Дан прямий круговий конус. Урок «Обсяг конуса. Текстова розшифровка уроку

Муніципальне загальноосвітній заклад

Олексіївська середня загальноосвітня школа

"Освітній центр"

Розробка уроку

Тема: ПРЯМИЙ КРУГОВИЙ КОНУС.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА площині

Учитель математики

навчальний рік

Тема: ПРЯМИЙ КРУГОВИЙ КОНУС.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА площині.

Мета уроку:розібрати визначення конуса і підлеглих понять (вершина, підстава, що утворюють, висота, вісь);

розглянути перетину конуса, що проходять через вершину, в тому числі осьові;

сприяти розвитку просторової уяви учнів.

Завдання уроку:

освітня: вивчити основні поняття тіла обертання (конус).

розвиваюча: продовжити формування вмінь навичок аналізу, порівняння; умінь виділяти головне, формулювати висновки.

Виховна: виховання в учнів інтересу до навчання, прищеплення навичок комунікативного спілкування.

Тип уроку:лекція.

Методи навчання:репродуктивний, проблемний, частково - пошуковий.

устаткування:таблиця, моделі тіл обертання, мультимедійне обладнання.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

На попередніх уроках ми вже познайомилися з тілами обертання та більш детально зупинилися на понятті циліндра. На таблиці ви бачите два креслення і працюючи в парах сформулюйте правильно питання по пройденій темі.

П. Перевірка домашнього завдання.

Роботу в парах з використанням тематичної таблиці (призма, вписана в циліндр і призма, описане навколо циліндра).

Наприклад, в парах і індивідуально учні можуть задати питання:

Що таке круговий циліндр (утворює циліндра, основи циліндра, бокова поверхня циліндра)?

Яка призма називається описаної близько циліндра?

Яка площину називається дотичній до циліндра?

Якими фігурами можна назвати багатокутники ABC, A1 B1 C1 , ABCDE іA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Який призмою є призма ABCDEABCDE? (Пручимій.)

- Доведіть, що вона є прямою призмою.

(За бажанням 2 пари учнів біля дошки виконують роботу)

III. Актуалізація опорних знань.

За матеріалом планіметрії:

Теорема Фалеса;

Властивості середньої лінії трикутника;

Площа кола.

За матеріалом стереометрії:

поняття гомотетия;

Кут між прямою і площиною.

IV.Вивчення нового матеріалу.

(Навчально - методичний комплект «Жива математика », додаток 1.)

Після представленого матеріалу пропонується план роботи:

1. Визначення конуса.

2. Визначення прямого конуса.

3. Елементи конуса.

4. Розгортка конуса.

5. Отримання конуса як тіла обертання.

6. Види перерізів конуса.

Відповіді на ці питання учні самостійно знадять в п.184-185, супроводжуючи їх малюнками.

Валеологическая пауза:Втомилися? Давайте перед наступним практичним етапом роботи відпочинемо!

· Масаж рефлекторних зон на вушній раковині, що відповідають за роботу внутрішніх органів;

· Масаж рефлекторних зон на долонях рук;

· Гімнастика для очей (заплющити і різко відкрити очі);

· Розтяжка хребта (підняти руки вгору, підтягнутися правої, а потім лівою рукою)

· Дихальна гімнастика, спрямована на процес насичення киснем головного мозку (різко вдихнути носом 5 разів)

Складається тематична таблиця (спільно з учителем), супроводжуючи заповнення таблиці питаннями і отриманим матеріалом з різних джерел (підручник і комп'ютерна презентація)

«Конус. Усічений конус".

V.Закріплення матеріалу.

Фронтальна робота.

· Усно (за допомогою готового креслення) вирішуються №9 і №10.

(Двоє учнів пояснюють рішення задач, інші можуть виконувати короткі записи в зошитах)

№9. Радіус основи конуса 3м., Висота конуса - 4м. знайдіть утворить.

(Рішення:l=√ R2 + H2 \u003d √32 + 42 \u003d √25 \u003d 5м.)

№10 Утворює конуса l нахилена до площини основи під кутом 30◦. Знайдіть висоту.

(Рішення:H = l sin30◦ = l|2.)

· Вирішіть задачу по готовому кресленню.

Висота конуса дорівнює h. через що утворюють МАі MB проведена площину, складова кут аз площиною основи конуса. хорда АВстягує дугу з градусної мірою р.

1. Доведіть, що перетин конуса площиною МАВ- рівнобедрений трикутник.

2. Поясніть, як побудувати лінійний кут двогранного кута, утворений січною площиною і площиною основи конуса.

3. Знайдіть МС.

4. Складіть (і поясніть) план обчислення довжини хорди АВі площі перетину МАВ.

5. Покажіть на малюнку, як можна провести перпендикуляр з точки Продо площини перетину МАВ(Обґрунтуйте побудова).

· повторення:

вивченого матеріалу з планіметрії:

Визначення рівнобедреного трикутника;

Властивості рівнобедреного трикутника;

Площа трикутника

вивченого матеріалу з стереометрії:

Визначення кута між площинами;

Спосіб побудови лінійного кута двогранного кута.

Тест для самоперевірки

1. Намалюйте тіла обертання, утворені обертанням плоских фігур, зображених на малюнку.

2. Вкажіть, обертанням якої плоскої фігури вийшло зображене тіло обертання. (Б)

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Ми продовжуємо вивчення розділу стереометрії «Тіла обертання».

До тіл обертання відносять: циліндри, конуси, кулі.

Згадаймо, визначення.

Висота - це відстань від вершини фігури або тіла дощенту фігури (тіла). Інакше - відрізок, що з'єднує вершину і підстава фігури і перпендикулярний йому.

Згадаймо, щоб знайти площу кола потрібно пі помножити на квадрат радіуса.

Площа круга дорівнює.

Згадаймо, як знайти площу кола, знаючи діаметр? Так як

підставимо в формулу:

Конус теж є тілом обертання.

Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга - основи конуса, точки, що не лежить в площині цього кола, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основа¬нія.

Познайомимося з формулою знаходження обсягу конуса.

Теорема. Обсяг конуса дорівнює однієї третини твори площі підстави на висоту.

Доведемо цю теорему.

Дано: конус, S - площа його заснування,

h - висота конуса

Довести: V \u003d

Доказ: Розглянемо конус обсягом V, радіусом підстави R, висотою h і вершиною в точці O.

Введемо вісь Оx через ОМ - вісь конуса. Довільний перетин конуса площиною, перпендикулярної до осі Ох, є колом з центром в точці

М1 - точці перетину цієї площини з віссю Ох. Позначимо радіус цього кола через R1, а площа перетину через S (х), де х - абсциса точки М1.

З подоби прямокутних трикутників ОМ1A1 і ОМА (ے ОМ1A1 \u003d ے ОМА - прямі, ے МОА-загальний, значить, трикутники подібні за двома кутами) слід, що

З малюнка видно що ОМ1 \u003d х, OM \u003d h

або звідки по властивості пропорції знаходимо R1 \u003d.

Оскільки перетином є коло, то S (х) \u003d πR12, підставимо замість R1 попередній вираз, площа перерізу дорівнює відношенню твори пі ер квадрата на квадрат х до квадрату висоти:

Застосуємо основну формулу

обчислення обсягів тіл, при а \u003d 0, b \u003d h, отримаємо вираз (1)

Так як підставу конуса - коло, то площа S підстави конуса буде дорівнює пі ер квадрат

у формулі обчислення об'єму тіла замінимо значення пі ер квадрат на площу підстави і отримаємо, що обсяг конуса дорівнює однієї третини твори площі підстави на висоту

Теорема доведена.

Слідство з теореми (формула обсягу усіченого конуса)

Обсяг V усіченого конуса, висота якого дорівнює h, а площі підстав S і S1, обчислюється за формулою

Ве одно одна третя аш помножене на суму площ підстав і кореня квадратного з твору площ підстави.

Розв'язання задач

Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертається близько гіпотенузи. Визначте обсяг отриманого тіла.

При обертанні трикутника навколо гіпотенузи отримуємо конус. При вирішенні даного завдання важливо розуміти, що можливо два випадки. У кожному з них ми застосовуємо формулу для знаходження об'єму конуса: обсяг конуса дорівнює однієї третини твори підстави на висоту

У першому випадку малюнок буде виглядати наступним чином: дан конус. Нехай радіус r \u003d 4, висота h \u003d 3

Площа підстави дорівнює добутку π на квадрат радіуса

Тоді обсяг конуса дорівнює однієї третини твори π на квадрат радіуса і на висоту.

Підставами в формулу значення, виходить, обсяг конуса дорівнює 16π.

У другому випадку ось так: дано конус. Нехай радіус r \u003d 3, висота h \u003d 4

Обсяг конуса дорівнює однієї третини твори площі підстави на висоту:

Площа підстави дорівнює добутку π на квадрат радіуса:

Тоді обсяг конуса дорівнює однієї третини твори π на квадрат радіуса і на висоту:

Підставами в формулу значення, виходить, обсяг конуса дорівнює 12π.

Відповідь: Обсяг конуса V дорівнює 16 π або 12 π

Завдання 2. Дан прямий круговий конус з радіусом 6 см, кут ВСО \u003d 45.

