Triqonometrik tənliklər - düsturlar, həllər, misallar. Dərs "Qövs tangensi və qövs tangensi. tgx \u003d a, ctgx \u003d a" tənliklərinin həlli ctg x a tənliyinin həlli

A nöqtəsində mərkəzləşdirilmişdir.
α radyanla ifadə olunan bucaqdır.

tangent ( tgα) hipotenuza ilə ayaq arasındakı α bucağından asılı olaraq triqonometrik funksiyadır düz üçbucaq, əks ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər |BC| bitişik ayağın uzunluğuna |AB| .

kotangent ( ctgα) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq, bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| qarşı ayağın uzunluğuna |BC| .

Tangens

Harada n- bütöv.

Qərb ədəbiyyatında tangens aşağıdakı kimi qeyd olunur:
.
;
;
.

Tangens funksiyasının qrafiki, y = tg x

Kotangent

Harada n- bütöv.

Qərb ədəbiyyatında kotangens aşağıdakı kimi qeyd olunur:
.
Aşağıdakı qeydlər də qəbul edilmişdir:
;
;
.

Kotangens funksiyasının qrafiki, y = ctg x

Tangens və kotangensin xassələri

Dövrilik

Funksiyalar y= tg x və y= ctg xπ dövrü ilə dövri olur.

Paritet

Tangens və kotangens funksiyaları təkdir.

Tərif və dəyərlər sahələri, artan, azalan

Tangens və kotangens funksiyaları tərif sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Tangens və kotangensin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir ( n- tam).

Formulalar

Sinus və kosinus baxımından ifadələr

; ;
; ;
;

Cəm və fərqin tangensi və kotangensi üçün düsturlar

Qalan formulları, məsələn, əldə etmək asandır

Tangenslərin məhsulu

Tangenslərin cəmi və fərqi düsturu

Bu cədvəl arqumentin bəzi dəyərləri üçün tangens və kotangentlərin dəyərlərini göstərir.

Kompleks ədədlərlə ifadələr

Hiperbolik funksiyalar baxımından ifadələr

;
;

Törəmələri

; .

.
Funksiyanın x dəyişəninə münasibətdə n-ci dərəcəli törəmə:
.
Tangens üçün düsturların alınması > > > ; kotangens üçün > > >

İnteqrallar

Seriyaya genişlənmələr

X-in güclərində tangensin genişlənməsini əldə etmək üçün funksiyalar üçün güc seriyasında genişlənmənin bir neçə şərtini götürməlisiniz. günah x və cos x və bu çoxhədliləri bir-birinə bölmək, . Bunun nəticəsində aşağıdakı düsturlar əldə edilir.

Saat .

at.
harada B n- Bernoulli nömrələri. Onlar ya təkrarlanma əlaqəsindən müəyyən edilir:
;
;
harada.
Və ya Laplas düsturuna görə:

Tərs funksiyalar

Tərs funksiyalar tangens və kotangens müvafiq olaraq arktangens və arkkotangensdir.

Arktangent, arctg

, harada n- bütöv.

Qövs tangensi, arcctg

, harada n- bütöv.

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və Ali Təhsil Müəssisələrinin Tələbələri üçün Riyaziyyat Kitabı, Lan, 2009.
G. Korn, Tədqiqatçılar və Mühəndislər üçün Riyaziyyat Kitabı, 2012.

Proqramın əvvəlində tələbələr həll yolu haqqında təsəvvür əldə etdilər triqonometrik tənliklər, arksinus və arksinus anlayışları, cos t = a və sin t = a tənliklərinin həlli nümunələri ilə tanış oldular. Bu video dərslikdə biz tg x = a və ctg x = a tənliklərinin həllini nəzərdən keçirəcəyik.

Bu mövzunun öyrənilməsinin əvvəlində tg x = 3 və tg x = - 3 tənliklərini nəzərdən keçirək. Qrafikdən istifadə edərək tg x = 3 tənliyini həll etsək, y funksiyalarının qrafiklərinin kəsişdiyini görərik. = tg x və y = 3-ün sonsuz sayda həlli var, burada x = x 1 + πk. x 1 qiyməti y = tg x və y = 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsinin x koordinatıdır. Müəllif arktangens anlayışını təqdim edir: arctg 3 tg-si 3 olan ədəddir və bu ədəd ona aiddir. -π/2-dən π/2-ə qədər olan interval. Arktangens anlayışından istifadə edərək tan x = 3 tənliyinin həllini x = arktan 3 + πk kimi yazmaq olar.

