Dan ist ein direkter Kreiskegel. Lektion "Kegelvolumen. Text dekodierende Lektion

Gemeinde allgemeine Bildung.

Alekseewskaya Sekundarschule.

"Bildungszentrum"

Entwicklung der Lektion.

Betrifft: Direktkreiskegel.

Kegelquerschnittsebenen

Mathematischer Lehrer

schuljahr

Betrifft: Direktkreiskegel.

Querschnitt von Kegelebenen.

Der Zweck der Lektion:demontieren Sie die Definitionen der Konus- und untergeordneten Konzepte (den Scheitelpunkt, die Basisbildung, Höhe, Achse);

betrachten Sie die Querschnitte des Kegels, der durch den Scheitelpunkt verläuft, einschließlich axial;

fördern Sie die Entwicklung der räumlichen Vorstellungskraft von Studenten.

Aufgabenstunden:

Lehrreich: untersuchen Sie die grundlegenden Konzepte des Rotationskörpers (Kegel).

Entwicklung: Setzen Sie die Bildung von Fähigkeiten der Fähigkeiten an, die Fähigkeiten, Vergleiche; Fähigkeiten, die die Hauptsache zuordnen, formulieren Schlussfolgerungen.

Lehrreich: bildung zwischen den Studierenden Interesse an Lernen, die Fähigkeiten der kommunikativen Kommunikation instillieren.

Art der Lektion:vorlesung.

Lehrmethoden:reproduktion, Problem, teilweise Suche.

Ausrüstung:tabelle, Rotationskörpermodelle, Multimedia-Geräte.

Während der Klassen

ICH.. Zeit organisieren.

In früheren Lektionen haben wir bereits die Rotationskörper getroffen und an dem Konzept eines Zylinders detaillierter angehalten. Auf dem Tisch sehen Sie zwei Zeichnungen und arbeiten in Paaren, um die korrekten Fragen zum Thema zu formulieren.

P. Hausaufgaben überprüfen.

Arbeiten Sie paarweise mit dem thematischen Tisch (Prisma, in den Zylinder eingeschrieben, der in der Nähe des Zylinders beschrieben ist).

Beispielsweise können paarweise und individuelle Studierende Fragen stellen:

Was ist ein kreisförmiger Zylinder (Bilden eines Zylinders, Grundzylinders, Seitenfläche des Zylinders)?

Welches Prisma wird in der Nähe des Zylinders genannt?

Welches Flugzeug wird Tangent zum Zylinder nennt?

Welche Zahlen können Polygone bezeichnet werden? ABC, EIN.1 B.1 C.1 , Abcde. undEIN.1 B.1 C.1 D.1 E.1 ?

- Welches Prisma ist Prisma? Abcdeabcde.? (Gerademeine.)

- Beweise, dass es direkte Prist ist.

(Optionale 2 Studentenpaare an den Boards führen Arbeit aus)

III.. Aktualisierung von Referenzwissen.

Laut der PlaniM der Plansimity:

Falez theorem;

Eigenschaften der mittleren Linie des Dreiecks;

Bereich eines Kreises.

Entsprechend dem Material der Stereometrie:

Konzept homothethy;

Der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

IV.Ein neues Material untersuchen.

(Pädagogisches - methodisches Kit "Live Mathematics" », anhang 1.)

Nach dem vorgelegten Material wird der Arbeitsplan vorgeschlagen:

1. Definition von Kegel.

2. Definition von Direktkegel.

3. Kegelelemente.

4. Concess-Scan.

5. einen Kegel als Rotationskörper bekommen.

6. Kegelabschnitte.

Antworten auf diese Fragen Studenten alleinedyat in Randnr. 184-185, die ihre Zeichnungen begleiten.

Valeologische Pause:Müde? Lassen Sie uns vor der nächsten praktischen Phase der Arbeit ausruhen!

· Massage von Reflexzonen auf der Ohrschale, die für die Arbeit der inneren Organe verantwortlich ist;

· Massage von Reflexzonen an Handflächen;

· Gymnastik für die Augen (Körnung und stark offene Augen);

· Wirbelsäule dehnen (heben Sie Ihre Hände hoch, ziehen Sie rechts und dann mit Ihrer linken Hand)

· Atmungsgymnastik, die auf den Prozess der Sättigung des Gehirnsauerstoffs abzielen (in Einatmen der Nase 5 mal scharf einatmen)

Der thematische Tisch wird (zusammen mit dem Lehrer) erstellt (zusammen mit dem Lehrer), der die Füllung des Tisches mit Fragen und dem von verschiedenen Quellen erhaltenen Materialien begleitet (Lehrbuch und Computerpräsentation)

"Kegel. Frustum ".

V.Das Material befestigen.

Frontalarbeit.

· Oral (mit der fertigen Zeichnung) Aufgelöst №9 und Nummer 10.

(Zwei Studenten erklären die Lösung von Aufgaben, der Rest kann kurze Datensätze in Notebooks ausführen)

№9 Radius der Basis des Kegels 3m. Die Höhe des Kegels beträgt 4 m. Finde den Generator.

(Entscheidung:l.=√ R.2 + H.2 \u003d √32 + 42 \u003d √25 \u003d 5m.)

№10 Bilden von Kegel l. in einem Winkel von 30◦ zur Basisebene geneigt. Finden Sie eine Höhe.

(Entscheidung:H. = l. sünde.30◦ = l.|2.)

· Bestimmen Sie die Aufgabe der Fertigzeichnung.

Die Höhe des Kegels ist h. Durch Formulierungen MA.und Mb. Das Flugzeug ist die Komponente des Winkels abermit der Ebene der Basis des Kegels. Akkord Au.zieht den Bogen mit einem Grad an r.

1. Beweisen Sie, dass der Querschnitt der Kegelebene MAV- gleichschenkligen Dreiecks.

2. Erklären Sie, wie Sie einen linearen Winkel eines Dummywinkels erstellen, der durch die Sicherungsebene und die Ebene der Basis des Kegels gebildet wird.

3. FINDEN MS.

4. Make-up (und erklären), Horde Length-Berechnungsplan Au.und Querschnittsbereich MA.

5. Zeigen Sie in der Figur, wie Sie senkrecht vom Punkt ausführen können ÜBERin die Querschnittsebene MAV(Rechtfertigen Sie den Bau).

· Wiederholung:

studiertes Material aus der Planimetrie:

Bestimmung eines Gleichgewichtsdreiecks;

Die Eigenschaften eines gleichen Dreiecks;

Bereich eines Dreiecks

studiertes Material aus der Stereometrie:

Bestimmung der Ecke zwischen den Ebenen;

Das Verfahren zum Konstruieren eines linearen Winkels eines der dialedrischen Winkel.

Test für den Selbsttest

1. Zeichnen Sie den Rotationskörper, der durch die Drehung der in der Figur dargestellten flachen Figuren gebildet wird.

2. Geben Sie an, dass die Drehung der flachen Figur das dargestellte Drehkörper herausstellte. (B)

Text dekodierende Lektion:

Wir studieren weiterhin die Trennung der Stereometrie "Körper der Rotation".

Rotationskörper umfassen: Zylinder, Kegel, Kugeln.

Erinnern Sie sich an die Definitionen.

Die Höhe ist der Abstand von der Oberseite der Figur oder des Körpers bis zur Basis der Form (Körper). Andernfalls verbindet das Segment die Oberseite und die Basis der Form und senkrecht dazu.

Erinnern Sie sich, den Bereich des Kreises zu finden, den Sie multiplizieren müssen, um an dem Platz des Radius zu multiplizieren.

Der Kreisbereich ist gleich.

Erinnern Sie sich, wie Sie den Bereich des Kreises finden können, um den Durchmesser zu kennen? Als

ersatz in der Formel:

Der Kegel ist auch ein Körperteil.

Der Kegel (genauer, der kreisförmige Kegel) wird als Körper bezeichnet, der aus einem Kreis - der Basis des Kegels besteht, der Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt, die Scheitelpunkte des Kegels und allen Segmenten, die das verbinden Scheitelpunkt des Kegels mit den Basispunkten.

Wir werden die Formel kennenlernen, um das Volumen des Kegels zu finden.

Satz. Das Volumen des Kegels beträgt ein Drittel der Produktion des Basisbereichs.

