"Mütləq dəyər" riyaziyyatında seçmə kursu. Təhsil Portal Bölməsi III. Təhsil və tematik plan

Mütləq dəyər işarəsi olan tənliklər və onların sistemləri
(Metodik inkişaf)

Paraqraf 1. Əsas məlumatlar.

Maddə 1. Nömrənin mütləq dəyərinin müəyyən edilməsi. Ən sadə tənliklərin həlli.

Nömrənin mütləq dəyəri ilə tanışlıq (sayın modulu) həndəsi təfsiri ilə başlamaq daha yaxşıdır: həndəsə ilə, modul, əks nömrənin və ya koordinat təyyarəsindəki bir nömrəni təsvir edən nöqtədən məsafədir Koordinatları. Beləliklə, 5 nömrəli rəqəmli oxun üzərində sıfırın sağına, isə sıfırın solunda -5 nömrəsi, lakin koordinatlardan əvvəl bu nömrələri təsvir edən nöqtələrdən olan məsafələr isə 5-ə bərabərdir və 5-ə bərabərdir Mötərizədə göstərilən sayının mütləq dəyərindən:.
Modulun həndəsi tərifini qrafik olaraq izah edək:

Buna görə müəyyən bir dəyərin modulunun bir cəbrin müəyyənləşdirilməsi müəyyən edilir:

.
İndi mütləq dəyər işarəsi də daxil olmaqla tənliyin ən sadə (lakin materialını başa düşmək vacibdir) hesab edirik. Naməlum bir dəyişən olan bəzi cəbr ifadəsini başa düşürük.

A. Bir nömrəli bir nömrə olduğu növlərin qaçması. (bir)
Bizimdən əvvəl problemi aydınlaşdırırıq: əgər x-ni (1) tənliyin bir həllidirsə (1), sonra modulun həndəsi tərifinə görə, rəqəmli düz olan nöqtə, koordinatların mənşəyindən bir məsafədə yerləşir. Buna görə A0 varsa, iki istədiyiniz nöqtələrimiz var: F1 \u003d -a, F2 \u003d a.

Beləliklə, tənlik (1): A0 ilə tənliklərin həll yolları və.
Qısaca son ifadəsi belə yazılmışdır:

Oxudur: A\u003e 0 tənliyin müxtəlif həlləri, tənliklərin həlləri dəstlərinin birləşməsi var və.

Misal 1. Tənlikləri həll edin: a); b); içində); d).

Həlllər:
A) 
Cavab: X1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

B) \u003d\u003e həllər yoxdur, çünki İstənilən dəyərin modulu (mütləq dəyəri) mənfi ola bilməz.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

C) 
Cavab: X1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

D) 
Cavab: X1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Misal 2. Tənlikləri həll edin: a); b).

Həlllər:
a) bu vəziyyətdə (1) görə \u003d, i.E. f (x) ≥2. Buna görə tənliyin həlli yoxdur.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

Cavab: X1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

B. Formanın tənlikləri (2) və (3).
Hər hansı bir ifadə modulu qeyri-qeyri-olsa, buna görə də x tənliyin həllidirsə (2), bu tənliyin sağ tərəfi qeyri-tıxanma, i.E. . Ancaq sonra təriflə eyni tənliyin sol tərəfində sadəcə bərabərdir. Nəticə: məcburi bir vəziyyətlə, şəxsiyyətə gəldik, buna görə bərabərsizliyin həlləri eyni zamanda tənliyin həlli olacaqdır (2).
Eynilə, bərabərsizliyin bütün həllərinin tənliyin həlli olduğunu görə də əldə edirik.

Misal 3. Tənlikləri həll edin: a); b); içində).
Həlllər:
A) 
Cavab :.

B) 
Cavab :.

C. Formanın tənlikləri (4).
Əgər x tənliyin həllidirsə (4), sonra modulun həndəsi tərifinə görə, F və G nöqtələrindən ədədi düz xəttdəki məsafə koordinatların başlanğıcına bərabərdir, I.E. Və ya F və G nöqtələri üst-üstə düşür (bizdə :) və ya koordinatların başlanğıcına nisbətən bir-birimizə və ya simmetrik olaraq (bizdə :). buna görə

Xüsusi olaraq tənlik qeyd edilməlidir.
Bu tənliyin həlləri, ifadənin müəyyən edildiyi bütün X-dir.

Misal 4. Tənlikləri həll edin: a); b); içində); d).

Həlllər:

A) Bu tənlik, növlərin olduğu növlərin tənliyidir. Bu funksiya hər hansı bir etibarlı X ilə müəyyən edilir, buna görə x - hər hansı bir.
Cavab: X - hər hansı bir.

B) 
Cavab :.

C) 
.
Cavab :.

Qeyd: Çünki , hər iki tənliyin (4) hər iki hissəsi modullardan azad edərək bir kvadratda qurula bilər və ortaya çıxan tənliyin kökləri arasında bizim üçün "əlavə" olmayacaqdır.
Məsələn: Getdiyimiz yerdə.

D. Bərabərlərə baxın. (beş)
Bizdə var: Məbləğ ifadələrin tərifi ilə mənfi deyil. Nəticə etibarilə, komponentlərin hər biri sıfır olmalıdır. Çünki Sonra və yalnız və yalnız və yalnız tənlik (5) sistemə bərabər olduqda, (5).
Bu sistemi həll etmək aşağıdakı kimi rasionaldır: tənliklərdən daha sadə, həll yollarını tapın və qalan tənliyə qədər bütün əvəzetmə sisteminə uyğunluq üçün yoxlayın.

Misal 5. Tənlikləri həll edin: a);
b).

Həlllər:

Və)
Birinci tənlikdə növ alternativ olaraq x \u003d -1 və x \u003d 1 əvəz edirik, sistemin hər iki tənliyinin yalnız X \u003d -1-də edildiyini əldə edirik.
Cavab: X \u003d -1.

B) Bu tənlik ekvivalent (ekvivalent) sistemdir:

Cavab: X \u003d -2.
2-ci paraqraf. İnterval metodu. Ən sadə sistemlərin həlli.

Qoy tənliyi həll etmək lazımdır. Modulun cəbr tərifinə görə:

Beləliklə, X \u003d 2 nöqtəsi rəqəmli oxu iki aralıqla bölür, bunun hər birində X-2 ifadəsinin üstündəki modul mötərizələr fərqli yollarla açıqlanır:

Buna görə ilkin tənliyin həlli iki mümkün vəziyyətin ardıcıl baxılmasına qədər azalır:
a) Tutaq ki, x ilkin tənliyin həllidir və.
Sonra var: bu vəziyyətə uyğundur). Buna görə orijinal tənliyin bir həllidir.
b) Tutaq ki, x ilkin tənliyin həllidir və
Sonra var: bu vəziyyətə uyğun gəlmir). Buna görə, orijinal tənliyin bir həlli deyil.
Hesab olunan tənliyin yeganə kökü var:.

Xüsusilə tənlikdə bir neçə modul mötərizələr varsa, aralıq metodu faydalıdır. Yeganə çətinlik, hərəkətlərin dəqiq bir ardıcıllığını müəyyənləşdirməkdir, buna görə aşağıdakı planı izləmək tövsiyə olunur:

1) Naməlumların bütün dəyərlərini müəyyənləşdirin, modul əlamətləri altında ifadələrin sıfıra çevrildiyini və ya qeyri-müəyyən oldu və rəqəmsal oxda əldə edilən məqamları qeyd etdi.
2) Müəyyən edilmiş ədədi fasilələrin hər birində ilkin tənliyi həll edin.
3) Tapılan həlləri ümumi cavabda birləşdirin.

Düzəldilmək üçün ilk mərhələnin sonunda faydalıdır, dəqiq oxundakı naməlum oxun mövqeyindən asılı olaraq hər modul mötərizədə aşkar edilmişdir.

Məşq: İfadədə modul mötərizələr açıqlayın.
Əvvəlcə daxili mötərizələri nəzərdən keçiririk: ilə, bu rəqəmli ox nöqtəsində qeyd edirik.
Sonra xarici mötərizələri nəzərdən keçiririk: tənliyi həll edin (həll interval metodundan yuxarıda aparılır:

Birinci tənliyin kökləri yoxdur və ikincinin sükanları 1 və -1 nömrələridir, lakin x \u003d 1 vəziyyəti qane etmir).
Sonrakı, özbaşına X, daha çox -1, məsələn, x \u003d 0, bu x\u003e -1-də əminik; Bir arborary X, daha az -1, məsələn, x \u003d -2, x-nə olduğundan əmin olun

Nəticədə, rəqəmli Axis xal X \u003d -1 və x \u003d 0 qeyd etdi. Yaranan boşluqların hər birində ilkin ifadədəki modullar "zəncir" (*) tərəfindən aşkar edilmişdir:

Nə vaxt;
nə vaxt;
at.

