Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків шляхом лагранжу. Приклади методу варіації довільної постійної Метод варіації для лінійних систем
Лекція 44. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних постійних. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами. (спеціальна права частина).
Соціальні перетворення. Держава та церква.
Соціальна політика більшовиків багато в чому диктувалась їх класовим підходом.Декретом від 10 листопада 1917 р. знищено станову систему, скасовано дореволюційні чини, титули та нагороди. Встановлено виборність суддів; проведено секуляризацію цивільних станів. Встановлено безплатну освіту та медичне обслуговування (декрет від 31 жовтня 1918 р.). Жінки зрівнювалися у правах із чоловіками (декрети від 16 та 18 грудня 1917 р.). Декрет про шлюб вводив інститут громадянського шлюбу.
Декретом РНК від 20 січня 1918 року церква відокремлена від держави та від системи освіти. Більшість церковного майна конфісковано. Патріарх Московський і всієї Русі Тихон (обраний 5 листопада 1917 року) 19 січня 1918 року анафемі зрадив Радянську владу і закликав до боротьби проти більшовиків.
Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку
Структура загального розв'язання такого рівняння визначається такою теоремою:
Теорема 1.Загальне рішення неоднорідного рівняння (1) представляється як сума якогось окремого рішення цього рівняння та загального рішення відповідного однорідного рівняння
Доказ. Потрібно довести, що сума
Існує загальне рішення рівняння (1). Доведемо спочатку, що функція (3) є рішенням рівняння (1).
Підставляючи суму в рівняння (1) замість у, матимемо
Оскільки є рішення рівняння (2), то вираз, що стоїть у перших дужках, тотожно дорівнює нулю. Оскільки є рішення рівняння (1), то вираз, що стоїть у других дужках, дорівнює f(x). Отже, рівність (4) є тотожністю. Отже, перша частина теореми доведена.
Доведемо друге твердження: вираз (3) є загальнерозв'язання рівняння (1). Ми повинні довести, що довільні постійні, що входять до цього виразу, можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:
які б не були числа х 0 , y 0і (аби х 0було взято з тієї галузі, де функції а 1 , а 2і f(x)безперервні).
Помітивши, що можна уявити у формі . Тоді на підставі умов (5) матимемо
Вирішимо цю систему і визначимо З 1і З 2. Перепишемо систему у вигляді:
Зауважимо, що визначник цієї системи є визначником Вронського для функцій у 1і у 2у точці х = х 0. Оскільки ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже система (6) має певне рішення З 1і З 2, тобто. існують такі значення З 1і З 2, При яких формула (3) визначає рішення рівняння (1), що відповідає даним початковим умовам. Що і потрібно було довести.
Перейдемо загальному методу знаходження приватних рішень неоднорідного рівняння.
Напишемо загальне рішення однорідного рівняння (2)
Шукатимемо приватне рішення неоднорідного рівняння (1) у формі (7), розглядаючи З 1і З 2як деякі поки невідомі функції від х.
Продиференціюємо рівність (7):
Підберемо потрібні функції З 1і З 2так, щоб виконувалася рівність
Якщо врахувати цю додаткову умову, то перша похідна набуде вигляду
Диференціюючи тепер цей вираз, знайдемо:
Підставляючи в рівняння (1), отримаємо
Вирази, що стоять у перших двох дужках, звертаються в нуль, оскільки y 1і y 2- Вирішення однорідного рівняння. Отже, остання рівність набуває вигляду
Таким чином, функція (7) буде вирішенням неоднорідного рівняння (1) у тому випадку, якщо функції З 1і З 2задовольняють рівнянням (8) та (9). Складемо систему рівнянь із рівнянь (8) та (9).
Оскільки визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних рішень y 1і y 2рівняння (2), він не дорівнює нулю. Отже, вирішуючи систему, ми знайдемо як певні функціївід х:
Вирішуючи цю систему, знайдемо, звідки в результаті інтегрування отримуємо. Далі підставимо знайдені функції формулу , отримуємо загальне рішення неоднорідного рівняння , де - довільні постійні.
Метод варіації довільної постійної, або метод Лагранжа - ще один спосіб розв'язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку та рівняння Бернуллі.
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку – це рівняння виду y'+p(x)y=q(x). Якщо правій частині стоїть нуль: y'+p(x)y=0, це — лінійне одноріднерівняння 1-го порядку. Відповідно, рівняння з ненульовою правою частиною, y'+p(x)y=q(x), неоднорідне лінійне рівняння 1го порядку.
Метод варіації довільної постійної (метод Лагранжа) полягає в наступному:
1) Шукаємо загальне рішення однорідного рівняння y'+p(x)y=0: y=y*.
2) У загальному рішенні З вважаємо не константою, а функцією від іксу: С = С (x). Знаходимо похідну загального рішення (y*)' та в початкову умову підставляємо отриманий вираз для y* та (y*)’. З отриманого рівняння знаходимо функцію (x).
3) У загальне рішення однорідного рівняння замість З підставляємо знайдений вираз С(x).
Розглянемо приклади на спосіб варіації довільної постійної. Візьмемо ті самі завдання, що й у порівняємо хід рішення і переконаємося, що отримані відповіді збігаються.
1) y'=3x-y/x
Перепишемо рівняння у стандартному вигляді (на відміну від методу Бернуллі, де форма запису нам потрібна була лише для того, щоб побачити, що рівняння – лінійне).
y'+y/x=3x (I). Тепер діємо за планом.
1) Вирішуємо однорідне рівняння y'+y/x=0. Це рівняння з змінними, що розділяються. Представляємо y'=dy/dx, підставляємо: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обидві частини рівняння множимо на dx та ділимо на xy≠0: dy/y=-dx/x. Інтегруємо:
2) В отриманому загальному рішенні однорідного рівняння вважатимемо С не константою, а функцією від x: С=С(x). Звідси
Отримані вирази підставляємо за умови (I):
Інтегруємо обидві частини рівняння:
тут З - вже деяка нова константа.
3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C/x, де ми вважали С=С(x), тобто y=C(x)/x, замість С(x) підставляємо знайдений вираз x³+C: y=(x³ +C)/x або y=x²+C/x. Отримали таку саму відповідь, як і при вирішенні методом Бернуллі.
Відповідь: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Тут рівняння вже записано у стандартному вигляді, перетворювати не треба.
1) Вирішуємо однорідне лінійне рівняння y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Інтегруємо:
Щоб отримати більш зручну форму запису, експоненту в ступеня С приймемо за нову:
Це перетворення виконали, щоб зручніше знаходити похідну.
2) В отриманому загальному рішенні лінійного однорідного рівняння вважаємо С не константою, а функцією від x: С = С (x). За цієї умови
Отримані вирази y та y’ підставляємо за умови:
Помножимо обидві частини рівняння на
Інтегруємо обидві частини рівняння за формулою інтегрування частинами, отримуємо:
Тут уже не функція, а звичайна константа.
3) У загальне рішення однорідного рівняння
підставляємо знайдену функцію С(x):
Отримали таку саму відповідь, як і при вирішенні методом Бернуллі.
Метод варіації довільної постійної застосовний і для вирішення.
y'x+y=-xy².
Наводимо рівняння до стандартного виду: y'+y/x=-y² (II).
1) Вирішуємо однорідне рівняння y'+y/x=0. dy/dx=-y/x. Множимо обидві частини рівняння на dx і ділимо на y: dy/y=-dx/x. Тепер інтегруємо:
Підставляємо отримані висловлювання за умови (II):
Спрощуємо:
Отримали рівняння з змінними, що розділяються, відносно С і x:
Тут С вже звичайна константа. У процесі інтегрування писали замість (x) просто З, щоб не перевантажувати запис. А наприкінці повернулися до С(x), щоб не плутати С(x) із новою С.
3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C(x)/x підставляємо знайдену функцію С(x):
Отримали таку саму відповідь, що і при вирішенні способом Бернуллі.
Приклади для самоперевірки:
1. Перепишемо рівняння у стандартному вигляді: y'-2y = x.
1) Вирішуємо однорідне рівняння y'-2y = 0. y'=dy/dx, звідси dy/dx=2y, множимо обидві частини рівняння на dx, ділимо на y та інтегруємо:
Звідси знаходимо y:
Вирази для y і y’ підставляємо в умову (для стислості живитимемо С замість С(x) і С′ замість C"(x)):
Для знаходження інтеграла у правій частині застосовуємо формулу інтегрування частинами:
Тепер підставляємо u, du та v у формулу:
Тут З = const.
3) Тепер підставляємо у вирішення однорідного
Метод варіації довільних постійних
Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
полягає у заміні довільних постійних c kу загальному рішенні
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
відповідного однорідного рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
на допоміжні функції c k (t) , похідні яких задовольняють лінійній алгебраїчній системі
Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n що забезпечує її однозначну розв'язність щодо .
Якщо - первинні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція
є рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння за наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться, в такий спосіб, до квадратур .
Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язків системи лінійних диференціальних рівнянь у векторній нормальній формі
полягає у побудові приватного рішення (1) у вигляді
де Z(t) - базис розв'язків відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, що замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням. Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд
Для системи з постійними коефіцієнтами останній вираз спрощується:
Матриця Z(t)Z− 1 (τ)називається матрицею Кошіоператора L = A(t) .
Метод варіації довільних постійних застосовується на вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. Цей урокпризначений для тих студентів, хто вже більш менш добре орієнтується в темі. Якщо ви тільки починаєте знайомитися з ДУ, тобто. є чайником, то рекомендую почати з першого уроку: Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. А якщо вже закінчуєте, будь ласка, відкиньте можливу упереджену думку, що метод складний. Тому що він простий.
У яких випадках застосовують метод варіації довільних постійних?
1) Метод варіації довільної постійної можна використовувати при вирішенні лінійного неоднорідного ДК 1-го порядку. Якщо рівняння першого порядку, то й стала (константа) теж одна.
2) Метод варіації довільних постійних використовують для вирішення деяких лінійних неоднорідних рівнянь другого порядку. Тут варіюються дві постійні (константи).
Логічно припустити, що урок складатиметься із двох параграфів…. Ось написав цю пропозицію, і хвилин 10 болісно думав, яку б ще розумну хрень додати для плавного переходу до практичних прикладів. Але чомусь думок після свят немає жодних, хоча ніби й не зловживав нічим. Тому одразу візьмемося за перший параграф.
Метод варіації довільної постійної
для лінійного неоднорідного рівняння першого порядку
Перед розглядом методу варіації довільної постійної бажано бути знайомим із статтею Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. На тому уроці ми відпрацьовували перший спосіб вирішеннянеоднорідного ДК 1-го порядку. Цей перший спосіб вирішення, нагадую, називається метод заміниабо метод Бернуллі(не плутати з рівнянням Бернуллі!!!)
Зараз ми розглянемо другий спосіб вирішення– метод варіації довільної постійної. Я наведу всього три приклади, причому візьму їх із вищезгаданого уроку. Чому так мало? Тому що насправді рішення другим способом буде дуже схожим на рішення першим способом. Крім того, за моїми спостереженнями, метод варіації довільних постійних застосовується рідше за метод заміни.
Приклад 1
(Діффур з Прімера №2 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)
Рішення:Дане рівняння є лінійним неоднорідним і має знайомий вигляд: 
На першому етапі необхідно вирішити просте рівняння: 
Тобто тупо обнулюємо праву частину – замість пишемо нуль.
Рівняння Я буду називати допоміжним рівнянням.
В даному прикладіпотрібно вирішити наступне допоміжне рівняння:
Перед нами рівняння з змінними, що розділяються, Рішення якого (сподіваюся) вже не представляє для вас складнощів: 
Таким чином: 
- Загальне рішення допоміжного рівняння.
На другому кроці замінимоконстанті деякої поки щеневідомою функцією, яка залежить від «ікс»:
Звідси і назва методу - варіюємо константу. Як варіант, константа може бути деякою функцією, яку ми маємо зараз знайти.
В вихідномунеоднорідному рівнянні проведемо заміну:
Підставимо і 
у рівняння :
Контрольний момент – два доданки в лівій частині скорочуються. Якщо цього немає, слід шукати помилку вище.
В результаті заміни отримано рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні та інтегруємо.
Яка благодать, експоненти також скорочуються:
До знайденої функції приплюсовуємо «нормальну» константу:
На заключному етапі згадуємо нашу заміну:
Функцію щойно знайдено!
Таким чином, загальне рішення: 
Відповідь:спільне рішення: 
Якщо ви роздрукуєте два способи вирішення, то легко помітите, що в обох випадках ми знаходили ті самі інтеграли. Відмінність лише алгоритмі решения.
Тепер щось складніше, другий приклад я теж прокоментую:
Приклад 2
Знайти загальне рішення диференціального рівняння 
(Діффур з Прімера №8 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)
Рішення:Наведемо рівняння до виду :
Обнулимо праву частину і розв'яжемо допоміжне рівняння:
Загальне вирішення допоміжного рівняння:
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:
За правилом диференціювання твору: 
Підставимо і у вихідне неоднорідне рівняння:
Два складові в лівій частині скорочуються, значить, ми на вірному шляху: 
Інтегруємо частинами. Смачна літера з формули інтегрування частинами у нас вже задіяна у рішенні, тому використовуємо, наприклад, літери «а» та «бе»:
Тепер згадуємо проведену заміну:
Відповідь:спільне рішення:
І один приклад для самостійного вирішення:
Приклад 3
Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що відповідає заданій початковій умові.
,
(Діффур з Прімера №4 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)
Рішення:
Дане ДК є лінійним неоднорідним. Використовуємо метод варіації довільних постійних. Розв'яжемо допоміжне рівняння:
Розділяємо змінні та інтегруємо: 
Спільне рішення: 
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну: 
Виконаємо підстановку: 
Таким чином, загальне рішення: 
Знайдемо приватне рішення, яке відповідає заданій початковій умові: 
Відповідь:приватне рішення:
Рішення наприкінці уроку може бути зразком для чистового оформлення завдання.
Метод варіації довільних постійних
для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами
Часто доводилося чути думку, що метод варіації довільних постійних рівняння другого порядку – штука не з легких. Але я припускаю наступне: швидше за все, метод багатьом здається важким, оскільки не так часто зустрічається. А насправді особливих складнощів немає – перебіг рішення чіткий, прозорий, зрозумілий. І красивий.
Для освоєння методу бажано вміти розв'язувати неоднорідні рівняння другого порядку способом підбору приватного рішення у вигляді правої частини. Цей спосіб докладно розглянутий у статті Неоднорідні ДК 2-го порядку. Згадуємо, що лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:
Метод підбору, який розглядався на згаданому вище уроці, проходить лише в обмеженому ряді випадків, коли в правій частині знаходяться багаточлени, експоненти, синуси, косинуси. Але що робити, коли справа, наприклад, дріб, логарифм, тангенс? У такій ситуації допоможе якраз і приходить метод варіації постійних.
Приклад 4
Знайти загальне рішення диференціального рівняння другого порядку 
Рішення:У правій частині даного рівняння знаходиться дріб, тому можна сказати, що метод підбору приватного рішення не прокатує. Використовуємо метод варіації довільних постійних.
Ніщо не віщує грози, початок рішення цілком звичайне:
Знайдемо спільне рішеннявідповідного однорідногорівняння: 
Складемо і розв'яжемо характеристичне рівняння: 
– отримано пов'язане комплексне коріння, тому загальне рішення:
Зверніть увагу на запис загального рішення – якщо є дужки, їх розкриваємо.
Тепер робимо практично той же трюк, що і для рівняння першого порядку: варіюємо константи, замінюючи їх невідомими функціями. Тобто, загальне рішення неоднорідногорівняння шукатимемо у вигляді:
Де – поки щеневідомі функції.
Схоже на смітник побутових відходів, але зараз все розсортуємо.
Як невідомі виступають похідні функцій. Наша мета – знайти похідні, причому знайдені похідні повинні задовольняти і першому та другому рівнянню системи.
Звідки беруться "ігреки"? Їх приносить лелека. Дивимося на отримане раніше загальне рішення та записуємо:
Знайдемо похідні:
Із лівими частинами розібралися. Що праворуч?
– це права частина вихідного рівняння, у разі:
Коефіцієнт - це коефіцієнт при другій похідній:
Насправді майже завжди, і наш приклад не виняток.
Все прояснилося, тепер можна скласти систему: 
Систему зазвичай вирішують за формулами Крамера, використовуючи стандартний алгоритм. Єдина відмінність полягає в тому, що замість чисел ми маємо функції.
Знайдемо головний визначник системи: 
Якщо забули, як розкривається визначник «два на два», зверніться до уроку Як визначити обчислювач?Посилання веде на дошку ганьби =)
Отже, значить, система має єдине рішення.
Знаходимо похідну: 
Але це ще не все, поки ми знайшли лише похідну.
Сама функція відновлюється інтегруванням:
Розбираємось з другою функцією: 
Тут додаємо «нормальну» константу
На заключному етапі рішення згадуємо, як ми шукали загальне рішення неоднорідного рівняння? У такому:
Потрібні функції щойно знайдені! 
Залишилося виконати підстановку та записати відповідь:
Відповідь:спільне рішення:
У принципі, у відповіді можна було розкрити дужки.
Повна перевірка відповіді виконується за стандартною схемою, що розглядалася на уроці Неоднорідні ДК 2-го порядку. Але перевірка буде непростою, оскільки потрібно знаходити досить важкі похідні і проводити громіздку підстановку. Це неприємна особливість, коли ви вирішуєте такі дифури.
Приклад 5
Розв'язати диференціальне рівняння методом варіації довільних постійних
Це приклад самостійного рішення. Насправді у правій частині теж дріб. Згадуємо тригонометричну формулу, її, до речі, необхідно буде застосувати у процесі рішення.
Метод варіації довільних постійних – найуніверсальніший метод. Їм можна вирішити будь-яке рівняння, яке вирішується методом підбору приватного рішення за видом правої частини. Виникає питання, а чому б і там не використати метод варіації довільних постійних? Відповідь очевидна: вибір приватного рішення, який розглядався на уроці Неоднорідні рівняння другого порядку, значно прискорює рішення та скорочує запис – жодного трахка з визначниками та інтегралами.
Розглянемо два приклади з завданням Коші.
Приклад 6
Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що відповідає заданим початковим умовам
, 
Рішення:Знову дріб та експонента у цікавому місці.
Використовуємо метод варіації довільних постійних.
Знайдемо спільне рішеннявідповідного однорідногорівняння: 
– отримано різне дійсне коріння, тому загальне рішення:
Загальне рішення неоднорідногорівняння шукаємо як: , де – поки щеневідомі функції.
Складемо систему:
В даному випадку:
,
Знаходимо похідні: 
, 
Таким чином: 
Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.
Відновлюємо функцію інтегруванням:
Тут використаний метод підведення функції під знак диференціалу.
Відновлюємо другу функцію інтегруванням: 
Такий інтеграл вирішується методом заміни змінної:
Із самої заміни виражаємо:
Таким чином: 
Цей інтеграл можна знайти методом виділення повного квадрата, але в прикладах з диффурами я волію розкладати дріб методом невизначених коефіцієнтів:
Обидві функції знайдено:
В результаті загальне рішення неоднорідного рівняння:
Знайдемо приватне рішення, що задовольняє початкові умови .
Технічно пошук рішення здійснюється стандартним способом, що розглядався у статті Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.
Тримайтеся, зараз знаходимо похідну від знайденого загального рішення:
Ось таке неподобство. Спрощувати його не обов'язково, легше одразу скласти систему рівнянь. Відповідно до початкових умов :
Підставимо знайдені значення констант 
у загальне рішення:
У відповіді логарифми можна трохи запакувати.
Відповідь:приватне рішення: 
Як бачите, проблеми можуть виникнути в інтегралах і похідних, але ніяк не в самому алгоритмі методу варіації довільних постійних. Це не я вас залякав, це все збірка Кузнєцова!
Для розслаблення останній, більш простий приклад для самостійного вирішення:
Приклад 7
Вирішити завдання Коші
, 
Приклад нескладний, але творчий, коли складете систему, уважно її подивіться, як вирішувати;-),
В результаті загальне рішення:
Знайдемо приватне рішення, яке відповідає початковим умовам .
Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:
Відповідь:приватне рішення:
