S бічної поверхні призми. Обсяг і площа поверхні правильної чотирикутної призми. Які призми бувають

В просторової геометрії при вирішенні завдань з призмами часто виникає проблема з розрахунком площі сторін або граней, які утворюють ці об'ємні фігури. Дана стаття присвячена питанню визначення площі підстави призми і її бічній поверхні.

фігура призма

Перед тим як переходити до розгляду формул для площі підстави і поверхні призми того чи іншого виду, слід розібратися, про якій формі йдеться.

Призма в геометрії є просторовою фігуру, що складається з двох паралельних багатокутників, які рівні між собою, і декількох чотирикутників або паралелограмів. Кількість останніх завжди дорівнює числу вершин одного багатокутника. Наприклад, якщо фігура утворена двома паралельними n-косинцями, тоді кількість паралелограмів дорівнюватиме n.

З'єднують n-косинці паралелограми називаються бічними сторонами призми, а їх сумарна площа - це площа бічної поверхні фігури. Самі ж n-косинці називаються підставами.

Вище малюнок демонструє приклад призми, виготовленої з паперу. Жовтий прямокутник є її верхнім підставою. На другому такому ж підставі фігура коштує. Червоний і зелений прямокутники - це бічні грані.

Які призми бувають?

Існує кілька типів призм. Всі вони відрізняються один від одного лише двома параметрами:

• видом n-кутника, що утворює підстави;
• кутом між n-кутником і бічними гранями.

Наприклад, якщо підстави є трикутниками, тоді і призма називається трикутною, якщо чотирикутниками, як на попередньому малюнку, тоді фігура називається чотирикутної призмою, і так далі. Крім цього, n-кутник може бути опуклим або увігнутим, тоді до назви призми теж додається це властивість.

Кут між бічними гранями і підставою може бути або прямий, або гострий або тупий. У першому випадку говорять про прямокутної призмі, у другому - про похилу або косокутній.

В особливий тип фігур виділяють правильні призми. Вони мають найвищу симетрією серед інших призм. Правильною вона буде тільки в тому випадку, якщо є прямокутної і її підстава - це правильний n-кутник. Малюнок нижче демонструє набір правильних призм, у яких число сторін n-кутника змінюється від трьох до восьми.

поверхня призми

Під поверхнею розглянутої фігури довільного типу розуміють сукупність всіх точок, які належать граням призми. Поверхня призми зручно вивчати, розглядаючи її розгортку. Нижче дан приклад такої розгортки для трикутної призми.

Видно, що вся поверхня утворена двома трикутниками і трьома прямокутниками.

У разі призми загального типу її поверхня буде складатися з двох n-вугільних підстав і n чотирикутників.

Розглянемо докладніше питання обчислення площі поверхні призм різних типів.

Площа підстави призми правильної

Мабуть, найпростішим завданням при роботі з призмами є проблема знаходження площі підстави правильної фігури. Оскільки воно утворено n-кутником, у якого всі кути і довжини сторін є однаковими, то завжди можна розділити його на однакові трикутники, у яких відомі кути і сторони. Сумарна площа трикутників буде площею n-кутника.

Ще один спосіб визначити частину площі поверхні призми (підстава) полягає в використанні відомої формули. Вона має такий вигляд:

S n \u003d n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)

Тобто площа S n n-кутника однозначно визначається виходячи з знання довжини його сторони a. Деяку складність при розрахунку за формулою може скласти обчислення котангенс, особливо коли n\u003e 4 (для n≤4 значення котангенса - це табличні дані). Для визначення цієї тригонометричної функції рекомендується скористатися калькулятором.

При постановці геометричній завдання слід бути уважним, оскільки може знадобитися знайти площу підстав призми. Тоді отримане за формулою значення слід помножити на два.

Площа підстави трикутної призми

На прикладі трикутної призми розглянемо, як можна знайти площу основи цієї фігури.

Спочатку розглянемо простий випадок - правильну призму. Площа підстави обчислюється за наведеною в пункті вище формулою, потрібно підставити в неї n \u003d 3. отримуємо:

S 3 \u003d 3/4 * a 2 * ctg (pi / 3) \u003d 3/4 * a 2 * 1 / √3 \u003d √3 / 4 * a 2

Залишається підставити у вираз конкретні значення довжини сторони a рівностороннього трикутника, щоб отримати площа одного підстави.

