Властивості ступенів: формулювання, докази, приклади. Розробка уроку "ступінь з натуральним показником" Постановка цілей уроку

Раніше ми вже говорили про те, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх і всі можливі показники ступеня ми розберемо в цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести і правильно застосувати на практиці.

Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це твір n -ного кількості множників, кожний з яких дорівнює а. Також нам знадобиться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:

визначення 1

1. Головне властивість ступеня: a m · a n \u003d a m + n

Можна узагальнити до: a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

2. Властивість приватного для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n \u003d a m - n

3. Властивість ступеня твори: (a · b) n \u003d a n · b n

Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n

4. Властивість приватного в натуральній ступеня: (a: b) n \u003d a n: b n

5. Будуємо ступінь в ступінь: (a m) n \u003d a m · n,

Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k

6. Порівнюємо ступінь з нулем:

• якщо a\u003e 0, то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
• при a, що дорівнює 0, a n також буде дорівнює нулю;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Нерівність a m\u003e a n буде вірним за умови, що m і n - натуральні числа, m більше n і а більше нуля і не менше одиниці.

У підсумку ми отримали кілька рівності; якщо дотримати всі умови, зазначені вище, то вони будуть тотожними. Для кожного з рівності, наприклад, для основного властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n \u003d a m + n - те ж саме, що і a m + n \u003d a m · a n. У такому вигляді воно часто використовується при спрощення виразів.

1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m · a n \u003d a m + n буде вірним при будь-яких натуральних m і n і дійсному a. Як довести це твердження?

Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність в твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:

Це можна скоротити до (Згадаємо основні властивості множення). У підсумку ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n, значить, основна властивість ступеня доведено.

Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.

приклад 1

Отже, у нас є два ступені з основою 2. Їх натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшло рівність: 2 + 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.

Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 і 2 +5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32

В результаті у нас вийшло: 2 + 2 • 2 3 \u003d 2 5. Властивість доведено.

В силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох і більшого числа ступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1, n 2 та ін. Буквою k, ми отримаємо вірне рівність:

a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

приклад 2

2. Далі нам необхідно довести наступне властивість, яке називається властивістю приватного і притаманне ступенями з однаковими підставами: це рівність am: an \u003d am - n, яке справедливо при будь-яких натуральним m і n (причому m більше n)) і будь-якому відмінному від нуля дійсне a .

Для початку пояснимо, який саме зміст умов, які згадані в формулюванні. Якщо ми візьмемо a, рівне нулю, то в результаті у нас вийде розподіл на нуль, чого робити не можна (адже 0 n \u003d 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли втриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднявши n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умова не буде дотримана, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів з натуральними показниками.

Тепер ми можемо перейти до доведення. З раніше вивченого згадаємо основні властивості дробів і сформулюємо рівність так:

a m - n · a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m

З нього можна вивести: a m - n · a n \u003d a m

Згадаймо про зв'язок ділення і множення. З нього випливає, що a m - n - приватна ступенів a m і a n. Це і є доказ другого властивості ступеня.

приклад 3

Підставами конкретні числа для наочності в показники, а підстава ступеня позначимо π: π 5: π 2 \u003d π 5 - 3 \u003d π 3

3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твори: (a · b) n \u003d a n · b n при будь-яких дійсних a і b і натуральному n.

Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:

Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те ж саме, що і a n · b n.

приклад 4

2 3 · - 4 2 5 4 \u003d 2 3 4 · - 4 2 5 4

Якщо множників у нас три і більше, то це властивість також поширюється і на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:

(A 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n

приклад 5

З конкретними числами отримаємо наступне вірне рівність: (2 · (- 2, 3) · a) 7 \u003d 2 7 · (- 2, 3) 7 · a

4. Після цього ми спробуємо довести властивість приватного: (a: b) n \u003d a n: b n при будь-яких дійсних a і b, якщо b не дорівнює 0, а n - натуральне число.

Для доказу можна використовувати попереднє властивість ступеня. Якщо (a: b) n · bn \u003d ((a: b) · b) n \u003d an, а (a: b) n · bn \u003d an, то з цього виходить, що (a: b) n є частка від ділення an на bn.

приклад 6

Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0. 5 3 \u003d 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

приклад 7

Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6

А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, яка доведе нам вірність рівності:

Якщо у нас в прикладі є мірою ступенів, то це властивість справедливо для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то вірно буде:

a p q y s \u003d a p · q · y · s

приклад 8

Додамо конкретики: (((5, 2) 3) 2) 5 \u003d (5, 2) 3 · 2 · 5 \u003d (5, 2) 30

6. Ще одна властивість ступенів з натуральним показником, яке нам потрібно довести, - властивість порівняння.

Для початку порівняємо ступінь з нулем. Чому a n\u003e 0 за умови, що а більше 0?

Якщо помножити одне позитивне число на інше, то ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить - результат множення будь-якого числа позитивних чисел є число позитивне. А що ж таке ступінь, як не результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивним підставою і натуральним показником це буде вірно.

