Чому дорівнює квадратний корінь з добутку. Презентація на тему "квадратний корінь з добутку". Витяг кореня з негативного числа

слайд 2

Мета уроку:

Повторити визначення арифметичного квадратного кореня. Ввести і довести теорему про квадратному корені з твору. Навчитися знаходити. Перевірити знання і вміння з допомогою самостійної роботи.

слайд 3

Квадратний корінь з добутку

План уроку: Актуалізація знань. Вивчення нового матеріалу. Закріплення формули на прикладах. Самостійна робота. Підведення підсумків. Завдання додому.

слайд 4

Привіт, хлопці!

Повторимо: 2. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа 3. При якому значенні вираз має сенс? 1. Як називається вираз

слайд 5

Знайдіть:

1) 2) 3) 7 або або 7

слайд 6

Сьогодні ми познайомимося з одним з властивостей арифметичного квадратного кореня. Введемо і доведемо теорему про квадратному корені з твору, розглянемо приклади її застосування. Потім Вам будуть запропоновані завдання для самоперевірки. Бажаю удачі!

слайд 7

спробуємо вирішити

Розглянемо арифметичний корінь Знайдіть значення виразу: Значить, Отже, корінь з добутку двох чисел дорівнює добутку коренів з цих чисел.

слайд 8

Корінь з добутку невід'ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників. Якщо то Теорема

слайд 9

Квадратний корінь з добутку

Доказ: значить, - мають сенс. 4. Висновок: (тому що твір двох невід'ємних чисел неотрицательно) 5. Отже,

слайд 10

Ми розглянули доказ теореми про видаляння квадратного кореня з добутку. Перейдемо до практичної роботи. Зараз я вам покажу як застосовується ця формула при вирішенні прикладів. Вирішуйте разом зі мною.

слайд 11

Розрахуйте значення квадратного кореня, використовуючи теорему про корінь з добутку: Вирішуємо приклади:

слайд 12

Вирішуємо приклади:

2. Знайдіть значення виразу:

слайд 13

Швидкий рахунок

А я здогадався, як можна використовувати цю формулу для швидких обчислень. Дивись і вчись.

слайд 14

Варіант 1 Варіант 2 Пропоную вам приклади для самостійного рішення.

Квадратним коренем з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа -5 і 5 є квадратними корінням з числа 25. Тобто, корені рівняння x ^ 2 = 25, є квадратними корінням з числа 25. Тепер необхідно навчитися працювати з операцією вилучення квадратного кореня: вивчити його основні властивості.

Квадратний корінь з добутку

√ (a * b) = √a * √b

Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних чисел, дорівнює добутку квадратних коренів з цих чисел. Наприклад, √ (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

Важливо розуміти, що це властивість поширюється і на той випадок, коли подкоренное вираз являє собою твір трьох, чотирьох і т.д. невід'ємних множників.

Іноді зустрічається і інше формулювання цієї властивості. Якщо a і b є невід'ємні числа, то справедливо наступне рівність √ (a * b) = √a * √b. Різниці між ними немає абсолютно ніякої, можна використовувати як одну, так і іншу формулювання (кому яку зручніше запам'ятати).

Квадратний корінь з дробу

Якщо a> = 0 і b> 0, то справедливо наступне рівність:

√ (a / b) = √a / √b.

Наприклад, √ (9/25) = √9 / √25 = 3/5;

У цієї властивості теж існує інша формулювання, на мій погляд, більш зручна для запам'ятовування.
Квадратний корінь приватного дорівнює приватному від коренів.

Варто відзначити, що ці формули працюють як зліва направо, так і справа наліво. Тобто при необхідності, ми можемо твір коренів уявити як корінь з добутку. Теж саме стосується і другого властивості.

Як ви могли помітити, ці властивості дуже зручні, і хотілося б мати такі ж властивості для додавання і віднімання:

√ (a + b) = √a + √b;

√ (a-b) = √a-√b;

Але на жаль таких властивостей квадратні коріння не мають, І тому так робити при обчисленнях можна.

Формули коренів. Властивості квадратних коренів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Прийшла пора розібратися, які існують формули для коренів, які властивості коренів, І що з усім цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів і правила дій з корінням- це, по суті, одне і те ж. Формул для квадратних коренів на подив небагато. Що, безумовно, радує! Вірніше, понаписували всяких формул можна багато, але для практичної і впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Все інше з цих трьох виникає. Хоча і в трьох формулах коренів багато блудять, так ...

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Прийшов час розібрати способи добування коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яке справедливо для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче ми по черзі розглянемо основні способи добування коренів.

Почнемо з найпростішого випадку - з вилучення коренів з натуральних чисел з використанням таблиці квадратів, таблиці кубів і т.п.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів і т.п. немає під руками, то логічно скористатися способом добування кореня, який має на увазі розкладання подкоренного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на, що можливо для коренів з непарними показниками.

Нарешті, розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів і т.д.

У найпростіших випадках витягувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж являють собою ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) складається з двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому тлі, вона за допомогою вибору певного рядка і певного стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99. Для прикладу виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим ми зафіксували кількість 83. Друга зона займає частину таблиці. Кожна її осередок знаходиться на перетині певного рядка і певного стовпчика, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99. На перетині обраної нами рядки 8 десятків і стовпці 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6 889 яке є квадратом числа 83.

Таблиці кубів, таблиці четверте ступенів чисел від 0 до 99 і так далі аналогічні таблиці квадратів, тільки вони в другій зоні містять куби, четверті ступеня і т.д. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четверте ступенів і т.д. дозволяють витягувати квадратний корінь, кубічні корені, корені четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що знаходяться в цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування при добуванні коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-го ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n -их ступенів. З цієї таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як за допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19 683. Знаходимо число 19 683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27, отже, .

Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при добуванні коренів. Однак їх часто не надається під руками, а їх складання вимагає певного часу. Більш того, часто доводиться витягати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів вилучення коренів.

Розкладання подкоренного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести добування кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання подкоренного числа на прості множники. його суть полягає в наступному: Після його досить легко уявити у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. В цьому випадку вірно рівність a = b n. Число b як будь-яке натуральне число можна подати у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1, p 2, ..., pm у вигляді p 1 · p 2 · ... · pm, а підкореневе число a в цьому випадку представляється як (p 1 · p 2 · ... · pm) n. Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання подкоренного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 · p 2 · ... · p m) n, що дає можливість обчислити значення кореня як.

Зауважимо, що якщо розкладання на прості множники подкоренного числа a не може бути представлено у вигляді (p 1 · p 2 · ... · p m) n, то корінь n-го ступеня з такого числа a остачі не виймається.

Розберемося з цим при вирішенні прикладів.

Приклад.

Вийміть квадратний корінь з 144.

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то добре видно, що 144 = 12 2, звідки зрозуміло, що квадратний корінь з 144 дорівнює 12.

Але в світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання подкоренного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб вирішення.

розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. На підставі з отриманим розкладанням можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. отже, .

Використовуючи властивості ступеня і властивості коренів, рішення можна було оформити і трохи інакше:.

відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

Приклад.

Розрахуйте значення кореня.

Рішення.

Розклад на прості множники подкоренного числа 243 має вигляд 243 = 3 5. Таким чином, .

відповідь:

Приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкореневе число на прості множники і подивимося, представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 = 2 3 • 3 6 ∙ 7 2. Отримане розкладання не представляється у вигляді куба цілого числа, так як ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь з числа 285 768 не розгорнеться остачі.

відповідь:

Ні.

Витяг коренів з дрібних чисел

Прийшов час розібратися, як витягується корінь з дрібного числа. Нехай дробове підкореневе число записано в вигляді як p / q. Відповідно до властивості кореня з приватного справедливо наступне рівність. З цієї рівності випливає правило добування кореня з дробу: Корінь з дробу дорівнює частці від ділення кореня з чисельника на корінь з знаменника.

Розберемо приклад радикал з дробу.

Приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь з звичайного дробу 25/169.

Рішення.

По таблиці квадратів знаходимо, що квадратний корінь з чисельника вихідної дробу дорівнює 5, а квадратний корінь з знаменника дорівнює 13. тоді . На цьому добування кореня з звичайного дробу 25/169 завершено.

відповідь:

Корінь з десяткового дробу або змішаного числа витягується після заміни підкореневих чисел звичайними дробами.

Приклад.

Вийміть кубічний корінь з десяткового дробу 474,552.

Рішення.

Уявімо вихідну десяткову дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. тоді . Залишилося отримати кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманої дробу. Так як 474 552 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 =(2 · 3 · 13) 3 = 78 3 і 1 000 = 10 3, то і . Залишилося лише завершити обчислення .

відповідь:

.

Витяг кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коренів з негативних чисел. При вивченні коренів ми сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може перебувати негативне число. Таким записів ми додали наступний сенс: для негативного числа -a і непарного показника кореня 2 · n-1 справедливо . Це рівність дає правило вилучення коренів непарного степеня з негативних чисел: Щоб витягти корінь з від'ємного числа потрібно витягти корінь з протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

Приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідне вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайної дробом: . Застосовуємо правило добування кореня з звичайного дробу: . Залишилося обчислити корені в чисельнику і знаменнику отриманої дробу: .

Наведемо коротку запис рішення: .

відповідь:

.

Порязрядное знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається представити у вигляді n-го ступеня будь-якого числа. Але при цьому буває необхідність знати значення даного кореня, хоча б з точністю до деякого знака. В цьому випадку для вилучення кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому кроці даного алгоритму потрібно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться до рівня n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевершує підкореневе число. Тоді число, яке ми зводили в ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Для прикладу розглянемо цей крок алгоритму при добуванні квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, ... і зводимо їх в квадрат, поки не отримаємо число, що перевершує 5. Маємо 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, значить, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також більш молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи від найстаршого, а просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня на першому кроці виходить 2, на другому - 2,2, на третьому - 2,23, і так далі 2,236067977 .... Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться за рахунок перебору їх можливих значень 0, 1, 2, ..., 9. При цьому паралельно обчислюються n -і ступеня відповідних чисел, і вони порівнюються з подкоренное числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкореневе число, то значення розряду, відповідне попереднього значення, вважається знайденим, і проводиться перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо ж цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9.

Пояснимо ці моменти все на тому ж прикладі добування квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Будемо перебирати значення 0, 1, 2, ..., 9, обчислюючи відповідно 0 2, 1 2, ..., 9 2 до того моменту, поки не отримаємо значення, більше подкоренного числа 5. Всі ці обчислення зручно представляти у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (так як 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, порівнюючи отримані значення з подкоренное числом 5:

Так як 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5, то значення розряду десятих дорівнює 2. Можна переходити до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо добування кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього будуємо в куб числа 0, 10, 100 і т.д. поки не отримаємо число, що перевершує 2 151,186. Маємо 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Тому що 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, то значення розряду десятків дорівнює 1. Переходимо до одиниць.

Таким чином, значення розряду одиниць дорівнює 2. Переходимо до десятих.

Так як навіть 12,9 3 менше подкоренного числа 2 151,186, то значення розряду десятих дорівнює 9. Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що існує маса інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Вітаю, кота! Минулого разу ми детально розібрали, що таке коріння (якщо не пам'ятаєте, рекомендую почитати). Головний висновок того уроку: існує лише одне універсальне визначення коренів, яке вам і потрібно знати. Решта - брехня і марна трата часу.

Сьогодні ми йдемо далі. Будемо вчитися множити коріння, вивчимо деякі проблеми, пов'язані з множенням (якщо ці проблеми не вирішити, то на іспиті вони можуть стати фатальними) і як слід потренуємося. Тому запасайтеся попкорном, влаштовуйтеся зручніше - і ми починаємо. :)

Ви ж теж ще не вкурив?

Урок вийшов досить великим, тому я розділив його на дві частини:

1. Спочатку ми розберемо правила множення. Кеп як би натякає: це коли є два кореня, між ними стоїть знак «помножити» - і ми хочемо щось з цим зробити.
2. Потім розберемо зворотну ситуацію: є один великий корінь, а нам закортіло уявити його у вигляді добутку двох коренів простіше. З якого переляку це буває потрібно - питання окреме. Ми розберемо лише алгоритм.

Тим, кому не терпиться одразу перейти до другої частини - ласкаво прошу. З рештою почнемо по порядку.

Основне правило множення

Почнемо з найпростішого - класичних квадратних коренів. Тих самих, які позначаються $ \ sqrt (a) $ і $ \ sqrt (b) $. Для них все взагалі очевидно:

Правило множення. Щоб помножити один квадратний корінь на інший, потрібно просто перемножити їх подкоренное вираження, а результат записати під загальним радикалом:

\ [\ Sqrt (a) \ cdot \ sqrt (b) = \ sqrt (a \ cdot b) \]

Ніяких додаткових обмежень на числа, що стоять праворуч або ліворуч, що не накладається: якщо коріння-множники існують, то і твір теж існує.

Приклади. Розглянемо відразу чотири приклади з числами:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27 )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ end (align) \]

Як бачите, основний зміст цього правила - спрощення ірраціональних виразів. І якщо в першому прикладі ми б і самі витягнули коріння з 25 і 4 без всяких нових правил, то далі починається жесть: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) $ самі по собі не вважаються, але їх твір виявляється точним квадратом, тому корінь з нього дорівнює раціональному числу.

Окремо хотів би відзначити останній рядок. Там обидва підкореневих вислови є дроби. Завдяки твору багато множники скорочуються, а все вираз перетворюється в адекватне число.

Звичайно, не завжди все буде так красиво. Іноді під корінням буде стояти повна лажа - незрозуміло, що з нею робити і як перетворювати після множення. Трохи пізніше, коли почнете вивчати ірраціональні рівняння і нерівності, там взагалі будуть всякі змінні і функції. І дуже часто укладачі завдань якраз і розраховують на те, що ви виявите якісь скорочуються складові або множники, після чого завдання багаторазово спроститься.

Крім того, зовсім необов'язково перемножувати саме два кореня. Можна помножити відразу три, чотири - та хоч десять! Правило від цього не зміниться. Погляньте:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0,001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0,001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ end (align) \]

І знову невелике зауваження по другому прикладу. Як бачите, в третьому множителе під коренем стоїть десяткова дріб - в процесі обчислень ми замінюємо її звичайною, після чого все легко скорочується. Так ось: дуже рекомендую позбавлятися від десяткових дробів в будь-яких ірраціональних виразах (тобто містять хоча б один значок радикала). В майбутньому це заощадить вам купу часу і нервів.

Але це був ліричний відступ. Тепер розглянемо більш загальний випадок - коли в показнику кореня варто довільне число $ n $, а не тільки «класична» двійка.

Випадок довільного показника

Отже, з квадратними коренями розібралися. А що робити з кубічними? Або взагалі з корінням довільній ступеня $ n $? Так все те ж саме. Правило залишається тим самим:

Щоб перемножити два кореня ступеня $ n $, досить перемножити їх подкоренное вираження, після чого результат записати під одним радикалом.

Загалом, нічого складного. Хіба що обсяг обчислень може виявитися більше. Розберемо парочку прикладів:

Приклади. Обчислити твори:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0,16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )))) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ end (align) \]

І знову увагу другий вираз. Ми перемножуємо кубічні корені, позбавляємося від десяткового дробу і в підсумку отримуємо в знаменнику твір чисел 625 і 25. Це досить велике число - особисто я з ходу не порахую, чому воно дорівнює.

Тому ми просто виділили точний куб в чисельнику і знаменнику, а потім скористалися одним з ключових властивостей (або, якщо завгодно - визначенням) кореня $ n $ -го степеня:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ left | a \ right |. \\ \ end (align) \]

Подібні «махінації» можуть здорово заощадити вам час на іспиті або контрольної роботи, тому запам'ятайте:

Не поспішайте перемножать числа в подкоренного вираженні. Спочатку перевірте: раптом там «зашифрована» точна ступінь будь-якого виразу?

При всій очевидності цього зауваження повинен визнати, що більшість непідготовлених учнів в упор не бачать точні ступеня. Замість цього вони перемножують все напролом, а потім дивуються: чому це вийшли такі звірячі числа? :)

Втім, все це дитячий лепет в порівнянні з тим, що ми вивчимо зараз.

Множення коренів з різними показниками

Ну добре, тепер ми вміємо перемножать коріння з однаковими показниками. А що, якщо показники різні? Скажімо, як помножити звичайний $ \ sqrt (2) $ на якусь хрень типу $ \ sqrt (23) $? Чи можна взагалі це робити?

Так звичайно можна. Все робиться ось за цією формулою:

Правило множення коренів. Щоб помножити $ \ sqrt [n] (a) $ на $ \ sqrt [p] (b) $, досить виконати ось таке перетворення:

\ [\ Sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Однак ця формула працює тільки за умови, що подкоренное вираження невід'ємні. Це дуже важливе зауваження, до якого ми повернемося трохи пізніше.

А поки розглянемо кілька прикладів:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ end (align) \]

Як бачите, нічого складного. Тепер давайте розберемося, звідки взялося вимога невід'ємності, і що буде, якщо ми його порушимо. :)

Чому подкоренное вираження повинні бути невід'ємними?

Звичайно, можна уподібнитися шкільним вчителям і з розумним виглядом процитувати підручник:

Вимога невід'ємності пов'язано з різними визначеннями коренів парному і непарному ступені (відповідно, області визначення у них теж різні).

Ну що, стало зрозуміліше? Особисто я, коли читав цю маячню в 8-му класі, зрозумів для себе приблизно наступне: «Вимога невід'ємності пов'язано з * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%» - коротше, я нихрена в той раз не зрозумів. :)

Тому зараз поясню все по-нормальному.