Misal 6.Kroquery tənlikləri: a); b); içində); d).
Həlllər:

A) Mən mərhələ.
. Buna görə:
.

Mərhələ II.
1) Sonra ilkin tənlik formanı alacaq :.

2). Sonra, buna görə ilkin tənlik formanı alacaq: baxılan seqmentə uyğun olmayan, bu boşluqda kök tənliyi yoxdur.
3) Buna görə ilkin tənlik formanı aparacaqdır: bu səbəbdən yarı intervalına uyğun olan ilkin tənlik.
III mərhələ.
Birinci və ikinci ədədi fasilələrdə həll yollarının tənliyinin həlli yoxdur. Üçüncüsü bir qərar aldı.
Cavab :.

B) Mən mərhələ.
Buna görə:

Aşağıdakı ədədi boşluqlarımız var:

Mərhələ II.
1) Onda buna görə ilkin tənlik formanı aparacaq:
Doğru ədədi bərabərliyi tələb edir, buna görə intervaldan olan hər hansı biri orijinal tənliyin həllidir!
2). Birinci mərhələnin nəticələrinə uyğun olaraq modulları açmağımız var: baxılan seqmentə uyğundur, buna görə orijinal tənliyin bir həlli var.
3) Modulları aşkar edin:
Yanlış ədədi bərabərlik, buna görə də bu yarı intervalda, ilkin kök tənliyində yoxdur.

III mərhələ.
İlk intervalda:
İkinci boşluqda:
Üçüncü intervalda: həllər yoxdur.
Nəticə:
Cavab:

C) Mən mərhələ.
Əvvəlcə "daxili" modulu, sonra "xarici" hesab edirik:
1) X \u003d 0-da X \u003d 0 \u003d\u003e
2)
Bu tənlik ayrıca həll edilməlidir. Eyni zamanda, nəzərdən keçirilməli olan ədədi boşluqların artıq tanınması (bax (*)):
Həll olmadıqda
bizdə olanda
Ancaq X1 vəziyyətə uyğun deyil.
Belə ki, .
Eyni ifadə müsbətdir (məsələn, x \u003d 10 :) və mənfi (məsələn, x \u003d 1 :). Buna görə:

Aşağıdakı ədədi boşluqlarımız var:

Mərhələ II.
Hər bir intervalda əvvəlcə xarici modul mötərizələri, sonra daxili olaraq ortaya qoyuruq.
1) .
: Baxılan intervaya nə uyğun gəlir, buna görə orijinal tənliyin bir həlli var.
2) .
: .
Köklər tərəfindən tapılan göstərilən seqmentlərin yazışmalarını yoxlayın: - Aydındır ki, nisbətin yerinə yetirildiyini yoxlayın

Aydındır ki, I.E. Kənar bir kökdür.
3) .
:. Yaranan təyinatı göstərilən yarım intervala yoxlayırıq: orijinal tənliyin köküdür.

III mərhələ.
;
;
.
Cavab :.

D) Bu tənliyin bir xüsusiyyəti, denomoter məxrəcində naməlum bir dəyərin olmasıdır, buna görə tənliyin (Oou) müəyyənləşdirməyin sahəsini tapmaq üçün hər bir ədədi boşluqda lazımdır.

İki yarı fasiləniz var:

Mərhələ II.
1) Modulu aşkar etmək və asanlaşdırmaq, tənliyi əldə edirik.
OO :. OO-dan, açıq-aydın, sadiq bərabərlik alırıq, buna görə də Mənbə tənliyinin qərarları hamısıdır.
2) Modulu aşkar etmək və asanlaşdırmaq, OO tənliyini əldə edirik:. Sonra nəzərə alınan yarı intervalına uyğun olan, buna görə orijinal tənliyin bir həlli var.

Cavab :.

B. Mütləq bir dəyər olan sadə tənliklərin sadə sistemlərinin həlli çətinliklərə səbəb olmamalıdır: bir qayda olaraq, məlum tələbələri əvəzetmə üsulu üçün istifadə etmək kifayətdir.

Misal 7. Tənliklərin sistemini həll edin:
a B C D)

Həlllər:
a) Sistemin ilk tənliyindən əldə edirik:
Sonra, əvəzlənmədən sonra (*), ikinci tənlik formanı alacaq:
.
(*) Görə: nə vaxt.
Cavab:

B) Sistemin ilk tənliyindən əldə edirik:
.
Sistemin ikinci tənliyindən alırıq
Buna görə, x \u003d 2.
Sistemin ikinci tənliyindən y \u003d -5 əldə edirik.
Cavab :.

C) Sistemin ikinci tənliyindən əldə edirik:
.
İlk tənliyindən alırıq.
İlk tənliyindən alırıq; Buna görə.
Cavab :.

D) Bu vəziyyətdə əlavə metoddan istifadə etmək və yaranan tənliyi, interval metodunu həll etmək daha asandır.
.

1) Həll yollarını alırıq;
2) alırıq.
Nəticə: İndi birinci tənliydən alırıq.
Cavab :.

Maddə 3. Solutions rasional üsulları: ən sadə həndəsi və cəbri mülahizələr, dəyişənin dəyişdirilməsi, interval metodunun ümumiləşdirilməsi.

A. Bəzi sadə tənliklər aydın bir həndəsi təfsir etməyə imkan verir, həll çox sadələşdirilir - "yararsız" ədədi fasilələr dərhal baxılmalıdır.
Əvvəlcə göstəririk ki, bu, nömrələri təsvir edən ədədi ox nöqtələri arasında həndəsi olaraq bir məsafə var. Bunu etmək üçün, nöqtədə koordinatların qeyd olunduğu və hərəkət etdiyi rəqəmsal oxda. Xalların koordinatları dəyişəcək:

Xallarla bu arasındakı məsafə, yeni istinad sisteminə görə nöqtələr arasındakı məsafə və i.E.

Misal 8. Tənlikləri həll edin: a) b) c) d) d).

Həlllər:
a) X x-dən 1-ə qədər olan və x-dən 3-ə qədər olan nöqtələrin cəminin 3 ədədə bərabər olduğunu göstərmək tələb olunur. 1 ilə 3 arasındakı məsafə 2 ədəddir. Buna görə də (əks halda). Belə çıxır ki, x həm də sol 1, ya da 3-ü sağa, onlardan bir qədər məsafədə və hər halda. Buna görə haradan.

İndi asanlıqla iki dəyər var.
Cavab :.
b) 2x-dən 2-ə qədər olan 2xdən çox olan rəqəmsal oxun rəqəmsal oxu olduğunu göstərmək tələb olunur, bu da 2x-dən 7-ə qədər məsafədən çox məsafədədir.
Söz mövzusu fərq həmişə -9-a bərabərdirsə;
Söz mövzusu fərq həmişə 9-a bərabərdirsə;
Söz mövzusu fərq 9-dan az və ya bərabərdirsə.
Məsələn:

Sonra.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

C) şəklində tənliyi yenidən yazın. Buna görə istədiyiniz x üç dəfə 3-ə yaxındır: 2-dən çox:

\u003d\u003e Heç bir həll yolları, x həmişə K 3-dən daha yaxın olduğundan;
"Gözdə",;
\u003d\u003e "Gözlərdə",.
Cavab :.

D) Bu nümunə göstərir ki, rəqəmsal oxun aralıqlara qədər "ciddi" parçalanması çox faydalıdır (növlərin üst-üstə düşmədən "):

Həllər yoxdur;
(nəzərə alınan yarı intervalına uyğundur);
Həll yoxdur.
Cavab :.

E) Interval metodundan istifadə etməyə başlayaq:

İndi bu seqmentin nə vaxt və xaricində qeyd edirəm. Buna görə tənliyin yalnız bu seqmentdə nəzərə alınması mənası var və biz əldə edirik:. Aydındır ki, X \u003d 2.
Cavab :.

B. Tənliyin sağ və sol hissələrinin dəyərlərinin dəyərlərinin dəyərlərini öyrənmək, bilinməyənlərin açıq-aşkar uyğun olmayan dəyərləri istisna olmaqla, həll qərarını asanlaşdırmaq mümkündür.