Знайдіть об'єм конуса.

Рішення: До даної задачі дається готовий креслення.

Запишемо формулу для знаходження об'єму конуса:

Висловимо її через радіус підстави R:

Знаходимо h \u003d BO з побудови, - прямокутний, тому що кут ВОС \u003d 90 (сума кутів трикутника), кути при основі рівні, значить трикутник ΔBOC рівнобедрений і BO \u003d OC \u003d 6 см.

Нехай дано прямий круговий циліндр, горизонтальна площина проекцій паралельна його основи. При перетині циліндра площиною загального положення (вважаємо, що площина не перетинає підстав циліндра) лінією перетину є еліпс, саме перетин має форму еліпса, його горизонтальна проекція збігається з проекцією основи циліндра, а фронтальна також має форму еліпса. Але якщо січна площина складає з віссю циліндра кут, рівний 45 °, то перетин, що має форму еліпса, проектується окружністю на ту площину проекцій, до якої перетин нахилене на той же кут.

Якщо січна площина перетинає бічну поверхню циліндра і одне з його підстав (рис. 8.6), то лінія перетину має форму неповного еліпса (частини еліпса). Горизонтальна проекція перетину в цьому випадку - частина кола (проекції підстави), а фронтальна - частина еліпса. Площина може розташовуватися перпендикулярно будь-якої площини проекцій, тоді на цю площину проекцій перетин буде проектуватися прямою лінією (частина сліду січної площини).

Якщо циліндр перетинається площиною, паралельної утворює, то лінії перетину з бічною поверхнею - прямі, а саме перетин має форму прямокутника, якщо циліндр прямої, або паралелограма, якщо циліндр похилий.

Як відомо, і циліндр, і конус утворені лінійчатими поверхнями.

Лінією перетину (лінією зрізу) лінійчатої поверхні і площини в загальному випадку є деяка крива, яка будується по точках перетину утворюють з січною площиною.

нехай дано прямий круговий конус. При перетині його площиною лінія перетину може мати форму: трикутника, еліпса, кола, параболи, гіперболи (рис. 8.7) в залежності від розташування площини.

Трикутник виходить в разі, коли січна площина, перетинаючи конус, проходить через його вершину. При цьому лінії перетину з бічною поверхнею є пересічні в вершині конуса прямі, які разом з лінією перетину підстави утворюють трикутник, проектується на площині проекцій з спотворенням. Якщо площина перетинає вісь конуса, то в перерізі виходить трикутник, у якого кут з вершиною, що збігається з вершиною конуса, буде максимальним для перетинів-трикутників даного конуса. В цьому випадку перетин проектується на горизонтальну площину проекцій (вона паралельна його основи) відрізком прямої.

Еліпсом лінія перетину площини і конуса буде, якщо площину не паралельна жодної з утворюють конуса. Це рівнозначно тому, що площина перетинає всі утворюють (всю бічну поверхню конуса). Якщо січна площина при цьому паралельна основі конуса, то лінія перетину є колом, саме перетин проектується на горизонтальну площину проекцій без спотворень, а на фронтальну - відрізком прямої лінії.

Параболою лінія перетину буде тоді, коли січна площина паралельна тільки якоїсь однієї котра утворює конуса. Якщо ж січна площина паралельна одночасно двом утворюючим, то лінія перетину - гіпербола.

Усічений конус виходить, якщо прямий круговий конус перетнути площиною, паралельної підставі і перпендикулярній осі конуса, і відкинути верхню частину. У разі, коли горизонтальна площина проекцій паралельна основам усіченого конуса, ці підстави проектуються на горизонтальну площину проекцій без спотворень концентричними колами, а фронтальна проекція є трапецію. При перетині усіченого конуса площиною в залежності від її розташування лінія зрізу може мати форму трапеції, еліпса, кола, параболи, гіперболи або частини однієї з даних кривих, кінці якої з'єднані прямий.

V циліндра \u003d S осн. ∙ h

Приклад 2. Дан прямий круговий конус АВС рівносторонній, ВО \u003d 10. Знайдіть об'єм конуса.

Рішення

Знайдемо радіус підстави конуса. С \u003d 60 0, В \u003d 30 0,

Нехай ОС \u003d а, Тоді ВС \u003d 2 а. По теоремі Піфагора:

відповідь: .

приклад 3. Обчислити обсяги фігур, утворених обертанням площ, обмежених зазначеними лініями.

y 2 \u003d 4x; y \u003d 0; x \u003d 4.

Межі інтегрування a \u003d 0, b \u003d 4.

V \u003d | \u003d 32π

завдання

Варіант 1

1. Осьовий переріз циліндра - квадрат, діагональ якого дорівнює 4 дм. Знайти об'єм циліндра.

2. Зовнішній діаметр полого кулі дорівнює 18 см, товщина стінок 3 см. Знайти об'єм стінок кулі.

х фігури, обмеженої лініями у 2 \u003d х, у \u003d 0, х \u003d 1, х \u003d 2.

Варіант 2

1. Радіуси трьох куль рівні 6 см, 8 см, 10 см. Визначити радіус кулі, обсяг якого дорівнює сумі обсягів даних куль.

2. Площа основи конуса 9 см 2, площа повної поверхні його 24 см 2. Знайти обсяг конуса.

3. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Про х фігури, обмеженої лініями у 2 \u003d 2х, у \u003d 0, х \u003d 2, х \u003d 4.

Контрольні питання:

1. Напишіть властивості об'ємів тіл.

2. Напишіть формулу для обчислення об'єму тіла обертання навколо осі Оу.

Діагностична робота складається з двох частин, що включають в себе 19 завдань. Частина 1 містить 8 завдань базового рівня складності з короткою відповіддю. Частина 2 містить 4 завдання підвищеного рівня складності з короткою відповіддю і 7 завдань підвищеного і високого рівнів складності з розгорнутою відповіддю.
На виконання діагностичної роботи з математики відводиться 3 години 55 хвилин (235 хвилин).
Відповіді до завдань 1-12 записуються у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу. Числа запишіть в поля відповідей в тексті роботи, а потім перенесіть в бланк відповідей № 1. При виконанні завдань 13-19 потрібно записати повне рішення і відповідь в бланк відповідей № 2.
Всі бланки заповнюються яскравими чорними чорнилами. Допускається використання гелевою, капілярної або пір'яний ручок.
При виконанні завдань можна користуватися чернеткою. Записи в чернетці не враховуються при оцінюванні роботи.
Бали, отримані Вами за виконані завдання, сумуються.
Бажаємо успіху!

умови завдань

1. Знайдіть, якщо
2. Для отримання на екрані збільшеного зображення лампочки в лабораторії використовується збирає лінза з головним фокусною відстанню \u003d 30 см. Відстань від лінзи до лампочки може змінюватися в межах від 40 до 65 см, а відстань від лінзи до екрана - в межах від 75 до 100 см. Зображення на екрані буде чітким, якщо виконано співвідношення. Вкажіть, на якому найбільшій відстані від лінзи можна помістити лампочку, щоб її зображення на екрані було чітким. Відповідь висловіть в сантиметрах.
3. Теплохід проходить за течією річки до пункту призначення 300 км і після стоянки повертається в пункт відправлення. Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість теплохода в нерухомій воді дорівнює 15 км / год, стоянка триває 5 годин, а в пункт відправлення теплохід повертається через 50 годин після відплиття з нього. Відповідь дайте у км / год.
4. Знайдіть найменше значення функції на відрізку
5. а) Розв'яжіть рівняння б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку
6. Дан прямий круговий конус з вершиною М. Осьовий переріз конуса - трикутник з кутом 120 ° при вершині М. Утворює конуса дорівнює. через точку М проведено розтин конуса, перпендикулярний однієї з утворюють.
   а) Доведіть, що вийшов в перетині трикутник - тупоугольние.
   б) Знайдіть відстань від центру Про підстави конуса до площини перетину.
7. Розв'яжіть рівняння
8. Коло з центром Простосується збоку АВрівнобедреного трикутника ABC,продовження збоку АСі продовження підстави ВСв точці N. Крапка М- середина підстави ВС.
   а) Доведіть, що MN \u003d АС.
   б) Знайдіть ОС,якщо сторони трикутника ABCрівні 5, 5 і 8.
9. Бізнес-проект «А» передбачає протягом перших двох років зростання вкладених в нього сум на 34,56% щорічно і на 44% щорічно протягом наступних двох років. Проект «Б» передбачає зростання на постійне ціле число n відсотків щорічно. Знайдіть найменше значення n, При якому за перші чотири роки проект «Б» буде вигідніше проекту «А».
10. Знайдіть всі значення параметра,, при кожному з яких система рівнянь має єдине рішення
11. Аня грає в гру: на дошці написані два різних натуральних числа і, обидва менше 1000. Якщо і обидва натуральні, то Аня робить хід - замінює цими двома числами попередні. Якщо хоча б одне з цих чисел не є натуральним, то гра припиняється.
    а) Чи може гра тривати рівно три ходи?
    б) Чи існують два початкових числа таких, що гра буде тривати не менше 9 ходів?
    в) Аня зробила перший хід у грі. Знайдіть найбільше можливе ставлення твори отриманих двох чисел до твору