"Professor Stüartın inanılmaz rəqəmləri". Kitabdan fəsil. Kitab: Professor Stüart Alpinin İnanılmaz Nömrələri Qeyri-fantastik Professor Stüartın İnanılmaz Nömrələri fb2

Dünya rəqəmlərin gücü üzərində qurulub.
Pifaqor

Hətta erkən uşaqlıqda biz saymağı öyrənirik, sonra məktəbdə ədədlər seriyasının qeyri-məhdudluğu, həndəsə elementləri, kəsr və irrasional ədədlər haqqında təsəvvür əldə edirik, cəbr və riyazi analizin başlanğıclarını öyrənirik. Müasir biliklərdə riyaziyyatın rolu, müasir praktik fəaliyyətlərçox böyük.

Riyaziyyat olmasaydı, fizikanın, mühəndisliyin və istehsalın təşkilinin tərəqqisi mümkün olmazdı.
Say, sayma və ya ölçmə nəticələrini ifadə etməyə imkan verən riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. Bütün həyatımızı tənzimləmək üçün rəqəmlərə ehtiyacımız var. Bizi hər yerdə əhatə edirlər: evlərin, maşınların nömrələri, doğum tarixləri, qəbzlər...

Riyaziyyatın dünya şöhrətli populyarlaşdırıcısı, bir çox maraqlı kitabların müəllifi Yan Stüart etiraf edir ki, o, erkən uşaqlıqdan rəqəmlərə valeh olub və “indiyə qədər o, rəqəmlərə heyran olub və onlar haqqında getdikcə daha çox fakt öyrənir”.

Onun yeni kitabının qəhrəmanları rəqəmlərdir. İngilis professorun sözlərinə görə, onların hər birinin özünəməxsus fərdiliyi var. Onlardan bəziləri riyaziyyatın bir çox sahələrində böyük rol oynayır. Məsələn, dairənin çevrəsinin diametrinə nisbətini ifadə edən π ədədi. Lakin müəllifin fikrincə, “ən təvazökar nömrənin belə qeyri-adi xüsusiyyəti var”. Beləliklə, məsələn, heç bir şəkildə 0-a bölmək mümkün deyil, lakin "riyaziyyatın təməlində bir yerdə bütün ədədləri sıfırdan çıxarmaq olar". Ən kiçik müsbət tam ədəd 1-dir. Bu arifmetikanın bölünməz vahididir, yeganədir müsbət rəqəm, daha kiçik müsbət ədədlər əlavə etməklə əldə edilə bilməz. 1-dən saymağa başlayırıq, heç kim 1-ə vurmaqda çətinlik çəkmir. İstənilən ədəd 1-ə vurulanda və ya 1-ə bölünəndə dəyişməz qalır. Bu, belə davranan yeganə nömrədir.
Nəşr ədədi sistemlərin qısa icmalı ilə açılır. Müəllif onların rəqəmlər haqqında insan təsəvvürlərinin dəyişməsi kontekstində necə inkişaf etdiyini göstərir. Əgər uzaq keçmişdə riyazi biliklər gündəlik məsələlərin həlli üçün istifadə olunurdusa, bu gün təcrübə riyaziyyat qarşısında getdikcə daha mürəkkəb vəzifələr qoyur.
Kitabın hər fəsli bir “maraqlı rəqəm”dən bəhs edir. "0", "√2", "-1" fəsilləri var... Ian Stewart'ın kitabını oxuyanda, həqiqətən, rəqəmlər dünyasının necə heyrətamiz olduğunu anlamağa başlayırsan! Təbii ki, müəyyən riyazi biliyi olmayan oxucuya " İnanılmaz rəqəmlər Professor Stüart” anlamaq çətin görünə bilər. Nəşr daha doğrusu, erudit olmağa can atan və ya biliklərini nümayiş etdirmək istəyənlərə ünvanlanıb. Ancaq riyaziyyatı sevirsinizsə və məsələn, super-meqa böyük rəqəmlər və ya meqa-kiçik rəqəmlər haqqında öyrənmək istəyirsinizsə, bu kitab sizin üçündür.

Uorvik Universitetinin riyaziyyat üzrə əməkdar professoru, elmin məşhur təbliğatçısı Yan Stüart rəqəmlərin bəşər tarixindəki roluna və dövrümüzdə onların öyrənilməsinin aktuallığına həsr etmişdir.

Pifaqor hipotenuzası

Pifaqor üçbucaqlarının düz bucağı və tam tərəfləri var. Onlardan ən sadəində ən uzun tərəfin uzunluğu 5, qalanları 3 və 4-dür. Ümumilikdə 5 müntəzəm polihedra var. Beşinci dərəcəli tənliyi beşinci dərəcəli köklərlə - və ya hər hansı digər köklərlə həll etmək olmaz. Müstəvidə və üçölçülü məkanda qəfəslərin beş loblu fırlanma simmetriyası yoxdur, buna görə də kristallarda belə simmetriyalar da yoxdur. Bununla belə, onlar dördölçülü məkanda qəfəslərdə və kvazikristal kimi tanınan maraqlı strukturlarda ola bilərlər.

Ən kiçik Pifaqor üçlüyünün hipotenuzası

Pifaqor teoremində deyilir ki, düzbucaqlı üçbucağın ən uzun tərəfi (məşhur hipotenuza) bu üçbucağın digər iki tərəfi ilə çox sadə və gözəl şəkildə əlaqələndirilir: hipotenuzanın kvadratı digərinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. iki tərəf.

Ənənəvi olaraq biz bu teoremi Pifaqordan sonra adlandırırıq, amma əslində onun tarixi olduqca qeyri-müəyyəndir. Gil lövhələr onu deməyə əsas verir ki, qədim babillilər Pifaqor teoremini Pifaqorun özündən çox əvvəl bilirdilər; Kəşf edənin şöhrətini ona tərəfdarları kainatın ədədi nümunələrə əsaslandığına inanan Pifaqorçuların riyazi kultu gətirdi. Qədim müəlliflər Pifaqorçulara - deməli, Pifaqora - müxtəlif riyazi teoremlər aid edirdilər, lakin əslində Pifaqorun özünün hansı riyaziyyatla məşğul olması barədə heç bir məlumatımız yoxdur. Pifaqorçuların Pifaqor teoremini sübut edə bildiklərini və ya sadəcə olaraq bunun doğru olduğuna inandıqlarını belə bilmirik. Və ya daha çox ehtimal ki, onların həqiqəti haqqında inandırıcı məlumatlar var idi, buna baxmayaraq bu gün sübut hesab etdiyimiz şey üçün kifayət etməzdi.

Pifaqorun sübutu

Pifaqor teoreminin ilk məlum sübutu Evklidin Elementlərində tapılıb. Bu, Viktoriya məktəblilərinin dərhal "Pifaqor şalvarları" kimi tanıyacaqları bir rəsmdən istifadə edərək olduqca mürəkkəb bir sübutdur; rəsm həqiqətən ipdə quruyan alt paltarına bənzəyir. Sözün əsl mənasında yüzlərlə başqa dəlil məlumdur ki, onların əksəriyyəti iddianı daha bariz edir.

Perigalin parçalanması başqa bir tapmacanın sübutudur.

Təyyarədə kvadratların yığılmasından istifadə edərək teoremin sübutu da var. Bəlkə də Pifaqorçular və ya onların naməlum sələfləri bu teoremi belə kəşf ediblər. Əgər əyri kvadratın digər iki kvadratla necə üst-üstə düşdüyünə baxsanız, necə kəsiləcəyini görə bilərsiniz böyük kvadrat parçalara ayırın və sonra iki kiçik kvadrata qatlayın. Siz həmçinin tərəfləri cəlb olunan üç kvadratın ölçülərini verən düzbucaqlı üçbucaqları görə bilərsiniz.

Triqonometriyada oxşar üçbucaqlardan istifadə edən maraqlı sübutlar var. Ən azı əlli müxtəlif dəlil məlumdur.

