Sebagai cos2x terlipat. rumus trigonometri dasar dan identitas SIN, COS, TG, CTG. Ix group. Rumus para pemeran

Rumus utama trigonometri. Pelajaran nomor 1

Jumlah rumus yang digunakan dalam trigonometri cukup besar (di bawah "formula" yang kami maksud bukan definisi (misalnya, tgx \u003d sinx / cosx), dan persamaan identik dari tipe sin2x \u003d 2sinxcosx). Untuk membuatnya lebih mudah untuk menavigasi kelimpahan formula dan tidak melelahkan siswa dengan van yang tidak masuk akal, perlu untuk mengalokasikan yang paling penting di antara mereka. Ada beberapa dari mereka - hanya tiga. Dari tiga formula ini, semua orang mengikuti. Ini adalah identitas trigonometri utama dan formula untuk sinus dan cosinus jumlah dan perbedaan:

Sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 (1)

Sin (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx (2)

Cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny (3)

Dari ketiga formula ini, ada benar-benar semua sifat-sifat sinus dan cosinus (periodisitas, masa periode, nilai sinus 30 0 \u003d π / 6 \u003d 1/2, dll) dari sudut pandang ini dalam program sekolah ada Informasi yang sangat tidak perlu secara formal. Jadi, formula "1-3" adalah Pemerintah Kerajaan Trigonometri. Mari kita beralih ke konsekuensinya:

1) Sinus dan cosines dari beberapa sudut

Jika kita mengganti di (2) dan (3) nilai x \u003d y, kita mendapatkan:

Sin2x \u003d 2sinxcosch; SIN0 \u003d SINXCOSX-SINXCOSX \u003d 0

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x; cos0 \u003d cos 2 x + sin 2 x \u003d 1

Kami memperoleh SIN0 \u003d 0; COS0 \u003d 1, tanpa merujuk pada interpretasi geometris sinus dan cosinus. Demikian pula, menerapkan rumus "2-3" dua kali, kita dapat membawa ekspresi untuk sin3x; cos3x; sin4x; Cos4x, dll.

Sin3x \u003d sin (2x + x) \u003d sin2xcosx + sinxcos2x \u003d 2sinxcos 2 x + sinx (cos 2 x-sin 2 x) \u003d 2sinx (1-sin 2 x) + sinx (1-2sin 2 x) \u003d 3Sinx-4sin 3 X.

Tugas untuk Siswa: Menarik ekspresi serupa untuk COS3X; sin4x; cos4x.

2) Rumus reduksi derajat

Memecahkan masalah terbalik, mengekspresikan derajat sinus dan kosinus melalui cosinus dan sinus beberapa sudut.

Misalnya: cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 2cos 2 x-1, karenanya: cos 2 x \u003d 1/2 + cos2x / 2

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x, karenanya: sin 2 x \u003d 1/2-cos2x / 2

Rumus ini sangat sering digunakan. Untuk lebih memahami mereka, saya menyarankan Anda untuk menggambarkan grafik bagian kiri dan kanan mereka. Kotak cosinus dan kotak sinus "dibungkus" di sekitar grafik langsung "y \u003d 1/2" (ini adalah rata-rata untuk banyak periode, nilai COS 2 X dan SIN 2 X). Pada saat yang sama, frekuensi osilasi berlipat ganda dibandingkan dengan awal (periode fungsi COS 2 X SIN 2 X adalah 2π / 2 \u003d π), dan amplitudo osilasi berlipat ganda (koefisien 1/2 di depan cos2x) .

Tugas: Ekspresikan Sin 3 x; Cos 3 x; Dosa 4 x; Cos 4 x melalui cosines dan sinus dari beberapa sudut.

3) Rumus para pemeran

Gunakan frekuensi fungsi trigonometri, memungkinkan Anda untuk menghitung nilai-nilai mereka dalam setiap kuartal lingkaran trigonometri berdasarkan nilai pada kuartal pertama. Rumus membawa ada kasus-kasus yang sangat khusus dari formula "utama" (2-3). Sebagai contoh: cos (x + π / 2) \u003d cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 \u003d cosx * 0-sinx * 1 \u003d Sinx.