Спочатку з'ясуємо, звідки взагалі береться формула множення, наведена вище. Для цього нагадаю одну важливу властивість кореня:

\ [\ Sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Іншими словами, ми можемо спокійно зводити подкоренное вираз в будь-яку натуральну ступінь $ k $ - при цьому показник кореня доведеться помножити на цю ж ступінь. Отже, ми легко зведемо будь коріння до загального показника, після чого перемножимо. Звідси і береться формула множення:

\ [\ Sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Але є одна проблема, яка різко обмежує застосування всіх цих формул. Розглянемо ось таке число:

Згідно зі щойно наведеної формулі ми можемо додати будь-яку ступінь. Спробуємо додати $ k = 2 $:

\ [\ Sqrt (-5) = \ sqrt (((\ left (-5 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

Мінус ми прибрали якраз тому, що квадрат спалює мінус (як і будь-яка інша парна ступінь). А тепер виконаємо зворотне перетворення: «скоротимо» двійку в показнику і ступеня. Адже будь-яке рівність можна читати як зліва-направо, так і справа-наліво:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (a); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ end (align) \]

Але тоді виходить якась хрень:

\ [\ Sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

Цього не може бути, тому що $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $, а $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Значить, для парних ступенів і негативних чисел наша формула вже не працює. Після чого у нас є два варіанти:

1. Вбитися об стіну констатувати, що математика - це безглузда наука, де «є якісь правила, але це неточно»;
2. Ввести додаткові обмеження, при яких формула стане робочої на 100%.

У першому варіанті нам доведеться постійно виловлювати «непрацюючі» випадки - це важко, довго і взагалі фу. Тому математики віддали перевагу другому варіанту. :)

Але не переживайте! На практиці це обмеження ніяк не впливає на обчислення, тому що всі описані проблеми стосуються лише коренів непарної ступеня, а з них можна виносити мінуси.

Тому сформулюємо ще одне правило, яке поширюється взагалі на всі дії з корінням:

Перш ніж перемножать коріння, зробіть так, щоб подкоренное вираження були невід'ємні.

Приклад. У числі $ \ sqrt (-5) $ можна винести мінус з-під знака кореня - тоді все буде норм:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]

Відчуваєте різницю? Якщо залишити мінус під коренем, то при зведенні подкоренного вираження в квадрат він зникне, і почнеться хрень. А якщо спочатку винести мінус, то можна хоч до посиніння зводити / прибирати квадрат - число залишиться негативним. :)

Таким чином, найправильніший і найнадійніший спосіб множення коренів наступний:

1. Прибрати все мінуси з-під радикалів. Мінуси бувають тільки в коренях непарної кратності - їх можна поставити перед коренем і при необхідності скоротити (наприклад, якщо цих мінусів виявиться два).
2. Виконати множення згідно з правилами, розглянутими вище в сьогоднішньому уроці. Якщо показники коренів однакові, просто перемножуємо подкоренное вираження. А якщо різні - використовуємо злісну формулу \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n) )) \].
3. 3.Наслаждаемся результатом і хорошими оцінками. :)

Ну що? Потренуємося?

Приклад 1. Спростіть вираз:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3 )) \ right) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ sqrt (64) = - 4; \ End (align) \]

Це саме простий варіант: показники коренів однакові і непарні, проблема лише в мінусі у другого множника. Виносимо цей мінус нафіг, після чого все легко вважається.

Приклад 2. Спростіть вираз:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ left (((2) ^ (5)) \ right)) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((2) ^ (2)) \ right)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( align) \]

Тут багатьох збентежило б то, що на виході вийшло ірраціональне число. Так, так буває: ми не змогли повністю позбутися від кореня, але принаймні суттєво спростили вираз.

Приклад 3. Спростіть вираз:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left ((( a) ^ (4)) \ right)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

Ось на це завдання хотів би звернути вашу увагу. Тут відразу два моменти:

1. Під коренем стоїть не конкретне число або ступінь, а змінна $ a $. На перший погляд, це трохи незвично, але в дійсності при вирішенні математичних завдань найчастіше доведеться мати справу саме з перемінними.
2. В кінці ми примудрилися «скоротити» показник кореня і ступінь в подкоренного вираженні. Таке трапляється досить часто. І це означає, що можна було істотно спростити обчислення, якщо не користуватися основною формулою.

Наприклад, можна було вчинити так:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ end (align) \]

По суті, всі перетворення виконувалися лише з другим радикалом. І якщо не розписувати детально все проміжні кроки, то в підсумку обсяг обчислень істотно знизиться.

Насправді ми вже стикалися з подібним завдання вище, коли вирішували приклад $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Тепер його можна розписати набагато простіше:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ left (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ left (75 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ End (align) \]

Ну що ж, з множенням коренів розібралися. Тепер розглянемо зворотну операцію: що робити, коли під коренем стоїть твір?