Misal 9. Tənlikləri həll edin: a) b) c) d).

Həlllər:

A) tənliyin sol hissəsi hər hansı bir x-də, sağ hissədə isə mənfi bir sıra.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

B) tənliyin sol hissəsi hər hansı bir x-də qeyri-təbiidir, buna görə də X bir həlldirsə, sağ tərəfi də mənfi deyil. Beləliklə, yalnız ərazidən x-nin mənasını nəzərə almaq kifayətdir. Ancaq sonra səhv bərabərlik aldılar.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.
c) İfadə hər hansı bir x üçün müsbətdir, buna görə xarici modul mötərizələr çıxarıla bilər. Bundan əlavə, x bir həlldirsə, sağ tərəfi də müsbətdir, buna görə də ərazidən x-ni nəzərdən keçirmək kifayətdir. Sonra alırıq (əraziyə uyğundur).
Cavab :.

D) İki mənfi olmayan hissənin cəmi 1-ə bərabərdir, əgər komponentlərin hər biri bölməni aşmırsa, əgər göstərilən bölməni işə saldıqda, bizə yaraşmazın. Buna görə, x bir həlldirsə, onda. Və bu yarı intervalda alırıq
Bu, - kənar bir kök olan aydındır.
Cavab :.

C. Formanın tənliklərini nəzərdən keçirin (1)
Bu tənliyi fasilələrlə həll etmək, boşluqlar üçün tənliyin olduğu boşluqlar üçün tənlik əldə edirik. Hər bir boşluğu ayrıca nəzərdən keçirmək heç bir mənası olmadığı, onları iki göstərilən qrupa bölmək kifayətdir: hər biri üçün müvafiq tənliyi həll etmək və alınan kökləri təyin edilmiş vəziyyətə uyğun olaraq yoxlamaq lazımdır. Beləliklə

Başqa bir seçim mümkündür: tənliyin həlləri arasında tənliyin əsl kökləri (1) baş verənlər üçün oxşar arqumentlər aparanlar olacaqdır

Seçmək üçün seçimlərdən hansının, məsələn, tənliklərin həlləri yoxlamaq üçün dəyişdirilməsini asanlaşdırırsa, ilk üsulu tətbiq etmək məqbuldur.

Misal 10. Tənlikləri həll edin: a)
b) c).

Həlllər:

A) güman edir
Sonra var
Güman
Sonra həll yollarımız yoxdur.
İndi əldə edilmiş kökləri yoxlayın. Orijinal tənliyini yenidən yazdım:
. Hər iki kök doğrudur.
Cavab:

B) güman edir
Sonra həll yollarımız yoxdur.
Güman
Sonra var
Bu köklərin həqiqətini müəyyən etmək üçün vəziyyətin yerinə yetirilməsini yoxlayacağıq: açıq-aydın, kənar şəxsin kökü. Yoxlamaq üçün, bunun doğru olub olmadığını öyrənin. Bunda, baxılan bərabərsizlik yerinə yetirilmir.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

C) Tənlik yenidən yazın: Aşağıdakı qrafik təsviri istifadə edirik: (Qrafiklər burada və) təqdim olunur.

İndi ortaya çıxan rəqəmli boşluqların üç qrupa birləşdirilməli olduğu aydındır:
bir). (Vəziyyət setinə uyğun) əldə edirik.
2) alın
Həll yoxdur.
3) alın
Həll yoxdur.
Cavab :.

D. Yeni bir məktub dəyişəninin bəzi ifadələrinin dəyişdirilməsi üsulu yaxşı məlumdur. Yalnız modulu olan tənlikləri həll edərkən, tez-tez yeni dəyişəndəki dəyişikliklərin aralığını məhdudlaşdırmaq mümkündür.
Misal 11. Tənliklər və ya tənliklər sistemini həll edin: a);
b);
ilə)

Həlllər:
a) Yeni bir dəyişənin dəyişdirilməsi, sistemə, tənliyin köklərinin əldə edilməsi deməkdir.
Cavab :.

B) Yeni dəyişənliyin ifadəsini əvəz etmək Təcrübəni əldə edirik. Alırıq:
. Bu tənlikləri həll etmək qalır.
Cavab :.

C) şəklində tənliyi yenidən yazın:
Aydındır ki, iki seçim mümkündür:
1)
2) yeni bir dəyişən dəyişdirin. Qeyd edək ki, dəyişdirmə mənası və bu tənliyin ostuna görə, I.E. (*) Və tənlik formanı alacaq. Aldığımız kimi
(*) Nəzərə alsaq, nəhayət alırıq
Buna görə əvəz olunur, alırıq
Dəyişdirmə hissidən bəri alırıq

Nəzarət tapşırıqları §1.
1) Nömrənin modulunun tərifindən istifadə edərək qərar verin:
a) b) c) d) e) g) h) və) etmək).

2) "Standard" tənliklərinə qərar verin:
a) b) c) d) d) e) g) h) və).

3) Interval metoduna qərar verin:
a) b); c) h) h) h

4) Rasional şəkildə qərar verin:
a) b) d) d)\u003e g) h) və) k) l) m) n) n)

5) Tənliklər sisteminə qərar verin:
a) b) d) d) e) h) h) l) n) n) p) p) p)

Qrafiklərin qurulması üçün tapşırıqlar "Modul" funksiyası və parametrlər ilə tapşırıqlar ənənəvi olaraq riyaziyyatçıların ən çətin mövzularından biridir, buna görə də həmişə artan və yüksək səviyyəli Gia və Ege-nin vəzifələrinə daxildir.

"Modul" anlayışı, 6-cı sinifdən və səviyyədə, yalnız təriflər və hesablamalar, məsələn, öyrənilməsində bir çox hissədə istifadə olunmasına baxmayaraq, yalnız 6-cı sinifdə və hesablamalarda öyrənilmişdir Təxminən nömrənin mütləq və nisbi səhvləri; Həndəsə və fizikada vektor və onun uzunluğu anlayışı (vektor modulu) öyrəniləcəkdir. Modulun anlayışları ali təhsil müəssisələrində ali riyaziyyat, fizika və texniki elmlər kurslarında tətbiq olunur.

Məzunların qarşısında bir problem var - 9-cu sinifdə və gələcəkdə və imtahanda GIA-nı uğurla keçmək.

Bu il, riyaziyyat dərslərində bir xətti funksiya anlayışı ilə görüşdük və onun cədvəlini necə qurmağı öyrəndik. Bu cədvəlin "modul" funksiyasının inşası üçün əsas kimi alındığı göstərildi. Bundan əlavə, müəllim, tənliklərin bir və bir neçə modulla olduğunu söylədi. Bu mövzunu daha dərin öyrənməyə qərar verdim, xüsusən də imtahandan keçərkən mənim üçün faydalı olacaqdır.

Mövzu "Mütləq bir dəyər olan tənliklərin həllinin qrafik metodu"

İşin məqsədi : modul və parametr olan tənlikləri həll etmək üçün modullarla qrafiklərin rasional inşası ehtimalı

Bir modul ilə tənliklər metodlarını həll etməklə nəzəriyyəni araşdırın.

Mütləq dəyər işarəsi olan 1-ci dərəcəli tənlikləri həll etməyi öyrənin.

Tənlikləri həll etmək üçün qrafik metodları təsnif edin.

"Modul" qrafikləri yaratmaq üçün müxtəlif metodların üstünlük və çatışmazlıqlarını təhlil edin.

Parametr nədir

Parametrlə tənlikləri həll etmək üçün rasional metodları tətbiq edin

Obyekt - tənliklərin modulu ilə həll edilməsi üsulları

Tənliklərin həllinin qrafik metodu mövzusu

Tədqiqat metodları: nəzəri və praktik:

nəzəri tədqiqat mövzusunda ədəbiyyatın öyrənilməsidir; İnternet haqqında məlumat;

Ədəbiyyatın öyrənilməsində əldə edilən məlumatların praktik təhlili, modul ilə tənliklərin həllində əldə edilən nəticələr müxtəlif yollarla;

tənlikləri həll etmək yollarının müqayisəsi, müxtəlif tənlikləri bir modul ilə həll etmək üçün istifadə qaydalarının mövzusu.

Fəsil I.

Anlayışlar və təriflər

1.1. Modul, məsələn, riyaziyyat məktəbi kursunun bir çox hissəsində, məsələn, təxmini və nisbi səhvlərin öyrənilməsində geniş istifadə olunur; Həndəsə və fizikada vektorun anlayışları və onun uzunluğu (vektor modulu) öyrənilir. Modulun anlayışları ali təhsil müəssisələrində ali riyaziyyat, fizika və texniki elmlər kurslarında tətbiq olunur.

"Modul" sözü "Modulus" sözündən "Modulus" sözündən baş verdi. Bu söz çox dəyərə malikdir və yalnız riyaziyyat, fizika və texnologiyada deyil, həm də memarlıq, proqramlaşdırma və digər dəqiq elmlər tətbiq olunur. Bu, Cotton, Nyutonun tələbəsi istifadə təklif etdiyi müddətdir. Modul əlaməti XIX əsrdə Weierstrass təqdim edildi.

Memarlıqda, bu memarlıq quruluşu üçün quraşdırılmış modul-mənbəli bir sıra. Bu, müxtəlif əmsallar və dəyərlər, məsələn, elastik modul, nişan modulu təyin etmək üçün xidmət edən müxtəlif sahələrdə tətbiq olunan bir terminlidir. In Riyaziyyat, modulun bir neçə dəyərinə malikdir, amma bunu nömrənin mütləq bir dəyəri hesab edəcəm.

Tərif : Etibarlı bir nömrənin modulu (mütləq dəyəri) vəÖzünü bu nömrə adlandırdı və≥0 və ya əks nömrə - və, əgər a və<0; sıfır modul sıfırdır.

Modul, sıfırdan nöqtəyə qədər koordinatdakı məsafədir.

1.2. Modul ilə tənlik, mütləq dəyər işarəsi (modul işarəsi altında) bir dəyişən olan bir tənlikdir. Tənliyi həll etmək odur ki, bütün köklərini tapmaq və ya köklərin olmadığını sübut etməkdir. Bir modul ilə tənlikləri həll etmək üsulları:

1. Modulu müəyyənləşdirməklə - "modulun çıxarılması". Həll tərifinə əsaslanır.

2. Modulun tənliyinə və xüsusiyyətlərinə daxil olan ifadələrin transformasiyalarından istifadə edərək tənliklərin analitik metodu həlli.

3. İntervalların görüşləri: "Zeros" modulları tərəfindən yaranan fasilələrlə və yarı fasilələrlə modulun açıqlanması.

4. Qrafik metod. Bu üsulun mahiyyəti, tənliyin sol və sağını təmsil edən bu funksiyaların qrafiklərini qurmaqdır. Qrafiklər kəsişirsə, qrafiklərin sayma nöqtələrinin artması bu tənliyin kökləri olacaqdır.

1.3. Bir modul ilə qrafiklərin xüsusiyyətləri yaratmaq üsulları

1.3.1. Tərifinə görə. İki düz xətt qurulmuşdur \u003d kx + in, x\u003e 0, y \u003d -kx + in, burada x<0

1.3.2 Simmetriya metodu. Qrafik Y \u003d KX + in, X\u003e 0-də X-də X-də qurulmuşdur<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3. Forma funksiyaları:

a) Y \u003d | x | + N qrafiki vahidlərdə tənzimləmə oxunu dəyişir

b) y \u003d | x | -n qrafiki tənzimləmə oxunu dəyişir

c) y \u003d | x + n | Qrafik Absissin oxu boyunca sola dəyişir

d) y \u003d | x -n | Cədvəl, Absissin oxu boyunca sağa doğru dəyişir

1.3.4. İnterval metodu. Koordinat düz xətti fasilələrlə və modulların sıfırları olan yarım fasilələrlə parçalanır. Sonrakı, modulun tərifindən istifadə edərək, tapılan ərazilərin hər biri üçün bu intervalda həll edilməli və bir funksiya əldə etməli olan tənliyi əldə edirik.

1.3.5. Zerul bölgələrini genişləndirmək üsulu. Bir neçə modulun modulları açıqlamamaq, lakin aşağıdakı ifadədən istifadə etmək üçün daha rahat olduqda, modulların cəbr miqdarı n. Xətti ifadələr bir qrafikdən ibarət olan bir paritet xətti funksiyasıdır N. +1 rektilinear seqmentlər.

Sonra cədvəl tərəfindən qurula bilər n.+2 xal n. Modelli ifadələrin kökləri, digəri - bir abscissa ilə özbaşına bir nöqtə olan bu köklərin və sonuncunun daha az kiçik, kökdən daha böyük olan bir abscissa ilə bir ixtiyari bir nöqtədir.

1.4. Bir tənliyimiz var ax + B \u003d C.Bu tənlikdə h. - Naməlum, a, b, c - Müxtəlif rəqəmli dəyərləri ala biləcək əmsallar. Bu şəkildə verilən əmsallar parametrlər adlanır. Parametrlərlə bir tənlik tənliklərin çoxluğunu (bütün mümkün parametr dəyərləri üçün) qoyur.

bunlar, tənliyi parametrlərlə tənzimləyən tənliklərdir ax + B \u003d C.

Parametrlərlə tənliyi həll edin - bu deməkdir:

Parametrlərin hansı dəyərlərini müəyyənləşdirmək üçün tənliyin bir kökü və onların parametrlərin müxtəlif dəyərlərində onlardan çoxu var.

Köklər üçün bütün ifadələri tapın və hər biri üçün bu ifadəin tənliyin kökünü müəyyənləşdirdiyi parametrlərin dəyərlərini göstərin.

1.5.Tapıntılar:

Beləliklə, onların rasional istifadəsi ehtimalına araşdırılmalı olan bir modul ilə qrafiklərin qurulması üçün fərqli metodlar var.

II fəsil.

Modul və tətbiqi olan funksiyaların qrafiklərinin qurulması üçün metodların təhlili

« Qrafik danışan xəttdir,

bu çox şey haqqında danışa bilər "

M.B. balkk

2.1. Bir modul ilə tənliklərin növlərini öyrənərək, onların növünə və həll üsullarına bölünə biləcəyini gördük.

Masa. Tənliklərin növlərinin təsnifatı və onların həll üsulları.

Tənlik növü

Qərar metodu

1. Bir modul ilə qaçmaq

| X. n | \u003d a

| X | n \u003d A.

1. Modulun tərifində

2. Qrafik

3. analitik

2. 2 modul olan Eurable

| X. n | | X. m | \u003d a

1. Modulun tərifində

2. Qrafik

3. Metod fasilələri

4. analitik

3. Tutulmuş modullar

||| X. n | m || \u003d.və

1. Modulun tərifində

2. Qrafik

Nəticə: Beləliklə, tənliklərin təsnifatı bizə hər cür tənliklərin həlli üçün ümumi metodlar verir - bu modul və qrafik metodun tərifidir.

2.2.Qrafiklərin inşasının təhlili.

2.2.1. Type 1. Y \u003d x |

2.2.1.1.Tərifinə görə.

1. Düz düz y \u003d x

2. X-də birbaşa orta hissəsi 0

3. Faiz Düz Y \u003d -x

4. Düz xəttin bir hissəsi x-də<0

2.2.1.2. Simmetriya metodu

1. Düz düz y \u003d x

2. Xcissi-nin oxuna nisbətən simmetriyanı X-də artırın<0

2.2.1.3. Bina y \u003d | x -2 |

1. Həqiqi düz y \u003d x-2

2. X-2-də düz xəttin orta hissəsi 0

3. Alət Direct Y \u003d -x + 2

4. X-2-də düz xəttin bir hissəsi<0

Nəticə: simmetriya rasional metodu

2.2.2. 2 yaz.

Tapşırıq: Bir qrafik qurmaq Y \u003d

2.2.2.1.Aralıq metodu

1. üstünə
Y \u003d -x + 3 + 1-x-4 alırıq; y \u003d -2x

2. haqqında
almaq \u003d -x + 3-1 + x-4; y \u003d -2.

3. yanında
Y \u003d x-3-1 + x-4 alırıq; Y \u003d 2x-8

4. TRACK Hamısı düzdür.

5. YAXŞI hissələr aralıqlarla birbaşa

2.2.2.2.Zerul bölgələrinin genişləndirilməsi üsulu

1. Üçün: 3 və 1; Genişləndirilmiş Sahə: 2.4.0

2. Dəyərləri çıxarın: 3,1,2,4,0 bu: -2, -2, -2, 0, 0

3. Sənayedə koordinatları və bağlantı ilə işarə edir

Nəticə: Zerul bölgəsinin genişləndirilməsi üsulu rasionaldır

2.2.3. Tip 3. İçli modullar - "Matryoshka"

Və bizə Y \u003d || x | -1 |

2.2.3.1. Modulun tərifi ilə

Əsas modulun tərifi ilə:

1) X\u003e 0 Y \u003d | x | -1

2) H.<0 у=-|х|+1

2. Aşağıdakı modulu "çıxarın":

Modul: y \u003d x-1, x\u003e 0 və y \u003d -x + 1 x<0

y \u003d -x + 1 x\u003e 0 y \u003d x-1 x<0

3. Qrafiklər qurun

2.2.3.2. Simmetriya metodu

1. Y \u003d | x | -1
y \u003d x-1, simmetriya

2. X-1 olduğu qrafikin bir hissəsinin olmaması üçün nisbi olan simmetriya<0

Nəticə: Simmetriya üsulu rasionaldır.

2.2.4. Cədvəldəki nəticələrin təhlilini azaldacağıq:

Bilik və bacarıqlar

dezavantajlar

Tərifinə görə

Modulun tərifi

Bilin: Birbaşa xalların koordinatları necə müəyyənləşdirilir

Birbaşa bərabərsizliyin bir hissəsini ayıra bilmək

Honky həllər

Çox miqdarda bilik tətbiqi

Modulu "çıxararkən" olduqda səhvlərə icazə verə bilərsiniz

Simmetriya metodu

Bilin və funksiya dönüşüm tətbiq edə bilərsiniz

Yoxluq oxuna nisbətən simmetriya qurun

Qrafik dönüşüm alqoritmləri haqqında bilik

Aralıq metodu

Zeros modulu tapın

Fasilələri və yarı fasilələri müəyyənləşdirin

Modulları açıqlayın

Modulları hesablayın

Oxşar komponentləri aparın

Koordinatları ilə xal qurmağı bacarın

Düzləşdirmək

Honky həllər

Sıfırları çıxararkən bir çox hesablama və dəyişikliklər

Çox vaxt alır

Fasilələr və yarı fasilələrin müəyyənləşdirilməsinin düzgünlüyü

Zerule bölgəsini genişləndirmək üsulu

Zeros modulu tapın

Sıfırı genişləndirə bilmək

Bu nöqtələrdə modulları hesablaya bilmək

Koordinatları ilə xal qurmağı bacarın

Hesablamalarda ölçmə tolerans

Funksiya transformasiya metodu

Dönüşüm alqoritmini bilin

Koordinatları ilə xal qurmağı bacarın

Nöqtələrin koordinatlarını hesablaya bilmək

Dönüşüm alqoritmini tətbiq edə bilmək

Qrafik dönüşüm alqoritmləri haqqında bilik

Nəticə: Masanın təhlili, sıfır bölgənin simmetriya metodu və genişləndirilməsi ən rasional olduğuna görə nəticəyə gəlinik Bu qurmaq üçün ən az hərəkət ehtiva edir, bu da vaxta qənaət deməkdir.

2.3. Bir modul və parametr olan tənlikləri həll etmək üçün qrafiklər üçün rasional metodları əvəz etmək

2.3.1. Tənliyi həll etmək:

Y \u003d qururuq
və y \u003d 0,5s

2. -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Seqment və şüaları təmin edin

2.3.2. Ege 2009 Bütün dəyərləri A, hər biri tənliyi ilə tapın
, Tam 1 kökü var. Və \u003d 7. Görülən işlər zamanı, qrafiklərin qurulması üçün müxtəlif üsulları araşdırıb təhlil edə bildik. Təhlil nəticəsində və qrafiklərin qurulması üsullarının müqayisəsi nəticəsində aşağıdakı nəticələr əldə edildi:

Cəbr vəzifəsinin dildə tərcüməsi g.rafikov böyük həllərin qarşısını almaq;

Modul və parametr olan tənlikləri həll edərkən qrafik metod daha çox vizual və nisbətən daha sadədir;

2 modul və "matryoshka" ehtiva edən qrafiklər tikərkən; praktik simmetriya;

Baxmayaraq ki, tənliklərin həllinin qrafik üsulu təxminidir, çünki Dəqiqlik, seçilmiş vahid seqmentdən, qələmin qalınlığına, sətirlərin altındakı bucaqlardan və s.

İmtahan və Modulu ilə GIA tənlikləri üçün ən populyar vəzifələrdən biri olduğunu nəzərə alsaq, əsas nəticənin modul və parametrlə tənlikləri həll edə biləcəyim budur.

İstinadların siyahısı

1. Dankova I. "Riyaziyyatda prefektiv təlim", Moskva, 2006.

2. Riyaziyyat üzrə dərsdənkənar iş. Alhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lisey, 2003.

3. Riyaziyyat. Muraury L.Ya, Moskva körpüsü, 1994-cü ildə düzəliş edildi.

4. Riyaziyyat. 8-9 siniflər: Seçki kurslarının toplanması. Sitation-2. Avtomatik tərtibçi: M.E. Kozina, Volqoqrad: Müəllim, 2007

5. Yarstresicky G.A. Parametrləri olan tapşırıqlar. M, 2006

Mütləq dəyər işarəsi olan tənliklər və onların sistemləri
(Metodik inkişaf)

Paraqraf 1. Əsas məlumatlar.

Maddə 1. Nömrənin mütləq dəyərinin müəyyən edilməsi. Ən sadə tənliklərin həlli.

Buna görə müəyyən bir dəyərin modulunun bir cəbrin müəyyənləşdirilməsi müəyyən edilir:

Beləliklə, tənlik (1): A0 ilə tənliklərin həll yolları və.
Qısaca son ifadəsi belə yazılmışdır:

Oxudur: A\u003e 0 tənliyin müxtəlif həlləri, tənliklərin həlləri dəstlərinin birləşməsi var və.

Misal 1. Tənlikləri həll edin: a); b); içində); d).

Həlllər:
A) 
Cavab: X1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

B) \u003d\u003e həllər yoxdur, çünki İstənilən dəyərin modulu (mütləq dəyəri) mənfi ola bilməz.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

C) 
Cavab: X1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

D) 
Cavab: X1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Misal 2. Tənlikləri həll edin: a); b).

Həlllər:
a) bu vəziyyətdə (1) görə \u003d, i.E. f (x) ≥2. Buna görə tənliyin həlli yoxdur.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

Cavab: X1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

Misal 3. Tənlikləri həll edin: a); b); içində).
Həlllər:
A) 
Cavab :.

B) 
Cavab :.

Xüsusi olaraq tənlik qeyd edilməlidir.
Bu tənliyin həlləri, ifadənin müəyyən edildiyi bütün X-dir.

Misal 4. Tənlikləri həll edin: a); b); içində); d).

Həlllər:

A) Bu tənlik, növlərin olduğu növlərin tənliyidir. Bu funksiya hər hansı bir etibarlı X ilə müəyyən edilir, buna görə x - hər hansı bir.
Cavab: X - hər hansı bir.

B) 
Cavab :.

C) 
.
Cavab :.

Misal 5. Tənlikləri həll edin: a);
b).

Həlllər:

Və)
Birinci tənlikdə növ alternativ olaraq x \u003d -1 və x \u003d 1 əvəz edirik, sistemin hər iki tənliyinin yalnız X \u003d -1-də edildiyini əldə edirik.
Cavab: X \u003d -1.

B) Bu tənlik ekvivalent (ekvivalent) sistemdir:

Cavab: X \u003d -2.
2-ci paraqraf. İnterval metodu. Ən sadə sistemlərin həlli.

Qoy tənliyi həll etmək lazımdır. Modulun cəbr tərifinə görə:

Beləliklə, X \u003d 2 nöqtəsi rəqəmli oxu iki aralıqla bölür, bunun hər birində X-2 ifadəsinin üstündəki modul mötərizələr fərqli yollarla açıqlanır:

Düzəldilmək üçün ilk mərhələnin sonunda faydalıdır, dəqiq oxundakı naməlum oxun mövqeyindən asılı olaraq hər modul mötərizədə aşkar edilmişdir.

Nəticədə, rəqəmli Axis xal X \u003d -1 və x \u003d 0 qeyd etdi. Yaranan boşluqların hər birində ilkin ifadədəki modullar "zəncir" (*) tərəfindən aşkar edilmişdir:

Nə vaxt;
nə vaxt;
at.

Misal 6.Kroquery tənlikləri: a); b); içində); d).
Həlllər:

A) Mən mərhələ.
. Buna görə:
.

B) Mən mərhələ.
Buna görə:

Aşağıdakı ədədi boşluqlarımız var:

III mərhələ.
İlk intervalda:
İkinci boşluqda:
Üçüncü intervalda: həllər yoxdur.
Nəticə:
Cavab:

Aşağıdakı ədədi boşluqlarımız var:

Aydındır ki, I.E. Kənar bir kökdür.
3) .
:. Yaranan təyinatı göstərilən yarım intervala yoxlayırıq: orijinal tənliyin köküdür.

III mərhələ.
;
;
.
Cavab :.

İki yarı fasiləniz var:

Cavab :.

Misal 7. Tənliklərin sistemini həll edin:
a B C D)

Həlllər:
a) Sistemin ilk tənliyindən əldə edirik:
Sonra, əvəzlənmədən sonra (*), ikinci tənlik formanı alacaq:
.
(*) Görə: nə vaxt.
Cavab:

B) Sistemin ilk tənliyindən əldə edirik:
.
Sistemin ikinci tənliyindən alırıq
Buna görə, x \u003d 2.
Sistemin ikinci tənliyindən y \u003d -5 əldə edirik.
Cavab :.

C) Sistemin ikinci tənliyindən əldə edirik:
.
İlk tənliyindən alırıq.
İlk tənliyindən alırıq; Buna görə.
Cavab :.

D) Bu vəziyyətdə əlavə metoddan istifadə etmək və yaranan tənliyi, interval metodunu həll etmək daha asandır.
.

1) Həll yollarını alırıq;
2) alırıq.
Nəticə: İndi birinci tənliydən alırıq.
Cavab :.

Maddə 3. Solutions rasional üsulları: ən sadə həndəsi və cəbri mülahizələr, dəyişənin dəyişdirilməsi, interval metodunun ümumiləşdirilməsi.

Xallarla bu arasındakı məsafə, yeni istinad sisteminə görə nöqtələr arasındakı məsafə və i.E.

Misal 8. Tənlikləri həll edin: a) b) c) d) d).

Sonra.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

C) şəklində tənliyi yenidən yazın. Buna görə istədiyiniz x üç dəfə 3-ə yaxındır: 2-dən çox:

\u003d\u003e Heç bir həll yolları, x həmişə K 3-dən daha yaxın olduğundan;
"Gözdə",;
\u003d\u003e "Gözlərdə",.
Cavab :.

D) Bu nümunə göstərir ki, rəqəmsal oxun aralıqlara qədər "ciddi" parçalanması çox faydalıdır (növlərin üst-üstə düşmədən "):

Həllər yoxdur;
(nəzərə alınan yarı intervalına uyğundur);
Həll yoxdur.
Cavab :.

E) Interval metodundan istifadə etməyə başlayaq:

İndi bu seqmentin nə vaxt və xaricində qeyd edirəm. Buna görə tənliyin yalnız bu seqmentdə nəzərə alınması mənası var və biz əldə edirik:. Aydındır ki, X \u003d 2.
Cavab :.

Misal 9. Tənlikləri həll edin: a) b) c) d).

Həlllər:

A) tənliyin sol hissəsi hər hansı bir x-də, sağ hissədə isə mənfi bir sıra.
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

Başqa bir seçim mümkündür: tənliyin həlləri arasında tənliyin əsl kökləri (1) baş verənlər üçün oxşar arqumentlər aparanlar olacaqdır

Seçmək üçün seçimlərdən hansının, məsələn, tənliklərin həlləri yoxlamaq üçün dəyişdirilməsini asanlaşdırırsa, ilk üsulu tətbiq etmək məqbuldur.

Misal 10. Tənlikləri həll edin: a)
b) c).

Həlllər:

A) güman edir
Sonra var
Güman
Sonra həll yollarımız yoxdur.
İndi əldə edilmiş kökləri yoxlayın. Orijinal tənliyini yenidən yazdım:
. Hər iki kök doğrudur.
Cavab:

C) Tənlik yenidən yazın: Aşağıdakı qrafik təsviri istifadə edirik: (Qrafiklər burada və) təqdim olunur.

İndi ortaya çıxan rəqəmli boşluqların üç qrupa birləşdirilməli olduğu aydındır:
bir). (Vəziyyət setinə uyğun) əldə edirik.
2) alın
Həll yoxdur.
3) alın
Həll yoxdur.
Cavab :.

Həlllər:
a) Yeni bir dəyişənin dəyişdirilməsi, sistemə, tənliyin köklərinin əldə edilməsi deməkdir.
Cavab :.

B) Yeni dəyişənliyin ifadəsini əvəz etmək Təcrübəni əldə edirik. Alırıq:
. Bu tənlikləri həll etmək qalır.
Cavab :.

Nəzarət tapşırıqları §1.
1) Nömrənin modulunun tərifindən istifadə edərək qərar verin:
a) b) c) d) e) g) h) və) etmək).

2) "Standard" tənliklərinə qərar verin:
a) b) c) d) d) e) g) h) və).

3) Interval metoduna qərar verin:
a) b); c) h) h) h

4) Rasional şəkildə qərar verin:
a) b) d) d)\u003e g) h) və) k) l) m) n) n)

5) Tənliklər sisteminə qərar verin:
a) b) d) d) e) h) h) l) n) n) p) p) p)

N modulu ilə modulun (mütləq dəyər) nın (mütləq dəyər) müəyyənləşdirilməsi X, i.E. | x |, bu nömrə, mənfi deyilsə və mənfi olarsa, əks işarə ilə çəkilən bu nömrə deyilir

1. Modul xüsusiyyətləri 1. | A b | \u003d | a | | B | A və B 2. hər hansı bir nömrə üçün 2. | | \u003d 3. ≠ 0 | a | 2 \u003d istənilən nömrə üçün 2 \u003d a 2

N N 2. Modulları olan tənliklərin ən sadə hissəsi tipin tənliyidir | F (x) | \u003d A, harada, a≥ 0. Bu tənlik tənliklərin cəminə bərabərdir. [Əgər A.

N n n Daha mürəkkəb formanın tənlikləridir | F (x) | \u003d G (x), burada f (x), g (x) etibarlı dəyişənin bəzi funksiyalarıdır. 1) G (x) 0-də ilkin tənlik γ f (x) \u003d g (x), lf (x) \u003d -g (x).

Misal 2. Tənliyi həll etmək | 1 - 2 x | \u003d 3 x - 2 n həlli: Qeydiyyatdan əvvəl зх 2≥ 0, yəni x ≥ və ya x ≥ (; + + ∞) na, göstərilən tənlik iki tənliyin cəminə bərabərdir: 1) 1 - 2 x \u003d zh-2 x 1 \u003d 2) 1 2 x \u003d (zh 2) x 2 \u003d 1 n kimi

N n indi mənzərənin tənliklərini nəzərdən keçirək | 1 x - 1 | + | 2 x - 2 | + ... + | Anh - bn | \u003d Ah +, 1, 2, A 2, 3, AN, ..., 1, 1, 2, 3-də R, X-ə aid bəzi nömrələr aşağıdakı sxemə görə qurulur. Dəyişən müəyyən bir tənliyin icazə verilən dəyərləri olan ərazisi, hər birində submodulu ifadələrin əlamətləri sabitdir. Hər bir belə dəsti, ilkin tənlik, mütləq dəyərlər olmayan ona ekvivalenti olan ilkin tənlik əvəz olunur (submodektiv ifadələrin əlamətlərini nəzərə alaraq). Beləliklə, bu şəkildə əldə edilən həllərin birləşdirilməsi, tənlik göstərilən tənliklə həll olunur.

Misal 3. Tənliyi həll etmək | 2 x + 5 | | 3 x | \u003d 0, 5 N N N Həll. Dəyişən bütün rəqəmli oxun icazə verilən dəyərləri. Submodulların 0: 2 x + 5 \u003d 0, I.E. X1 \u003d 2, 5-ə bərabər olan nöqtələri tapın. 3 x \u003d 0, i.e. x2 \u003d 3.

NNNNN, icazə verilən dəyərlərin ərazisini setdəki (∞; 2, 5), (2, 5; 3), (3; + ∞) hər birində submoduli ifadələrinin əlamətlərini müəyyənləşdirir əldə edilmiş dəstlər (onlar cədvəldə qeyd olunur) Cədvəl 1 (∞; 2, 5) (2, 5; 3) (s; + ∞) 2 x + 5 + + 3-x + + 3-x + + 3-x + + 2 x + 5 | | 3 x | \u003d 0, 5 tənliklərin cəminə bərabərdir: 1) x

N 2) 2, 5 ≤ x

3. İndi bəzi təsdiqləməyi nəzərdən keçirin, istifadəsi modullarla tənliklərin həllini əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırmağa imkan verir. N n n təsdiq 1. Bərabərlik | A + in | \u003d | a | + | in | AV ≥ 0. Sübutdursa, sadiqdir. Həqiqətən, meydanda bu bərabərliyin hər iki hissəsinin qurulmasından sonra alırıq | A + in | 2 \u003d | a | 2 + 2 | AV | + | I-də 2 A 2 + 2 AV + b 2 \u003d A 2 + 2 | Haradan olan 2 + 2 | Av | AB və son bərabərlik AB ≥ 0-də sadiq olacaq. Təsdiq 2. Bərabərlik | A-in | \u003d | a | + | in | AB ≤ 0-də sadiqdir. Bərabərlikdə kifayət qədər sübut etmək | A + in | \u003d | a | + | in | On-in-in, sonra A (-b) ≥ 0, haradadığı yerdən

N n təsdiq 3. Bərabərlik | a | + | in | \u003d A + B A≥ 0 və ≥ 0-də aparılır. Dörd hal a ≥ 0 və ≥ 0; A≥ 0 və içində

Misal 4. Qərar verin: | 2 x 2 | \u003d | X3 2 | + | 2 x x3 | N N N QƏRARI: O vaxtdan bəri | X3 2 | + | 2 x x3 | \u003d | x3 2 + 2 x x3 |, tənliyin bütün kökləri bərabərsizliyin həlləri arasındadır (x3 2) (2 x - x3) ≥ 0 (bəyanat 1). Bu bərabərsizliyi fasilələrlə həll edirəm; x (x3 - 2) (x2 - 2) ≥ 0 x (x3 - 2) (x +) ≤ 0 + + + 0 x cavab: [; 0] u [; ]

4. Digər nümunələrdə, modulların açıqlanması ilə tələsmək lazım deyil, ilk növbədə ifadəni bütöv bir nümunə kimi nəzərdən keçirmək lazımdır. Tənliyi həll edin: N iki fraksiyanın "bütöv" işində Fraksiyalar qarşılıqlı olaraq tərsinə çevrilsə, yalnız üç halda 1-ə bərabər ola bilər, I.E. x + 1 \u003d x + 2 və | x + 1 | \u003d | X + 2 | Ancaq bu heç bir x ilə mümkün deyil. n b) Hər biri 1-ə bərabərdirsə, onu alırıq. Birinci tənliyin, x + 1\u003e 0 x\u003e 1. ikinci tənliyindən, x + 2\u003e 0 x\u003e 2. ümumi həlli əldə edirik: x\u003e 1. b), əgər hər biri 1 olduqda, əldə edəcəyik o. Birinci tənlikdən x + 1-ə aiddir

N N N ikinci tənliyindən x + 2 alırıq

Giriş

1. Orta məktəb kursunda mütləq dəyər

1.1 Təriflər və əsas teoremlər

1.2 Konsepsiyanın həndəsi təfsiri | a |

2. Tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üsulları

2.1 Mütləq bir dəyərin (modul) müəyyənləşdirilməsindən istifadə edərək tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli

2.2 A və B nömrələri, onların modulları və bu nömrələrin kvadratları arasındakı asılılıqdan istifadə edərək qərar metodu

2.3 interval metodu

2.4 qrafik metodu

2.5 ardıcıl modul açıqlaması rejimi

2.6 Tənliklər və bərabərsizliklər və onların həlli

3. Tənlikləri və bərabərsizliklərin həllinin əlavə yolları

3.1 Şəxsiyyətlərdən istifadə edərək bir modul olan tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli

3.2 mənfi olmayan ifadə modulları olan tənliklərin həlli

3.3 Həndəsi təfsirdən istifadə edərək tənliklərin həlli

3.4 Nəticədə keçid tənliklərinin həlli

3.5 modulun işarəsi altında dəyişən olan tipik tapşırıqlar

3.6 Müəllimlər, riyaziyyat məktəbində bir modul ilə təhsil tənlikləri və bərabərsizliklərin ardıcıllığı üçün göstərişlər

4. Vahid Milli Testində (ET) bir modul ilə tənliklər və bərabərsizliklər

Rəy

İstifadə olunan ədəbiyyatın siyahısı

Giriş

Mövzunun aktuallığı Modulun riyaziyyat, fizika və texniki elmlər kursunun müxtəlif hissələrində geniş istifadə olunması ilə əlaqədardır. Məsələn, təxmini hesablamalar nəzəriyyəsində, təxmini bir nömrənin mütləq və nisbi səhvlərinin anlayışları, vektorun və onun uzunluğu (vektor modulu) anlayışları, həndəsə və mexanikada, riyazi analizdə, modulun anlayışında istifadə olunur məhdudiyyət məhdud funksiyasında var. İnanıram ki, bu mövzu daha dərin bir araşdırma tələb edir, çünki şagirdlər tərəfindən didaktik materialların müəllifləri tərəfindən, riyazi olimpiadaların vəzifələrində, istənilən riyazi olimpiadaların vəzifələrində və universitetlərə qəbul edildikdən sonra müxtəlif vəzifələrin müxtəlif vəzifələrində izlənilə bilər.

Orta məktəbdə riyaziyyat tədris praktikasında, nömrənin (modul) mütləq dəyəri anlayışı dəfələrlə tapılır.

6-cı sinifdə, təxmini hesablamalar mövzusunda, təxmini sayının mütləq səhvləri ilə, nömrənin mütləq dəyəri anlayışı meydana gəlir.

İkinci yarım illik 6-cı sinifdə, nömrənin mütləq dəyərinin (modulun) müəyyənləşdirilməsi tətbiq olunur və rasional ədədlər üzrə hərəkət qaydaları bu konsepsiyadan istifadə etməklə formalaşdırılır.

8-ci sinifdə, bir arifmetik kvadrat kökünün xüsusiyyətlərini nəzərə alarkən, nömrənin mütləq dəyəri anlayışı onun yeni tətbiqini tapır:

; Harada və başqaları.

9-cu sinifdə ardıcıllıq həddini oxuyarkən tələbələr formanın ifadələri ilə görüşürlər:

Sayın mütləq dəyəri anlayışı, funksiyanın həddini öyrənərkən, mövcud nömrələrin müalicəsi zamanı funksiyasının həddi öyrənərkən 10-cu sinifdə daha da inkişaf etdirir.

11 sinifdə, "rasional göstərici ilə dərəcə" mövzusunda köklərin xüsusiyyətləri nəzərdən keçirilir n.- Nömrənin mütləq dəyərləri anlayışının da istifadə olunur; misal üçün,

Beləliklə, bütün siniflərdə, tədris planına uyğun olaraq, nömrənin mütləq dəyərinin əlaməti olan məşqləri daxil etməli və nəzərdən keçirməlisiniz.

6-cı sinifdə, formanın tənliyini həll edə bilərsiniz:

7-ci sinifdə formanın bərk tənliklərini aşkar etmək mümkündür: və s., Forma tənlikləri sistemləri:

Həm də funksiyaların qrafiklərini qurmaqla yanaşı:; Açıqlayır; və s.

8-ci sinifdə mütləq dəyər anlayışları kvadrat tənliklərə, kvadrat üç panjur və digərləri cədvəlinə paylanır. Formanın tənliyini həll edə bilərsiniz: ; ;

Məzuniyyət işlərinin yenilikləri: Bütün tənliklər və bərabərsizliklər, test tapşırıqlarında tapıldı və onları həll edərkən tələbələrin icazə verdiyi əsas səhvləri düşündü.

mədəd Tədqiqatımız təhsil və metodiki materialın təhlili, tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üçün bütün üsulları müəyyənləşdirilməsi və bu işdə onları birləşdirən bütün üsulları müəyyənləşdirir.

Aşağıdakıları həll etmək üçün tələb olunan ehtiyacı əldə etmək tapşırıqlar:

Əsas teoremləri və tərifləri araşdırın;

Tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli əsas metodlarını bir modul ilə təsvir edin;

Bir modul ilə tənlikləri və bərabərsizliklərin həlli üçün qeyri-standart metodları çıxarın.