Wir beweisen diesen Theorem.

Danar: Kegel, S - Die Fläche seiner Gründung,

h - Höhe des Kegels

Beweisen: v \u003d

Beweis: Betrachten Sie den Kegelvolumen V, den Radius der Basis R, Höhe H und den Scheitelpunkt an der Stelle O.

Wir führen die Ochsenachse durch OM - der Kegelachse ein. Der beliebige Querschnitt der Kegelebene senkrecht zur Achse oh ist der Kreis mit der Mitte an der Stelle

M1 - Kreuzungspunkt dieser Ebene mit der Achse Oh. Begeben Sie sich durch den Radius dieses Kreises durch R1 und die Querschnittsfläche durch s (x), wobei x der Abszisse-Punkt M1 ist.

Von der Figur der rechteckigen Dreiecke om1a1 und oma (ے om1a1 \u003d ے ohm - direkt, ے moa-General, dann sind Dreiecke mit zwei Ecken ähnlich)

Aus der Figur ist ersichtlich, dass om1 \u003d x, om \u003d h

oder von wo in der Eigenschaft des Anteils R1 \u003d.

Da der Querschnitt ein Kreis ist, dann s (x) \u003d πr12, wir ersetzen anstelle von R1 der vorherige Expression, der Bereich des Querschnitts ist gleich dem Verhältnis der Arbeit des PI ER-Quadrats pro Quadrat X bis Quadrat der Höhe:

Wenden Sie die Hauptformel an

berechnungen der Volumen von Körpern, bei a \u003d 0, b \u003d h, wir bekommen Ausdruck (1)

Da die Basis des Kegels ein Kreis ist, ist die Basis der Kegelbasis gleich dem PI ER-Quadrat

in der Formel zur Berechnung des Körpervolumens ersetzen wir den Wert des PI ER-Quadrats auf dem Grundbereich und erhalten, dass das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts des Basisbereichs ist

Theorem ist bewiesen.

Folge des Satzes (die Volumenformel eines abgeschnittenen Kegels)

Volumen-V-Kegelstumpf, deren Höhe ist gleich H, und der Basisbereich S und S1 wird von der Formel berechnet

Wir sind gleich einer dritten Asche, multipliziert mit der Menge der Gründe und der Wurzel des Platzes vom Produkt des Basisbereichs.

Aufgaben lösen

Das rechteckige Dreieck mit 3 cm oder 4 cm oder 4 cm dreht sich in der Nähe der Hypotenuse. Bestimmen Sie das Volumen des erhaltenen Körpers.

Wenn wir ein Dreieck um die Hypotenuse drehen, erhalten wir einen Kegel. Bei der Lösung dieses Problems ist es wichtig zu verstehen, dass es zwei Fälle gibt. In jedem von ihnen wenden wir die Formel an, um das Volumen des Kegels zu finden: Das Volumen des Kegels ist gleich einem Drittel des Produkts der Basis bis zur Höhe

Im ersten Fall wird die Zeichnung so aussehen: Dan Cone. Lassen Sie den Radius R \u003d 4, Höhe H \u003d 3

Der Grundbereich ist gleich dem Produkt π pro Quadrat des Radius

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts π pro Quadrat des Radius und der Höhe.

Wir ersetzen den Wert in der Formel, er stellt sich heraus, dass das Volumen des Kegels gleich 16π ist.

Im zweiten Fall wie folgt: Dan Cone. Lassen Sie den Radius R \u003d 3, Höhe h \u003d 4

Das Volumen des Kegels ist gleich einem Drittel des Produkts des Basisbereichs bis zur Höhe:

Der Grundbereich ist gleich dem Produkt π pro Quadrat des Radius:

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts π pro Quadrat des Radius und der Höhe:

Wir ersetzen den Wert in der Formel, es stellt sich heraus, dass das Volumen des Kegels 12π ist.

Antwort: Das Volumen des Kegels V beträgt 16 π oder 12 π

Aufgabe 2. DAN einen direkten Kreiskegel mit einem Radius von 6 cm, Winkel von All \u003d 45.

Finden Sie das Volumen des Kegels.

Lösung: Diese Aufgabe wird bereitgestellt.

