem gleichermaßenketzten Kohlenstoff verbrachten. Daher hat auf der Grundlage der Sendenität der Geraden und der Ebene (Satz 1 §18) die Ebene der Ebene direkt genehmigt. Die Flugzeugbcs gehen durch die geraden, senkrechten Planeaks.

Gebäude. Wir werden in der Ebene des Punktes direkt ausgeben, senkrecht zu den direkten Verschlüsselungslinien der Kreuzung der Planeaksaks IBCs (Abb. 432). Durch den senkrechten Satz an der Kreuzungslinie von senkrechten Ebenen (Satz 2) ist die gerade Linie senkrecht zur BCS-Ebene. ■.

2. In FIG. 434 dargestellte Regeln- Naya-viereckige Pyramide

SABCD, Punkte P, M, N in Deri -

röbembers AB, BC, BS, O-Center-Base ABCD. Welche Paare flach- knochen senkrecht:

1) ACS und BDS; 2) MOSI POS;

3) cos und mnp; 4) MNPI SOB;

5) CND und ABS?

3) PACC PACCs; 4) PAC PAB?

4. Zwei Ebenen senkrecht. Ist es durch einen willkürlichen Punkt von einem vonsie verbringen direkt in dieser Ebene, in der zweiten Ebene?

5. In der Ebene α ist es unmöglich, eine gerade, ebene β auszuführen. Können diese Ebenen mi sein?

6. Durch einen bestimmten Punkt der Ebene α wird die Ebene in dieser Ebene und der senkrechten Ebene davon durchgeführt, ob die Ebene α und β senkrecht ist?

Abschnitt des Zauns, der an der vertikalen Post befestigt ist, sagen, dass die Ebene des Zauns vertikal ist?

Wie kräuseln Sie, parallel zur Erdoberfläche, senkrecht Schild anbringen?

Warum ist die Oberfläche der Türen, unabhängig davon, ob sie geschlossen oder geöffnet sind, senkrecht zum Boden angeordnet?

Warum benachbart es dicht an die vertikale Wand fest und nicht unbedingt?

Ist es möglich, den Schild an den geneigten Pfosten anzubringen, so dass es senkrecht zur Erdoberfläche ist?

So installieren Sie senkrecht zum Flugzeug

bodenebenenwände? senkrecht senkrecht senkrecht.- gerade, liegend - β. Wahr 7. Sie können 8.9.10.11.12.

Grafikübungen

1. In FIG. 436 zeigt kubisch.ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

1) Geben Sie das Flugzeug senkrecht zur Ebene anCDD 1.

2) Wie sind die Flugzeuge und

A1 B1 CAB 1 C 1

Das Segment wird vom Quadrat von SquareAbcd senkrecht zu seiner Ebene durchgeführt.

1 °) Bestimmen Sie den gegenseitigen Ort der ACS-Ebenen

und abc.

2 °) Bestimmen Sie den gegenseitigen Ort der ACS-Ebenen

und BDS.

3) Bauen Sie ein Flugzeug, das durch die direkten os senkrechten Plektrenasphase passiert.

4) Bauen Sie ein Flugzeug senkrecht zur ABC-Ebene auf und fahren Sie durch die Mitte des ICD.

422. Aus dem Schnittpunkt der Diagonalen wurde Rhombcd die senkrechte Ebene des Rhombus-Segments durchgeführt; ab \u003d db \u003d

1 °) Bestimmen Sie den gegenseitigen Ort der SDB-Ebenen und

ABC, SDBI ACS.

2 °) Erstellen Sie ein Flugzeug, das durch direkte BC senkrechte PlektrenaBD passiert.

3) Wechseln Sie die Mitte des Segments CSS-Flugzeug, die senkrechte Ebene.

4) Finden Sie den BDF-Dreieckbereich.

423. Dan Cube ABCDA1 B1 C1 D1.

1 °) Bestimmen Sie den gegenseitigen Ort der Ebenen ab 1 c 1

und CDD1.

2 °) Bestimmen Sie den gegenseitigen Ort der Flugzeuge ab 1 c 1

und CD1 A1.

3 °) Bauen Sie eine Ebene auf, die durch den Punkt ein senkrecht zur BB-1 d 1-Ebene verläuft.

4) Bauen Sie den Querschnitt des Würfels mit einer Ebene, die durch den Riber 1 d 1 C 1 senkrecht zur Ebene führt. 5) Bestimmt durch die Position des Ortes 1 im Fall des Falls des Falls, der durch die Mitte des Rochers 1 in 1, c 1 d 1, cd ist.

6) Finden Sie den Würfelbereich des Würfels mit einem Flugzeug, das durch die Kante von BB 1 und der Mitte der Rippe 1 D 1 (BB \u200b\u200b1 \u003d A) verläuft.

7) Bauen Sie einen Punkt, den symmetrischen Punkt A relativ zur Ebene 1b 1 C.

424. Im rechten Tetrahedraabcd mit einem Rebier, 2 cm Punkten - SedinNown, und der Punkt ist die Mitte der Mitte.

1 °) beweisen, dass gerade db senkrecht zum Flugzeug ist

2 °) Beweisen Sie, dass die Ebene des VDM senkrecht zur Gefängigkeit ist.

3) Durch den Punkt der Kreuzung der mittleren Triangeleisen, streichen Sie direkt senkrecht zur Ebene.

4) Finden Sie die Länge des Segments dieses Gerade innerhalb des Tetrahedrons. 5) In welcher Haltung der AMS-Ebene wird dieses Segment teilt?

425. Zwei gleichseitige Dreiecke und IADC liegen in senkrechten Ebenen.

1 °) Finden Sie die Länge des BD-Segments IFAC \u003d 1 cm.

2) Beweisen Sie, dass das BKD-Flugzeug (k auf der Directac liegt) senkrecht zur Ebene von jedem der Dreiecke davon und nur, wenn es die mittlere Seite ist.

426. rectangleabcd, die Seiten, von denen 3 cm und 4 cm entlang der Diagonale bewegt werden, so dass sich die Triangleabc-IADC in senkrechten Ebenen befinden. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den ID-Punkten, nachdem das Rechteck verzichtet werden kann.

Durch diesen Punkt, streichen Sie das Flugzeug senkrecht zu jedem der beiden Ebenendaten.

428 °. Beweisen Sie, dass die Ebene der benachbarten Kanten des Würfels senkrecht ist.

429. Die Ebenen α und β sind senkrecht zueinander. Aus dem Punkt der Ebene α wurde die senkrechte Ebene β durchgeführt. Beweisen Sie, dass die gerade Linie in der Ebene α liegt.

430. Beweisen Sie, dass, wenn die Ebene und das direkte, nicht in dieser Ebene liegen, senkrecht zur gleichen Ebene, dann sind sie parallel zueinander.

431. Durch die Punkte von IV sind die Kreuzung der senkrechten Ebenen α und β senkrecht zu den Linien: AA 1 in α, BB 1 in β. Punkte Abgabe auf direkte Weise 1 und Punkt-Navb 1. Beweisen Sie, dass direkt senkrecht zu direkt ist, und die gerade Linie 1 senkrecht ist die Richtlinie.

432 *. Durch die Mitte der einzelnen Seite des Dreiecks wurde eine Ebene senkrecht zu dieser Seite durchgeführt. Beweisen Sie, dass alle drei Ebenen mit einer geraden, senkrecht zur Dreieckebene umkreuzen.

Übungen zur Wiederholung.

433. Im quilateralen Dreieckb Bestimmen Sie: 1) Höhe; 2) Radien eingeschrieben und beschrieben Kreise.

434. Von einem Punkt wurde an diesem direkt senkrechten und zwei geneigten Maßnahmen durchgeführt. Bestimmen Sie die Länge der senkrechten, wenn die geneigte 41 cm und 50 cm beträgt, und ihre Projektionen auf dieser Direkt gehören als 3: 10.

435. Bestimmen Sie die Katheten rechteckiges Dreieck.Wenn bis.- Seminis direkte Ecke unterteilt Hypotenuse für Segmente 15 cm und

Grunddefinition

Zwei Ebenen angerufen.

senkrecht zum Namen Wenn jeder von ihnen gerade geformt ist- mi, senkrecht.- die zweite Ebene und durch die Kreuzungspunkte dieser Ebenen.

Das Konzept der senkrechten Ebenen

Beim Überquerung von zwei Ebenen haben wir einen zweidimensionalen Winkel von 4 $. Zwei Ecken sind gleich $ \\ varphi $, und die anderen beiden sind gleich $ (180) ^ 0- \\ varphi $.

Definition 1.

Der Winkel zwischen den Ebenen ist das Minimum an dialedrischen Winkeln, die von diesen Ebenen gebildet werden.

Definition 2.

Zwei kreuzende Flugzeuge werden senkrecht genannt, wenn der Winkel zwischen diesen Ebenen 90 ^ \\ circum $ (Abb. 1) beträgt.

Bild 1. Senkrechte Flugzeuge

Zeichen der Senspendikatur zweier Ebenen

Theorem 1.

Wenn die gerade Ebene senkrecht zu einer anderen Ebene ist, sind diese Ebenen senkrecht zueinander.

Beweise.