Tədqiqat obyekti: Məktəbdə tənliklər və bərabərsizliklər üzrə təlim prosesi.

Tədqiqat mövzusu: Riyaziyyat məktəbində modul əlaməti olan tənliklər və bərabərsizliklərin həlli üsulları.

Praktik əhəmiyyət Məzuniyyət işləri, tənliklər və bərabərsizliklərin həlli üçün bütün metodlar və texnikaların, bu tezisdə riyaziyyat kursunda istifadə edilə bilən bu tezislərdə təqdim olunur.

Tədqiqatın əsas üsullarımən məzuniyyət işindəyəm:

analitik,

müqayisəli,

monoqrafik nəşrlərin və məqalələrin öyrənilməsi,

xüsusilə tarixi

Ümumiləşdirmə metodu.

Bu diplom aşağıdakı əsərlərə əsaslanır: "Mütləq Dəyəri" Gaidukov I.I., "SMOLYAKOV A.N.," Cəbr və analizin başlanğıcı "," Modillər və onların məhlulu tənlikləri və bərabərsizliklər ". 10 - 11 kl "ololand, potapov, pasichenko tənliklər və bərabərsizliklər.

Birinci fəsildə problemin nəzəri tərəfini, əsas teoremləri və bu mövzunun sonrakı öyrənilməsi üçün zəruri olan anlayışları müzakirə olunur. Tənlik problemi bərabərsizliyi

Tezisin ikinci fəslində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli metodlarını məktəb tədris planına daxil olan bir modul ilə birləşdirdik.

Üçüncü fəsildə, əlavə siniflər altında modulu və olimpiada tapşırıqlarını həll etməkdə olan tənlikləri və bərabərsizliklərin həlli üçün qeyri-standart üsulları təqdim etdik. Ayrıca, tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üçün tipik vəzifələr və vahid milli testin (et) test variantlarının vəzifələri nəzərdən keçirilir.

Mütləq dəyər işarəsi olan tənlikləri həll edərkən, nömrənin nömrəsinin və xüsusiyyətlərinin modulunun müəyyənləşdirilməsinə əsaslanacağıq.

1. Orta məktəb kursunda mütləq dəyər

1.1 Təriflər və əsas teoremlər

Mütləq Velary anlayışını nəzərdən keçirin və ya eyni, etibarlı nömrələr üçün nömrənin modulu.

Tərif 1.1.1 A həqiqi bir nömrənin mütləq dəyəri (modul) iki çiskindən alınan mənfi olmayan bir nömrə adlanır və ya - və.

Sayının mütləq dəyəri a denote | və| və "bir nömrənin mütləq dəyərini" oxuyun, və ya "Modul nömrəsi A".

Tərifdən aşağıdakılar:

Tərifindən bu, hər hansı bir həqiqi nömrə üçün, ≥0.

Nümunələr 1.1.1:

;

Teorem 1.1.1 Qarşıdakı nömrələrin mütləq dəyərləri bərabərdir, I.E. \u003d.

Əslində, mütləq dəyərin tərifi ilə:

Nəticə etibarilə,

1.2 konsepsiyanın həndəsi təfsiri

Hər bir həqiqi nömrənin ədədi bir xətt nöqtəsinə uyğun olaraq qoyulacağı məlumdur, bu nöqtə bu həqiqi nömrənin bir həndəsi təsvir ediləcəkdir. Rəqəmsal xəttin hər nöqtəsi istinadın əvvəlindən məsafəsinə, seqmentin iii uzunluğu, istinad sahəsindəki və sonu bu nöqtədədir. Bu məsafə və ya uzunluğu Seqment, həmişə dəyəri olmayan dəyər hesab olunur.

Eyni zamanda, hər bir nöqtə, uzun və istiqamətlə xarakterizə olunan istiqamət seqmentinə (vektor) uyğun olaraq bir düz düz xəttdir.

Etibarlı nömrələr dəsti yönəldilmiş nöqtələrə yönəldilmiş nöqtələrə uyğundur, yəni. İstinad və miqyaslı başlanğıcdan əlavə, müsbət bir istiqamət qurulduğu belə bir birbaşa.

Sonra həqiqi sayın həndəsi təfsiri, geri sayma başlanğıcından gələn və bu nömrəni təsvir edən bir nöqtədə bir vektor kimi xidmət etdiyini güman edə bilərik. Bu vektorun uzunluğu bu faktiki nömrənin mütləq dəyərinin həndəsi təfsiri olacaqdır.

Məsələnin həndəsi təfsiri bunu dəqiq təsdiqləyir \u003d.

Nümunələr 1.2.1:

Əgər \u003d 5, sonra və 1 \u003d 5 və və 2 \u003d -5, ya da a \u003d.± 5.

Nəticə etibarilə, bu bərabərlik iki nöqtədən razıdır ki, bu da rəqəmsal birbaşa iki xal verəcəkdir.

Əgər ˃10, sonra

Dən və˃10 I. və˂ -10, ya da

Nəticə etibarilə bu yanacaqsız iki aralıq dəstini qane edir: (-∞; -10) və (10; ∞) və ədədi birbaşa birbaşa - bu fasilələrə uyğun iki boşluq.

Bir həndəsi dil üçün bir cəbr vəzifəsinin tərcüməsi, problemlərin həllinin rahat və güclü bir üsuludur. Başqa bir nümunə olaraq, Olimpiya Tapşırıqları Blokunu təhlil edəcəyik:

Misal 1.2.2:

Dana xüsusiyyəti: .

Qərar:Bir funksiya qrafiki qurun. Bunu etmək üçün bunu qeyd edirik və sonra əvvəlcə funksiyanın bir qrafiki qura və sonra koordinat oxuna nisbətən əks etdirə bilərik. Funksiyanı göstərən ifadəni çeviririk:

Bu sistem radius 2-nin yuxarı yarı sürətlə radiusunu bir nöqtədə mərkəzlə müəyyənləşdirdiyindən, orijinal funksiyanın qrafiki rəqəmdə göstərilən yarımdairaçının birləşməsidir.

İndi vəzifələrin həlli çətin deyil:

dən)Üçün heç bir həll yolu yoxdur, tənliyin üç həlli var, dörd qərar qəbulu, iki həlli ilə.

b.) Bərabərsizlik bütün seqmentlə hazırlanmışdır.

a.) tənliyin kökü bir qaya cədvəli ilə birbaşa kəsişmə nöqtəsinin olmamasıdır. Biz onu həndəsi olaraq tapacağıq: düzbucaqlı üçbucaq, bu rəqəmdə (xəttin künc əmsalı -1-ə bərabərdir), hipotenuse, onun uzunluğu, uzunluğu isə uzanır abscissa oxunda və istədiyiniz abscissa bərabərdir.

Gevrikr modulun mənasır nitallıq dəyərləri - Bu aralarındakı məsafədir. Məsələn, ifadəin həndəsi mənası | x- və| A və X-ləri AS və X ilə əlaqələndirən koordinat oxunun koordinat oxunun seqmenti. Bir həndəsi dil üçün bir cəbr vəzifəsinin tərcüməsi, çox vaxt böyük həllərin qarşısını almağa imkan verir.

Misal 1.2.3:Mən tənliyi həll edirəm | X-1 | + | X-2 | \u003d 1 modulun həndəsi təfsirindən istifadə etməklə.

Mübahisəli olacağıq: modulun həndəsi təfsirinə əsasən, tənliyin sol hissəsi, ABSCissanın müəyyən bir nöqtəsindən olan məsafələrin 1 və 2. Abscissions ilə iki sabit nöqtəyə qədər məsafələrdir. Seqmentdən olan abscissiyaların istədiyi əmlaka sahibdir və bu seqmentdən kənarda yerləşən nöqtə deyil. Deməli cavab: Tənliyin həlli dəsti seqmentdir.

Cavab vermək: X 

Misal 1.2.4: Tənliyin həlli | X - 1 | - | X - 2 | \u003d 1 1 modulun həndəsi təfsirindən istifadə etməklə.

Əvvəlki nümunəyə bənzər bir şəkildə mübahisə edəcəyik, 1 və 2 bal toplamalarına qədər olan məsafə fərqi yalnız nömrənin koordinat oxlarında olan nöqtələrə bərabərdir, nəticədə bu tənliyin həlli olacaq 1 və 2-ci nöqtələr arasında bağlanmış bir seqment olun, 2-ci nöqtədən çıxan şüa və oxun müsbət istiqamətinə yönəldilmişdir.

Cavab: x )