İşarələri olan sinuslar və kosinuslar dairəsi. Sinus, kosinus, tangens və kotangensin xassələri. Kosinusun dəyərləri nədir

Triqonometrik dairə sinus, kosinus, tangens və kotangens ilə tənliklərin həlli üçün həndəsənin əsas elementlərindən biridir.

Bu terminin tərifi nədir, bu dairəni necə qurmaq olar, triqonometriyada dörddə birini necə təyin etmək olar, qurulmuş triqonometrik dairədə bucaqları necə tapmaq olar - bu barədə və daha sonra danışacağıq.

triqonometrik dairə

Riyaziyyatda ədəd çevrəsinin triqonometrik forması başlanğıcda mərkəzləşmiş tək radiuslu çevrədir. koordinat müstəvisi. Bir qayda olaraq, koordinat sistemində kosinus, tangens və kotangensi olan sinus düsturlarının fəzasından əmələ gəlir.

n-ölçülü fəzaya malik belə bir sferanın məqsədi ondan ibarətdir ki, onun sayəsində triqonometrik funksiyalar təsvir olunsun. Sadə görünür: içərisində koordinat sistemi olan çevrə və triqonometrik funksiyalarla bu dairədən əmələ gələn çoxsaylı düzbucaqlı üçbucaqlar.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus, kosinus, tangens, kotangens nədir

Düzbucaqlı üçbucaq bucaqlarından biri 90° olan üçbucaqdır. Triqonometriyanın bütün mənaları ilə ayaqları və hipotenuzası ilə əmələ gəlir. Ayaqlar 90 ° bucağa bitişik olan üçbucağın iki tərəfidir və üçüncüsü hipotenuzdur, həmişə ayaqlardan daha uzundur.

Sinus ayaqlardan birinin hipotenuzaya nisbətidir, kosinus digər ayağın ona nisbətidir və tangens iki ayağın nisbətidir. Münasibətlər bölünməyi simvollaşdırır. Tangens də bölmədir kəskin bucaq kosinusla sinus etmək. Kotangens tangensin əksidir.

Son iki nisbət üçün düsturlar aşağıdakı kimidir: tg(a) = sin(a) / cos(a) və ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Vahid dairənin qurulması

bina vahid dairəsi onu koordinat sisteminin mərkəzində vahid radiusla çəkməyə qədər azaldır. Sonra qurmaq üçün küncləri saymalı və saat yönünün əksinə hərəkət edərək, onlara uyğun olan koordinat xətlərini qoyaraq bütün dairəni gəzməlisiniz.

OX koordinat sisteminin yerləşdirilməsi ilə dairə çəkildikdən və onun mərkəzində nöqtə qoyulduqdan sonra tikinti başlayır. Koordinat oxunun üstündəki O nöqtəsi sinus, X isə kosinusdur. Müvafiq olaraq, onlar absis və ordinatdır. Sonra ∠ ölçmək lazımdır. Onlar dərəcə və radyanla ölçülür.

Bu göstəriciləri tərcümə etmək asandır - tam dairə iki pi radianına bərabərdir. Sıfırdan saat əqrəbinin əksinə + işarəsi ilə, 0-dan ∠ isə - işarəsi ilə gedir. Kosinus ilə sinusun müsbət və mənfi dəyərləri dairənin hər inqilabında təkrarlanır.

Triqonometrik dairədə bucaqlar

Triqonometrik dairənin nəzəriyyəsini mənimsəmək üçün ∠-nin necə hesablandığını və necə ölçüldüyünü başa düşməlisiniz. Onlar çox sadə hesab olunur.

Dairə koordinat sistemi ilə dörd hissəyə bölünür. Hər bir hissə ∠ 90° təşkil edir. Bu bucaqların yarısı 45 dərəcəyə bərabərdir. Müvafiq olaraq, dairənin iki hissəsi 180 °, üçü isə 360 °-ə bərabərdir. Bu məlumatdan necə istifadə etmək olar?

∠ tapmaq problemini həll etmək lazımdırsa, üçbucaq teoremlərinə və onlarla əlaqəli əsas Pifaqor qanunlarına müraciət edin.

Bucaqlar radyanla ölçülür:

• 0-dan 90°-ə qədər — 0-dan ∏/2-ə qədər bucaq dəyərləri;
• 90-dan 180°-ə qədər - ∏/2-dən ∏-ə qədər bucaqlar;
• 180-dən 270°-ə qədər - ∏-dən 3*∏/2-ə qədər;
• son rüb 270 0-dan 360 0-a qədər - 3*∏/2-dən 2*∏-a qədər olan dəyərlər.

Müəyyən bir ölçmə tapmaq üçün radyanları dərəcəyə çevirin və ya əksinə, bir fırıldaqçı vərəqə müraciət etməlisiniz.

Bucaqların dərəcələrdən radianlara çevrilməsi

Bucaqlar dərəcə və ya radyanla ölçülə bilər. İki məna arasındakı əlaqədən xəbərdar olmaq tələb olunur. Bu əlaqə triqonometriyada xüsusi düsturdan istifadə etməklə ifadə edilir. Münasibətləri başa düşməklə siz bucaqları necə tez idarə etməyi və dərəcələrdən radianlara qayıtmağı öyrənə bilərsiniz.

Bir radyanın nəyə bərabər olduğunu dəqiq öyrənmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

1 rad. = 180 / ∏ = 180 / 3.1416 = 57.2956

Nəhayət, 1 radian 57°-ə, 1 dərəcə isə 0,0175 radana bərabərdir:

1 dərəcə = (∏/180) rad. = 3,1416 / 180 rad. = 0,0175 rad.

Triqonometrik çevrədə kosinus, sinus, tangens, kotangens

Triqonometrik dairədə sinus, tangens və kotangens ilə kosinus - 0-dan 360 dərəcəyə qədər alfa bucaqlarının funksiyaları. Hər bir funksiya bucağın böyüklüyündən asılı olaraq müsbət və ya mənfi qiymətə malikdir. Onlar dairədə formalaşmış düzbucaqlı üçbucaqlara münasibəti simvollaşdırırlar.

Triqonometrik dairədə bucaqların hesablanması.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Demək olar ki, əvvəlki dərsdəki kimidir. Balta, çevrə, bucaq var, hər şey çənə-çinidir. Dörddəbir əlavə edilmiş nömrələr (böyük kvadratın künclərində) - birincidən dördüncüyə qədər. Və sonra birdən kim bilmir? Gördüyünüz kimi, dörddəbirlər (onlara gözəl "kvadratlar" sözü də deyilir) saat əqrəbinin əksinə nömrələnir. Baltalarda bucaq dəyərləri əlavə edildi. Hər şey aydındır, fırfırlar yoxdur.

Və yaşıl ox əlavə etdi. Bir artı ilə. O nə demək istəyir? Xatırladım ki, küncün sabit tərəfi həmişə OH müsbət oxuna mıxlanmışdır. Beləliklə, küncün hərəkət edən tərəfini bükürsək plus ox, yəni. artan rüb ədədlərində, bucaq müsbət hesab olunacaq. Məsələn, şəkil +60° müsbət açı göstərir.

Küncləri təxirə salsaq əks istiqamətdə, saat yönünde, bucaq mənfi hesab olunacaq.Şəklin üzərinə sürün (və ya planşetdəki şəklə toxunun), siz mənfi olan mavi ox görəcəksiniz. Bucaqların mənfi oxunmasının istiqaməti budur. Nümunə olaraq mənfi bucaq (-60°) göstərilir. Həm də baltalardakı rəqəmlərin necə dəyişdiyini görəcəksiniz ... Mən də onları mənfi bucaqlara çevirdim. Kvadrantların nömrələnməsi dəyişmir.

Burada, adətən, ilk anlaşılmazlıqlar başlayır. Necə!? Və dairədəki mənfi bucaq müsbət ilə üst-üstə düşürsə!? Və ümumiyyətlə, belə çıxır ki, daşınan tərəfin eyni mövqeyini (yaxud ədəd çevrəsindəki nöqtəni) həm mənfi, həm də müsbət bucaq adlandırmaq olar!?

Bəli. Tam olaraq. Tutaq ki, 90 dərəcə müsbət bucaq çevrəni alır tamamilə eyni mənfi 270 dərəcə mənfi bucaq kimi yerləşdirin. Müsbət bir bucaq, məsələn, +110 ° dərəcə götürür tamamilə eyni mənfi bucaq -250 ° olduğu üçün mövqe.

Problem deyil. Hər şey düzgündür.) Bucağın müsbət və ya mənfi hesablanmasının seçimi tapşırığın şərtlərindən asılıdır. Şərt heç nə demirsə sadə mətn bucağın işarəsi haqqında, (məsələn, "ən kiçiyi təyin et müsbət bucaq" və s.), sonra bizim üçün əlverişli olan dəyərlərlə işləyirik.

İstisna (və onlarsız necə?!) triqonometrik bərabərsizliklər, lakin orada biz bu çipi mənimsəyəcəyik.

İndi isə sizə bir sual. 110° bucağın mövqeyinin -250° bucağın mövqeyi ilə eyni olduğunu necə bilə bilərəm?
İşarə edəcəm ki, bu, tam dövriyyə ilə bağlıdır. 360°-də... Aydın deyil? Sonra bir dairə çəkirik. Kağız üzərində çəkirik. Küncün işarələnməsi haqqında 110°. VƏ inanmaq tam dönüşə qədər nə qədər qalır. Cəmi 250° qalır...

Anladım? İndi - diqqət! 110° və -250° bucaqlar dairəni tutursa eyni mövqe, onda nə? Bəli, bucaqların 110 ° və -250 ° olması faktı tamamilə eyni sinus, kosinus, tangens və kotangens!
Bunlar. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) və s. İndi bu, həqiqətən vacibdir! Və özlüyündə - ifadələri sadələşdirmək lazım olan bir çox vəzifə var və azalma düsturlarının və triqonometriyanın digər incəliklərinin sonrakı inkişafı üçün əsas kimi.

Əlbəttə ki, məsələn, təsadüfi olaraq 110 ° və -250 ° götürdüm. Bütün bu bərabərliklər dairədə eyni mövqe tutan istənilən bucaqlar üçün işləyir. 60° və -300°, -75° və 285° və s. Dərhal qeyd edirəm ki, bu cütlərdə künclər - fərqli. Lakin onların triqonometrik funksiyaları var - eyni.

Məncə, siz mənfi tərəflərin nə olduğunu başa düşürsünüz. Bu olduqca sadədir. Saat əqrəbinin əksi müsbət saydır. Yol boyu mənfidir. Bucağı müsbət və ya mənfi hesab edin bizdən asılıdır. İstəyimizdən. Yaxşı və tapşırıqdan daha çox, əlbəttə ki ... Ümid edirəm ki, triqonometrik funksiyalarda mənfi tərəfdən müsbət açılara və əksinə necə hərəkət edəcəyinizi başa düşürsünüz. Bir dairə, təxmini bir açı çəkin və tam dönüşdən əvvəl nə qədər itkin olduğunu görün, yəni. 360°-ə qədər.

360°-dən çox bucaqlar.

360 ° -dən böyük olan bucaqlarla məşğul olaq. Və belə şeylər olur? Var, əlbəttə. Onları bir dairədə necə çəkmək olar? Problem deyil! Tutaq ki, 1000 ° bucağın hansı rübdə düşəcəyini başa düşməliyik? Asan! Saat yönünün əksinə bir tam dönüş edirik (bucaq bizə müsbət verildi!). 360° geri sarın. Yaxşı, davam edək! Başqa bir dönüş - artıq 720 ° çıxdı. Nə qədər qalıb? 280°. Tam dönüş üçün kifayət deyil ... Amma bucaq 270 ° -dən çoxdur - və bu, üçüncü və dördüncü rüb arasındakı sərhəddir. Beləliklə, 1000° bucağımız dördüncü rübə düşür. Hər şey.

Gördüyünüz kimi, olduqca sadədir. Bir daha xatırladıram ki, “əlavə” tam döngələri atmaqla əldə etdiyimiz 1000° və 280° bucaq, daha doğrusu, fərqli künclər. Amma bu bucaqların triqonometrik funksiyaları tamamilə eyni! Bunlar. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° və s. Sinus olsaydım, bu iki bucaq arasındakı fərqi görməzdim...

Bütün bunlar niyə lazımdır? Niyə bucaqları birindən digərinə çevirməliyik? Bəli, hamısı eyni üçündür.) İfadələri sadələşdirmək üçün. İfadələrin sadələşdirilməsi, əslində, məktəb riyaziyyatının əsas vəzifəsidir. Yaxşı, yol boyu baş məşq edir.)

Yaxşı, məşq edək?)

Suallara cavab veririk. Əvvəlcə sadə.

1. -325° bucaq hansı rübdə düşür?

2. 3000° bucaq hansı rübdə düşür?

3. -3000° bucaq hansı rübdə düşür?

problem var? Yoxsa güvənsizlik? 555-ci bölməyə gedirik, triqonometrik dairə ilə praktiki iş. Orada, bunun ilk dərsində " praktiki iş..." hər şey təfərrüatlıdır ... In bu cür qeyri-müəyyənlik sualları etməməli!

4. Sin555° işarəsi nədir?

5. tg555° işarəsi nədir?

Qərarlı? Yaxşı! Şübhə? 555-ci bölməyə keçmək lazımdır ... Yeri gəlmişkən, orada triqonometrik dairədə tangens və kotangens çəkməyi öyrənəcəksiniz. Çox faydalı bir şey.

İndi daha ağıllı suallar.

6. sin777° ifadəsini ən kiçik müsbət bucağın sinusuna gətirin.

7. cos777° ifadəsini ən böyük mənfi bucağın kosinusuna gətirin.

8. cos(-777°) ifadəsini ən kiçik müsbət bucağın kosinusuna çevirin.

9. sin777° ifadəsini ən böyük mənfi bucağın sinusuna gətirin.

Nə, 6-9-cu suallar çaşqındı? Öyrənin, imtahanda belə formulalar yoxdur... Elə olsun, mən tərcümə edəcəm. Ancaq sənin üçün!

"İfadəni azaltmaq ..." sözləri ifadəni dəyərinə çevirmək deməkdir dəyişməyib a görünüş tapşırığa uyğun olaraq dəyişdirilir. Beləliklə, 6 və 9-cu tapşırıqlarda içərisində olan bir sinus almalıyıq ən kiçik müsbət bucaq. Qalan hər şeyin əhəmiyyəti yoxdur.

Cavabları ardıcıllıqla verəcəm (qaydalarımızı pozaraq). Ancaq nə etməli, yalnız iki əlamət var və yalnız dörddə dörddə ... Siz variantlarda səpələməyəcəksiniz.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Güman edirəm ki, 6-9-cu sualların cavabları bəzilərini çaşdırdı. Xüsusilə -sin(-57°), elə deyilmi?) Doğrudan da, bucaqların hesablanması üçün elementar qaydalarda səhvlər üçün yer var... Buna görə də bir dərs keçirməli oldum: "Triqonometrik dairədə funksiyaların əlamətlərini necə təyin etmək və bucaqları vermək olar?" Bölmə 555. Orada 4 - 9 tapşırıqlar sıralanır. Bütün tələlərlə yaxşı sıralanıb. Və onlar buradadırlar.)

Növbəti dərsdə biz sirli radyanlar və "Pi" sayı ilə məşğul olacağıq. Dərəcələri radana və əksinə necə asanlıqla və düzgün çevirməyi öyrənin. Və saytdakı bu elementar məlumatı tapmaq bizi təəccübləndirəcək artıq kifayətdir bəzi qeyri-standart triqonometriya bulmacalarını həll etmək üçün!

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Bu məqalə toplanıb sinuslar, kosinuslar, tangenslər və kotangentlər cədvəlləri. Əvvəlcə triqonometrik funksiyaların əsas dəyərlərinin cədvəlini, yəni 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 dərəcə bucaqların sinusları, kosinusları, tangensləri və kotangentləri cədvəlini veririk ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Bundan sonra biz V. M. Bradisin sinuslar və kotangenslər cədvəlini, eləcə də tangens və kotangentlər cədvəlini verəcəyik və triqonometrik funksiyaların qiymətlərini taparkən bu cədvəllərdən necə istifadə olunacağını göstərəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

0, 30, 45, 60, 90, ... dərəcə bucaqlar üçün sinuslar, kosinuslar, tangenslər və kotangentlər cədvəli

Biblioqrafiya.

• cəbr: Proc. 9 hüceyrə üçün. orta məktəb / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovski.- M.: Maarifləndirmə, 1990.- 272 s.: İll.- ISBN 5-09-002727-7
• Başmaqov M.İ. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 hüceyrə üçün. orta məktəb - 3-cü nəşr. - M.: Maarifçilik, 1993. - 351 s.: xəstə. - ISBN 5-09-004617-4.
• Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorova.- 14-cü nəşr.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.
• Bradis V. M. Dördrəqəmli riyazi cədvəllər: Ümumi təhsil üçün. dərs kitabı müəssisələr. - 2-ci nəşr. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: xəstə. ISBN 5-7107-2667-2

Müxtəlif. Onlardan bəziləri kosinusun hansı kvartallarda müsbət və mənfi, hansı rüblərdə sinusun müsbət və mənfi olması haqqındadır. Bu funksiyaların dəyərini müxtəlif bucaqlarda necə hesablayacağınızı bilsəniz və funksiyaların qrafik üzərində qurulması prinsipi ilə tanış olsanız, hər şey sadə olur.

Kosinusun dəyərləri nədir

Nəzərə alsaq, onu müəyyən edən aşağıdakı aspekt nisbətinə sahibik: bucağın kosinusu a bitişik BC ayağının AB hipotenuzuna nisbətidir (şəkil 1): cos a= BC/AB.

Eyni üçbucaqdan istifadə edərək, bucağın sinusunu, tangensini və kotangensini tapa bilərsiniz. Sinus AC əks ayaq bucağının AB hipotenuzasına nisbəti olacaqdır. İstənilən bucağın sinusu eyni bucağın kosinusuna bölünərsə, bucağın tangensi tapılır; sinus və kosinusu tapmaq üçün müvafiq düsturları əvəz edərək, tg-ni alırıq a\u003d AC / BC. Kotangens, tangensə tərs funksiya olaraq, belə tapılacaq: ctg a= BC/AC.

Yəni, bucağın eyni dəyərləri üçün, düz üçbucaqda tərəf nisbətinin həmişə eyni olduğu aşkar edilmişdir. Görünürdü ki, bu dəyərlərin haradan gəldiyi aydın oldu, amma mənfi ədədlər niyə alınır?

Bunu etmək üçün, həm müsbət, həm də mənfi qiymətlərin olduğu Dekart koordinat sistemində üçbucağı nəzərə almaq lazımdır.

Məhəllə haqqında aydındır, haradadır

Kartezyen koordinatları nədir? Əgər ikiölçülü fəzadan danışırıqsa, O nöqtəsində kəsişən iki istiqamətləndirilmiş xətt var - bu, absis oxu (Ox) və ordinat oxudur (Oy). O nöqtəsindən düz xətt istiqamətində yerləşir müsbət ədədlər, və əks istiqamətdə mənfi. Nəhayət, kosinusun hansı rübdə müsbət, hansında isə mənfi olması birbaşa bundan asılıdır.

Birinci rüb

Əgər yerləşdirilsə düz üçbucaq birinci rübdə (0 o-dan 90 o-a qədər), burada x və y oxlarının müsbət dəyərləri var (AO və BO seqmentləri dəyərlərin "+" işarəsinin olduğu oxlarda yerləşir. ), onda həm sinusun, həm də kosinusun da müsbət dəyərləri olacaq və onlara artı işarəsi olan dəyər təyin edilir. Bəs üçbucağı ikinci rübdə (90 o-dan 180 o-ya) köçürsəniz nə olar?

İkinci rüb

Y oxu boyunca AO-nun mənfi qiymət aldığını görürük. Bucağın kosinusu a indi mənfiyə nisbətdə bu tərəfə malikdir və buna görə də onun son qiyməti mənfi olur. Belə çıxır ki, kosinusun hansı rübdə müsbət olması üçbucağın Dekart koordinat sistemində yerləşməsindən asılıdır. Və bu vəziyyətdə bucağın kosinusu mənfi qiymət alır. Ancaq sinus üçün heç bir şey dəyişmədi, çünki onun işarəsini müəyyən etmək üçün OB-nin tərəfi lazımdır, bu vəziyyətdə artı işarəsi ilə qaldı. İlk iki rübü yekunlaşdıraq.

Kosinusun hansı rüblərdə müsbət, hansında isə mənfi (həmçinin sinus və digər triqonometrik funksiyalar) olduğunu öyrənmək üçün bu və ya digər ayağa hansı işarənin təyin olunduğuna baxmaq lazımdır. Bucağın kosinusu üçün a AO ayağı vacibdir, sinus üçün - OB.

Birinci rüb indiyədək “Hansı rüblərdə sinus və kosinus eyni zamanda müsbətdir?” sualına cavab verən yeganə rüb oldu. Gəlin bu iki funksiyanın işarəsində daha çox təsadüflərin olub-olmayacağına baxaq.

İkinci rübdə AO ayağı mənfi dəyər almağa başladı, bu da kosinusun mənfi olduğunu göstərir. Sinus üçün müsbət dəyər saxlanılır.

üçüncü rüb

İndi hər iki ayaq AO və OB mənfi oldu. Kosinus və sinus nisbətlərini xatırlayın:

Cos a \u003d AO / AB;

Günah a \u003d BO / AB.

Verilmiş koordinat sistemində AB həmişə müsbət işarəyə malikdir, çünki o, oxlarla müəyyən edilmiş hər iki tərəfin heç birinə yönəldilmir. Ancaq ayaqlar mənfi oldu, bu o deməkdir ki, hər iki funksiya üçün də nəticə mənfidir, çünki bir və yalnız birində mənfi işarəsi olan nömrələrlə vurma və ya bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirirsinizsə, nəticə də bu işarə ilə olacaqdır. .

Bu mərhələdə nəticə:

1) Hansı rübdə kosinus müsbətdir? Üçünün birincisində.

2) Hansı rübdə sinus müsbətdir? Üçünün birinci və ikincisində.

Dördüncü rüb (270 o ilə 360 o arasında)

Burada AO ayağı yenidən artı işarəsini və buna görə də kosinusu alır.

Sinus üçün işlər hələ də "mənfi"dir, çünki OB ayağı aşağı qalır başlanqıc nöqtəsi O.

nəticələr

Hansı rüblərdə kosinusun müsbət, mənfi və s. olduğunu başa düşmək üçün kosinusu hesablamaq üçün nisbəti xatırlamaq lazımdır: bucağa bitişik ayaq, hipotenuza bölünür. Bəzi müəllimlər bunu xatırlamağı təklif edirlər: k (osine) \u003d (k) künc. Əgər bu “fırıldaqçı”nı xatırlayırsınızsa, onda siz avtomatik olaraq başa düşürsünüz ki, sinus ayağın bucağının əksinin hipotenuzaya nisbətidir.

Hansı kvartallarda kosinusun müsbət, hansının mənfi olduğunu xatırlamaq olduqca çətindir. Triqonometrik funksiyalarçoxlu və hamısının öz mənaları var. Ancaq yenə də nəticədə: sinus üçün müsbət dəyərlər - 1, 2 rüb (0 o ilə 180 o arasında); kosinus 1, 4 rüb üçün (0 o-dan 90 o-a qədər və 270 o-dan 360 o-a qədər). Qalan rüblərdə funksiyalar mənfi olan dəyərlərə malikdir.

Bəlkə də kiminsə funksiyanın təsvirinə görə hansı işarənin harada olduğunu xatırlaması daha asan olacaq.

Sinus üçün görünə bilər ki, sıfırdan 180 o-a qədər zirvə sin (x) qiymətlərinin xəttindən yuxarıdadır, yəni burada funksiya müsbətdir. Kosinus üçün də eynidir: kosinusun hansı rübdə müsbət (şəkil 7), hansında isə mənfi olması xətti cos (x) oxunun üstündə və altında hərəkət etdirməklə görünə bilər. Nəticədə, sinusun işarəsini, kosinus funksiyalarını təyin etməyin iki yolunu xatırlaya bilərik:

1. Radiusu birə bərabər olan xəyali çevrəyə görə (əslində çevrənin radiusunun fərqi yoxdur, amma dərsliklərdə bu misal ən çox verilir; bu, qavramağı asanlaşdırır, lakin eyni zamanda bunun əhəmiyyəti olmadığını qeyd etməsəniz, uşaqlar çaşa bilər).

2. (x) funksiyasının sonuncu şəkildə olduğu kimi x arqumentinin özündən asılılığının təsvirinə görə.

Birinci üsuldan istifadə edərək işarənin tam olaraq nədən asılı olduğunu başa düşə bilərsiniz və biz bunu yuxarıda ətraflı izah etdik. Bu məlumatlar əsasında qurulmuş Şəkil 7 nəticədə yaranan funksiyanı və onun işarə üzvlüyünü ən yaxşı şəkildə vizuallaşdırır.

Dərs №1

İstənilən arqumentin triqonometrik funksiyaları.

Sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifi və xassələri.

Bucağın radian ölçüsü.

Koordinatların başlanğıcından Ox oxunda A nöqtəsini qeyd edirik və onun vasitəsilə mərkəzi O nöqtəsində olan dairə çəkirik. Radius OA adlanacaq. ilkin radius.

P bucağı (OM; OE) OM mövqeyindən - başlanğıc OE mövqeyinə - son nöqtədən başlanğıc O nöqtəsində olan şüanın mənşəyi ətrafında fırlanmanın nəticəsi kimi təsvir edilə bilər. Bu fırlanma ya saat yönünün əksinə, ya da saat yönünün əksinə ola bilər

a) ya qismən dönüş üçün,

b) ya tam dövrlərin tam sayı ilə;

c) ya tam fırlanma sayı, həm də qismən dönmə.

Saat əqrəbinin əksinə yönəlmiş bucaq ölçüləri müsbət, saat əqrəbi istiqamətində isə mənfi hesab olunur.

Bərabər bucaqları elə bucaqları nəzərdən keçirəcəyik ki, onların ilkin şüaları hansısa şəkildə birləşdirildikdə, son şüalar da birləşdirilir və ilk şüadan son şüaya qədər hərəkət eyni sayda eyni istiqamətdə həyata keçirilir. O nöqtəsi ətrafında tam və natamam inqilablar.

Sıfır bucaqlar bərabər hesab olunur.

Bucaq ölçülərinin xüsusiyyətləri:

Bucaqların ən ümumi ölçüləri dərəcə və radyandır.

Bucaqların ölçü vahidi dərəcə ölçüsü bir dərəcə böyüklük bucağıdır - düzəldilmiş bucağın 1/180-i. Həndəsə kursundan məlum olur ki, bucağın dərəcə ilə ölçüsü 01.01.01-ci il tarixli rəqəmlə ifadə edilir. fırlanma bucağına gəlincə, o, -∞-dən + ∞-ə qədər istənilən real ədədlə dərəcə ilə ifadə oluna bilər.

Başlanğıcda mərkəzləşdirilmiş bir dairə olaraq, koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini ifadə edən vahid radiuslu bir dairə alacağıq. A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). Baxılan bucaqlar üçün ilkin bucaq kimi OA şüası götürüləcək.

Absis və ordinatın koordinat oxları qarşılıqlı perpendikulyardır və müstəvini dörd koordinat rübünə bölür: I, II, III, IV (şəklə bax).

OM radiusunun hansı koordinat rübündə olacağından asılı olaraq bucaqα bu rübün eyni bucağı olacaq.

Beləliklə, əgər 00< α <900 , то угол α - birinci rübün bucağı;

900 olsa< α <1800 , то угол α - ikinci rübün bucağı;

Əgər 1800< α <2700 , то угол α - üçüncü rübün bucağı;

2700 olarsa< α <3600 , то угол α - dördüncü rübün küncü.

Aydındır ki, bucağa tam sayda dövrlər əlavə edildikdə, eyni rübün bucağı alınır.

Məsələn, bucaq 4300 bucaqdır I - oh rüb, 4300 \u003d 3600 + 700 \u003d 700-dən bəri;

9200 bucaq bucaqdır III -ci rüblər, 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000-dən bəri

(yəni bütün inqilabların sayı nəzərə alına bilməz!)

Bucaqlar 00, ± 900, ± 1800, ± 2700, ± 3600 - heç bir rübə aid deyil .

Hansı dörddəbir bucağın bucaq olduğunu müəyyən edəkα əgər:

α \u003d 2830 (IV) α \u003d 1900 (III) α \u003d 1000 (II) α \u003d -200 (IV) h - mənfi istiqamət)

İndi də özləri:

α = 1790 α = 3250 α = 8000 α = -1200

Həndəsə kursunda α bucağının sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi müəyyən edilmişdir.

00 ≤ α ≤ 1800 . İndi biz bu tərifləri ixtiyari α bucağı üçün nəzərdən keçiririk.

font-size:12.0pt;line-height:115%">Bucağı buraxınα OA başlanğıc radiusu OM radiusuna keçir.

Bucağın sinusuα M nöqtəsinin ordinatının radiusun uzunluğuna nisbətidir, yəni.

Bucağın kosinusuα M nöqtəsinin absissinin radiusun uzunluğuna nisbətidir, yəni.

Bucağın tangensiα M nöqtəsinin ordinatının onun absisinə nisbətidir, yəni.

bucağın kotangensi α M nöqtəsinin absisinin onun ordinatına nisbətidir, yəni.

Bəzi bucaqların qiymət cədvəllərindən istifadə edərək triqonometrik funksiyaların hesablanması nümunələrini nəzərdən keçirin. İfadə məna vermədikdə tire qoyulur.

Misal №1. sin300 tap; cos450; tg600.

Həlli: a) cədvəlin sütununda tapın sinα və 300-cü sətirdə, sütun və xəttin kəsişməsində dəyəri tapırıq günah 300 rəqəmdir. Onlar belə yazırlar: günah 300 =

b) cədvəlin sütununda tapın cosα və 450-ci sətirdə, sütun və xəttin kəsişməsində dəyəri tapırıq cos 450 rəqəmdir. Onlar belə yazırlar: cos 450 =

c) cədvəlin sütununda tapın tga və 600-cü sətirdə, sütun və xəttin kəsişməsində, dəyəri tapırıq tg 600 rəqəmdir EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Nümunə №2

Hesablayın a) 2s os 600 + EN-US" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">cos300 = 2 şrift ölçüsü:12.0pt;xətt hündürlüyü:115%"> b)3 tq 450 tq 600 = 3 1 https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" eni="24" hündürlük="24 src=">

Özünüz hesablayın : a) 5 sin 300 - ctg 450 b) 2 sin 300 + 6 cos 600 - 4 tq 450

c ) 4tg 600 sin 600 c ) 2cossin 900 + 5tg 1800

Triqonometrik funksiyaların bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.

Gəlin öyrənək ki, koordinat kvartallarının hər birində sinus, kosinus, tangens və kotangensin hansı işarələri var.

OA radiusunu çevirərkən bərabər olsun R , α bucağı ilə , A nöqtəsi x və y koordinatları olan M nöqtəsinə keçdi. Çünki(R = 1), sonra işarə y işarəsindən asılıdır.

I və II-də rüblər y>0 və in II və IV dörddəbir - at<0.

İmza x-dən asılıdır, çünki, sonra I və IV bucaqlar üçün - x > 0 və in

II və III rüblər x<0.

Çünki ; , sonra I və III rüblərdə və "+" işarəsi var və II və IV kvartallarda mənfi işarə var.