приклад 9

3 5\u003e 0, (0, 00201) 2\u003e 0 і 34 9 13 51\u003e 0

Також очевидно, що ступінь з основою, рівним нулю, сама є нуль. В яку б ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.

приклад 10

0 3 \u003d 0 і 0 762 \u003d 0

Якщо основа ступеня - негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності / непарності показника. Візьмемо для початку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m, де m - натуральне число.

Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а, отже, воно буде позитивним числом. тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.

приклад 11

Наприклад, (- 6) 4\u003e 0, (- 2, 2) 12\u003e 0 і - 2 9 6\u003e 0

А якщо показник ступеня з негативним підставою - непарне число? Позначимо його 2 · m - 1.

тоді

Всі твори a · a, згідно властивостям множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине що залишилося число a, то кінцевий результат буде негативний.

Тоді отримаємо: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Як це довести?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

приклад 12

Наприклад, вірні нерівності 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Нам залишилося довести остання властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові і позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більше, показник якої менше; а з двох ступенів з натуральними показниками і підставами, великими одиниці, більше того ступеня, показник якої більше.

Доведемо ці твердження.

Для початку нам потрібно переконатися, що a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m - n - 1). Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно початкових умов, m - n\u003e 0, тоді a m - n - 1-негативних, а перший множник позитивний, як і будь-яка натуральна ступінь з позитивним підставою.

У нас вийшло, що a m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Залишилося привести доказ другій частині затвердження, сформульованого вище: a m\u003e a справедливо при m\u003e n і a\u003e 1. Зазначимо різницю і винесемо a n за дужки: (a m - n - 1) .Ступінь a n при а, більшому одиниці, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивна в силу початкових умов, і при a\u003e 1 ступінь a m - n більше одиниці. Виходить, a m - a n\u003e 0 і a m\u003e a n, що нам і треба було довести.

приклад 13

Приклад з конкретними числами 3 7\u003e Параметри 3 2

Основні властивості ступенів з цілими показниками

Для ступенів з цілими позитивними показниками якості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а значить, все рівності, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або дорівнюють нулю (за умови, що сама підстава ступеня нульове).

Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a і b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) і будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:

визначення 2

1. a m · a n \u003d a m + n

2. a m: a n \u003d a m - n

3. (a · b) n \u003d a n · b n

4. (a: b) n \u003d a n: b n

5. (a m) n \u003d a m · n

6. a n< b n и a − n > b - n при умові цілого позитивного n, позитивних a і b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m > n і 0< a < 1 , при a > 1 a m\u003e a n.

Якщо основа ступеня дорівнює нулю, то записи a m і a n мають сенс тільки лише в разі натуральних і позитивних m і n. В результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовим підставою, якщо дотримуються всі інші умови.

Докази цих властивостей в даному випадку нескладні. Нам буде потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами.

Розберемо властивість ступеня в ступеня і доведемо, що воно вірне і для цілих позитивних, і для цілих непозитивним чисел. Почнемо з докази рівності (ap) q \u003d ap · q, (ap) q \u003d a (- p) · q, (ap) - q \u003d ap · (- q) і (ap) - q \u003d a (- p) · (- q)

Умови: p \u003d 0 або натуральне число; q - аналогічно.

Якщо значення p і q більше 0, то у нас вийде (a p) q \u003d a p · q. Подібне рівність ми вже доводили раніше. Якщо p \u003d 0, то:

(A 0) q \u003d 1 q \u003d 1 a 0 · q \u003d a 0 \u003d 1

Отже, (a 0) q \u003d a 0 · q

Для q \u003d 0 всі точно так же:

(A p) 0 \u003d 1 a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1

Підсумок: (a p) 0 \u003d a p · 0.

Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 і a 0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1, значить, (a 0) 0 \u003d a 0 · 0.

Згадаймо доведене вище властивість приватного в ступені і запишемо:

1 a p q \u003d 1 q a p q

Якщо 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 і a p q \u003d a p · q, то 1 q a p q \u003d 1 a p · q

Цей запис ми можемо перетворити в силу основних правил множення в a (- p) · q.

Так само: a p - q \u003d 1 (a p) q \u003d 1 a p · q \u003d a - (p · q) \u003d a p · (- q).

І (a - p) - q \u003d 1 a p - q \u003d (a p) q \u003d a p · q \u003d a (- p) · (- q)

Решта властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятися ми на цьому не будемо, зазначимо лише складні моменти.

Доказ передостаннього властивості: згадаймо, a - n\u003e b - n вірно для будь-яких цілих від'ємних значень NИ будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b.

Тоді нерівність можна перетворити в такий спосіб:

1 a n\u003e 1 b n

Запишемо праву і ліву частини у вигляді різниці і виконаємо необхідні перетворення:

1 a n - 1 b n \u003d b n - a n a n · b n

Згадаймо, що в умови a менше b, тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n в результаті дає позитивний число, оскільки його множники позитивні. У підсумку ми маємо дріб b n - a n a n · b n, яка в підсумку також дає позитивний результат. Звідси 1 a n\u003e 1 b n звідки a - n\u003e b - n, що нам і потрібно було довести.

