Елективний курс з математики "абсолютна величина". Освітній портал Розділ III. Навчально-тематичний план

Рівняння і їх системи, що містять знак абсолютної величини
(Методична розробка)

Параграф 1. Основні відомості.

Пункт 1. Визначення абсолютної величини числа. Рішення найпростіших рівнянь.

Знайомство з поняттям абсолютної величини числа (модуля числа) краще починати з його геометричною інтерпретації: в геометрії модуль - це відстань від точки, яка зображує дане число на числовій осі або координатної площини, до початку координат. Так, число 5 розташоване на числової осі праворуч від нуля, а число -5 зліва від нуля, але відстані від точок, що зображують ці числа, до початку координат однакові і рівні 5. Значення абсолютної величини числа a позначається дужками:.
Пояснимо геометричне визначення модуля графічно:

Відповідно встановлюється алгебраїчне визначення модуля деякої величини:

.
Розглянемо тепер найпростіші (але важливі для розуміння матеріалу) рівняння, що включають знак абсолютної величини. Під будемо розуміти деякий вираз, що містить невідому змінну.

А.Уравненія виду, де a - задане число. (1)
Уточнимо стоїть перед нами завдання: якщо x - деякий розв'язок рівняння (1), то, згідно з геометричному визначенню модуля, точка f на числовій прямій розташована на відстані a від початку координат. Тому, якщо a0, то маємо дві шукані точки: f1 \u003d -a, f2 \u003d a.

Отже, рівняння (1): при a0 має своїми рішеннями рішення рівнянь і.
Коротко останнє твердження записується так:

Читається: безліч рішень рівняння при a\u003e 0 є об'єднання множин рішень рівнянь і.

Приклад 1. Вирішити рівняння: а); б); в); г).

рішення:
а) 
Відповідь: x1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

Б) \u003d\u003e рішень немає, тому що модуль (абсолютне значення) будь-якої величини не може бути від'ємний.
Відповідь: рішень немає.

В) 
Відповідь: x1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

Г) 
Відповідь: x1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Приклад 2. Вирішити рівняння: а); б).

рішення:
а) відповідно до (1) в даному випадку \u003d, тобто f (x) ≥2. Тому рівняння не має рішень.
Відповідь: рішень немає.

Відповідь: x1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

В. Рівняння виду (2) і (3).
Оскільки модуль будь-якого виразу - величина неотрицательная, отже, якщо x - рішення рівняння (2), то і права частина даного рівняння неотрицательна, тобто . Але тоді в лівій частині цього ж рівняння по визначенню дорівнює просто. Висновок: при обов'язковій умові ми прийшли до тотожності, тому рішення нерівності будуть одночасно рішеннями рівняння (2).
Міркуючи аналогічно, отримуємо, що всі рішення нерівності є рішеннями рівняння (3).

Приклад 3. Вирішити рівняння: а); б); в).
рішення:
а) 
Відповідь:.

Б) 
Відповідь:.

С. Рівняння виду (4).
Якщо x - рішення рівняння (4), то, згідно з геометричному визначенню модуля, відстані на числовій прямій від точок f і g до початку координат рівні, тобто або точки f і g збігаються (маємо :), або симетричні одна одній щодо початку координат (маємо :). Тому

В якості особливого слід згадати рівняння.
Рішеннями даного рівняння є всі x, при яких вираз визначено.

Приклад 4. Вирішити рівняння: а); б); в); г).

рішення:

А) Дане рівняння є рівняння виду, де. Ця функція визначена при будь-яких дійсних x, тому x - будь-яке.
Відповідь: x - будь-яке.

Б) 
Відповідь:.

В) 
.
Відповідь:.

Зауваження: тому що , то обидві частини рівняння (4) можна звести в квадрат, звільняючись від модулів, причому серед коренів отриманого рівняння не опиниться «зайвих» для нас.
Наприклад:, звідки отримуємо.

D. Рівняння виду. (5)
Маємо: сума невід'ємних за визначенням виразів дорівнює нулю. Отже, кожне з доданків має дорівнювати нулю. Оскільки тоді і тільки тоді, коли, і тоді і тільки тоді, коли, отже рівняння (5) рівносильне системі:.
Вирішувати цю систему раціональніше наступним чином: вибравши з рівнянь більш просте, знайти його рішення і перевірити їх на відповідність всієї системи підстановкою в час, що залишився рівняння.

Приклад 5. Вирішити рівняння: а);
б).

рішення:

А)
Підставляємо черзі x \u003d -1 і x \u003d 1 в перше рівняння, отримуємо, що обидва рівняння системи виконані тільки при x \u003d -1.
Відповідь: x \u003d -1.

Б) Дане рівняння еквівалентно (рівносильне) системою:

Відповідь: x \u003d -2.
Пункт 2. Метод інтервалів. Рішення найпростіших систем.

Нехай потрібно вирішити рівняння. Згідно алгебраическому визначенню модуля:

Таким чином точка x \u003d 2 розбиває числову вісь на два інтервали, на кожному з яких модульні дужки над виразом x-2 розкриваються по різному:

Тому рішення вихідного рівняння зводиться до послідовного розгляду двох можливих ситуацій:
а) Припустимо, що x - рішення вихідного рівняння, причому.
Тоді і маємо:, що відповідає умові а). Тому є рішенням вихідного рівняння.
б) Припустимо, що x - рішення вихідного рівняння, причому
Тоді і маємо:, що не відповідає умові б). Тому не є рішенням вихідного рівняння.
Розглянуте рівняння має єдиний корінь:.

Особливо метод інтервалів корисний, якщо в рівнянні кілька модульних дужок. Єдине ускладнення - у визначенні чіткої послідовності дій, тому настійно рекомендується дотримуватися наступного плану:

1) Визначити всі значення невідомого, при яких вирази під знаками модуля звертаються в нуль або стають невизначені, і відзначити отримані точки на числовій осі.
2) Вирішити вихідне рівняння на кожному з виявлених числових проміжків.
3) Об'єднати знайдені рішення в загальний відповідь.

Корисно після закінчення першого етапу виписати, як саме в залежності від положення невідомого на числової осі розкриваються кожні модульні дужки.

Вправа: розкрити модульні дужки у виразі.
Спочатку розглядаємо внутрішні дужки: при, тому відзначаємо на числової осі точку.
Потім розглядаємо зовнішні дужки: вирішуємо рівняння (рішення проводиться викладеним вище методом інтервалів:

Перше рівняння не має коренів, а корінням другого є числа 1 і -1, але x \u003d 1 не задовольняє умові).
Далі, вибравши довільне x, більше -1, наприклад x \u003d 0, переконуємося, що при x\u003e -1; вибравши довільне x, менше -1, наприклад x \u003d -2, переконуємося, що при x

У підсумку на числової осі відзначені точки x \u003d -1 і x \u003d 0. На кожному з вийшов проміжків модулі в вихідному виразі розкриваються по «ланцюжку» (*):

при;
при;
при.

Приклад 6.Решіть рівняння: а); б); в); г).
рішення:

А) I етап.
. Тому:
.

II етап.
1) Тоді тому вихідне рівняння прийме вид:.

2). Тоді тому вихідне рівняння прийме вид: що не відповідає розглянутому відрізку, тому на даному проміжку вихідне рівняння коренів не має.
3) Тоді тому вихідне рівняння прийме вид: що відповідає розглянутому напівінтервалів, тому вихідного рівняння.
III етап.
На першому і другому числових проміжках рівняння рішень не має. На третьому отримали рішення.
Відповідь:.

Б) I етап.
Тому:

Маємо такі числові проміжки:

II етап.
1) Тоді тому вихідне рівняння прийме вид:
Отримали вірну числову рівність, тому будь-яке з даного полуінтервала є рішенням вихідного рівняння!
2). Маємо, розкриваючи модулі згідно з результатами першого етапу: що відповідає розглянутому відрізку, тому є рішення вихідного рівняння.
3) Відкриваємо модулі:
Отримали невірне числове рівність, тому на даному полуінтервале вихідне рівняння коренів не має.

III етап.
На першому проміжку:
На другому проміжку:
На третьому проміжку: немає рішень.
підсумок:
відповідь:

В) I етап.
Спочатку розглядаємо «внутрішній» модуль, потім «зовнішній»:
1) x \u003d 0 при x \u003d 0 \u003d\u003e
2)
Дане рівняння слід вирішити окремо. Зауважимо при цьому, що числові проміжки, які слід розглядати, вже відомі (див. (*)):
при маємо немає рішень
при маємо,
але x1 не відповідає умові.
Отже,.
Саме ж вираз позитивно при (наприклад, x \u003d 10 :) і негативно при (наприклад, x \u003d 1 :). Тому:

Маємо такі числові проміжки:

II етап.
На кожному проміжку спочатку розкриваємо зовнішні модульні дужки, потім внутрішні.
1) .
:, Що відповідає розглянутому інтервалу, тому є рішення вихідного рівняння.
2) .
: .
Перевіримо відповідність знайдених коренів заданого відрізку: - очевидно, перевіримо тепер, чи виконується співвідношення

Очевидно, тобто є стороннім коренем.
3) .
:. Перевіримо отримане на відповідність заданому напівінтервалів: є коренем вихідного рівняння.

III етап.
;
;
.
Відповідь:.

Г) Особливістю даного рівняння є присутність невідомої величини в знаменнику дробу, тому необхідно на кожному числовому проміжку знаходити область визначення рівняння (ЗОШ).

Маємо два полуінтервала:

II етап.
1) розкриваючи модуль і спрощуючи, отримуємо рівняння.
ООУ:. При з ООУ, очевидно, отримуємо правильне рівність, таким чином рішеннями вихідного рівняння є все.
2) розкриваючи модуль і спрощуючи, отримуємо рівняння ООУ:. Тоді, що відповідає розглянутому напівінтервалів, тому є рішення вихідного рівняння.

Відповідь:.

B. Рішення нескладних систем рівнянь, що містять знак абсолютної величини, не повинно викликати труднощів: як правило, досить використовувати відомий учням метод підстановки.

Приклад 7. Розв'язати системи рівнянь:
а Б В Г)

рішення:
а) З першого рівняння системи отримуємо:
Тоді, після підстановки (*), друге рівняння набуде вигляду:
.
Згідно (*): при при.
відповідь:

Б) З першого рівняння системи отримуємо:
.
При з другого рівняння системи отримуємо
відповідно, x \u003d 2.
При з другого рівняння системи отримуємо y \u003d -5.
Відповідь:.

В) З другого рівняння системи отримуємо:
.
При з першого рівняння отримуємо.
При з першого рівняння отримуємо; відповідно,.
Відповідь:.

Г) У даному випадку простіше скористатися методом складання, а для вирішення виходить рівняння - методом інтервалів.
.

1) отримуємо рішень немає;
2) отримуємо.
Висновок: і тепер з першого рівняння отримуємо.
Відповідь:.

Пункт 3. Раціональні методи вирішення: найпростіші геометричні та алгебраїчні міркування, узагальнення методу інтервалів, заміна змінної.

А. Деякі прості рівняння допускають ясну геометричну інтерпретацію, рішення їх значно спрощується - «невідповідні» числові проміжки відразу виключаються з розгляду.
Покажемо спочатку, що геометрично є відстань між точками числової осі, які зображують числа і. Для цього на числової осі, де вже відзначені і перенесемо початок координат в точку. Координати точок зміняться:

Відстань між точками і це, згідно з новою системою відліку, відстань між точками і, тобто

Приклад 8. Вирішити рівняння: а) б) в) г) д).

рішення:
а) Необхідно вказати на числової осі такі x, що сума відстаней від x до 1 і від x до 3 дорівнює 3 од. Відстань між 1 і 3 дорівнює 2 од., Тому (інакше). Виходить, що x лежить або лівіше 1, або правіше 3 - на деякій відстані від них, причому в будь-якому випадку. Тому, звідки.

Тепер легко знаходяться два значення x.
Відповідь:.
б) Необхідно вказати на числової осі такі точки 2x, що відстань від 2x до -2 більше відстані від 2x до 7 на 9,12 од.
Якщо, розглянута різницю завжди дорівнює -9;
Якщо, розглянута різницю завжди дорівнює 9;
Якщо, розглянута різницю менше або дорівнює 9.
Нехай, наприклад,:

Тоді.
Відповідь: рішень немає.

В) Перепишемо рівняння у вигляді. Тому шукане x лежить в три рази ближче до 3, ніж до 2:

\u003d\u003e Немає рішень, так як x завжди ближче до 2, ніж до 3;
«На око»,;
\u003d\u003e «На око»,.
Відповідь:.

Г) Даний приклад показує, що дуже корисним буває «суворе» розбиття числової осі на проміжки (без «перекриттів» виду):

Немає рішень;
(Відповідає він розглядався напівінтервалів);
немає рішень.
Відповідь:.

Д) Почнемо з застосування методу інтервалів:

Зауважу тепер, що при і за межами даного відрізка. Має сенс тому розглядати рівняння тільки на цьому відрізку, причому отримуємо:. Очевидно, x \u003d 2.
Відповідь:.

B. Вивчаючи області значень правої і лівої частин рівняння, нерідко вдається спростити хід вирішення, виключаючи явно невідповідні значення невідомого.

Приклад 9. Вирішити рівняння: а) б) в) г).

рішення:

А) Ліва частина рівняння неотрицательна при будь-яких x, а в правій частині - негативне число.
Відповідь: рішень немає.

Б) Ліва частина рівняння неотрицательна при будь-яких x, тому, якщо x - рішення, то права частина також неотрицательна. Значить, досить розглянути тільки значення x з області тобто. Але тоді Отримали невірне рівність.
Відповідь: рішень немає.
в) Вираз позитивно за будь-яких x, тому зовнішні модульні дужки можна зняти. Крім того, якщо x - рішення, то права частина також позитивна, тому досить розглянути x з області. Тоді і отримуємо (відповідає області).
Відповідь:.

Г) Сума двох невід'ємних доданків дорівнює 1, якщо кожне з доданків не перевищує одиниці: Так як, то на зазначеному відрізку отримуємо Якщо, то, очевидно, що нас не влаштовує. Тому, якщо x - рішення, то. А на цьому полуінтервале отримуємо
Ясно, що - сторонній корінь.
Відповідь:.

C. Розглянемо рівняння виду (1)
Вирішуючи дане рівняння методом інтервалів, ми отримаємо рівняння для тих проміжків, де і рівняння для проміжків, де. Ясно, що немає сенсу розглядати кожен проміжок окремо, - досить розділити їх на дві зазначені групи: для кожної треба вирішити відповідне рівняння і перевірити отримані коріння на відповідність поставленому умові. Таким чином

Можливий і інший варіант: ясно, що серед рішень рівняння істинними корінням рівняння (1) будуть ті, при яких Проводячи аналогічні міркування для випадку, отримуємо

Який з варіантів обрати, залежить від виду функцій, наприклад, якщо рішення рівнянь простіше підставляти для перевірки в, то розумніше застосувати перший спосіб.

Приклад 10. Розв'язати рівняння: а)
б) в).

рішення:

А) Припустимо,
тоді маємо
Припустимо,
Тоді маємо немає рішень.
Перевіримо тепер отримані коріння. Перепишемо вихідне рівняння:
. Оскільки, обидва кореня істинні.
відповідь:

Б) Припустимо,
Тоді маємо немає рішень.
Припустимо,
тоді маємо
Для визначення істинності цих коренів перевіримо виконання умови Отримуємо: Очевидно, корінь сторонній. Для перевірки з'ясуємо, чи вірно, що. Так як то є розглядається нерівність не виконано.
Відповідь: рішень немає.

В) Перепишемо рівняння: Використовуємо наступну графічну ілюстрацію: (тут представлені графіки функцій і).

Тепер ясно, що отримані числові проміжки слід об'єднати в три наступні групи:
1). Отримуємо (відповідає поставленому умові).
2) Отримуємо
немає рішень.
3) Отримуємо
немає рішень.
Відповідь:.

D. Метод заміни деякого виразу нової буквеної змінної добре відомий. Можна помітити тільки, що при вирішенні рівнянь, що містять модуль, часто вдається відразу обмежити область зміни нової змінної.
Приклад 11. Розв'язати рівняння або систему рівнянь: а);
б);
в)

рішення:
а) Замінивши нової змінної отримуємо систему що означає, що і є корінням рівняння Отримуємо.
Відповідь:.

Б) Замінивши вираз нової змінної отримаємо рівняння. отримуємо:
. Залишається вирішити дані рівняння.
Відповідь:.

В) Перепишемо рівняння у вигляді:
Очевидно, можливі два варіанти:
1)
2) Замінимо нової змінної. Зауважимо, що за змістом заміни і згідно ОДЗ даного рівняння, тобто (*) А рівняння набуде вигляду. Так як, отримуємо
З огляду на (*), остаточно одержуємо
Значить, Замінюючи на, отримуємо
Так як за змістом заміни, отримуємо

Контрольні завдання до §1.
1) Вирішіть, користуючись визначенням модуля числа:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к).

2) Вирішіть «стандартні» рівняння:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і).

3) Вирішіть методом інтервалів:
а) б); в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н) о) п) р) с) т) у) ф) х) ч)

4) Вирішіть раціональним способом:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н)

5) Вирішіть системи рівнянь:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н) о) п) р)

Завдання на побудову графіків функції «модуль» і завдання з параметрами традиційно - це одна з найважчих тем математики, тому вона завжди включена в завдання підвищеного і високого рівня ДПА і ЄДІ.

Поняття «модуль» вивчається в школі з 6 класу, причому на рівні, тільки визначення і обчислення, незважаючи на те, що він широко застосовується в багатьох розділах шкільного курсу математики, наприклад, у вивченні абсолютної і відносної похибок наближеного числа; в геометрії і фізики будуть вивчатися поняття вектора і його довжини (модуля вектора). Поняття модуля застосовується в курсах вищої математики, фізики та технічних наук, досліджуваних у вищих навчальних закладах.

Перед випускниками стоїть проблема - вдало здати ДПА в 9класс, а в подальшому і ЄДІ.

У цьому році на уроках математики ми познайомилися з поняттям лінійної функції і навчилися будувати її графік. Було показано, що цей її графік береться за основу побудови функції «модуль». Крім того, вчитель сказала, що рівняння бувають з одним і декількома модулями. Я вирішила глибше вивчити цю тему, тим більше, що вона мені знадобиться при складанні іспитів.

Тема «Графічний метод розв'язання рівнянь, що містять абсолютну величину»

Мета роботи : дослідження можливості раціонального побудови графіків з модулями для рішення рівнянь, що містять модуль і параметр

Вивчити теорію за рішенням методів рівнянь з модулем.

Навчитися розв'язувати рівняння 1 го ступеня, що містять знак абсолютної величини.

Класифікувати графічні методи розв'язання рівнянь.

Проаналізувати переваги і недоліки різних методів побудови графіків функції «модуль».

Дізнатися, що таке параметр

Застосувати раціональні методи для вирішення рівнянь з параметром

Об'єкт - методи вирішення рівнянь з модулем

Предмет графічний метод рішення рівнянь

Методи дослідження: теоретичні і практичні:

теоретичні - це вивчення літератури по темі дослідження; інтернет - інформації;

практіческіе- це аналіз інформації, отриманої під час вивчення літератури, результатів, отриманих при вирішенні рівнянь з модулем різними способами;

порівняння способів вирішення рівнянь предмет раціональності їх використання при вирішенні різних рівнянь з модулем.

глава I

Поняття і визначення

1.1.Понятие «модуль» широко застосовується в багатьох розділах шкільного курсу математики, наприклад, у вивченні абсолютної і відносної похибок наближеного числа; в геометрії і фізики вивчаються поняття вектора і його довжини (модуля вектора). Поняття модуля застосовується в курсах вищої математики, фізики та технічних наук, досліджуваних у вищих навчальних закладах.

Слово «модуль» походить від латинського слова «modulus», що в перекладі означає «міра». Це слово має безліч значень і застосовується не тільки в математиці, фізиці і техніці, але і в архітектурі, програмуванні та інших точних науках.Счітают, що термін запропонував використовувати Котс, учень Ньютона. Знак модуля був введений в XIX столітті Вейерштрассом.

В архітектурі модуль- вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даного архітектурного сооруженія.В техніці - це термін, який застосовується в різних областях техніки, службовець для позначення різних коефіцієнтів і величин, наприклад, модуль пружності, модуль зацепленія.В математики модуль має кілька значень, але я буду розглядати його як абсолютну величину числа.

визначення : Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа аназивається саме це число, якщо а≥0, або протилежне число - а, якщо а<0; модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль-яку на координатної прямої від нуля до точки.

1.2. Рівняння з модулем - це рівняння, що містить змінну під знаком абсолютної величини (під знаком модуля). Вирішити рівняння-це значить знайти всі його корені, або довести, що коренів немає. Методи рішення рівнянь з модулем:

1.За визначенню модуля - «зняття модуля». Рішення відбувається на основі визначення.

2.Аналітіческій метод-рішення рівнянь з використанням перетворень виразів, що входять в рівняння і властивостей модуля.

3.Метод інтервалів: розкриття модуля на інтервалах і напівінтервалів, освіченими «нулями» модулів.

4.Графіческій метод. Суть цього способу полягає в тому, щоб побудувати графіки даних функцій, що представляють ліву і праву частину рівняння. У разі, якщо графіки перетнуться, то абсциси точок перетину даних графіків будуть корінням даного рівняння.

1.3.Методи побудови графіків функції з модулем

1.3.1. За визначенням. Будуються дві прямі у \u003d кх + в, де х\u003e 0, у \u003d -кх + в, де х<0

1.3.2 Метод симетрії. Будується графік у \u003d кх + в, при х\u003e 0.Часть прямий при х<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Преобразованіе функцій:

а) у \u003d | x | + n графік зсувається вгору по осі ординат на в одиниць

б) у \u003d | x | -n графік зсувається вниз по осі ординат

з) у \u003d | x + n | графік зсувається вліво по осі абцісс

d) у \u003d | x -n | графік зсувається вправо по осі абцісс

1.3.4. Метод інтервалів. Координатна пряма розбивається на інтервали і напівінтервалів нулями модулів. Далі, використовуючи визначення модуля, для кожної зі знайдених областей отримаємо рівняння, яке необхідно вирішити на даному проміжку і отримати функцію.

1.3.5. Метод розширення областей нулів. У тому випадку, коли модулів кілька, зручніше не розкривати модулі, а використовувати наступне твердження: алгебраїчна сума модулів n лінійних виразів являє собою кусково-лінійну функцію, графік якої складається з n +1 прямолінійних відрізків.

Тоді графік може бути побудований за n+2 точкам, n з яких представляють собою коріння Внутрімодульное виразів, ще одна - довільна точка з абсцисою, меншою меншого з цих коренів і остання - з абсцисою, більшої більшого з коренів.

1.4. маємо рівняння ax + b \u003d c.У цьому рівнянні х - невідоме, a, b, c - коефіцієнти, які можуть приймати різні числові значення. Задані таким чином коефіцієнти називаються параметрами. Одне рівняння з параметрами задає безліч рівнянь (для всіх можливих значень параметрів).

це все рівняння, які задає рівняння з параметрами ax + b \u003d c.

Вирішити рівняння з параметрами - це значить:

Вказати, при яких значеннях параметрів рівняння має коріння і скільки їх при різних значеннях параметрів.

Знайти всі вирази для коренів і вказати для кожного з них ті значення параметрів, при яких цей вислів визначає корінь рівняння.

1.5.висновки:

Таким чином, існують різні методи побудови графіків з модулем, які необхідно досліджувати на можливість їх раціонального застосування.

глава II

Аналіз методів побудови графіків функцій, що містять модуль, і застосування

« Графік - це говорить лінія,

яка може багато про що розповісти »

М.Б.Балк

2.1. Вивчаючи види рівнянь з модулем, ми побачили, що їх можна і розділити за типами і методам вирішення.

Таблиця. Класифікація типів рівнянь і їх методів вирішення.

Тип рівняння

вид рівняння

метод рішення

1.Уравненіе з одним модулем

| x n | \u003d a

| X | n \u003d a

1.За визначенню модуля

2.Графіческій

3.Аналітіческій

2.Уравненіе, що містить 2 модуля

| x n | | x m | \u003d a

1.За визначенню модуля

2.Графіческій

3.Метод інтервалів

4.Аналітіческій

3.Вложенние модулі

||| x n | m || \u003dа

1.За визначенню модуля

2.Графіческій

Висновок: таким чином, класифікація рівнянь дає нам загальні методи вирішення всіх типів рівнянь - це за визначенням модуля і графічний метод.

2.2.Аналіз побудови графіків.

2.2.1. Тип 1. Побудова у \u003d | x |

2.2.1.1.За визначенням.

1.Строім пряму у \u003d х

2.Виделяем частина прямої при х 0

3.Строім пряму у \u003d х

4.Виделяем частина прямої при х<0

2.2.1.2. метод симетрії

1.Строім пряму у \u003d х

2.Строім симетрію щодо осі абцісс при х<0

2.2.1.3. Побудова у \u003d | x -2 |

1.Строім пряму у \u003d х-2

2.Виделяем частина прямої при х-2 0

3.Строім пряму у \u003d х + 2

4.Виделяем частина прямої при х-2<0

Висновок: метод симетрії раціональніше

2.2.2. Тип 2.

Завдання: побудувати графік у \u003d

2.2.2.1.метод інтервалів

1. на
отримуємо у \u003d -х + 3 + 1-х-4; у \u003d 2х

2. на
Отримувати \u003d х + 3-1 + х-4; у \u003d -2

3. на
отримуємо у \u003d х-3-1 + х-4; у \u003d 2х-8

4.Строім все прямі.

5.Виделяем частини прямих на інтервалах

2.2.2.2.Метод розширення областей нулів

1.Нулі: 3 і 1; розширена область: 2,4,0

2.Вичісляем значення в: 3,1,2,4,0 це: -2, -2, -2, 0, 0

3.Расставляем точки з їх координатами і з'єднуємо

Висновок: Метод розширення області нулів раціональніше

2.2.3. Тип 3. Вкладені модулі- «матрьошка»

І сследуем побудова у \u003d || x | -1 |

2.2.3.1. За визначенням модуля

За визначенням головного модуля маємо:

1) х\u003e 0 у \u003d | х | -1

2) х<0 у=-|х|+1

2. «Знімаємо» наступний модуль:

Модуль: у \u003d х-1, х\u003e 0 і у \u003d -х + 1 х<0

у \u003d -х + 1 х\u003e 0 у \u003d х-1 х<0

3. Будуємо графіки

2.2.3.2.Метод симетрії

1. у \u003d | х | -1
у \u003d х-1, симетрія

2. Симетрія відносно осі абцісс частини графіка, де х-1<0

Висновок: метод симетрії раціональніше.

2.2.4. Зведемо аналіз результатів в таблицю:

Знання та вміння

недоліки

За визначенням

визначення модуля

Знати: як визначаються координати точок прямих

Вміти виділяти частину прямої за нерівністю

громіздкі рішення

Застосування великого обсягу знань

При «зняття» модуля можна допустити помилки

метод симетрії

Знати і вміти застосовувати перетворення функції

Будувати симетрію щодо осі абцісс

Знання алгоритмів перетворення графіків

метод інтервалів

Знаходити нулі модуля

Визначати інтервали і напівінтервалів

розкривати модулі

обчислювати модулі

Наводити подібні доданки

Вміти будувати точки за їх координатами

будувати прямі

громіздкі рішення

Багато обчислень і перетворень при знятті нулів

Займає багато часу

Правильність визначення інтервалів і напівінтервалів

Метод розширення області нулів

Знаходити нулі модуля

Вміти розширювати область нулів

Вміти обчислювати модулі в цих точках

Вміти будувати точки за їх координатами

Допуск помилок в обчисленнях

Метод перетворень функцій

Знати алгоритм перетворення

Вміти будувати точки за їх координатами

Вміти обчислювати координати точок

Вміти застосовувати алгоритм перетворення

Знання алгоритмів перетворення графіків

Висновок: аналізуючи таблицю, робимо висновок, що метод симетрії і розширення області нулів найраціональніші, тому що містять найменше дій для побудови, а значить економлять часу.

2.3.Прімененіе раціональних методів побудови графіків до вирішення рівнянь з модулем і параметром

2.3.1. Розв'язати рівняння:

Будуємо у \u003d
і у \u003d 0,5-х

2.Расшіреніе область: -1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Проводім відрізки і промені

2.3.2. ЄДІ 2009р. Знайдіть всі значення а, при кожному з яких рівняння
, Має рівно 1 корень.а \u003d 7. в ході проробленої роботи нам вдалося вивчити і проаналізувати різні методи побудови графіків. В результаті аналізу та порівняння методів побудови графіків отримали наступні висновки:

Переклад алгебраїчної задачі на мову графіків дозволяє уникнути громіздких рішень;

При вирішенні рівнянь, що містять модуль і параметр, графічний спосіб є більш наочним і порівняно більш простим;

При побудові графіків, що містять 2 модуля і «матрьошку» практичніше метод симетрії;

Хоча графічний спосіб вирішення рівнянь є наближеним, тому що точність залежить від обраного одиничного відрізка, товщини олівця, кутів під якими перетинаються лінії і т.д., але цей метод дозволяє оцінювати кількість коренів рівнянь для розв'язання рівнянь з параметром.

З огляду на, що одні з найпопулярніших завдань на ЄДІ і ДПА рівняння з модулем, то, що головним моїм результатом є те, що я можу вирішувати рівняння з модулем і параметром графічним способом.

Список літератури

1.Данкова І. «Передпрофільне підготовка з математики», Москва, 2006р.

2. Позакласна робота з математики. Альхова З.М., Макєєва А.В., м Саратов: Ліцей, 2003.

3.Математіка. Навчальний посібник під редакцією Мурахи Л.Я., м.Москва Бридж, 1994.

4. Математика. 8-9 класи: збірник курсів за вибором. Випуск-2.Автор-упорядник: М.Є. Козина., М Волгоград: Учитель, 2007

5. Ястребінецкій Г.А. Завдання з параметрами. М, 2006р.

Рівняння і їх системи, що містять знак абсолютної величини
(Методична розробка)

Параграф 1. Основні відомості.

Пункт 1. Визначення абсолютної величини числа. Рішення найпростіших рівнянь.

Відповідно встановлюється алгебраїчне визначення модуля деякої величини:

Отже, рівняння (1): при a0 має своїми рішеннями рішення рівнянь і.
Коротко останнє твердження записується так:

Читається: безліч рішень рівняння при a\u003e 0 є об'єднання множин рішень рівнянь і.

Приклад 1. Вирішити рівняння: а); б); в); г).

рішення:
а) 
Відповідь: x1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

В) 
Відповідь: x1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

Г) 
Відповідь: x1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Приклад 2. Вирішити рівняння: а); б).

Відповідь: x1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

Приклад 3. Вирішити рівняння: а); б); в).
рішення:
а) 
Відповідь:.

Б) 
Відповідь:.

В якості особливого слід згадати рівняння.
Рішеннями даного рівняння є всі x, при яких вираз визначено.

Приклад 4. Вирішити рівняння: а); б); в); г).

рішення:

Б) 
Відповідь:.

В) 
.
Відповідь:.

Приклад 5. Вирішити рівняння: а);
б).

рішення:

Б) Дане рівняння еквівалентно (рівносильне) системою:

Відповідь: x \u003d -2.
Пункт 2. Метод інтервалів. Рішення найпростіших систем.

Нехай потрібно вирішити рівняння. Згідно алгебраическому визначенню модуля:

при;
при;
при.

Приклад 6.Решіть рівняння: а); б); в); г).
рішення:

А) I етап.
. Тому:
.

Б) I етап.
Тому:

Маємо такі числові проміжки:

III етап.
На першому проміжку:
На другому проміжку:
На третьому проміжку: немає рішень.
підсумок:
відповідь:

Маємо такі числові проміжки:

III етап.
;
;
.
Відповідь:.

Маємо два полуінтервала:

Відповідь:.

Приклад 7. Розв'язати системи рівнянь:
а Б В Г)

1) отримуємо рішень немає;
2) отримуємо.
Висновок: і тепер з першого рівняння отримуємо.
Відповідь:.

Відстань між точками і це, згідно з новою системою відліку, відстань між точками і, тобто

Приклад 8. Вирішити рівняння: а) б) в) г) д).

Тоді.
Відповідь: рішень немає.

В) Перепишемо рівняння у вигляді. Тому шукане x лежить в три рази ближче до 3, ніж до 2:

\u003d\u003e Немає рішень, так як x завжди ближче до 2, ніж до 3;
«На око»,;
\u003d\u003e «На око»,.
Відповідь:.

Немає рішень;
(Відповідає він розглядався напівінтервалів);
немає рішень.
Відповідь:.

Д) Почнемо з застосування методу інтервалів:

Приклад 9. Вирішити рівняння: а) б) в) г).

рішення:

Приклад 10. Розв'язати рівняння: а)
б) в).

рішення:

В) Перепишемо рівняння: Використовуємо наступну графічну ілюстрацію: (тут представлені графіки функцій і).

Контрольні завдання до §1.
1) Вирішіть, користуючись визначенням модуля числа:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к).

2) Вирішіть «стандартні» рівняння:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і).

3) Вирішіть методом інтервалів:
а) б); в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н) о) п) р) с) т) у) ф) х) ч)

4) Вирішіть раціональним способом:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н)

5) Вирішіть системи рівнянь:
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н) о) п) р)

Визначення модуля n Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа х, т. Е. | x |, називається саме це число, якщо воно невід'ємне, і це число, взяте з протилежним знаком, якщо воно негативне

1. Властивості модуля 1. | а b | \u003d | а | | b | для будь-яких чисел а і b 2. | | \u003d 3. при в ≠ 0 | а | 2 \u003d а 2 для будь-якого числа а

n n 2. Найпростішим з рівнянь, що містять модулі, є рівняння виду | f (x) | \u003d A, де, а≥ 0. Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь. [Якщо а

n n n Більш складними є рівняння виду | f (x) | \u003d G (x), де f (x), g (x) - деякі функції дійсної змінної х. 1) При g (x) 0 вихідне рівняння рівносильне сукупності Γ f (x) \u003d g (x), Lf (x) \u003d -g (x).

Приклад 2. Вирішити рівняння | 1 - 2 x | \u003d 3 x - 2 n Рішення: Зауважимо, що Зх 2≥ 0, т. Е. Х ≥ або х є (; + ∞) Нa безлічі х є (; + ∞) задане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: 1) 1 - 2 х \u003d Зх-2 X 1 \u003d 2) 1 2 х \u003d (Зх 2) X 2 \u003d 1 n Оскільки

n n Тепер розглянемо рівняння виду | а 1 х - в 1 | + | а 2 х - в 2 | + ... + | аnх - Вn | \u003d Ах + в, де а 1, а 2, а 3, ..., аn, в 1, в 2, в 3 деякі числа належать R, х дійсна змінна будується за наступною схемою. Область допустимих значень змінної заданого рівняння розбивається на безлічі, на кожному з яких знаки підмодульних виразів постійні. Нa кожному такій кількості вихідне рівняння замінюється (з урахуванням знаків підмодульних виразів) еквівалентним йому рівнянням, що не містить абсолютних величин. Об'єднання рішень отриманої таким чином сукупності рівнянні є рішенням заданого рівняння.

Приклад 3. Розв'язати рівняння | 2 х + 5 | | 3 х | \u003d 0, 5 n n n Рішення. Область допустимих значень змінної вся числова вісь. Знайдемо точки, в яких підмодульних вирази дорівнюють 0: 2 х + 5 \u003d 0, т. Е. Х1 \u003d 2, 5; 3 х \u003d 0, т. Е. Х 2 \u003d 3.

nnnnn Розіб'ємо область допустимих значень отриманими точками на безлічі (∞; 2, 5), (2, 5, 3), (3; + ∞) Визначимо знаки підмодульних виразів на кожному з отриманих множин (вони записані в таблиці 1) Таблиця 1 ( ∞; 2, 5) (2, 5, 3) (З; + ∞) 2 х + 5 + + 3-х + + Таким чином, вихідне рівняння | 2 x + 5 | | 3 х | \u003d 0, 5 рівносильно сукупності рівнянь: 1) х

n 2) при 2, 5 ≤ х

3. Тепер розглянемо деякі твердження, застосування яких дозволяє значно спростити рішення рівнянь з модулями. n n n Твердження 1. Рівність | а + в | \u003d | а | + | в | є вірним, якщо ав ≥ 0. Доказ. Дійсно, після зведення обох частин даної рівності в квадрат, отримаємо, | а + в | 2 \u003d | a | 2 + 2 | ав | + | У | 2 a 2 + 2 ав + в 2 \u003d a 2 + 2 | ав | + в 2, звідки | ав | \u003d Ав А остання рівність буде вірним при ав ≥ 0. Твердження 2. Рівність | а-в | \u003d | а | + | в | є вірним при ав ≤ 0. Доказ. Для доказу досить у рівності | а + в | \u003d | а | + | в | замінити в на -у, тоді а (-у) ≥ 0, звідки ав ≤ 0

n n Твердження 3. Рівність | а | + | в | \u003d А + в виконується при а≥ 0 і в ≥ 0. Доказ. Розглянувши чотири випадки а≥ 0 і в ≥ 0; а≥ 0 і в

Приклад 4. Вирішити рівняння: | 2 х 2 | \u003d | Х3 2 | + | 2 х х3 | n n n Рішення: Так як | х3 2 | + | 2 х х3 | \u003d | Х3 2 + 2 х х3 |, то всі корені рівняння знаходяться серед рішень нерівності (х3 2) (2 х - х3) ≥ 0 (твердження 1). Вирішимо це нерівність методом інтервалів; х (х3 - 2) (х2 - 2) ≥ 0 х (х3 - 2) (х +) ≤ 0 + + + 0 х Відповідь: [; 0] U [; ]

4. В інших прикладах зовсім не слід поспішати з розкриттям модулів, треба перш за все розглянути вираз в цілому Приклад 7. Розв'язати рівняння: n В «цілому» твір двох дробів може бути дорівнює 1 тільки в трьох випадках: n а) якщо дробу взаємно протилежні , т. е. х + 1 \u003d х + 2 і | х + 1 | \u003d | х + 2 |, але це не можливо при будь-яких х. n б) якщо кожна з них дорівнює 1, то отримаємо і. З першого рівняння слід х + 1\u003e 0 х\u003e 1. З другого рівняння отримаємо х + 2\u003e 0 х\u003e 2. Загальне рішення: х\u003e 1. в) якщо кожна з них дорівнює 1, то отримаємо і. З першого рівняння слід х + 1

n n n З другого рівняння отримаємо х + 2

Вступ

1. Абсолютна величина в курсі середньої школи

1.1 Визначення та основні теореми

1.2 Геометрична інтерпретація поняття | a |

2. Методи рішення рівнянь і нерівностей

2.1 Рішення рівнянь і нерівностей з використанням визначення абсолютної величини (модуля)

2.2 Метод рішення за допомогою залежностей між числами а і в, їх модулями і квадратами цих чисел

2.3 Метод інтервалів

2.4 Графічний метод

2.5 Метод послідовного розкриття модуля

2.6 Види рівнянь і нерівностей та їх рішення

3. Додаткові способи вирішення рівнянь і нерівностей

3.1 рішення рівнянь і нерівностей, що містять модуль, з використанням тотожностей

3.2 Рішення рівнянь містять модулі невід'ємних виразів

3.3 Рішення рівнянь з використанням геометричної інтерпретації

3.4 Рішення рівнянь переходом до наслідку

3.5 Типові завдання, що містять змінну під знаком модуля

3.6 Поради вчителів по послідовності вивчення рівнянь і нерівностей з модулем в шкільному курсі математики

4. Рівняння і нерівності з модулем в Єдине національне тестування (ЕНТ)

висновок

Список використаної літератури

Вступ

Актуальність теми пов'язана з тим, що модуль широко застосовується в різних розділах шкільного курсу математики, фізики і технічних науках. Наприклад, в теорії наближених обчислень застосовується поняття абсолютної і відносної похибок наближеного числа, поняття вектора і його довжини (модуля вектора) використовується в геометрії і механіці, в математичному аналізі поняття модуля міститься у визначеннях межах, обмеженій функції. Я вважаю, що ця тема потребує більш глибокого дослідження, так як вона простежується в різних завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, в задачах математичних олімпіад, завдань ЕНТ та іспитів при вступі до вузів.

У практиці викладання математики в середній школі поняття абсолютної величини числа (модуля) зустрічається неодноразово.

У 6 класі, в темі наближених обчислень формується поняття абсолюту величини числа, при з'ясуванні абсолютної похибки наближеного числа.

У другому півріччі 6 класу вводиться визначення абсолютної величини числа (модуля) і за допомогою цього поняття формулюються правила дій над раціональними числами.

У 8 класі при розгляді властивостей арифметичного квадратного кореня знаходить своє нове додаток поняття абсолютної величини числа:

; , Де і інші.

У 9 класі, при вивченні границі послідовності учні зустрічаються з виразами виду:

Поняття абсолютної величини числа отримує свій подальший розвиток в 10 класі при вивченні границі функції, при дослідженні функції на обмеженість, при іученіі комплексних чисел.

У 11 класі в темі «Ступінь з раціональним показником» розглядаються властивості коренів n-го ступеня, де також використовується поняття абсолютної велечіни числа; так наприклад,

Таким чином, у всіх класах, відповідно до навчальної програми, слід включати і розглядати вправи, що містять знак абсолютної величини числа.

У 6 класі можна розв'язувати рівняння виду:

У 7 класі є вожможностьрссматрівать решешіе рівнянь виду: і т.п., систем рівнянь виду:

А так же пострения графіків функцій:; ; та ін.

У 8 класі поняття абсолютної величини поширюються на квадратні рівняння, графік квадратного тричлена і ін. Можна розв'язувати рівняння виду: ; ;

Новизна дипломної роботи: Вирішили все рівняння і нерівності з Моулу, що зустрічаються в тестових завданнях ЕНТ і розглянули основні помилки, яких припускаються учнями при їх вирішенні.

мета проведення нашого дослідження - зробити аналіз навчально-методичного матеріалу, виявити всі методи розв'язання рівнянь і нерівностей з модулем і об'єднати їх в даній роботі.

Для досягнення поставленої необхідно вирішити наступні завдання:

Вивчити основні теореми і визначення;

Описати основні методи рішення рівнянь і нерівностей з модулем;

Виявити нестандартні методи рішення рівнянь і нерівностей з модулем.

Об'єкт дослідження: процес навчання рівнянням і нерівностям в школі.

Предмет дослідження: методи рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак модуля, в шкільному курсі математики.

Практична значимість дипломної роботи полягає в тому, що в даній дипломній предтавлени всі методи і прийоми розв'язання рівнянь і нерівностей, які можна використовувати в шкільному курсі математики.

Основними методами исследования в дипломній роботі є:

аналітичний,

порівняльний,

вивчення монографічних публікацій і статей,

конкретно-історичний,

метод узагальнення.

Даний диплом заснований на наступних роботах: «Абсолютна величина» Гайдуков І.І., «Рівняння і нерівності з модулями і методика їх вирішення» Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., «Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності 10 - 11кл »Олехнік, Потапов, Пасиченко.

У першому розділі розглядається теоретична сторона проблеми, основні теореми і поняття, необхідні для подальшого дослідження даної теми. рівняння завдання нерівність

У другому розділі дипломної роботи ми об'єднали методи рішення рівнянь і нерівностей з модулем, які входять до шкільної програми.

У третьому розділі ми представили нестандартні прийоми вирішення рівнянь і нерівностей містять модуль, що вивчаються на додаткових заняттях і використовуваних при вирішенні олімпіадних завдань. Так само тут розглянуті типові завдання на рішення рівнянь і нерівностей та завдання тестових варіантів Єдиного Національного Тестування (ЕНТ).

При вирішенні рівнянь, що містять знак абсолютної величини, ми будемо грунтуватися на визначенні модуля числа і властивості абсолютної величини числа.

1. Абсолютна величина в курсі середньої школи

1.1 Визначення та основні теореми

Розглянемо поняття абсолютної велечіни числа, або, що те ж саме, модуля числа для дійсних чисел.

визначення 1.1.1 Абсолютною величиною (модулем) дійсного числа а називається невід'ємне число, взяте з двох чіісел а або - а.

Абсолютну величину числа а позначають | а| і читають «абсолютна величина числа а», або «модуль числа а».

З визначення випливає:

З визначення випливає, що для будь-якого дійсного числа а, ≥0.

Приклади 1.1.1:

;

Теорема 1.1.1 Протилежні числа мають рівні абсолютні величини, тобто \u003d.

Справді, за визначенням абсолютної величини, маємо:

отже,

1.2 Геометрична інтерпретація поняття

Відомо, що кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку числовій прямій, тоді ця точка буде геометричне зображення даного дійсного числа. Кожній точці числової прямої відповідає її відстань від початку відліку, ІІІ довжина відрізка, початок якого в точці початку відліку, а кінець - в даній точке.ето відстань, або довжина відрізка, розглядається завжди як величина невід'ємна.

Разом з цим кожній точці числової прямої можна поставити в соответсствіе спрямований відрізок (вектор), який характерезуется довгою і напрямком.

Безлічі дійсних чисел відповідає безліч точок орієнтованої прямий, тобто такої прямої на якій, крім початку відліку і маштаба, встановлено позитивний напрямок.

Тоді можна вважати, що геометричній інтерпретації дійсного числа служить вектор, що виходить з початку відліку і має кінець в точці, що зображає дане число. Довжина цього вектора буде геометричній інтерпретації абсолютної величини даного дійсного числа.

Геометричне тлумачення змісту наочно потверждает, що \u003d.

Приклади 1.2.1:

Якщо \u003d 5, то а 1 \u003d 5 і а 2 \u003d -5, або а \u003d± 5.

Отже, цього рівності задовольняють два числа, яким на числової прямої сответсвует дві точки.

Якщо ˃10, то

Звідки а˃10 і а˂ -10, або

Отже, цього нераввенству задовольняє безліч чисел двох інтервалів: (-∞; -10) і (10; ∞), а на числовій прямій - два проміжку відповідні цим інтервалам.

Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову - зручний і потужний метод вирішення завдань. В якості ще одного прикладу розберемо блок задач олімпіади:

Приклад 1.2.2:

Дана функція: .

Рішення:Побудуємо графік функції. Для цього зауважимо, що, а тоді ми можемо спочатку побудувати графік функції, і потім відбити його щодо осі координат. Перетворимо вираз, що задає функцію:

Оскільки дана система визначає верхню півколо радіуса 2 з центром в точці, графік вихідної функції являє собою об'єднання півколо зазначених на малюнку.

Тепер рішення задач не становить труднощів:

с)при рішень немає, при рівняння має три рішення, при - чотири рішення, при - два рішення.

b) Нерівність виконано при всіх з відрізка.

a) корінь рівняння є абцісс точки перетину прямої з графіком ффункціі. Знайдемо її геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедрений (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює -1), його гіпотенуза є радіус кола, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис є, а шукана абсциса дорівнює.

геометр ический сенс модуляр азності величин - це відстань між ними. Наприклад, геометричний зміст виразу | х- а| -довжина відрізка координатної осі, що з'єднує точки з абсциссами а й х. Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких рішень.

Приклад 1.2.3:Вирішимо рівняння | х-1 | + | х-2 | \u003d 1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Будемо міркувати таким чином: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої точки абсцис х до двох фіксованих точок з абсциссами 1 і 2. Тоді очевидно, що всі крапки з абсциссами з відрізка мають потрібним властивістю, а точки, розташовані поза цим отрезка- немає. Звідси відповідь: безліччю рішень рівняння є відрізок.

відповідь: Х 

Приклад 1.2.4: Вирішимо рівняння | х - 1 | - | х - 2 | \u003d 1 + 1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Будемо міркувати аналогічно до попереднього прикладу, при цьому отримаємо, що різниця відстаней до точок з абсциссами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для точок, розташованих на координатної осі правіше числа 2. Отже рішенням даного рівняння буде являтся НЕ відрізок, укладений між точками 1 і 2, а промінь, що виходить з точки 2, і спрямований в позитивному напрямку осі ОХ.

відповідь: х )