Arifmetik irəliləyiş ilk beşliyin cəmini tapın. Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu. Göstərilən üzvün dəyəri

Kimsə "tərəqqi" sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın bölmələrindən çox mürəkkəb bir termin kimi. Bu arada, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də qaldıqları yerdə). Və mahiyyəti öyrənin (və riyaziyyatda "məhz mahiyyəti əldə etməkdən" daha vacib bir şey yoxdur) arifmetik ardıcıllıq Bir neçə əsas anlayışı başa düşdükdən sonra bu o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Rəqəmsal ardıcıllığı hər birinin öz nömrəsi olan bir sıra nömrələr adlandırmaq adətdir.

və 1 ardıcıllığın birinci üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci üzvüdür;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci üzvün dəyərinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən bir asılılıq ilə əlaqələndirildiyi ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a - ədədi ardıcıllığın üzvünün qiyməti;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) n ədədi ardıcıllığındakı sıranın arqument olduğu funksiyadır.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci üzvü üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - cari üzvün dəyəri arifmetik irəliləyiş;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən bir rəqəm).

Müəyyən etmək asandır ki, əgər fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə say ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını asanlıqla görmək olar.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Göstərilən üzvün dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin bəzi ixtiyari a n həddinin qiymətini təyin etmək lazımdır. Birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaraq bunu edə bilərsiniz. Lakin, məsələn, beş mininci və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablama çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə araşdırıla bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı üzvünün qiyməti, irəliləyişin birinci üzvünün cəmi, arzu olunan üzvün sayına bir çıxılmaqla, proqresiyanın fərqi ilə müəyyən edilə bilər. .

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş üzvün dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci üzvü 3-dür;

Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş üzvün dəyərini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü üzvü 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək tələb olunur. Həm də hər bir terminin dəyərlərini hesablamaq və sonra onları yekunlaşdırmaq lazım deyil. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik proqresiyanın üzvlərinin cəmi birinci və n-ci üzvlərin cəminə bərabərdir, n üzvün nömrəsinə vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci üzvün dəyəri məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Məsələdə 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəmini müəyyən etmək tələb olunur.

Həll. Proqresiyanın cəmini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 üzvünün qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı) qayıdaq. Belə bir nümunəni nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (3 km daxil olmaqla) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl / km nisbətində ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı qət edilən kilometrlərin sayıdır (ilk üçü çıxmaqla).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 p.

bizi maraqlandıran sayı - arifmetik irəliləyişin (27 + 1)-ci üzvünün dəyəri - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın oxunuşu - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablanması müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi olaraq göy cisminin işığın işığına olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədədi silsilələr statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Nömrə ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik ilə müqayisədə böyük dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə çox vaxt konkret hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yayılma sürətinin yüksək olduğunu göstərmək üçün prosesin eksponensial şəkildə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci üzvü əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci üzv 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-dir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari üzvünün qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti üzvünün düsturu;

q həndəsi irəliləyişin (sabit ədədin) məxrəcidir.

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi bir az fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari üzvün qiyməti üçün düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə gedən irəliləyişin məxrəcinin bir azaldılmasına bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddi tapın

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Müəyyən sayda üzvlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci üzvü ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci üzvü arasındakı fərqin bir azaldılmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n üzvünün cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləmə 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə bərabər qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Orta məktəbdə cəbri oxuyarkən (9-cu sinif) vacib mövzulardan biri proqressiyaları - həndəsi və arifmetikanı ehtiva edən ədədi ardıcıllıqların öyrənilməsidir. Bu yazıda arifmetik irəliləyiş və həlləri olan nümunələri nəzərdən keçirəcəyik.

Arifmetik irəliləyiş nədir?

Bunu başa düşmək üçün nəzərdən keçirilən irəliləyişin tərifini vermək, həmçinin problemlərin həllində daha sonra istifadə ediləcək əsas düsturları vermək lazımdır.

Arifmetik və ya cəbri irəliləyiş, hər bir üzvü əvvəlkindən müəyyən sabit miqdarla fərqlənən sifarişli rasional ədədlər toplusudur. Bu dəyər fərq adlanır. Yəni, sıralanmış ədədlər seriyasının hər hansı üzvünü və fərqi bilməklə, bütün arifmetik irəliləyişi bərpa edə bilərsiniz.

Bir misal götürək. Nömrələrin növbəti ardıcıllığı arifmetik irəliləyiş olacaq: 4, 8, 12, 16, ..., çünki bu vəziyyətdə fərq 4-dür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakin 3, 5, 8, 12, 17 ədədləri çoxluğu artıq nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünə aid edilə bilməz, çünki onun üçün fərq sabit qiymət deyil (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17). - 12).

Vacib düsturlar

İndi arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək problemləri həll etmək üçün lazım olan əsas düsturları veririk. a n ardıcıllığın n-ci üzvünü göstərsin, burada n tam ədəddir. Fərq latın d hərfi ilə işarələnir. Sonra aşağıdakı ifadələr doğrudur:

1. N-ci müddətin dəyərini təyin etmək üçün düstur uyğundur: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. İlk n üzvün cəmini müəyyən etmək üçün: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-cu sinifdə həlli ilə arifmetik irəliləyişin hər hansı bir nümunəsini başa düşmək üçün bu iki düsturları xatırlamaq kifayətdir, çünki baxılan hər hansı bir problem onların istifadəsi əsasında qurulur. Həm də unutmayın ki, irəliləyiş fərqi düsturla müəyyən edilir: d = a n - a n-1 .

Nümunə 1: Naməlum Üzvün Tapılması

Arifmetik irəliləyişin sadə nümunəsini və həlli üçün istifadə edilməli olan düsturları veririk.

10, 8, 6, 4, ... ardıcıllığı verilsin, onda beş həddi tapmaq lazımdır.

Artıq məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, ilk 4 termin məlumdur. Beşinci iki şəkildə müəyyən edilə bilər:

1. Əvvəlcə fərqi hesablayaq. Bizdə: d = 8 - 10 = -2. Eynilə, bir-birinin yanında duran hər hansı digər iki termini qəbul etmək olar. Məsələn, d = 4 - 6 = -2. Məlum olduğu üçün d \u003d a n - a n-1, sonra d \u003d a 5 - a 4, aldığımız yerdən: a 5 \u003d a 4 + d. Biz məlum dəyərləri əvəz edirik: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. İkinci üsul da sözügedən irəliləyişin fərqi haqqında bilik tələb edir, ona görə də əvvəlcə yuxarıda göstərildiyi kimi onu müəyyən etməlisiniz (d = -2). Birinci terminin a 1 = 10 olduğunu bilərək, ardıcıllığın n nömrəsi üçün düsturdan istifadə edirik. Bizdə: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Son ifadədə n = 5-i əvəz edərək, alarıq: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüyünüz kimi, hər iki həll eyni nəticəyə gətirib çıxarır. Qeyd edək ki, bu nümunədə irəliləyişin d fərqi mənfidir. Bu cür ardıcıllıqlar azalan adlanır, çünki hər bir ardıcıl termin əvvəlkindən kiçikdir.

Nümunə №2: irəliləyiş fərqi

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək, necə olduğuna dair bir nümunə göstərək

Məlumdur ki, bəzilərində 1-ci hədd 6-ya, 7-ci hədd isə 18-ə bərabər olur.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.

Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum məlumatları, yəni a 1 və 7 rəqəmlərini əvəz edirik, bizdə: 18 \u003d 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) / 6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsi cavablandırıldı.

Ardıcıllığı 7-ci üzvə qaytarmaq üçün cəbri irəliləmənin tərifindən istifadə etməlisiniz, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 və 7 = 18.

Misal №3: irəliləyiş etmək

Problemin vəziyyətini daha da çətinləşdirək. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməlisiniz. Aşağıdakı misal verə bilərik: iki ədəd verilmişdir, məsələn, 4 və 5. Cəbri irəliləyiş etmək lazımdır ki, bunlar arasında daha üç hədd uyğun olsun.

Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək irəliləyişdə hansı yeri tutacağını anlamaq lazımdır. Aralarında daha üç termin olacağından, sonra 1 \u003d -4 və 5 \u003d 5. Bunu təyin etdikdən sonra əvvəlkinə bənzər bir işə davam edirik. Yenə n-ci dövr üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimdən: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Burada fərq tam qiymət deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.

İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan üzvlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0, problemin vəziyyəti ilə üst-üstə düşür.

Nümunə №4: Proqresiyanın ilk üzvü

Həlli ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edirik. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı nömrədən başladığını tapmaq lazımdır.

İndiyə qədər istifadə edilmiş düsturlar 1 və d biliklərini nəzərdə tutur. Problemin vəziyyətində bu rəqəmlər haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatımız olan hər bir termin üçün ifadələri yazaq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik əldə etdik. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.

Hər bir tənlikdə 1 ifadə etsəniz və nəticədə ortaya çıxan ifadələri müqayisə etsəniz, göstərilən sistemi həll etmək ən asandır. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, fərq d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).

d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birincisi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Nəticə ilə bağlı şübhələr varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü üzvünü təyin edin. Alırıq: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kiçik bir səhv hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə əlaqədardır.

Nümunə №5: Cəm

İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bağlı bəzi nümunələrə baxaq.

Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?

Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək olar, yəni insan Enter düyməsini sıxan kimi kompüterin edəcəyi bütün nömrələri ardıcıl olaraq toplayın. Bununla belə, təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və onun fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəm üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Maraqlıdır ki, bu problem “Qauss” adlanır, çünki 18-ci əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşında olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın kənarlarında yerləşən ədəd cütlərini əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.

Nümunə №6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi

Arifmetik proqresiyanın cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nə olacağını tapmaq lazımdır.

Problem iki yolla həll olunur. Onlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıllıqla yekunlaşdırmağı əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər zəhmət tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsulla həll etmək təklif olunur.

İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m olduğundan aydın olur ki, 2 cəminə birinci daxildir. Son nəticə o deməkdir ki, bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m terminini əlavə etsək (fərqi götürdükdə S n cəmindən çıxılır), onda məsələyə lazımi cavabı alarıq. Bizdə: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.

Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadənin və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturunun biliyinə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumağınız, tapmaq istədiyinizi aydın şəkildə başa düşməyiniz və yalnız bundan sonra həllinə davam etməyiniz tövsiyə olunur.

Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən suala cavab verə bilsəniz, bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli ilə arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və ümumi tapşırığı ayrıca alt tapşırıqlara ayırın (bu halda əvvəlcə a n və a m terminlərini tapın).

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhələr varsa, verilmiş nümunələrin bəzilərində edildiyi kimi, onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləməni necə tapmaq olar, öyrənildi. Bunu başa düşdükdən sonra bu o qədər də çətin deyil.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin Məqsədləri:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə etməklə həll olunan tapşırıqlar haqqında tələbələrin təsəvvürlərinin genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
• müstəqil şəkildə yeni biliklər əldə etmək, tapşırığı yerinə yetirmək üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarıqlarının inkişafı;
• əldə edilən faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacının inkişafı, müstəqilliyin inkişafı.

Tapşırıqlar:

• “Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
• əldə edilmiş düsturları müxtəlif məsələlərin həllində tətbiq etməyi öyrətmək;
• tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
• qiymətləndirmə sənədi;
• təqdimat“Arifmetik irəliləyiş”.

I. Əsas biliklərin aktuallaşdırılması.

1. Müstəqil iş cüt-cüt.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişi müəyyənləşdirin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən rekursiv düstur yazın. Arifmetik proqressiyaya misal göstərin və fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhənin arxasında iki tələbə eyni suallara cavab hazırlayır.
Şagirdlər partnyorun işini lövhə ilə müqayisə edərək qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqələr təhvil verilir).

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Mən bəzi arifmetik irəliləyiş təsəvvür etdim. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci üzvünü tez bir zamanda adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

1. Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
2. Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nə olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nədir və irəliləyişin 8-ci həddi nədir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası taxtaya söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrənin nömrəsini deyirlər, müəllim isə dərhal nömrənin özünə zəng edir. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci hədisin düsturunu xatırlayır a n \u003d 3n - 2 və n-in verilmiş qiymətlərini əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n .

II. Təhsil tapşırığının bəyanatı.

Misir papiruslarında tapılan eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid köhnə problemi həll etməyi təklif edirəm.

Bir tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasındakı fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

• Bu problemin arifmetik proqressiya mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, buna görə də fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10).
• Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Proqramın bütün üzvlərinin cəmi.)
• Problemin vəziyyətinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nələri bilməlisiniz? (Tərəqqinin birinci müddəti.)

Dərsin məqsədi- proqresiyanın hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığının əldə edilməsi və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu əldə etməzdən əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiqat orta paylaş.
ikiqat artdı orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci şəxsin payının iki qatı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Tapşırıqın həlli.

1. Qruplarda işləmək

1-ci qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qauss əfsanəsi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1, a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bu məbləği oxşar şəkildə mübahisə edərək tapırıq:

4. Tapşırığı həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin qavranılması və məsələlərin həllində tətbiqi.

1. Köhnə məsələnin həllinin düsturla yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələlərin həllində düsturu tətbiq etmək bacarığının formalaşdırılması üçün tapşırıqlar.

A) 613 saylı

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tapın: S 1500

Həll: , və 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( və n) - arifmetik irəliləmə;
(və n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tapın: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer işləməyə getdi. İlk ayda onun maaşı 200 rubl idi, hər sonrakı ayda 30 rubl artdı. Bir ildə nə qədər qazandı?

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həll:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

1. səh 4.3 - düsturun törəməsini öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə edərək həll olunacaq məsələni tərtib edin.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

• Bu gün dərsdə öyrəndim...
• Öyrənilmiş düsturlar...
• Mən düşünürəm ki …

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. üçün dərslik təhsil müəssisələri. Ed. G.V. Dorofeyeva. Moskva: Maarifçilik, 2009.

Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili qapaq sübutları mənə deyir ki, siz hələ də arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Buna görə də sizi uzun təqdimatlarla incitməyəcəyəm və dərhal işə başlayacağam.

Başlamaq üçün bir neçə nümunə. Bir neçə ədəd dəstini nəzərdən keçirin:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən çoxdur. İkinci halda, qonşu ədədlər arasındakı fərq artıq beşə bərabərdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, ümumiyyətlə köklər var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).

Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlar sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişlər adlanır. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi nömrələr ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.

Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır nizamlı nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Siz nömrələri yenidən təşkil edə və ya dəyişdirə bilməzsiniz.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq (1; 2; 3; 4; ...) kimi bir şey yazsanız - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, olduğu kimi, çox sayda rəqəmin daha da irəli getdiyinə işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)

Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər artır və azalır. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılması nümunələri verilmişdir:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:

Tərif. Arifmetik irəliləyiş deyilir:

1. hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə, artır;
2. azalan, əgər əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən azdırsa.

Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:

1. Əgər $d \gt 0$, deməli, irəliləyiş artır;
2. Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
3. Nəhayət, $d=0$ halı var — bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıdakı üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən, soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüyünüz kimi, hər üç halda fərq həqiqətən mənfi oldu. İndi biz tərifləri az-çox başa düşdükdən sonra irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və onların hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Proqressiyanın üzvləri və təkrarlanan düstur

Ardıcıllığımızın elementləri bir-birini əvəz edə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:

\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]

Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqressiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmin köməyi ilə bu şəkildə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.

Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu üzvləri düsturla əlaqələndirilir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Qısaca desək, irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün $n-1$th termini və $d$ fərqini bilmək lazımdır. Belə bir düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrə tapa bilərsiniz, yalnız əvvəlkini (və əslində, bütün əvvəlkiləri) bilərək. Bu, çox əlverişsizdir, ona görə də hər hansı bir hesablamanı birinci terminə və fərqə endirən daha çətin bir düstur var:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]

Yəqin ki, bu düsturla əvvəllər rastlaşmısınız. Onu hər cür arayış kitablarında və reshebniklərdə verməyi xoşlayırlar. Riyaziyyat üzrə hər hansı bir ağıllı dərslikdə o, birincilərdən biridir.

Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.

Tapşırıq nömrəsi 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləyiş fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: (8; 3; -2)

Hamısı budur! Qeyd edək ki, irəliləyişimiz getdikcə azalır.

Əlbəttə, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - biz artıq birinci termini bilirik. Bununla belə, vahidi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.

Tapşırıq nömrəsi 2. Yeddinci üzvü −40, on yeddinci üzvü isə −50-dirsə, arifmetik proqresiyanın ilk üç həddini yazın.

Həll. Problemin vəziyyətini adi şərtlərlə yazırıq:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]

Sistemin işarəsini ona görə qoyuram ki, bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi isə qeyd edirik ki, ikinci tənlikdən birinci tənliyi çıxarsaq (bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]

Eynilə, biz irəliləyiş fərqini tapdıq! Sistemin hər hansı bir tənliyində tapılan ədədi əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]

İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]

Hazır! Problem həll edildi.

Cavab: (-34; -35; -36)

Kəşf etdiyimiz irəliləyişin maraqlı bir xüsusiyyətinə diqqət yetirin: $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]

Mütləq bilməli olduğunuz sadə, lakin çox faydalı bir xüsusiyyət - onun köməyi ilə bir çox irəliləyiş problemlərinin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun əsas nümunəsi budur:

Tapşırıq nömrəsi 3. Arifmetik proqresiyanın beşinci həddi 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.

Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]

Lakin $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ şərtinə görə $5d=6$, buradan əldə edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: 20.4

Hamısı budur! Hər hansı bir tənlik sistemi qurmağa və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac duymadıq - hər şey bir neçə sətirdə həll edildi.

İndi problemin başqa bir növünü - proqresiyanın mənfi və müsbət üzvlərinin axtarışını nəzərdən keçirək. Heç kimə sirr deyil ki, əgər irəliləyiş artarsa, onun ilk termini mənfi olarsa, gec-tez müsbət şərtlər onda görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.

Eyni zamanda, ardıcıl olaraq elementləri sıralayaraq bu anı "alnında" tapmaq həmişə mümkün deyil. Çox vaxt problemlər elə qurulur ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq aparsın - cavabı tapana qədər biz sadəcə yuxuya gedirdik. Ona görə də çalışacağıq ki, bu problemləri daha tez həll edək.

Tapşırıq nömrəsi 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd -38,5; -35,8; …?

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.

Gəlin öyrənməyə çalışaq: şərtlərin mənfiliyi nə qədər müddətə (yəni, $n$ hansı natural ədədə qədər) saxlanılır:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]

Sonuncu sətir aydınlaşdırma tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, nömrənin yalnız tam dəyərləri bizə uyğun olacaq (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən nömrə dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16-dır.

Tapşırıq nömrəsi 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.

Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Ancaq qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək beşinci termini birinci və fərq baxımından ifadə etməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]

İndi əvvəlki problemə bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənirik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]

Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.

Nəzərə alın ki, son tapşırıqda hər şey ciddi bərabərsizliyə endirildi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.

Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək, bu, gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)

Arifmetik orta və bərabər abzaslar

Artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirin $\left(((a)_(n)) \right)$. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Mən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari üzvləri qeyd etdim və hər hansı $((a)_(1)) deyil, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.

Və qayda çox sadədir. Gəlin rekursiv düsturu xatırlayaq və onu bütün işarələnmiş üzvlər üçün yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]

Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]

Yaxşı, bəs nə? Lakin $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Siz qeyri-müəyyən müddətə davam edə bilərsiniz, lakin şəkil mənasını yaxşı göstərir

Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, əgər qonşu ədədlər məlumdursa, siz $((a)_(n))$ tapa bilərsiniz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Möhtəşəm bir ifadə çıxardıq: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü qonşu üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik, biz $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə yayına bilərik - və yenə də düstur düzgün olacaq:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada arifmetik ortanın istifadəsi üçün bir çox tapşırıqlar xüsusi olaraq "kəskinləşdirilir". Bax:

Tapşırıq nömrəsi 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl üzvləri olması üçün $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (müəyyən edilmiş qaydada).

Həll. Bu ədədlər proqresiyanın üzvləri olduğundan onlar üçün orta hesab şərti ödənilir: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Nəticə klassik kvadrat tənlikdir. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.

Cavab: -3; 2.

Tapşırıq nömrəsi 7. $$-ın elə dəyərlərini tapın ki, $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədləri arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin (həmin ardıcıllıqla).

Həll. Yenə də orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortası ilə ifadə edirik:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Başqa bir kvadrat tənlik. Və yenə iki kök: $x=6$ və $x=1$.

Cavab: 1; 6.

Əgər problemin həlli zamanı bəzi qəddar nömrələr alırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir hiylə var: problemi düzgün həll etdikmi?

Tutaq ki, 6-cı məsələdə -3 və 2 cavablarını aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizdə üç ədəd ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$ var, bunlar arifmetik irəliləyiş təşkil etməlidir. $x=-3$ əvəz edin:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

-54 nömrələrini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olunur. İstəyənlər ikinci tapşırığı özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.

Ümumiyyətlə, son tapşırıqları həll edərkən başqasına rast gəldik maraqlı fakt, bunu da xatırlamaq lazımdır:

Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birincinin və sonuncunun ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin vəziyyətinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir "tikinti" ilə məşğul olmamışdan əvvəl daha bir fakta diqqət yetirməliyik ki, bu da artıq nəzərdən keçiriləndən birbaşa irəli gəlir.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmi

Yenidən rəqəm xəttinə qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edirik, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:

Gəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $ ifadələri ilə ifadə etməyə çalışaq. d$. Çox sadədir:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]

İndi aşağıdakı məbləğlərin bərabər olduğuna diqqət yetirin:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sadə dillə desək, başlanğıc kimi cəmi $S$-a bərabər olan iki elementi götürsək və sonra bu elementlərdən addımlamağa başlayırıq. əks tərəflər(bir-birinə və ya əksinə çıxarmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu ən yaxşı qrafik olaraq göstərmək olar:

Bu həqiqəti başa düşmək bizə yuxarıda nəzərdən keçirdiklərimizdən daha yüksək səviyyəli mürəkkəblik problemlərini həll etməyə imkan verəcəkdir. Məsələn, bunlar:

Tapşırıq nömrəsi 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]

Beləliklə, $d$ irəliləməsinin fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \sol(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]

Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən ümumi faktor 11-i götürdüm. Beləliklə, istənilən hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirin - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri açsaq, alırıq:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüyünüz kimi, ən yüksək termində əmsal 11-dir - bu müsbət rəqəm, buna görə də biz həqiqətən budaqları yuxarı olan parabola ilə məşğul oluruq:

cədvəli kvadrat funksiya- parabola

Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Təbii ki, biz bu absissanı standart sxem üzrə hesablaya bilərik ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin bunu etmək daha məqsədəuyğun olardı. qeyd edin ki, istədiyiniz təpə parabolanın oxu simmetriyası üzərində yerləşir, ona görə də $((d)_(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]

Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmirdim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Beləliklə, absis −66 və −6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Aşkar edilmiş nömrəni bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz $((y)_(\min ))$ hesablamadıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm ilkin irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq. :)

Cavab: -36

Tapşırıq nömrəsi 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin.

Həll. Əslində, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarələyin:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Və əgər $x$ və $z$ rəqəmlərindən biz varıq Bu an biz $y$ ala bilmərik, onda gedişatın ucları ilə vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayın:

İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və $y=-\frac(1)(3)$ arasında yerləşir. Buna görə də

Eyni şəkildə mübahisə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Cavabda onları ilkin ədədlərin arasına daxil edilməli olan ardıcıllıqla yazaq.

Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tapşırıq nömrəsi 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğu məlumdursa, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirən bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha çətin bir vəzifə, lakin əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur - arifmetik orta vasitəsilə. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmi daxil edəcəyimizi dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün biz hesab edirik ki, daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda istənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Lakin qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri bir-birinə doğru bir addım kənarda duran 2 və 42 rəqəmlərindən alınır. , yəni. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakin sonra yuxarıdakı ifadəni belə yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]

$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]

Qalan üzvləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]

Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressivlərlə mətn tapşırıqları

Sonda bir neçəsini nəzərdən keçirmək istərdim sadə tapşırıqlar. Yaxşı, sadə olanlar kimi: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu tapşırıqlar jest kimi görünə bilər. Buna baxmayaraq, riyaziyyatda OGE və İSTİFADƏ-də rast gəlinən məhz belə tapşırıqlardır, ona görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Tapşırıq nömrəsi 11. Komanda yanvar ayında 62 hissə istehsal edib və hər növbəti ayda əvvəlkindən 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Noyabrda briqada neçə hissə istehsal etdi?

Həll. Aydındır ki, aylarla rənglənən hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyiş olacaqdır. Və:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.

Tapşırıq nömrəsi 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216 kitab cildləyib və hər ay əvvəlki ayla müqayisədə 4 daha çox kitab cildləyib. Seminar dekabrda neçə kitab cildləşdirdi?

Həll. Hamısı eyni:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.

Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz şəkildə növbəti dərsə keçə bilərik, burada irəliləyiş cəmi düsturunu, eləcə də ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(səkkiz\); \(on bir\); \(14\)… arifmetik irəliləyişdir, çünki hər növbəti element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) də ola bilər mənfi rəqəm. Misal üçün, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(on\); \(dörd\); \(-2\); \(-8\)… irəliləyiş fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən az olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Proqressiya kiçik Latın hərfi ilə işarələnir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər ona deyilir üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin sıra ilə element nömrəsinə bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli

Prinsipcə, yuxarıda göstərilən məlumatlar arifmetik irəliləyişlə bağlı demək olar ki, hər hansı bir problemi həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə verilir. \(b_5\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç həddi verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə işarələnən elementin qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə verilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həll:

Cavab: \(d=7\).

Əhəmiyyətli Arifmetik Proqressiya Düsturları

Gördüyünüz kimi, bir çox arifmetik irəliləyiş problemləri sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll edilə bilər - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir növbəti element əvvəlkinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir (fərq irəliləməsi).

Ancaq bəzən "alında" həll etmək çox əlverişsiz olduqda vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Nədir, biz \ (385 \) dəfə dörd əlavə edək? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaq qarışıqdır...

Buna görə də, belə hallarda, onlar "alında" həll etmirlər, ancaq arifmetik irəliləyiş üçün əldə edilən xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və birinci hədlərin \(n\) cəminin düsturudur.

\(n\)-ci üzv üçün düstur: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin ilk üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin üzvüdür.

Bu düstur yalnız birinci və irəliləyiş fərqini bilməklə ən azı üç yüzüncü, hətta milyonuncu elementi tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləmə şərtlərlə verilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) son cəmlənmiş termindir;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə verilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – birinci elementlərin tələb olunan məbləği \(n\);
\(a_1\) cəmlənəcək ilk termindir;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) - cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(on dörd\)…
Həll:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək mövzunu bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həll:

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə verilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-dan \(42\) element daxil olmaqla cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.