Остання властивість ступенів з цілими показниками доводиться аналогічно властивості ступенів з показниками натуральними.

Основні властивості ступенів з раціональними показниками

У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь з раціональним (дробовим) показником. Їх властивості такі ж, що і у ступенів з цілими показниками. запишемо:

визначення 3

1. am 1 n 1 · am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 + m 2 n 2 при a\u003e 0, а якщо m 1 n 1\u003e 0 і m 2 n 2\u003e 0, то при a ≥ 0 (якість праці ступенів з підставами).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 - m 2 n 2, якщо a\u003e 0 (властивість приватного).

3. a · bmn \u003d amn · bmn при a\u003e 0 і b\u003e 0, а якщо m 1 n 1\u003e 0 і m 2 n 2\u003e 0, то при a ≥ 0 і (або) b ≥ 0 (якість праці в дробової ступеня).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n при a\u003e 0 і b\u003e 0, а якщо m n\u003e 0, то при a ≥ 0 і b\u003e 0 (властивість приватного в дробової ступеня).

5. am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 · m 2 n 2 при a\u003e 0, а якщо m 1 n 1\u003e 0 і m 2 n 2\u003e 0, то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).

6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0; якщо p< 0 - a p > b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).

7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p > q при 0< a < 1 ; если a > 0 - a p\u003e a q

Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь з дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n -ної ступеня і які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожне властивість.

Згідно з тим, що з себе представляє ступінь з дробовим показником, отримаємо:

a m 1 n 1 \u003d a m 1 n 1 і a m 2 n 2 \u003d a m 2 n 2, отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Властивості кореня дозволять нам вивести рівності:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 \u003d a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

перетворимо:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показник ступеня можна записати у вигляді:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 n 1 + m 2 n 2

Це і є доказ. Друге властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:

am 1 n 1: am 2 n 2 \u003d am 1 n 1: am 2 n 2 \u003d am 1 · n 2: am 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d \u003d am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d am 1 n 1 - m 2 n 2

Докази інших рівностей:

a · b m n \u003d (a · b) m n \u003d a m · b m n \u003d a m n · b m n \u003d a m n · b m n; (A: b) m n \u003d (a: b) m n \u003d a m: b m n \u003d \u003d a m n: b m n \u003d a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d \u003d am 1 m 2 n 1 n 2 \u003d am 1 · m 2 n 1 n 2 \u003d \u003d am 1 · m 2 n 2 · n 1 \u003d am 1 · m 2 n 2 · n 1 \u003d am 1 n 1 · m 2 n 2

Наступне властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0, якщо а менше b, буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p > b p

Уявімо раціональне число p як m n. При цьому m -метою число, n -натуральне. Тоді умови p< 0 и p > 0 поширюватимуться на m< 0 и m > 0. При m\u003e 0 і a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Використовуємо властивість коренів і виведемо: a m n< b m n

З огляду на позитивність значень a і b, перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Таким же чином при m< 0 имеем a a m > b m, отримуємо a m n\u003e b m n означає, a m n\u003e b m n і a p\u003e b p.

Нам залишилося привести доказ останнього властивості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q, p\u003e q при 0< a < 1 a p < a q , а при a > 0 буде вірно a p\u003e a q.

Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника і отримати дробу m 1 n і m 2 n

Тут m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. Якщо p\u003e q, то m 1\u003e m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 - нерівність a 1 m\u003e a 2 m.

Їх можна переписати в наступному вигляді:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Тоді можна зробити перетворення і отримати в результаті:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Підводимо підсумок: при p\u003e q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 - a p\u003e a q.

Основні властивості ступенів з ірраціональними показниками

На таку ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими володіє ступінь з раціональними показниками. Це випливає з самого її визначення, яке ми давали в одній з попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a\u003e 0, b\u003e 0, показники p і q - ірраціональні числа):

визначення 4

1. a p · a q \u003d a p + q

2. a p: a q \u003d a p - q

3. (a · b) p \u003d a p · b p

4. (a: b) p \u003d a p: b p

5. (a p) q \u003d a p · q

6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p

7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0, то a p\u003e a q.

Таким чином, всі ступені, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a\u003e 0 мають ті ж властивості.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Урок по темі: «Ступінь і її властивості».

Мета уроку:

Узагальнити знання учнів по темі: «Ступінь з натуральним показником».

Домагатися від учнів усвідомленого розуміння визначення ступеня, властивостей, вміння застосовувати їх.

Навчити застосовувати знання, навички для різних за складністю завдань.

Створити умова для прояву самостійності, наполегливості, розумової активності, прищеплювати любов до математики.

Устаткування: перфокарти, картки, тести, таблиці.

Урок розроблений з метою систематизації та узагальнення знань, учнів про властивості степеня з натуральним показником. Матеріал уроку формує у дітей математичні знання і розвиває інтерес до предмету, кругозір в історичному аспекті.

Хід роботи.

Повідомлення теми і мети уроку.

Сьогодні у нас з вами узагальнюючий урок по темі «Ступінь з натуральним показником і його властивості».