Bənzətmə ilə tg x \u003d - 3 tənliyi həll edilir.Y \u003d tg x və y \u003d - 3 funksiyalarının qurulmuş qrafiklərinə əsasən, qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin və buna görə də həllərin olduğunu görmək olar. tənliklərdən x \u003d x 2 + πk olacaqdır. Qövs tangensindən istifadə edərək həlli x = arktan (- 3) + πk kimi yazmaq olar. Aşağıdakı şəkildə arctg (- 3) = - arctg 3 olduğunu görəcəyik.

Qövs tangensinin ümumi tərifi aşağıdakı kimidir: a qövs tangensi -π / 2 ilə π / 2 intervalından elə bir ədəddir ki, onun tangensi adır. Onda tg x = a tənliyinin həlli x = arctg a + πk olur.

Müəllif misal gətirir 1. arctg ifadəsinin həllini tapın.Qeyd yazısını təqdim edək: ədədin qövs tangensi x, onda tg x verilmiş ədədə bərabər olacaq, burada x -π/-dən olan seqmentə aiddir. 2 - π/2. Əvvəlki mövzulardakı nümunələrdə olduğu kimi, biz dəyərlər cədvəlindən istifadə edəcəyik. Bu cədvələ əsasən, bu ədədin tangensi x = π/3 dəyərinə uyğundur. π / 3-ə bərabər verilmiş ədədin qövs tangensi tənliyinin həllini yazırıq, π / 3 də -π / 2-dən π / 2-ə qədər olan intervala aiddir.

Misal 2 - Qövs tangensini hesablayın mənfi rəqəm. arctg (- a) = - arctg a bərabərliyindən istifadə edərək x dəyərini daxil edin. 2-ci misal kimi, -π/2 ilə π/2 intervalına aid olan x-in qiymətini yazırıq. Dəyərlər cədvəlinə əsasən tapırıq ki, x = π/3, deməli, -- tg x = - π/3. Tənliyin cavabı - π/3-dür.

3-cü misalı nəzərdən keçirək. tan x = 1 tənliyini həll edək. Yazaq ki, x = arctan 1 + πk. Cədvəldə tg 1 dəyəri x \u003d π / 4 dəyərinə uyğundur, buna görə də arctg 1 \u003d π / 4. Bu dəyəri ilkin x düsturu ilə əvəz edin və x = π/4 + πk cavabını yazın.

Nümunə 4: tg x = - hesablayın 4.1. Bu halda, x = arctg (- 4.1) + πk. Çünki bu halda arctg qiymətini tapmaq mümkün deyil, cavab x = arctg (- 4.1) + πk kimi görünəcək.

5-ci misalda tg x > 1 bərabərsizliyinin həlli nəzərdən keçirilir. Onu həll etmək üçün y = tg x və y = 1 funksiyalarının qrafiklərini çəkirik. Şəkildən göründüyü kimi, bu qrafiklər x = π nöqtələrində kəsişir. /4 + πk. Çünki bu halda, tg x > 1, qrafikdə y = 1 qrafikindən yuxarı olan tangentoidin sahəsini seçirik, burada x π/4-dən π/2-ə qədər olan intervala aiddir. Cavabı π/4 + πk kimi yazırıq< x < π/2 + πk.

Sonra ctg x = a tənliyini nəzərdən keçirək. Şəkildə çoxlu kəsişmə nöqtələri olan y = ctg x, y = a, y = - a funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir. Həlllər x = x 1 + πk kimi yazıla bilər, burada x 1 = arcctg a və x = x 2 + πk, burada x 2 = arcctg (- a). Qeyd olunur ki, x 2 \u003d π - x 1. Bu arcctg (- a) = π - arcctg a bərabərliyini nəzərdə tutur. Bundan əlavə, qövs kotangentinin tərifi verilir: a-nın qövs kotangensi 0-dan π-ə qədər olan intervaldan elə bir ədəddir ki, onun kotangensi a-ya bərabərdir. сtg x = a tənliyinin həlli belə yazılır: x = arcctg a + πk.

Video dərsin sonunda daha bir mühüm nəticə çıxarılır - ctg x = a ifadəsi a sıfıra bərabər olmamaq şərti ilə tg x = 1/a kimi yazıla bilər.

MƏTNİN ŞƏRHİ:

tg x \u003d 3 və tg x \u003d - 3 tənliklərinin həllini nəzərdən keçirək. Birinci tənliyi qrafik olaraq həll edərək, y \u003d tg x və y \u003d 3 funksiyalarının qrafiklərinin sonsuz sayda kəsişmə nöqtələrinə malik olduğunu görürük. şəklində yazdığımız absislər

x \u003d x 1 + πk, burada x 1, təyinatın icad edildiyi y \u003d 3 xəttinin tangentoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absissidir (Şəkil 1).

arktan 3 (üç qövs tangensi).

arctg 3-ü necə başa düşmək olar?

Bu, tangensi 3 olan və bu ədəd (-;) intervalına aid olan ədəddir. Sonra tg x \u003d 3 tənliyinin bütün kökləri x \u003d arctan 3 + πk düsturu ilə yazıla bilər.

Eynilə, tg x \u003d - 3 tənliyinin həlli x \u003d x 2 + πk kimi yazıla bilər, burada x 2 y \u003d - 3 xəttinin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisidir. tangentoid (Şəkil 1), bunun üçün təyin arctg (- 3) (arct tangens minus üç). Sonra tənliyin bütün kökləri düsturla yazıla bilər: x \u003d arctg (-3) + πk. Şəkildə göstərilir ki, arctg(- 3)= - arctg 3.

Qövs tangensinin tərifini tərtib edək. Qövs tangensi a, tangensi a-a bərabər olan (-;) intervalından belə bir ədəddir.

Bərabərlik tez-tez istifadə olunur: arctg(-a) = -arctg a, istənilən a üçün etibarlıdır.

Qövs tangensinin tərifini bilərək, tənliyin həlli haqqında ümumi nəticə çıxarırıq

tg x \u003d a: tg x \u003d a tənliyinin x \u003d arctg a + πk həlli var.

Nümunələri nəzərdən keçirin.

NÜMUNƏ 1. arctg hesablayın.

Həll. arctg = x olsun, sonra tgx = və xϵ (-;) olsun. Dəyərlər cədvəlini göstərin Buna görə də, x =, çünki tg = və ϵ (- ;).

Beləliklə, arctg =.

NÜMUNƏ 2 Arktan (-) hesablayın.

Həll. arctg (- a) \u003d - arctg a bərabərliyindən istifadə edərək yazırıq:

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, onda - tgx = və xϵ (-;) olsun. Deməli, x =, çünki tg = və ϵ (- ;). Dəyərlər cədvəlini göstərin

Beləliklə - arctg=- tgх= - .

NÜMUNƏ 3. tgх = 1 tənliyini həll edin.

1. Həll formulunu yazaq: x = arctg 1 + πk.

2. Qövs tangensinin qiymətini tapın

tg = olduğundan. Dəyərlər cədvəlini göstərin

Beləliklə, arctg1=.

3. Tapılan dəyəri həll formuluna qoyun:

NÜMUNƏ 4. tgx \u003d - 4.1 tənliyini həll edin (tangens x mənfi dörd nöqtə onda birə bərabərdir).

Həll. Həll formulunu yazaq: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Qövs tangensinin qiymətini hesablaya bilmərik, ona görə də tənliyin həllini olduğu kimi buraxacağıq.

NÜMUNƏ 5. tgх 1 bərabərsizliyini həll edin.

Həll. Gəlin bunu qrafik olaraq edək.

1. Tangentoid quraq

y \u003d tgx və düz xətt y \u003d 1 (Şəkil 2). Onlar x = + πk formasının nöqtələrində kəsişir.

2. Tangentoidin əsas qolunun y \u003d 1 düz xəttinin üstündə yerləşdiyi x oxunun intervalını seçin, çünki tgх 1 şərtinə görə. Bu intervaldır (;).

3. Biz funksiyanın dövriliyindən istifadə edirik.

Mülkiyyət 2. y \u003d tg x - əsas dövrü π olan dövri funksiya.

y \u003d tgx funksiyasının dövriliyini nəzərə alaraq cavabı yazırıq:

(;). Cavab ikiqat bərabərsizlik kimi yazıla bilər:

ctg x \u003d a tənliyinə keçək. Müsbət və mənfi a üçün tənliyin həllinin qrafik təsvirini təqdim edək (şək. 3).

y \u003d ctg x və y \u003d a və funksiyalarının qrafikləri

y=ctg x və y=-a

sonsuz sayda var ümumi nöqtələr, kimin absisləri belə görünür:

x \u003d x 1 +, burada x 1, y \u003d a xəttinin tangentoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisidir və

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, burada x 2 xəttin kəsişmə nöqtəsinin absisidir

y \u003d - lakin tangentoidin əsas qolu və x 2 \u003d arcсtg (- a) ilə.

