Як витягти корінь 4 ступеня з числа. Квадратний корінь. Детальна теорія з прикладами. Навіщо взагалі потрібне коріння

Розміщений на нашому сайті. Вилучення кореня з-поміж часто використовується в різних розрахунках, а наш калькулятор - це відмінний інструмент для подібних математичних обчислень.

Онлайн калькулятор з корінням дозволить швидко і просто зробити будь-які розрахунки, що містять вилучення кореня. Корінь третього ступеня вважає також легко, як і квадратний корінь із числа, корінь із негативного числа, корінь із комплексного числа, корінь із числа пі і т.д.

Обчислення кореня у складі можливе вручну. Якщо є можливість обчислити цілий корінь числа, то знаходимо значення підкореного виразу по таблиці коренів. В інших випадках наближене обчислення коренів зводиться до розкладання підкореного виразу на твір більш простих множників, які є ступенями і їх можна забрати за знак кореня, максимально спрощуючи вираз під коренем.

Але не варто використати таке рішення кореня. І ось чому. По-перше, доведеться витратити багато часу на подібні розрахунки. Числа докорінно, а точніше сказати, вирази можуть бути досить складними, а ступінь не обов'язково квадратичний або кубічний. По-друге, який завжди влаштовує точність таких обчислень. І, по-третє, є онлайн калькулятор коріння, який зробить за вас будь-яке вилучення кореня за лічені секунди.

Витягти корінь у складі — значить знайти таке число, що з його зведенні у ступінь n дорівнюватиме значення підкореного висловлювання, де n — це ступінь кореня, саме число — основу кореня. Корінь 2 ступеня називають простим або квадратним, а корінь третього ступеня - кубічним, опускаючи в обох випадках вказівку ступеня.

Рішення коренів в онлайн калькуляторі зводиться лише написання математичного висловлювання у рядку введення. Вилучення з кореня в калькуляторі позначається як sqrt і виконується за допомогою трьох клавіш - вилучення квадратного кореня sqrt (x), витяг коріння кубічного sqrt3 (x) і вилучення кореня n ступеня sqrt (x, y). Більш детальна інформація про панель керування представлена ​​на сторінці.

Вилучення квадратного кореня

Натискання цієї кнопки вставить у рядку введення запис вилучення із квадратного кореня: sqrt(x), вам потрібно тільки внести підкорене вираз і закрити дужку.

Приклад розв'язання квадратного коріння в калькуляторі:

Якщо під коренем негативне число, а ступінь кореня парна, то відповідь буде представлена ​​у вигляді комплексного числа з уявною одиницею i.

Квадратний корінь із негативного числа:

Корінь третього ступеня

Використовуйте цю клавішу, коли потрібно вийняти кубічний корінь. Вона вставляє у рядку введення запису sqrt3(x).

Корінь 3 ступеня:

Корінь ступеня n

Звичайно, онлайн калькулятор коренів дозволяє видобувати не тільки квадратний і кубічний корінь з числа, але також корінь ступеня n. Натискання цієї кнопки виведе запис типу sqrt(x x,y).

Корінь 4 ступеня:

Точний корінь n ступеня з числа можна отримати тільки, якщо саме число є точним значенням ступеня n. А якщо ні, то розрахунок вийде приблизним, хоча і дуже близьким до ідеалу, так як точність обчислень онлайн калькуляторадосягає 14 знаків після коми.

Корінь 5 ступеня із приблизним результатом:

Корінь із дробу

Обчислити корінь калькулятор може з різних чисел та виразів. Знаходження кореня дробу зводиться до окремого вилучення кореня з чисельника та знаменника.

Квадратний корінь із дробу:

Корінь із кореня

У випадках коли корінь виразу знаходиться під коренем, за якістю коренів їх можна замінити одним коренем, ступінь якого дорівнюватиме добутку степенів обох. Простіше кажучи, щоб витягти корінь, досить перемножити показники коренів. У наведеному малюнку прикладі вираз корінь третього ступеня кореня другого ступеня можна замінити одним коренем шостого ступеня. Вказуйте вираз так, як вам зручно. Калькулятор у будь-якому випадку все розрахує правильно.

Вітаю: сьогодні ми розбиратимемо коріння — одну з найбільш мозковиносних тем 8-го класу.:)

Багато хто плутається в корінні не тому, що воно складне (чого там складного — пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначається через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою гарного віскі.

Тому зараз я дам найправильніше і грамотне визначення кореня — єдине, яке вам справді слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, про який багато укладачів підручників чомусь «забувають»:

Коріння бувають парного ступеня (наш улюблений $\sqrt(a)$, а також всякі $\sqrt(a)$ і навіть $\sqrt(a)$) і непарного ступеня (всякі $\sqrt(a)$, $\ sqrt(a)$ і т.д.). І визначення кореня непарного ступеня дещо відрізняється від парного.

Ось у цьому гребаном «дещо відрізняється» приховано, напевно, 95% усіх помилок та непорозуміння, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз $a$ - це будь-яке невід'ємнечисло $b$ таке, що $((b)^(n))=a$. А корінь непарного ступеня з того ж числа $a$ - це взагалі будь-яке число $b$, для якого виконується та сама рівність: $((b)^(n))=a$.

У будь-якому випадку корінь позначається так:

\(a)\]

Число $n$ у такому записі називається показником кореня, а число $a$ - підкореним виразом. Зокрема, при $n=2$ отримаємо наш «улюблений» квадратний корінь (до речі, це корінь парного ступеня), а за $n=3$ — кубічний (ступінь непарний), який теж часто зустрічається в завданнях та рівняннях.

приклади. Класичні приклади квадратного коріння:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \ & \ sqrt (81) = 9; \ & \ sqrt (256) = 16. \\ \end(align)\]

До речі, $ \ sqrt (0) = 0 $, а $ \ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $((0)^(2))=0$ і $((1)^(2))=1$.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються - не треба їх боятися:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ \sqrt(-64)=-4; \ & \ sqrt (343) = 7. \\ \end(align)\]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\&\sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, у чому різниця між парним та непарним ступенем — перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливість коренів, через яку нам потрібно було вводити роздільне визначення для парних і непарних показників.

Навіщо взагалі потрібне коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: Що курили математики, коли це вигадували? І справді: навіщо взагалі потрібне все це коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку початкові класи. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішими, а пельмені смачнішими, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, щось на кшталт «п'ять на п'ять — двадцять п'ять», ось це все. Але можна множити числа не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \ \ 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Проте суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - люди ледачі, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони вигадали ступеня. Чому б замість довгого рядка не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу ось такого:

Це дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу листів пергаменту блокнотиків на запис якогось 5 183 . Такий запис назвали ступенем числа, у неї знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної п'янки, яку організували саме з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо наполегливий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відома міра числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що деяке число $b$, припустимо, п'ятою мірою дає 243, то як нам здогадатися, чому одно саме число $b$?

Проблема ця виявилася набагато глобальнішою, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості «готових» ступенів таких «вихідних» чисел немає. Судіть самі:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \ & ((b) ^ (3)) = 64 Rightarrow b = 4 cdot 4 cdot 4 Rightarrow b = 4. \\ \end(align)\]

А що якщо $((b)^(3))=50$? Виходить, що треба знайти якесь число, яке тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше за 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто. це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно одно - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і вигадали коріння $n$-го ступеня. Саме для цього ввели піктограму радикала $\sqrt(*)$. Щоб позначити те саме число $b$, яке в даній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Не сперечаюся: найчастіше це коріння легко вважається — ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки в більшості випадків, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, на вас чекає жорстокий облом.

Та що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $\sqrt(2)$ не можна уявити у звичному нам вигляді - як ціле число або дрібничка. А якщо ви вб'єте це число в калькулятор, то побачите це:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. Наприклад:

\[\sqrt(2)=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Або ось ще приклад:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Але ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з приблизними значеннями теж треба вміти, інакше можна впіймати купу неочевидних помилок (до речі, навичка порівняння та округлення в обов'язковому порядку перевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозній математиці без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками множини всіх дійсних чисел $\mathbb(R)$, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь як дробу виду $\frac(p)(q)$ означає, що це корінь перестав бути раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж тощо). Але про це — іншого разу.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж таки залишаться у відповіді.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\end(align)\]

Звичайно, за зовнішньому виглядукореня практично неможливо здогадатися про те, які числа будуть йти після коми. Втім, можна порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $\sqrt(5)$ та $\sqrt(-2)$.

Саме для цього їх і вигадали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач вже напевно помітив, що всі квадратні корені, наведені в прикладах, витягуються з позитивних чисел. Ну, у крайньому разі, з нуля. А ось кубічні корені незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа - хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Погляньте на графік функції $y=((x)^(2))$:

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $\sqrt(4)$. Для цього на графіку проведено горизонтальну лінію $y=4$ (позначено червоним кольором), яка перетинається з параболою у двох точках:$((x)_(1))=2$ і $((x)_(2)) =-2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло - воно позитивне, тому воно є корінь:

Але що робити тоді з другою точкою? Типу у четвірки одразу два корені? Адже якщо звести до квадрата число −2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати$\sqrt(4)=-2$? І чому вчителі дивляться на такі записи так, ніби хочуть вас зжерти?:)

У тому й біда, що якщо не накладати жодних додаткових умов, то квадратного коріння у четвірки буде два — позитивне і негативне. І у будь-якого позитивного числа їх також буде два. А ось у негативних чисел коріння взагалі не буде — це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче за осю y, тобто. не набуває негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коріння з парним показником $n$ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь із парним $n$ взагалі не вилучається.

Саме тому у визначенні кореня парного ступеня $n$ спеціально обговорюється, що відповідь має бути негативним числом. Так ми позбавляємося неоднозначності.

Зате для непарних $n$ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, погляньмо на графік функції $y=((x)^(3))$:

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на якій висоті ми не проводили б горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна витягти завжди, абсолютно з будь-якого числа;
2. Крім того, таке перетин завжди буде єдиним, тому не треба думати, яке число вважати «правильним» коренем, а яке забити. Саме тому визначення коренів для непарного ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Жаль, що ці прості речі не пояснюють у більшості підручників. Замість цього нам починають парити мозок будь-якими арифметичними корінням та їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього всі роздуми про коріння $n$-й кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти те визначення, яке дав вище. Інакше через велику кількість термінів у голові почнеться така каша, що в результаті взагалі нічого не зрозумієте.

А всього-то і потрібно зрозуміти різницю між парними та непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парної міри існує лише з неотрицательного числа і сам є неотрицательным числом. Для негативних чисел такий корінь невизначений.
2. А ось корінь непарного ступеня існує з будь-якого числа і може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних - як натякає кеп, негативний.

Хіба це важко? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємось із обчисленнями.

Основні властивості та обмеження

Коріння має багато дивних властивостей і обмежень — про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка відноситься лише до коріння з парним показником. Запишемо цю властивість у вигляді формули:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x \right|\]

Іншими словами, якщо звести число на парний ступінь, а потім з цього витягти корінь того ж ступеня, ми отримаємо не вихідне число, яке модуль . Це проста теорема, яка легко доводиться (досить окремо розглянути невід'ємні $x$, потім окремо — негативні). Про неї постійно товкмачать вчителі, її дають у кожному шкільному підручнику. Але як тільки справа доходить до вирішення ірраціональних рівнянь (тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися у питанні, давайте на хвилину забудемо всі формули та спробуємо порахувати два числа напролом:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Це дуже прості приклади. Перший приклад вирішить більшість людей, а ось на другому багато хто залипає. Щоб без проблем вирішити будь-яку хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться у четвертий ступінь. Ну, це нескладно. Вийде нове число, яке навіть у таблиці множення можна знайти;
2. І ось вже з цієї нової кількості необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто. ніякого «скорочення» коріння та ступенів не відбувається — це послідовні дії.

Розберемося з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Потім витягаємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те саме з другим виразом. Спочатку зводимо число −3 у четверту міру, навіщо потрібно помножити його саме він 4 разу:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Отримали позитивне число, оскільки загальна кількість мінусів у творі — 4 штуки, і всі вони взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову вилучаємо корінь:

У принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжу зрозуміло, що відповідь вийде одна і та сама. Тобто. парний корінь з тієї ж парної міри «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парного ступеня: результат завжди негативний, та й під знаком радикала теж завжди стоїть негативне число. В іншому випадку корінь не визначений.

Зауваження щодо порядку дій

1. Запис $\sqrt(((a)^(2)))$ означає, що ми спочатку зводимо число $a$ у квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $((a)^(2))\ge 0$ у будь-якому разі;
2. А ось запис $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, навпаки, означає, що ми спочатку витягуємо корінь з деякого числа $a$ і лише потім зводимо результат у квадрат. Тому число $a$ в жодному разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладена у визначення.

Таким чином, у жодному разі не можна бездумно скорочувати коріння та ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідне вираження. Тому що якщо під корінням стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, усі ці проблеми є актуальними лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, коріння з непарними показниками теж має свою фішку, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знаку коріння непарного ступеня. Це дуже корисна властивість, яка дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \ sqrt (32) = \ \ & = 3 \ cdot 2 = 6. \end(align)\]

Ця проста властивість значно спрощує багато обчислень. Тепер не треба переживати: раптом під коренем затесалося негативне вираження, а ступінь у кореня виявився парним? Достатньо лише «викинути» всі мінуси за межі коріння, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілих речей, які у випадку з «класичним» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення — те саме, з якого здебільшого шкіл і починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

Арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилину, що під знаком кореня можуть бути лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні/непарні показники, заб'ємо на всі визначення, наведені вище - працюватимемо тільки з негативними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь — він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж таки відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $n$-й ступеня з неотрицательного числа $a$ називається таке неотрицательное число $b$, що $((b)^(n))=a$.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість її з'явилося нове обмеження: підкорене вираз тепер завжди неотрицательно, та й сам корінь теж негативний.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної та кубічної параболи:

Як бачите, відтепер нас цікавлять ті шматки графіків, які розташовані в першій координатній чверті — там, де координати $x$ і $y$ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: чи маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше, у принципі, не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: "Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?" Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через яку нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило зведення в ступінь:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Зверніть увагу: ми можемо звести підкорене вираз у будь-який ступінь і одночасно помножити на цей самий ступінь показник кореня — і в результаті вийде те саме число! Ось приклади:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\\end(align)\]

І що в цьому такого? Чому ми не могли це зробити раніше? А ось чому. Розглянемо простий вираз: $\sqrt(-2)$ — це цілком нормальне у нашому класичному розумінні, але абсолютно неприпустимо з погляду арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Як бачите, у першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, тому що показник непарний), а в другому – скористалися зазначеною вище формулою. Тобто. з погляду математики все зроблено за правилами.

WTF? Як і те саме число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, який чудово працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну брехню у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися подібної неоднозначності, і вигадали арифметичні корені. Їм присвячений окремий великий урок, де докладно розглядаємо їх властивості. Тож зараз не будемо на них зупинятись — урок і так вийшов затягнутим.

Алгебраїчне коріння: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему до окремого параграфу чи ні. Зрештою вирішив залишити тут. Цей матеріал призначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще – вже не на середньому «шкільному» рівні, а на наближеному до олімпіадного.

Так от: крім «класичного» визначення кореня $n$-го ступеня з числа і пов'язаного з ним поділу на парні та непарні показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності та інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $n$-й ступеня з-поміж будь-якого $a$ — це безліч всіх чисел $b$ таких, що $((b)^(n))=a$. Для такого коріння немає усталеного позначення, тому просто поставимо рисочку зверху:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що корінь алгебри — це не конкретне число, а безліч. А оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожнє безліч. Виникає у разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парного ступеня негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Усі коріння непарних ступенів, а також корені парних ступенів з нуля потрапляють у цю категорію;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $((x)_(1))$ і $((x)_(2))=-((x)_(1))$, яке ми бачили на графіку квадратичні функції. Відповідно, такий розклад можливий лише за вилучення кореня парного ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує на докладніший розгляд. Порахуємо кілька прикладів, щоб зрозуміти різницю.

приклад. Обчисліть вирази:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Рішення. З першим виразом все просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Саме два числа входять до складу множини. Тому що кожне з них у квадраті дає четвірку.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тут бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня непарний.

Нарешті, останній вираз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Отримали пусте безліч. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четвертий (тобто парний!) ступінь дасть нам негативне число −16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково скрізь зазначав, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа - там цілком можна порахувати і $ \ sqrt (-16) $, і багато інших дивних речей.

Однак у сучасному шкільному курсі математики комплексні числа майже зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему надто складною для розуміння.

На цьому все. У наступному уроці ми розглянемо всі ключові властивості коренів і навчимося, нарешті, спрощувати ірраціональні вирази.

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n/b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коріння з цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношеннюділимого і дільника коріння:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-ую ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютної величининепозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки за m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою при m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ой міри з m-ой ступеня цього числа а.

Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!

Почнемо з простенького:

Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:

Засвоїв? Ось тобі наступний:

Коріння з чисел, що виходять, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:

А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Тепер повністю самостійно:

Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!

Поділ коріння

З множенням коріння розібралися, тепер приступимо до властивості розподілу.

Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:

А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.

Ну що, давай розбиратися на прикладах:

Ось і вся наука. А ось такий приклад:

Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.

А що, якщо трапиться такий вираз:

Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:

А ось такий приклад:

Ще ти можеш зустріти такий вираз:

Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!

Упевнена, що ти з усім, усім впорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.

Зведення в ступінь

А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня у складі - це число, квадратний корінь якого дорівнює.

Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?

Ну звичайно, !

Розглянемо на прикладах:

Все просто, правда? А якщо корінь буде інакше? Нічого страшного!

Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.

Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі міра парна, а якщо вона буде непарна? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади всі на множники:

З цим начебто все ясно, а як витягти корінь з-поміж ступеня? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більший за два? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:

А ось і відповіді:

Внесення під знак кореня

Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під знак кореня!

Це дуже легко!

Допустимо, у нас записано число

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.

Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:

Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!

Порівняння коренів

Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?

Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)

Отримані відповіді необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для вирішення рівняння. І ось тут виникає загвіздка: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Ось і воно!

Наприклад, визнач, що більше: чи?

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?

Тоді вперед:

Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!

Тобто. якщо, отже, .

Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

Вилучення коріння з великих чисел

До цього ми вносили множник під знак кореня, як його винести? Потрібно просто розкласти його на множники і витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:

Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під корінням на окремі множники:

А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):

Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!

Ось і все, не так все і страшно, правда?

Вийшло? Молодець, все правильно!

А тепер спробуй такий приклад вирішити:

А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.

Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки подільності):

А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):

Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!

Підведемо підсумки

1. Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) з неотрицательного числа називається таке неотрицательное число, квадрат якого дорівнює.
   .
2. Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь з чогось, то завжди отримуємо один негативний результат.
3. Властивості арифметичного кореня:
4. При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.

Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло?

Ми постаралися пояснити тобі без води все, що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.

Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.

Дізнався ти щось нове чи все було так ясно.

Пиши в коментарях та удачі на іспитах!

Щоб успішно використовувати практично операцію вилучення кореня, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції.
Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.

Теорема 1. Корінь n-йступеня (n = 2, 3, 4, ...) з добутку двох невід'ємних чіпсел дорівнює твору коріння n-йступеня з цих чисел:

Зауваження:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.

Теорема 2.Якщо, і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Теорема 1 дозволяє нам перемножувати т тільки коріння однакового ступеня , тобто. лише коріння з однаковим показником.

Теорема 3.Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, Досить звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.

Теорема 4.Якщо ,k, n - натуральні числа, більші за 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб витягти корінь, досить перемножити показники коренів.
Наприклад,

Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення у ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коріння? Ніяк.
Наприклад, замість не можна написати Справді, Але ж очевидно, що

Теорема 5. Якщо показники кореня і підкореного виразу помножити або розділити на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться, тобто.

Приклади вирішення завдань

приклад 2.Обчислити
Рішення.Обернемо змішане число в неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коріння ( теорема 2 ), отримаємо:

Приклад 3.Обчислити:

Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перше властивість коренів означає, що можна у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме відноситься і до другої якості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення.