Grafik fungsi y cos x p 2. Grafik fungsi trigonometri beberapa sudut. Definisi fungsi kosinus y=cos(x)

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi y=cos(x). Definisi dan grafik suatu fungsi"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10
Masalah aljabar dengan parameter, nilai 9–11
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Definisi.
2. Grafik fungsi.
3. Sifat-sifat fungsi Y=cos(X).
4. Contoh.

Definisi fungsi kosinus y=cos(x)

Teman-teman, kita telah bertemu dengan fungsi Y=sin(X).

Mari kita ingat salah satu rumus hantu: sin(X + /2) = cos(X).

Berkat rumus ini, kita dapat menyatakan bahwa fungsi sin(X + /2) dan cos(X) adalah identik, dan grafik fungsinya juga sama.

Grafik fungsi sin(X + /2) diperoleh dari grafik fungsi sin(X) dengan menggeser paralel satuan /2 ke kiri. Ini akan menjadi grafik fungsi Y=cos(X).

Grafik fungsi Y=cos(X) disebut juga sinusoidal.

sifat fungsi cos(x)

Mari kita tulis properti dari fungsi kita:
• Domain definisi adalah himpunan bilangan real.
• Fungsinya genap. Mari kita ingat kembali definisi fungsi genap. Suatu fungsi disebut bahkan jika persamaan y(-x)=y(x) berlaku. Seperti yang kita ingat dari rumus hantu: cos(-x)=-cos(x), definisi terpenuhi, maka cosinus adalah fungsi genap.
• Fungsi Y=cos(X) berkurang pada interval dan meningkat pada interval [π; 2]. Kami dapat memverifikasi ini pada grafik fungsi kami.
• Fungsi Y=cos(X) dibatasi dari bawah dan atas. Properti ini berasal dari fakta bahwa
  -1 cos(X) 1
• Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah -1 (untuk x = + 2πk). Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 1 (untuk x = 2πk).
• Fungsi Y=cos(X) adalah fungsi kontinu. Mari kita lihat grafik dan pastikan bahwa fungsi kita tidak memiliki celah, yang berarti kontinuitas.
• Rentang nilai adalah segmen [- 1; satu]. Hal ini juga terlihat jelas dari grafik.
• Fungsi Y=cos(X) adalah fungsi periodik. Mari kita lihat grafik lagi dan lihat bahwa fungsinya mengambil nilai yang sama pada beberapa interval.

Contoh dengan fungsi cos(x)

1. Selesaikan persamaan cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Solusi: Mari kita buat 2 grafik fungsi: y=cos(x) dan y=(x - 2π) 2 + 1 (lihat gambar).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 adalah parabola yang digeser ke kanan sebesar 2π dan naik sebesar 1. Grafik kami berpotongan di satu titik A (2π; 1), ini jawabannya: x \u003d 2π.

2. Gambarkan fungsi Y=cos(X) untuk x 0 dan Y=sin(X) untuk x 0

Solusi: Untuk membangun grafik yang diperlukan, mari kita plot dua grafik fungsi sepotong demi sepotong. Irisan pertama: y=cos(x) untuk x 0. Irisan kedua: y=sin(x)
untuk x 0. Mari kita gambarkan kedua "potongan" pada satu grafik.

3. Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi Y=cos(X) pada ruas [π; 7π/4]

Solusi: Mari kita buat grafik fungsi dan pertimbangkan segmen kita [π; 7π/4]. Grafik menunjukkan bahwa nilai terbesar dan terkecil dicapai di ujung segmen: masing-masing di titik dan 7π/4.
Jawaban: cos(π) = -1 adalah nilai terkecil, cos(7π/4) = nilai terbesar.

4. Gambarkan fungsi y=cos(π/3 - x) + 1

Solusi: cos(-x)= cos(x), maka grafik yang diinginkan akan diperoleh dengan memindahkan grafik fungsi y=cos(x) /3 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas.

Tugas untuk solusi independen

Sekarang kita akan mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana memplot fungsi trigonometri dari banyak sudut x, di mana ω adalah beberapa bilangan positif.

Untuk memplot fungsi y = sin x Mari kita bandingkan fungsi ini dengan fungsi yang telah kita pelajari y = sin x. Mari kita asumsikan bahwa pada x = x 0 fungsi y = sin x mengambil nilai yang sama dengan 0 . Kemudian

y 0 = sin x 0 .

Mari kita ubah rasio ini sebagai berikut:

Oleh karena itu, fungsi y = sin x pada x = x 0 / ω mengambil nilai yang sama pada 0 , yang merupakan fungsi y = sin x pada x = x 0 . Dan ini berarti bahwa fungsi y = sin x mengulangi nilainya dalam ω kali lebih sering daripada fungsi y = sin x. Jadi grafik fungsi y = sin x diperoleh dengan "mengompresi" grafik fungsi y = sin x v ω kali sepanjang sumbu x.

Sebagai contoh, grafik fungsi y \u003d dosa 2x diperoleh dengan "mengompresi" sinusoida y = sin x dua kali sepanjang absis.