Jadi, cos (x + π / 2) \u003d sinx

Tugas: rumus output untuk dosa (x + π / 2); Cos (x + 3 π / 2)

4) Formula mengubah jumlah atau perbedaan cosinus dan sinus ke dalam pekerjaan dan kembali.

Kami mengusir formula untuk sinus jumlah dan perbedaan dua sudut:

Sin (x + y) \u003d sinxcosy + sinycosx (1)

Sin (x-y) \u003d sinxcosy-sinycosx (2)

Memindahkan bagian kiri dan kanan dari persamaan ini:

Dosa (x + y) + sin (x-y) \u003d sinxcosy + sinycosx + sinxcosy -sinycosx

Ketentuan serupa berkurang, oleh karena itu:

Sin (x + y) + sin (x-y) \u003d 2sinxcosy (*)

a) Saat membaca (*), kita akan langsung ke kanan:

SINXCOSY \u003d 1/2 (SIN (X + Y) + SIN (X-Y)) (4)

Produk dari sinus dua sudut sama dengan setengah sinus dari jumlah dan perbedaan antara sudut-sudut ini.

b) Saat membaca (*) dari kiri ke kanan, nyaman untuk menunjuk:

x-y \u003d s. Dari sini kita akan menemukan h. dan w. melalui r. dan dari, lipat dan dikurangi bagian kiri dan kanan dari kedua persamaan ini:

x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (R-S) / 2, menggantikan (*) bukannya (x + y) dan (x-y) menarik variabel baru r. dan dari, Saya akan menyajikan jumlah sinus melalui pekerjaan:

sINP + SINC \u003d 2SIN (P + C) / 2COS (P-C) / 2 (5)

Jadi, konsekuensi langsung dari rumus utama untuk sinus jumlah dan perbedaan sudut adalah dua hubungan baru (4) dan (5).

c) Sekarang alih-alih melipat bagian kiri dan kanan persamaan (1) dan (2), kita akan mengurangi satu sama lain:

sin (x + y) - sin (x-y) \u003d 2sinycosx (6)

Membaca identitas ini di sebelah kiri mengarah ke formula, mirip dengan (4), yang tidak menarik, karena Kita sudah tahu bagaimana meletakkan karya sinus dan cosinus dalam jumlah sinus (lihat (4)). Membaca (6) dari kiri ke kanan memberikan formula yang mengubah perbedaan sinus dalam pekerjaan:

sINP - SINC \u003d 2SIN ((p-c) / 2) * cos ((p + c) / 2) (7)

Jadi, dari satu dosa identitas fundamental (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx, kami menerima sebanyak tiga baru (4), (7).

Pekerjaan serupa dilakukan dengan identitas fundamental lainnya (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsinin, sudah mengarah ke empat yang baru:

Cosxcosy \u003d ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); Cosp + cosc \u200b\u200b\u003d 2cos ((p + c) / 2) cos ((p-c) / 2);

Sinxsiny \u003d ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); Cosp-cosc \u003d -2sin ((p-c) / 2) dosa ((p + c) / 2)

Tugas: Untuk mengubah jumlah sinus dan kosinus dalam pekerjaan:

SINX + COZY \u003d? Solusi: Jika Anda mencoba untuk tidak menampilkan rumus, dan segera pertimbangkan jawabannya di beberapa tabel formula trigonometri, maka Anda tidak dapat menemukan hasil yang sudah jadi. Siswa harus memahami bahwa tidak perlu menghafal dan memasuki formula lain untuk Sinx + Cozy \u003d ..., karena ada cosinus dapat diwakili dalam bentuk sinus dan, sebaliknya, dengan bantuan formula, misalnya: SINX \u003d COS (π / 2 - x), Cozy \u003d SIN (π / 2 - Y). Oleh karena itu: SINX + COZY \u003d SINX + SIN (π / 2 - Y) \u003d 2SIN ((x + π / 2 - y) / 2) COS ((x - π / 2 + y) / 2.

Rumus utama trigonometri adalah rumus yang menetapkan hubungan antara fungsi trigonometri utama. Sine, Cosine, Tangent dan Catangenes saling berhubungan oleh banyak rasio. Di bawah ini kami memberikan formula trigonometri utama, dan untuk kenyamanan, mereka mengelompokkan mereka dengan tujuan yang dimaksudkan. Menggunakan formula ini, Anda dapat menyelesaikan hampir semua tugas dari kursus trigonometri standar. Segera, kami perhatikan bahwa di bawah ini hanyalah formula itu sendiri, dan bukan kesimpulan mereka bahwa artikel terpisah akan dikhususkan.

Identitas utama trigonometri

Identitas trigonometri memberikan hubungan antara sinus, cosinus, singgung dan katarak satu sudut, memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi melalui yang lain.

Identitas trigonometri

sin 2 A + COS 2 A \u003d 1 TG α \u003d sin α cos α, ctg α \u003d cos α sin α tg α α α α α \u003d 1 Tg 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α + 1 \u003d 1 2 α.

Identitas ini diukur secara langsung dari definisi satu lingkaran, sinus (sinus), cosinus (COS), Tangent (TG) dan Cotangent (CTG).

Rumus para pemeran

Formula klarifikasi memungkinkan Anda untuk pindah dari bekerja dengan sewenang-wenang dan sewenang-wenang dengan sudut besar untuk bekerja dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat.

Rumus para pemeran

sin α + 2 π Z \u003d sin α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - sin α, cos - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg - α + 2 π z \u003d - ctg α sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π Z \u003d - sin α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin π - α + z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d sin α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α sin π + α + 2 π z \u003d - sin α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α tg π + α + 2 π z \u003d tg α, ctg π + α + 2 π z \u003d ctg α sin π - α + 2 π - α - α - α + 2 π Z \u003d - cos α tg π - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d sin α Tg 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - CTG α, CTG 3 + α + 2 π Z \u003d - TG α + 2 - α + 2 - α + 2 - α + 2 - α + 2 - α + 2 - α + \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 - α + 2 π z \u003d tg α

formula yang dihasilkan adalah konsekuensi dari frekuensi fungsi trigonometri.

Penambahan formula trigonometri

Rumus penambahan dalam trigonometri memungkinkan Anda untuk mengekspresikan fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan sudut melalui fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini.

Penambahan formula trigonometri

sin α ± β \u003d sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β \u003d cos α · cos β · sin α · cos α - β \u003d cos α α α α α ± β \u003d Tg α ± Tg β 1 ± Tg α · Tg β CTG α ± β \u003d - 1 ± Ctg α · CTG β CTG α ± CTG β

Berdasarkan formula Selain itu, rumus trigonometri dari sudut beberapa berasal.

Beberapa rumus sudut: ganda, triple, dll.

sIN 2 α \u003d 2 · sin α · cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 TG 2 α \u003d 2 · TG a 1 - TG 2 α dengan TG 2 α \u003d dengan TG 2 α - 1 2 · dosa C TG α 3 α \u003d 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α, dosa 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α TG 3 α \u003d 3 Tg α - TG 3 α 1 - 3 TG 2 α CTG 3 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG α 3 CTG 2 α - 1

Rumus setengah sudut

Rumus dari sudut setengah dalam trigonometri adalah konsekuensi dari rumus dari sudut ganda dan mengekspresikan rasio antara fungsi utama dari sudut setengah dan cosinus dari seluruh sudut.

Rumus setengah sudut

sin 2 α 2 \u003d 1 - cos α 2 cos 2 α 2 \u003d 1 + cos α 2 t g 2 α 2 \u003d 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 \u003d 1 + cos α 1 - cos α

Rumus reduksi derajat

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 sin 3 α \u003d 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos 3 α \u003d 3 4 COS 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Seringkali, ketika menghitung tindakan dengan derajat rumit tidak nyaman. Rumus reduksi derajat memungkinkan untuk mengurangi tingkat fungsi trigonometri dengan yang besar secara sewenang-wenang hingga yang pertama. Kami menyajikan pandangan umum mereka:

Tampilan umum rumus reduksi derajat

bahkan untuk N.