Завдання нашого уроку повторити весь пройдений матеріал і підготуватися до контрольної роботи.

Перевірка домашнього завдання.

(Мета: перевірити засвоєння зведення в ступінь, твори і ступеня).

№ 238 (б) №220 (а; г) №216.

За дошкою 2 людини з індивідуальними картками.

Усна робота.

(Мета: повторити ключові моменти, які закріплюють алгоритм множення і ділення ступенів, зведення в ступінь).

Сформулюйте визначення ступеня числа з натуральним показником.

Виконайте дії.

При якому значенні х виконується рівність.

Визначте знак вираження, не виконуючи обчислень.

Спростіть.

а)
; б) (а 4) 6:

Мозковий штурм.

( мета : перевірити опорні знання учнів, властивостей ступеня).

Робота з перфокартами, на швидкість.

(2а 2) 2; (2А 3) 3; (3а 4) 2; (2А 2 b) 4.

завдання: Спростити вираз (працюємо парами, клас вирішує завдання а, б, в, перевіряємо колективно).

(Мета: відпрацювання властивостей степеня з натуральним показником.)

а)
; б)
; в)

6. Обчисліть:

а)
(колективно )

б)
(самостійно )

в)
(самостійно )

г)
(колективно )

д)
(самостійно ).

7 . Перевір себе сам!

(Мета: розвиток елементів творчої діяльності учнів і вмінь контролювати свої дії).

Робота з тестами, 2 учнів за дошкою, самоперевірка.

І - в.

Обчисліть вирази.

║ - в.

Спростіть вирази.

Обчисліть.

Обчисліть вирази.

Д / з домашня к / р (за картками).

Підведення підсумків уроку, виставлення оцінок.

(Мета: Щоб учні бачили наочно результат своєї праці, розвивали пізнавальний інтерес).

Хто вперше став вивчати ступінь?

Як звести а n ?

Щоб в енну ступінь нама звести

Треба а перемножити n раз

якщо n одиниця - жодного разу

Якщо більше - тоді множа на а,

повторюю, n раз.

3) Чи можемо, ми звести число в n ступінь, дуже швидко?

Якщо мікрокалькулятор ти візьмеш

число а ти лише одного разу набереш

А потім знак «множення» - теж раз,

Знак «вийде» натиснеш ти стільки раз

скільки n без одиниці нам покаже

І відповідь - готовий, без шкільної ручкиНАВІТЬ.

4) Перерахуйте властивості степеня з натуральним показником.

Оцінки за урок поставимо після перевірки роботи з перфокартами, з тестами, враховуючи, відповіді тих учнів, які відповідали протягом уроку.

Ви сьогодні добре працювали, спасибі вам.

література:

1.А.Г.Мордковіч Алгебра-7 клас.

2.Дидактичні матеріали -7 клас.

3.А.Г.Мордковіч Тести- 7 клас.

Технологічна карта навчального заняття

7 клас Урок № 38

Тема: Степінь з натуральним показником

2. Сприяти формуванню вмінь застосовувати прийоми узагальнення, порівняння, виділення головного, сприяти вихованню інтересу перенесення знань у нову ситуацію, розвиток математичного кругозору, мови, уваги і пам'яті, розвиток навчально-пізнавальної діяльності;

3. Сприяти вихованню інтересу до математики, активності, організованості, виховувати вміння взаємо і самоконтролю своєї діяльності, формування позитивної мотивації навчання, культури спілкування.

Основні поняття навчального заняття

Ступінь, підстава ступеня, показник ступеня, властивості ступеня, добуток ступеня, поділ ступенів, зведення ступеня в ступінь.

запланований результат

Навчаться оперувати поняттям Ступінь, розуміти сенс записи числа в вигляді ступеня, виконувати нескладні перетворення виразів, що містять ступеня з натуральним показником.

Отримають можливість навчитися виконувати перетворення цілих виразів, що містять ступінь з натуральним показником

Предметні вміння, УУД

Особистісні УУД:

здатність до самооцінки на основі критерію успішності навчальної діяльності.

Пізнавальні УУД:

вміння орієнтуватися в своїй системі знань і умінь: відрізняти нове від вже відомого за допомогою вчителя; знаходити відповіді на питання, використовуючи інформацію, повчання на уроці.

Узагальнення і систематизація навчального матеріалу, оперувати символічної записом ступеня, замін, відтворювати по пам'яті інформацію, необхідну для вирішення навчальної задачі

Предметні УУД:

Застосовувати властивості ступеня до перетворення виразів, що містять ступеня з натуральним показником

Регулятивні УУД:

Уміння визначати і формулювати мету на уроці за допомогою вчителя; оцінювати свою роботу на уроці.Здійснювати взаємоконтроль і самоконтроль при виконанні завдань

КоммунікатівниеУУД:
Вміти оформляти свої думки в усній і письмовій формі, слухати і розуміти мову інших

метапредметние зв'язку

Фізика, астрономія, медицина, повсякденне життя

Тип уроку

Повторення, узагальнення і застосування знань і умінь.