Wir schreiben die Formel, um das Volumen des Kegels zu finden:

Drücken Sie es durch den Radius der Basis R:

Wir finden H \u003d BO auf der Konstruktion, - rechteckig, weil Der Schutzwinkel \u003d 90 (die Summe der Ecken des Dreiecks), die Winkel an der Basis sind gleich, es bedeutet, dass das Dreieck Δboc heißt, und Bo \u003d OC \u003d 6 cm.

Lassen Sie den geraden Kreiszylinder, die horizontale Ebene der Vorsprünge parallel zu seiner Basis. Wenn Sie den Zylinder mit einer Ebene einer allgemeinen Position überqueren (wir glauben, dass die Ebene nicht die Zylinderbasen überquert) der Kreuzungslinie ist eine Ellipse, der Querschnitt selbst hat die Form einer Ellipse, deren horizontaler Vorsprung zusammen mit dem Projektion der Zylinderbasis, und die Frontal ist auch ein Ellipsenform. Wenn jedoch die sequentielle Ebene ein Winkel von 45 ° mit einer Zylinderachse ist, wird ein Querschnitt mit einem Ellipsenform durch einen Kreis in der Ebene der Vorsprünge projiziert, auf das der Querschnitt in demselben Winkel geneigt ist.

Wenn die segesene Ebene die Seitenfläche des Zylinders und eines seiner Basen überquert (Abb. 8. 8), hat die Kreuzungsleitung eine Form einer unvollständigen Ellipse (Teile der Ellipse). Die horizontale Projektion des Abschnitts in diesem Fall ist Teil des Kreises (Basisprojektion), und die Frontal ist Teil der Ellipse. Die Ebene kann senkrecht zu einer beliebigen Projektionsebene platziert werden, dann wird in dieser Ebene der Vorsprünge der Querschnitt von einer geraden Linie projiziert (Teil der sequentiellen Flugzeugspur).

Wenn der Zylinder die parallel zu der Umformung parallel zur Umformung schneidet, ist die Kreuzungslinie mit der Seitenoberfläche gerade und der Querschnitt selbst hat eine Rechteckform, wenn der Zylinder gerade oder ein Parallelogramm ist, wenn der Zylinder geneigt ist.

Wie bekannt, werden der Zylinder und der Kegel durch Stangenoberflächen gebildet.

Die Kreuzungslinie (Cutoff Line) der Linienoberfläche und der Ebene im allgemeinen Gehäuse ist einige Kurve, die von den Kreuzungspunkten von Generatoren mit der Sicherungsebene gebaut ist.

Lass Dan. direktkreiskegel. Wenn es seine Ebene einsperre, kann die Schnittlinie in Form sein: ein Dreieck, Ellipse, Kreis, Parabeln, Hyperboles (Abb. 8.7), abhängig vom Standort der Ebene.

Das Dreieck wird in dem Fall erhalten, wenn die segesene Ebene überquert, die den Kegel durch seinen Scheitelpunkt durchläuft. Gleichzeitig kreuzen sich die Querlinienkreuzungslinien in der Oberseite des Kegeles direkt an, der zusammen mit der Linienkreuzungslinie ein Dreieck bilden, das auf der Ebene der Projektionen mit Verzerrung projiziert wird. Wenn die Ebene die Kegelachse kreuzt, wird ein Dreieck in dem Abschnitt erhalten, in dem ein Winkel mit einem Scheitelpunkt, der mit dem Scheitelpunkt des Kegels zusammenfällt, maximal für die Dreiecke dieses Kegels ist. In diesem Fall wird der Querschnitt in die horizontale Ebene von Projektionen projiziert (es ist parallel zu seiner Basis) mit einer geraden Linie.

Die Kreuzung der Ellipse-Linie der Ebene und des Kegels ist, wenn die Ebene nicht parallel zu einem der Formungskegel ist. Es entspricht der Tatsache, dass das Flugzeug die gesamte Formung (die gesamte Seitenfläche des Kegels) kreuzt. Wenn die sequentielle Ebene parallel zur Basis des Kegels ist, ist die Kreuzungsleitung ein Kreis, der Querschnitt selbst wird ohne Verzerrung auf die horizontale Ebene von Projektionen projiziert, und an der Frontlinie - eine gerade Linie.