sin n α \u003d c n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · c kn · cos ((n - 2 k) α) cos n α \u003d C N 2 N 2 N + 1 2 N - 1 σ K \u003d 0 N 2 - 1 C KN · COS ((N - 2 K) α)

untuk NDA

sin n α \u003d 1 2 N - 1 σ K \u003d 0 N - 1 2 (- 1) N - 1 2 - K KN · SIN ((N - 2 K) α) cos n α \u003d 1 2 n - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 c kn · cos ((n - 2 k) α)

Jumlah dan perbedaan fungsi trigonometri

Perbedaan dan jumlah fungsi trigonometri dapat direpresentasikan sebagai suatu produk. Dekomposisi perbedaan dalam sinus dan perbedaan cosinus sangat nyaman untuk diterapkan dalam memecahkan persamaan trigonometri dan menyederhanakan ekspresi.

Jumlah dan perbedaan fungsi trigonometri

sin α + sin β \u003d 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β \u003d 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + β 2 · Cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 · sin - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Pekerjaan fungsi trigonometri

Jika rumus jumlah dan perbedaan fungsi memungkinkan Anda untuk pergi ke produk, maka formula untuk produk fungsi trigonometri melakukan transisi terbalik - dari produk ke jumlah. Rumus karya sinus, cosinus dan sinus pada cosinus dipertimbangkan.

Formula untuk karya fungsi trigonometri

sin α · sin β \u003d 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β \u003d 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) dosa α · COS β \u003d 1 2 · (Sin (α - β) + SIN (α + β))

Substitusi trigonometri universal

Semua fungsi trigonometri utama adalah sinus, cosinus, singgung dan camudent, dapat diekspresikan melalui garis singgung setengah sudut.

Substitusi trigonometri universal

sin α \u003d 2 TG α 2 1 + TG 2 α 2 cos α \u003d 1 - TG 2 α 2 1 + TG 2 α 2 TG α \u003d 2 TG α 2 1 - TG 2 α 2 CTG α \u003d 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 2 TG α 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter

Formula dalam trigonometri banyak.

Ingat mereka secara mekanis sangat sulit, hampir mustahil. Di kelas, banyak anak sekolah dan siswa menikmati cetakan pada forbocies buku teks dan buku catatan, poster di dinding, buaian, akhirnya. Dan bagaimana cara mengikuti ujian?

Namun, jika Anda melihat formula ini, Anda akan menemukan bahwa mereka semua saling berhubungan dan memiliki simetri tertentu. Mari kita menganalisis mereka dengan mempertimbangkan definisi dan sifat fungsi trigonometri untuk menentukan minimum yang benar-benar layak dipelajari oleh hati.

Saya grup. Identitas utama

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ sinα cosα; Ctgα \u003d. ____ cosα sinα. ;

tGα · CTGα \u003d 1;

1 + TG 2 α \u003d _____ 1 COS 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 Sin 2 α.

Grup ini berisi formula paling sederhana dan paling populer. Sebagian besar siswa mengenal mereka. Tetapi jika masih ada kesulitan, maka untuk mengingat tiga formula pertama, secara mental membayangkan segitiga persegi panjang dengan yang sama dengan hipothenuklear. Kemudian kartsnya akan sama, masing-masing, SINα untuk menentukan sinus (rasio lawan katech ke hipotenuse) dan cosα untuk menentukan cosinus (rasio catech yang berdekatan untuk hipotenuse).

Formula pertama adalah teorema Pythagoras untuk segitiga seperti itu - jumlah kuadrat dari katup sama dengan kuadrat hipotenuse (1 \u003d 1), yang kedua dan ketiga adalah definisi garis singgung (rasio kategori sebaliknya ke yang berdekatan) dan CATANGEN (rasio dari kategori yang berdekatan hingga sebaliknya).
Karya bersinggungan pada Kotangenes adalah 1 karena pembatalan yang dicatat dalam bentuk fraksi (formula ketiga) adalah garis singgung terbalik (rumus kedua). Pertimbangan terakhir, omong-omong, memungkinkan untuk mengecualikan dari antara rumus bahwa perlu untuk menghafal semua formula panjang berikutnya dengan kotangent. Jika Anda akan memenuhi CTGα dalam tugas yang sulit, cukup ganti dengan fraksi ___ 1 TGα. Dan gunakan formula untuk bersinggungan.

Dua formula terakhir tidak dapat dihafal. Mereka kurang umum. Dan jika Anda perlu, Anda selalu dapat menariknya pada draft yang baru. Untuk melakukan ini, itu cukup untuk menggantikan alih-alih singgung atau kontak definisi mereka setelah sebagian kecil (formula dua dan ketiga, masing-masing) dan memimpin ekspresi kepada penyebut umum. Tetapi penting untuk diingat bahwa rumus seperti itu yang mengikat kotak singgung dan kosinus, dan kuadrat kotangens dan sinus ada. Jika tidak, Anda tidak dapat menebak konversi mana yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas tertentu.

II Group. Penambahan formula

sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) \u003d sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tG (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGα · TGβ;

tG (α - β) \u003d

Ingat keakuratan paritas / keanehan fungsi trigonometri:

sIN (-α) \u003d - SIN (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α).

Dari semua fungsi trigonometri, hanya cosinus yang bahkan berfungsi dan tidak mengubah tanda ketika mengubah tanda argumen (sudut), fungsi yang tersisa aneh. Keakuratan fungsi, pada kenyataannya, berarti bahwa tanda minus dapat dibuat dan mengeluarkan tanda fungsi. Oleh karena itu, jika Anda menghadapi ekspresi trigonometri dengan perbedaan dua sudut, Anda selalu dapat memahaminya sebagai jumlah sudut positif dan negatif.

Sebagai contoh, dosa ( x. - 30º) \u003d dosa ( x. + (-30º)).
Selanjutnya, kami menggunakan rumus jumlah dua sudut dan menangani tanda-tanda:
dosa ( x. + (-30º)) \u003d dosa x.· COS (-30º) + cos x.· Sin (-30º) \u003d
\u003d Dosa x.· COS30º - COS x.· SIN30º.

Dengan demikian, semua formula yang mengandung perbedaan sudut dapat dilewati pada hafalan pertama. Maka Anda harus belajar mengembalikannya secara umum, pertama pada draft, dan kemudian secara mental.

Misalnya, TG (α - β) \u003d TG (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-β) ___________ 1 - TGα · TG (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + TGα · TGβ.

Ini akan membantu lebih cepat untuk menebak transformasi mana yang perlu diterapkan untuk menyelesaikan tugas trigonometri.

SH Group. Formula beberapa argumen

sin2α \u003d 2 · sinα · cosα;

cos2α \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d. 2TGα _______ 1 - Tg 2 α;

sin3α \u003d 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

Kebutuhan untuk menggunakan formula untuk sinus dan kosinus dari sudut ganda terjadi sangat sering, untuk bersinggungan juga. Rumus ini harus diketahui oleh hati. Selain itu, tidak ada kesulitan dalam hafalan mereka. Pertama, formula pendek. Kedua, mereka mudah dikendalikan oleh rumus kelompok sebelumnya, berdasarkan fakta bahwa 2α \u003d α + α.
Sebagai contoh:
Sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;
Sin (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
Sin2α \u003d 2sinα · cosα.

Namun, jika Anda telah mempelajari formula ini lebih cepat, dan bukan yang sebelumnya, maka Anda dapat bertindak sebaliknya: untuk mengingat rumus untuk jumlah dua sudut dengan rumus yang sesuai untuk sudut ganda.

Misalnya, jika Anda memerlukan formula kosinus dari jumlah dua sudut:
1) Ingat formula cosine sudut ganda: cos2. x. \u003d Cos 2. x. - SIN 2. x.;
2) Kami melukisnya: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· Cos. x. - Sin. x.· Dosa x.;
3) Ganti satu h. Pada α, yang kedua pada β: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Ulangi secara serupa untuk memulihkan formula untuk jumlah sinus dan jumlah tangen. Dalam kasus yang bertanggung jawab, seperti EGE, periksa keakuratan rumus berkurang pada kuartal pertama yang terkenal: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Memeriksa rumus sebelumnya (diperoleh dengan penggantian baris 3):
biarkan menjadi α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
kemudian cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin 30 ° \u003d 1/2;
Kami mengganti nilai-nilai dalam formula: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, kesalahan tidak terdeteksi.

