Системи квадратних нерівностей приклади з рішенням. Квадратні нерівності. Метод інтервалів. Що являє собою квадратне нерівність

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Що таке "Квадратне нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якийквадратне рівняння і замінити в ньому знак "=" (Так само) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), Вийде квадратне нерівність. наприклад:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну ви зрозуміли...)

Я не дарма тут пов'язав рівняння і нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якогоквадратного нерівності - вирішити рівняння, з якого це нерівність зроблено.З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу і в нерівностях. Натяк зрозумілий?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все детально розписано. А в цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готове для вирішення нерівність має вигляд: зліва - квадратний тричлен ax 2 + bx + c, Праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-який. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

квадратними нерівностяминазивають, які можна привести до виду \ (ax ^ 2 + bx + c \) \ (⋁ \) \ (0 \), де \ (a \), \ (b \) і \ (с \) - будь-які числа (причому \ (a ≠ 0 \)), \ (x \) - невідома, а \ (⋁ \) - будь-який із символів порівняння (\ (> \), \ (<\),$≤$,$≥$).

Простіше кажучи, такі нерівності виглядають як, але зі замість знака одно.
приклади:

\ (X ^ 2 + 2x-3> 0 \)
\ (3x ^ 2-x≥0 \)
\ ((2x + 5) (x-1) ≤5 \)

Як вирішувати квадратні нерівності?

Квадратні нерівності зазвичай вирішують. Нижче наведено алгоритм, як вирішувати квадратні нерівності з дискримінантом більше нуля. Рішення квадратних нерівностей з дискримінантом рівним нулю або менше нуля - розібрані окремо.

Приклад. Вирішіть квадратне нерівність \ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
Рішення:

\ (\ Frac (x ^ 2) (5) + \ frac (2x) (3) \)\ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
\ (D = 100 + 4⋅3⋅8 = 196 = 14 ^ 2 \) \ (X_1 = \ frac (-10-14) (6) = - 4 \) \ (x_2 = \ frac (-10 + 14) (6) = \ frac (2) (3) \)		Коли коріння знайдені, запишемо нерівність в вигляді.
\ (3 (x + 4) (x- \ frac (2) (3)) ≥0 \)		Тепер накреслив числову вісь, відзначимо на ній коріння і розставимо знаки на інтервалах.
		Випишемо в відповідь цікавлять нас інтервали. Так як знак нерівності \ (≥ \), то нам потрібні інтервали зі знаком \ (+ \), при цьому самі корені ми включаємо у відповідь (дужки на цих точках - квадратні).

відповідь : \ (X∈ (-∞; -4] ∪ [\ frac (2) (3); ∞) \)

Квадратні нерівності з негативним і рівним нулю дискримінантом

Алгоритм вище працює, коли дискримінант більше нуля, тобто має \ (2 \) кореня. Що робити в інших випадках? Наприклад, таких:

\ (1) x ^ 2 + 2x + 9> 0 \)	\ (2) x ^ 2 + 6x + 9≤0 \)	\ (3) -x ^ 2-4x-4> 0 \)	\ (4) -x ^ 2-64<0\)
\ (D = 4-36 = -32<0\)			\ (D = -4 \ cdot 64<0\)

Якщо \ (D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента $a$ (тем, что стоит перед $x^2$).

Тобто, вираз:
\ (X ^ 2 + 2x + 9 \) - позитивно за будь-яких \ (x \), тому що \ (A = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \) - негативно при будь-яких \ (x \), тому що \ (A = -1<0\)

Якщо \ (D = 0 \), то квадратний тричлен при одному значенні \ (x \) дорівнює нулю, а при всіх інших має постійний знак, який збігається зі знаком коефіцієнта \ (a \).

Тобто, вираз:
\ (X ^ 2 + 6x + 9 \) - дорівнює нулю при \ (x = -3 \) і позитивно при всіх інших іксах, тому що \ (A = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-4x-4 \) - дорівнює нулю при \ (x = -2 \) і негативно при всіх інших, тому що \ (A = -1<0\).

Як знайти ікс, при якому квадратний тричлен дорівнює нулю? Потрібно вирішити відповідне квадратне рівняння.

