Події зі ступенями з однаковими основами. Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2020). Повернемося, наприклад
Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їх складання одне за одним зі своїми знаками.
Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.
Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.
Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .
Це так само очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.
Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.
Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .
Це очевидно, що квадрат числа a і куб числа a, не дорівнює ні подвоєному квадрату a, але подвоєному кубу a.
Сума a 3 b n та 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Відніманнястепенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні бути змінені.
Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Розмноження ступенів
Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.
Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.
Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в останньому прикладі може бути впорядкований шляхом додавання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .
Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює сумістепенів доданків.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.
Так, a n am = a m+n .
Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;
І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;
Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . І x3.x2.x = x3+2+1=x6.
Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x – y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Це справедливо і для чисел, показники ступеня яких - негативні.
1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n.y-m = y-n-m.
3. a -n. m = a m-n.
Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто
Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.
Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.
Так, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Поділ ступенів
Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, забираючи від діленого дільника, або розміщенням їх у формі дробу.
Таким чином a 3 b 2 поділене на b 2 дорівнює a 3 .
Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Запис a 5 , поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.
При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..
Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.
І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат розподілу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.
Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями
1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.
3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .
4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .
5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.
8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.
9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.
Поняття ступеня математики вводиться ще 7 класі під час уроку алгебри. І надалі протягом усього курсу вивчення математики це поняття активно використовується у різних своїх видах. Ступеня - достатньо важка тема, що вимагає запам'ятовування значень та вміння правильно та швидко порахувати. Для більш швидкої та якісної роботи зі ступенями математики вигадали властивості ступеня. Вони допомагають скоротити великі обчислення, перетворити величезний приклад на одне число певною мірою. Властивостей не так багато, і всі вони легко запам'ятовуються і застосовуються на практиці. Тому у статті розглянуто основні властивості ступеня, а також те, де вони використовуються.
Властивості ступеня
Ми розглянемо 12 властивостей ступеня, у тому числі й властивості ступенів з однаковими основами, і до кожної властивості наведемо приклад. Кожна з цих властивостей допоможе вам швидше вирішувати завдання зі ступенями, а також врятує вас від численних обчислювальних помилок.
1-е якість.
Про цю властивість багато хто дуже часто забуває, робить помилки, представляючи число в нульовому ступені як нуль.
2-е якість.
3-тя якість.
Потрібно пам'ятати, що цю властивість можна застосовувати тільки при добутку чисел, при сумі воно не працює! І не можна забувати, що це, і наступне, властивості застосовуються тільки до ступенів з однаковими основами.
4-е якість.
Якщо в знаменнику число зведено в негативний ступінь, то при відніманні ступінь знаменника береться до дужок для правильної заміни знака при подальших обчисленнях.
Властивість працює тільки при розподілі, при відніманні не застосовується!
5-е якість.
6-е якість.
Цю властивість можна застосувати і у зворотний бік. Одиниця поділена на число певною мірою є це число в мінусовому ступені.
7-е якість.
Цю властивість не можна застосовувати до суми та різниці! При зведенні ступінь суми чи різниці використовуються формули скороченого множення, а чи не властивості ступеня.
8-е якість.
9-е якість.
Ця властивість працює для будь-якого дробового ступеня з чисельником, рівним одиниці, формула буде та ж, тільки ступінь кореня змінюватиметься в залежності від знаменника ступеня.
Також цю властивість часто використовують у зворотному порядку. Корінь будь-якого ступеня з числа можна уявити, як це число ступеня одиниця поділена на ступінь кореня. Ця властивість дуже корисна у випадках, якщо корінь із числа не вилучається.
10-е якість.
Ця властивість працює не тільки з квадратним коренемта другим ступенем. Якщо рівень кореня і рівень, у якому зводять цей корінь, збігаються, то відповіддю буде підкорене вираз.
11-е якість.
Цю властивість потрібно вміти вчасно побачити при вирішенні, щоб позбавити себе величезних обчислень.
12-те якість.
Кожна з цих властивостей неодноразово зустрінеться вам у завданнях, воно може бути дано у чистому вигляді, а може вимагати деяких перетворень та застосування інших формул. Тож правильного рішення мало знати лише якості, необхідно практикуватися і підключати інші математичні знання.
Застосування ступенів та їх властивостей
Вони активно застосовуються в алгебрі та геометрії. Ступені в математиці мають окреме, важливе місце. З їхньою допомогою вирішуються показові рівняння і нерівності, а як і ступенями часто ускладнюють рівняння та приклади, які стосуються інших розділів математики. Ступені допомагають уникнути великих та довгих розрахунків, ступеня легше скорочувати та обчислювати. Але для роботи з великими ступенями або зі ступенями великих чисел потрібно знати не тільки властивості ступеня, а грамотно працювати і з підставами, вміти їх розкласти, щоб полегшити собі завдання. Для зручності слід знати ще й значення чисел, зведених у ступінь. Це скоротить ваш час під час вирішення, виключивши необхідність довгих обчислень.
Особливу роль поняття ступеня грає у логарифмах. Оскільки логарифм, власне, і є ступінь числа.
Формули скороченого множення – ще один приклад використання ступенів. Вони не можна застосовувати властивості ступенів, вони розкладаються по особливим правилам, але у кожній формулі скороченого множення незмінно присутні ступеня.
Так само ступеня активно використовуються у фізиці та інформатиці. Всі переклади в систему СІ виробляються за допомогою ступенів, а надалі при вирішенні задач застосовуються властивості ступеня. В інформатиці активно використовуються ступеня двійки, для зручності рахунку та спрощення сприйняття чисел. Подальші розрахунки з перекладів одиниць виміру чи розрахунки завдань, як і, як і фізиці, відбуваються з допомогою властивостей ступеня.
Ще ступеня дуже корисні в астрономії, там рідко можна зустріти застосування властивостей ступеня, але самі ступеня активно використовуються для скорочення запису різних величин та відстаней.
Ступені застосовують і у звичайному житті, при розрахунках площ, обсягів, відстаней.
За допомогою ступенів записують дуже великі та дуже маленькі величини у будь-яких сферах науки.
Показові рівняння та нерівності
Особливе місце якості ступеня займають саме у показових рівняннях та нерівностях. Ці завдання дуже часто зустрічаються як у шкільному курсі, так і на іспитах. Усі вони вирішуються з допомогою застосування властивостей ступеня. Невідоме завжди знаходиться в самій мірі, тому знаючи всі властивості, вирішити таке рівняння або нерівність не складе труднощів.
Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число в міру, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.
Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення на складання, а складати набагато легше, ніж множити.
Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4×4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.
Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.
А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , або 2 4 , 64=4 3 , або 2 6 , у той самий час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .
Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і кожен раз ми отримуємо 1024.
Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.
Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .
Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Отже, 2 5:2 3 =2 2 , що у звичайних числах дорівнює 32:8=4, тобто 2 2 . Підведемо підсумки:
a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.
З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити у такій формі числа 8 та 16, тобто 2 3 та 2 4 , але як це зробити з числами 7 та 17? Або як чинити у тих випадках, коли число можна уявити в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 є відповіддю, відповідь також лежить в інтервалі між цими двома числами.
Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.
Складання та віднімання ступенів
Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їх складання одне за одним зі своїми знаками.
Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a 3 - b n і h 5 -d 4 є a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.
Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .
Це так само очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.
Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.
Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .
Це очевидно, що квадрат числа a і куб числа a, не дорівнює ні подвоєному квадрату a, але подвоєному кубу a.
Сума a 3 b n та 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Відніманнястепенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні бути змінені.
Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Розмноження ступенів
Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.
Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.
Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в останньому прикладі може бути впорядкований шляхом додавання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .
Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює сумістепенів доданків.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.
Так, a n am = a m+n .
Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;
І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;
Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . І x3.x2.x = x3+2+1=x6.
Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Помножте (x3+x2y+xy2+y3) ⋅ (x — y).
Відповідь: x 4 - y 4 .
Помножте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.
1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n.y-m = y-n-m.
3. a -n. m = a m-n.
Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто
Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.
Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.
Так, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Поділ ступенів
Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, забираючи від діленого дільника, або розміщенням їх у формі дробу.
Таким чином a 3 b 2 поділене на b 2 дорівнює a 3 .
Запис a 5 , поділеного на a 3 , виглядає як $\frac $. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.
При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..
Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac = y$.
І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $ frac = a ^ n $.
Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат розподілу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.
Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями
1. Зменшіть показники ступенів $\frac $ Відповідь: $\frac $.
2. Зменшіть показники ступенів у $\frac$. Відповідь: $\frac$ або 2x.
3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .
4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .
5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a — b)/3.
6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 — 1)/(x + a).
7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.
8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.
Властивості ступеня
Нагадуємо, що в даному уроцірозбираються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.
Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.
Властивість №1
Твір ступенів
При множенні степенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники степенів складаються.
a m · a n = a m + n, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.
Ця властивість ступенів також діє на твір трьохі більше ступенів.
- Спростити вираз.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Подати у вигляді ступеня.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17 - Подати у вигляді ступеня.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Записати приватне у вигляді ступеня
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Обчислити.
Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося лише про множення ступенів з однаковими підставами. Воно не відноситься до їхнього складання.
Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243
Властивість №2
Приватне ступенів
При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
приклад. Розв'язати рівняння. Використовуємо властивість приватного ступеня.
3 8: t = 3 4
Відповідь: t = 3 4 = 81
Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.
приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про розподіл степенів з однаковими основами.
Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Властивість №3
Зведення ступеня до ступеня
При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.
(a n) m = a n · m, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.
Нагадуємо, що приватне можна у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу в міру ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.
Як множити ступеня
Як множити ступеня? Які ступені можна перемножити, а які – ні? Як число помножити на міру?
В алгебрі знайти добуток ступенів можна у двох випадках:
1) якщо ступеня мають однакові підстави;
2) якщо ступеня мають однакові показники.
При множенні ступенів з однаковими основами треба основу залишити колишньою, а показники - скласти:
При множенні ступенів з однаковими показниками загальний показник можна винести за дужки:
Розглянемо, як множити міри, на конкретних прикладах.
Одиницю у показнику ступеня не пишуть, але при множенні ступенів - враховують:
При множенні кількість ступенів може бути будь-якою. Слід пам'ятати, що перед буквою знак множення можна не писати:
У виразах зведення у ступінь виконується насамперед.
Якщо потрібно число помножити на ступінь, спочатку слід виконати зведення в ступінь, а потім - множення:
Розмноження ступенів з однаковими основами
Цей відеоурок доступний за абонементом
Ви вже маєте абонемент? Увійти
На цьому уроці ми вивчимо множення ступенів із однаковими підставами. Спочатку згадаємо визначення ступеня та сформулюємо теорему про справедливість рівності . Потім наведемо приклади застосування на конкретних числах і доведемо її. Також ми застосуємо теорему для вирішення різноманітних завдань.
Тема: Ступінь з натуральним показником та її властивості
Умноження ступенів з однаковими основами (формула)
1. Основні визначення
Основні визначення:
n- показник ступеня,
— n-а ступінь числа.
2. Формулювання теореми 1
Теорема 1.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі kсправедлива рівність:
Інакше: якщо а- Будь-яке число; nі kнатуральні числа, то:
Звідси правило 1:
3. Роз'яснювальні завдання
Висновок:окремі випадки підтвердили правильність теореми №1. Доведемо її у загальному випадку, тобто для будь-кого ата будь-яких натуральних nі k.
4. Доказ теореми 1
Дано число а- Будь-яке; числа nі k –натуральні. Довести:
Доказ ґрунтується на визначенні ступеня.
5. Вирішення прикладів за допомогою теореми 1
Приклад 1:Подайте у вигляді ступеня.
Для вирішення таких прикладів скористаємося теоремою 1.
ж) 
6. Узагальнення теореми 1
Тут використано узагальнення:
7. Вирішення прикладів за допомогою узагальнення теореми 1
8. Розв'язання різноманітних завдань за допомогою теореми 1
Приклад 2:Обчисліть (можна використати таблицю основних ступенів).
а) 
(за таблицею)
б) 
Приклад 3:Запишіть у вигляді степеня з основою 2.
а) 
Приклад 4:Визначте знак числа:
, а –негативне, оскільки показник ступеня при -13 непарний.
Приклад 5:Замініть (·) ступенем числа з основою r:
Маємо, тобто.
9. Підбиття підсумків
1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.
1. Шкільний помічник (Джерело).
1. Подайте у вигляді ступеня:
а Б В Г Д) 
3. Запишіть у вигляді ступеня з основою 2:
4. Визначте знак числа:
а) 
5. Замініть (·) ступенем числа з основою r:
а) r 4 · (·) = r 15; б) (·) · r 5 = r 6
Розмноження та розподіл степенів з однаковими показниками
На цьому уроці вивчимо множення ступенів з однаковими показниками. Спочатку згадаємо основні визначення та теореми про множення та поділу ступенів з однаковими підставами та зведення ступінь у ступінь. Потім сформулюємо та доведемо теореми про множення та поділ ступенів з однаковими показниками. А потім з їх допомогою вирішимо низку типових завдань.
Нагадування основних визначень та теорем
Тут a- Основа ступеня,
— n-а ступінь числа.
Теорема 1.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі kсправедлива рівність:
При множенні ступенів з однаковими основами показники складаються, основа залишається незмінною.
Теорема 2.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі k,таких, що n > kсправедлива рівність:
При розподілі ступенів з однаковими основами показники забираються, а основа залишається незмінною.
Теорема 3.Для будь-якого числа ата будь-яких натуральних nі kсправедлива рівність:
Всі перераховані теореми були про степені з однаковими підставами, на цьому уроці будуть розглянуті ступеня з однаковими показниками.
Приклади на множення ступенів з однаковими показниками
Розглянемо такі приклади:
Розпишемо вирази за визначенням ступеня.
Висновок:з прикладів можна побачити, що 
але це ще потрібно довести. Сформулюємо теорему та доведемо її у загальному випадку, тобто для будь-яких аі bта будь-якого натурального n.
Формулювання та доказ теореми 4
Для будь-яких чисел аі bта будь-якого натурального nсправедлива рівність:
Доказтеореми 4 .
За визначенням ступеня:
Отже, ми довели, що .
Щоб перемножити ступеня з однаковими показниками, достатньо перемножити основи, а показник ступеня залишити незмінним.
Формулювання та доказ теореми 5
Сформулюємо теорему поділу ступенів з однаковими показниками.
Для будь-якого числа аі b () та будь-якого натурального nсправедлива рівність:
Доказтеореми 5 .
Розпишемо і за визначенням ступеня:
Формулювання теорем словами
Отже, ми довели, що .
Щоб поділити один на одного ступеня з однаковими показниками, достатньо розділити одну основу на іншу, а показник ступеня залишити незмінним.
Вирішення типових задач за допомогою теореми 4
Приклад 1:Подати у вигляді добутку ступенів.
Для вирішення таких прикладів скористаємося теоремою 4.
Для вирішення наступного прикладу згадаємо формули:
Узагальнення теореми 4
Узагальнення теореми 4:
Рішення прикладів за допомогою узагальненої теореми 4
Продовження вирішення типових завдань
Приклад 2:Запишіть як ступеня твору.
Приклад 3:Запишіть як ступінь з показником 2.
Приклади на обчислення
Приклад 4:Обчислити найраціональнішим способом.
2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.
2. Шкільний помічник (Джерело).
1. Подати у вигляді добутку ступенів:
а); б); в); г);
2. Запишіть у вигляді ступеня твору:
3. Запишіть у вигляді ступеня з показником 2:
4. Обчислити найраціональнішим способом.
Урок математики на тему «Умноження та розподіл ступенів»
Розділи:Математика
Педагогічна мета:
Завдання:
Діяльні одиниці вчення:визначення ступеня із натуральним показником; компоненти ступеня; визначення приватного; сполучний закон множення.
I. Організація демонстрації оволодіння учнями наявними знаннями. (крок 1)
а) Актуалізація знань:
2) Сформулювати визначення ступеня із натуральним показником.
a n = a a a a … а (n разів)
b k = b b b a… b (k разів) Обґрунтувати відповідь.
ІІ. Організація самооцінювання учня ступенем володіння актуальним досвідом. (крок 2)
Тест для самоперевірки: ( індивідуальна роботау двох варіантах.)
А1) Представте твір 7 7 7 7 x x x як ступінь:
А2) Подати у вигляді твору ступінь (-3) 3 х 2
A3) Обчисліть: -2 3 2 + 4 5 3
Кількість завдань у тесті я підбираю відповідно до підготовки рівня класу.
До тесту даю ключ для самоперевірки. Критерії: залік – не залік.
ІІІ. Навчально-практичне завдання (крок 3) + крок 4. (сформулюють властивості самі учні)
У ході вирішення задачі 1) і 2) учні пропонують рішення, а я, як учитель, організую клас на знаходження способу для спрощення ступенів при множенні з однаковими підставами.
Вчитель: придумати спосіб спрощення ступенів при множенні з однаковими підставами.
На кластері з'являється запис:
Формулюється тема уроку. Розмноження ступенів.
Вчитель: придумайте правило розподілу ступенів з однаковими основами.
Міркування: якою дією перевіряється поділ? а 5: а 3 =? що а 2 а 3 = а 5
Повертаюся до схеми – кластер та доповнюємо запис – ..при розподілі віднімаємо та дописуємо тему уроку. …і розподіл степенів.
IV. Повідомлення учням меж пізнання (як мінімум і як максимум).
Вчитель: завданням мінімуму на сьогоднішній урок є навчитися застосовувати властивості множення та поділу ступенів з однаковими основами, а максимуму: застосовувати множення та розподіл спільно.
На дошці записуємо : а m а n = а m + n; а m: а n = а m-n
V. Організація вивчення нового матеріалу. (крок 5)
а) За підручником: №403 (а, в, д) завдання з різними формулюваннями
№404 (а, д, е) самостійна роботапотім організую взаємоперевірку, даю ключі.
б) За якого значення m справедлива рівність? а 16 а m = а 32; х h х 14 = х 28; х 8 (*) = х 14
Завдання: вигадати аналогічні приклади для поділу.
в) № 417(а), №418(а) Пастки для учнів: х 3 х n = х 3n; 3 4 3 2 = 96; а 16: а 8 = а 2.
VI. Узагальнення вивченого, проведення діагностичної роботи (що спонукає учнів, а чи не вчителя вивчати цю тему)(крок 6)
Діагностична робота.
Тест(ключи помістити на звороті тесту).
Варіанти завдань: подайте у вигляді степеня х 15: х 3 ; подайте у вигляді ступеня добуток (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при якому m справедлива рівність а 16 а m = а 32; знайдіть значення виразу h 0: h 2 за h =0,2; обчисліть значення виразу (5 2 5 0): 5 2 .
Підсумок уроку. Рефлексія.Ділю клас на дві групи.
Знайдіть аргументи I група: на користь знання властивостей ступеня, а II група – аргументи, які будуть говорити, що можна уникнути властивостей. Усі відповіді вислуховуємо, робимо висновки. На наступних уроках можна запропонувати статистичні дані та назвати рубрику «У голові не вкладається!»
VII. Домашнє завдання.
Історична довідка. Які числа називають числами Ферма.
П.19. №403, №408, №417
Використовувана література:
Властивості ступенів, формулювання, підтвердження, приклади.
Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут же ми наведемо докази всіх властивостей ступеня, а також покажемо, як ці властивості застосовують при вирішенні прикладів.
Навігація на сторінці.
Властивості ступенів із натуральними показниками
За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n є твір n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел, можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником:
- якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
- якщо a = 0, то a n = 0;
- якщо a 2·m >0 якщо a 2·m−1 n ;
- якщо m і n такі натуральні числа, що m>n, то при 0m n, а при a>0 справедлива нерівність a m>a n.
- a m · a n = a m+n;
- a m:a n =a m−n;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n = n:b n ;
- (a m) n = a m · n;
- якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a n n і a −n >b −n ;
- якщо m і n – цілі числа, причому m>n, то при 0m n, а при a>1 виконується нерівність a m>a n.
Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується як a m+n =a m ·a n .
Тепер розглянемо кожне з них докладно.
Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .
Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m · a n можна записати як добуток 
. В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як 
, а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. У цьому доказ завершено.
Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, для чого обчислимо значення виразів 2223 і 25. Виконуючи зведення в ступінь, маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, так як виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 2 5 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.
Основна властивість ступеня на основі властивостей множення можна узагальнити на твір трьох та більшої кількості ступенів з однаковими основами та натуральними показниками. Так, для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .
Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 = (2,1) 17 .
Можна переходити до наступної якості степенів з натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n, справедлива рівність a m:a n =a m−n .
Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо сенс додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 потрібна у тому, щоб уникнути розподілу на нуль, оскільки 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що у нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Справді, при m>n показник ступеня am−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається за m−n), або негативним числом (що відбувається за mm−n ·an =a (m−n) + n = am З отриманої рівності am-n · an = am і зі зв'язку множення з поділом випливає, що am-n є приватним ступенем am і an.Цим доведено властивість приватного ступенів з однаковими підставами.
Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .
Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутки двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто (a b) n = a n b n .
Дійсно, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо 
. Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як 
що дорівнює a n · b n .
Наведемо приклад: 
.
Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто, властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n .
Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо.
Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: приватне дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному степенів a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n .
Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n ·bn =((a:b)·b) n =an , та якщо з рівності (a:b) n ·bn =an слід, що (a:b) n є приватним від розподілу an на bn.
Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: 
.
Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступені n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n =a m·n .
Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 .
Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: 
.
Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність 
. Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником.
Почнемо з доказу якості порівняння нуля і ступеня з натуральним показником.
Для початку обґрунтуємо, що a n >0 за будь-якого a>0 .
Твір двох позитивних чиселє позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що з будь-якого позитивного підстави a ступінь a n є позитивне число. З огляду на доведеного властивості 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і 
.
Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Справді, 0 n =0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 0 3 = 0 і 0762 = 0 .
Переходимо до негативних підстав ступеня.
Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді 
. За правилом множення негативних чисел кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір 
і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 та .
Нарешті, коли основа ступеня є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то 
. Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3 17 n n являє собою добуток лівих та правих частин n вірних нерівностей a властивостей нерівностей справедлива і доводиться нерівність виду a n n . Наприклад, через цю властивість справедливі нерівності 3 7 7 і 
.
Залишилося довести останнє з перерахованих властивостейстепенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більший той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості.
Доведемо, що з m>n і 0m n . Для цього запишемо різницю a m -a n і порівняємо її з нулем. Записана різниця після винесення a n за дужки набуде вигляду a n · (a m−n −1) . Отриманий твір негативно як добуток позитивного числа a n негативного числа a m−n −1 (a n позитивна як натуральний ступінь позитивного числа, а різниця a m−n −1 негативна, оскільки m−n>0 через вихідну умову m>n , звідки випливає, що при 0m−n менше одиниці). Отже, a m - a n m n , що потрібно було довести. Наприклад наведемо правильну нерівність.
Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що за m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m −a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n ·(a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь an є позитивне число, і різницю am−n −1 є позитивне число, тому що m−n>0 через початкову умову, і при a>1 ступінь am−n більше одиниці . Отже, a m −a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .
Властивості ступенів із цілими показниками
Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.
Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь із нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів із натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.
Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:
При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.
Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівність (ap) q =ap·q , (a −p) q =a (−p)·q , (ap ) −q =ap·(−q) та (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Зробимо це.
Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .
Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді 
. За якістю приватної у ступеня маємо 
. Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .
Аналогічно 
.
І 
.
За таким же принципом можна довести решту ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.
У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Запишемо і перетворимо різницю лівої та правої частин цієї нерівності: 
. Оскільки за умовою a n n, отже, b n −a n >0 . Добуток a n · b n теж позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно було довести.
Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.
Властивості ступенів із раціональними показниками
Ступінь з дробовим показником ми визначали, поширюючи її у властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступеня з дробовими показниками мають ті ж властивості, що й ступеня з цілими показниками. А саме:
- властивість добутку ступенів з однаковими підставами
при a>0, а якщо і, то при a≥0; - властивість приватного ступеня з однаковими підставами
при a>0; - властивість твору в дрібному ступені
при a>0 і b>0 , а якщо і то при a≥0 і (або) b≥0 ; - властивість приватного в дрібному ступені
при a>0 та b>0 , а якщо , то при a≥0 і b>0 ; - властивість ступеня ступеня
при a>0, а якщо і, то при a≥0; - властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками: для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p p , а при p p > b p;
- властивість порівняння ступенів з раціональними показниками та рівними основами: для раціональних чисел p і q, p>q при 0p q, а при a>0 – нерівність a p>a q.
- a p · a q = a p + q;
- a p: a q = a p-q;
- (a b) p = a p b ;
- (a:b) p = a p: b p;
- (a p) q = a p · q;
- для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p p , а при p p > b p;
- для ірраціональних чисел p і q, p>q при 0p q, а при a>0 - нерівність a p>a q.
Доказ властивостей ступенів із дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на властивостях арифметичного кореня n-го ступеня та на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.
За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді 
. Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати наступні рівністі. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо 
, А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . У цьому доказ завершено.
Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками: 
За подібними принципами доводяться та інші рівності: 
Переходимо до підтвердження наступного властивості. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a 0 справедлива нерівність a p p , а при p p > b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умовами p 0 у разі будуть еквівалентні умови m 0 відповідно. При m>0 та am m . З цієї нерівності за якістю коренів маємо , а оскільки a і b – позитивні числа, то на основі визначення ступеня з дробовим показником отриману нерівність можна переписати як , тобто a p p .
Аналогічно, при m m b m , звідки , тобто, і a p b .
Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0p q , а при a>0 – нерівність a p >a q . Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. При цьому умові p>q відповідатиме умова m 1 >m 2 , що випливає із правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками. Тоді за якістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0m 1 m 2 , а за a>1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як 
і 
. А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: при p>q і 0pq, а при a>0 - нерівність a p>aq.
Властивості ступенів із ірраціональними показниками
З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 та ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів з ірраціональними показниками:
Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.
- Алгебра – 10 клас. Тригонометричні рівняння Урок та презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь" Додаткові матеріали Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали […]
- Відкрито конкурс на позицію «ПРОДАВЕЦЬ - КОНСУЛЬТАНТ»: Обов'язки: продаж мобільних телефонівта аксесуарів для мобільного зв'язку сервісне обслуговування абонентів Білайн, Теле2, МТС підключення тарифних планів та послуг Білайн та Теле2, МТС консультування […]
- Паралелепіпед формули Паралелепіпед – це багатогранник з 6 гранями, кожна з яких є паралелограмом. Прямокутний паралелепіпед – це паралелепіпед, кожна грань якого є прямокутником. Будь-який паралелепіпед характеризується 3 […]
- Суспільство захисту прав споживача астану Для того, щоб отримати pin-код для доступу до цього документа на нашому сайті, відправте SMS-повідомлення з текстом zan на номер Абоненти GSM-операторів (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) надіславши SMS на номер, […]
- ПРАВОПИС Н І НН У РІЗНИХ ЧАСТКАХ МОВЛЕННЯ С.Г.ЗЕЛІНСЬКА ДИДАКТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ Теоретична зарядка 1. Коли в прикметниках пишеться нн? 2. Назвіть винятки із цих правил. 3. Як відрізнити віддієслівне прикметник із суфіксом -н- від причастя з […]
- Прийняти закон про Родові маєтки Прийняти Федеральний законпро безоплатне виділення кожному бажаючому громадянину Російської Федераціїабо сім'ї громадян ділянки землі для облаштування на ньому Родового маєтку на наступних умовах: 1. Ділянка виділяється для […]
- ІНСПЕКЦІЯ ГОСТЕХНАДЗОРУ БРЯНСЬКОЇ ОБЛАСТІ Квитанція про оплату держмита(Скачати-12,2 kb) Заяви на реєстрацію для фіз.осіб(Скачати-12 kb) Заяви на реєстрацію для юр.осіб(Завантажити-11,4 kb) : 1.заява 2.паспорт […]
- Давненько ми не грали турнірів 1х1. І час напевно відновити цю традицію. Поки ми не можемо організувати окремий ладдер та турніри для 1х1 гравців, пропонуємо використовувати ваші командні профайли на сайті. Окуляри за ігри у матчах знімати або додавати […]