Форми роботи і методи роботи

Фронтальна, парна, індивідуальна. Пояснювально - ілюстративний, словесний, проблемна ситуація, практикум, взаимопроверка, контроль

ресурсне забезпечення

Компоненти УМК Макаричева Підручник, проектор, екран, комп'ютер, презентація, завдання для учнів, листи самооцінки

Технології, які використовуються на навчальному занятті

Технологія смислового читання, проблемного навчання, індивідуальний і диференційований підхід, ІКТ

Добрий день, хлопці. Добрий день, шановні колеги! Я вітаю всіх присутніх на сьогоднішньому відкритому уроці. Хлопці, я хочу вам побажати плідно попрацювати на уроці, уважно обмірковувати відповіді на поставлені питання, не поспішати, не перебивати, поважати однокласників і їх відповіді. А ще побажаю вам всім отримати тільки хороші оцінки. Удачі вам!

Чи включаються в діловий ритм уроку

Перевіряють наявність всього необхідного для роботи на уроці, акуратність розташування Предметів. Уміння організувати себе, настроюються на роботу.

2.Актуалізація опорних знань і входження в тему уроку

3. Усна робота

Хлопці, у кожного з вас на парті лежать оціночні листи.На них ви будете оцінювати свою роботу на уроці. Вам сьогодні на уроці надається можливість отримати не одну, а дві оцінки: за роботу на уроці і за самостійну роботу.
Ваші вірні, повні відповіді теж будуть оцінюватися «+», але в іншій колонці і цю оцінку буду ставити я.

На екрані ви бачите ребуси, в яких зашифровані ключові слова сьогоднішнього уроку. Розгадати їх. (Слайд 1)

ступінь

повторення

узагальнення

Хлопці, ви правильно відгадали ребуси. Ці слова: ступінь, повторення і узагальнення. А тепер, використовуючи відгадані слова - підказки, сформулюйте тему сьогоднішнього уроку.

Правильно. Відкрийте зошити і запишіть число і тему уроку «Повторення і узагальнення по темі« Властивості степеня з натуральним показником »(Слайд 2)

Тему уроку ми з вами визначили, а як ви думаєте, чим ми будемо займатися на уроці, які цілі поставимо перед собою? (Слайд 3)

Повторити і узагальнити наші знання по даній темі, ліквідувати наявні прогалини, підготуватися до вивчення наступної теми «Одночлени».

Хлопці, властивості степеня з натуральним показником досить часто застосовуються при знаходженні значень виразів, при перетвореннях виразів. Швидкість обчислень і перетворень, пов'язаних з властивостями ступеня з натуральним показником продиктована і введенням ЄДІ.

Отже, сьогодні ми повторимо і узагальнимо ваші знання і вміння по цій темі. Усно ви повинні вирішити ряд завдань і згадати словесну угруповання властивостей і визначення ступеня з натуральним показником.

епіграф до уроку слова великого російського вченого М. В. Ломоносова «Нехай хто-небудь спробує викреслити з математики ступеня, і він побачить, що без них далеко не заїдеш»

(Слайд 4)

Як ви думаєте, прав учений?

Для чого нам потрібні ступеня?

Де вони знайшли широке застосування? (У фізиці, астрономії, медицині)

Правильно, а тепер давайте повторимо, що ж таке ступінь?

Як називаються а йn в запису ступеня?

Які дії можна виконувати зі ступенями? (Слайди 5 -11)

А тепер підіб'ємо підсумок. У вас на парті листочки з завданнями .

1.Слева вказані початку визначень справа закінчення визначень. З'єднайте лініями вірні висловлювання (Слайд 12)

а) При множенні ступенів з підставами ...

1) підставою ступеня

б) При розподілі ступенів з підставами ....

2) Показник ступеня

в) Число а називають

3) твір n множників, кожний з яких дорівнює а.

г) При зведенні ступеня в ступінь ...

4) ... підстава залишається колишнім, а показники складаються.

д) Ступенем числа а з натуральним показником n, великим 1, називається

5) ... підстава залишається колишнім, а показники перемножуються.

е)числоnназивають

6) Ступенем

ж)вираз а n називають

7) ... підстава залишається колишнім, а показники віднімаються.

2.Теперь, поміняйте листочками з сусідом по парті, оціните його роботу і поставте йому оцінку. Цю оцінку виставите в свій оцінний лист.

А тепер давайте перевіримо, чи правильно ви виконали завдання.

Відгадують ребуси, визначають слова - підказки.

Роблять спроби поставити тему уроку.

Записують у зошити число і тему уроку.

Відповідають на питання

Працюють парами. Читають завдання, згадують.

З'єднують частини визначень

Обмінюються зошитами.

Виконують взаємоперевірку результатів, виставляють оцінки сусідові по парті ..

4.Фізкультмінутка

Руки підняли і похитали -

це дерева в лісі,

Руки зігнули, кисті струснули -

Вітер зриває листя.

У сторони руки, плавно помахаємо -

Птахи на південь так летять,

Як вони сядуть, тихо покажемо -

Руки склали ось так!

