Məhsulun kvadrat kökü nədir. "Əsərin kvadrat kökləri" mövzusunda təqdimat. Mənfi ədədin kökünün çıxarılması

Slayd 2

Dərsin məqsədləri:

Arifmetik kvadrat kök tərifini təkrarlayın. Məhsulun kvadrat kök teoremini təqdim edin və sübut edin. Tapmağı öyrənin. Müstəqil işin köməyi ilə bilik və bacarıqlarınızı yoxlayın.

Slayd 3

Bir məhsulun kvadrat kökü

Dərs planı: biliklərin yenilənməsi. Yeni material öyrənmək. Nümunələrlə düsturun konsolidasiyası. Müstəqil iş. Xülasə. Ev tapşırığı.

Slayd 4

Salam uşaqlar!

Yenə də təkrar edək: 2. Nömrənin arifmetik kvadrat kökü adlanır 3. İfadə hansı dəyərdə məna kəsb edir? 1. İfadənin adı nədir

Slayd 5

Tapın:

1) 2) 3) 7 və ya 7

Slayd 6

Bu gün arifmetik kvadrat kökünün xüsusiyyətlərindən biri ilə tanış olacağıq. Məhsulun kvadrat kökü ilə bağlı teoremi təqdim edək və sübut edək, tətbiq nümunələrini nəzərdən keçirək. Sonra sizə özünü sınamaq üçün tapşırıqlar veriləcək. Uğurlar!

Slayd 7

Gəlin həll etməyə çalışaq

Arifmetik kökü düşünün İfadənin dəyərini tapın: Deməli, iki ədədin hasilinin kökü bu ədədlərin köklərinin hasilinə bərabərdir.

Slayd 8

Mənfi olmayan faktorların məhsulunun kökü bu faktorların köklərinin məhsuluna bərabərdir. Əgər teorem olarsa

Slayd 9

Bir məhsulun kvadrat kökü

Sübut: deməkdir - məna verir. 4. Nəticə: (mənfi olmayan iki ədədin məhsulu mənfi olmadığından) 5. Beləliklə,

Slayd 10

Məhsulun kvadrat kökünün çıxarılması ilə bağlı teoremin sübutunu nəzərdən keçirdik. Praktiki işə keçək. İndi nümunələri həll edərkən bu düsturun necə tətbiq olunduğunu sizə göstərəcəyəm. Mənimlə qərar verin.

Slayd 11

Məhsul kök teoremindən istifadə edərək kvadrat kök hesablayın: Nümunələrin həlli:

Slayd 12

Nümunələri həll edirik:

2. İfadənin mənasını tapın:

Slayd 13

Sürətli faktura

Və bu formulu sürətli hesablamalar üçün necə istifadə edə biləcəyinizi anladım. Baxın və öyrənin.

Slayd 14

Seçim 1 Seçim 2 Sizə öz həlliniz üçün nümunələr təqdim edirəm.

A sayının kvadrat kökü, a -ya bərabər olan bir ədəddir. Məsələn, -5 və 5 ədədləri 25 rəqəminin kvadrat kökləridir. Yəni x ^ 2 = 25 tənliyinin kökləri 25 rəqəminin kvadrat kökləridir. İndi siz Kvadrat kökün çıxarılması əməliyyatı: əsas xüsusiyyətlərini öyrənmək.

Bir məhsulun kvadrat kökü

√ (a * b) = √a * √b

Mənfi olmayan iki ədədin məhsulunun kvadrat kökü, bu ədədlərin kvadrat köklərinin məhsuluna bərabərdir. Məsələn, √ (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

Bu xüsusiyyətin radikal ifadənin üç, dörd və s. Məhsulu olduğu hallara da aid olduğunu başa düşmək vacibdir. mənfi olmayan amillər.

Bəzən bu əmlakın başqa bir formulu var. A və b mənfi olmayan ədədlərdirsə, aşağıdakı bərabərlik doğrudur √ (a * b) = √a * √b. Aralarında heç bir fərq yoxdur, ya birini, ya da digərini istifadə edə bilərsiniz (hansını xatırlamaq daha rahatdır).

Fraksiyanın Kvadrat Kökü

A> = 0 və b> 0 olarsa, aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

√ (a / b) = √a / √b.

Məsələn, √ (9/25) = √9/√25 = 3/5;

Bu mülkün başqa bir formulası da var ki, bu da məncə yadda saxlamaq üçün daha əlverişlidir.
Bölmənin kvadrat kökü köklərin hissəsinə bərabərdir.

Bu düsturların həm soldan sağa, həm də sağdan sola işlədiyini qeyd etmək lazımdır. Yəni, ehtiyac olarsa, köklərin məhsulunu məhsulun kökü kimi təmsil edə bilərik. Eyni şey ikinci əmlaka da aiddir.

Gördüyünüz kimi, bu xüsusiyyətlər çox əlverişlidir və əlavə və çıxma üçün eyni xüsusiyyətlərə sahib olmaq istərdim:

√ (a + b) = √a + √b;

√ (a-b) = √a-√b;

Ancaq təəssüf ki, belə xüsusiyyətlər kvadratdır kökləri yoxdur və buna görə də belədir hesablamalarda edilə bilməz.

Kök formulları. Kvadrat köklərin xüsusiyyətləri.

Diqqət!
Əlavə var
Xüsusi Bölmə 555 -də olan materiallar.
Çox "çox olmayan ..." olanlar üçün
Və "çox bərabər ..." olanlar üçün)

Əvvəlki dərsdə bir kvadrat kökün nə olduğunu anladıq. Hansının mövcud olduğunu anlamağın vaxtı gəldi kök düsturları nələrdir kök xüsusiyyətləri və bütün bunlarla nə edə bilərsiniz.

Kök düsturları, kök xüsusiyyətləri və kökləri olan hərəkət qaydaları mahiyyətcə eyni şeydir. Kvadrat köklər üçün təəccüblü dərəcədə az düstur var. Bu, əlbəttə ki, sevindirir! Əksinə, hər cür düstur yaza bilərsiniz, ancaq köklərlə praktik və inamlı iş üçün yalnız üçü kifayətdir. Bu üç qalanın hamısı axır. Bir çox insan üç kök düsturunda itirilsə də, bəli ...

Ən sadə ilə başlayaq. Budur o:

Bu saytı bəyəndinizsə ...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha maraqlı bir neçə saytım var.)

Nümunələr həll etməyi təcrübə edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Dərhal yoxlama testi. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyaları və törəmələri ilə tanış ola bilərsiniz.

Ayrılmağın vaxtı gəldi kök çıxarma üsulları... Köklərin xüsusiyyətlərinə, xüsusən də hər hansı bir mənfi olmayan b sayına aid olan bərabərliyə əsaslanır.

Aşağıda növbə ilə kök çıxarmanın əsas üsullarını nəzərdən keçirəcəyik.

Ən sadə haldan başlayaq - kvadratlar cədvəli, kublar cədvəli və s.

Əgər kvadratlar, kublar və s. əlində deyilsə, kökün çıxarılması metodundan istifadə etmək məntiqlidir ki, bu da radikal sayın əsas amillərə parçalanmasını nəzərdə tutur.

Ayrı olaraq, tək göstəriciləri olan köklər üçün mümkün olan şeylər üzərində dayanmağa dəyər.

Nəhayət, kök dəyərinin rəqəmlərini ardıcıl olaraq tapmağın bir yoluna baxaq.

Gəlin başlayaq.

Kvadratlardan, kublardan və s. İstifadə etməklə.

Ən sadə hallarda, kökləri çıxarmaq üçün kvadratlar, kublar və s. Cədvəllərdən istifadə edə bilərsiniz. Bu masalar nədir?

0 -dan 99 -a qədər olan tam ədədlərin kvadratları cədvəli (aşağıda göstərilmişdir) iki zonadan ibarətdir. Cədvəlin birinci zonası boz bir fonda yerləşir, müəyyən bir sıra və xüsusi bir sütun seçərək 0 -dan 99 -a qədər bir rəqəm yaratmağa imkan verir. Məsələn, 8 onluqdan ibarət bir sıra və 3 ədəddən ibarət bir sütun seçək, bununla 83 rəqəmini təyin etdik. İkinci zona masanın qalan hissəsini tutur. Hüceyrələrinin hər biri müəyyən bir sətrin və müəyyən bir sütunun kəsişməsində yerləşir və 0 -dan 99 -a qədər müvafiq ədədin kvadratını ehtiva edir. Seçdiyimiz 8 onluq və sütun 3 vahidlərinin kəsişməsində, 83 rəqəminin kvadratı olan 6 889 rəqəmi olan bir hüceyrə var.

Küp masaları, 0 -dan 99 -a qədər olan rəqəmlərin dördüncü gücünün cədvəlləri və sairələr kvadratlar cədvəlinə bənzəyir, yalnız ikinci zonada kublar, dördüncü güclər və s. uyğun nömrələr.

Kvadratlar, kublar, dördüncü dərəcə və s. kvadrat kökləri, kub köklərini, dördüncü kökləri və s. sırasıyla bu cədvəllərdəki rəqəmlərdən. Kök çıxararkən onların tətbiq prinsipini izah edək.

Deyək ki, a sayının n-ci kökünü çıxarmalıyıq, a sayı isə n-cü güc cədvəlindədir. Bu cədvəldən a = b n olan b rəqəmini tapırıq. Sonra buna görə də b sayı tələb olunan n -ci kök olacaq.

Bir nümunə olaraq, 19.683 kub kökünün bir cədvəl istifadə edərək necə əldə edildiyini göstəririk. Kublar cədvəlində 19 683 rəqəmini tapırıq, oradan bu rəqəmin 27 rəqəminin kubu olduğunu görürük, buna görə də .

N-ci güc masalarının kök çıxarmaq üçün çox əlverişli olduğu aydındır. Ancaq çox vaxt əllərində deyillər və onların tərtib edilməsi müəyyən vaxt tələb edir. Üstəlik, tez -tez müvafiq cədvəllərdə olmayan nömrələrdən kök çıxarmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə, kök çıxarmanın başqa üsullarına müraciət etməlisiniz.

Radikal sayın əsas faktorizasiyası

Kökü təbii bir rəqəmdən çıxarmağın olduqca əlverişli yolu (əlbəttə ki, kök çıxarılırsa) radikal sayın əsas amillərə yayılmasıdır. Onun mahiyyəti belədir: kökün dəyərini əldə etməyə imkan verən istədiyiniz eksponentə malik bir güc şəklində təmsil etmək kifayət qədər asandır. Bu məqama aydınlıq gətirək.

N -ci kök a natural ədədindən çıxarılsın və dəyəri b -yə bərabər olsun. Bu vəziyyətdə a = b n bərabərliyi doğrudur. B sayı, hər hansı bir natural ədəd kimi, p 1, p 2, ..., pm bütün əsas faktorlarının məhsulu olaraq p 1 p 2 ... 2 ·… · pm) n şəklində təqdim edilə bilər. Bir ədədin əsas amillərə parçalanması unikal olduğu üçün, a radikal ədədinin əsas faktorlara ayrılması, kökün dəyərini hesablamağa imkan verən (p 1 · p 2 ·… · pm) n formasına malik olacaqdır. kimi.

Diqqət yetirin ki, a radikal sayının əsas faktorlarına parçalanması (p 1 · p 2 ·… · p m) n şəklində təmsil oluna bilmirsə, belə bir a ədədinin n-ci kökü tamamilə çıxarılmır.

Nümunələri həll edərkən bunu anlayaq.

Misal.

144 -ün kvadrat kökünü götürün.

Həll.

Əvvəlki paraqrafda verilən kvadratlar cədvəlinə müraciət etsək, 144 = 12 2 olduğu aydın görünür, burada 144 -ün kvadrat kökünün 12 olduğu aydındır.

Ancaq bu məqamın işığında, 144 radikal sayını əsas faktorlara ayıraraq kökün necə çıxarılması ilə maraqlanırıq. Bu həlli təhlil edək.

Gəlin genişləndirək 144 əsas amillərə görə:

Yəni 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Alınan parçalanmaya əsaslanaraq aşağıdakı transformasiyalar həyata keçirilə bilər: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Deməli, .

Köklərin dərəcəsi və xüsusiyyətlərinin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək həll bir az fərqli şəkildə tərtib edilə bilər:

Cavab:

Materialı birləşdirmək üçün daha iki nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Misal.

Kök dəyərini hesablayın.

Həll.

243 radikalının əsas faktorizasiyası 243 = 35 -dir. Beləliklə, .

Cavab:

Misal.

Kök dəyəri tam ədəddirmi?

Həll.

Bu suala cavab vermək üçün gəlin radikal sayını əsas faktorlara ayıraq və bir ədədin bir kubu olaraq təmsil oluna biləcəyini görək.

Bizdə 285 768 = 2 3 3 6 7 2 var. Yaranan parçalanma tam ədədin bir kubu kimi təmsil olunmur, çünki əsas faktor 7 -nin gücü üçdən çox deyil. Buna görə 285 768 rəqəminin kub kökü tamamilə çıxarılmır.

Cavab:

Yox.

Kəsirli ədədlərdən köklərin çıxarılması

Kökün kəsrli bir saydan necə çıxarıldığını anlamağın vaxtı gəldi. Kesirli radikal ədəd p / q olaraq yazılsın. Bölmənin kökünün xüsusiyyətinə görə aşağıdakı bərabərlik doğrudur. Bu bərabərlik nəzərdə tutur fraksiya kökü: kəsrin kökü, payın kökünün məxrəcin kökünə bölünməsinin hissəsinə bərabərdir.

Bir hissədən bir kök çıxarmaq nümunəsinə baxaq.

Misal.

Adi hissənin kvadrat kökü nədir 25/169.

Həll.

Kvadratlar cədvəlindən, orijinal kəsrin payının kvadrat kökünün 5, məxrəcin kvadrat kökünün 13 olduğunu görürük. Sonra ... Bu, 25/169 ümumi hissəsindən kökün çıxarılmasını tamamlayır.

Cavab:

Ondalık və ya qarışıq ədədlərin kökü, radikal ədədləri adi kəsrlərlə əvəz etdikdən sonra çıxarılır.

Misal.

Ondalık kub kökünü çıxarın 474.552.

Həll.

Orijinal ondalık kəsrini adi bir hissə olaraq təqdim edək: 474.552 = 474552/1000. Sonra ... Yaranan fraksiyanın payında və məxrəcində olan kub köklərini çıxarmaq qalır. Çünki 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 və 1000 = 10 3, onda və ... Yalnız hesablamaları tamamlamaq qalır .

Cavab:

Mənfi ədədin kökünün çıxarılması

Ayrı olaraq, mənfi ədədlərdən köklərin çıxarılması üzərində dayanmağa dəyər. Kökləri öyrənərkən dedik ki, kök göstəricisi tək ədəd olduqda mənfi işarənin altında kök işarəsi ola bilər. Bu cür qeydlərə aşağıdakı mənanı verdik: mənfi bir α sayı və 2n - 1 kökünün tək bir göstəricisi üçün bizdə ... Bu bərabərlik verir mənfi ədədlərdən tək köklərin çıxarılması qaydası: mənfi ədədin kökünü çıxarmaq üçün əks müsbət ədədin kökünü çıxarmaq və nəticənin qarşısına eksi işarəsi qoymaq lazımdır.

Bir nümunənin həllini nəzərdən keçirək.

Misal.

Kök dəyərini tapın.

Həll.

Orijinal ifadəni kök işarəsinin altında müsbət ədəd olması üçün çevirək: ... İndi qarışıq nömrəni adi bir hissə ilə əvəz edirik: ... Adi bir hissədən bir kök çıxarmaq qaydasını tətbiq edirik: ... Yaranan fraksiyanın payında və məxrəcindəki kökləri hesablamaq qalır: .

Həll yolunun qısa bir qeydidir: .

Cavab:

Kök dəyərini tədricən tapmaq

Ümumi halda, kökün altında, yuxarıda müzakirə olunan üsullardan istifadə edərək hər hansı bir ədədin n -cü gücü şəklində təmsil oluna bilməyən bir ədəd var. Ancaq bu vəziyyətdə, ən azı müəyyən bir işarəyə qədər dəqiqliklə verilən bir kökün dəyərini bilmək lazımdır. Bu vəziyyətdə, kökü çıxarmaq üçün, istədiyiniz rəqəmin rəqəmlərinin kifayət qədər miqdarını ardıcıl olaraq əldə etməyə imkan verən bir alqoritmdən istifadə edə bilərsiniz.

Bu alqoritmin ilk addımında kök dəyərinin ən əhəmiyyətli bitinin nə olduğunu öyrənməlisiniz. Bunun üçün 0, 10, 100, ... rəqəmləri, radikal sayını aşan bir ədəd alınana qədər ardıcıl olaraq n gücünə qaldırılır. Sonra əvvəlki addımda n gücünə qaldırdığımız rəqəm müvafiq ən əhəmiyyətli biti göstərəcəkdir.

Nümunə olaraq, beşin kvadrat kökünü çıxararkən alqoritmin bu addımını nəzərdən keçirin. 0, 10, 100, ... rəqəmlərini götürürük və 5 -dən böyük bir rəqəm alana qədər onları kvadratlaşdırırıq. 0 2 = 0 var<5 , 10 2 =100>5, yəni ən əhəmiyyətli bit yerlər olacaq. Bu bitin dəyəri, həm də aşağı olanlar, kök çıxarma alqoritminin növbəti addımlarında tapılacaq.

Alqoritmin bütün sonrakı addımları, kökün istədiyiniz dəyərinin sonrakı rəqəmlərinin dəyərlərinin ən əhəmiyyətli ilə başlayaraq ən kiçiyə doğru hərəkət etməsi səbəbindən kök dəyərinin ardıcıl olaraq təmizlənməsinə yönəldilmişdir. əhəmiyyətli olanlar. Məsələn, ilk addımdakı kök dəyəri 2, ikincisində - 2.2, üçüncüsündə - 2.23 və s. 2.236067977…. Rəqəmlərin dəyərlərinin tapılmasının necə baş verdiyini izah edək.

Rəqəmlərin tapılması onların 0, 1, 2, ..., 9 mümkün dəyərlərini sadalamaqla aparılır. Bu halda, uyğun ədədlərin n-ci gücləri paralel olaraq hesablanır və onlar radikal ədədlə müqayisə edilir. Bir mərhələdə dərəcənin dəyəri radikal rəqəmi aşarsa, əvvəlki dəyərə uyğun gələn rəqəmin dəyəri tapılmış sayılır və bu alınmasa, kökün çıxarılması alqoritminin növbəti mərhələsinə keçid edilir. baş verərsə, bu rəqəmin dəyəri 9 -dur.

Bu nöqtələri beşin kvadrat kökünün çıxarılması ilə eyni nümunə ilə izah edək.

Əvvəlcə ədədlərin dəyərini tapırıq. 0, 1, 2,…, 9 dəyərləri üzərində təkrarlayacağıq, sırasıyla 0 2, 1 2,…, 9 2 hesablayaraq 5 kök sayından daha böyük bir dəyər alana qədər. Bütün bu hesablamalar rahat şəkildə cədvəl şəklində təqdim olunur:

Beləliklə, ədədlərin dəyəri 2 -dir (2 -dən bəri<5 , а 2 3 >5). Onuncu rəqəmin dəyərini tapmağa müraciət edirik. Bu vəziyyətdə, alınan dəyərləri 5 radikal sayı ilə müqayisə edərək 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 rəqəmlərini kvadratlaşdıracağıq:

2.2 -dən bəri 2<5 , а 2,3 2 >5, onda onluq yerin dəyəri 2 -dir. Yüzdəlik rəqəmin dəyərini tapmaq üçün gedə bilərsiniz:

Beləliklə, beşin kökünün növbəti dəyəri tapıldı, 2.23 -ə bərabərdir. Və beləliklə dəyərləri daha da axtarmağa davam edə bilərsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialı konsolidasiya etmək üçün nəzərdən keçirilən alqoritmdən istifadə edərək kökün çıxarılmasını yüzdə bir dəqiqliklə təhlil edəcəyik.

Əvvəlcə ən əhəmiyyətli hissəni təyin edirik. Bunu etmək üçün 0, 10, 100 və s. 2.151.186 -dan böyük bir rəqəm əldə edənə qədər. 0 3 = 0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, buna görə ən əhəmiyyətli rəqəm onluqdur.

Gəlin mənasını təyin edək.

10 3 -dən bəri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, onda on rəqəmin dəyəri 1 -dir. Vahidlərə keçək.

Beləliklə, yerlərin dəyəri 2 -dir. Onuncu hissələrə keçid.

Hətta 12.9 3, 2 151.186 radikal sayından az olduğu üçün onuncu yerin dəyəri 9 -dur. Alqoritmin son addımını yerinə yetirmək qalır, bizə lazım olan dəqiqliklə kökün dəyərini verəcəkdir.

Bu mərhələdə kökün dəyəri yüzdə bir dəqiqliklə tapılır: .

Bu yazının sonunda kökləri çıxarmağın bir çox başqa yolunun olduğunu söyləmək istərdim. Ancaq əksər vəzifələr üçün yuxarıda öyrəndiyimiz tapşırıqlar kifayətdir.

Biblioqrafiya.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 8 -ci sinif üçün dərslik təhsil müəssisələri.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və digərləri.Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Təhsil müəssisələrinin 10-11 sinifləri üçün dərslik.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə müraciət edənlər üçün bələdçi).

Salam, pişiklər! Keçən dəfə köklərin nə olduğunu ətraflı araşdırdıq (xatırlamırsınızsa, oxumağı məsləhət görürəm). Bu dərsdən götürülən əsas şey, bilmək lazım olan köklərin yalnız bir universal tərifinin olmasıdır. Qalanları boş şeydir və vaxt itkisidir.

Bu gün daha da irəli gedirik. Kökləri çoxaltmağı, vurma ilə əlaqəli bəzi problemləri öyrənməyi (bu problemlər həll edilmədikdə imtahanda ölümcül ola bilər) öyrənməyi və düzgün tətbiq etməyi öyrənəcəyik. Beləliklə, popkorn yığın, özünüzü rahat edin və başlayaq. :)

Hələ dadmadın, elə deyilmi?

Dərs olduqca uzun olduğu üçün iki hissəyə ayırdım:

Əvvəlcə vurma qaydalarına nəzər salaq. Cap işarə edir: bu iki kök olduqda, aralarında "vur" işarəsi var - və bununla əlaqədar bir şey etmək istəyirik.
Sonra əks vəziyyəti təhlil edəcəyik: böyük bir kök var və onu daha sadə iki kökün məhsulu kimi təqdim etmək bizi heyran etdi. Bunun nə qorxusu ilə lazımdır - ayrı bir sual. Yalnız alqoritmi təhlil edəcəyik.

Düzgün ikinci hissəyə keçmək səbirsiz olanlar üçün xoş gəlmisiniz. Qalanları sırayla başlayaq.

Çarpmanın əsas qaydası

Ən sadə - klassik kvadrat köklərdən başlayaq. $ \ Sqrt (a) $ və $ \ sqrt (b) $ ilə işarələnənlər. Onlar üçün ümumiyyətlə hər şey aydındır:

Çarpma qaydası. Bir kvadrat kökü digərindən çoxaltmaq üçün onların radikal ifadələrini çoxaltmalı və nəticəni ümumi radikalın altına yazmalısan:

\ [\ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (b) = \ sqrt (a \ cdot b) \]

Sağdakı və ya soldakı nömrələrə əlavə məhdudiyyət qoyulmur: əgər kök faktorları varsa, məhsul da mövcuddur.

Nümunələr. Bir anda rəqəmlərlə dörd nümunəyə baxaq:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27 )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ end (align) \]

Gördüyünüz kimi, bu qaydanın əsas məqamı irrasional ifadələri sadələşdirməkdir. Və əgər birinci nümunədə biz özümüz heç bir yeni qaydalar olmadan 25 və 4 -dən kökləri çıxaracaqdıqsa, qalay daha da başlayır: $ \ sqrt (32) $ və $ \ sqrt (2) $ özləri sayılmır, ancaq onların məhsulu dəqiq bir kvadrat olduğu ortaya çıxır, buna görə də kökü rasional saya bərabərdir.

Son sətri də qeyd etmək istərdim. Orada hər iki radikal ifadə kəsrdir. Məhsul sayəsində bir çox faktor ləğv edilir və bütün ifadə uyğun bir rəqəmə çevrilir.

Əlbəttə ki, hər şey həmişə belə gözəl olmayacaq. Bəzən köklərin altında tam bir qarışıqlıq olacaq - bununla nə edəcəyimiz və vurulandan sonra necə çevriləcəyimiz bəlli deyil. Bir az sonra irrasional tənliklər və bərabərsizlikləri öyrənməyə başlayanda ümumiyyətlə hər cür dəyişən və funksiya olacaq. Və çox vaxt problem qurucuları, bəzi ləğv şərtləri və ya amillər tapacağını gözləyirlər, bundan sonra vəzifə çox sadələşdiriləcək.

Bundan əlavə, tam olaraq iki kökü çoxaltmaq lazım deyil. Bir anda üçü, dördünü vura bilərsiniz - amma ən azı on! Bu qaydanı dəyişdirməyəcək. Bax:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0.001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ son (hizalan) \]

Və yenə də ikinci nümunəyə kiçik bir şərh. Gördüyünüz kimi, kökün altındakı üçüncü faktorda ondalık kəsr var - hesablamalar zamanı onu adi ilə əvəz edirik, bundan sonra hər şey asanlıqla ləğv edilir. Beləliklə: Hər hansı bir irrasional ifadədə (yəni ən azı bir radikal işarəsi olan) ondalık kəsrlərdən qurtulmağı şiddətlə tövsiyə edirəm. Bu, gələcəkdə çox vaxtınıza və əngəlinizə qənaət edəcək.

Ancaq bu, lirik bir geriləmə idi. İndi daha ümumi bir vəziyyəti nəzərdən keçirək - kökün eksponentində ixtiyari $ n $ sayı olduqda və yalnız "klassik" ikisini deyil.

Özbaşına eksponent işi

Beləliklə, kvadrat kökləri anladıq. Və kubiklərlə nə etməli? Yoxsa ümumiyyətlə $ n $ ixtiyari dərəcə kökləri ilə? Bəli, hər şey eynidir. Qayda eyni olaraq qalır:

$ N $ dərəcəsinin iki kökünü çoxaltmaq üçün onların radikal ifadələrini çoxaltmaq və sonra nəticəni bir radikalın altına yazmaq kifayətdir.

Ümumiyyətlə, mürəkkəb bir şey yoxdur. Hesablama miqdarı daha çox ola biləcəyi istisna olmaqla. Bir neçə nümunəyə baxaq:

Nümunələr. Məhsulları hesablayın:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3)))) ((((25) ^ (3)) )) = \ sqrt (((\ \ sol (\ frac (4) (25) \ sağ)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ end (align) \]

Və yenə də ikinci ifadəyə diqqət. Kub köklərini çoxaldırıq, ondalık kəsrdən qurtarırıq və nəticədə məxrəcdə 625 və 25 ədədlərinin məhsulunu alırıq.Bu olduqca böyük bir rəqəmdir - şəxsən nəyə bərabər olduğunu hesablamıram. .

Buna görə, sadəcə olaraq say və məxrəcdə dəqiq kub seçdik və sonra $ n $ -th kökünün əsas xüsusiyyətlərindən birini (və ya istəsəniz, tərifi) istifadə etdik:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & \ sqrt ((((a) ^ (2n + 1)))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ sol | a \ sağ |. \\ \ end (align) \]

Bu cür "hiylələr" bir imtahanda və ya testdə vaxtınıza çox qənaət edə bilər, buna görə də unutmayın:

Radikal ifadədə ədədləri çoxaltmağa tələsməyin. Əvvəlcə yoxlayın: hansı ifadənin dəqiq dərəcəsi orada "şifrələnsə"?

Bu qeydin bütün açıqlığı ilə etiraf etməliyəm ki, təlimsiz tələbələrin çoxu dəqiq dərəcələri nöqtə aralığında görmürlər. Bunun əvəzinə hər şeyi çoxaldırlar və sonra təəccüblənirlər: niyə bu qədər qəddar nömrələr əldə etdilər? :)

Ancaq bütün bunlar indi öyrənəcəyimizə nisbətən uşaqlıqdır.

Fərqli göstəricilərlə köklərin vurulması

Tamam, indi eyni göstəricilərlə kökləri çoxalda bilirik. Göstəricilər fərqli olsa nə olar? Adi $ \ sqrt (2) $ -ı $ \ sqrt (23) $ kimi bir şeylə necə vurmaq olar? Bunu ümumiyyətlə etmək mümkündürmü?

Bəli, əlbəttə edə bilərsiniz. Hər şey bu düstura görə aparılır:

Kök vurma qaydası. $ \ Sqrt [n] (a) $ -ı $ \ sqrt [p] (b) $ ilə çoxaltmaq üçün sadəcə aşağıdakı çevrilməni etməlisiniz:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n)))]]

Ancaq bu formula yalnız əgər işləyir radikal ifadələr mənfi deyil... Bu bir az sonra geri dönəcəyimiz çox vacib bir məqamdır.

Hələlik bir neçə nümunəyə baxaq:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ end (align) \]

Gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur. İndi mənfilik tələbinin haradan gəldiyini və onu pozsaq nə olacağını anlayaq. :)

Kökləri çoxaltmaq asandır

Niyə radikal ifadələr mənfi olmamalıdır?

Əlbəttə ki, məktəb müəllimləri kimi ola və ağıllı bir baxışla dərslikdən sitat gətirə bilərsiniz:

Mənfilik tələbi, cüt və tək dərəcələrin köklərinin fərqli tərifləri ilə əlaqələndirilir (müvafiq olaraq, onların tərif sahələri də fərqlidir).

Yaxşı, daha aydın oldu? Şəxsən mən 8 -ci sinifdə bu cəfəngiyyatı oxuyanda belə bir şey başa düşdüm: "Mənfilikdən imtina tələbi * # & ^ @ ( * # @ ^ #) ~%ilə bağlıdır" - qısası, etmədim o vaxt bok anlamıram. :)

İndi hər şeyi normal bir şəkildə izah edəcəyəm.

Əvvəlcə yuxarıda verilən vurma düsturunun haradan qaynaqlandığını öyrənək. Bunu etmək üçün kökün bir vacib xüsusiyyətini xatırlatmağa icazə verin:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt ((((a) ^ (k))) \]

Başqa sözlə, radikal ifadəni etibarlı şəkildə $ k $ hər hansı bir təbii gücə qaldıra bilərik - bu halda kökün eksponenti eyni güclə vurulmalı olacaq. Bu səbəbdən hər hansı bir kökü asanlıqla ortaq bir göstəriciyə endirə və sonra çoxalda bilərik. Beləliklə, vurma formulu alınır:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n)) \]

Ancaq bütün bu düsturların tətbiqini ciddi şəkildə məhdudlaşdıran bir problem var. Bu rəqəmi düşünün:

Yeni verilən düstura görə istənilən dərəcəni əlavə edə bilərik. $ K = 2 $ əlavə etməyə çalışaq:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ \ sol (-5 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

Mənfi çıxardıq, çünki kvadrat minusu yandırır (hər hansı digər güc kimi). Və indi tərs çevrilməni həyata keçirəcəyik: ikisini üstəgəl və dərəcədə "azaldacağıq". Axı, hər hansı bir bərabərlik həm soldan sağa, həm də sağdan sola oxunur:

\ [\ başla (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (a); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ end (align) \]

Ancaq sonra bir növ axmaqlıq ortaya çıxır:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

Bu ola bilməz, çünki $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ və $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Bu o deməkdir ki, formula artıq dərəcələr və mənfi ədədlər üçün işləmir. Sonra iki seçimimiz var:

Riyaziyyatın axmaq bir elm olduğunu söyləmək üçün özünüzü divara vurun, "bəzi qaydalar var, amma bu düzgün deyil";
Formulun 100% işləyəcəyi əlavə məhdudiyyətlər tətbiq edin.

Birinci seçimdə, "işləməyən" halları daim tutmalı olacağıq - çətin, uzun və ümumiyyətlə fu. Buna görə riyaziyyatçılar ikinci varianta üstünlük verdilər. :)

Amma narahat olma! Təcrübədə bu məhdudiyyət heç bir şəkildə hesablamalara təsir etmir, çünki təsvir olunan bütün problemlər yalnız qəribə dərəcədə köklərə aiddir və onlardan mənfi cəhətləri çıxara bilərsiniz.

Buna görə, kökləri olan bütün hərəkətlərə ümumiyyətlə tətbiq olunan başqa bir qayda hazırlayacağıq:

Kökləri çoxaltmadan əvvəl radikal ifadələri mənfi olmayan hala gətirin.

Misal. $ \ Sqrt (-5) $ sayında, kök işarəsinin altından mənfi çıxara bilərsiniz - onda hər şey yaxşı olacaq:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt ((((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]

Fərqi hiss edirsənmi? Mənfi kökün altına qoysanız, radikal ifadə kvadrat olduqda, yox olur və bok başlayır. Əvvəlcə mənfi çıxarsanız, mavi dönməzdən əvvəl də meydanı düzəldə / silə bilərsiniz - rəqəm mənfi olaraq qalacaq. :)

Beləliklə, kökləri çoxaltmağın ən düzgün və ən etibarlı yolu aşağıdakılardır:

Radikalların altından bütün mənfi cəhətləri çıxarın. Tək çoxluğun köklərində yalnız çatışmazlıqlar var - onlar kökün önünə yerləşdirilə bilər və lazım gələrsə qısaldıla bilər (məsələn, bu çatışmazlıqlardan ikisi varsa).
Bugünkü dərsdə yuxarıda müzakirə olunan qaydalara əsasən vurma aparın. Kök indeksləri eynidirsə, radikal ifadələri çoxaldırıq. Fərqli olsalar, pis düsturdan istifadə edirik [[\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \].
3. Nəticədən və yaxşı qiymətlərdən zövq alırıq. :)

Yaxşı? Gəl məşq edək?

Misal 1. İfadəni sadələşdirin:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ sol (- \ sqrt (\ frac (4) (3) )) \ sağ) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ kvadrat (64) = - 4; \ son (hizalan) \]

Bu ən sadə seçimdir: köklərin indeksləri eyni və təkdir, problem yalnız ikinci faktorun mənfi tərəfindədir. Bu mənfi nəfiqi çıxarırıq, bundan sonra hər şey asanlıqla nəzərə alınır.

Misal 2. İfadəni sadələşdirin:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ \ sol (((2) ^ (5)) \ sağ))) ^ (3)) \ cdot ((\ sol (((2) ^ (2)) \ sağ))) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt ((((2) ^ (23))) \\ \ end ( hizalayın) \]

Burada bir çoxları çıxışın irrasional bir rəqəm olması ilə qarışıq olardı. Bəli, belə olur: kökündən tamamilə qurtula bilmədik, amma heç olmasa ifadəni əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirdik.

Misal 3. İfadəni sadələşdirin:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ \ sol ((( a) ^ (4)) \ sağ)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

Diqqətinizi bu işə yönəltmək istərdim. Bir anda iki nöqtə var:

Kök müəyyən bir rəqəm və ya dərəcə deyil, dəyişən $ a $. İlk baxışdan bu bir az qeyri -adi haldır, amma əslində riyazi problemləri həll edərkən ən çox dəyişənlərlə məşğul olmaq məcburiyyətində qalacaqsınız.
Sonda kök eksponenti və radikal ifadənin dərəcəsini "azaltmağı" bacardıq. Bu olduqca tez -tez olur. Və bu, əsas düsturu istifadə etmədiyiniz təqdirdə hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırmağın mümkün olduğunu göstərir.

Məsələn, bunu edə bilərsiniz:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ \ sol (((a) ^) 4)) \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt ((((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ bit (hizalan) \]

Əslində, bütün çevrilmələr yalnız ikinci radikal ilə həyata keçirildi. Və bütün aralıq addımları ətraflı təsvir etməsəniz, nəticədə hesablamaların miqdarı əhəmiyyətli dərəcədə azalacaq.

Əslində $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $ nümunəsini həll edərkən yuxarıda oxşar bir vəzifə ilə qarşılaşdıq. İndi daha sadə bir şəkildə təsvir edilə bilər:

\ [\ başla (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ sol (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ sağ)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ \ sol (75 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ son (hizalan) \]

Yaxşı, köklərin vurulmasını anladıq. İndi tərs əməliyyatı nəzərdən keçirək: məhsul kök altında olduqda nə etməli?