Grafik Fungsi y \u003d dosa x / 2 diperoleh dengan "meregangkan" sinusoid y \u003d sin x dua kali (atau "mengompresi" di 1 / 2 kali) sepanjang sumbu x.

Sejak fungsi y = sin x mengulangi nilainya dalam ω kali lebih sering daripada fungsi
y = sin x, maka periodenya dalam ω kali lebih kecil dari periode fungsi y = sin x. Misalnya, periode fungsi y \u003d dosa 2x sama dengan 2π / 2 = π , dan periode fungsi y \u003d dosa x / 2 sama dengan π / x / 2 = 4π .

Sangat menarik untuk mempelajari perilaku fungsi y \u003d kapak dosa pada contoh animasi, yang dapat dengan mudah dibuat dalam program maple:

Demikian pula, grafik dibangun untuk fungsi trigonometri lainnya dari beberapa sudut. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = cos 2x, yang diperoleh dengan "mengompresi" kosinus y = cos x dua kali sepanjang sumbu x.

Grafik Fungsi y = cos x / 2 diperoleh dengan "meregangkan" gelombang kosinus y = cos x dua kali sepanjang sumbu x.

Pada gambar Anda melihat grafik fungsi y = tg 2x, diperoleh dengan "mengompresi" tangentoid y = tgx dua kali sepanjang absis.

Grafik Fungsi y = tg x / 2 , diperoleh dengan "meregangkan" tangentoid y = tgx dua kali sepanjang sumbu x.

Dan akhirnya, animasi yang ditampilkan oleh program maple:

Latihan

1. Bangun grafik fungsi-fungsi ini dan tunjukkan koordinat titik-titik perpotongan grafik ini dengan sumbu koordinat. Tentukan periode dari fungsi-fungsi tersebut.

sebuah). y=sin 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 G). y = cos 2x / 3

B). y = cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 H). y=ctg x / 3

v). y=tg 4x / 3 e). y = sin 2x / 3

2. Tentukan Periode Fungsi y \u003d dosa (πx) dan y = tg (/ 2).

3. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai dari -1 hingga +1 (termasuk dua angka ini) dan berubah secara berkala dengan periode 10.

4 *. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai dari 0 hingga 1 (termasuk dua angka ini) dan berubah secara berkala dengan titik / 2.

5. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai riil dan berubah secara periodik dengan periode 1.

6 *. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai negatif dan nol, tetapi tidak mengambil nilai positif dan berubah secara berkala dengan periode 5.

"Grafik fungsi dan sifat-sifatnya"- y = ctgx. 4) Fungsi terbatas. 3) Fungsi ganjil. (Grafik fungsi simetris terhadap titik asal). y = tgx. 7) Fungsi kontinu pada sembarang interval bentuk (?k; ? + ?k). Fungsi y = tg x kontinu pada sembarang interval bentuk. 4) Fungsi menurun pada sembarang interval bentuk (?k; ? + ?k). Grafik fungsi y \u003d tg x disebut tangentoid.

"Grafik fungsi Y X"- Pola parabola y = x2. Klik untuk melihat grafik. Contoh 2. Mari kita buat grafik fungsi y = x2 + 1, berdasarkan grafik fungsi y=x2 (klik mouse). Contoh 3. Buktikan bahwa grafik fungsi y \u003d x2 + 6x + 8 adalah parabola, dan buat grafiknya. Grafik fungsi y=(x - m)2 adalah parabola dengan titik puncak di titik (m; 0).

"Matematika Grafika"- Bagaimana Anda bisa membuat grafik? Ketergantungan fungsional yang paling alami tercermin dengan bantuan grafik. Aplikasi yang menarik: menggambar, ... Mengapa kita mempelajari grafik? Grafik fungsi dasar. Apa yang bisa kamu gambar dengan grafik? Kami mempertimbangkan penggunaan grafik dalam mata pelajaran akademik: matematika, fisika, ...

"Grafik dengan Turunan" - Generalisasi. Buatlah sketsa grafik fungsi tersebut. Tentukan asimtot dari grafik fungsi tersebut. Grafik turunan suatu fungsi. Tugas tambahan. Jelajahi fungsinya. Namakan interval fungsi menurun. Karya mandiri siswa. Perluas pengetahuan. Pelajaran untuk mengkonsolidasikan materi yang dipelajari. Nilai keterampilan Anda. Poin maksimum dari fungsi.

"Bagan dengan modul" - Menampilkan bagian "bawah" di setengah bidang atas. Modulus bilangan real. Sifat-sifat fungsi y = |x|. |x|. Angka. Algoritma untuk membuat grafik fungsi. Algoritma konstruksi. Fungsi y=lхl. Properti. Pekerjaan mandiri. Fungsi nol. Saran yang bagus. Solusi buatan sendiri.

"Persamaan Tangensial"- Persamaan tangen. persamaan biasa. Jika, maka kurva berpotongan tegak lurus. Syarat paralelisme dan tegak lurus dua garis. Sudut antara grafik fungsi. Persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Biarkan fungsi terdiferensiasi di suatu titik. Biarkan garis diberikan oleh persamaan dan.

Ada total 25 presentasi dalam topik ini