Lassen Sie uns das Flugzeug von $ \\ alpha $ und $ \\ beta $ geben, das auf einem direkten $ AC $ kreuzt. Lassen Sie die direkte $ AB $ in der $ \\ alpha $ -ebene senkrecht zum Flugzeug $ \\ Beta $ (Abb. 2) liegen.

Figur 2.

Seit dem direkten $ AB $ senkrecht zum $ \\ beta $ -ebene ist es senkrecht zum direkten $ AC $. Wir werden eine zusätzliche direkte $ AD $ in der $ \\ beta $ -ebene senkrecht zum direkten $ AC $ durchführen.

Wir erhalten, dass der Winkel von $ Bad $ ein linearer Winkel eines Dummywinkels ist, der gleich 90 ^ \\ circa $ ist. Das heißt, nach Definition 1 beträgt der Winkel zwischen den Ebenen 90 ^ \\ circ, was bedeutet, dass die Daten der Ebene senkrecht ist.

Theorem ist bewiesen.

Dieser Satz folgt dem folgenden Theorem.

Theorem 2

Wenn das Flugzeug senkrecht zum Direkt ist, auf dem zwei andere Ebenen schneiden, ist es senkrecht zu diesen Ebenen.

Beweise.

Gib uns zwei Ebenen $ \\ alpha $ und $ \\ beta $, die in direktem $ C $ kreuzt. Die Ebene von $ \\ gamma $ ist senkrecht zum direkten $ C $ (Abb. 3)

Figur 3.

Da das direkte $ C $ zum $ \\ \\ alpha $ -Ebene und das $ \\ gamma $ -ebene senkrecht zum direkten $ C $ gehört, dann laut theorem 1 das Flugzeug $ \\ alpha $ und $ \\ gamma $ senkrecht.

Da das direkte $ C $ zum $ \\ BETA $ -Ebene und das $ \\ Gamma $ -E-Flugzeug senkrecht zum direkten $ C $ gehört, dann laut theorem 1 das Flugzeug $ \\ Beta $ und $ \\ Gamma $ senkrecht.

Theorem ist bewiesen.

Für jeden dieser Theorems sind inversen Behauptungen auch fair.

Beispiele für Aufgaben

Beispiel 1.

Lassen Sie uns ein rechteckiges Parallelepiped $ abcda_1b_1c_1d_1 $ geben. Finden Sie alle Paare von senkrechter Ebenen (Abb. 5).

Figur 4.

Entscheidung.

A-PREIORE. rechteckige Parallelpipeda. Und senkrechte Flugzeuge sehen wir die folgenden acht Paare senkrecht zueinander: $ (ABB_1) $ und $ (ADD_1) $, $ (ABB_1) $ und $ (A_1B_1C_1) $, $ (ABB_1) $ und $ (BCC_1) $, $ (ABB_1) $ und $ (ABC) $, $ (DCC_1) $ und $ (ADD_1) $, $ (DCC_1) $ und $ (A_1B_1C_1) $, $ (DCC_1) $ und $ (BCC_1) $, $ ( Dcc_1) $ und $ (ABC) $.

Beispiel 2.

Lassen Sie uns zwei einander senkrechte Ebenen geben. Von dem Punkt einer Ebene, die senkrecht zu einer anderen Ebene durchgeführt wurde. Beweisen Sie, dass diese direkte in dieser Ebene liegt.

Beweise.

Lassen Sie uns senkrechte Ebenen $ \\ alpha $ und $ \\ beta $ in direktem $ C $ erhalten. Von den $ A $ $ \\ BETA $ -E-Flugzeug wurde senkrechte $ AC $ für das $ \\ alpha $ -E-Flugzeug durchgeführt. Angenommen, $ AC $ liegt nicht in der $ \\ Beta $ -E-Ebene (Abb. 6).

Abbildung 5.

Betrachten Sie ein Dreieck $ ABC $. Es ist rechteckig mit einem direkten Winkel von $ ACB $. Folglich $ \\ Winkel ABC \\ NE (90) ^ 0 $.

Andererseits ist der $ \\ Winkel ABC $ ein linearer Winkel eines mit diesen Ebenen gebildeten weibischen Winkels. Das heißt, der von diesen Ebenen gebildete Dwarbbonwinkel ist nicht gleich 90 Grad. Wir erhalten, dass der Winkel zwischen den Ebenen nicht in Höhe von 90 ^ \\ circum $ ist. Widerspruch. Infolgedessen liegt $ AC $ in der $ \\ Beta $ -ebene.

Diese Lektion wird denjenigen helfen, die eine Vorstellung von dem Thema "Zeichen der Senspendiktheit von zwei Ebenen" erhalten möchten. Zu Beginn dessen wiederholen wir die Definition einer Dugranny- und linearen Ecke. Dann betrachten wir, welche Ebenen senkrecht genannt werden, und wir beweisen ein Zeichen der Sendenz von zwei Ebenen.