Тепер припустимо, що є призма, основа якої є довільний трикутник. Відомі дві його сторони a і b і кут між ними α. Ця фігура зображена нижче.

Як в цьому випадку знайти площу основи призми трикутної? Необхідно згадати, що площа будь-якого трикутника дорівнює половині твори боку і висоти, опущеної на цю сторону. На малюнку проведена висота h до сторони b. Довжина h відповідає твору синуса кута альфа на довжину сторони a. Тоді площа всього трикутника дорівнює:

S \u003d 1/2 * b * h \u003d 1/2 * b * a * sin (α)

Це і є площа підстави зображеної трикутної призми.

бічна поверхня

Ми розібрали, як знайти площу основи призми. Бічна поверхня цієї фігури завжди складається з паралелограмів. Для прямих призм паралелограми стають прямокутниками, тому сумарну їх площа обчислити легко:

S \u003d Σ i \u003d 1 n (a i * b)

Тут b - довжина бічного ребра, a i - довжина сторони i-го прямокутника, яка збігається з довжиною сторони n-кутника. У разі правильної n-вугільної призми отримуємо простий вислів:

Якщо призма є похилій, тоді для визначення площі її бічної поверхні слід зробити перпендикулярний зріз, розрахувати його периметр P sr і помножити його на довжину бічного ребра.

Малюнок вище показує, як слід робити цей зріз для похилій п'ятикутної призми.

Інструкція

Багатокутник, що лежить в основі, може бути правильним, тобто таким, усі сторони якого рівні, і неправильним. Якщо в основі призми лежить правильний, то обчислити його площу можна за формулою S \u003d 1 / 2P * r, де S - це площа, P - це багатокутника (сума довжин всіх його сторін), а r - радіус кола, вписаного в багатокутник.

Наочно уявити собі радіус вписаного в правильний багатокутник кола можна, розділивши багатокутник на рівні. Висота, проведена з вершини кожного трикутника до сторони багатокутника, що є підставою трикутника, і буде радіусом вписаного кола.

Якщо ж багатокутник неправильний, то для обчислення площі призми необхідно розбити його на трикутники і окремо знаходити площа кожного трикутника. Площі трикутників знаходимо за формулою S \u003d 1 / 2bh, де S - це площа трикутника, b - його сторона, а h - висота, проведена до сторони b. Після того, як ви вирахували площі всіх трикутників, що становлять багатокутник, просто підсумуйте ці площі, щоб отримати загальну площу основи призми.

Відео по темі

джерела:

• площа призми

В геометрії паралелепіпед - тривимірне число, сформований шістьма паралелограма (термін ромбоїд також іноді використовується з цим значенням).

Інструкція

У Евклідовій геометрії його охоплює всі чотири поняття (тобто, паралелепіпед, паралелограм, куб, і квадрат). У цьому контексті геометрії, в якій не диференційовані кути, його визначення допускає тільки паралелограм і паралелепіпед. Три еквівалентних визначення:
* Багатогранник з шістьма гранями (), кожен з яких є паралелограма,

* Шестигранник з трьома парами паралельних граней,

* Призма, якою - паралелограм.

Обсяг паралелепіпеда - сукупність величин його основи - A і його висоти - H. Основа - одна з шести граней паралелепіпеда. Висота - перпендикулярний відстань між основою і протилежною стороною.

Альтернативний метод визначення обсягу паралелепіпеда здійснюється за допомогою його векторів \u003d (А1, А2, А3), b \u003d (B1, B2, B3). Обсяг паралелепіпеда, отже, дорівнює абсолютній величині трьох значень - a (b × c):
A \u003d | b | | C | ступінь похибки при цьому θ \u003d | b × c |,

де θ - кут між b і c, і висота

H \u003d | a |, тому що α,

де α - внутрішній кут між a і h.

Відео по темі

Форму паралелепіпеда мають багато реальні об'єкти. Прикладами є кімната і басейн. Деталі, що мають таку форму - не рідкість і в промисловості. З цієї причини нерідко виникає задача знаходження обсягу даної фігури.

