Розрахунок довжини прямокутника. Площа прямокутника. Формули визначення довжин сторін прямокутника

прямокутник- це чотирикутник, у якого кожен кут є прямим.

Доведення

Властивість пояснюється дією ознаки 3 паралелограма (тобто \ angle A = \ angle C, \ angle B = \ angle D)

2. Протилежні сторони рівні.

AB = CD, \ enspace BC = AD

3. Протилежні сторони паралельні.

AB \ parallel CD, \ enspace BC \ parallel AD

4. Прилеглі боку перпендикулярні один одному.

AB \ perp BC, \ enspace BC \ perp CD, \ enspace CD \ perp AD, \ enspace AD ​​\ perp AB

5. Діагоналі прямокутника рівні.

AC = BD

Доведення

згідно властивості 1прямокутник є паралелограма, а значить AB = CD.

Отже, \ triangle ABD = \ triangle DCA за двома катетам (AB = CD і AD - спільний).

Якщо обидві фігури - ABC і DCA тотожні, то і їх гіпотенузи BD і AC теж тотожні.

Значить, AC = BD.

Тільки у прямокутника з усіх фігур (тільки з паралелограмів!) Рівні діагоналі.

Доведемо і це.

ABCD - паралелограм \ Rightarrow AB = CD, AC = BD за умовою. \ Rightarrow \ triangle ABD = \ triangle DCAвже за трьома сторонами.

Виходить, що \ angle A = \ angle D (як кути паралелограма). І \ angle A = \ angle C, \ angle B = \ angle D.

Виводимо, що \ Angle A = \ angle B = \ angle C = \ angle D. Всі вони по 90 ^ (\ circ). У сумі - 360 ^ (\ circ).

Доведено!

6. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів двох прилеглих його сторін.

Це властивість справедливо в силу теореми Піфагора.

AC ^ 2 = AD ^ 2 + CD ^ 2

7. Діагональ ділить прямокутник на два однакових прямокутних трикутника.

\ Triangle ABC = \ triangle ACD, \ enspace \ triangle ABD = \ triangle BCD

8. Точка перетину діагоналей ділить їх навпіл.

AO = BO = CO = DO

9. Точка перетину діагоналей є центром прямокутника і описаного кола.

10. Сума всіх кутів дорівнює 360 градусів.

\ Angle ABC + \ angle BCD + \ angle CDA + \ angle DAB = 360 ^ (\ circ)

11. Всі кути прямокутника прямі.

\ Angle ABC = \ angle BCD = \ angle CDA = \ angle DAB = 90 ^ (\ circ)

12. Діаметр описаного навколо прямокутника кола дорівнює діагоналі прямокутника.

13. Навколо прямокутника завжди можна описати коло.

Це властивість справедливо в силу того, що сума протилежних кутів прямокутника дорівнює 180 ^ (\ circ)

\ Angle ABC = \ angle CDA = 180 ^ (\ circ), \ enspace \ angle BCD = \ angle DAB = 180 ^ (\ circ)

14. Прямокутник може містити вписану окружність і тільки одну, якщо він має однакові довжини сторін (є квадратом).

Завдання на знаходження діагоналі прямокутника може бути сформульована трьома різними способами. Розглянемо докладніше кожен з них. Способи залежать від відомих даних, тож як знайти діагональ прямокутника?

Якщо відомі дві його сторони

У разі, коли відомі дві сторони прямокутника a і b, для знаходження діагоналі необхідно скористатися теоремою Піфагора: a 2 + b 2 = c 2, тут a і b - катети прямокутного трикутника, с - гіпотенуза прямокутного трикутника. Коли в прямокутнику прокреслена діагональ, він ділиться на два прямокутних трикутника. Дві сторони цього прямокутного трикутника нам відомі (a і b). Тобто, щоб знайти діагональ прямокутника, формула потрібна наступна: c = √ (a 2 + b 2), тут з - довжина діагоналі прямокутника.

За відомою стороні і розі, між стороною і діагоналлю

Нехай відома сторона прямокутника a і кут, який вона утворює з діагоналлю прямокутника α. Для початку згадаємо формулу косинуса: cos α = a / c, тут з - діагональ прямокутника. Як розрахувати діагональ прямокутника з цієї формули: з = a / cos α.

За відомою стороні, розі між прилеглої до неї стороні прямокутника і діагоналлю.

Так як діагональ прямокутника ділить сам прямокутник на два прямокутних трикутника, логічно звернутися до визначення синуса. Синус - відношення катета, що лежить проти цього кута, до гіпотенузе.sin α = b / c. Звідси виводимо формулу для знаходження діагоналі прямокутника, яка також є і гіпотенузою прямокутного трикутника: з = b / sin α.

Тепер ви підковані в цьому питанні. Можете порадувати вчителя геометрії вже завтра!

Визначення.

Прямокутники відрізняються між собою тільки ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, А коротку - шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

Прямокутником можуть бути паралелограм, квадрат або ромб.

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB = CD, BC = AD

2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:

3. Прилеглі боку прямокутника завжди перпендикулярні:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Всі чотири кути прямокутника прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. Діагоналі прямокутника мають однакової довжини:

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола

11. Діагональ прямокутника є діаметром описаної окружності

12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, так як сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:

∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °

13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, так як суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна тільки в окремий випадок прямокутника - квадрат).

сторони прямокутника

Визначення.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через діагональ і іншу сторону:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через площу і іншу сторону:

Діагональ прямокутника

Визначення.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

d = √ a 2 + b 2

2. Формула діагоналі прямокутника через площу і будь-яку сторону:

4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

d = 2R

5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

d = D про

6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, і довжину сторони протилежної цьому кутку:

8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями і площею прямокутника

d = √2S: sin β

периметр прямокутника

Визначення.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметру прямокутника через дві сторони прямокутника:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. Формула периметру прямокутника через площу і будь-яку сторону:

3. Формула периметру прямокутника через діагональ і будь-яку сторону:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола і будь-яку сторону:

P = 2 (a + √4R 2 - a 2) = 2 (b + √4R 2 - b 2)

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола і будь-яку сторону:

P = 2 (a + √D o 2 - a 2) = 2 (b + √D o 2 - b 2)

Площа прямокутника

Визначення.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

S = a · b

2. Формула площі прямокутника через периметр і будь-яку сторону:

5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола і будь-яку сторону:

S = a √4R 2 - a 2= B √4R 2 - b 2

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола і будь-яку сторону:

S = a √D o 2 - a 2= B √D o 2 - b 2

Окружність описана навколо прямокутника

Визначення.

Формули визначення радіусу кола описаної навколо прямокутника

1. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через дві сторони: