Побудова фігур за допомогою лінійки та циркуля. Побудова за допомогою циркуля та лінійки відрізка рівного твору чи відношенню двох інших – творча робота. Вивчення нового матеріалу

Якщо цілком природно, що з припущенням більшого розмаїття інструментів виявляється можливим вирішувати величезне безліч завдань на побудову, можна було б передбачити, що, навпаки, при обмеженнях, накладених на інструменти, клас вирішуваних завдань звужуватися. Тим паче чудовим слід вважати відкриття, зроблене італійцем Маскероні (1750-1800): все геометричні побудови, здійснені з допомогою циркуля і лінійки, може бути виконані з допомогою лише циркуля. Слід, звичайно, зазначити, що провести насправді пряму лінію через дві дані точки без лінійки неможливо, тому ця основна побудова не покривається теорією Маскероні. Натомість доводиться вважати, що пряма задана, якщо задані дві її точки. Але за допомогою одного лише циркуля вдається знайти точку перетину двох прямих, заданих таким чином, або точку перетину прямої з колом.

Ймовірно, найпростішим прикладом побудови Маскероні є подвоєння даного відрізка Рішення було вже дано на стор. 185. Далі, на стор. 186 ми навчилися ділити цей відрізок навпіл. Подивимося тепер, як розділити навпіл дугу кола з центром О. Ось опис цієї побудови. Радіусом проводимо дві дуги з центрами Від точки Про відкладаємо на цих дугах дві такі дуги і потім знаходимо точку перетину дуги з центром Р і радіусом і дуги з центром і радіусом Нарешті, взявши як радіус відрізок опишемо дугу з центром Р або до перетину з дугою точка перетину і є шуканою середньою точкою дуги Доказ надаємо читачеві як вправу.

Рис. 48. Перетин кола та прямий, що не проходить через центр

Було б неможливо довести основне твердження Маскероні, вказуючи для кожної побудови, здійсненої за допомогою циркуля та лінійки, як його можна виконати за допомогою одного циркуля: адже можливих побудов безліч. Але ми досягнемо тієї ж мети, якщо встановимо, що кожну з наступних основних побудов здійснимо за допомогою одного циркуля:

1. Провести коло, якщо задані центр та радіус.

2. Знайти точки перетину двох кіл.

3. Знайти точки перетину прямої та кола.

4. Знайти точку перетину двох прямих.

Будь-яка геометрична побудова (у звичайному сенсі, з припущенням циркуля та лінійки) складається з виконання кінцевої послідовності цих елементарних побудов. Що перші два з них можна здійснити за допомогою одного циркуля, ясно безпосередньо. Більш важкі побудови 3 та 4 виконуються з використанням властивостей інверсії, розглянутих у попередньому пункті.

Звернемося до побудови 3: знайдемо точки перетину даного кола З прямою, що проходить через дані точки Проведемо дуги з центрами і радіусами, відповідно рівними і крім точки О, вони перетнуться в точці Р. Потім побудуємо точку зворотну точці Р щодо кола С (див. побудова, описана на стор. 186). Нарешті, проведемо коло з центром і радіусом (вона неодмінно перетнеться з З): його точки перетину з колом З і будуть шуканими. Для підтвердження достатньо встановити, що кожна з точок знаходиться на однакових відстанях від (що стосується точок, то аналогічна їх властивість відразу випливає з побудови). Справді, Досить послатися те обставина, що точка, зворотна точці відстає від точок на відстань, рівне радіусу кола З (див. стор. 184). Варто зазначити, що коло, що проходить через точки є зворотною прямою в інверсії щодо кола С, так як це коло і пряме перетинаються

Рис. 49. Перетин кола та прямої, що проходить через центр

з С в тих самих точках. (При інверсії точки основного кола залишаються нерухомими.)

Зазначена побудова нездійсненна тільки в тому випадку, якщо пряма проходить через центр С. Але тоді точки перетину можуть бути знайдені за допомогою побудови, описаної на стор. кола, зворотного прямої, що з'єднує дві дані точки, негайно дає і побудова, що вирішує задачу 4. Нехай прямі дані крапками (рис. 50).

Рис. 50. Перетин двох прямих

Проведемо довільне коло З і за допомогою зазначеного вище методу побудуємо кола, обернені прямим і ці кола перетинаються в точці Про і ще в одній точці Точка X, обернена точці і є шукана точка перетину: як її побудувати - вже було роз'яснено вище. Що X є точка, що шукається, це ясно з того факту, що є єдина точка, зворотна точці, одночасно належить обом прямим і отже, точка X, зворотна повинна лежати одночасно і на і на

Цими двома побудовами закінчується доказ еквівалентності між побудовами Маскероні, у яких дозволяється користуватися лише циркулем, і звичайними геометричними побудовами з циркулем та лінійкою.

Ми не дбали про витонченість вирішення окремих проблем, нами тут розглянутих, оскільки нашою метою було з'ясувати внутрішній сенс побудов Маскероні. Але як приклад ми ще вкажемо побудову правильного п'ятикутника; точніше кажучи, йдеться про знаходження якихось п'яти точок на колі, які можуть бути вершинами правильного вписаного п'ятикутника.

Нехай А - довільна точка на колі К. Оскільки сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу кола, то не важко відкласти на К такі точки що

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Підручник:Геометрія, 7-9: підручник для загальноосвітніх закладів/(Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін.) – 16 вид. - М: Просвітництво, 2011.

Цілі уроку:

1. дати уявлення про новий клас завдань на побудову;
2. розглянути найпростіші завдання на побудову;
3. навчити учнів вирішувати такі завдання.

Завдання:

Освітній аспект:

• дати уявлення про новий клас завдань - побудова геометричних за допомогою циркуля та лінійки без масштабних поділів;
• формувати практичні вміння роботи;
• розширити знання історії геометрії.

Розвиваючий аспект:

• розвиток навичок самоконтролю;
• формування ІКТ – компетентності;
• формування логічного мислення.

Виховний аспект:

• виховання відповідального ставлення до навчальної праці, волі та наполегливості задля досягнення кінцевих результатів щодо теми;
• виховання інтересу до історії математики як науки.

Тип уроку:комбінований.

Форми організації навчальної діяльності:індивідуальна, колективна.

Етапи уроку:

• підготовка до активної навчальної діяльності;
• застосування знань;
• підбиття підсумків та рефлексія;
• інформація про домашнє завдання.

Обладнання:

• Навчальний посібник, зошит, олівець, авторучка, лінійка, циркуль, роздатковий матеріал (КІМ);
• Комп'ютер із мінімальними технічними вимогами: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Муьмедіа проектор, екран.

Ресурси уроку:

• тестові завдання (КІМ) Додаток 1;
• презентація;
• оцінка ступеня засвоєння матеріалу додаток 3.

План уроку:

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент:

Тема сьогоднішнього уроку – «Приклади завдань на побудову» (слайд 1).

Мета уроку – розглянути найпростіші завдання побудова, які вирішуються лише з допомогою циркуля і лінійки без поділів; навчитися вирішувати їх (слайд 2).

2. Повторення. Перевірка домашнього завдання:

Ми з вами вивчили тему «Коло» і сьогодні перевіримо за допомогою тесту ваші знання. Виконати завдання тесту (кожному лунають КІМи з тестовим завданням). Виберіть правильний варіант відповіді для кожного запитання. Самостійно оцініть свої знання, підрахувавши кількість вірних відповідей. Якщо вірних відповідей 6 – оцінка «5», якщо вірних відповідей 5 – оцінка «4», якщо вірних відповідей 4 – оцінка «3», менша кількість вірних відповідей – оцінка «2».

(Вірні відповіді на слайді 3 презентації).

3. Підготовка учнів до сприйняття нового матеріалу:

Вступна бесіда вчителя:

Ми мали справу з геометричними побудовами: проводили прямі, відкладали відрізки, рівні даним, креслили кути, трикутники та інші фігури з допомогою різних інструментів. При побудові відрізка заданої довжини використовувалася лінійка з міліметровими поділами, а при побудові кута заданого градусного заходу – транспортир.

У домашній роботі у вас було таке завдання:

Накресліть трикутник АВС такий, що АВ = 3,6 см, АС = 2,7 см, А = 48°. Які ін струменти ви використовували для вирішення цього завдання?

Отже, ми використовували лінійку з міліметровими поділками та транспортир. Але є такі завдання, в яких буває обговорено, за допомогою яких інструментів необхідно побудувати пропоновану геометричну фігуру (слайд 4-5).

Завдання 1. За допомогою циркуля і лінійки без поділів на даному промені від початку відкласти відрізок, рівний даному. Креслення на екрані.

(Учні пропонують варіанти рішень).

А тепер перевіримо ваше рішення (див. слайд 6)

Таким чином, багато побудов у геометрії можуть бути виконані за допомогою тільки циркуля та лінійки без поділів (слайд 7).

Надалі, говорячи про завдання на побудову, ми матимемо на увазі саме такі побудови.

Завдання на побудову циркулем та лінійкою є традиційним матеріалом, що вивчається у курсі планіметрії. Зазвичай ці завдання вирішуються за схемою, що складається із чотирьох частин (див. с. 95–96 підручника). Спочатку малюють (чортять) шукану фігуру та встановлюють зв'язки між даними завдання та шуканими елементами. Ця частина рішення називається аналізом. Вона дає можливість скласти план розв'язання задачі.

Потім за наміченим планом виконується побудовациркулем та лінійкою.

Після цього потрібно довести, що побудована постать задовольняє умовам завдання.

І, нарешті, необхідно досліджувати, при будь-яких даних завдання має рішення, і якщо має, скільки рішень.

У тих випадках, коли завдання досить просте, окремі частини, наприклад, аналіз або дослідження, можна опустити (слайд 8).

У VII класі ми вирішимо найпростіші завдання на побудову циркулем та лінійкою, в інших класах вирішуватимемо складніші завдання.

4. Вивчення нового матеріалу:

І так, наше завдання – виконати завдання на побудову лише за допомогою двох інструментів: циркуля та лінійки без масштабних поділів.

Що можна робити з їхньою допомогою? Зрозуміло, що лінійка дозволяє провести довільну пряму, а також побудувати пряму, що проходить через дві точки. За допомогою циркуля можна провести коло довільного радіусу, а також коло з центром у даній точці та радіусом, рівним даному відрізку.(Слайд 9).

Виконуючи ці нескладні операції, ми зможемо вирішити багато цікавих завдань на шикування (слайд 10):

1. На даному промені від початку відкласти відрізок, рівний даному.
2. Відкласти від даного променя кут, що дорівнює даному.
3. Побудувати бісектрису даного нерозгорнутого кута.
4. Побудувати пряму, що проходить через цю точку і перпендикулярну до прямої, де лежить дана точка.
5. Побудувати середину цього відрізка.

Ми вже вирішили завдання №1.

Тепер за допомогою комп'ютера розглянемо розв'язання задачі № 2. Виконуйте відповідні побудови у зошиті (слайди 11-12).

Нині ж розглянемо завдання № 3 – 5 (слайд 13-18).

(виконуються відповідні побудови та описи завдань у зошиті)

Після виконання роботи вчитель звертає увагу учнів на те, що такі завдання розглядалися в давнину(Слайд 19).

А тепер звернемося до історії геометрії. Давньогрецькі математики досягли надзвичайно великого мистецтва в геометричних побудовах за допомогою циркуля та лінійки. Вони довели, що кут можна розділити і на чотири рівні кути. Для цього потрібно розділити його навпіл, а потім побудувати бісектрису кожної половинки. А чи можна за допомогою циркуля та лінійки розділити кут на три рівні частини? Це завдання, яке отримало назву задачі про трисекцію кута,протягом багатьох століть привертала увагу математиків. Проте вони не піддавалися їхнім зусиллям. Лише у минулому столітті було доведено, що для довільного кута така будова неможлива.

Є й інші завдання на побудову, про які відомо, що вони нерозв'язні за допомогою циркуля та лінійки. Я пропоную вам самостійно знайти матеріал, який містить інформацію для ознайомлення з цими завданнями.

5. Підбиття підсумків уроку:

Ми вивчили багато нового, дізналися які завдання можна вирішити лише за допомогою циркуля та лінійки. У вас у кожного лежить аркуш із запитаннями. Оцініть свою роботу на сьогоднішньому уроці, обравши один із запропонованих варіантів відповіді.

1. Оцініть рівень складності уроку. Вам було на уроці:
   • легко;
   • зазвичай;
   • важко
2. Оцініть рівень вашого засвоєння матеріалу:
   • засвоїв повністю, можу застосувати;
   • засвоїв повністю, але важко у застосуванні;
   • засвоїв частково;
   • не засвоїв.

Зібрати листочки з метою оцінки ступеня засвоєння матеріалу сьогоднішнього уроку, щоб у наступному уроці правильно організувати роботу. Повідомляються оцінки за урок, включаючи оцінки за тест на тему «Коло».

6. Домашнє завдання:

• відповісти на запитання 17–21 на стор. 50;
• вирішити задачі № 153, 154 (слайд 20).

Інструкція

Поставте голку циркуля у зазначену точку. Намалюйте ніжкою з грифелем дугу кола відміряного радіусу.

У будь-якому місці по колу намальованої дуги поставте крапку. Це буде друга вершина B трикутника, що створюється.

Аналогічно поставте ніжку на другу вершину. Проведіть ще одне коло так, щоб воно присікалося з першим.

У точці перетину обох проведених дуг знаходиться третя вершина C створюваного трикутника. Позначте її малюнку.

Отримавши всі три вершини, з'єднайте їх прямими лініями за допомогою будь-якої рівної поверхні (краще за лінійку). Трикутник ABC побудований.

Якщо коло стосується всіх трьох сторін даного трикутника, а його центр знаходиться всередині трикутника, то його називають вписаним у трикутник.

Вам знадобиться

• лінійка, циркуль

Інструкція

З вершин трикутника (сторони протилежної поділеного куту) циркулем проводять дуги кола довільного радіусу до перетину їх між собою;

Точку перетину дуг по лінійці з'єднують з вершиною кута, що ділиться;

Те саме роблять з будь-яким іншим кутом;

Радіусом вписаного в трикутник кола буде відношення площі трикутника та його напівпериметра: r=S/p , де S - площа трикутника, а p=(a+b+c)/2 - напівпериметр трикутника.

Радіус вписаного в трикутник кола рівновіддалений від усіх сторін трикутника.

Джерела:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Розглянемо задачу побудови трикутника за умови, що відомі три його сторони або одна сторона та два кути.

Вам знадобиться

• - циркуль
• - Лінійка
• - транспортир

Інструкція

Допустимо, дані три сторони: a, b і с. Користуючись, нескладно з такими сторонами. Для початку виберемо найдовшу з цих сторін, нехай це буде сторона, і накреслимо її. Потім встановимо розчин циркуля на величину іншої сторони, сторони a і накреслимо циркулем окружність радіуса a з центром на одному з кінців сторони c. Тепер встановимо розчин циркуля на величину сторони b і накреслимо коло із центром на іншому кінці сторони c. Радіус цього кола дорівнює b. З'єднаємо точку перетину кіл з центрами та отримаємо трикутник з шуканими сторонами.

Щоб накреслити трикутник із заданою стороною та двома прилеглими кутами, візьміть транспортир. Накресліть сторону вказаної довжини. На краях її відкладіть транспортиром кути. На перетині сторін кутів отримайте третю вершину трикутника.

Відео на тему

Зверніть увагу

Для сторін трикутника справедливе таке твердження: сума довжин двох будь-яких сторін має бути більшою за третю. Якщо це не виконується, то збудувати такий трикутник неможливо.

Кола за крок 1 перетинаються у двох точках. Можна вибрати будь-яку, трикутники будуть рівними.

Правильний трикутник - той, у якого всі сторони мають однакову довжину. Виходячи з цього визначення, побудова такого різновиду трикутника є неважким завданням.

Вам знадобиться

• Лінійка, лист розлиненого паперу, олівець

Інструкція

За допомогою лінійки з'єднати зазначені на листку точки послідовно, один за одним так, як показано на малюнку 2.

Зверніть увагу

У правильному (рівносторонньому) трикутнику всі кути дорівнюють 60 градусам.

Корисна порада

Рівносторонній трикутник також є і рівнобедреним. Якщо трикутник рівнобедрений, це означає, що 2 з трьох його сторін рівні, а третя сторона вважається основою. Будь-який правильний трикутник є рівнобедреним, у той час як зворотне твердження не є вірним.

У будь-якого рівностороннього трикутника однакові не тільки сторони, але й кути, кожен з яких дорівнює 60 градусів. Однак креслення такого трикутника, побудований за допомогою транспортира, не матиме високої точності. Тому для побудови цієї фігури краще скористатися циркулем.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, циркуль

Інструкція

Потім візьміть циркуль, встановіть його з кінців (майбутньої вершині трикутника) і проведіть коло з радіусом, рівним довжині цього відрізка. Можна не проводити коло повністю, а накреслити лише його чверть, від протилежного краю відрізка.

Тепер переставте циркуль в інший кінець відрізка і знову накресліть коло того ж радіусу. Тут достатньо побудувати кола, що проходить від далекого кінця відрізка до перетину з вже побудованою дугою. Отримана точка буде третьою вершиною вашого трикутника.

Щоб закінчити побудову, знову візьміть лінійку з олівцем і з'єднайте точку перетину двох кіл з обома кінцями відрізка. Ви отримаєте трикутник, всі три сторони якого абсолютно рівні – це можна буде легко перевірити за допомогою лінійки.

Відео на тему

Трикутник – це багатокутник, що має три сторони. Рівностороннім чи правильним трикутником називають трикутник, у якого всі сторони та кути рівні. Розглянемо як можна намалювати правильний трикутник.

Вам знадобиться

• Лінійка, циркуль.

Інструкція

За допомогою циркуля намалюйте ще одне коло, центр якого буде в точці, а радіус дорівнює відрізку ВА.

Кола перетинатимуться у двох точках. Виберіть будь-яку з них. Назвіть С. Це буде третьою вершиною трикутника.

З'єднайте вершини між собою. Трикутник, що вийшов, буде правильним. Переконайтеся у цьому, помірявши його сторони лінійкою.

Розглянемо спосіб побудови правильного трикутника за допомогою двох лінійок. Накресліть відрізок ОК, він буде однією зі сторін трикутника, а точки О та К його вершинами.

Не зсуваючи лінійки після побудови відрізка ОК, прикладіть перпендикулярно до неї ще одну лінійку. Проведіть пряму m, що перетинає відрізок ОК у середині.

За допомогою лінійки відміряйте відрізок ОЕ, що дорівнює відрізку ОК так, щоб один його кінець збігався з точкою О, а інший знаходився на прямій m. Крапка Е буде третьою вершиною трикутника.

Закінчіть побудову трикутника, з'єднавши точки Е та К. Перевірте правильність побудови за допомогою лінійки.

Зверніть увагу

Переконатися в тому, що правильний трикутник можете за допомогою транспортира, вимірявши кути.

Корисна порада

Рівносторонній трикутник також можна накреслити на листі в клітку за допомогою однієї лінійки. Замість іншої лінійки використовуйте перпендикулярні лінії.

Джерела:

• Класифікація трикутників. Рівносторонні трикутники
• Що таке трикутник
• побудова правильного трикутника

Вписаний називається такий трикутник, всі вершини якого знаходяться на колі. Побудувати його можна, якщо знати хоча б один бік та кут. Окружність називається описаною, і вона буде єдиною для цього трикутника.

Вам знадобиться

• - Коло;
• - сторона та кут трикутника;
• - аркуш паперу;
• - циркуль;
• - Лінійка;
• - Транспортир;
• - Калькулятор.

Інструкція

Від точки А за допомогою транспортира відкладіть заданий кут. Продовжіть бік кута до перетину з колом і поставте точку С. З'єднайте точки В та С. У вас вийшов трикутник АВС. Він може бути будь-якого типу. Центр кола у гострокутного трикутника його, у тупокутного – поза, а у прямокутного – на гіпотенузі. Якщо вам заданий не кут, а, наприклад, три сторони трикутника, обчисліть один із кутів по радіусу та відомій стороні.

Значно частіше доводиться мати справу зі зворотним побудовою, коли заданий трикутник і треба довкола нього описати коло. Обчисліть його радіус. Зробити це можна за декількома формулами, залежно від того, що вам дано. Радіус можна знайти, наприклад, по стороні та синусу протилежного кута. У цьому випадку він дорівнює довжині сторони, поділеної на подвоєний синус протилежного кута. Тобто R=a/2sinCAB. Можна його висловити і через добуток сторін, у цьому випадку R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Визначте центр кола. Розділіть усі сторони навпіл і проведіть середин перпендикуляри. Точка їхнього перетину і буде центром кола. Накресліть її так, щоб вона перетнула всі вершини кутів.

Дві короткі сторони прямокутного трикутника, які називають катетами, за визначенням повинні бути перпендикулярні між собою. Ця властивість фігури значно полегшує її побудову. Однак можливість точно визначити перпендикулярність є не завжди. У разі можна розрахувати довжини всіх сторін - вони дозволять побудувати трикутник єдино можливим, тому правильним, способом.

Вам знадобиться

• Папір, олівець, лінійка, транспортир, циркуль, косинець.

Відеоурок «Побудова циркулем та лінійкою» містить навчальний матеріал, що є основою для розв'язання задач на побудову. Геометричні побудови є важливою частиною розв'язання багатьох практичних завдань. Без уміння коректно відобразити умови малюнку не обходиться практично жодне геометричне завдання. Основне завдання даного відеоуроку - поглибити знання учня про застосування креслярських інструментів для побудови геометричних фігур, продемонструвати можливості цих інструментів, навчити вирішувати найпростіші завдання на побудову.

Навчання за допомогою відеоуроку має багато переваг, серед яких наочність, зрозумілість побудов, що виробляються, так як матеріал демонструється за допомогою електронних засобів наближено до реальної побудови на дошці. Побудови добре видно з будь-якого місця у класі, важливі моменти виділяються кольором. А супровід голосом замінює подачу вчителем стандартного блоку навчального матеріалу.

Відеоурок починається з оголошення назви теми. Учням нагадується, що вони вже мають певні навички у побудові геометричних фігур. На попередніх уроках, коли учні вивчали основи геометрії та освоювали поняття прямої, точки, кута, відрізка, трикутника, креслили відрізки, рівні даних, вони виконували побудови найпростіших геометричних фігур. Подібні побудови не вимагають складних навичок, але коректне виконання завдань важливо для подальшої роботи з геометричними об'єктами та вирішення складніших геометричних завдань.

Учням перераховується перелік основних інструментів, які використовуються для виконання побудов при вирішенні геометричних завдань. На зображеннях продемонстровано масштабну лінійку, циркуль, трикутник із прямим кутом, транспортир.

Розширюючи поняття учнів у тому, як виконуються різні види побудов, їм рекомендується звернути увагу до побудови, які здійснюються без масштабної лінійки, а них можуть використовуватися лише циркуль і лінійка без поділів. Наголошується, що така група завдань на побудову, в якій використовуються лише лінійка та циркуль, у геометрії виділяється окремо.

Щоб визначити, які геометричні завдання можна вирішити, використовуючи лінійку і циркуль, пропонується розглянути можливості даних креслярських інструментів. Лінійка допомагає накреслити довільну пряму, збудувати пряму, яка проходить через певні точки. Циркуль призначений щодо кіл. Тільки за допомогою циркуля проводиться побудова довільного кола. За допомогою циркуля проводиться також відрізок, що дорівнює цьому. Зазначені можливості креслярських інструментів дають змогу виконати низку завдань на побудову. Серед таких завдань на побудову:

1. побудова кута, що дорівнює цьому;
2. проведення прямої, перпендикулярної даної, що проходить через зазначену точку;
3. розподіл відрізка на дві рівні частини;
4. низку інших завдань на побудову.

Далі пропонується вирішити завдання на побудову, використовуючи лінійку та циркуль. На екрані демонструється умова задачі, яка полягає в тому, щоб на деякому промені відкласти відрізок, який дорівнює деякому відрізку, від початку променя. Розв'язання цього завдання починається з побудови довільного відрізка АВ та променя ОС. Як розв'язання даної задачі пропонується побудувати коло радіусом АВ і центром у точці О. Після побудови утворюється перетин побудованого кола з променем ОС у деякій точці D. При цьому частина променя, представлена ​​відрізком OD, і є відрізком, рівним відрізку АВ. Завдання вирішено.

Відеоурок «Побудова циркулем та лінійкою» може бути використаний при поясненні вчителем основ вирішення практичних завдань на побудову. Також цей метод можна освоїти, самостійно вивчаючи цей матеріал. Може допомогти вчителю даний відеоурок та при дистанційній подачі матеріалу на цю тему.

Побудова за допомогою циркуля та лінійки

Побудови за допомогою циркуля та лінійки- Розділ евклідової геометрії, відомий з античних часів. У завданнях на побудову циркуль та лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема:

• Лінійка не має поділів і має бік нескінченної довжини, але лише одну.
• Циркуль може мати скільки завгодно великий або скільки завгодно малий розчин (тобто може креслити коло довільного радіусу).

Приклад

Розбиття відрізка навпіл

Завдання на бісекцію. За допомогою циркуля та лінійки розбити цей відрізок ABна дві рівні частини. Одне з рішень показано малюнку:

• Циркулем проводимо кола з центром у точках Aі Bрадіусом AB.
• Знаходимо точки перетину Pі Qдвох побудованих кіл (дуг).
• По лінійці проводимо відрізок або лінію, що проходить через крапки Pі Q.
• Знаходимо шукану середину відрізка AB- точку перетину ABі PQ.

Формальне визначення

У задачах на побудову розглядаються безліч усіх точок площини, безліч усіх прямих площини та безліч усіх кіл площини, над якими допускаються такі операції:

1. Виділити точку з безлічі всіх точок:
   1. довільну точку
   2. довільну точку на заданій прямій
   3. довільну точку на заданому колі
   4. точку перетину двох заданих прямих
   5. точки перетину/торкання заданого прямого та заданого кола
   6. точки перетину/торкання двох заданих кіл
2. "За допомогою лінійки» виділити пряму з багатьох прямих:
   1. довільну пряму
   2. довільну пряму, яка проходить через задану точку
   3. пряму, що проходить через дві задані точки
3. "За допомогою циркуля» виділити коло з безлічі всіх кіл:
   1. довільне коло
   2. довільне коло з центром у заданій точці
   3. довільне коло з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками
   4. коло з центром у заданій точці та з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками

У разі завдання задається кілька точок. Потрібно за допомогою кінцевої кількості операцій з числа перерахованих вище допустимих операцій побудувати інше безліч точок, що знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною.

Розв'язання задачі на побудову містить у собі три суттєві частини:

1. Опис способу побудови заданої множини.
2. Доказ того, що множина, побудована описаним способом, дійсно знаходиться у заданому співвідношенні з вихідною множиною. Зазвичай доказ побудови провадиться як звичайний доказ теореми, що спирається на аксіоми та інші доведені теореми.
3. Аналіз описаного способу побудови на предмет його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також щодо єдиності або неєдиності рішення, одержуваного описаним способом.

Відомі завдання

• Завдання Аполлонія про побудову кола, що стосується трьох заданих кіл. Якщо жодна із заданих кіл не лежить всередині іншої, то це завдання має 8 істотно різних рішень.
• Завдання Брахмагупт про побудову вписаного чотирикутника по чотирьох його сторонах.

Побудова правильних багатокутників

Античним геометрам були відомі способи побудови правильних n-кутників для , і .

Можливі та неможливі побудови

Усі побудови є чим іншим, як рішеннями будь-якого рівняння , причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа – графічного рішення рівняння певного типу. У межах вищеописаних вимог можливі такі побудови:

• Побудова розв'язків лінійних рівнянь.
• Побудова розв'язків квадратних рівнянь.

Інакше висловлюючись, можна побудувати лише числа рівні арифметичним висловлюванням з допомогою квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад,

Варіації та узагальнення

• Побудови з допомогою одного циркуля.За теоремою Мора - Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. У цьому пряма вважається побудованою, якщо у ній задані дві точки.
• Побудови з допомогою однієї лінійки.Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна проводити лише проектно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини, або знайти центр намальованого кола. Але за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з зазначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що й циркулем та лінійкою (теорема Понселе – Штейнера) англ.)), 1833. Якщо лінійці є дві засічки, то побудови з допомогою неї еквівалентні побудовам з допомогою циркуля і лінійки (важливий крок у підтвердження цього зробив Наполеон).
• Побудови за допомогою інструментів з обмеженими можливостями.У задачах такого роду інструменти (на противагу класичній постановці задачі) вважаються не ідеальними, а обмеженими: пряму через дві точки за допомогою лінійки можна провести лише за умови, що відстань між цими точками не перевищує деякої величини; радіус кіл, які проводяться за допомогою циркуля, може бути обмежений зверху, знизу або одночасно і зверху, і знизу.
• Побудови за допомогою плоских орігамі.див. правила Худзіта

Див. також

• Програми динамічної геометрії дозволяють виконувати побудови за допомогою циркуля та лінійки на комп'ютері.

Примітки

Література

• А. АдлерТеорія геометричних побудов / Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольця. – Видання третє. - Л.: Учпедгіз, 1940. - 232 с.
• І. І. ОлександровЗбірник геометричних завдань на побудову. - Видання вісімнадцяте. – М.: Учпедгіз, 1950. – 176 с.
• Б. І. Аргунов, М. Б. Балк. – Видання друге. – М.: Учпедгіз, 1957. – 268 с.
• О. М. ВоронецьГеометрія циркуля. - М.-Л.: ОНТІ, 1934. - 40 с. - (популярна бібліотека з математики за загальною редакцією Л. А. Люстерника).
• В. А. ГейлерНерозв'язні завдання на побудову // СОЖ. – 1999. – № 12. – С. 115-118.
• В. А. КириченкоПобудови циркулем та лінійкою та теорія Галуа // Літня школа «Сучасна математика». – Дубна, 2005.
• Ю. І. МанінКнига IV. Геометрія / / Енциклопедія елементарної математики. – М.: Фізматгіз, 1963. – 568 с.
• Ю. ПетерсенМетоди та теорії розв'язання геометричних завдань на побудову. – М.: Друкарня Е. Лісснера та Ю. Романа, 1892. – 114 с.
• В. В. ПрасоловТри класичні завдання на шикування. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. – М.: Наука, 1992. – 80 с. - (популярні лекції з математики).
• Я. ШтейнерГеометричні побудови, що виконуються за допомогою прямої лінії та нерухомого кола. – М.: Учпедгіз, 1939. – 80 с.
• Факультативний курс математики. 7-9 / Упоряд. І. Л. Микільська. – М.: Просвітництво, 1991. – С. 80. – 383 с. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Побудова за допомогою циркуля та лінійки" в інших словниках:

Розділ евклідової геометрії, відомий з античних часів. У завданнях на побудову можливі наступні операції: Відзначити довільну точку на площині, точку на одній із збудованих ліній або точку перетину двох збудованих ліній. За допомогою… … Вікіпедія

Побудови за допомогою циркуля та лінійки розділ евклідової геометрії, відомий з античних часів. У завданнях на побудову можливі наступні операції: Відзначити довільну точку на площині, точку на одній із збудованих ліній або точку... Вікіпедія

Сущ., с., упот. порівняння. часто Морфологія: (ні) чого? побудови, чому? побудови, (бачу) що? побудова, чим? побудовою, про що? про побудову; мн. що? побудови, (ні) чого? побудов, чому? побудов, (бачу) що? побудови, чим? Тлумачний словник Дмитрієва

Коло і квадрат однакової площі Квадратура кола завдання, що полягає у знаходженні побудови за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею.

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. В… … Енциклопедія Кольєра

У найбільш загальному сенсі теорія, що вивчає ті чи інші математики. об'єкти з урахуванням їх груп автоморфізмів. Так, напр., можливі Р. т. полів, кілець, тополог. просторів тощо. п. У вужчому сенсі під Р. т. розуміється Р. т. полів. Виникла ця … Математична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Квадратура. Квадратура (лат. quadratura, надання квадратної форми) математичний термін, що спочатку позначав знаходження площі заданої фігури чи поверхні. Надалі… … Вікіпедія

Правила Худзіти набір із семи правил, що формально описують геометричні побудови за допомогою плоского орігамі, подібним до побудов за допомогою циркуля та лінійки. Фактично вони описують усі можливі способи отримання однієї нової складки.