Formula untuk sudut triple, menurut pendapat saya, tidak perlu "alat". Mereka jarang ditemukan pada ujian EGE. Mereka mudah berasal dari formula yang lebih tinggi, karena sin3α \u003d sin (2α + α). Dan para siswa yang karena alasan tertentu masih perlu mempelajari formula ini dengan hati, saya menyarankan Anda untuk memperhatikan beberapa "simetri" mereka dan ingat bukan formula itu sendiri, tetapi aturan mnemonik mereka. Misalnya, urutan nomornya berada dalam dua formula "33433433", dll.

Grup IV. Jumlah / Perbedaan -

sINα + SINβ \u003d 2 · Dosa α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 · dosa α - β ____ 2· Cos. α + β ____ 2 ;

cOSα + COSβ \u003d 2 · COS α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 · dosa α - β ____ 2· Dosa α + β ____ 2 ;

tGα + TGβ \u003d sin (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tGα - TGβ \u003d sin (α - β) ________ cosα · cosβ .

Menggunakan keakuratan fungsi sinus dan singgung: sIN (-α) \u003d - SIN (α); TG (-α) \u003d - TG (α),
Anda dapat merumuskan perbedaan dua fungsi untuk mengurangi formula untuk jumlahnya. Sebagai contoh,

sIN90º - SIN30º \u003d SIN90º + SIN (-30º) \u003d 2 · SIN 90º + (-30º) __________ 2· Cos. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Dengan demikian, rumus perbedaan sinus dan singgung tidak selalu segera menghafal.
Dengan jumlah dan perbedaan cosinus, situasinya lebih rumit. Rumus ini tidak dapat dipertukarkan. Tetapi sekali lagi, menggunakan paritas cosinus, Anda dapat mengingat aturan berikut.

Jumlah COSα + COSβ tidak dapat mengubah tanda untuk setiap perubahan pada tanda-tanda sudut, sehingga produk juga harus terdiri dari fungsi genap, I.E. Dua cosinus.

Tanda perbedaan COSαα cosβ tergantung pada nilai-nilai fungsi itu sendiri, yang berarti tanda kerja harus tergantung pada korelasi sudut, sehingga produk harus terdiri dari fungsi ganjil, I.E. dua sinus.

Namun demikian, kelompok formula ini bukan yang paling mudah dihafal. Ini adalah kasus ketika lebih baik dipertajam, tetapi lebih banyak cek. Untuk mencegah kesalahan dalam formula dalam ujian yang diberikan, pastikan untuk mencatatnya pada draft dan periksa dengan dua cara. Penggantian pertama β \u003d α dan β \u003d -α, kemudian dengan nilai fungsi yang diketahui untuk sudut sederhana. Untuk melakukan ini, yang terbaik adalah mengambil 90º dan 30º, seperti yang dilakukan pada contoh di atas, karena setengah diet dan sedimentalitas nilai-nilai ini, sekali lagi memberikan sudut sederhana, dan Anda dapat dengan mudah melihat bagaimana kesetaraan menjadi identitas opsi yang benar. Atau, sebaliknya, tidak dieksekusi jika Anda salah.

Contohcek formula cosα - cosβ \u003d 2 · dosa α - β ____ 2· Dosa α + β ____ 2 Untuk perbedaan cosinees dengan kesalahan !

1) Biarkan β \u003d α, kemudian cosα - cosα \u003d 2 · dosa α - α _____ 2· Dosa α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · sinα \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) biarkan β \u003d - α, kemudian cosα - cos (- α) \u003d 2 · dosa α - (-α) _______ 2· Dosa α + (-α) _______ 2 2 \u003d 2sinα · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Pemeriksaan ini menunjukkan bahwa fungsi dalam rumus digunakan dengan benar, tetapi karena fakta bahwa identitas memperoleh tipe 0 ≡ 0, kesalahan dengan tanda atau koefisien dapat dilewatkan. Kami membuat pemeriksaan ketiga.

3) Biarkan α \u003d 90º, β \u003d 30º, lalu cos90º - cos30º \u003d 2 · dosa 90º - 30º º______ 2· Dosa 90º + 30º ________ 2 \u003d 2SIN30º · sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Kesalahannya benar-benar ada di tanda dan hanya dalam tanda sebelum pekerjaan.

V band. Bekerja - dalam jumlah / perbedaan

sinα · sinβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Nama kelompok formula kelima itu sendiri menunjukkan bahwa formula ini terbalik sehubungan dengan kelompok sebelumnya. Jelas bahwa dalam hal ini lebih mudah untuk memulihkan rumus pada draft, daripada mempelajarinya lagi, meningkatkan risiko menciptakan "bubur di kepala". Satu-satunya hal yang masuk akal untuk fokus untuk pemulihan formula yang lebih cepat, ini adalah persamaan berikut (periksa):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Mempertimbangkan contoh: perlu mengubah sin5 x.· Cos3. x. dalam jumlah dua fungsi trigonometri.
Karena pekerjaan itu termasuk sinus, dan cosinus, maka kita ambil dari kelompok sebelumnya formula untuk jumlah sinus, yang sudah dipelajari, dan menuliskannya pada draft.

sINα + SINβ \u003d 2 · Dosa α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2

Biarkan 5. x. = α + β ____ 2 dan 3. x. = α - β ____ 2 , lalu α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Kami mengganti dalam rumus pada draft nilai-nilai sudut, yang diekspresikan melalui variabel α dan β, pada nilai-nilai sudut, dinyatakan melalui variabel x..
Menerima sin8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· Cos3. x.

Kami membagi kedua bagian dari keadilan untuk 2 dan menuliskannya ke final ke kanan kiri sin5. x.· Cos3. x. = 1 _ 2 (SIN8. x. + SIN2. x.). Jawabannya sudah siap.

Grup VI. Rumus reduksi derajat

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sIN 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3COSα + COS3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3sinα - sin3α ____________ 4.

Dua formula pertama dari kelompok ini sangat diperlukan. Ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, termasuk tingkat ujian tunggal, serta ketika menghitung integral yang berisi fungsi unsur dari tipe trigonometri.

Mungkin lebih mudah mengingatnya dalam bentuk "satu lantai" berikut
2COS 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 Sin 2 α \u003d 1 - COS2α,
Dan Anda selalu dapat membagi menjadi 2 atau dalam draft.

Kebutuhan untuk menggunakan dua formula berikut (dengan kubus fungsi) pada ujian jauh lebih jarang. Dalam pengaturan lain, Anda akan selalu punya waktu untuk menggunakan draft. Opsi berikut dimungkinkan:
1) Jika Anda ingat dua rumus terakhir dari Grup III, kemudian menggunakannya untuk mengungkapkan Sin 3 α dan COS 3 α dengan transformasi sederhana.
2) Jika dalam dua formula terakhir dari grup ini Anda memperhatikan elemen simetri, yang berkontribusi pada hafalan mereka, kemudian menuliskan sketsa formula pada draft dan periksa dengan nilai-nilai sudut utama.
3) Jika, selain itu rumus pengurangan derajat seperti itu ada, Anda tidak tahu apa-apa tentang mereka, kemudian menyelesaikan masalah secara bertahap, berdasarkan fakta bahwa sin 3 α \u003d sin 2 α · formula yang dipelajari lainnya. Rumus reduksi derajat untuk alun-alun dan rumus untuk transformasi pekerjaan dalam jumlah.

VII Group. Setengah argumen

dosa. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

karena. α _ 2. = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg α _ 2. = ± √ 1 - COSα ________ 1 + cosα._____

Saya tidak melihat intinya dalam menghafal dengan hati kelompok formula ini dalam bentuk di mana mereka disajikan dalam buku teks dan buku referensi. Jika Anda mengerti itu α adalah setengah dari 2α, Bahwa ini cukup untuk dengan cepat mendapatkan formula setengah argumen yang diinginkan, berdasarkan pada dua formula pertama untuk menurunkan derajat.

Ini juga berlaku untuk singgung setengah sudut, rumus yang diperoleh dengan membagi ekspresi untuk sinus ke ungkapan yang sesuai untuk kosinus.

Jangan lupa hanya ketika menghapus akar kuadrat untuk menandatangani tanda ± .

Grup VIII. Substitusi universal

sINα \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);

cosα \u003d. 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Rumus ini mungkin sangat berguna untuk menyelesaikan tugas trigonometri dari semua jenis. Mereka memungkinkan Anda untuk menyadari prinsip "satu argumen adalah satu fungsi", yang memungkinkan Anda untuk mengganti variabel yang mengurangi ekspresi trigonometri kompleks ke aljabar. Tidak heran substitusi ini disebut universal.
Dua formula pertama belajar harus. Yang ketiga dapat diperoleh dengan membagi dua yang pertama satu sama lain dengan definisi TGα Tangent \u003d sINα ___ cosα.

Ix group. Formula klaim.

X grup. Nilai untuk sudut utama.

Jadi lakukanlah keluaran: Rumus trigonometri perlu tahu. Lebih besar lebih baik. Tetapi apa yang harus menghabiskan waktu dan usaha Anda - untuk menghafal formula atau pada pemulihan mereka dalam proses penyelesaian tugas, semua orang harus menyelesaikan secara mandiri.

Contoh tugas menggunakan formula trigonometri

Kami memiliki dua fungsi yang berbeda SIN () dan COS () dan empat! Argumen berbeda 5. x., 3x., 8x. dan 6. x.. Tanpa transformasi pendahuluan, tidak mungkin untuk mengurangi jenis persamaan trigonometri yang paling sederhana. Oleh karena itu, kami pertama kali mencoba mengganti karya pada jumlah atau perbedaan fungsi.
Kami melakukannya dengan cara yang sama seperti pada contoh di atas (lihat bagian).

dosa (5. x. + 3x.) + dosa (5 x. − 3x.) \u003d 2 · SIN5 x.· Cos3. x.
sin8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN5 x.· Cos3. x.

dosa (8. x. + 6x.) + dosa (8 x. − 6x.) \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.
Sin14. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.

Mengekspresikan pekerjaan dari persamaan ini, kami menggantikannya dengan persamaan. Kita mendapatkan:

(SIN8. x. + SIN2. x.) / 2 - (SIN14 x. + SIN2. x.)/2 = 0.

Kami mengalikan 2 dari kedua bagian persamaan, mengungkapkan tanda kurung dan memberikan anggota tersebut

Sin8. x. + SIN2. x. - SIN14. x. - SIN2. x. = 0;
sin8. x. - SIN14. x. = 0.

Persamaan telah disederhanakan secara signifikan, tetapi untuk menyelesaikannya jadi SIN8 x. \u003d Sin14. x., oleh karena itu, 8. x. = 14x. + T, di mana T - periode tidak benar, karena kita tidak tahu nilai periode ini. Oleh karena itu, kami menggunakannya di bagian kanan kesetaraan itu bernilai 0, dengan yang mudah untuk membandingkan pengganda dalam ekspresi apa pun.
Untuk menguraikan sin8. x. - SIN14. x. Untuk pengganda, Anda harus beralih dari perbedaan pada pekerjaan. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan rumus perbedaan sinus, atau lagi rumus jumlah sinus dan keanehan fungsi sinus (lihat contoh di bagian).

sin8. x. - SIN14. x. \u003d Sin8. x. + Sin (-14 x.) \u003d 2 · Dosa 8x. + (−14x.) __________ 2 · Cos. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d dosa (-3 x.) · COS11. x. \u003d -Sin3. x.· COS11. x..

Jadi, persamaan sin8 x. - SIN14. x. \u003d 0 setara dengan persamaan sin3 x.· COS11. x. \u003d 0, yang, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dua persamaan sin3 sederhana x. \u003d 0 dan cos11 x. \u003d 0. Memecahkan yang terakhir, kami mendapatkan dua seri respons
x. 1 \u003d π. n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

Jika Anda telah mendeteksi kesalahan atau khas dalam teks, mohon informasikan kepada alamat email [Dilindungi Email] . Saya akan sangat berterima kasih.

Perhatian, ©. mathematichka.. Penyalinan material langsung di situs lain dilarang. Tautkan tautan.