Інструкція

Паралелепіпед являє собою призму, основою якої є паралелограм. У паралелепіпеда є межі - всі площини, що формують дану фігуру. Всього у нього шість граней, причому, всі вони є паралелограма. Його протилежні грані між собою рівні і паралельні. Крім того, він має діагоналі, які перетинаються в одній точці і в ній діляться навпіл.

Паралелепіпед двох видів. У першого всі грані є паралелограма, а у другого - прямокутниками. Останній з них називається прямокутним параллелепипедом. У нього всі грані прямокутні, а бічні грані перпендикулярні до основи. Якщо прямокутний має межі, яких - квадрати, то він називається кубом. В цьому випадку, його межі і. Ребром називається сторона будь-якого багатогранника, до числа яких належить і паралелепіпед.

Для того, щоб умовах завдання. У звичайного паралелепіпеда в основі знаходиться паралелограм, а у прямокутного - прямокутник або квадрат, у якого завжди кути прямі. Якщо в основі паралелепіпеда лежить паралелограм, то його обсяг знаходиться наступним чином:
V \u003d S * H, де S - площа підстави, H-висота паралелепіпеда
Висотою паралелепіпеда зазвичай виступає його бічне ребро. В основі паралелепіпеда може лежати і паралелограм, який не є прямокутником. З курсу планіметрії відомо, що площа паралелограма дорівнює:
S \u003d a * h, де h - висота паралелограма, a - довжина підстави, тобто :
V \u003d a * hp * H

Якщо має місце другий випадок, коли підстава паралелепіпеда - прямокутник, то обсяг обчислюється за тією ж формулою, але площа підстави знаходиться дещо в інший спосіб:
V \u003d S * H,
S \u003d a * b, де a і b - відповідно, сторони прямокутника і ребра паралелепіпеда.
V \u003d a * b * H

Для знаходження обсягу куба слід керуватися простими логічними способами. Оскільки всі грані і ребра куба рівні, а в підставі куба - квадрат, керуючись формулами, зазначеними вище, можна вивести таку формулу:
V \u003d a ^ 3

Паралелепіпед в геометрії - це тривимірне число, яке сформовано шістьма паралелограма. Форму паралелепіпеда можна зустріти всюди, її має більшість сучасних об'єктів. Так, наприклад, готелі і житлові будинки, кімнати і басейни і т.д. Мають такою формою і багато промислових деталі, саме тому часто виникає завдання знаходження обсягу даної фігури.

Інструкція

Однак і другий вид паралелепіпедів, в якому всі грані прямокутні, а бічні розташовані перпендикулярно до основи. Такий паралелепіпед називається прямокутним. Слід знати, що протилежні сторони паралелепіпеда рівні між собою, а також ця фігура має діагоналі, що перетинаються в одній точці, яка ділить їх навпіл.

Визначтеся, обсяг, якого паралелепіпеда (звичайного або прямокутного) вам слід дізнатися.

Якщо паралелепіпед звичайний (в основі лежить паралелограм). Дізнайтеся площа підстави і висоту своєї фігури. Обчисліть об'єм паралелепіпеда по правило, висотою паралелепіпеда виступає бічне ребро фігури.

Крім зазначеного способу, дізнатися обсяг паралелепіпеда можна і в такий спосіб. Дізнайтеся площа. Для цього зробіть обчислення за вказаною нижче формулою S \u003d a * h, де h в такій формулі - висота фігури, а - довжина підстави паралелограма.

Знайдіть об'єм паралелепіпеда за формулою V \u003d a * hp * H, де р у формулі - периметр підстави фігури. Якщо вам в завданні дано прямокутний паралелепіпед, то обсяг ви можете знайти за такою ж формулою: V \u003d S * H.

Однак площа підстави фігури буде перебувати в такий спосіб: S \u003d a * b, де a і b у формулі - це сторони прямокутника і відповідно ребра паралелепіпеда. Знайдіть об'єм фігури за формулою V \u003d a * b * H.

Відео по темі

Рада 5: Як знайти об'єм паралелепіпеда через підставу

Під параллелепипедом мається на увазі об'ємна геометрична фігура, Багатогранник, підставою і бічними гранями якого є паралелограми. Підстава паралелепіпеда - це той чотирикутник, на якому цей багатогранник візуально "лежить". Знайти обсяг паралелепіпеда через його підставу дуже легко.