З урахуванням цієї інформації давайте вирішимо квадратні нерівності:

1) \ (x ^ 2 + 2x + 9> 0 \) \ (D = 4-36 = -32<0\)		Нерівність, можна сказати, задає нам питання: «при яких \ (x \) вираз зліва більше нуля?». Вище ми вже з'ясували, що при будь-яких. У відповіді можна так і написати: «за будь-яких \ (x \)», але краще ту саму думку, висловити мовою математики.
Відповідь: \ (x∈ (-∞; ∞) \)
2) \ (x ^ 2 + 6x + 9≤0 \) \ (D = 36-36 = 0 \)		Питання від нерівності: «при яких \ (x \) вираз зліва менше або дорівнює нулю?» Менше нуля воно бути не може, а ось дорівнює нулю - цілком. І щоб з'ясувати при якому позові це станеться, вирішимо відповідні квадратне рівняння.
		Давайте зберемо наше вираз по \ (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 \).
		Зараз нам заважає тільки квадрат. Давайте разом подумаємо - яка кількість в квадраті дорівнює нулю? Нуль! Значить, квадрат вирази дорівнює нулю тільки якщо сам вираз дорівнює нулю.
\ (X + 3 = 0 \) \ (X = -3 \)		Це число і буде відповіддю.
Відповідь: \ (- 3 \)
3) \ (- x ^ 2-4x-4> 0 \) \ (D = 16-16 = 0 \)		Коли вираз зліва більше нуля? Як вище вже було сказано вираз зліва або негативно, або дорівнює нулю, позитивним воно бути не може. Значить відповідь - ніколи. Запишемо «ніколи» на мові математики, за допомогою символу «порожня множина» - \ (∅ \).
Відповідь: \ (x∈∅ \)
4) \ (- x ^ 2-64<0\) \ (D = -4 \ cdot 64<0\)		Коли вираз зліва менше нуля? Завжди. Значить нерівність виконується при будь-яких \ (x \).
Відповідь: \ (x∈ (-∞; ∞) \)

Перш ніж розбиратися, як вирішувати квадратне нерівність, Давайте розглянемо, яке нерівність називають квадратним.

Запам'ятайте!

нерівність називають квадратним, Якщо старша (найбільша) ступінь невідомого «x» дорівнює двом.

Потренуємося визначати тип нерівності на прикладах.

Як вирішити квадратне нерівність

У попередніх уроках ми розбирали, як вирішувати лінійні нерівності. Але на відміну від лінійних нерівностей квадратні вирішуються зовсім іншим чином.

Важливо!

Вирішувати квадратне нерівність таким же чином як і лінійне не можна!

Для вирішення квадратного нерівності використовується спеціальний спосіб, який називається методом інтервалів.

Що таке метод інтервалів

методом інтервалівназивають спеціальний спосіб вирішення квадратних нерівностей. Нижче ми пояснимо, як використовувати цей метод і чому він отримав таку назву.

Запам'ятайте!

Щоб вирішити квадратне нерівність методом інтервалів потрібно:

Ми розуміємо, що правила, описані вище, важко сприймати тільки в теорії, тому відразу розглянемо приклад рішення квадратного нерівності за алгоритмом вище.

Потрібно вирішити квадратне нерівність.

Тепер, як сказано в, намалюємо «арки» над інтервалами між зазначеними точками.

Проставимо знаки всередині інтервалів. Справа наліво чергуючи, починаючи з «+», відзначимо знаки.

Нам залишилося тільки виконати, тобто вибрати потрібні інтервали і записати їх у відповідь. Повернемося до нашого нерівності.

Так як в нашому нерівності « x 2 + x - 12 », значить, нам потрібні негативні інтервали. Заштріхуем всі негативні області на числової осі і випишемо їх у відповідь.

Негативним інтервалом виявився лише один, який знаходиться між числами «-3» і «4», тому запишемо його у відповідь у вигляді подвійного нерівності
«-3».

Запишемо отриману відповідь квадратного нерівності.

Відповідь: -3

До слова сказати, саме через те, що при вирішенні квадратного нерівності ми розглядаємо інтервали між числами, метод інтервалів і отримав свою назву.

Після отримання відповіді має сенс зробити його перевірку, щоб переконатися в правильності рішення.

Виберемо будь-яке число, яке знаходиться в заштрихованої області отриманої відповіді « -3 »і підставимо його замість« x »в вихідне нерівність. Якщо ми отримаємо вірне нерівність, значить ми знайшли відповідь квадратного нерівності вірно.

Візьмемо, наприклад, з інтервалу число «0». Підставами його у вихідне нерівність «x 2 + x - 12».

X 2 + x - 12
0 2 + 0 - 12 -12 (вірно)

Ми отримали вірне нерівність при підстановці числа з області рішень, значить відповідь знайдений правильно.

Короткий запис вирішення методом інтервалів

Скорочено запис рішення квадратного нерівності « x 2 + x - 12 »методом інтервалів буде виглядати так:

X 2 + x - 12
x 2 + x - 12 = 0

x 1 =

1+ 7

x 2 =

1 − 7

x 1 =

x 2 =

x 1 =

1+ 1

x 2 =

1 − 1

x 1 =

x 2 =

x 1 =

x 2 = 0

Відповідь: x ≤ 0; x ≥

Розглянемо приклад, де перед «x 2» в квадратному нерівності варто негативний коефіцієнт.

Загальний вигляд квадратного нерівності після перенесення всіх виразів на одну сторону нерівності є однією з наступних форм:

$ Ax ^ 2 + bx + c> 0 $, або $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 $ або $ ax ^ 2 + bx + c

Коли $ a \ neq 0 $, а також $ b, c \ in \ mathbb (R) $

Рішенням кожного нерівності зазначеного вище, є знаходження всіх дійсних чисел, якими можна замінити $ x $ так, щоб нерівність було вірним.

Наприклад, якщо ми заявляємо, що $ x = 1 $ є одним з коренів нерівності $ x ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 $. Підставивши 1 замість всіх змінних $ x $ в нерівності, ми отримаємо, що $ 1 ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 \ rightarrow \ frac (1) (2)> 0 $,
що завжди вірно. Тому $ x = 1 $ є одним з рішень даного нерівності.

Тепер ми навчимося вирішувати нерівності (1).

По-перше, ми розглянемо рівняння з двома змінними, $ y = ax ^ 2 + bx + c $, і припустимо, що $ ax ^ 2 + bx + c $ дорівнює нулю. тоді:

$ Ax ^ 2 + bx + c = 0 \ rightarrow a (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a)) = 0 \ rightarrow ^ (a \ neq 0) x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \ rightarrow $
$ X ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) = 0 \ rightarrow (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) = 0 \ rightarrow $
$ (X + \ frac (b) (2a)) ^ 2 = \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2)) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow $
$ X = \ frac (-b) (2a) \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2 - 4ac) ) (2a) $

З цього випливає, що графік квадратного рівняння перетинає вісь x у точці $ x_1 = \ frac (-b + \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ і $ x_2 = \ frac (-b - \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $

Ці нулі поділяють числову пряму на три інтервали:

$ (- \ infty, x_1) $, $$, $ (x_2, + \ infty) $,

допускаючи, що $ x_1

Тепер нехай $ \ Delta = b ^ 2 - 4ac $.

Ми можемо розглянути три зазначених нижче випадку:

$ \ Delta> 0 $
$ \ Delta = 0 $
$ \ Delta

Випадок 1:Якщо $ \ Delta> 0 $,

Тоді $ ax ^ 2 + bx + c $ має два різних кореня $ (x_1 \ neq x_2) $.
Тепер, якщо $ a> 0 $, то його графік виходить таким, як на "Рисунку а".
Якщо $ a "рисунку b". Тому, якщо $ a> 0 $ і, якщо маємо $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 (ax ^ 2 + bx + c> 0) $, то тоді безліч рішень це:
$ (- \ infty, x_1] \ cup $ $ ((x_1, x_2)) $
З іншого боку, якщо $ a 0) $, тоді безліч рішень це:
$$ $ ((x_1, x_2)) $
А якщо маємо $ ax ^ 2 + bx + c \ leq 0 (ax ^ 2 + bx + c $ (- \ infty, x_1] \ cup \ cup ∪ [1 + 3, 4, + ∞) або x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 +3 4.

приклад 3

Виконайте рішення квадратного нерівності - 1 | 7 · x 2 + 2 · x - 7< 0 методом интервалов.

Рішення

Для початку знайдемо коріння квадратного тричлена з лівої частини нерівності:

D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Це суворе нерівність, тому на графіку використовуємо «порожню» точку. З координатою 7.

Тепер нам потрібно визначити знаки на отриманих проміжках (- ∞, 7) і (7, + ∞). Так як дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, а старший коефіцієнт негативний, то ми проставляємо знаки -, -:

Так як ми вирішуємо нерівність зі знаком< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

В даному випадку рішеннями є обидва проміжку (- ∞, 7), (7, + ∞).

відповідь:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) або в іншому записі x ≠ 7.

приклад 4

Чи має квадратне нерівність x 2 + x + 7< 0 решения?

Рішення

Знайдемо коріння квадратного тричлена з лівої частини нерівності. Для цього знайдемо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Дискримінант менше нуля, значить, дійсних коренів немає.

Графічне зображення буде мати вигляд числової прямої без зазначених на ній точок.

Визначимо знак значень квадратного тричлена. при D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

Штрихування ми могли б завдати в даному випадку над проміжками зі знаком «-». Але таких проміжків у нас немає. Отже, креслення зберігає ось такий вигляд:

В результаті обчислень ми отримали порожня множина. Це означає, що дане квадратне нерівність рішень не має.

відповідь:Ні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Схожі публікації