Підставою прямокутного паралелепіпеда є. Паралелепіпед і куб. Візуальний гід (2019). Захист особистих даних

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Розглянемо ці предмети:

Будівельний цегла, гральний кубик, мікрохвильова піч. Ці предмети об'єднує форма.

Поверхня, що складається з двох рівних паралелограмів АВСD і А1В1С1D1

і чотирьох паралелограмів АА1В1В і ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D називається параллелепипедом.

Паралелограми, у тому числі складено паралелепіпед, називаються гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.

При цьому межі АВСD і А1В1С1D1 частіше називають підставами, а інші грані бічними.

Сторони паралелограма називаються ребрами паралелепіпеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.

Ребро СС1, не належить підставах, воно називаються бічне ребро.

Вершини паралелограмів називають вершинами паралелепіпеда.

Вершина D1. Вершина В. Вершина С.

Вершини D1 і В

не належать одній грані і називаються протилежними.

Паралелепіпед можна зображувати різними способами

Паралелепіпед в підставі, якого лежить ромб, При цьому зображеннями граней є паралелограми.

Паралелепіпед в підставі, якого лежить квадрат. Невидимі ребра АА1, АВ, АD зображуються штриховими лініями.

Паралелепіпед в підставі, якого лежить квадрат

Паралелепіпед в підставі, якого лежить прямокутник або паралелограм

Паралелепіпед, у якого всі грані квадрати. Найчастіше його називають кубом.

Всі розглянуті паралелепіпеди володіють властивостями. Сформулюємо і доведемо їх.

Властивість 1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Розглянемо паралелепіпед АВСDА1В1С1D1 і доведемо, наприклад, паралельність і рівність граней ВВ1С1С і АА1D1D.

За визначенням паралелепіпеда грань АВСD паралелограм, отже по властивості паралелограма ребро ВС паралельно ребру АD.

Грань АВВ1А1 теж паралелограм, отже ребра ВВ1 і Аа1 паралельні.

Це означає що дві пересічні прямі ВС і BB1 одній площині відповідно паралельні двом прямим АD і Аа1 відповідно іншій площині, значить площині АВВ1А1 і ВСС1D1 паралельні.

Всі грані паралелепіпеда паралелограми а значить ВС \u003d АD, ВВ1 \u003d АА1.

При цьому сторони кутів В1ВС і А1АD відповідно сонаправлени, значить вони рівні.

Таким чином, дві суміжні сторони і кут між ними паралелограма АВВ1А1 відповідно рівні двом суміжним сторонам і куту між ними паралелограма ВСС1D1, значить ці паралелограми рівні.

Паралелепіпед володіє ще властивістю про діагоналях. Діагоналлю паралелепіпеда називається відрізок з'єднує не сусідні вершини. На креслення пунктирною лінією показані діагоналі В1D, BD1, А1С.

Отже, властивість 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Для доказу властивості розглянемо чотирикутник ВВ1D1D. Його діагоналі В1D, BD1 є діагоналями паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1.

У першому властивості ми вже з'ясували, що ребро ВВ1 паралельно і одно ребру Аа1, але ребро АА1 паралельно і одно ребру DD1. Отже ребра ВВ1 і DD1 паралельні і рівні, що доводить чотирикутник ВВ1D1D- паралелограм. А в параллелограмме по властивості діагоналі В1D, BD1 перетинаються в певній точці Про і цією точкою діляться навпіл.

Чотирикутник ВС1D1А також є паралелограма і його діагоналі С1А, перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. Діагоналі паралелограма С1А, ВD1 є діагоналями паралелепіпеда, а значить сформульоване властивість доведено.

Для закріплення теоретичних знань про параллелепипеде розглянемо задачу на доказ.

На ребрах паралелепіпеда відзначені точки L, M, N, P так, що BL \u003d CM \u003d A1N \u003d D1P. Довести, що ALMDNB1C1P паралелепіпед.

Грань ВВ1А1А паралелограм, отже ребро ВВ1 одно і паралельно ребру Аа1, але за умовою відрізки BL і A1N, значить рівні і паралельні відрізки LB1 і NA.

3) Отже, чотирикутник LB1NA за ознакою паралелограм.

4) Так як СС1D1D-паралелограм, отже ребро СС1 одно і паралельно ребру D1D, а СМ одно D1P за умовою, значить рівні і паралельні відрізки МС1і DP

Отже, що чотирикутник MC1PD теж паралелограм.

5) Кути LB1N і MC1P рівні як кути з відповідно паралельними і однаково спрямованими сторонами.

6) Ми отримали, що у паралелограмів і MC1PD відповідні сторони рівні і кути між ними рівні, значить паралелограми рівні.

7) Відрізки рівні за умовою, значить BLMC- паралелограм і сторона BC паралельна стороні LM паралельна стороні В1С1.

8) Аналогічно з паралелограма NA1D1P слід, що сторона A1D1 паралельна стороні NP і паралельна стороні AD.

9) Протилежні грані ABB1A1 і DCC1D1 паралелепіпеда по властивості паралельні, а відрізки паралельних прямих укладених між паралельними площинами рівні, значить відрізки В1С1, LM, AD, NP рівні.

Отримано, що в чотирикутники ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD дві сторони паралельні і рівні, значить вони паралелограми. Тоді наша поверхню ALMDNB1C1P складається з шести паралелограмів, два з яких рівні, а за визначенням це паралелепіпед.

У перекладі з грецької мови паралелограм означає площину. Паралелепіпед - це призма, в основі якої лежить паралелограм. Існують п'ять типів паралелограма: похилий, прямий і прямокутний паралелепіпед. Куб і ромбоедр також відносяться до паралелепіпеда і є його різновидом.

Перед тим як перейти до основних понять, дамо деякі визначення:

• Діагоналлю паралелепіпеда є відрізок, який об'єднує вершини паралелепіпеда, що знаходяться навпроти один одного.
• Якщо дві грані мають загальне ребро, то можна назвати їх суміжними ребрами. Якщо ж загального ребра немає, то межі іменуються протилежними.
• Дві вершини, що не лежать на одній грані, називаються протилежними.

Які властивості має паралелепіпед?

1. Що лежать на протилежних сторонах грані паралелепіпеда паралельні один одному і рівні між собою.
2. Якщо провести діагоналі з однієї вершини в іншу, то точка перетину цих діагоналей розділить їх навпіл.
3. Сторони паралелепіпеда лежать під одним і тим же кутом до основи дорівнюватимуть. Іншими словами, кути сонаправленнимі сторін будуть рівні між собою.

Які види паралелепіпеда бувають?

Тепер розберемося в тому, які паралелепіпеди бувають. Як уже згадано вище, існує кілька типів цієї фігури: прямий, прямокутний, похилий паралелепіпед, а також куб і ромбоедр. Чим же вони відрізняються між собою? Вся справа в утворюють їх площинах і кутах, які вони утворюють.

Розберемося більш детально з кожним з перерахованих видів паралелепіпеда.

• Як вже зрозуміло з назви, похилий паралелепіпед має похилі грані, а саме такі межі, які знаходяться по відношенню до основи не під кутом 90 градусів.
• А ось у прямого паралелепіпеда кут між підставою і гранню якраз становить дев'яносто градусів. Саме з цієї причини цей вид паралелепіпеда має таку назву.
• Якщо ж всі грані паралелепіпеда - це однакові квадрати, то можна вважати цю фігуру кубом.
• Прямокутний паралелепіпед отримав таку назву через що утворюють його площин. Якщо всі вони є прямокутниками (і підстава в тому числі), то це прямокутний паралелепіпед. Такий вид паралелепіпеда зустрічається не так часто. У перекладі з грецької ромбоедр означає грань або підставу. Так називають тривимірну фігуру, у якій гранями є ромби.

Основні формули для паралелепіпеда

Обсяг паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави на його висоту, перпендикулярну основи.

Площа бічної поверхні буде дорівнює добутку периметра основи на висоту.
Знаючи основні визначення та формули можна обчислити площу основи і обсяг. Підстава можна вибрати на свій розсуд. Однак, як правило, в якості підстави використовується прямокутник.

Параллелепипедом називається призма, підставами якої служать паралелограми. При цьому всі грані будуть паралелограма.
Кожен паралелепіпед можна розглядати як призму трьома різними способами, так як за підстави можна прийняти кожні дві протилежні грані (на рис. 5 межі ABCD і A "B" C "D", або АВА "В" і CDC "D", або ВСВ "С" і ADA "D").
Розглянуте тіло має дванадцять ребер, по чотири рівних і паралельних між собою.
теорема 3 . Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці, яка відповідає серединою кожної з них.
Паралелепіпед ABCDA "B" C "D" (рис. 5) має чотири діагоналі AC ", BD", CA ", DB". Ми повинні довести, що середини двох будь-яких з них, наприклад АС і BD ", збігаються. Це випливає з того, що фігура ABC" D ", що має рівні і паралельні сторони АВ і C" D ", є паралелограм.
визначення 7 . Прямим параллелепипедом називається паралелепіпед, який є одночасно і прямий призмою, т. Е. Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.
визначення 8 . Прямокутним параллелепипедом називається прямий паралелепіпед, підставою якого служить прямокутник. При цьому всі його грані будуть прямокутниками.
Прямокутний паралелепіпед являє собою пряму призму, яку б з його граней ми не прийняли за основу, так як кожне його ребро перпендикулярно до ребер, які виходять з ним з однієї вершини, і буде, отже, перпендикулярно і до площин граней, що визначаються цими ребрами. На противагу цьому прямий, але не прямокутний, паралелепіпед можна розглядати як пряму призму тільки одним способом.
визначення 9 . Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, з яких ніякі два не паралельні між собою (наприклад трьох ребер, що виходять з однієї вершини), називаються його вимірами. Два | прямокутних паралелепіпеда, що мають відповідно рівні вимірюв- ренію, очевидно, рівні між собою.
визначення 10 .Кубом називається прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні між собою, так що все його межі - квадрати. Два куба, ребра яких рівні між собою, рівні.
визначення 11 . Похилий паралелепіпед, у якого всі ребра рівні між собою і кути всіх граней рівні або доповнювальних, називається ромбоедрі.
Всі грані ромбоедра - рівні ромби. (Форму ромбоедра мають деякі кристали, що мають велике значення, наприклад кристали ісландського шпату.) В ромбоедрі можна знайти таку вершину (і навіть дві протівололожние вершини), що все прилеглі до неї кути рівні між собою.
теорема 4 . Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів.
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA "B" C "D" (рис. 6) діагоналі АС "і BD" рівні, так як чотирикутник ABC "D" - прямокутник (пряма АВ перпендикулярна до площини ВСВ "С", в якій лежить ВС ") .
Крім того, AC "2 \u003d BD" 2 \u003d AB2 + AD "2 на підставі теореми про квадраті гіпотенузи. Але на підставі тієї ж теореми AD" 2 \u003d AA "2 + + A" D "2; звідси маємо:
АС "2 \u003d АВ 2 + АА" 2 + A "D" 2 \u003d АВ 2 + AA "2 + AD 2.

паралелепіпед, паралелепіпед фото
паралелепіпед (Грец. Παραλληλ-επίπεδον від грец. Παρ-άλληλος - «паралельний» і грец. Ἐπί-πεδον - «площину») - призма, основою якої служить паралелограм, або (рівносильно) багатогранник, у якого шість граней і кожна з них - паралелограм.

• 1 Типи паралелепіпеда
• 2 Основні елементи
• 3 Властивості
• 4 Основні формули
  • 4.1 Прямий паралелепіпед
  • 4.2 Прямокутний паралелепіпед
  • 4.3 Куб
  • 4.4 Довільний паралелепіпед
• 5 математичному аналізі
• 6 Примітки
• 7 Посилання

типи паралелепіпеда

Різниться кілька типів паралелепіпедів:

• Прямокутний паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого всі грані - прямокутники.
• Похилий паралелепіпед - це паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні підставах.

Основні елементи

Дві грані паралелепіпеда, що не мають загального ребра, називаються протилежними, а мають загальне ребро - суміжними. Дві вершини паралелепіпеда, які не належать одній грані, називаються протилежними. Відрізок, що з'єднує протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами.

властивості

• Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
• Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
• Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
• Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Основні формули

прямий паралелепіпед

Площа бічної поверхні Sб \u003d Ро * h, де Ро - периметр підстави, h - висота

Площа повної поверхні S п \u003d Sб + 2Sо, де Sо - площа підстави

Обсяг V \u003d Sо * h

прямокутний паралелепіпед

Площа бічної поверхні Sб \u003d 2c (a + b), де a, b - сторони підстави, c - бічне ребро прямокутного паралелепіпеда

Площа повної поверхні S п \u003d 2 (ab + bc + ac)

Обсяг V \u003d abc, де a, b, c - вимірювання прямокутного паралелепіпеда.

куб

Площа поверхні:
Обсяг:, де - ребро куба.

довільний паралелепіпед

Обсяг і співвідношення в похилому параллелепипеде часто визначаються за допомогою векторної алгебри. Обсяг паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного твори трьох векторів, що визначаються трьома сторонами паралелепіпеда, що виходять із однієї вершини. Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда і кутами між ними дає твердження, що визначник Грама зазначених трьох векторів дорівнює квадрату їх змішаного твори: 215.

В математичному аналізі

В математичному аналізі під n-мірним прямокутним параллелепипедом розуміють безліч точок виду

Примітки

1. Давньогрецької-російський словник Дворецького «παραλληλ-επίπεδον»
2. Гусятник П.Б., Резніченко С.В. Векторна алгебра в прикладах і задачах. - М .: вища школа, 1985. - 232 с.

посилання

• прямокутний паралелепіпед
• Паралелепіпед, навчальний фільм

паралелепіпед, паралелепіпед делгемел, паралелепіпед зураг, паралелепіпед і паралелограм, паралелепіпед з картону, паралелепіпед картинки, паралелепіпед об'єм, паралелепіпед визначення, паралелепіпед формули, паралелепіпед фото

Паралелепіпед Інформацію Про

Теорема. У всякому параллелепипеде протилежні грані рівні і паралельні.

Так, межі (рис.) BB 1 С 1 С і AA 1 D 1 D паралельні, тому, що дві пересічні прямі BB 1 і B 1 З 1 однієї грані паралельні двом пересічним прямим AA 1 і A 1 D 1 інший. Ці межі та є рівними, так як B 1 З 1 \u003d A 1 D 1, B 1 B \u003d A 1 A (як протилежні сторони паралелограма) і ∠BB 1 С 1 \u003d ∠AA 1 D 1.

Теорема. У всякому параллелепипеде всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Візьмемо (рис.) В паралелепіпеді якісь дві діагоналі, наприклад, AС 1 і DB 1, і проведемо прямі AB 1 і DС 1.

Так як ребра AD і B 1 З 1 відповідно рівні і паралельні ребру BС, то вони рівні і паралельні між собою.

Внаслідок цього фігура ADС 1 B 1 є паралелограм, в якому З 1 A і DB 1 - діагоналі, а в параллелограмме діагоналі перетинаються навпіл.

Це доказ можна повторити про кожних двох діагоналях.

Тому діагональ AC 1 перетинається з BD 1 навпіл, діагональ BD 1 з A 1 С навпіл.

Таким чином, всі діагоналі перетинаються навпіл і, отже, в одній точці.

Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Нехай (рис.) AC 1 є якась діагональ прямокутного паралелепіпеда.

Провівши AC, отримаємо два трикутника: AC 1 С і ACB. Обидва вони прямокутні:

перший тому, що паралелепіпед прямий, і отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи,

другий тому, що паралелепіпед прямокутний, значить в підставі його лежить прямокутник.

З цих трикутників знаходимо:

AC 2 +1 \u003d AC 2 + СС 2 1 і AC 2 \u003d AB 2 + BC 2

Отже, AC 2 +1 \u003d AB 2 + BC 2 + СС 2 +1 \u003d AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Слідство. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.