Інструкція

Як було сказано вище, підставою паралелепіпеда. Для того, щоб знайти паралелепіпеда, необхідно з'ясувати площу того паралелограма, який лежить в основі. Для це, в залежності від даних, кілька формул:

S \u003d a * h, де а - сторона паралелограма, h - висота, проведена до цієї сторони; м

S \u003d a * b * sinα, де, a і b - сторони паралелограма, α - кут між даними сторонами.

Приклад 1: Дан паралелограм, у якого одна зі сторін 15 см, довжина висоти, проведеної до цієї стороні, 10 см. Тоді, щоб знайти площу даної фігури на площині, застосовується перша з двох зазначених вище формул:

S \u003d 10 * 15 \u003d 150 см²

Відповідь: Площа паралелограма становить 150 см²

Тепер, розібравшись з тим, як знаходити площа паралелограма, можна приступити до знаходження об'єму паралелепіпеда. можна знайти за формулою:

V \u003d S * h, де h - висота даного паралелепіпеда, S - площа його заснування, перебування якої було розглянуто вище.

Можна розглянути приклад, який би включав розв'язану вище завдання:

Площа підстави паралелограма 150 см², його висота, припустимо, 40 см, потрібно знайти об'єм даного паралелепіпеда. Вирішується це завдання за допомогою даної вище формули:

V \u003d 150 * 40 \u003d 6000 см³

Однією з різновидів паралелепіпеда є прямокутний паралелепіпед, у якого бічні грані і підстава є прямокутниками. У цієї фігури знайти об'єм ще простіше, ніж у звичайного прямого паралелепіпеда, знаходження обсягу якого було розглянуто вище:

V \u003d a * b * c, де a, b, c, - це довжина, ширина і висота даного паралелепіпеда.

Приклад: У прямокутного паралелепіпеда довжина і ширина підстави складають 12 см і 14 см, довжина бічної грані (висоти) 14 см, потрібно обчислити обсяг фігури. Вирішується завдання таким ось чином:

V \u003d 12 * 14 * 14 \u003d 2352 см³

Відповідь: обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює 2352 см³

Паралелепіпед - це призма (багатогранник), в основі якої лежить паралелограм. У паралелепіпеда - шість граней, теж паралелограми. Розрізняють декілька типів паралелепіпеда: прямокутний, прямий, похилий і куб.

Інструкція

Прямим паралелепіпед, у якого чотири бічні грані - прямокутники. Для обчислення потрібно площа підстави помножити на висоту - V \u003d Sh. Припустимо, підстава прямого - паралелограм. Тоді площа підстави буде дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони - S \u003d AС. Тоді V \u003d ach.

Прямокутним називається прямий паралелепіпед, у якого всі шість граней - прямокутники. Приклади:, сірникова коробка. Для потрібно площа підстави помножити на висоту - V \u003d Sh. Площа підстави в даному випадку - це площа прямокутника, тобто твір величин двох його сторін - S \u003d ab, де a - ширина, b - довжина. Отже, отримуємо шуканий обсяг - V \u003d abh.

Похилим називається паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні граням підстави. У цьому випадку обсяг дорівнює добутку площі підстави на висоту - V \u003d Sh. Висота похилого паралелепіпеда - перпендикулярний відрізок, опущений з будь-якою верхнім вершини на відповідну сторону підстави бічній грані (тобто висота будь-якої бічної грані).

Кубом називається прямий паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, а всі шість граней є квадратами. Обсяг дорівнює добутку площі підстави на висоту - V \u003d Sh. Підстава - квадрат, площа підстави якого дорівнює добутку двох його сторін, тобто величина боку в квадраті. Висота куба - та ж величина, тому в даному випадку обсягом буде величина ребра куба, зведена в третю ступінь - V \u003d a³.

Зверніть увагу

Підстави паралелепіпеда завжди паралельні один одному, це випливає з визначення призми.

Корисна порада

Вимірювання паралелепіпеда - це довжини його ребер.

Обсяг завжди дорівнює добутку площі підстави на висоту паралелепіпеда.

Обсяг похилого паралелепіпеда може бути обчислений, як твір величини бічного ребра на площу перпендикулярного йому перетину.