Qeyd edək ki, x 2 \u003d π - x 1. Beləliklə, vacib tənliyi yazırıq:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Tərifi tərtib edək: a-nın qövs kotangensi kotangensi a-ya bərabər olan (0; π) intervalından belə bir ədəddir.

ctg x \u003d a tənliyinin həlli belə yazılır: x \u003d arcсtg a +.

Qeyd edək ki, ctg x = a tənliyi formaya çevrilə bilər

tg x =, a = 0 olduğu istisna olmaqla.

Probleminizin ətraflı həllini sifariş edə bilərsiniz !!!

İşarənin altında naməlum olan bərabərlik triqonometrik funksiya(`sin x, cos x, tg x` və ya `ctg x`), triqonometrik tənlik adlanır və daha sonra nəzərdən keçirəcəyimiz onların düsturlarıdır.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, həqiqi ədədlər arasında heç bir həll yolu yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

O, həmçinin istənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll variantına malikdir.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

• onu ən sadəyə çevirmək üçün istifadə etmək;
• köklər və cədvəllər üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək nəticədə sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarını nəzərdən keçirək.

cəbri üsul.

Bu üsulda dəyişənin dəyişdirilməsi və bərabərliyə əvəz edilməsi həyata keçirilir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bütün bərabərlik şərtlərini sola köçürün: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə gətirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. `tg x` üçün tənliklər alırıq: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullarla həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ hissələrini `cos^2 x \ne 0`-ə bölməklə, əldə edirik:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. `tg x=t` əvəzini təqdim edək, nəticədə `t^2 + t - 2=0`. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım küncə keçin

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. İkiqat bucaq düsturlarını tətbiq etməklə nəticə belə olur: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 - 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, biz hər iki hissəni `sqrt (a^2+b^2)` ilə bölürük:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni kvadratlarının cəmi 1, modulu isə ən çoxu 1-dir. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , sonra:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı misala daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Tənliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)`-ə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarələyin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı-rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar, saylarında və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Tənliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə alırıq:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfır ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabərləşdirin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Tədqiqat 10-cu sinifdə başlayır, imtahan üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını xatırlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaq!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və nəticə çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.

Bu dərsdə qövs tangensinin öyrənilməsini və istənilən a üçün tg x = a formalı tənliklərin həllini davam etdirəcəyik. Dərsin əvvəlində tənliyi cədvəl dəyəri ilə həll edəcəyik və həlli qrafikdə, sonra isə dairədə təsvir edəcəyik. Sonra tgx = a tənliyini ümumi formada həll edirik və cavabın ümumi düsturunu alırıq. Qrafik və dairə üzrə hesablamaları təsvir edək və cavabın müxtəlif formalarını nəzərdən keçirək. Dərsin sonunda biz diaqramda və dairədə həll yollarının təsviri ilə bir neçə problemi həll edəcəyik.

Mövzu: Triqonometrik tənliklər

Dərs: Arktangens və tgx=a tənliyinin həlli (davamı var)

1. Dərsin mövzusu, giriş

Bu dərsdə hər hansı real üçün tənliyin həllini nəzərdən keçirəcəyik

2. tgx=√3 tənliyinin həlli

Tapşırıq 1. Tənliyi həll edin

Funksiya qrafiklərindən istifadə edərək həllini tapaq (şək. 1).

Aralığı nəzərdən keçirin Bu intervalda funksiya monotondur, yəni ona funksiyanın yalnız bir qiymətində çatılır.

Cavab:

ilə eyni tənliyi həll edək nömrə dairəsi(şək. 2).

Cavab:

3. tgx=a tənliyinin ümumi formada həlli

Tənliyi ümumi formada həll edək (şək. 3).

İntervalda tənliyin unikal həlli var

Ən kiçik müsbət dövr

Ədədi çevrə üzərində təsvir edək (şək. 4).

4. Problemin həlli

Tapşırıq 2. Tənliyi həll edin

Gəlin dəyişəni dəyişdirək

Tapşırıq 3. Sistemi həll edin:

Həlli (Şəkil 5):

Nöqtədə, dəyər buna görə sistemin həlli yalnız nöqtədir

Cavab:

Tapşırıq 4. Tənliyi həll edin

Dəyişən dəyişdirmə üsulu ilə həll edək:

Məsələ 5. Aralıq üzrə tənliyin həllərinin sayını tapın

Problemi qrafikdən istifadə edərək həll edək (şək. 6).

Tənliyin verilmiş intervalda üç həlli var.

Biz ədədi çevrə üzərində təsvir edəcəyik (şək. 7), baxmayaraq ki, bu, qrafikdəki kimi aydın deyil.

Cavab: Üç həll yolu.

5. Nəticə, nəticə

Qövs tangensi anlayışından istifadə edərək istənilən real üçün tənliyi həll etdik. Növbəti dərsdə qövs tangensi anlayışı ilə tanış olacağıq.

Biblioqrafiya

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). üçün dərslik təhsil müəssisələri (profil səviyyəsi) red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., İvaşev-Musatov O. S., Şvartsburd S. İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz ( dərslik riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün).-M .: Təhsil, 1996.

4. Qalitski M. L., Moşkoviç M. M., Şvartsburd S. İ. Dərin Öyrənmə cəbr və riyazi analiz.-M.: Təhsil, 1997.

5. Texniki ali məktəblərə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan tapşırıqlar toplusu (M.İ.Skanavinin redaktorluğu ilə).-M.: Ali məktəb, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Qoldman A. M., Denisov D. V. Cəbrdə tapşırıqlar və təhlilin başlanğıcları (ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərslik).- M .: Təhsil, 2003.

8. A. P. Karp, Cəbrdə Məsələlər Toplusu və Analiz Prinsipləri: Proc. 10-11 hüceyrə üçün müavinət. dərinliyi ilə öyrənmək riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.

Ev tapşırığı

Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Əlavə veb resursları

1. Riyaziyyat.

2. İnternet portalının problemləri. ru.

3. Təhsil portalı imtahanlara hazırlaşmaq.

>> Qövs tangensi və qövs tangensi. tgx = a, ctgx = a tənliklərinin həlli

§ 19. Qövs tangensi və qövs tangensi. tgx = a, ctgx = a tənliklərinin həlli

§16-nın 2-ci nümunəsində üç tənliyi həll edə bilmədik:

Onlardan ikisini artıq həll etdik - birincisi § 17-də, ikincisi isə § 18-də, bunun üçün anlayışları təqdim etməli olduq. qövs kosinusu və arcsine. Üçüncü x = 2 tənliyini nəzərdən keçirək.
y \u003d tg x və y \u003d 2 funksiyalarının qrafiklərində sonsuz sayda ümumi nöqtələr var, bütün bu nöqtələrin absisləri belə görünür - y \u003d 2 xəttinin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisi. tangentoid (şək. 90). X1 rəqəmi üçün riyaziyyatçılar arstg 2 təyinatını tapdılar (“iki arct tangensi” oxuyur). Onda x=2 tənliyinin bütün köklərini x=arstg 2 + pc düsturu ilə təsvir etmək olar.
arstg 2 nədir? Bu nömrədir tangens 2-yə bərabər olan və intervala aid olan
İndi tg x = -2 tənliyini nəzərdən keçirək.
Funksiya Qrafikləri sonsuz çoxlu ortaq nöqtələrə malikdir, bütün bu nöqtələrin absisləri formaya malikdir y \u003d -2 düz xəttinin tangentoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisi. X 2 rəqəmi üçün riyaziyyatçılar arstg (-2) qeydini tapdılar. Onda x = -2 tənliyinin bütün kökləri düsturla təsvir edilə bilər

arstg(-2) nədir? Bu, tangensi -2 olan və intervala aid olan ədəddir. Diqqət edin (bax. Şəkil 90): x 2 \u003d -x 2. Bu o deməkdir ki, arctg(-2) = - arctg 2.
Qövs tangensinin tərifini ümumi şəkildə tərtib edək.

Tərif 1. arstg a (qövs tangensi a) tangensi a olan intervaldan gələn ədəddir. Belə ki,

İndi həll yolu ilə bağlı ümumi nəticə çıxarmaq vəziyyətindəyik tənliklər x=a: x=a tənliyinin həlli var

Yuxarıda qeyd etdik ki, arctg (-2) = -arctg 2. Ümumiyyətlə, a-nın istənilən qiyməti üçün düstur

Misal 1 Hesablayın:

Misal 2 Tənlikləri həll edin:

A) Həll formulunu yaradaq:

Bu halda qövs tangensinin qiymətini hesablaya bilmərik, ona görə də tənliyin həllərinin qeydini alınan formada buraxacağıq.
Cavab:
Misal 3 Bərabərsizlikləri həll edin:
Formanın bərabərsizliyi aşağıdakı planlara riayət etməklə qrafik şəkildə həll edilə bilər
1) tangentoid y \u003d tg x və düz xətt y \u003d a qurun;
2) tanheizoidin əsas qolu üçün verilmiş bərabərsizliyin təmin olunduğu x oxunun intervalını seçin;
3) y \u003d tg x funksiyasının dövriliyini nəzərə alaraq cavabı ümumi formada yazın.
Bu planı verilmiş bərabərsizliklərin həllinə tətbiq edək.

: a) y \u003d tgx və y \u003d 1 funksiyalarının qrafiklərini qururuq. Tangentoidin əsas qolunda onlar nöqtədə kəsişirlər.

Tangentoidin əsas qolunun y \u003d 1 düz xəttinin altında yerləşdiyi x oxunun intervalını seçirik, bu intervaldır
y \u003d tgx funksiyasının dövriliyini nəzərə alaraq belə nəticəyə gəlirik ki, verilmiş bərabərsizlik formanın istənilən intervalında ödənilir:

Bütün belə intervalların birliyi verilmiş bərabərsizliyin ümumi həllidir.
Cavab başqa cür də yazıla bilər:

b) y \u003d tg x və y \u003d -2 funksiyalarının qrafiklərini qururuq. Tangentoidin əsas qolunda (şəkil 92) onlar x = arctg (-2) nöqtəsində kəsişirlər.

Tangentoidin əsas qolunun olduğu x oxunun intervalını seçirik

tg x=a olan tənliyi nəzərdən keçirək, burada a>0. y \u003d ctg x və y \u003d a funksiyalarının qrafiklərində sonsuz çoxlu ümumi nöqtələr var, bütün bu nöqtələrin absisləri belə görünür: x \u003d x 1 + pc, burada x 1 \u003d arcctg a - absiss y \u003d a xəttinin tangentoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsi (Şəkil .93). Deməli, arcctg a kotangensi a-ya bərabər olan və (0, n) intervalına aid olan ədəddir; bu intervalda y \u003d сtg x funksiyasının qrafikinin əsas qolu qurulur.

Əncirdə. 93 də c1tg = -a tənliyinin həllinin qrafik təsvirini təqdim edir. y \u003d ctg x və y \u003d -a funksiyalarının qrafiklərində sonsuz sayda ümumi nöqtələr var, bütün bu nöqtələrin absisləri x \u003d x 2 + pc formasına malikdir, burada x 2 \u003d arcctg (-a) y \u003d -a xəttinin tangentoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisi. Deməli, arcctg(-a) kotangensi -a olan və (0, n) intervalına aid olan ədəddir; bu intervalda Y \u003d сtg x funksiyasının qrafikinin əsas qolu qurulur.

Tərif 2. arcctg a (qövs kotangenti a) kotangensi a olan (0, n) intervalından gələn ədəddir.
Belə ki,

İndi biz ctg x=a tənliyinin həlli haqqında ümumi nəticə çıxarmaq vəziyyətindəyik: ctg x = a tənliyinin həlləri var:

Diqqət edin (bax Şəkil 93): x 2 \u003d n-x 1. Bu o deməkdir ki

Misal 4 Hesablayın:

A) Qoyaq

сtg x=a tənliyi demək olar ki, həmişə formaya çevrilə bilər. İstisna, сtg x=0 tənliyidir. Ancaq bu vəziyyətdə istifadə edərək gedə bilərsiniz
cos x=0 tənliyi. Beləliklə, x=a formalı tənlik müstəqil maraq kəsb etmir.

A.G. Мордкович cəbr 10 sinif

Riyaziyyatda təqvim-tematik planlaşdırma, video riyaziyyatdan online, Məktəbdə riyaziyyat yükləyin