Виконують дії паралельно з учителем

5. Перенесення набутих знань, їх первинне застосування в нових або змінених умовах, з метою формування умінь.

1. Пропоную вам наступну роботу: у вас на партах картки. Вам потрібно виконати завдання, тобто записати відповідь у вигляді ступеня з основою з, і ви дізнаєтеся прізвище та ім'я великого французького математика, який ввів загальноприйняте в даний час позначення ступенів. (Слайд 14)

З 8 : З 6

(З 4 ) 3 З

(З 4 ) 3

З 4 З 5 З 0

З 5 З 3 : З 6

З 16 : З 8

З 14 З 8

10.

(З 3 ) 5

Відповідь: Рене Декарт.

Розповідь про біографії Рене Декарта (Слайди 15 - 17)

Хлопці, а зараз давайте виконаємо наступне завдання.

2. Про межах, які відповіді правильні, а які помилкові. (Слайд 18 - 19)

істинного відповіді поставте у відповідність 1, помилковому - 0.

отримавши впорядкований набір з одиниць і нулів, ви дізнаєтеся правильну відповідь і визначте ім'я і прізвище першої російської жінки - математика.

а) x 2 x 3 \u003d x 5

б) s 3 s 5 s 8 = s 16

в) x 7 : x 4 \u003d x 28

г) (c+ d) 8 : ( c+ d) 7 = c+ d

д) (x 5 ) 6 = x 30

Виберіть її ім'я з чотирьох імен відомих жінок, кожному з яких відповідає набір з одиниць і нулів:

Ада Августа Лавлейс - 11001

Софі Жермен - 10101

Катерина Дашкова - 11101

Софія Ковалевська - 11011

З біографії Софії Ковалевської (Слайд 20)

Виконують завдання, визначають прізвище та ім'я французького математика

Слухають, розглядають слайди

Відзначають вірні і невірні відповіді, записують отриманий код, за яким визначають ім'я першої російської жінки - математика.

6. Контроль і оцінка знань Самостійне виконання учнями завдань під контролем вчителя.

А зараз вам належить виконати перевірочну роботу. Перед вами лежать картки з завданнями різного кольору. Колір відповідає рівню складності завдання (на «3», на «4», на «5») Виберіть самі, завдання на яку оцінку ви будете виконувати і приступайте до роботи. (Слайд 21)

На 3"

1. Уявіть у вигляді ступеня твір:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Виконайте дії:

( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( a x ) y

На «4»

1.Представьте у вигляді ступеня твір.

а) х 5 х 8 ; б) у 2 у 9 ; в 2 6 · 2 4 ; г)m 2 m 5 m 4 ;

д)x 6 ∙ x 3 ∙ x 7 ; е) (-7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Уявіть у вигляді ступеня приватне:

а)x 8 : x 4 ; б) (-0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

в) х 5 : х 3 ; г) у 10 : у 10 ; д 2 6 : 2 4 ; е);

на 5"

1.Виполніте дії:

а) а 4 · а · а 3 а б) (7 х ) 2 в) р · р 2 · р 0

г) з · з 3 · з д) т · т 4 · ( т 2 ) 2 · т 0

е) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 ж) -х 3 · (– х ) 4

з) (р 2 ) 4 : р 5 і) (3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Спростіть:

а) x 3 · ( x 2) 5 в) ( a 2) 3 · ( a 4 ) 2

б) ( a 3) 2 · a 5 г) ( x 2) 5 · ( x 5 )

Самостійна робота

Виконують завдання в зошитах

7. Підсумки уроку

Узагальнення отриманих на уроці відомостей.Перевірка роботи, виставлення оцінок. Виявлення труднощів, з якими зіткнулися на уроці

8. Рефлексія

Що сталося з поняттям ступеня вXVII столітті, ми з вами можемо передбачити самі. Для цього спробуйте відповісти на питання: чи можна число звести в негативну ступінь або дробову? Але це предмет нашого майбутнього вивчення.

Оцінки за урок

Хлопці, наш урок хочу закінчити наступного притчею.

Притча. Йшов мудрець, а назустріч йому три людини, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і задав кожному з питання. У першого запитав: "Що ти робив цілий день". І той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляті камені. У другого мудрець запитав: "А що ти робив цілий день", і той відповів: "А я сумлінно виконував свою роботу". А третій посміхнувся, його обличчя засвітилося радістю і задоволенням: "А я брав участь в будівництві храму!"

Хлопці, дайте відповідь, а що ви робили сьогодні на уроці? Тільки зробіть це в листі самооцінки. Обведіть кружком в кожному стовпчику то твердження, яке відноситься до вас.

У листі самооцінки потрібно підкреслити фрази, що характеризують роботу учня на уроці за трьома напрямками.

Наш урок закінчений. Спасибі всім за роботу на уроці!

Відповідають на питання

Оцінюють свою роботу на уроці.

Відзначають в картці фрази, що характеризують їх роботу на уроці.

алгебра 7 клас

учитель математики

філії МБОУТСОШ№1

в с.Полетаево Зуєва І.П.

Полєтаєво 2016

Тема: « Властивості степеня з натуральним показником»

МЕТА

1. Повторення, узагальнення і систематизація вивченого матеріалу по темі «Властивості степеня з натуральним показником».
2. Перевірка знань учнів з даної теми.
3. Застосування отриманих знань при виконанні різних завдань.

ЗАВДАННЯ

предметні :

повторити, узагальнити і систематизувати знання з теми; створити умови контролю (взаємоконтролю) засвоєння знань і умінь;продовжити формування мотивації учнів до вивчення предмета;

метапредметние:

розвивати операційний стиль мислення; сприяти набуттю учнями навичок спілкування під час спільної роботи; активізувати їх творче мислення; продолжіть формування певних компетенцій учнів, які сприятимуть їх ефективної соціалізації; навичок самоосвіти і самовиховання.

особистісні:

виховувати культуру, сприяти формуванню особистісних якостей, спрямованих на доброзичливе, толерантне ставлення один до одного, людям, життя; виховувати ініціативу і самостійність в діяльності; підвести до розуміння необхідності досліджуваної теми для успішної підготовки до державної підсумкової атестації.

ТИП УРОКУ

урок узагальнення і систематизації ЗУН.

устаткування: комп'ютер, проектор,екран для проектування, дошка, роздатковий матеріал.

Програмне забезпечення: ОС Windows 7: MS Office 2007 (обов'язково додаток -PowerPoint).

Підготовчий етап:

презентація «Властивості степеня з натуральним показником»;

роздатковий матеріал;

заліковий лист.

структура

Організаційний момент. Постановка цілей і завдань уроку - 3 хвилини.

Актуалізація, систематизація опорних знань - 8 хвилин.

Практична частина -28 хвилин.

Узагальнення, висновок -3 хвилина.

Домашнє завдання - 1 хвилина.

Рефлексія - 2 хвилини.

ідея уроку

Перевірка в цікавій і ефективній формі ЗУН учнів з даної теми.

організація уроку Урок проводиться в 7 класі. Хлопці працюють в парах, самостійно, учитель виступає в ролі консультанта-спостерігача.

Хід уроку

Організаційний момент:

Привіт, хлопці! Сьогодні у нас незвичайний урок-гра. Кожному з вас надається прекрасна можливість проявити себе, показати свої знання. Можливо, під час уроку ви розкриєте в собі приховані здібності, які вам знадобляться в подальшому.

У вас у кожного на столі лежать заліковий лист і картки для виконання в них завдань. Візьміть в руки заліковий лист, він потрібен вам для того, щоб ви самі оцінили свої знання протягом уроку. Підпишіть його.

Отже, запрошую вас на урок!

Хлопці, подивіться на екран і послухайте вірш.

слайд №1

Множити і ділити

Ступінь в ступінь зводити ...

Властивості ці нам знайомі

І давно вже не нові.

П'ять нескладних правил цих

Кожен в класі вже відповів

Але якщо властивості забув,

Вважай, приклад ти не вирішив!

А щоб в школі жити без бід

Дам слушну я тобі порада:

Не хочеш правило забути?

Спробуй просто завчити!

Дайте відповідь на питання:

1) Які дії в ньому згадуються?

2) Як ви думаєте, про що ми сьогодні будемо говорити на уроці?

Таким чином, тема нашого уроку:

«Властивості степеня з натуральним показником» (Слайд3).

Постановка цілей і завдань уроку

На уроці ми повторимо, узагальнимо і наведемо в систему вивчений матеріал по темі «Властивості степеня з натуральним показником»

Подивимося, як ви навчилися множити і ділити ступеня з однаковими підставами, а також зводити ступінь в ступінь

Актуалізація опорних знань. Систематизація теоретичного матеріалу.

1) Усна робота

попрацюємо усно

1) Сформулюйте властивості степеня з натуральним показником.

2) Заповніть прогалини: (Слайд 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Чому дорівнює значення виразу:(Слайд5-9)

а m ∙ а n; (А m + n) а m: a n (а m-n); (A m) n; а 1; а 0.

2) Перевірка теоретичної частини (Карточка№1)

А зараз візьміть в руки картку №1 ізаповніть пропуски

1) Якщо показник парне число, то значення ступеня завжди _______________

2) Якщо показник непарне число, то значення мірою збігається зі знаком ____.

3) Твір ступенівa n · a k \u003d a n + k
При множенні ступенів з підставами, треба підставу ____________, а показники ступенів ________.

4) Приватне ступенівa n: a k \u003d a n - k
При розподілі ступенів з підставами, треба підставу _____, а з показника діленого ____________________________.

5) Зведення ступеня в ступінь (a n) до \u003d a nk
При зведенні ступеня в ступінь треба підставу _______, а показники ступенів ______.

Перевірка відповідей. (Слайди 10-13)

Основна частина

3) А зараз відкриваємо зошити, записуємо число 28.01 14г, класна робота

Гра "хлопавка » (Слайд 14)

Виконайте завдання в зошитах самостійно

Виконайте дії: а)х11 ∙ х ∙ х2 б)х14 : х5 в) (а4 ) 3 г) (-За)2 .

Порівняти значення виразу з нулем: а) (- 5)7 , Б) (- 6)18 ,

в 4)11 . ( -4) 8 г) (- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , Д) - (- 4)8 .

Обчислити значення виразу:

а) -1 ∙ 3 2, б) (- 1 ∙ 3) 2 в) 1 ∙ (-3) 2, г) - (2 ∙ 3) 2, д) 1 2 ∙ (-3) 2

Перевіряємо, якщо відповідь не правильний робимо один хлопок в долоні.

Підрахуйте кількість балів і занесіть їх в заліковий лист.

4) А зараз проведемо гімнастику для очей, знімемо напругу, і будемо працювати далі. Уважно стежимо за переміщенням предметів

Починаємо! (Слайд 15,16,17,18).

5) А тепер приступимо до наступного вигляду нашої роботи. (Карточка2)

Запишіть відповідь у вигляді ступеня з основою З і ви дізнаєтеся прізвище та ім'я великого французького математика, який першим ввів поняття ступеня числа.

Вгадай прізвище вченого математика.

Про твет: Рене ДЕКАРТ

А зараз послухаємо повідомлення учня про «Рене Декарт»

Рене Декарт народився 21 березня 1596 року в маленькому містечку Ла - Ге в Турени. Рід Декартов належав до незнатному чиновному дворянству. Дитинство Рене провів у Турени. У 1612 році Декарт закінчив школу. Він провів в ній вісім з половиною років. Декарт далеко не відразу знайшов своє місце в житті. Дворянин за походженням, закінчивши коледж в Ла - Флеша, він з головою поринає у світське життя Парижа, потім кидає все заради занять наукою. Декарт надавав математиці особливе місце в своїй системі, він вважав її принципи встановлення істини зразком для інших наук. Чималою заслугою Декарта було введення зручних позначень, що збереглися до наших днів: латинських букв х, у, z для невідомих; а, в, с - для коефіцієнтів, для ступенів. Інтереси Декарта не обмежуються математикою, а включають механіку, оптику, біологію. У 1649 р Декарт після довгих коливань переїжджає до Швеції. Це рішення виявилося для його здоров'я фатальним. Через півроку Декарт помер від пневмонії.

6) Робота біля дошки:

1. Розв'яжіть рівняння

А) х 4 ∙ (х 5) 2 / х 20: х 8 \u003d 49

Б) (t 7 ∙ t 17): (t 0 ∙ t 21) \u003d -125

2. Обчисліть значення виразу:

(5-x) 2 -2x 3 + 3x 2 -4x + x-x 0

а) при x \u003d -1

б) при x \u003d 2 Самостійно

7) Візьміть в руки картку №3 виконайте тест

Перевірте один в одного роботу і поставте оцінку своїм товаришам в заліковий лист.

Додаткові завдання для сильних учнів

Кожне завдання оцінюється окремо.

Знайти значення виразу:

8) А зараз подивимося результативність нашого уроку ( слайд 19)

Для цього, виконуючи завдання викресліть літери, відповідні відповідей.

АОВСТЛКРІЧГНМО

Спростіть вираз:

Шифр: А - З 7 В- З 15 Г - З І - З 30 К - З 9 М - З 14 Н - З 13 Про - З 12 Р - З 11 С - З 5 Т - З 8 Ч - З 3

Яке слово у вас вийшло? ВІДПОВІДЬ: ВІДМІННО! (Слайд 20)

Підведення підсумків, оцінювання, виставлення оцінок (Слайд 21)

Підіб'ємо підсумок нашого уроку, на скільки успішно ми повторили, узагальнили і систематизували знання по темі «Властивості степеня з натуральним показником»

Беремо залікові листи і підраховуємо загальну кількість балів і записуємо їх в рядок підсумкової оцінки

Встаньте хто набрав 29-32 балів: оцінка -отлично

25-28 балів: оцінка -Добре

20-24 балів: оцінка - задовільно

Я ще раз перевірю правильність виконання завдань за картками, звірю ваші результати з виставленими балами в заліковій аркуші. Оцінки поставлю в журнал

А за активну роботу на уроці оцінки:

Хлопці прошу вас оцінити свою діяльність на уроці. Відмітка в листі настрою.

Домашнє завдання (Слайд 22)

Складіть кросворд з ключовим словом РІВЕНЬ. На наступному уроці ми розглянемо найцікавіші роботи.

№ 567

Список використаних джерел

1. Підручник «Алгебра 7 клас».
2. Вірш. http://yandex.ru/yandsearch
3. Н.Є. Щуркова. Культура сучасного уроку. М .: Російське педагогічне агентство, 1997..
4. А.В. Петров. Методологічні та методичні засади особистісно-розвиваючого комп'ютерної освіти. Волгоград. «Зміна», 2001.
5. А.С. Бєлкін. Ситуація успіху. Як її створити. М .: «Просвещение», 1991.
6. Інформатика і освіту №3. Операційний стиль мислення, 2003