Die Kreuzungslinie der Kreuzung ist, wenn die Sicherungsebene parallel zu einem Formkegel ist. Wenn die Sekantenebene gleichzeitig von zwei Formungen parallel ist, ist die Kreuzungsleitung eine Hyperbole.

Der abgeschnittene Kegel wird erhalten, wenn der direkte Kreiskegel die Ebene parallel zur Basis und senkrechten Achse des Kegels überquert und den oberen Teil verwerfen. In dem Fall, in dem die horizontale Ebene von Vorsprüngen parallel zu den Basen des abgeschnittenen Kegels ist, werden diese Basen auf die horizontale Ebene von Vorsprüngen projiziert, ohne dass konzentrische Kreise verzerrt sind, und der vordere Vorsprung ist ein Trapez. Beim Überqueren eines abgeschnittenen Kegels mit einer Ebene, abhängig von seiner Position, kann die Schnittlinie in Form einer Trapezoid-, Ellipse, einem Kreis, Parabeln, Hyperlen oder Teilen einer der Kurven vorliegen, von denen die Enden direkt verbunden sind.

V Zylinder \u003d s auto. ∙ H.

Beispiel 2. DAN-Direktkreiskegel ABC von Gleichseitiger, wachsartig \u003d 10. Finden Sie das Volumen des Kegels.

Entscheidung

Wir finden den Radius der Basis des Kegels. C \u003d 60 0, b \u003d 30 0,

Lass os \u003d. aber, dann sun \u003d 2 aber. Laut Pythagores theorem:

Antworten: .

Beispiel 3.. Berechnen Sie die Volumina der Figuren, die durch die Drehung des von den angegebenen Linien begrenzten Quadrats gebildet werden.

y 2 \u003d 4x; y \u003d 0; x \u003d 4.

Die Grenzwerte der Integration A \u003d 0, B \u003d 4.

V \u003d. | \u003d 32π.

Aufgaben

Variante 1

Der axiale Querschnitt des Zylinders ist ein Quadrat, dessen Diagonal 4 dm ist. Finden Sie das Volumen des Zylinders.

Der Außendurchmesser der hohlen Kugel beträgt 18 cm, die Wandstärke beträgt 3 cm. Finden Sie das Volumen der Kugelwände.

h. figuren, die durch Linien in 2 \u003d x, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2 begrenzt sind.

Option 2.

1. Die Radien von drei Kugeln entsprechen 6 cm, 8 cm, 10 cm. Bestimmen Sie den Radius der Kugel, dessen Menge entspricht der Menge dieser Kugeln.

Der Grundbereich des Kegels beträgt 9 cm 2, der Bereich der vollen Oberfläche beträgt 24 cm 2. Finden Sie das Volumen des Kegels.

3. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation um die Achse herum gebildet wird h. Figuren, die durch Linien in 2 \u003d 2x, y \u003d 0, x \u003d 2, x \u003d 4 begrenzt sind.

Kontrollfragen:

1. Schreiben Sie die Eigenschaften von Körpern.

2. Schreiben Sie die Formel, um das Volumen des Körpers um die OU-Achse zu berechnen.

Die diagnostische Arbeit besteht aus zwei Teilen, einschließlich 19 Aufgaben. Teil 1 enthält 8 Aufgaben des Grundniveaus der Komplexität mit einer kurzen Antwort. Teil 2 enthält 4 Aufgaben eines erhöhten Schwierigkeitsgrades mit einer kurzen Reaktion und 7 Aufgaben der erhöhten und hohen Schwierigkeitsgrade mit einer detaillierten Reaktion.
Die Umsetzung der diagnostischen Arbeit in der Mathematik wird 3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten) angegeben.
Antworten auf die Aufgaben 1-12 werden in Form einer Ganzzahl oder einer endgültigen Dezimalfraktion aufgezeichnet. Nummern Datensatz in den Reaktionen im Text der Arbeit und dann auf das Antwortformular Nr. 1. Wenn Sie die Aufgaben 13-19 ausführen, müssen Sie eine vollständige Lösung und Reaktion auf das Antwortformular Nr. 2 schreiben.
Alle Formulare sind mit hellschwarzer Tinte gefüllt. Es dürfen Gel, Kapillar oder Federn verwenden.
Beim Durchführen von Aufgaben können Sie den Entwurf verwenden. Datensätze in Chernovik werden bei der Beurteilung der Arbeiten nicht berücksichtigt.
Die Punkte, die Sie für abgeschlossene Aufgaben erhalten haben, werden zusammengefasst.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Bedingungen der Aufgaben

1. Finden Sie, ob
2. Um ein vergrößertes Bild der Glühbirne im Labor zu erhalten, wird eine Sammellinse mit der Hauptbrennlänge \u003d 30 cm verwendet. Der Abstand von den Linsen an der Glühbirne kann im Bereich von 40 bis 65 cm und der Entfernung variieren von den Objektiven bis zum Bildschirm - im Bereich von 75 bis 100 cm. Das Bild auf dem Bildschirm ist klar, wenn das Verhältnis durchgeführt wird. Geben Sie an, wie der größte Abstand von der Linse eine Glühbirne platziert werden kann, damit das Bild auf dem Bildschirm klar ist. Antwort Express in Zentimetern.
3. Das Motorschiff führt durch den Fluss zum Ziel von 300 km und kehrt nach dem Parkplatz zum Abgang zurück. Finden Sie den Flussraten, wenn die Schiffsgeschwindigkeit in festem Wasser 15 km / h ist, der Parkplatz dauert 5 Stunden und bis zum Abflugdarstellung kehrt das Motorschiff 50 Stunden nach dem Segeln von ihm zurück. Geben Sie die Antwort in km / h.
4. Finden Sie die kleinste Funktion der Funktion im Segment
5. a) Lösen Sie die Gleichung b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment gehört
6. Dan einen direkten Kreiskegel mit einem Scheitelpunkt M.. Der axiale Querschnitt des Kegels - ein Dreieck mit einem Winkel von 120 ° an der Oberseite M.. Der Formkegel ist gleich. Durch den Punkt M. Der Querschnitt des Kegels wird senkrecht zu einem der Generatoren durchgeführt.
   a) Beweisen Sie, dass das Dreieck in der Sektion dumm ist.
   B) Finden Sie die Entfernung vom Zentrum ÜBER Die Basis des Kegels in die Abschnitte Ebene.
7. Entscheidet die Gleichung
8. Kreis mit dem Zentrum ÜBERbetrifft die Seite Au.gleiches Dreieck. ABC,fortsetzung der Seite AC.und die Fundament fortsetzen Sonneam Punkt N.. Punkt M.- Mitte der Basis Sonne.
   a) Beweisen Sie das Mn \u003d ac.
   B) Finden. Os,wenn die Seiten des Dreiecks ABCgleich 5, 5 und 8.
9. Das Geschäftsprojekt "A" schlägt in den ersten zwei Jahren vor, das Wachstum der darin investierten Beträge jährlich um 34,56% und jährlich um 44% in den nächsten zwei Jahren investiert. Das Projekt "B" beinhaltet eine Erhöhung einer permanenten Ganzzahl n. Prozent jährlich. Finde den kleinsten Wert n.In den ersten vier Jahren wird das Projekt "B" für das Projekt "A" rentabler sein.
10. Finden Sie alle Parameterwerte, von denen jedes das Gleichungssystem ist Es hat eine einzige Lösung
11. Anya spielt das Spiel: Zwei verschiedene natürliche Zahlen werden auf der Tafel geschrieben und beide sind weniger als 1000. Wenn beide natürlich sind, ersetzt Anya den Umzug - ersetzt die vorherigen zwei Zahlen. Wenn mindestens eine dieser Zahlen nicht natürlich ist, stoppt das Spiel.
    A) Kann das Spiel genau drei Schläge fortsetzen?
    b) Gibt es zwei Anfangszahlen, so dass das Spiel mindestens 9 Bewegungen fortsetzen wird?
    c) Anya hat den ersten Schritt im Spiel gemacht. Finden Sie das möglichstmögliche Verhältnis der Arbeit der beiden an die Arbeit empfangenen Zahlen.