Thema: Senspendizitut von Geraden und Flugzeugen

Lektion: ein Zeichen der Senspendikatur zweier Ebenen

Definition. Ein solider Winkel ist eine Figur, die durch zwei Halbflugzeuge gebildet wird, die nicht in dieselbe Ebene gehören, und ihre gemeinsame lenkende A (A-Kante).

Feige. einer

Betrachten Sie zwei Halbplatten α und β (Abb. 1). Ihre gemeinsame Grenze - L. Die angegebene Figur wird als dialedrischer Winkel bezeichnet. Zwei kreuzende Flugzeuge bilden mit einer gemeinsamen Kante vier Hustenwinkel.

Der Dwarbb-Winkel wird an seinem linearen Winkel gemessen. Wählen Sie an der Hauptkante der L Dummy-Ecke einen willkürlichen Punkt. In den Halbpositionen α und β aus diesem Punkt führen wir senkrecht A und B an eine gerade Linie L durch und wir erhalten den linearen Winkel des dialedrischen Winkels.

Die geraden Linien A und B bilden einen vier Winkel, der gleich φ, 180 ° - φ, φ, 180 ° - φ ist. Rückruf, der Winkel zwischen direkt ist der kleinste dieser Winkel.

Definition. Der Winkel zwischen den Ebenen wird als kleinste von den von diesen Ebenen gebildeten Dugrani-Winkeln bezeichnet. φ ist der Winkel zwischen den Ebenen α und β, wenn

Definition. Zwei kreuzende Flugzeuge werden senkrecht (gegenseitig senkrecht) bezeichnet, wenn der Winkel zwischen ihnen 90 ° beträgt.

Feige. 2

An der Kante L wird ein beliebiger Punkt M ausgewählt (Fig. 2). Wir führen zwei senkrechte gerade MA \u003d A und MV \u003d B an der Kante L in der Ebene α bzw. in der Ebene β aus. Den Winkel von AMV erhielt. Der AMV-Winkel ist ein linearer Winkel eines dialedrischen Winkels. Wenn der AMV-Winkel 90 ° beträgt, werden die Ebene α und β senkrecht genannt.

Direkte B senkrecht zur geraden Linie L durch den Bau. Direct B ist senkrecht zu lennen A, da der Winkel zwischen den Ebenen α und β um 90 ° beträgt. Wir erhalten, dass gerade B senkrecht zu zwei kreuzenden Richten A und L aus der α-Ebene ist. So ist gerade B senkrecht zu der Ebene α.

In ähnlicher Weise kann es nachgewiesen werden, dass gerade und senkrecht zu der Ebene β. Direkt und senkrecht zum direkten l auf dem bau. Direkt und senkrecht zur geraden Linie B, da der Winkel zwischen den Ebenen α und β um 90 ° beträgt. Wir erhalten das gerade und senkrecht zu zweischneidigem Direktb und l von der β-Ebene. So, gerade und senkrecht zu der Ebene β.

Wenn einer von zwei Ebenen eine gerade Linie durchläuft, senkrecht zu einer anderen Ebene, dann sind solche Ebenen senkrecht.

Beweisen

Feige. 3.

Beweise:

Lassen Sie das Flugzeug α und β in einer geraden Linie einkreuzen (Abb. 3). Um zu beweisen, dass das Flugzeug gegenseitig senkrecht zu ist, ist es notwendig, einen linearen Winkel zwischen ihnen aufzubauen und zu zeigen, dass dieser Winkel 90 ° beträgt.

Direkte AV senkrecht durch den Ebenenzustand β, was bedeutet, dass die direkte AU in der Ebene β liegt.

Wir führen Direktanzeige senkrecht zum geraden Wechselstrom in der Ebene β aus. Dann die WD -Line-Ecke der Dwarbon-Ecke.

Direkte AV senkrecht zur Ebene β und damit die direkte Anzeige in der Ebene β lügen. Der lineare VATelwinkel beträgt also 90 °. Dies bedeutet, dass das Flugzeug α und β senkrecht zu dem, was erforderlich war, um zu beweisen.

Die Ebene senkrecht zu der direkten, auf der zwei Ebenendatenkreuzung senkrecht zu jedem dieser Ebenen ist (Abb. 4).

Beweisen

Feige. vier.

Beweise:

Die gerade Linie L ist senkrecht zur Ebene γ, und die Ebene α durchläuft direkt l. Daher auf der Grundlage der Senspendikatur der Ebenen der Ebene α und γ senkrecht.

Die gerade Linie L ist senkrecht zu der Ebene γ, und die Ebene β geht durch direkte l. Daher auf der Grundlage der Senspendikatur der Ebenen der Ebene β und γ senkrecht.