Паралелепіпед - це окремий випадок призми. Його відмінна риса полягає в чотирикутної форми всіх граней, а також в паралельності кожної пари стоять один навпроти одного площин. Існує загальна формула для обчислення обсягу, укладеного всередині цієї фігури, а також кілька її спрощених варіантів для окремих випадків такого шестикутника.

Інструкція

Почніть з обчислення площі підстави (S) паралелепіпеда. Протилежні сторони чотирикутника, що утворює цю площину об'ємної фігури, за визначенням повинні бути паралельні, а кут між ними може бути будь-яким. Тому площа грані визначте множенням довжин її двох суміжних ребер (a і b) на кута (?) Між ними: S \u003d a * b * sin (?).

Помножте отримане значення на довжину ребра паралелепіпеда (с), що утворює загальний тривимірний кут із сторонами a і b. Так як бічна грань, якій належить це ребро, за визначенням не обов'язково повинна бути перпендикулярна паралелепіпеда, то розраховане значення помножте ще й на синус кута нахилу (?) Бічній грані: V \u003d S * c * sin (?). У загальному вигляді формулу обчислення довільного паралелепіпеда можна записати так: V \u003d a * b * c * sin (?) * Sin (?). Наприклад, нехай в основі паралелепіпеда лежить грань, ребра якої мають довжини 15 і 25 і кут між ними в 30 °, а бічні грані нахилені на 40 ° і мають ребро, довжиною в 20см. Тоді цієї фігури буде дорівнює 15 * 25 * 20 * sin (30 °) * sin (40 °)? 7500 * 0,5 * 0,643? 2411,25см ?.

Якщо потрібно обчислити об'єм прямокутного паралелепіпеда, то формулу можна значно спростити. В силу того, що синус 90 ° дорівнює одиниці, поправки на кути можна прибрати з формули, а значить, буде досить перемножити довжини трьох суміжних ребер паралелепіпеда: V \u003d a * b * c. Наприклад, для фігури з довжинами ребер, використаними в прикладі на попередньому кроці, обсяг складе 15 * 25 * 20 \u003d 7500см ?.

Ще більш проста формула для обчислення обсягу куба - прямокутного паралелепіпеда, все ребра якого мають однакову довжину. Зведіть довжину цього ребра (a) в куб, щоб отримати шукане значення: V \u003d a ?. Наприклад, у прямокутного паралелепіпеда, довжини всіх ребер якого рівні 15см, обсяг буде дорівнює 153 \u003d 3375см ?.

Відео по темі

Прямокутний паралелепіпед - це призма, всі грані якої утворені прямокутниками. Протилежні грані його рівні і паралельні, а кути, утворені перетинанням двох граней, є прямими. Знайти обсяг прямокутного паралелепіпеда дуже просто.

Вам знадобиться

• Довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда.

Інструкція

Перш за все треба відзначити, що межі, що утворюють даний тип, є прямокутниками. Його площа знаходиться шляхом перемноження друг на друга пари його сторін. Інакше кажучи, нехай a - довжина прямокутника, а b - його ширина. Тоді площа його буде розрахована як a * b.

Виходячи з стає очевидним, що всі протилежні грані рівні один одному. Це стосується і підстави - межі, на яку фігура "впирається".

Висота прямокутного паралелепіпеда - це довжина бічного паралелепіпеда. Висота залишається величиною постійною, це ясно з визначення прямокутного паралелепіпеда. Тепер для того, щоб допомоги формули це можна висловити так:
V \u003d a * b * c \u003d S * c, де c - висота.

При всій простоті обчислення, треба розглянути приклад:
Припустимо, дано прямокутний паралелепіпед, у якого довжина і ширина підстави 9 і 7 см, а висота становить 17 см, потрібно знайти об'єм фігури. Насамперед необхідно з'ясувати площу підстави даного паралелепіпеда: 9 * 7 \u003d 63 кв.см
Далі обчислене значення множиться на висоту: 63 * 17 \u003d 1071 куб.см
Відповідь: обсяг прямокутного паралелепіпеда становить 1 071 куб.см

Відео по темі

Зверніть увагу

Довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда носять назву параметрів. Якщо в прямокутному паралелепіпеді всі параметри рівні між собою, то фігура буде кубом. Виходячи з визначення, в кубі кожна грань є квадратом. Тому обсяг такого паралелепіпеда визначається шляхом зведення значення межі в третю ступінь:
S \u003d a³