Pifaqor üçlüyü

Ədədlər nəzəriyyəsində Pifaqor teoremi səmərəli ideyanın mənbəyi oldu: cəbri tənliklərin tam həllərini tapmaq. Pifaqor üçlüyü a, b və c tam ədədlərinin çoxluğudur

a 2 + b 2 = c 2.

Həndəsi olaraq belə bir üçlük müəyyən edir düz üçbucaq tam tərəfləri ilə.

Ən kiçik hipotenuz Pifaqor üçlüyü 5-ə bərabərdir.

Bu üçbucağın digər iki tərəfi 3 və 4-dür. Burada

3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .

Növbəti ən böyük hipotenuz 10-dur, çünki

6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 2 .

Ancaq bu, ikiqat tərəfləri olan eyni üçbucaqdır. Növbəti ən böyük və həqiqətən fərqli hipotenuz 13-dür, bunun üçün

5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2 .

Evklid bilirdi ki, Pifaqor üçlüyünün sonsuz sayda müxtəlif variasiyaları var və o, hamısını tapmaq üçün bir düstur adlandırdı. Daha sonra İsgəndəriyyəli Diophantus, əsasən Evklid ilə eyni olan sadə bir resept təklif etdi.

İstənilən iki natural ədəd götürün və hesablayın:

onların ikiqat məhsulu;

onların kvadratlarının fərqi;

onların kvadratlarının cəmi.

Yaranan üç ədəd Pifaqor üçbucağının tərəfləri olacaq.

Məsələn, 2 və 1 rəqəmlərini götürək. Hesablayın:

ikiqat məhsul: 2 × 2 × 1 = 4;

kvadratların fərqi: 2 2 - 1 2 = 3;

kvadratların cəmi: 2 2 + 1 2 = 5,

və məşhur 3-4-5 üçbucağını əldə etdik. Əvəzində 3 və 2 rəqəmlərini götürsək, alırıq:

ikiqat məhsul: 2 × 3 × 2 = 12;

kvadratların fərqi: 3 2 - 2 2 = 5;

kvadratların cəmi: 3 2 + 2 2 = 13,

və növbəti məşhur üçbucağı 5 - 12 - 13 alırıq. Gəlin 42 və 23 rəqəmlərini götürüb əldə etməyə çalışaq:

ikiqat məhsul: 2 × 42 × 23 = 1932;

kvadratların fərqi: 42 2 - 23 2 \u003d 1235;

kvadratların cəmi: 42 2 + 23 2 = 2293,

1235-1932-2293 üçbucağı haqqında heç kim eşitməmişdir.

Ancaq bu nömrələr də işləyir:

1235 2 + 1932 2 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 2293 2 .

Diophantine qaydasında artıq işarə edilmiş başqa bir xüsusiyyət var: üç rəqəm aldıqdan sonra başqa bir ixtiyari nömrə götürə və hamısını ona vura bilərik. Beləliklə, 3-4-5 üçbucağı bütün tərəfləri 2-yə vurmaqla 6-8-10 üçbucağına və ya hər şeyi 5-ə vurmaqla 15-20-25 üçbucağına çevrilə bilər.

Cəbrin dilinə keçsək, qayda aşağıdakı formanı alır: u, v və k natural ədədlər olsun. Sonra tərəfləri olan düzbucaqlı üçbucaq

2kuv və k (u 2 – v 2) hipotenuza malikdir

Əsas fikri təqdim etməyin başqa yolları da var, lakin onların hamısı yuxarıda təsvir edilənə qədər qaynayır. Bu üsul bütün Pifaqor üçlüyü əldə etməyə imkan verir.

Adi çoxüzlülər

Tam beş müntəzəm çoxüzlü var. Müntəzəm çoxüzlü (və ya çoxüzlü) sonlu sayda düz üzlü üçölçülü fiqurdur. Fasetlər bir-biri ilə kənar adlanan xətlər üzərində birləşir; kənarları təpə adlanan nöqtələrdə birləşir.

Evklid "Başlanğıcları"nın kulminasiya nöqtəsi yalnız beş nizamlı çoxüzlülərin, yəni hər üzün düzgün çoxbucaqlı (bərabər tərəflər, bərabər açılar), bütün üzlər eynidir və bütün təpələr bərabər sayda bərabər məsafədə yerləşən üzlərlə əhatə olunmuşdur. Budur beş müntəzəm çoxüzlülər:

dörd üçbucaqlı üzü, dörd təpəsi və altı kənarı olan tetraedr;

kub və ya altıbucaqlı, 6 kvadrat üzü, 8 təpəsi və 12 kənarı;

8 üçbucaqlı üzü, 6 təpəsi və 12 kənarı olan oktaedr;

12 beşbucaqlı üzü, 20 təpəsi və 30 kənarı olan dodekaedr;

20 üçbucaqlı üzü, 12 təpəsi və 30 kənarı olan ikosahedr.

Təbiətdə müntəzəm çoxüzlülərə də rast gəlmək olar. 1904-cü ildə Ernst Hekkel radiolariyalılar kimi tanınan kiçik orqanizmlərin rəsmlərini nəşr etdi; onların çoxu eyni beş müntəzəm çoxüzlüyə bənzəyir. Ola bilsin ki, o, təbiəti bir az korrektə edib və rəsmlər konkret canlıların formasını tam əks etdirmir. İlk üç quruluş kristallarda da müşahidə olunur. Kristallarda dodekaedr və ikosahedron tapa bilməzsiniz, baxmayaraq ki, nizamsız dodekaedrlər və ikosahedronlar bəzən orada rast gəlinir. Həqiqi dodekaedrlər, atomlarının dövri qəfəs əmələ gətirməməsi istisna olmaqla, hər cəhətdən kristal kimi olan kvazikristal kimi görünə bilər.

Əvvəlcə bir-biri ilə əlaqəli üzlər dəstini kəsərək kağızdan müntəzəm çoxüzlülərin modellərini hazırlamaq maraqlı ola bilər - buna çoxüzlü süpürmə deyilir; tarama kənarları boyunca qatlanır və müvafiq kənarlar bir-birinə yapışdırılır. Şəkildə göstərildiyi kimi, hər bir belə cütün kənarlarından birinə yapışqan üçün əlavə bir sahə əlavə etmək faydalıdır. 39. Belə bir platforma yoxdursa, yapışan lentdən istifadə edə bilərsiniz.

Beşinci dərəcəli tənlik

5-ci dərəcəli tənliklərin həlli üçün cəbri düstur yoxdur.

Ümumiyyətlə, beşinci dərəcəli tənlik belə görünür:

ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0.

Məsələ belə bir tənliyi həll etmək üçün bir düstur tapmaqdır (onun beşə qədər həlli ola bilər). Kvadrat və kub tənlikləri, eləcə də dördüncü dərəcəli tənliklərlə təcrübə göstərir ki, belə bir düstur beşinci dərəcəli tənliklər üçün də mövcud olmalıdır və nəzəri olaraq beşinci, üçüncü və ikinci dərəcəli köklər burada görünməlidir. o. Yenə də əminliklə güman etmək olar ki, belə bir düstur, əgər varsa, çox, çox mürəkkəb olacaq.

Bu fərziyyə sonda yanlış çıxdı. Həqiqətən də belə bir düstur yoxdur; ən azı toplama, çıxma, vurma və bölmə, eləcə də kök götürmə ilə tərtib edilən a, b, c, d, e və f əmsallarından ibarət düstur yoxdur. Beləliklə, 5 rəqəmində çox xüsusi bir şey var. Beşlinin bu qeyri-adi davranışının səbəbləri çox dərindir və onları anlamaq üçün çox vaxt lazım idi.

Problemin ilk əlaməti o idi ki, riyaziyyatçılar belə bir düstur tapmaq üçün nə qədər çalışsalar da, nə qədər ağıllı olsalar da, həmişə uğursuzluğa düçar olmuşlar. Bir müddətdir ki, hamı səbəblərin formulun inanılmaz mürəkkəbliyində olduğuna inanırdı. Hesab olunurdu ki, heç kim bu cəbri düzgün başa düşə bilməz. Lakin zaman keçdikcə bəzi riyaziyyatçılar belə bir formulun hətta mövcud olduğuna şübhə etməyə başladılar və 1823-cü ildə Niels Hendrik Abel bunun əksini sübut edə bildi. Belə bir formula yoxdur. Qısa müddət sonra Evariste Qalua bu və ya digər dərəcədə - 5-ci, 6-cı, 7-ci, ümumiyyətlə hər hansı bir tənliyin bu cür düsturdan istifadə edərək həll edilə biləcəyini müəyyən etmək üçün bir yol tapdı.

Bütün bunlardan nəticə sadədir: 5 rəqəmi xüsusidir. Siz cəbri tənlikləri həll edə bilərsiniz ( n-nin kökləri n) müxtəlif dəyərləri üçün dərəcələr 1, 2, 3 və 4 dərəcələri üçün, lakin 5-ci dərəcə üçün deyil. Bu, aşkar nümunənin bitdiyi yerdir.

5-dən böyük güc tənliklərinin daha pis davranması heç kəsi təəccübləndirmir; xüsusən də eyni çətinlik onlarla bağlıdır: onların həlli üçün ümumi düsturlar yoxdur. Bu o demək deyil ki, tənliklərin həlli yoxdur; bu o demək deyil ki, bu həllərin çox dəqiq ədədi qiymətlərini tapmaq mümkün deyil. Bütün bunlar ənənəvi cəbr alətlərinin məhdudiyyətləri haqqındadır. Bu, xətkeş və kompasla bucağı üçə bölməyin mümkünsüzlüyünü xatırladır. Cavab var, lakin sadalanan üsullar kifayət deyil və bunun nə olduğunu müəyyən etməyə imkan vermir.

Kristaloqrafik məhdudiyyət

İki və üç ölçülü kristallarda 5 şüa fırlanma simmetriyası yoxdur.

Kristaldakı atomlar bir qəfəs, yəni bir neçə müstəqil istiqamətdə dövri olaraq təkrarlanan bir quruluş meydana gətirir. Məsələn, divar kağızı üzərində nümunə rulonun uzunluğu boyunca təkrarlanır; əlavə olaraq, adətən üfüqi istiqamətdə, bəzən bir divar kağızı parçasından digərinə keçidlə təkrarlanır. Əslində, divar kağızı iki ölçülü bir kristaldır.

Təyyarədə 17 növ divar kağızı naxışları var (17-ci fəslə baxın). Onlar simmetriya növlərində, yəni naxışı orijinal vəziyyətində tam olaraq öz üzərində yerləşdirmək üçün sərt şəkildə dəyişdirmə üsullarında fərqlənirlər. Simmetriya növlərinə, xüsusən də fırlanma simmetriyasının müxtəlif variantları daxildir, burada naxış müəyyən bir nöqtə ətrafında - simmetriya mərkəzi ətrafında müəyyən bir açı ilə fırlanmalıdır.

Fırlanma simmetriyasının qaydası, şəklin bütün detallarının orijinal vəziyyətinə qayıtması üçün bədəni tam dairəyə neçə dəfə döndərə biləcəyinizdir. Məsələn, 90° fırlanma 4-cü dərəcəli fırlanma simmetriyasıdır*. Kristal qəfəsdə fırlanma simmetriyasının mümkün növlərinin siyahısı yenidən 5 rəqəminin qeyri-adiliyinə işarə edir: orada yoxdur. 2-ci, 3-cü, 4-cü və 6-cı dərəcəli fırlanma simmetriyasına malik variantlar var, lakin heç bir divar kağızı nümunəsində 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyası yoxdur. Kristallarda 6-dan çox fırlanma simmetriyası da yoxdur, lakin ardıcıllığın ilk pozulması hələ də 5 nömrəsində baş verir.

Eyni şey üçölçülü məkanda kristalloqrafik sistemlərlə də baş verir. Burada qəfəs üç müstəqil istiqamətdə təkrarlanır. 219 müxtəlif simmetriya növü var və ya naxışın güzgüdə əks olunmasını onun ayrıca variantı hesab etsək 230 - üstəlik, bu halda güzgü simmetriyası yoxdur. Yenə 2, 3, 4 və 6-cı sıraların fırlanma simmetriyaları müşahidə edilir, lakin 5 deyil. Bu fakt kristalloqrafik məhdudiyyət adlanır.

Dördölçülü fəzada 5-ci dərəcəli simmetriyaya malik qəfəslər mövcuddur; ümumiyyətlə, kifayət qədər yüksək ölçülü qəfəslər üçün fırlanma simmetriyasının əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı bir qaydası mümkündür.

Kvazikristallar

2D və 3D qəfəslərdə 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyası mümkün olmasa da, kvazikristal kimi tanınan bir qədər daha az nizamlı strukturlarda mövcud ola bilər. Keplerin eskizlərindən istifadə edərək, Rocer Penrose daha ümumi tipli beşqat simmetriyaya malik düz sistemləri kəşf etdi. Onlara kvazikristallar deyilir.

Təbiətdə kvazikristallar mövcuddur. 1984-cü ildə Daniel Shechtman kəşf etdi ki, alüminium və manqan ərintisi kvazi-kristallar əmələ gətirə bilər; Əvvəlcə kristalloqraflar onun mesajını bir qədər şübhə ilə qarşıladılar, lakin sonradan kəşf təsdiqləndi və 2011-ci ildə Şextman mükafata layiq görüldü. Nobel mükafatı kimya üzrə. 2009-cu ildə Luka Bindinin rəhbərlik etdiyi alimlər qrupu Rusiyanın Koryak dağlarından olan mineralda - alüminium, mis və dəmir birləşməsində kvazi-kristallar aşkar ediblər. Bu gün bu mineral ikosahedrit adlanır. Mineraldakı müxtəlif oksigen izotoplarının miqdarını kütlə spektrometri ilə ölçən alimlər bu mineralın Yer kürəsində yaranmadığını göstəriblər. Təxminən 4,5 milyard il əvvəl, bir vaxtda meydana gəldi günəş sistemi körpəlik dövründə idi və vaxtının çoxunu Günəşin orbitində fırlanan asteroid qurşağında bəzi narahatlıqlar onun orbitini dəyişib nəhayət Yerə gətirənə qədər keçirdi.

1-dən 10-a qədər rəqəmlərlə məşğul olduqdan sonra bir addım geri çəkilib 0-ı nəzərdən keçirəcəyik.
Sonra -1 almaq üçün daha bir addım geri.
Bu, bizim üçün bütün mənfi rəqəmlər dünyasını açır. Həmçinin nömrələr üçün yeni istifadələri göstərir.
İndi onlar yalnız hesab üçün lazım deyil.

0. Heç nə - bu nömrədir, ya yox?

Sıfır ilk dəfə yazı nömrələri sistemlərində meydana çıxdı və məhz bunun üçün - qeyd üçün, yəni qeyd üçün nəzərdə tutulmuşdu. Yalnız sonradan sıfır müstəqil ədəd kimi tanındı və onun yerini - riyazi say sisteminin fundamental komponentlərindən birinin yerini tutmağa icazə verildi. Bununla belə, sıfır bir çox qeyri-adi, bəzən paradoksal xüsusiyyətlərə malikdir. Xüsusilə, heç bir ağlabatan şəkildə heç bir şeyi 0-a bölmək qeyri-mümkündür.Və dərin bir yerdə, riyaziyyatın ən təməlində, bütün ədədlər 0-dan əldə edilə bilər.

Nömrə sistemi cihazı

Bir çox qədim mədəniyyətlərdə 1, 10 və 100 simvolları heç bir şəkildə bağlı deyildi. Məsələn, qədim yunanlar 1-dən 9-a, 10-dan 90-a və 100-dən 900-ə qədər rəqəmləri təmsil etmək üçün öz əlifbalarının hərflərindən istifadə edirdilər. Bu sistem çaşqınlıq yaradır, baxmayaraq ki, kontekstdən hərfin tam olaraq nəyi ifadə etdiyini anlamaq adətən asan olur. : faktiki hərf və ya rəqəm. Lakin əlavə olaraq belə bir sistem hesab əməliyyatlarını çox çətinləşdirirdi.

Ədədlərin yerləşdiyi yerdən asılı olaraq eyni rəqəm müxtəlif ədədlər mənasını verdikdə bizim ədədlərin yazılması üsulumuz mövqe qeydi adlanır (10-cu fəslə baxın). Bu sistemin kağız üzərində "sütunla" hesablanması üçün çox ciddi üstünlükləri var və son vaxtlara qədər dünyada əksər hesablamalar belə aparılırdı. Mövqe qeydləri ilə bilmək lazım olan əsas şey on simvolun 0-9-a əlavə edilməsi və vurulması üçün əsas qaydalardır. Bu nümunələr eyni nömrələr başqa mövqelərdə olduqda da tətbiq olunur.
Məsələn,
23 + 5 = 28   230 + 50 = 280   2300 + 500 = 2800.

Ancaq qədim yunan notasında ilk iki nümunə belə görünür:
κγ + ε = κη     σλ + ν = σπ,
və onların arasında heç bir aşkar oxşarlıq yoxdur.

Bununla birlikdə, mövqe qeydinin daha bir əlavə xüsusiyyəti var, xüsusən də 2015 nömrəsində özünü göstərir: null simvoluna ehtiyac. Belə olan halda sayda yüzlərlə olmadığını deyir. Yunan notasiyasında null simvoluna ehtiyac yoxdur. σπ ədədində deyək ki, σ 200, π isə 80 deməkdir. Sadəcə olaraq ədəddə heç bir α - θ simvolu olmadığına əmin ola bilərik. Null simvolundan istifadə etmək əvəzinə, biz sadəcə olaraq nömrədə heç bir simvol yazmırıq.

Əgər biz onluqda eyni şeyi etməyə çalışsaq, 2015-ci il 215-ə çevrilir və belə bir rəqəmin tam olaraq nə demək olduğunu deyə bilmərik: 215, 2150, 2105, 2015 və ya bəlkə də 2.000.150. Mövqe sisteminin ilk versiyalarında a. boşluq istifadə edildi. , 2 15, lakin boşluq qaçırmaq asandır və ard-arda iki boşluq sadəcə bir az daha uzun yerdir. Beləliklə, qarışıqlıq var və səhv etmək həmişə asandır.

Sıfırın Qısa Tarixi

Babil

Babillilər dünya mədəniyyətləri arasında “burada heç bir rəqəm yoxdur” mənasını verən bir simvolu ilk dəfə tapdılar. Yadınıza salın (10-cu fəslə baxın) Babil say sisteminin əsası 10 deyil, 60 idi. e.ə e. bunun üçün xüsusi bir simvol icad etdilər. Lakin babillilər deyəsən bu simvolu həqiqi rəqəm hesab etmirdilər. Üstəlik, bu simvol rəqəmin sonunda buraxıldı və onun mənasını kontekstdən təxmin etmək lazım idi.

Hindistan

Baza 10 say sistemində nömrələrin mövqe qeydi ideyası ilk dəfə 458-ci il tarixli Jain kosmoloji mətni olan Lokavibhaga-da ortaya çıxdı. şunya(bu, "boşluq" deməkdir) 0-ı qoyacağımız yerə. 498-ci ildə məşhur hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhata ədədlərin mövqe qeydini "yerdən sonra yer, hər birinin miqyası 10 dəfə böyük" kimi təsvir etmişdir. Əminliklə demək olar ki, ondalıq 0 üçün xüsusi simvoldan ilk istifadə 876-cı ildə, Qvaliordakı Çaturbhuja məbədindəki yazıdadır; bu simvolu təmsil edir - düşün nə? Kiçik dairə.

Mayya

250 ilə 900 arasında zirvəsinə çatan Mərkəzi Amerika Maya sivilizasiyası vigesimal say sistemindən istifadə etdi və sıfır üçün xüsusi bir simvola sahib idi. Əslində, bu üsul çox daha əvvəl yaranıb və güman edilir ki, Olmeklər (e.ə. 1500-400) tərəfindən icad edilmişdir. Bundan əlavə, mayyalar öz təqvim sistemində nömrələrdən fəal şəkildə istifadə edirdilər, onların qaydalarından biri “uzun sayma” adlanırdı. Bu, müasir Qərb təqviminə görə eramızdan əvvəl 3114-cü il avqustun 11-nə düşəcək dünyanın mifik yaranma tarixindən sonrakı günlərlə tarixin hesablanması demək idi. e. Bu sistemdə null simvolu mütləq lazımdır, çünki onsuz qeyri-müəyyənlikdən qaçmaq mümkün deyil.

Sıfır rəqəmdir?

9-cu əsrə qədər sıfır əlverişli hesab olunurdu simvoluədədi hesablamalar üçün, lakin özlüyündə ədəd sayılmırdı. Ola bilsin ki, hesablamada istifadə olunmayıb.

Nə qədər inəyiniz olduğunu soruşsalar - inəkləriniz də var - növbə ilə hər birini göstərib sayırsınız: “Bir, iki, üç...” Amma inəkləriniz yoxdursa, göstərməyəcəksiniz. bir inəyə və deyin: "Boş" - çünki işarə edəcək bir şeyiniz yoxdur. 0 heç vaxt sayılmadığı üçün, açıq-aydın rəqəm deyil.

Əgər belə bir mövqe sizə qəribə görünürsə, qeyd etmək lazımdır ki, hətta əvvəllər “bir” də rəqəm hesab edilmirdi. Bəzi dillərdə “nömrə” sözü həm də “bir neçə” və ya hətta “çox” mənasındadır. Demək olar ki, bütün müasir dillərdə tək və cəm arasında fərq var. Qədim yunan dilində "ikili" nömrə də var idi və iki obyekt və ya şəxs haqqında söhbətdə sözlərin xüsusi formalarından istifadə olunurdu. Beləliklə, bu mənada "iki" bütün digərləri ilə eyni rəqəm hesab edilmirdi. Eyni hal bir neçə başqalarında da müşahidə olunur klassik dillər və hətta Şotlandiya Qael və ya Sloven kimi bəzi müasir dillərdə. Eyni formaların izləri ingilis dilində görünür, burada "hər ikisi" ( hər ikisi) və "hamısı" ( hamısı) fərqli sözlərdir.

Sıfır simvol kimi daha geniş istifadə olunmağa başladıqca və həqiqətən də ədədlər təkcə saymaq üçün deyil, istifadə olunmağa başladıqca aydın oldu ki, bir çox cəhətdən sıfır hər hansı digər rəqəm kimi davranır. 9-cu əsrə qədər Hindistan riyaziyyatçıları artıq sıfırı yalnız bir simvol deyil, real rəqəm hesab edirdilər ki, bu da aydınlıq üçün digər simvollar arasında boşluqları işarələmək üçün əlverişlidir. Gündəlik hesablamalarda sıfırdan sərbəst istifadə olunurdu.

1, 2, 3 ... rəqəmlərinin soldan sağa sıra ilə yazıldığı say sətirində heç kim sıfırı hara qoymaqda çətinlik çəkmir: 1-in soluna. Səbəb kifayət qədər aydındır: 1-i əlavə etmək. istənilən nömrəyə bir addım sağa keçir. 1-in 0-a əlavə edilməsi onu 1-ə dəyişir, ona görə də 0 bir addım sağa 1-ə bərabər olan yerə yerləşdirilməlidir. Və bu, 1-dən bir addım sola getmək deməkdir.

Mənfi ədədlərin tanınması nəhayət real ədədlər silsiləsində sıfırın yerini müəyyən etdi. Heç kim mübahisə etmədi ki, 3 rəqəmdir. Əgər −3-ün də bir ədəd olduğunu qəbul etsək və iki ədədin toplanması həmişə ədədlə nəticələnir, onda 3 + (−3) rəqəminin nəticəsi ədəd olmalıdır. Və rəqəm 0-dır.

Qeyri-adi Xüsusiyyətlər

Mən "bir çox cəhətdən sıfır hər hansı digər nömrə kimi davranır" dedim. Çoxlarında, amma hamısında deyil. Sıfır xüsusi bir rəqəmdir. Xüsusi olmalıdır, çünki müsbət və mənfi ədədlər arasında səliqəli şəkildə sıxılmış tək bir nömrədir.

Aydındır ki, istənilən ədədə 0 əlavə etməklə həmin rəqəm dəyişməyəcək. Üç inəyim olsa və heç birini əlavə etməsəm, yenə də üç inəyim olacaq. Etiraf etmək lazımdır ki, bu kimi qəribə hesablamalar da var:

Bir pişiyin bir quyruğu var.
Heç bir pişiyin səkkiz quyruğu yoxdur.
Buna görə əlavə edin:
Bir pişiyin doqquz quyruğu var.

Bu kiçik zarafat mənfi "Xeyr"in müxtəlif oxunuşlarında oynayır.

Sıfırın bu xüsusi xüsusiyyəti 0 + 0 = 0 və deməli -0 = 0 olduğunu nəzərdə tutur. Sıfır öz əksidir. Bu, yeganə belə rəqəmdir və bu, dəqiq ona görə baş verir ki, sıfır rəqəm xəttində müsbət və mənfi ədədlər arasında sıxışdırılıb.

Bəs vurma? Əgər vurmağı ardıcıl toplama hesab etsək, onda
2 x 0 = 0 + 0 = 0
3 x 0 = 0 + 0 + 0 = 0
4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0,
və buna görə də
n× 0 = 0
istənilən nömrə üçün n. Yeri gəlmişkən, bunun maliyyə məsələlərində də mənası var: hesabıma üç dəfə sıfır rubl qoysam, sonda ora heç nə qoymayacağam. Yenə də sıfır bu xüsusiyyətə malik olan yeganə rəqəmdir.

Arifmetikada m × n bərabərdir n × m bütün nömrələr üçün n Və m. Bu müqavilə o deməkdir ki
0 × n = 0
hər kəs üçün n, baxmayaraq ki, biz "sıfır dəfə" əlavə edə bilmərik n.

Bölmə ilə nə var? Sıfırı sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək sadə və aydındır: sıfır alınır. Heç bir şeyin yarısı, üçdə biri və ya başqa bir hissəsi heç bir şey deyil. Amma ədədi sıfıra bölmək məsələsinə gəldikdə, sıfırın qəribəliyi işə düşür. Məsələn, 1:0 nədir? müəyyən edirik m : n nömrə kimi q, bunun üçün ifadə doğrudur q × n = m. Beləliklə, 1:0 belədir q, hansı üçün q× 0 = 1. Ancaq belə bir rəqəm yoxdur. Nə kimi qəbul ediriksə q, alırıq q× 0 = 0. Və biz heç vaxt vahidləri almayacağıq.

Bu problemi həll etməyin bariz yolu onu təbii qəbul etməkdir. Sıfıra bölmək qeyri-qanunidir, çünki mənası yoxdur. Digər tərəfdən, fraksiyaların tətbiqindən əvvəl 1: 2 ifadəsinin də mənası olmadığına inanılırdı, ona görə də bəlkə də bu qədər tez təslim olmayaq. Sıfıra bölmək imkanı verən yeni bir rəqəm tapmağa cəhd edə bilərik. Problem ondadır ki, belə bir rəqəm hesabın əsas qaydalarını pozur. Məsələn, 1 × 0 = 2 × 0 olduğunu bilirik, çünki hər ikisi fərdi olaraq sıfırdır. Hər iki hissəni 0-a bölmək, 1 = 2 alırıq, bu, açıq şəkildə gülüncdür. Beləliklə, sıfıra bölünməyə icazə verməmək ağlabatan görünür.

yoxdan gələn nömrələr

“Heç nə” anlayışına bəlkə də ən yaxın olan riyazi anlayış çoxluq nəzəriyyəsində tapıla bilər. Bir dəstə riyazi obyektlərin müəyyən toplusudur: ədədlər, həndəsi fiqurlar, funksiyalar, qrafiklər... Çoxluq onun elementlərinin sadalanması və ya təsviri ilə müəyyən edilir. "2, 4, 6, 8 ədədləri çoxluğu" və "1-dən böyük və 9-dan kiçik cüt ədədlər çoxluğu" sadalamaqla yarada biləcəyimiz eyni çoxluğu müəyyən edir: (2, 4, 6, 8),
burada əyri mötərizələr () çoxluğun elementlərinin içərisində olduğunu göstərir.

Təxminən 1880-ci ildə alman riyaziyyatçısı Kantor inkişaf etdi ətraflı nəzəriyyə dəstləri. O, hesablamanın funksiyaların kəsilmə nöqtələri ilə bağlı bəzi texniki aspektlərini - funksiyanın gözlənilməz sıçrayışlar etdiyi yerləri anlamağa çalışırdı. Çoxsaylı fasilələrin strukturu onun cavabında mühüm rol oynamışdır. Eyni zamanda, vacib olan fərdi fasilələr deyil, onların bütün dəsti idi. Cantoru təhlillə bağlı həqiqətən maraqlandıran şey sonsuz böyük dəstlər idi. O, ciddi bir kəşf etdi: sonsuzluqların eyni olmadığını öyrəndi - bəziləri daha böyük, digərləri daha kiçikdir (bax ℵ 0 fəsli).

“Rəqəm nədir?” bölməsində qeyd etdiyim kimi, Kantorun fikirlərini başqa bir alman riyaziyyatçısı Frege götürdü, lakin o, sonlu çoxluqlarla daha çox maraqlanırdı. O hesab edirdi ki, onların köməyi ilə rəqəmlərin təbiəti ilə bağlı qlobal fəlsəfi problemi həll etmək olar. O, dəstlərin bir-biri ilə necə əlaqəli olduğunu düşündü: məsələn, neçə fincanın bir çox nəlbəki ilə əlaqəli olması. Həftənin yeddi günü, yeddi cırtdan və 1-dən 7-yə qədər rəqəmlər bir-birinə mükəmməl uyğun gəlir, buna görə də hamısı eyni sayda müəyyən edilir.

Yeddi rəqəmini təmsil etmək üçün aşağıdakı çoxluqlardan hansını seçməliyik? Bu suala cavab verən Frege, xırda-xırda işlərə vaxt itirmədi: hamısı birdən. O, ədədi verilmiş çoxluğa uyğun gələn bütün dəstlərin çoxluğu kimi təyin etdi. Bu vəziyyətdə heç bir dəstə üstünlük verilmir və seçim təsadüfi və ya özbaşına deyil, birmənalı şəkildə aparılır. Simvollarımız və nömrə adlarımız bu nəhəng massivlər üçün sadəcə əlverişli etiketlərdir. "Yeddi" rəqəmi bir çoxluqdur hamısı gnomlara ekvivalent dəstlərdir və bu, həftənin günlərinə və ya siyahıya (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) ekvivalent olan bütün dəstlər dəsti ilə eynidir.

Bunun çox zərif bir həll olduğunu qeyd etmək yəqin ki, lazımsızdır. konseptual Problem bizə ədədləri təmsil etmək üçün ağlabatan sistem baxımından konkret heç nə vermir.

Frege öz fikirlərini iki cildlik “Arifmetikanın Əsas Qanunları”nda (1893 və 1903) təqdim edəndə çoxlarına elə gəlirdi ki, o, problemi həll etməyə nail olub. İndi hər kəs nömrənin nə olduğunu bilirdi. Lakin ikinci cild çıxmazdan bir az əvvəl Bertrand Russell Fregeyə məktub yazdı (mən deyəcəyəm): "Hörmətli Qotlob, özündə olmayan bütün dəstlərin çoxluğunu nəzərdən keçirin." Özünü qırxmayanı təraş edən kənd bərbərinə bənzəyir; Bu tərif ziddiyyət yaradır. Rasselin paradoksu, indi deyildiyi kimi, hər şeyi əhatə edən çoxluqların mövcud olduğunu güman etməyin nə qədər təhlükəli olduğunu göstərdi (bax ℵ 0 fəsli).

Riyazi məntiqçilər problemi həll etməyə çalışdılar. Cavab Fregenin "geniş düşüncəsinin" və bütün mümkün dəstləri bir yığına atmaq siyasətinin tam əksi oldu. Hiylə bütün mümkün dəstlərdən birini seçmək idi. 2 rəqəmini müəyyən etmək üçün iki elementdən ibarət standart dəst qurmaq lazım idi. 3-ü müəyyən etmək üçün üç elementli standart dəstdən istifadə edə bilərsiniz və s. Əgər bu çoxluqlar əvvəlcə rəqəmlərdən açıq şəkildə istifadə edilmədən qurularsa və yalnız bundan sonra onlara ədədi simvollar və adlar təyin edilərsə, burada məntiq dövrlərlə getmir.

Əsas problem istifadə ediləcək standart dəstlərin seçimi idi. Onlar birmənalı və özünəməxsus şəkildə müəyyən edilməli və strukturları sayma prosesi ilə müəyyən şəkildə əlaqələndirilməli idi. Cavab boş dəst kimi tanınan çox xüsusi dəstdən gəldi.

Sıfır ədəddir, bütün say sistemimizin əsasıdır. Buna görə də, müəyyən bir çoxluğun elementlərini sadalamaq üçün istifadə edilə bilər. Hansı dəst? Yaxşı, heç bir elementi olmayan bir dəst olmalıdır. Belə bir dəsti tapmaq asandır: məsələn, "hər biri 20 tondan çox olan bütün siçanların dəsti" olsun. Riyaziyyatın dili ilə desək, bu o deməkdir ki, içində bir element də olmayan çoxluq var: boş çoxluq. Riyaziyyatda misal tapmaq da asandır: 4-ün qatları olan sadə ədədlər çoxluğu və ya dörd təpəsi olan bütün üçbucaqlar çoxluğu. Bu çoxluqlar fərqli görünür - birinə ədədlər, digər üçbucaqlar daxildir - lakin əslində onlar bir və eyni çoxluqdur, çünki belə ədədlər və üçbucaqlar əslində mövcud deyil və çoxluqlar arasında fərq qoymaq sadəcə mümkün deyil. Bütün boş dəstlər eyni elementləri ehtiva edir: yəni heç biri. Buna görə də boş dəst unikaldır. Bunun simvolu 1939-cu ildə Bourbaki ümumi təxəllüsü ilə işləyən bir qrup alim tərəfindən təqdim edilmişdir və belə görünür: ∅. Çoxluq nəzəriyyəsi boş çoxluğa arifmetikanın 0 rəqəminə ehtiyacı olduğu kimi lazımdır: əgər onu daxil etsəniz, hər şey çox sadələşər.

Bundan əlavə, 0-ın boş çoxluq olduğunu müəyyən etmək olar.

Bəs 1 nömrə? İntuitiv olaraq aydındır ki, burada bizə tam olaraq bir elementdən ibarət və unikal dəst lazımdır. Yaxşı... boş dəst tək və unikaldır. Beləliklə, biz 1-i yeganə elementi boş çoxluq olan çoxluq kimi təyin edirik: simvolik dildə (∅). Bu, boş çoxluqla eyni deyil, çünki çoxluğun bir elementi var, boş dəstdə isə yoxdur. Razıyam ki, bu tək element boş çoxluqdur, belə oldu, amma yenə də bu element çoxluqda mövcuddur. Dəsti elementləri olan kağız çanta kimi düşünün. Boş dəst boş paketdir. Yeganə elementi boş dəst olan çoxluq başqa bir boş paketi ehtiva edən paketdir. Özünüz görə bilərsiniz ki, bu eyni şey deyil - bir paketdə heç bir şey yoxdur, digərində isə paket var.

Əsas addım 2 rəqəmini müəyyən etməkdir. Biz unikal şəkildə iki elementdən ibarət müəyyən dəsti əldə etməliyik. Bəs niyə indiyə qədər qeyd etdiyimiz yalnız iki dəsti istifadə etməyək: ∅ və (∅)? Buna görə də 2-ni (∅, (∅)) çoxluğu kimi təyin edirik. Və bu, bizim təriflərimizə görə, 0, 1 ilə eynidir.

İndi ümumi bir model yaranmağa başlayır. 3 = 0, 1, 2 - artıq müəyyən etdiyimiz üç elementdən ibarət çoxluğu təyin edək. Sonra 4 = 0, 1, 2, 3; 5 = 0, 1, 2, 3, 4 və s. Hər şey, əgər onu sıralasanız, boş dəstinə qayıdır. Məsələn,
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.

Gnomların sayının necə göründüyünü görmək istəməyiniz çətin deyil.

Buradakı tikinti materialları abstraksiyalardır: boş çoxluq və onun elementlərini sadalamaqla çoxluq yaratmaq aktı. Lakin bu çoxluqların bir-biri ilə əlaqəsi say sistemi üçün ciddi çərçivənin yaradılmasına gətirib çıxarır ki, burada hər bir nömrə xüsusi çoxluqdur və (intuitiv olaraq) məhz bu sayda elementə malikdir. Və hekayə bununla bitmir. Təbii ədədləri müəyyən etdikdən sonra, mənfi ədədləri, kəsrləri, həqiqi ədədləri (sonsuz onluqları), kompleks ədədləri və sairləri təyin etmək üçün çoxluq nəzəriyyəsi ilə oxşar fəndlərdən istifadə edə bilərik, kvant nəzəriyyəsində ən müasir dahiyanə riyazi anlayışa qədər.

Beləliklə, indi siz riyaziyyatın dəhşətli sirrini bilirsiniz: onun əsasında heçlik dayanır.

-1. Heç bir şeydən az

Bir ədəd sıfırdan kiçik ola bilərmi? İnəkləri saymaqla, kiməsə borclu olduğunuz "virtual inəkləri" təsəvvür etməyincə, belə bir şey əldə etməyəcəksiniz. Bu halda, siz cəbrçilərin və mühasiblərin həyatını xeyli asanlaşdıracaq rəqəm anlayışının təbii uzantısına sahib olacaqsınız. Eyni zamanda, sizi sürprizlər gözləyir: minus bir minus bir artı verir. Niyə?

Mənfi rəqəmlər

Rəqəmləri əlavə etməyi öyrəndikdən sonra tərs əməliyyatı mənimsəməyə başlayırıq: çıxma. Məsələn, cavabda 4 - 3, 3-ə əlavə olunduqda, 4 verəcək rəqəmi verir. Bu, əlbəttə ki, 1-dir. Çıxarma faydalıdır, çünki onsuz, məsələn, necə olduğunu bilmək bizim üçün çətindir. Əvvəldə 4 rublumuz olsaydı və 3 rubl xərcləsəydik, çox pulumuz qalacaq.

Böyük rəqəmdən kiçik ədədi çıxarmaq demək olar ki, heç vaxt problem yaratmır. Əgər cibimizdə və ya pul kisəsində olandan daha az pul xərcləmişiksə, deməli, hələ də bir şeyimiz qalıb. Bəs kiçikdən daha böyük rəqəmi çıxarsaq nə olar? 3 - 4 nədir?

Əgər cibinizdə 1 rublluq üç qəpik varsa, o zaman cibinizdən dörd belə sikkə çıxarıb supermarketdəki kassaya verə bilməyəcəksiniz. Amma bu gün kredit kartları ilə hər kəs əlində olmayan pulları asanlıqla xərcləyə bilər və nəinki cibində, hətta bank hesabında da yoxdur. Belə olanda insan borclanır. Bu halda, borc bank faizlərini nəzərə almadan 1 rubl təşkil edəcəkdi. Beləliklə, müəyyən mənada 3 − 4 1-ə bərabərdir, lakin başqa 1: Pul deyil, borc vahidi. 1-in əksi olsaydı, bu, sadəcə olaraq olardı.

Borcu nağd puldan ayırmaq üçün nömrənin qarşısına mənfi işarə qoymaq adətdir. Belə bir rekordda
3 − 4 = −1,
və biz icad etdiyimizi güman edə bilərik yeni tip nömrələri: mənfi nömrə.

Mənfi ədədlərin tarixi

Tarixən say sisteminin ilk böyük genişlənməsi kəsrlər olmuşdur (bax: ½ fəsli). İkinci mənfi rəqəmlər idi. Bununla belə, mən bu tip nömrələrlə tərs qaydada məşğul olmaq niyyətindəyəm. Mənfi rəqəmlərə məlum olan ilk istinad Han sülaləsindən (e.ə. 202 - eramızdan əvvəl 220) "Doqquz bölmədə sayma sənəti" ("Ju Zhang Xuan Shu") adlı Çin sənədindədir.

Bu kitabda saymaq üçün fiziki "köməkçi" istifadə olunurdu: saymaq üçün çubuqlar. Bunlar ağacdan, sümükdən və ya digər materiallardan hazırlanmış kiçik çubuqlardır. Rəqəmləri təmsil etmək üçün çubuqlar qoyuldu müəyyən rəqəmlər. Ədədin vahid rəqəmində üfüqi xətt “bir”, şaquli xətt isə “beş” deməkdir. Yüzüncü yerdəki rəqəmlər eyni görünür. Onluq və minlik rəqəmlərində çubuqların istiqamətləri tərsinə çevrilir: şaquli "bir", üfüqi isə "beş" deməkdir. 0 qoyacağımız yerdə çinlilər sadəcə boşluq buraxdılar; lakin, boşluq qaçırmaq asandır, bu halda istiqamətlərin dəyişdirilməsi qaydası, məsələn, on hissədə heç bir şey olmadığı təqdirdə çaşqınlığın qarşısını almağa kömək edir. Nömrə ardıcıl olaraq bir neçə sıfırdan ibarətdirsə, bu üsul daha az effektivdir, lakin bu nadir haldır.

“Doqquz bölmədə sayma sənəti” əsərində mənfi ədədləri göstərmək üçün də çubuqlardan istifadə olunurdu və çox sadə bir şəkildə: qırmızı deyil, qara rəngə boyanırdı. Belə ki
4 qırmızı çubuq minus 3 qırmızı çubuq 1 qırmızı çubuğa bərabərdir,
Amma
3 qırmızı çubuq minus 4 qırmızı çubuq 1 qara çubuğa bərabərdir.

Beləliklə, qara çubuqların rəqəmi borc deməkdir, borcun məbləği isə qırmızı çubuqların rəqəmlərinə uyğundur.

Hindistan riyaziyyatçıları mənfi ədədləri də tanıyırdılar; əlavə olaraq, onlarla hesab əməliyyatları yerinə yetirmək üçün ardıcıl qaydalar düzəltdilər.

Təxminən 3-cü əsrə aid Baxşəli əlyazmasında mənfi rəqəmlərlə hesablamalar var ki, onları başqalarından istifadə edəcəyimiz yerlərdə + işarəsi ilə fərqləndirmək olar. (Riyazi simvollar zamanla dəfələrlə dəyişir, bəzən elə olur ki, onlarda çaşqınlıq bizim üçün təəccüblü deyil.) İdeya ərəb riyaziyyatçıları tərəfindən götürüldü və onlardan tədricən bütün Avropaya yayıldı. 17-ci əsrə qədər Avropa riyaziyyatçıları adətən mənfi cavabı sözügedən problemin həlli olmadığının sübutu kimi şərh edirdilər, lakin Fibonaççi artıq başa düşürdü ki, maliyyə hesablamalarında borcları təmsil edə bilərlər. 19-cu əsrə qədər mənfi ədədlər artıq riyaziyyatçıları qorxutmur və onları çaşdırmırdı.

Mənfi ədədlərin yazılması

Rəqəmləri həndəsi şəkildə soldan sağa gedən və 0-dan başlayan düz xətt üzərində nöqtələr kimi təqdim etmək rahatdır. Artıq gördük ki, bu nömrə xətti mənfi ədədlər daxil olmaqla və əks istiqamətdə gedən təbii davam var.

Say xəttində toplama və çıxma işlərinin yerinə yetirilməsi çox rahat və sadədir. Məsələn, istənilən rəqəmə 3 əlavə etmək üçün üç addım sağa keçin. 3-ü çıxarmaq üçün 3 addım sola keçmək lazımdır. Bu hərəkət həm müsbət, həm də mənfi ədədlər üçün düzgün nəticə verir; məsələn, -7-dən başlayıb 3-ü əlavə etsək, onda 3 addım sağa keçib -4 alırıq. Mənfi ədədlər üçün hesabın aparılması qaydaları da göstərir ki, mənfi ədədin toplanması və ya çıxılması müvafiq müsbət ədədin çıxılması və ya əlavə edilməsi ilə eyni nəticəni verir. Beləliklə, istənilən ədədə -3 əlavə etmək üçün 3 addım sola hərəkət etməliyik. İstənilən rəqəmdən -3-ü çıxarmaq üçün 3 addım sağa keçmək lazımdır.

Mənfi ədədləri əhatə edən vurma daha maraqlıdır. Çarpma ilə ilk dəfə qarşılaşdığımızda biz bunu təkrarlanan toplama kimi düşünürük. Məsələn:
6 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30.

Eyni yanaşma, 6 × −5-i vurarkən oxşar şəkildə davam etməyimizi təklif edir:
6 × −5 = −5 + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = −30.

Bundan əlavə, hesab qaydalarından birində deyilir ki, iki müsbət ədədin vurulması, nömrələri qəbul etdiyimiz sıradan asılı olmayaraq eyni nəticə verir. Beləliklə, 5 × 6 da 30-a bərabər olmalıdır. Bu, çünki
5 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

Beləliklə, mənfi ədədlər üçün eyni qaydanı qəbul etmək ağlabatan görünür. Onda −5 × 6 da −30-dur.

Bəs -6 × -5? Bu məsələdə daha az aydınlıq var. Sıraya düzülə bilmirik mənfi altı dəfə -5 və sonra onları əlavə edin. Ona görə də biz bu məsələni ardıcıl şəkildə həll etməliyik. Gəlin artıq bildiyimizə baxaq.

6 x 5 = 30
6 × -5 = -30
−6 × 5 = −30
−6 × −5 =?

İlk baxışdan çoxlarına elə gəlir ki, cavab -30 olmalıdır. Psixoloji cəhətdən bu, yəqin ki, haqlıdır: bütün hərəkət "mənfilik" ruhu ilə nüfuz edir, ona görə də cavab yəqin ki, mənfi olmalıdır. Yəqin ki, növbətçi ifadənin arxasında da eyni hiss dayanır: “Amma mən heç nə etməmişəm”. Bununla belə, əgər siz heç nə etmədi, onda gərək "heç nə etməlisən", yəni. bir şey. Belə bir qeydin ədalətli olub-olmaması istifadə etdiyiniz qrammatik qaydalardan asılıdır. Həddindən artıq inkar da gücləndirici konstruksiya hesab oluna bilər.

Eyni şəkildə, -6 × -5-ə bərabər olan şey də insan razılaşması məsələsidir. Yeni rəqəmlər ortaya qoyanda köhnə anlayışların onlara şamil olunacağına heç bir zəmanət yoxdur. Beləliklə, riyaziyyatçılar qərar verə bilərdilər ki, −6 × −5 = −30. Düzünü desək, onlar qərar verə bilərlər ki, -6-nın -5-ə vurulması bənövşəyi behemotla nəticələnəcək.

Bununla belə, bu vəziyyətdə -30-un pis seçim olmasının bir neçə yaxşı səbəbi var və bütün bu səbəblər əks istiqamətə - 30 rəqəminə işarə edir.

Səbəblərdən biri odur ki, əgər −6 × −5 = −30 olarsa, bu, −6 × 5 ilə eynidir. Hər ikisini −6-ya bölmək, −5 = 5 alırıq ki, bu da mənfi ədədlər haqqında dediyimiz hər şeyə ziddir. .

İkinci səbəb ondan ibarətdir ki, biz artıq bilirik: 5 + (−5) = 0. Say xəttinə baxın. 5 rəqəminin solunda beş addım nədir? Sıfır. İstənilən müsbət ədədi 0-a vurmaq 0 verir və eyni şeyin mənfi ədədlərə də aid olduğunu güman etmək ağlabatan görünür. Beləliklə, −6 × 0 = 0 olduğunu düşünmək məntiqlidir
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5)).

Adi hesab qaydalarına görə, bu bərabərdir
−6 × 5 + −6 × −5.

Digər tərəfdən, əgər biz −6 × -5 = 30 seçsək, onda alardıq
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5)) = −6 × 5 + (−6) × −5 =
= −30 + 30 = 0,
və hər şey öz yerinə düşəcəkdi.

Üçüncü səbəb say xəttinin quruluşudur. Müsbət ədədi -1-ə vuraraq, onu uyğun gələnə çeviririk mənfi rəqəm; yəni say xəttinin bütün müsbət yarısını sağdan sola çevirərək 180° döndəririk. Teorik olaraq, mənfi yarısı hara getməlidir? Onu yerində qoysaq, eyni məsələni alırıq, çünki −1 × −1 −1 olacaq, bu da −1 × 1-ə bərabərdir və belə nəticəyə gələ bilərik ki, −1 = 1. Yeganə ağlabatan alternativ məhz budur. say xəttinin mənfi hissəsini də soldan sağa hərəkət etdirərək 180 ° çevirin. Bu gözəldir, çünki indi -1-ə vurmaq rəqəm xəttini tamamilə tərsinə çevirir, nömrələrin sırasını dəyişdirir. Buradan belə nəticə çıxır ki, gecə gündüzdən sonra yeni −1-ə vurma rəqəm xəttini bir daha 180° çevirəcək. Bu halda, nömrələrin sırası yenidən tərsinə dəyişəcək və hər şey başladığı yerə qayıdacaq. Beləliklə, −1 × −1 ədəd xəttini döndərərkən −1-in düşdüyü yerdir, yəni 1. Və əgər −1 × -1 = 1 olduğuna qərar versək, onda birbaşa olaraq −6 × −5 = 30 nəticə çıxarır.

Dördüncü səbəb mənfi pul məbləğinin borc kimi yozulmasıdır. Bu variantda bəzi pul məbləğini mənfi rəqəmə vurmaq onu müvafiq müsbət ədədə vurmaqla eyni nəticəni verir, istisna olmaqla, real pul borca ​​çevrilir. Digər tərəfdə, çıxma, borcu "almaq" eyni effekti verir ki, sanki bank sizin borcunuzun bir hissəsini öz qeydlərindən silib və mahiyyət etibarı ilə bir qədər pulu sizə qaytarıb. Hesabınızın məbləğindən 10 rubl borcunuzu çıxarmaq, pulunuzun 10 rublunu bu hesaba yatırmağa tam uyğundur: bu halda hesabın məbləği artır 10 rubl üçün. Hər ikisinin birgə təsiri, bu şəraitdə, bank balansınızı sıfıra qaytarmağa meyllidir. Buradan belə çıxır ki, -6 × -5 hesabınıza 5 rubl borcun altı dəfə çıxılması (çıxarılması) ilə eyni təsir göstərir, yəni bank balansınızı 30 rubl artırmalıdır.

Bir pişiyin bir quyruğu var. Sıfır pişiklərin səkkiz quyruğu var. ("Səkkiz quyruğu olan pişiklər yoxdur"un başqa bir oxunuşu.) Beləliklə, əldə edirik: Bir pişiyin doqquz quyruğu var. - Qeyd. red.

Stüart qlobal nömrələr cəmiyyətinin hər bir üzvünün rolunun nə qədər böyük, heyrətamiz və faydalı olması haqqında hekayəsinə görə ən yüksək tərifə layiqdir. Kirkus Reviews Stüart mürəkkəb məsələləri izah etməkdə parlaqdır. New Scientist, Britaniyanın ən parlaq və məhsuldar riyaziyyat təbliğatçısı. Alex Bellos Kitabda nədən bəhs edilir Mahiyyətcə, riyaziyyat dünyanı dərk etmək üçün əsas alətimiz olan rəqəmlərdir. Riyaziyyatın ən məşhur britaniyalı populyarlaşdırıcısı, professor Yan Stüart öz kitabında bizə tanış olan simvolların birləşməsindən tutmuş daha ekzotik olanlara - faktoriallara, fraktallara və ya Aperi sabitinə qədər bizi əhatə edən rəqəmlərə ləzzətli giriş təklif edir. Bu yolda müəllif bizə sadə ədədlər, kub tənlikləri, sıfır anlayışı, Rubik kubunun mümkün variantları, rəqəmlərin bəşəriyyət tarixindəki rolu və dövrümüzdə onların öyrənilməsinin aktuallığından bəhs edir. Özünə xas olan zəka və erudisiya ilə Stüart oxucuya riyaziyyatın füsunkar dünyasını açır. Kitabı niyə oxumağa dəyər Britaniyadan olan riyaziyyatın ən yaxşı populyarlaşdırıcısı, 2015-ci il Lyuis Tomas Mükafatının qalibi hekayəsindəki ən inanılmaz rəqəmlər haqqında ən maraqlısı. Ian Stewart rəyləri heyrətamiz xüsusiyyətlər sıfırdan sonsuza qədər olan ədədlər - təbii, mürəkkəb, irrasional, müsbət, mənfi, sadə, mürəkkəb - və onların qədim riyaziyyatçıların heyrətamiz kəşflərindən tutmuş tarixini göstərir. ən müasir riyaziyyat elmi. Professorun ekspert rəhbərliyi altında siz riyazi kodların və sudokunun, Rubik kubunun və musiqi tərəzisinin sirlərini öyrənəcək, bir sonsuzluğun digərindən necə böyük ola biləcəyini görəcək, əlavə olaraq on bir ölçülü bir dünyada yaşadığınızı görəcəksiniz. boşluq. Bu kitab rəqəmləri sevənləri və hələ də sevmədiyini düşünənləri sevindirəcək. Müəllif haqqında Professor İan Stüart riyaziyyatın dünya şöhrətli populyarlaşdırıcısı və çoxsaylı maraqlı kitabların müəllifidir və bir sıra yüksək beynəlxalq akademik mükafatlara layiq görülüb. 2001-ci ildə London Kral Cəmiyyətinin üzvü oldu. Qeyri-xətti sistemlərin dinamikası və riyazi biliklərin inkişafı ilə bağlı tədqiqatlarla məşğul olan Uorvik Universitetinin görkəmli professoru. 2015-ci ildə “Alpina qeyri-bədii ədəbiyyat” tərəfindən nəşr olunan “Ən böyük riyazi problemlər” bestsellerinin müəllifidir. Əsas anlayışlarRiyaziyyat, ədədlər, ədədlər, tapmacalar, ali riyaziyyat, riyazi problemlər, riyazi tədqiqatlar, riyaziyyat tarixi, elmi pop, elm.

Stüart qlobal nömrələr cəmiyyətinin hər bir üzvünün rolunun nə qədər böyük, heyrətamiz və faydalı olması haqqında hekayəsinə görə ən yüksək tərifə layiqdir. Kirkus Reviews Stüart mürəkkəb məsələləri izah etməkdə parlaqdır. New Scientist, Britaniyanın ən parlaq və məhsuldar riyaziyyat təbliğatçısı. Alex Bellos Kitabda nədən bəhs edilir Mahiyyətcə, riyaziyyat dünyanı dərk etmək üçün əsas alətimiz olan rəqəmlərdir. Öz kitabında,