Ədədin 4-cü kökünü necə çıxarmaq olar. Kvadrat kök. Nümunələr ilə ətraflı nəzəriyyə. Köklər ümumiyyətlə niyə lazımdır?

Saytımızda yerləşdirilib. Ədədin köklənməsi müxtəlif hesablamalarda tez-tez istifadə olunur və kalkulyatorumuz bu cür riyaziyyatı yerinə yetirmək üçün əla vasitədir.

Kökləri olan onlayn kalkulyator, kökün çıxarılmasını əhatə edən istənilən hesablamaları tez və asanlıqla aparmağa imkan verəcəkdir. Üçüncü dərəcənin kökü ədədin kvadrat kökü, mənfi ədədin kökü, mürəkkəb ədədin kökü, pi kökü və s. kimi asan hesablanır.

Ədədin kökünü əl ilə hesablamaq mümkündür. Əgər ədədin bütün kökünü hesablamaq mümkündürsə, onda kök cədvəlindən istifadə etməklə sadəcə radikal ifadənin qiymətini tapırıq. Digər hallarda, köklərin təxmini hesablanması, radikal ifadənin daha sadə amillərin məhsuluna genişlənməsinə qədər azaldılır, güclərdir və onlar kök işarəsi üçün çıxarıla bilər, radikal altında ifadəni mümkün qədər sadələşdirir.

Ancaq belə bir kök həllini istifadə etməyin. Və buna görə. Birincisi, bu cür hesablamalara çox vaxt sərf etməli olacaqsınız. Kökdəki rəqəmlər, daha doğrusu, ifadələr olduqca mürəkkəb ola bilər və dərəcə mütləq kvadrat və ya kub deyildir. İkincisi, bu cür hesablamaların dəqiqliyi həmişə qane olmur. Üçüncüsü, bir neçə saniyə ərzində sizin üçün hər hansı bir kök çıxarılmasını edəcək bir onlayn kök kalkulyatoru var.

Ədəddən kök çıxarmaq n gücünə qaldırıldıqda radikal ifadənin qiymətinə bərabər olan ədədi tapmaq deməkdir, burada n kökün gücü, ədədin özü isə kökün köküdür. 2-ci dərəcənin kökü sadə və ya kvadrat adlanır, üçüncü dərəcənin kökü isə kub adlanır, hər iki halda dərəcənin göstəricisi buraxılır.

Onlayn kalkulyatorda köklərin həlli yalnız giriş sətirində riyazi ifadə yazmağa qədər azalır. Kalkulyatorda kökdən çıxarma sqrt kimi işarələnir və üç düymədən istifadə etməklə yerinə yetirilir - kvadrat kök sqrt (x), kub kök sqrt3 (x) çıxarılması və sqrt-ın n-ci kökünün çıxarılması (x, y) . İdarəetmə paneli haqqında daha ətraflı məlumat səhifədə təqdim olunur.

Kvadrat kökün çıxarılması

Bu düyməni basmaqla, giriş sətirinə kvadrat kök çıxarma girişi daxil ediləcək: sqrt (x), yalnız radikal ifadəni daxil etmək və mötərizəni bağlamaq lazımdır.

Həll nümunəsi kvadrat köklər kalkulyatorda:

Kökün altında mənfi ədəd varsa və kökün dərəcəsi cütdürsə, o zaman cavab i xəyali vahidi olan kompleks ədəd kimi təqdim olunacaq.

Mənfi ədədin kvadrat kökü:

Üçüncü kök

Kub kökünü çıxarmaq lazım olduqda bu düymədən istifadə edin. Giriş xəttinə sqrt3 (x) daxil edir.

Kök 3 dərəcə:

dərəcə kökü n

Təbii ki, onlayn kök kalkulyatoru yalnız ədədin kvadrat və kub köklərini deyil, həm də n gücünün kökünü çıxarmağa imkan verir. Bu düyməyə basdıqda sqrt (x x, y) formasının qeydi göstərilir.

4-cü dərəcəli kök:

Ədədin dəqiq n-ci kökü yalnız o zaman çıxarıla bilər ki, ədədin özü dəqiq n-ci kök dəyəri olsun. Əks təqdirdə, hesablamaların dəqiqliyi ideala çox yaxın olsa da, təxmini olacaq. onlayn kalkulyator 14 onluq yerlərinə çatır.

Təxmini nəticə ilə 5-ci kök:

Fraksiya kökü

Kalkulyator müxtəlif rəqəmlərdən və ifadələrdən kök hesablaya bilər. Kəsirin kökünün tapılması, pay və məxrəcdən kökün ayrıca çıxarılmasına qədər azaldılır.

Kəsrin kvadrat kökü:

Kökdən kök

İfadə kökünün kök altında olduğu hallarda, köklərin xüsusiyyətinə görə, onları bir köklə əvəz etmək olar ki, onun dərəcəsi hər ikisinin dərəcələrinin hasilinə bərabər olacaqdır. Sadəcə olaraq, kökü kökdən çıxarmaq üçün köklərin göstəricilərini çoxaltmaq kifayətdir. Şəkildə göstərilən misalda ikinci dərəcəli kökün üçüncü dərəcəli ifadə kökünü 6-cı dərəcəli bir köklə əvəz etmək olar. İfadəni istədiyiniz şəkildə təyin edin. Kalkulyator hər halda hər şeyi düzgün hesablayacaq.

Təbrik edirik: bu gün kökləri araşdıracağıq - 8-ci sinfin ən çox beyinə təsir edən mövzularından biri. :)

Bir çox insanlar köklər haqqında çaşdırırlar, çünki onlar mürəkkəbdir (bu, çox çətindir - bir neçə tərif və daha bir neçə xüsusiyyət), lakin əksər məktəb dərsliklərində köklər elə cəngəllikdə müəyyən edilir ki, yalnız müəlliflər dərsliklər özləri bu cızıq-sağlamı anlaya bilərlər. Və hətta bundan sonra yalnız bir şüşə yaxşı viski ilə. :)

Buna görə də, indi kökün ən düzgün və ən səlahiyyətli tərifini verəcəyəm - həqiqətən xatırlamalı olduğunuz yeganə. Və yalnız bundan sonra izah edəcəyəm: bütün bunlar niyə lazımdır və bunu praktikada necə tətbiq etmək olar.

Ancaq əvvəlcə bir çox dərslik tərtibatçılarının nədənsə "unutduğu" bir vacib məqamı xatırlayın:

Köklər cüt dərəcə ola bilər (sevdiyimiz $ \ sqrt (a) $, eləcə də hər cür $ \ sqrt (a) $ və hətta $ \ sqrt (a) $) və tək dərəcə (bütün növ $ \ sqrt) (a) $, $ \ sqrt (a) $ və s.). Və tək dərəcənin kökünün tərifi cütdən bir qədər fərqlidir.

Burada bu lanet "bir qədər fərqli" gizli, yəqin ki, köklərlə əlaqəli bütün səhvlərin və anlaşılmazlıqların 95% -i. Buna görə də gəlin terminologiya ilə birdəfəlik məşğul olaq:

Tərif. Hətta kök n dollardan bir dollar hər hansıdır mənfi olmayan bir ədəd $ b $ elə ki, $ ((b) ^ (n)) = a $. Və eyni $ a $ ədədinin tək kökü ümumiyyətlə eyni bərabərliyin mövcud olduğu hər hansı $ b $ ədədidir: $ ((b) ^ (n)) = a $.

Hər halda, kök belə göstərilir:

\ (a) \]

Belə qeyddə olan $n $ ədədi kökün göstəricisi, $a $ ədədi isə radikal ifadə adlanır. Xüsusilə, $ n = 2 $ üçün "sevimli" kvadrat kökümüzü (yeri gəlmişkən, bu cüt kökdür) və $ n = 3 $ üçün - kub (tək dərəcə) alırıq ki, bu da tez-tez problemlərdə olur. və tənliklər.

Nümunələr. Kvadrat köklərin klassik nümunələri:

\ [\ başlanğıc (düzləşdirmə) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ son (hizalayın) \]

Yeri gəlmişkən, $ \ sqrt (0) = 0 $ və $ \ sqrt (1) = 1 $. Bu olduqca məntiqlidir, çünki $ ((0) ^ (2)) = 0 $ və $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Kub kökləri də geniş yayılmışdır - onlardan qorxma:

\ [\ start (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ son (hizalayın) \]

Yaxşı və bir neçə "ekzotik nümunə":

\ [\ start (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ son (hizalayın) \]

Cüt və tək dərəcə arasındakı fərqin nə olduğunu başa düşmürsənsə, tərifi yenidən oxuyun. Bu çox vacibdir!

Bu arada, köklərin bir xoşagəlməz xüsusiyyətini nəzərdən keçirəcəyik, buna görə də cüt və tək göstəricilər üçün ayrıca bir tərif təqdim etməmiz lazım idi.

Niyə ümumiyyətlə köklərə ehtiyacımız var?

Tərifi oxuduqdan sonra bir çox tələbə soruşacaq: "Riyaziyyatçılar bunu düşünəndə nə çəkdilər?" Həqiqətən: bütün bu köklərə niyə ehtiyacımız var?

Bu suala cavab vermək üçün bir dəqiqə geriyə qayıdaq ibtidai siniflər... Unutmayın: ağacların yaşıllaşdığı, köftələrin daha dadlı olduğu o uzaq dövrlərdə bizim əsas qayğımız rəqəmləri düzgün çoxaltmaq idi. Yaxşı, "beşdən beşə - iyirmi beş" kimi bir şey, hamısı. Ancaq bütün bunlardan sonra, nömrələri cüt-cüt deyil, üçqat, dördlük və ümumiyyətlə, tam dəstlərlə çoxalda bilərsiniz:

\ [\ başlayın (hizalayın) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (düzləşdirin) \]

Bununla belə, məsələ bu deyil. Hiylə fərqlidir: riyaziyyatçılar tənbəl insanlardır, ona görə də on beşin vurmasını belə yazmalı oldular:

Beləliklə, dərəcə ilə gəldilər. Niyə uzun sətir əvəzinə amillərin sayının üstündən xətt çəkməyək? Bunun kimi:

Çox rahatdır! Bütün hesablamalar əhəmiyyətli dərəcədə azaldılır və 5183-ü yazmaq üçün dəftərlərdə bir dəstə perqament vərəqi sərf etməyə ehtiyac yoxdur. Belə bir rekord rəqəmin dərəcəsi adlanırdı, onlar içərisində bir çox xüsusiyyət tapdılar, lakin xoşbəxtlik qısa müddətli oldu.

Təxminən dərəcələrin “kəşf edilməsi” ərəfəsində təşkil edilən böyük içkidən sonra bəzi xüsusilə inadkar riyaziyyatçı birdən soruşdu: “Əgər biz ədədin dərəcəsini biliriksə, amma rəqəmin özünü bilmiriksə?” İndi, həqiqətən, müəyyən bir $ b $ rəqəminin, məsələn, 5-ci dərəcədə 243 verdiyini bilsək, o zaman $ b $ rəqəminin nəyə bərabər olduğunu necə təxmin edə bilərik?

Bu problem ilk baxışda göründüyündən daha qlobal xarakter aldı. Çünki məlum oldu ki, “hazır” dərəcələrin əksəriyyəti üçün belə “ilkin” rəqəmlər yoxdur. Özünüz mühakimə edin:

\ [\ başlamaq (düzləşdirmə) & (b) ^ (3)) = 27 \ Sağarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Sağ ox b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Sağ ox b = 4. \\ \ son (hizalayın) \]

Əgər $ ((b) ^ (3)) = $ 50 olarsa nə olacaq? Belə çıxır ki, müəyyən bir ədəd tapmaq lazımdır, bu ədədi üç dəfə özünə vuranda bizə 50 verir. Bəs bu rəqəm nədir? 3 3 = 27 olduğundan aydın şəkildə 3-dən böyükdür< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yəni. bu rəqəm üç ilə dörd arasında bir yerdədir, amma nəyə bərabərdir - əncirləri başa düşəcəksiniz.

Məhz bunun üçün riyaziyyatçılar $ n $ -ci dərəcənin köklərini icad etdilər. Buna görə $ \ sqrt (*) $ radikal simvolu təqdim edildi. $ b $ rəqəmini təyin etmək, müəyyən dərəcədə bizə əvvəllər məlum olan bir dəyər verəcəkdir

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Sağ ox ((b) ^ (n)) = a \]

Mübahisə etmirəm: bu köklər çox vaxt asanlıqla hesablanır - yuxarıda bir neçə belə nümunə gördük. Yenə də, əksər hallarda, ixtiyari bir nömrəni təxmin etsəniz və ondan ixtiyari bir kök çıxarmağa çalışsanız, sizi qəddar bir çaşqınlıq gözləyir.

Nə var! Hətta ən sadə və ən tanış olan $ \ sqrt (2) $ bizim adi formamızda - tam və ya kəsr kimi təqdim edilə bilməz. Və bu rəqəmi kalkulyatora yazsanız, bunu görəcəksiniz:

\ [\ sqrt (2) = 1,414213562 ... \]

Gördüyünüz kimi, vergüldən sonra heç bir məntiqə tabe olmayan sonsuz ədədlər ardıcıllığı var. Digər nömrələrlə tez müqayisə etmək üçün, əlbəttə ki, bu rəqəmi yuvarlaqlaşdıra bilərsiniz. Misal üçün:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ təqribən 1,4 \ lt 1,5 \]

Və ya başqa bir misal:

\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ təqribən 1,7 \ gt 1,5 \]

Lakin bütün bu yuvarlaqlaşdırmalar, birincisi, olduqca kobuddur; və ikincisi, siz də təxmini dəyərlərlə işləməyi bacarmalısınız, əks halda bir çox gözə çarpmayan səhvləri tuta bilərsiniz (yeri gəlmişkən, müqayisə və yuvarlaqlaşdırma bacarığı profil imtahanında mütləq yoxlanılır).

Buna görə də, ciddi riyaziyyatda köklər olmadan edə bilməzsiniz - onlar $ \ mathbb (R) $ bütün həqiqi ədədlər çoxluğunun eyni bərabər nümayəndələridir, həmçinin bizə çoxdan tanış olan kəsrlər və tam ədədlərdir.

Kökün $ \ frac (p) (q) $ formasının kəsr kimi təqdim edilməsinin qeyri-mümkünlüyü bu kökün rasional ədəd olmadığını bildirir. Bu cür ədədlər irrasional adlanır və onlar radikal və ya digər xüsusi hazırlanmış konstruksiyaların (loqarifmlər, dərəcələr, hədlər və s.) köməyi ilə başqa cür dəqiq göstərilə bilməzlər. Ancaq bu barədə başqa vaxt.

Bütün hesablamalardan sonra irrasional ədədlərin hələ də cavabda qalacağı bir neçə nümunəyə nəzər salın.

\ [\ başlayın (düzləşdirin) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ təqribən 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32) )) = \ sqrt (-2) \ təqribən -1,2599 ... \\ \ son (hizalayın) \]

Təbii ki, uyğun olaraq zahiri görünüş kök ondalık nöqtədən sonra hansı rəqəmlərin gələcəyini təxmin etmək demək olar ki, mümkün deyil. Bununla belə, siz kalkulyatora arxalana bilərsiniz, lakin hətta ən mükəmməl tarix kalkulyatoru bizə irrasional ədədin yalnız ilk bir neçə rəqəmini verir. Buna görə də cavabları $ \ sqrt (5) $ və $ \ sqrt (-2) $ şəklində yazmaq daha düzgündür.

Buna görə də onlar icad edilmişdir. Cavabları rahat qeyd etmək üçün.

Niyə iki tərifə ehtiyac var?

Diqqətli oxucu, yəqin ki, nümunələrdə verilən bütün kvadrat köklərin mənşəyinə diqqət yetirmişdir müsbət ədədlər... Yaxşı, sıfırdan son çarə kimi. Ancaq kub kökləri tamamilə hər hansı bir nömrədən sakitcə çıxarılır - istər müsbət, istərsə də mənfi.

Niyə belə olur? $ y = ((x) ^ (2)) $ funksiyasının qrafikinə nəzər salın:

Gəlin bu qrafikdən istifadə edərək $ \ sqrt (4) $ hesablamağa çalışaq. Bunun üçün diaqramda parabola ilə iki nöqtədə kəsişən $ y = 4 $ üfüqi xətt çəkilir: $ ((x) _ (1)) = 2 $ və $ ((x) ) _ (2)) = -2 $. Bu, olduqca məntiqlidir, çünki

Birinci nömrə ilə hər şey aydındır - müsbətdir, buna görə də kökdür:

Ancaq ikinci nöqtə ilə nə etmək lazımdır? Dördün eyni anda iki kökü olduğu kimi? Axı −2 ədədinin kvadratını tutsaq, biz də 4 alırıq. Niyə $ \ sqrt (4) = - 2 $ yazmırıq? Bəs müəllimlər niyə belə qeydlərə baxırlar ki, sanki səni udmaq istəyirlər? :)

Problem ondadır ki, heç bir əlavə şərt qoyulmasa, dördün iki kvadrat kökü olacaq - müsbət və mənfi. Və hər hansı müsbət ədəd də iki olacaq. Ancaq mənfi ədədlərin kökü olmayacaq - bunu eyni qrafikdən görmək olar, çünki parabola heç vaxt oxun altına düşmür. y, yəni. mənfi dəyərləri qəbul etmir.

Bənzər problem bütün eksponentli köklər üçün baş verir:

1. Düzünü desək, hər bir müsbət ədədin $ n $ bərabər göstəricisi olan iki kökü olacaq;
2. Mənfi ədədlərdən hətta $ n $ olan kök ümumiyyətlə çıxarılmır.

Məhz buna görə də $n $-ın cüt gücünün kökünün tərifində cavabın qeyri-mənfi ədəd olması xüsusi olaraq təsbit edilmişdir. Biz qeyri-müəyyənlikdən belə xilas oluruq.

Ancaq tək $ n $ üçün belə bir problem yoxdur. Bunu yoxlamaq üçün $ y = ((x) ^ (3)) $ funksiyasının qrafikinə nəzər salaq:

Bu qrafikdən iki nəticə çıxarmaq olar:

1. Kub parabolanın budaqları, adi olandan fərqli olaraq, hər iki istiqamətdə - həm yuxarı, həm də aşağı sonsuzluğa gedir. Ona görə də hansı hündürlükdə üfüqi xətt çəksək də, bu xətt mütləq bizim qrafikimizlə kəsişir. Nəticə etibarı ilə, kub kökü həmişə istənilən ədəddən çıxarıla bilər;
2. Bundan əlavə, belə bir kəsişmə həmişə yeganə olacaq, buna görə də hansı nömrənin "düzgün" kök hesab ediləcəyini və hansı nömrənin hesablanacağını düşünməyə ehtiyac yoxdur. Buna görə də tək dərəcə üçün köklərin tərifi cütdən daha sadədir (mənfi olmamaq tələbi yoxdur).

Təəssüf ki, əksər dərsliklərdə bu sadə şeylər izah edilmir. Bunun əvəzinə beyin hər cür hesab kökləri və onların xüsusiyyətləri ilə bizə üzməyə başlayır.

Bəli, mübahisə etmirəm: arifmetik kök nədir - siz də bilmək lazımdır. Və bunu ayrı bir dərslikdə ətraflı şəkildə əhatə edəcəyəm. Bu gün biz də bu haqda danışacağıq, çünki onsuz $ n $ -ci çoxluğun kökləri haqqında bütün fikirlər natamam olardı.

Ancaq əvvəlcə yuxarıda verdiyim tərifi aydın başa düşməlisiniz. Əks halda, terminlərin çoxluğuna görə başınızda elə bir qarışıqlıq başlayacaq ki, sonda heç nə başa düşməyəcəksiniz.

Sizə lazım olan yeganə şey cüt və tək göstəricilər arasındakı fərqi anlamaqdır. Beləliklə, bir daha köklər haqqında bilmək lazım olan hər şeyi bir araya gətirək:

1. Cüt kök yalnız mənfi olmayan ədəddən mövcuddur və özü həmişə qeyri-mənfi ədəddir. Mənfi ədədlər üçün belə bir kök müəyyən edilməmişdir.
2. Ancaq tək dərəcənin kökü istənilən ədəddən mövcuddur və özü də istənilən ədəd ola bilər: müsbət ədədlər üçün müsbət, mənfi olanlar üçün isə başlığın işarə etdiyi kimi mənfidir.

Çətindir? Xeyr, çətin deyil. Təmizlənsin? Bəli, ümumiyyətlə, aydındır! Beləliklə, indi bəzi hesablamalar aparacağıq.

Əsas xüsusiyyətlər və məhdudiyyətlər

Köklər çox qəribə xüsusiyyətlərə və məhdudiyyətlərə malikdir - bu barədə ayrıca bir dərs olacaq. Buna görə də, indi yalnız bərabər eksponentli köklərə aid olan ən vacib "hiylə" ni nəzərdən keçirəcəyik. Bu xassəni düstur şəklində yazaq:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ sol | x \ sağ | \]

Başqa sözlə desək, əgər bir ədədi cüt dərəcəyə qaldırsanız və bundan sonra eyni gücün kökünü çıxarsanız, ilkin ədədi deyil, onun modulunu alırıq. Bu, asanlıqla sübut edilə bilən sadə bir teoremdir (mənfi olmayan $ x $-ı ayrıca, sonra isə mənfi olanları ayrıca nəzərdən keçirmək kifayətdir). Müəllimlər davamlı olaraq bu barədə danışır, hər məktəb dərsliyində verirlər. Ancaq irrasional tənliklərin (yəni, radikal işarəsi olan tənliklərin) həllinə gələn kimi tələbələr bu düsturu dostcasına unudurlar.

Sualı ətraflı başa düşmək üçün bir dəqiqəlik bütün düsturları unudaq və düz iki rəqəmi saymağa çalışaq:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) =? \]

Bu çox sadə nümunələr... Birinci misal əksər insanlar tərəfindən həll ediləcək, ikincisində isə çoxları qalacaq. Hər hansı bir problemi problemsiz həll etmək üçün həmişə hərəkətlərin ardıcıllığını nəzərdən keçirin:

1. Birincisi, rəqəm dördüncü gücə qaldırılır. Yaxşı, bu, bir qədər asandır. Siz hətta vurma cədvəlində tapıla bilən yeni bir nömrə alacaqsınız;
2. İndi bu yeni nömrədən dördüncü kökü çıxarmaq lazımdır. Bunlar. köklərin və dərəcələrin "azalması" baş vermir - bunlar ardıcıl hərəkətlərdir.

Birinci ifadə ilə işləyirik: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Aydındır ki, əvvəlcə kök altındakı ifadəni hesablamalısınız:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Sonra 81 rəqəminin dördüncü kökünü çıxarın:

İndi ikinci ifadə ilə eyni şeyi edək. Əvvəlcə −3 sayını dördüncü dərəcəyə qaldırırıq, bunun üçün onu özünə 4 dəfə vurmalıyıq:

\ [((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4)) = \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) = 81 \]

Müsbət bir nömrə aldıq, çünki işdəki mənfi cəhətlərin ümumi sayı 4 ədəddir və hamısı qarşılıqlı şəkildə məhv ediləcək (axı, mənfi mənfi bir artı verir). Sonra kökü yenidən çıxarırıq:

Prinsipcə, bu sətir yazıla bilməzdi, çünki cavabın eyni olacağı ağılsızlıqdır. Bunlar. eyni bərabər gücün bərabər kökü mənfi cəhətləri "yandırır" və bu mənada nəticə adi moduldan fərqlənmir:

\ [\ başlayın (hizalayın) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ sol | 3 \ sağ | = 3; \\ & \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) = \ sol | -3 \ sağ | = 3. \\ \ son (hizalayın) \]

Bu hesablamalar cüt kökün tərifi ilə yaxşı uyğunlaşır: nəticə həmişə mənfi deyil və radikal işarə altında həmişə mənfi olmayan bir ədəd var. Əks halda, kök qeyri-müəyyəndir.

Prosedur qeydi

1. $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ qeydi o deməkdir ki, biz əvvəlcə $ a $ rəqəminin kvadratını alırıq və nəticədə alınan dəyərdən kvadrat kök çıxarırıq. Buna görə də əmin ola bilərik ki, mənfi olmayan ədəd həmişə kök işarəsi altında oturur, çünki hər halda $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $;
2. Ancaq $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ qeydi, əksinə, əvvəlcə müəyyən bir $ a $ rəqəmindən kök çıxarmağımız və yalnız sonra nəticənin kvadratını almağımız deməkdir. Buna görə də, $ a $ rəqəmi heç bir halda mənfi ola bilməz - bu tərifdə məcburi tələbdir.

Beləliklə, heç bir halda kökləri və dərəcələri ağılsızca azaltmamalı və bununla da orijinal ifadəni "sadələşdirməlisiniz". Çünki kökün altında mənfi ədəd varsa və onun göstəricisi cütdürsə, bir dəstə problem alırıq.

Ancaq bütün bu problemlər yalnız hətta göstəricilər üçün aktualdır.

Kök işarəsindən minusun çıxarılması

Təbii ki, tək göstəriciləri olan köklərin də öz sayğacı var, prinsipcə, hətta olanlar üçün yoxdur. Məhz:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Qısacası, tək dərəcənin kökləri işarəsinin altından mənfi çıxara bilərsiniz. Bu, bütün mənfi cəhətləri "atmağa" imkan verən çox faydalı bir xüsusiyyətdir:

\ [\ start (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ sol (- \ sqrt (32) \ sağ) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ son (düzləşdirmə) \]

Bu sadə xüsusiyyət bir çox hesablamaları çox asanlaşdırır. İndi narahat olmaq lazım deyil: birdən kökün altına mənfi bir ifadə girdi və kökdəki dərəcə bərabər olur? Köklərdən kənarda olan bütün mənfi cəhətləri "atmaq" kifayətdir, bundan sonra onlar bir-biri ilə çoxalda, bölünə bilər və ümumiyyətlə "klassik" köklər vəziyyətində bizi aparacağına zəmanət verən bir çox şübhəli şeylər edə bilər. bir səhvə.

Və burada başqa bir tərif meydana çıxır - əksər məktəblərdə irrasional ifadələrin öyrənilməsinə məhz onunla başlanır. Və bunsuz mülahizələrimiz yarımçıq olardı. Zəhmət olmasa xoş gəlmisiniz!

Arifmetik kök

Bir anlıq fərz edək ki, kök işarəsinin altında yalnız müsbət ədədlər ola bilər, ya da ən çoxu sıfır. Gəlin cüt / tək göstəriciləri unudaq, yuxarıda verilmiş bütün tərifləri unutaq - biz yalnız mənfi olmayan rəqəmlərlə işləyəcəyik. Bəs onda?

Və sonra arifmetik kök alırıq - o, bizim "standart" təriflərimizlə qismən üst-üstə düşür, lakin yenə də onlardan fərqlənir.

Tərif. Mənfi olmayan $ a $ ədədinin $ n $ ci dərəcəsinin arifmetik kökü mənfi olmayan $ b $ ədədidir ki, $ ((b) ^ (n)) = a $ olsun.

Gördüyünüz kimi, biz artıq paritetlə maraqlanmırıq. Əvəzində yeni bir məhdudiyyət meydana çıxdı: radikal ifadə indi həmişə mənfi deyil, kökün özü də mənfi deyil.

Arifmetik kökün adi kökdən necə fərqləndiyini daha yaxşı başa düşmək üçün artıq tanış olan kvadrat və kub parabola qrafiklərinə nəzər salın:

Gördüyünüz kimi, bundan sonra bizi yalnız qrafiklərin birinci koordinat rübündə yerləşən hissələri maraqlandırır - burada $ x $ və $ y $ koordinatları müsbətdir (və ya ən azı sıfır). Mənfi ədədi kökləmək hüququmuzun olub-olmadığını anlamaq üçün artıq göstəriciyə baxmaq lazım deyil. Çünki mənfi ədədlər artıq prinsipcə nəzərə alınmır.

Siz soruşa bilərsiniz: "Yaxşı, niyə bizə kastrasiya edilmiş tərif lazımdır?" Və ya: "Niyə yuxarıda verilmiş standart təriflə keçə bilmirsiniz?"

Yaxşı, mən yalnız bir mülk verəcəyəm, ona görə yeni tərif uyğun olur. Məsələn, eksponentasiya qaydası belədir:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Diqqət edin: radikal ifadəni istənilən gücə qaldıra bilərik və eyni zamanda kök eksponentini eyni gücə vura bilərik - və nəticə eyni sayda olacaq! Budur bəzi nümunələr:

\ [\ başlayın (düzləşdirin) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ son (hizalayın) \]

Bəs böyük məsələ nədir? Niyə biz bunu əvvəllər edə bilmədik? Bunun səbəbi budur. Sadə bir ifadəni nəzərdən keçirək: $ \ sqrt (-2) $ - bu rəqəm klassik mənada olduqca normaldır, lakin arifmetik kök baxımından tamamilə qəbuledilməzdir. Onu çevirməyə çalışaq:

$ \ start (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2)))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ sol (-2 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ sonunda (hizalayın) $

Gördüyünüz kimi, birinci halda, radikalın altından mənfi çıxardıq (göstərici tək olduğu üçün hər cür hüququmuz var), ikincisində isə yuxarıdakı düsturdan istifadə etdik. Bunlar. riyaziyyat baxımından hər şey qaydalara uyğun edilir.

WTF?! Eyni ədəd necə müsbət və mənfi ola bilər? Heç bir şəkildə. Sadəcə olaraq müsbət ədədlər və sıfırlar üçün əla işləyən eksponentasiya düsturu mənfi ədədlərə gəldikdə bidət olmağa başlayır.

Bu cür qeyri-müəyyənlikdən xilas olmaq üçün hesab kökləri ilə çıxış etdilər. Onlara ayrıca böyük bir dərs həsr olunub, burada onların bütün xüsusiyyətlərini ətraflı nəzərdən keçiririk. Beləliklə, indi onların üzərində dayanmayacağıq - dərs artıq çox uzun oldu.

Cəbr kökü: daha çox bilmək istəyənlər üçün

Uzun müddət düşündüm ki, bu mövzunu ayrıca abzasa salım, ya yox. Sonda buranı tərk etmək qərarına gəldim. Bu material kökləri daha yaxşı başa düşmək istəyənlər üçün nəzərdə tutulub - orta "məktəb" səviyyəsində deyil, olimpiada səviyyəsinə yaxın səviyyədə.

Beləliklə: ədədin $ n $ -inci kökünün "klassik" tərifinə və bununla əlaqədar cüt və tək göstəricilərə bölünməsinə əlavə olaraq, paritetdən və digər incəliklərdən ümumiyyətlə asılı olmayan daha "yetkin" tərif var. . Buna cəbr kökü deyilir.

Tərif. İstənilən $ a $-ın $ n $ ci dərəcəsinin cəbri kökü $ ((b) ^ (n)) = a $ olan bütün $ b $ ədədlərinin çoxluğudur. Bu cür köklər üçün yaxşı qurulmuş bir təyinat yoxdur, buna görə də üstünə tire qoyuruq:

\ [\ üst xətt (\ sqrt [n] (a)) = \ sol \ (b \ sol | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ sağ. \ sağ \) \]

Dərsin əvvəlində verilən standart tərifdən əsas fərq ondan ibarətdir ki, cəbri kök konkret ədəd deyil, çoxluqdur. Həqiqi ədədlərlə işlədiyimiz üçün bu çoxluğun yalnız üç növü var:

1. Boş dəst. Mənfi ədəddən cüt dərəcəli cəbri kök tapmaq tələb olunduqda baş verir;
2. Tək elementdən ibarət çoxluq. Bütün tək dərəcə kökləri, eləcə də sıfırdan cüt dərəcə kökləri bu kateqoriyaya aiddir;
3. Nəhayət, çoxluğa iki ədəd daxil ola bilər - bizim gördüyümüz eyni $ ((x) _ (1)) $ və $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $ qrafik kvadrat funksiyası. Müvafiq olaraq, belə bir düzülmə yalnız müsbət ədəddən cüt kök çıxardıqda mümkündür.

Sonuncu hal daha ətraflı nəzərdən keçirilməyə layiqdir. Fərqi başa düşmək üçün bir neçə misal sayaq.

Misal. İfadələri qiymətləndirin:

\ [\ üst xətt (\ sqrt (4)); \ dördlü \ üst xətt (\ sqrt (-27)); \ dördlü \ üst xətt (\ sqrt (-16)). \]

Həll. Birinci ifadə sadədir:

\ [\ üst xətt (\ sqrt (4)) = \ sol \ (2; -2 \ sağ \) \]

Dəsti təşkil edən iki ədəddir. Çünki meydanda onların hər biri dörd verir.

\ [\ üst xətt (\ sqrt (-27)) = \ sol \ (-3 \ sağ \) \]

Burada yalnız bir ədəddən ibarət çoxluq görürük. Kök eksponent tək olduğu üçün bu olduqca məntiqlidir.

Nəhayət, son ifadə:

\ [\ üst xətt (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Boş dəstimiz var. Çünki dördüncü (yəni cüt!) Dərəcəyə qaldırıldıqda bizə mənfi -16 rəqəmi verəcək bir real ədəd yoxdur.

Yekun qeyd. Diqqət yetirin: biz real rəqəmlərlə işlədiyimizi hər yerdə qeyd etməyim təsadüfi deyildi. Çünki mürəkkəb ədədlər də var - orada $ \ sqrt (-16) $ və bir çox başqa qəribə şeyləri saymaq olduqca mümkündür.

Lakin müasir məktəb riyaziyyat kursunda mürəkkəb ədədlərə demək olar ki, rast gəlinmir. Bizim məmurlar bu mövzunu “başa düşmək çox çətin” hesab etdikləri üçün əksər dərsliklərdən siliniblər.

Hamısı budur. Növbəti dərsdə köklərin bütün əsas xüsusiyyətlərinə baxacağıq və nəhayət, irrasional ifadələri necə sadələşdirməyi öyrənəcəyik. :)

Güc düsturları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.

Nömrə c birdir n- ədədin gücü a nə vaxt:

Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. Dərəcələri eyni baza ilə vurmaqla onların göstəriciləri toplanır:

a mA n = a m + n.

2. Eyni əsaslı dərəcələrin bölünməsində onların göstəriciləri çıxılır:

3. 2 və ya daha çox amilin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Kəsrin gücü dividend və bölənin səlahiyyətlərinin nisbətinə bərabərdir:

(a / b) n = a n / b n.

5. Dərəcəni dərəcəyə qaldıraraq, göstəricilər vurulur:

(a m) n = a m n.

Yuxarıdakı düsturların hər biri soldan sağa və əksinə doğrudur.

Misal üçün. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Kök əməliyyatları.

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Əlaqənin kökü dividend və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:

3. Kökü bir gücə qaldırarkən, kök sayını bu gücə qaldırmaq kifayətdir:

4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n-kök nömrəsinin gücü, onda kök dəyəri dəyişməyəcək:

5. Kökün dərəcəsini azaltsanız n kökü bir dəfə və eyni zamanda çıxarın n-radikal ədədin ci gücü, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:

Mənfi eksponentli dərəcə. Qeyri-müsbət (tam) göstəricisi olan ədədin gücü, göstəricisi bərabər olan eyni ədədin gücünə bölünən bir ədəd kimi müəyyən edilir. mütləq dəyər qeyri-müsbət göstərici:

Düstur a m: a n = a m - nüçün istifadə oluna bilməz m> n, həm də m< n.

Misal üçün. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Belə ki, formula a m: a n = a m - n zaman ədalətli oldu m = n, sıfır dərəcəsinin olması lazımdır.

Sıfır qiymət. Göstəricisi sıfır olan hər hansı sıfırdan fərqli ədədin gücü birinə bərabərdir.

Misal üçün. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kəsrə eksponent. Həqiqi nömrə qurmaq üçün a dərəcəyə qədər m / n, kökü çıxarmaq lazımdır n-ci dərəcə m-bu ədədin gücü a.

Yenidən işarəyə baxdım... Və gedək!

Sadə birindən başlayaq:

Bir dəqiqə. bu, belə yaza biləcəyimiz deməkdir:

Anladım? Budur sizin üçün növbəti:

Nəticədə ədədlərin kökləri dəqiq çıxarılmır? Fərqi yoxdur - burada bəzi nümunələr var:

Bəs faktorlar iki deyil, daha çox olarsa necə? Eyni! Kök çarpma düsturu istənilən sayda amillə işləyir:

İndi tamamilə öz başına:

Cavablar:Əla! Razılaşın, hər şey çox asandır, əsas odur ki, vurma cədvəlini bilməkdir!

Köklərin bölünməsi

Köklərin çoxalmasını anladıq, indi bölmə mülkiyyətinə keçəcəyik.

Nəzərinizə çatdırım ki, ümumi düstur belə görünür:

Bu o deməkdir ki bölmənin kökü köklərin bölünməsinə bərabərdir.

Yaxşı, nümunələrlə anlayaq:

Bütün elm budur. Budur bir nümunə:

Hər şey birinci nümunədəki kimi hamar deyil, amma gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur.

Bəs belə bir ifadə rastlaşarsa nə olar:

Yalnız düsturu əks istiqamətdə tətbiq etməlisiniz:

Və burada bir nümunə var:

Bu ifadəyə də rast gələ bilərsiniz:

Hər şey eynidir, yalnız burada fraksiyaları necə tərcümə edəcəyinizi xatırlamaq lazımdır (yadınızda deyilsə, mövzuya baxın və geri qayıdın!). Yadda? İndi qərar veririk!

Əminəm ki, siz hər şeyin, hər şeyin öhdəsindən gəldiniz, indi gəlin hakimiyyətdə kök salmağa çalışaq.

Eksponentasiya

Kvadrat kök kvadrat olarsa nə olar? Çox sadədir, gəlin ədədin kvadrat kökünün mənasını xatırlayaq - bu, kvadrat kökü bərabər olan bir ədəddir.

Beləliklə, kvadrat kökü kvadrata bərabər olan bir ədədi qaldırsaq, nə əldə edirik?

Yaxşı, əlbəttə,!

Nümunələrə baxaq:

Bu sadədir, elə deyilmi? Və kök fərqli dərəcədədirsə? Hər şey qaydasındadır!

Eyni məntiqə sadiq qalın və dərəcələrlə xassələri və mümkün hərəkətləri xatırlayın.

"" Mövzusunda nəzəriyyəni oxuyun və hər şey sizə çox aydın olacaq.

Məsələn, burada bir ifadə var:

Bu misalda dərəcə cütdür, bəs təkdirsə? Yenə güc xüsusiyyətlərini tətbiq edin və hər şeyi nəzərə alın:

Bununla hər şey aydın görünür, amma rəqəmin kökünü gücə necə çıxarmaq olar? Məsələn, bu:

Olduqca sadə, elə deyilmi? Və dərəcə ikidən çox olarsa? Dərəcə xüsusiyyətlərindən istifadə edərək eyni məntiqə əməl edirik:

Yaxşı, hər şey aydındır? Sonra nümunələri özünüz həll edin:

Və burada cavablar:

Kök işarəsi altında giriş

Köklərlə nə etməyi öyrənməmişik! Yalnız kök işarəsi altındakı nömrəni daxil etməyi məşq etmək qalır!

Bu asandır!

Tutaq ki, nömrəni yazmışıq

Bununla nə edə bilərik? Əlbəttə ki, üçü kökün altında gizlədin, üçlüyün kvadrat kök olduğunu unutmayın!

Bu bizə niyə lazımdır? Bəli, nümunələri həll edərkən imkanlarımızı genişləndirmək üçün:

Köklərin bu xüsusiyyətini necə bəyənirsiniz? Bu, həyatı çox asanlaşdırır? Mənim üçün bu doğrudur! Yalnız yadda saxlamalıyıq ki, biz yalnız kvadrat kök işarəsi altında müsbət ədədlər təqdim edə bilərik.

Bu nümunəni özünüz həll edin -
idarə etdin? Gəlin görək nə əldə etməlisiniz:

Əla! Nömrəni kök işarəsinin altına daxil edə bildiniz! Gəlin eyni dərəcədə vacib olana keçək - kvadrat kökü olan ədədləri necə müqayisə edəcəyimizə baxaq!

Köklərin müqayisəsi

Niyə biz kvadrat kökü olan ədədləri müqayisə etməyi öyrənməliyik?

Çox sadə. Çox vaxt imtahanda tapılan böyük və uzun ifadələrdə məntiqsiz cavab alırıq (bu nə olduğunu xatırlayırsan? Bu gün siz və mən artıq bu barədə danışmışıq!)

Alınan cavabları koordinat xəttinə yerləşdirməliyik, məsələn, tənliyin həlli üçün hansı intervalın uyğun olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Və burada bir maneə yaranır: imtahanda heç bir kalkulyator yoxdur və onsuz hansı rəqəmin daha çox və hansının az olduğunu necə təsəvvür etmək olar? Budur!

Məsələn, hansının daha böyük olduğunu müəyyənləşdirin: və ya?

Dərhal deyə bilməzsən. Yaxşı, kök işarəsi altında ədədin daxil edilməsinin təhlil edilmiş xassəsindən istifadə edək?

Sonra davam edin:

Və aydındır ki, kök işarəsinin altındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, kökün özü də bir o qədər böyükdür!

Bunlar. əgər, onda,.

Buradan qəti nəticəyə gəlirik ki. Və heç kim bizi başqa cür inandıra bilməz!

Çoxlu sayda köklərin çıxarılması

Bundan əvvəl kök işarəsi altında faktoru təqdim etdik, bəs onu necə çıxarmaq olar? Siz sadəcə onu faktorla çıxarmalı və çıxarılanları çıxarmalısınız!

Fərqli bir yol tutmaq və başqa amillərə parçalamaq mümkün idi:

Pis deyil, hə? Bu yanaşmalardan hər hansı biri düzgündür, sizə ən uyğun olanı qərar verin.

Faktorinq bu kimi qeyri-standart vəzifələri həll edərkən çox faydalıdır:

Qorxmuruq, amma hərəkət edirik! Gəlin hər bir amili kök altında ayrı-ayrı amillərə ayıraq:

İndi özünüz cəhd edin (kalkulyator olmadan! O, imtahanda olmayacaq):

Bu sondurmu? Yarım yolda dayanma!

Hamısı budur, o qədər də qorxulu deyil, elə deyilmi?

baş verdi? Yaxşı, düzdür!

İndi bu nümunəni həll etməyə çalışın:

Və misal çatmaq üçün çətin bir qozdur, ona görə də ona necə yaxınlaşacağınızı anlaya bilmirsiniz. Ancaq biz, əlbəttə ki, bunu çətinləşdirə bilərik.

Yaxşı, faktorinqə başlayaq? Dərhal qeyd edin ki, bir ədədi aşağıdakılara bölmək olar (bölünmə meyarlarını unutmayın):

İndi özünüz cəhd edin (yenidən kalkulyator olmadan!):

Yaxşı, işlədi? Yaxşı, düzdür!

Gəlin ümumiləşdirək

1. Mənfi olmayan ədədin kvadrat kökü (arifmetik kvadrat kök) kvadratı bərabər olan qeyri-mənfi ədəddir.
   .
2. Bir şeyin kvadrat kökünü götürsək, həmişə bir qeyri-mənfi nəticə əldə edirik.
3. Arifmetik kök xüsusiyyətləri:
4. Kvadrat kökləri müqayisə edərkən yadda saxlamaq lazımdır ki, kök işarəsinin altındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, kökün özü də bir o qədər böyükdür.

Kvadrat kökü necə bəyənirsiniz? Hər şey aydındır?

Kvadrat kök imtahanında bilməli olduğunuz hər şeyi sizə susuz izah etməyə çalışdıq.

İndi növbə sizdədir. Sizin üçün çətin mövzu olub-olmadığını bizə yazın.

Yeni bir şey öyrəndiniz, yoxsa hər şey artıq aydın idi.

Şərhlərdə yazın və imtahanlarınızda uğurlar!

Kök çıxarma əməliyyatından praktikada uğurla istifadə etmək üçün bu əməliyyatın xüsusiyyətləri ilə tanış olmaq lazımdır.
Bütün xüsusiyyətlər yalnız köklərin işarələri altında olan dəyişənlərin mənfi olmayan dəyərləri üçün tərtib edilir və sübut edilir.

Teorem 1. Kök n iki mənfi olmayan çipselin məhsulundan dərəcə (n = 2, 3, 4, ...) məhsula bərabərdir n-nin kökləri Bu nömrələrin səlahiyyətləri:

Şərh:

1. Teorem 1, radikal ifadənin ikidən çox qeyri-mənfi ədədin hasili olduğu hal üçün etibarlı qalır.

Teorem 2.Əgər, və n 1-dən böyük natural ədəddir, onda bərabərlik

Teorem 1 m-i çoxaltmağa imkan verir yalnız eyni dərəcədə köklər , yəni. yalnız eyni indeksli köklər.

Teorem 3 Əgər ,k natural ədəddir və n 1-dən böyük natural ədəddir, onda bərabərlik

Başqa sözlə, bir kök qurmaq təbii dərəcə, radikal ifadəni bu dərəcəyə qaldırmaq kifayətdir.
Bu, Teorem 1-in nəticəsidir. Həqiqətən, məsələn, k = 3 üçün əldə edirik: Eyni şəkildə, k eksponentinin hər hansı digər təbii qiymətində əsaslandırmaq olar.

Teorem 4 Əgər ,k, n 1-dən böyük natural ədədlərdir, onda bərabərlik

Başqa sözlə, kökdən kök çıxarmaq üçün köklərin indekslərini çoxaltmaq kifayətdir.
Misal üçün,

Ehtiyatlı ol!Öyrəndik ki, köklər üzərində dörd əməliyyat yerinə yetirilə bilər: vurma, bölmə, eksponentasiya və kök çıxarma (kökdən). Bəs köklərin əlavə və çıxması haqqında nə demək olar? Heç bir şəkildə.
Məsələn, onun yerinə Həqiqətən yazmaq mümkün deyil, Amma aydındır ki

Teorem 5 Əgər kökün və radikal ifadənin indeksləri eyni natural ədədə vurulur və ya bölünür, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək, yəni.

Tapşırıqların həlli nümunələri

Misal 2. Hesablayın
Həll. Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirin.
Köklərin ikinci xassəsindən istifadə edirik ( Teorem 2 ), alırıq:

Misal 3. Hesablayın:

Həll. Cəbrdə hər hansı bir düstur, yaxşı bildiyiniz kimi, yalnız "soldan sağa" deyil, "sağdan sola" da istifadə olunur. Deməli, köklərin birinci xassəsi onun formada təmsil oluna bilməsi və əksinə ifadə ilə əvəz oluna bilməsi deməkdir. Eyni şey köklərin ikinci xüsusiyyətinə də aiddir. Bunu nəzərə alaraq, hesablamaları aparaq.