Для вас ще кілька нескладних задачок на рішення призми. Розглянемо пряму призму з прямокутним трикутником в основі. Ставиться питання про знаходження обсягу або площі поверхні. Формула обсягу призми:

Формула площі поверхні призми (загальна):

* У прямої призми бокова поверхня складається з прямокутників і дорівнює вона добуткупериметра підстави і висоти призми. Необхідно пам'ятати формулу площі трикутника. В даному випадку, маємо прямокутний трикутник - його площа дорівнює половині твори катетів. Розглянемо завдання:

Підставою прямої трикутної призми служить прямокутний трикутник з катетами 10 і 15, бічне ребро дорівнює 5. Знайдіть об'єм призми.

Площа підстави це площа прямокутного трикутника. Вона дорівнює половині площі прямокутника зі сторонами 10 і 15).

Таким чином, шуканий обсяг дорівнює:

Відповідь: 375

Підставою прямої трикутної призми служить прямокутний трикутник з катетами 20 і 8. Обсяг призми дорівнює 400. Знайдіть її бічне ребро.

Завдання зворотна попередньої.

Обсяг призми:

Площа підстави це площа прямокутного трикутника:

Таким чином

Відповідь: 5

Підставою прямої трикутної призми служить прямокутний трикутник з катетами 5 і 12, висота призми дорівнює 8. Знайдіть площу її поверхні.

Площа поверхні призми складається з площ всіх граней - це два рівних по площі підстави і бокова поверхня.

Для того, щоб знайти площі всіх граней необхідно знайти третю сторону основи призми (гіпотенузу прямокутного трикутника).

По теоремі Піфагора:

Тепер ми можемо знайти площу основи і площа бічної поверхні. Площа підстави дорівнює:

Площа бічної поверхні призми з периметром заснування дорівнює:

* Можна обійтися без формули і просто скласти площі трьох прямокутників:

Площа бічної поверхні призми. Добридень! У цій публікації ми з вами розберемо групу завдань по стереометрії. Розглянемо комбінацію тел - призми і циліндра. На даний момент ця стаття завершує всю серію статей пов'язаних з розглядом типів завдань по стереометрії.

Якщо в банку завдань будуть з'являтися нові, то, звичайно ж, будуть і доповнення на блозі в майбутньому. Але і того що вже є цілком достатньо, щоб ви могли навчитися вирішувати всі завдання з короткою відповіддю в складі іспиту. Матеріалу вистачить на роки вперед (програма з математики статична).

Представлені завдання пов'язані з обчисленням площі призми. Зазначу, що нижче розглядається пряма призма (і відповідно прямий циліндр).

Без знання всяких формул, ми розуміємо, що бокова поверхня призми це все її бічні грані. У прямої призми бічні грані це прямокутники.

Площа бічної поверхні такої призми дорівнює сумі площ всіх її бічних граней (тобто прямокутників). Якщо мова йде про правильну призмі, в яку вписано циліндр, то зрозуміло, що всі грані цієї призми є рівними прямокутниками.

Формально площа бічної поверхні правильної призми можна відобразити так:

27064. Правильна чотирикутна призма описана близько циліндра, радіус підстави і висота якого рівні 1. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Бічна поверхня даної призми складається з чотирьох рівних по площі прямокутників. Висота межі дорівнює 1, ребро підстави призми дорівнює 2 (це два радіуса циліндра), отже площа бічної грані дорівнює:

Площа бічної поверхні:

73023. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, описаної близько циліндра, радіус основи якого дорівнює √0,12, а висота дорівнює 3.

Площа бічної поверхні даної призми дорівнює сумі площ трьох бічних граней (прямокутників). Для знаходження площі бічної грані необхідно знати її висоту і довжину ребра підстави. Висота дорівнює трьом. Знайдемо довжину ребра підстави. Розглянемо проекцію (вид зверху):

Маємо правильний трикутник в який вписане коло з радіусом √0,12. З прямокутного трикутника АОС можемо знайти АС. А потім і AD (AD \u003d 2АС). За визначенням тангенса:

Значить AD \u003d 2АС \u003d 1,2.Такім чином, площа бічної поверхні дорівнює:

27066. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, описаної близько циліндра, радіус основи якого дорівнює √75, а висота дорівнює 1.

Шукана площа дорівнює сумі площ всіх бічних граней. У правильної шестикутної призми бічні грані це рівні прямокутники.

Для знаходження площі грані необхідно знати її висоту і довжину ребра підстави. Висота відома, вона дорівнює 1.

Знайдемо довжину ребра підстави. Розглянемо проекцію (вид зверху):

Маємо правильний шестикутник, в який вписане коло радіуса √75.

Розглянемо прямокутний трикутник АВО. Нам відомий катет ОВ (це радіус циліндра). ще можемо визначити кут АОВ, він дорівнює 300 (трикутник АОС рівносторонній, ОВ -біссектріса).

Скористаємося визначенням тангенса в прямокутному трикутнику:

АС \u003d 2АВ, так як ОВ є медіаною, тобто ділить АС навпіл, значить АС \u003d 10.

Таким чином, площа бічної грані дорівнює 1 ∙ 10 \u003d 10 і площа бічної поверхні:

76485. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, вписаної в циліндр, радіус основи якого дорівнює 8√3, а висота дорівнює 6.

Площа бічної поверхні зазначеної призми з трьох рівних по площі граней (прямокутників). Щоб знайти площу потрібно знати довжину ребра підстави призми (висота нам відома). Якщо розглядати проекцію (вид зверху), то маємо правильний трикутник вписаний в коло. Сторона цього трикутника виражається через радіус як:

Подробиці цього взаємозв'язку. Значить вона буде дорівнює

Тоді площа бічної грані дорівнює: 24 ∙ 6 \u003d 144. А шукана площа:

245354. Правильна чотирикутна призма описана близько циліндра, радіус основи якого дорівнює 2. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48. Знайдіть висоту циліндра.

визначення.

Це шестигранник, підставами якого є два рівних квадрата, а бічні грані є рівні прямокутники

бічне ребро - це загальна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми - це відрізок, перпендикулярний підставах призми

Діагональ призми - відрізок, що з'єднує дві вершини підстав, які не належать до однієї грані

діагональна площину - площина, яка проходить через діагональ призми і її бічні ребра

діагональне перетин - межі перетину призми і діагональної площині. Діагональне перетин правильної чотирикутної призми є прямокутник

Перпендикулярне перетин (ортогональное перетин) - це перетин призми і площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними буквами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні і паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C і CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ всіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ всіх підстав і бічних граней (сума площі бічної поверхні і підстав)
• Бічні ребра AA 1, BB 1, CC 1 і DD 1.
• Діагональ B 1 D
• Діагональ підстави BD
• Діагональне перетин BB 1 D 1 D
• Перпендикулярне перетин A 2 B 2 C 2 D 2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівних квадрата
• Підстави паралельні один одному
• Бічними гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні підставах
• Бічні ребра паралельні між собою і дорівнюють
• Перпендикулярне перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно підставах
• Кути перпендикулярного перетину - прямі
• Діагональне перетин правильної чотирикутної призми є прямокутник
• Перпендикулярне (ортогональное перетин) паралельно підставах

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

правильна призма - призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні площинах підстави. Тобто правильна чотирикутна призма містить в своїй основі квадрат. (Див. Вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку з завданнями по геометрії (розділ стереометрія - призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі при вирішенні. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Для позначення дії добування квадратного кореня в рішеннях задач використовується символ√ .

Завдання.

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи і висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, по теоремі Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√ ((12√2) 2 + 14 2) \u003d 22 см

відповідь: 22 см

завдання

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то сторону підстави (позначимо як a) знайдемо по теоремі Піфагора:

A 2 + a 2 \u003d 5 2
2a 2 \u003d 25
a \u003d √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді буде дорівнює:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 \u003d 16
h 2 \u003d 3,5
h \u003d √3,5

Площа повної поверхні буде дорівнює сумі площі бічної поверхні і подвоєної площі підстави

S \u003d 2a 2 + 4ah
S \u003d 25 + 4√12,5 * √3,5
S \u003d 25 + 4√43,75
S \u003d 25 + 4√ (175/4)
S \u003d 25 + 4√ (7 * 25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.

Відповідь: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.