Похідна за формулою Лейбніца онлайн. Формула Лейбніца для n-й похідної добутку двох функцій. Заміна змінної в певному інтегралі

Текст роботи розміщений без зображень і формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" в форматі PDF

"Теж мені, біном Ньютона!»

з роману «Майстер і Маргарита»

«Трикутник Паскаля так простий, що виписати його зможе навіть десятирічна дитина. У той же час він таїть в собі невичерпні скарби і пов'язує воєдино різні аспекти математики, що не мають на перший погляд між собою нічого спільного. Такі незвичайні властивості дозволяють вважати трикутник Паскаля однією з найбільш витончених схем у всій математиці »

Мартін Гарднер.

Мета роботи: узагальнити формули скороченого множення, показати їх застосування до розв'язання задач.

завдання:

1) вивчити і систематизувати інформацію з даного питання;

2) розібрати приклади завдань на застосування бинома Ньютона і формул суми і різниці ступенів.

Об'єкти дослідження: біном Ньютона, формули суми і різниці ступенів.

Методи дослідження:

Робота з навчальної та науково-популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет.

Розрахунки, порівняння, аналіз, аналогія.

Актуальність.Людині часто доводиться мати справу з завданнями, в яких потрібно підрахувати число всіх можливих способів розташування деяких предметів або число всіх можливих способів здійснення певної дії. Різні шляхи або варіанти, які доводиться вибирати людині, складаються в найрізноманітніші комбінації. І цілий розділ математики, званий комбінаторикою, зайнятий пошуком відповідей на питання: скільки всього є комбінацій в тому чи іншому випадку.

З комбінаторними величинами доводиться мати справу представникам багатьох спеціальностей: вченому-хіміку, біологу, конструктору, диспетчеру і т. П. Посилення інтересу до комбінаторики останнім часом обумовлюється бурхливим розвитком кібернетики та обчислювальної техніки.

Вступ

Коли хочуть підкреслити, що співрозмовник перебільшує складність завдань, з якими він зіткнувся, кажуть: «Теж мені біном Ньютона!» Мовляв, ось біном Ньютона, це складно, а в тебе які проблеми! Про біном Ньютона чули навіть ті люди, чиї інтереси ніяк не пов'язані з математикою.

Слово «біном» означає двочлен, тобто суму двох доданків. Зі шкільного курсу відомі так звані формули скороченого множення:

( а + B) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 , (A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Узагальненням цих формул є формула, яка називається формулою бінома Ньютона. Використовуються в школі і формули розкладання на множники різниці квадратів, суми і різниці кубів. Чи мають вони узагальнення для інших ступенів? Так, є такі формули, вони часто використовуються в рішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення.

Вивчення узагальнюючих формул розвиває дедуктивно-математичне мислення і загальні розумові здібності.

РОЗДІЛ 1. ФОРМУЛА біном Ньютона

Сполучення і їх властивості

Нехай X - безліч, що складається з n елементів. Будь-яка підмножина Y множини X, що містить k елементів, називається поєднанням k елементів з n, при цьому, k ≤ n.

Число різних сполучень k елементів з n позначається С n k. Однією з найважливіших формул комбінаторики є наступна формула для числа З n k:

Її можна записати після очевидних скорочень наступним чином:

Зокрема,

Це цілком узгоджується з тим, що в множині X є тільки одне підмножина з 0 елементів - пусте підмножина.

Числа C n k мають ряд чудових властивостей.

Справедлива формула З n k \u003d С n - k n, (3)

Зміст формули (3) полягає в тому, що є взаємно-однозначна відповідність між множиною всіх k-членних підмножин з X і безліччю всіх (n - k)-членів підмножин з X: щоб встановити це відповідність, досить кожному k-членів подмножеству Y зіставити його доповнення в безлічі X.

Справедлива формула С 0 n + С 1 n + З 2 n + ... + С n n \u003d 2 n (4)

Сума, що стоїть в лівій частині, висловлює собою число всіх підмножин множини X (C 0 n є число 0-членних підмножин, C 1 n - число одночленним підмножин і т.д.).

При будь-якому k, 1≤ k≤ n, справедлива рівність

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Це рівність неважко отримати за допомогою формули (1). Справді,

1.2. Висновок формули бінома Ньютона

Розглянемо ступеня двочлена а +b .

n \u003d 0, (а +b ) 0 = 1

n \u003d 1, (а +b ) 1 \u003d 1а + 1b

n \u003d 2,(А +b ) 2 \u003d 1а 2 + 2аb +1 b 2

n \u003d 3,(А +b ) 3 \u003d 1 а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 +1 b 3

n \u003d 4,(А +b ) 4 \u003d 1а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4аb 3 +1 b 4

n \u003d 5,(А +b ) 5 = 1а 5 + 5а 4 b + 10а 3 b 2 + 10а 2 b 3 + 5аb 4 + 1 b 5

Зауважимо следующіезакономерності:

Число членів одержуваного многочлена на одиницю більше показника ступеня бинома;

Показник ступеня першого доданка убуває від n до 0, показник ступеня другого доданка зростає від 0 до n;

Ступені всіх одночленним рівні ступеня двочлена в умови;

Кожен одночлен є твором першого і другого виразу в різних ступенях і деякого числа - біномного коефіцієнта;

Біномінальні коефіцієнти, рівновіддалені від початку і кінця розкладання, рівні.

Узагальненням цих формул є наступна формула, звана формулою бінома Ньютона:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

У цій формулі n може бути будь-яким натуральним числом.

Виведемо формулу (6). Перш за все, запишемо:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

де число перемножуєте дужок одно n. Зі звичайного правила множення суми на суму випливає, що вираз (7) дорівнює сумі всіляких творів, які можна скласти в такий спосіб: будь-яке складова першої з сум а + b множиться на будь-який доданок другий суми a + b, На будь-який доданок третьої суми і т.д.

Зі сказаного ясно, що складовою в вираженні для (a + b ) n відповідають (взаємно-однозначно) рядки довжиною n, що складаються з літер а й b. Серед складових будуть зустрічатися подібні члени; очевидно, що таким членам відповідають рядки, що містять однакову кількість літер а. Але число рядків, що містять рівно k раз букву а, Так само З n k. Значить, сума всіх членів, що містять букву а множником рівно k раз, дорівнює З n k a n - k b k . Оскільки k може приймати значення 0, 1, 2, ..., n-1, n, то з нашого міркування слід формула (6). Зауважимо, що (6) можна записати коротше: (8)

Хоча формулу (6) називають ім'ям Ньютона, в дійсності вона була відкрита ще до Ньютона (наприклад, її знав Паскаль). Заслуга Ньютона полягає в тому, що він знайшов узагальнення цієї формули на випадок не цілих показників. Саме И.Ньютон в 1664-1665 рр. вивів формулу, яка має ступінь двочлена для довільних дрібних і негативних показників.

Числа С0 n, C 1 n, ..., C n n, що входять в формулу (6), прийнято називати біноміальними коефіцієнтами, які визначаються так:

З формули (6) можна отримати цілий ряд властивостей цих коефіцієнтів. Наприклад, вважаючи а \u003d 1, b \u003d 1, отримаємо:

2 n \u003d C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

тобто формулу (4). якщо покласти а \u003d 1, b \u003d -1, то матимемо:

0 \u003d С 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

або З 0 n + C 2 n + C 4 n + ... \u003d C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

Це означає, що сума коефіцієнтів парних членів розкладання дорівнює сумі коефіцієнтів непарних членів розкладання; кожна з них дорівнює 2 n -1.

Коефіцієнти членів, рівновіддалених від кінців розкладання, рівні. Це властивості випливає з співвідношення: З n k \u003d С n n - k

Цікавий окремий випадок

(X + 1) n \u003d C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

або коротше (x +1) n \u003d ΣC n k x n - k.

1.3. поліноміальна теорема

Теорема.

Доведення.

Щоб після розкриття дужок вийшов одночлен, потрібно вибрати ті дужок, з яких береться, ті дужок, з яких береться і т.д. і ті дужок, з яких береться. Коефіцієнт при цьому одночленной після приведення подібних членів дорівнює числу способів, якими можна здійснити такий вибір. Перший крок послідовності виборів можна здійснити способами, другий крок -, третій - і т.д., -й крок - способами. Шуканий коефіцієнт дорівнює добутку

РОЗДІЛ 2. Похідні вищих порядків.

Поняття похідних вищих порядків.

Нехай функція диференційована в деякому інтервалі. Тоді її похідна, взагалі кажучи, залежить від х, Тобто є функцією від х. Отже, по відношенню до неї знову можна ставити питання про існування похідної.

визначення . Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку або другої похідної і позначається символом або, тобто

визначення . Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьої похідної і позначається символом або.

визначення . похідноюn -ого порядкуфункції називається перша похідна від похідної (n -1) -го порядку даної функції і позначається символом або:

визначення . Похідні порядки вище першого називаються вищими похідними.

зауваження. Аналогічно можна отримати формулу n -ої похідної функції:

Друга похідна параметрично заданої функції

Якщо функція задана параметрично рівняннями, то для знаходження похідної другого порядку потрібно продифференцировать вираз для її першої похідної, як складної функції незалежної змінної.

Так як, то

і з урахуванням того, що,

Отримаємо, тобто.

Аналогічно можна знайти третю похідну.

Диференціал суми, добутку і частки.

Так як диференціал виходить з похідною множенням її на диференціал незалежної змінної, то, знаючи похідні основних елементарних функцій, а також правила для відшукання похідних, можна прийти до аналогічних правилами для відшукання диференціалів.

1 0 . Диференціал постійної дорівнює нулю.

2 0 . Диференціал алгебраїчної суми кінцевого числа функцій, що диференціюються дорівнює сумі алгебри диференціалів цих функцій .

3 0 . Диференціал твори двох диференційовних функцій дорівнює сумі творів першої функції на диференціал другий і другий функції на диференціал першої .

слідство. Постійний множник можна виносити за знак диференціала.

2.3. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.

визначення . Функція називається заданої параметрично, якщо обидві змінні х і у визначаються кожна окремо як однозначні функції від однієї і тієї ж допоміжної змінної - параметраt :

деt змінюється в межах.

зауваження . Наведемо параметричні рівняння кола і еліпса.

а) Коло з центром на початку координат і радіусом r має параметричні рівняння:

б) Запишемо параметричні рівняння для еліпса:

виключивши параметр t з параметричних рівнянь розглянутих ліній, можна прийти до їх канонічним рівнянням.

теорема . якщо функція у від аргументу х задана параметрично рівняннями, де і диференціюються поt функції і, то.

2.4. Формула Лейбніца

Для знаходження похідної n -ого порядку від добутку двох функцій велике практичне значення має формула Лейбніца.

нехай u і v - деякі функції від змінної х, Що мають похідні будь-якого порядку і y = uv . висловимо n -у похідну через похідні функцій u і v .

маємо послідовно

Легко помітити аналогію між виразами для другої і третьої похідних і розкладанням бінома Ньютона відповідно у другій і третій ступенях, але замість показників ступеня стоять числа, що визначають порядок похідної, а самі функції можна розглядати як «похідні нульового порядку». З огляду на це, отримаємо формулу Лейбніца:

Цю формулу можна довести методом математичної індукції.

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ Лейбніца.

Для обчислення похідної будь-якого порядку від добутку двох функцій, минаючи послідовне застосування формули обчислення похідної від добутку двох функцій, застосовується формула Лейбніца.

За допомогою цієї формули розглянемо приклади обчислення похідної n-го порядку від добутку двох функцій.

Приклад 1.

Знайти похідну другого порядку функції

Згідно з визначенням, друга похідна - це перша похідна від першої похідної, тобто

Тому спочатку знайдемо похідну першого порядку від заданої функції згідно правилами диференціювання і використовуючи таблицю похідних:

Тепер знайдемо похідну від похідної першого порядку. Це буде шукана похідна другого порядку:

відповідь:

Приклад 2.

Знайти похідну -го порядку функції

Рішення.

Будемо послідовно знаходити похідні першого, другого, третього і так далі порядків заданої функції для того, щоб встановити закономірність, яку можна буде узагальнити на -у похідну.

Похідну першого порядку знаходимо як похідну приватного:

Тут вираз називається факторіалом числа. Факторіал числа дорівнює добутку чисел від одного до, тобто

Похідна другого порядку є перша похідна від першої похідної, тобто

Похідна третього порядку:

Четверта похідна:

Зауважимо закономірність: в чисельнику стоїть факторіал числа, яке дорівнює порядку похідною, а в знаменнику вираз в ступеня на одиницю більше, ніж порядок похідної, тобто

Відповідь.

Приклад 3.

Знайти значення третьої похідної функції в точці.

Рішення.

згідно таблиці похідних вищих порядків, Маємо:

У розглянутому прикладі, тобто отримуємо

Зауважимо, що подібний результат можна було б отримати і при послідовному знаходженні похідних.

В заданій точці третя похідна дорівнює:

відповідь:

Приклад 4.

Знайти другу похідну функції

Рішення. Для початку знайдемо першу похідну:

Для знаходження другої похідної продифференцируем вираз для першої похідної ще раз:

відповідь:

Приклад 5.

Знайти, якщо

Так як задана функція є твір двох функцій, то для знаходження похідної четвертого порядку доцільно буде застосувати формулу Лейбніца:

Знайдемо всі похідні і порахуємо коефіцієнти при доданків.

1) Порахуємо коефіцієнти при доданків:

2) Знайдемо похідні від функції:

3) Знайдемо похідні від функції:

відповідь:

Приклад 6.

Дана функція y \u003d x 2 cos3x. Знайти похідну третього порядку.

Нехай u \u003d cos3x, v \u003d x 2 . Тоді за формулою Лейбніца знаходимо:

Похідні в цьому виразі мають вигляд:

(Cos3x) '\u003d - 3sin3x,

(Cos3x) '' \u003d (- 3sin3x) '\u003d - 9cos3x,

(Cos3x) '' '\u003d (- 9cos3x)' \u003d 27sin3x,

(X2) '\u003d 2x,

(X2) '' \u003d 2,

(X2) '' '\u003d 0.

Отже, третя похідна заданої функції дорівнює

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2 + 3 ⋅ (-9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (-3sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x-54xcos3x-18sin3x \u003d (27x2-18) sin3x-54xcos3x.

Приклад 7.

знайти похіднуn -го порядку функціїy \u003d x 2 cosx.

Скористаємося формулою Лейбніца, вважаючиu \u003d cosx, v \u003d x 2 . тоді

Решта членів ряду дорівнюють нулю, оскільки(X2) (i) \u003d 0 при i\u003e 2.

похідна n -го порядку функції косинус:

Отже, похідна нашої функції дорівнює

ВИСНОВОК

У школі вивчаються і використовуються так звані формули скороченого множення: квадрати і куби суми і різниці двох виразів і формули розкладання на множники різниці квадратів, суми і різниці кубів двох виразів. Узагальненням цих формул є формула, яка називається формулою бінома Ньютона і формули розкладання на множники суми і різниці ступенів. Ці формули часто використовуються в рішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення. Розглянуто цікаві властивості трикутника Паскаля, які тісно пов'язані з біном Ньютона.

У роботі систематизовано інформацію по темі, наведені приклади завдань на застосування бинома Ньютона і формул суми і різниці ступенів. Робота може бути використана в роботі математичного гуртка, а також для самостійного вивчення тими, хто захоплюється математикою.

Список використаних джерел

1.Віленкін Н.Я. Комбінаторіка.- вид. "Наука". - М., 1969 р

2. Нікольський С.М., Потапов М.К., Решетніков М.М., Шовкун А.В. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. організацій базовий і поглиблений рівні - М .: Просвещение, 2014. - 431 с.

3.Решеніе завдань за статистикою, комбінаторики і теорії ймовірностей. 7-9 кл. / Автор - укладач В.М. Студенецкая. - вид. 2-е., Испр., - Волгоград: Учитель, 2009 г.

4.Савушкіна І.А., Хугаев К.Д., Тішкін С.Б. Алгебраїчні рівняння вищих ступенів / методичний посібник для слухачів міжвузівського підготовчого відділення. - Санкт-Петербург, 2001..

5.Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Рішення завдань. Навчальний посібник для 10 кл. середньої школи. - М .: Просвещение, 1989.

6.Наука і життя, Біном Ньютона і трикутник Паскаля [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Наводиться формула Лейбніца для обчислення n-й похідної добутку двох функцій. Дано її доказ двома способами. Розглянуто приклад обчислення похідної n-го порядку.

Див. також: Похідна добутку двох функцій

Формула Лейбніца

За допомогою формули Лейбніца можна обчислити похідну n-го порядку від добутку двох функцій. Вона має такий вигляд:
(1) ,
де
- біноміальні коефіцієнти.

Біноміальні коефіцієнти є коефіцієнтами розкладу бінома за ступенями і:
.
Також число є числом сполучень з n по k.

Доведення формули Лейбніца

Застосуємо формулу похідної добутку двох функцій:
(2) .
Перепишемо формулу (2) в наступному вигляді:
.
Тобто ми вважаємо, що одна функція залежить від змінної x, а інша - від змінної y. В кінці розрахунку ми вважаємо. Тоді попередню формулу можна записати так:
(3) .
Оскільки похідна дорівнює сумі членів, і всі члени є твором двох функцій, то для обчислення похідних вищих порядків, можна послідовно застосовувати правило (3).

Тоді для похідної n-го порядку маємо:

.
З огляду на, що і, ми отримуємо формулу Лейбніца:
(1) .

Доказ методом індукції

Наведемо доказ формули Лейбніца методом математичної індукції.

Ще раз випишемо формулу Лейбніца:
(4) .
При n \u003d 1 маємо:
.
Це формула похідної добутку двох функцій. Вона справедлива.

Припустимо, що формула (4) справедлива для похідної n-го порядку. Доведемо, що вона справедлива для похідної n + 1 -го порядку.

Диференціюючи (4):
;



.
Отже, ми знайшли:
(5) .

Підставами в (5) і врахуємо, що:

.
Звідси видно, що формула (4) має той же вигляд і для похідної n + 1 -го порядку.

Отже, формула (4) справедлива при n \u003d 1 . З припущення, що вона виконується, для деякого числа n \u003d m слід, що вона виконується для n \u003d m + 1 .
Формула Лейбніца доведена.

приклад

Обчислити n-ю похідну функції
.

Застосуємо формулу Лейбніца
(2) .
У нашому випадку
;
.

По таблиці похідних маємо:
.
Застосовуємо властивості тригонометричних функцій:
.
тоді
.
Звідси видно, що диференціювання функції синус призводить до її зсуву на. тоді
.

Знаходимо похідні від функції.
;
;
;
, .

Оскільки при, то у формулі Лейбніца відмінні від нуля тільки перші три члени. Знаходимо біноміальні коефіцієнти.
;
.

За формулою Лейбніца маємо:

.

Рішення прикладних задач зводиться до обчислення інтеграла, але не завжди це можливо зробити точно. Іноді необхідно знати значення певного інтеграла з деяким ступенем точності, наприклад, до тисячної.

Існують завдання, коли слід було б знайти наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю, тоді застосовують чисельне інтегрування таке, як метод Сімпосна, трапецій, прямокутників. Не всі випадки дозволяють обчислити його з певною точністю.

Дана стаття розглядає застосування формули Ньютона-Лейбніца. Це необхідно для точного обчислення певного інтеграла. Будуть приведені докладні приклади, розглянуті заміни змінної в певному інтегралі і знайдемо значення певного інтеграла при інтегруванні частинами.

Формула Ньютона-Лейбніца

Коли функція y \u003d y (x) є неперервною з відрізка [a; b], а F (x) є однією з первісних функції цього відрізка, тоді формула Ньютона-Лейбніца вважається справедливою. Запишемо її так ∫ a b f (x) d x \u003d F (b) - F (a).

Дану формулу вважають основною формулою інтегрального числення.

Щоб зробити доказ цієї формули, необхідно використовувати поняття інтеграла з наявними змінною верхньою межею.

Коли функція y \u003d f (x) неперервна з відрізка [a; b], тоді значення аргументу x ∈ a; b, а інтеграл має вигляд ∫ a x f (t) d t і вважається функцією верхньої межі. Необхідно прийняти позначення функції набуде вигляду ∫ a x f (t) d t \u003d Φ (x), вона є безперервною, причому для неї справедливо нерівність виду ∫ a x f (t) d t "\u003d Φ" (x) \u003d f (x).

Зафіксуємо, що приращении функції Φ (x) відповідає приросту аргументу Δ x, необхідно скористатися п'ятим основним властивістю певного інтеграла і отримаємо

Φ (x + Δ x) - Φ x \u003d ∫ ax + Δ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt \u003d \u003d ∫ ax + Δ xf (t) dt \u003d f (c) · x + Δ x - x \u003d f (c) · Δ x

де значення c ∈ x; x + Δ x.

Зафіксуємо рівність у вигляді Φ (x + Δ x) - Φ (x) Δ x \u003d f (c). За визначенням похідної функції необхідно переходити до межі при Δ x → 0, тоді отримуємо формулу виду Φ "(x) \u003d f (x). Отримуємо, що Φ (x) є однією з первісних для функції виду y \u003d f (x), розташованої на [a; b]. Інакше вираз можна записати

F (x) \u003d Φ (x) + C \u003d ∫ a x f (t) d t + C, де значення C є постійною.

Зробимо обчислення F (a) з використанням першого властивості визначеного інтеграла. Тоді отримуємо, що

F (a) \u003d Φ (a) + C \u003d ∫ a a f (t) d t + C \u003d 0 + C \u003d C, звідси отримуємо, що C \u003d F (a). Результат застосуємо при обчисленні F (b) і отримаємо:

F (b) \u003d Φ (b) + C \u003d ∫ abf (t) dt + C \u003d ∫ abf (t) dt + F (a), інакше кажучи, F (b) \u003d ∫ abf (t) dt + F ( a). Рівність доводить формулу Ньютона-Лейбніца ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a).

Приріст функції приймаємо як F x a b \u003d F (b) - F (a). За допомогою позначення формулу Ньютона-Лейбніца набирає вигляду ∫ a b f (x) d x \u003d F x a b \u003d F (b) - F (a).

Щоб застосувати формулу, обов'язково необхідно знати одну з первісних y \u003d F (x) підінтегральної функції y \u003d f (x) з відрізка [a; b], провести обчислення збільшення первісної з цього відрізка. Розглянемо кілька прикладом обчислення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

приклад 1

Провести обчислення певного інтеграла ∫ 1 3 x 2 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Розглянемо, що підінтегральна функція виду y \u003d x 2 є безперервною з відрізка [1; 3], тоді і інтегрована на цьому відрізку. По таблиці невизначених інтегралів бачимо, що функція y \u003d x 2 має безліч первісних для всіх дійсних значень x, значить, x ∈ 1; 3 запишеться як F (x) \u003d ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + C. Необхідно взяти первісну з С \u003d 0, тоді отримуємо, що F (x) \u003d x 3 3.

Скористаємося формулою Ньютона-Лейбніца і отримаємо, що обчислення певного інтеграла набуде вигляду ∫ 1 3 x 2 d x \u003d x 3 3 1 3 \u003d 3 3 3 - 1 3 3 \u003d 26 3.

відповідь: ∫ 1 3 x 2 d x \u003d 26 3

приклад 2

Провести обчислення певного інтеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Задана функція неперервна з відрізка [- 1; 2], отже, на ньому інтегрована. Необхідно знайти значення невизначеного інтеграла ∫ x · ex 2 + 1 dx за допомогою методу підведення під знак диференціала, тоді отримуємо ∫ x · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) \u003d 1 2 ex 2 + 1 + C.

Звідси маємо безліч первісних функції y \u003d x · e x 2 + 1, які дійсні для всіх x, x ∈ - 1; 2.

Необхідно взяти первісну при С \u003d 0 і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца. Тоді отримаємо вираз виду

∫ - 1 2 x · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 \u003d \u003d 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 e (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 e 2 (e 3 - 1)

відповідь: ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x \u003d 1 2 e 2 (e 3 - 1)

приклад 3

Провести обчислення інтегралів ∫ - 4 - 1 | 2 4 x 3 + 2 x 2 d x і ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Рішення

Відрізок - 4; - 1 | 2 говорить про те, що функція, яка перебуває під знаком інтеграла, є безперервною, значить, вона інтегрована. Звідси знайдемо безліч первісних функції y \u003d 4 x 3 + 2 x 2. Отримуємо, що

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x \u003d 2 x 2 - 2 x + C

Необхідно взяти первісну F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, тоді, застосувавши формулу Ньютона-Лейбніца, отримуємо інтеграл, який обчислюємо:

∫ - 4 - 1 | 2 4 x 3 + 2 x 2 dx \u003d 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 | 2 \u003d 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 \u003d 1 2 + 4 - 32 - 1 | 2 \u003d - 28

Виробляємо перехід до обчислення другого інтеграла.

З відрізка [- 1; 1] маємо, що підінтегральна функція вважається необмеженою, тому як lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 \u003d + ∞, тоді це означає, що необхідною умовою інтегрованості з відрізка. Тоді F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x не є первісною для y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [- 1; 1], так як точка O належить відрізку, але не входить в область визначення. Значить, що є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [- 1; 1].

Відповідь: ∫ - 4 - 1 | 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [- 1; 1].

Перед використанням формули Ньютона-Лейбніца потрібно точно знати про існування певного інтеграла.

Заміна змінної в певному інтегралі

Коли функція y \u003d f (x) є певною і безперервної з відрізка [a; b], тоді наявне безліч [a; b] вважається областю значень функції x \u003d g (z), визначеної на відрізку α; β з наявної безперервної похідної, де g (α) \u003d a і g β \u003d b, звідси отримуємо, що ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Дану формулу застосовують тоді, коли потрібно обчислювати інтеграл ∫ a b f (x) d x, де невизначений інтеграл має вигляд ∫ f (x) d x, обчислюємо за допомогою методу підстановки.

приклад 4

Провести обчислення певного інтеграла виду ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Рішення

Підінтегральна функція вважається безперервної на відрізку інтегрування, значить певний інтеграл має місце на існування. Дамо позначення, що 2 x - 9 \u003d z ⇒ x \u003d g (z) \u003d z 2 + 9 2. Значення х \u003d 9, значить, що z \u003d 2 · 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, а при х \u003d 18 отримуємо, що z \u003d 2 · 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, тоді g α \u003d g (3) \u003d 9, g β \u003d g 3 3 \u003d 18. При підстановці отриманих значень в формулу ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z отримуємо, що

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx \u003d ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "dz \u003d \u003d ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · zdz \u003d ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

По таблиці невизначених інтегралів маємо, що одна з первісних функції 2 z 2 + 9 приймає значення 2 3 a r c t g z 3. Тоді при застосуванні формули Ньютона-Лейбніца отримуємо, що

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z \u003d 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 \u003d 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 \u003d 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Знаходження можна було виробляти, не використовуючи формулу ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Якщо при методі заміни використовувати інтеграл виду ∫ 1 x 2 x - 9 d x, то можна прийти до результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x \u003d 2 3 a r c t g 2 x - 9 3+ C.

Звідси зробимо обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца і обчислимо визначений інтеграл. Отримуємо, що

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz \u003d 2 3 arctgz 3 9 18 \u003d \u003d 2 3 arctg 2 · 18 - 9 3 - arctg 2 · 9 - 9 3 \u003d \u003d 2 3 arctg 3 - arctg 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Результати збіглися.

Відповідь: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x \u003d π 18

Інтегрування по частинах при обчисленні визначеного інтеграла

Якщо на відрізку [a; b] визначено і безперервні функції u (x) і v (x), тоді їх похідні першого порядку v "(x) · u (x) є інтегрованими, таким чином з цього відрізка для інтегрованої функції u" (x) · v ( x) рівність ∫ abv "(x) · u (x) dx \u003d (u (x) · v (x)) ab - ∫ abu" (x) · v (x) dx справедливо.

Формулу можна використовувати тоді, необхідно обчислювати інтеграл ∫ a b f (x) d x, причому ∫ f (x) d x необхідно було шукати його за допомогою інтегрування частинами.

приклад 5

Провести обчислення певного інтеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x.

Рішення

Функція x · sin x 3 + π 6 интегрируема на відрізку - π 2; 3 π 2, значить вона неперервна.

Нехай u (x) \u003d х, тоді d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx, причому d (u (x)) \u003d u" (x) dx \u003d dx, а v (x) \u003d - 3 cos π 3 + π 6. З формули ∫ a b v "(x) · u (x) d x \u003d (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u" (x) · v (x) d x отримаємо, що

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Рішення прикладу можна виконати іншим чином.

Знайти безліч первісних функції x · sin x 3 + π 6 за допомогою інтегрування частинами із застосуванням формули Ньютона-Лейбніца:

∫ x · sin xx 3 + π 6 dx \u003d u \u003d x, dv \u003d sin x 3 + π 6 dx ⇒ du \u003d dx, v \u003d - 3 cos x 3 + π 6 \u003d \u003d - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 \u003d \u003d 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Відповідь: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Похідні вищих порядків

На даному уроці ми навчимося знаходити похідні вищих порядків, а також записувати загальну формулу «енної» похідною. Крім того, буде розглянута формула Лейбніца такої похідної та на численні прохання - похідні вищих порядків від неявно заданої функції. Пропоную відразу ж пройти міні-тест:

Ось функція: і ось її перша похідна:

У тому випадку, якщо у вас виникли будь-які труднощі / нерозуміння з приводу цього прикладу, будь ласка, почніть з двох базових статей мого курсу: Як знайти похідну? і Похідна складної функції. Після освоєння елементарних похідних рекомендую ознайомитися з уроком Найпростіші задачі з похідною, На якому ми розібралися, зокрема зі другої похідної.

Неважко навіть здогадатися, що друга похідна - це похідна від 1-ї похідної:

В принципі, другу похідну вже вважають похідною вищого порядку.

Аналогічно: третя похідна - це похідна від 2-ї похідної:

Четвёртная похідна - є похідна від 3-й похідної:

П'ята похідна: , І очевидно, що всі похідні вищих порядків теж дорівнюватимуть нулю:

Крім римської нумерації на практиці часто використовують такі позначення:
, Похідну ж «енної» порядку позначають через. При цьому надрядковий індекс потрібно обов'язково укладати в дужки - щоб відрізняти похідну від «Ігрек» в ступеня.

Іноді зустрічається такий запис: - третя, четверта, п'ята, ..., «енна» похідні відповідно.

Вперед без страху і сумнівів:

приклад 1

Дана функція. Знайти.

Рішення: Що тут вдієш ... - вперед за четвертої похідної :)

Чотири штриха ставити вже не прийнято, тому переходимо на числові індекси:

відповідь:

Добре, а тепер замислимося над таким питанням: що робити, якщо за умовою потрібно знайти не 4-ю, а наприклад, 20-ю похідну? Якщо для похідної 3-4-5-го (Максимум, 6-7-го) порядку рішення оформляється досить швидко, то до похідних більш високих порядків ми «доберемося» ой як не скоро. Чи не записувати ж, справді, 20 рядків! У подібній ситуації потрібно проаналізувати кілька Найдьонов похідних, побачити закономірність і скласти формулу «енної» похідною. Так, в Прімері №1 легко зрозуміти, що при кожному наступному диференціюванні перед експонентою буде «вискакувати» додаткова «трійка», причому на будь-якому етапі ступінь «трійки» дорівнює номеру похідною, отже:

Де - довільне натуральне число.

І дійсно, якщо, то виходить в точності 1-я похідна: , Якщо - то 2-я: і т.д. Таким чином, двадцята похідна визначається миттєво: - і ніяких «кілометрових простирадлом»!

Розігріваємося самостійно:

приклад 2

Знайти функції. Записати похідну порядку

Рішення і відповідь в кінці уроку.

Після бадьорить розминки розглянемо більш складні приклади, в яких відпрацюємо вищенаведений алгоритм рішення. Тим, хто встиг ознайомитися з уроком межа послідовності, Буде трохи легше:

приклад 3

Знайти для функції.

Рішення: Щоб прояснити ситуацію знайдемо кілька похідних:

Отримані числа перемножувати неспішно! ;-)


Мабуть, вистачить. ... Навіть трохи переборщив.

На наступному кроці найкраще скласти формулу «енної» похідною (Якщо, умова цього не вимагає, то можна обійтися чернеткою). Для цього дивимося на отримані результати і виявляємо закономірності, з якими виходить кожна наступна похідна.

По-перше, вони Знакозмінні. Знакочередованіе забезпечує «Мигалка», І оскільки 1-я похідна позитивна, то в загальну формулу увійде наступний множник: . Підійде і еквівалентний варіант, але особисто я, як оптиміст, люблю знак «плюс» \u003d)

По-друге, в чисельнику «накручується» факторіал, Причому він «відстає» від номера похідною на одну одиницю:

І по-третє, в чисельнику росте ступінь «двійки», яка дорівнює номеру похідною. Те ж саме можна сказати про ступінь знаменника. остаточно:

З метою перевірки підставимо парочку значень «ен», наприклад, і:

Чудово, тепер припуститися помилки - просто гріх:

відповідь:

Більш проста функція для самостійного рішення:

приклад 4

Знайти функції.

І завдання позанятнее:

приклад 5

Знайти функції.

Ще раз повторимо порядок дій:

1) Спочатку знаходимо кілька похідних. Щоб вловити закономірності зазвичай вистачає трьох-чотирьох.

2) Потім настійно рекомендую скласти (Хоча б на чернетці) «Енну» похідну - вона гарантовано вбереже від помилок. Але можна обійтися і без, тобто подумки прикинути і відразу записати, наприклад, двадцяту або восьму похідну. Більш того, деякі люди взагалі здатні вирішити розглядаються завдання усно. Однак слід пам'ятати, що «швидкі» способи чреваті, і краще перестрахуватися.

3) На заключному етапі виконуємо перевірку «енної» похідною - беремо пару значень «ен» (краще сусідніх) і виконуємо підстановку. А ще надійніше - перевірити всі Найдьонов раніше похідні. Після чого підставляємо в потрібне значення, наприклад, або і акуратно причісується результат.

Короткий рішення 4 і 5-го прикладів в кінці уроку.

У деяких завданнях, щоб уникнути проблем, над функцією потрібно трохи поворожити:

приклад 6

Рішення: Диференціювати запропоновану функцію зовсім не хочеться, оскільки вийде «погана» дріб, яка сильно ускладнить знаходження наступних похідних.

У зв'язку з цим доцільно виконати попередні перетворення: використовуємо формулу різниці квадратів і властивість логарифма :

Зовсім інша справа:

І старі подруги:

Думаю, все проглядається. Зверніть увагу, що 2-я дріб Знакозмінні, а 1-я - ні. Конструюємо похідну порядку:

контроль:

Ну і для краси винесемо факторіал за дужки:

відповідь:

Цікаве завдання для самостійного рішення:

приклад 7

Записати формулу похідної порядку для функції

А зараз про непорушною кругову поруку, якій позаздрить навіть італійська мафія:

приклад 8

Дана функція. знайти

Вісімнадцята похідна в точці. Всього-то.

Рішення: Спочатку, очевидно, потрібно знайти. поїхали:

З синуса починали, до синусу і прийшли. Зрозуміло, що при подальшому диференціюванні цей цикл буде продовжуватися до безкінечності, і виникає наступне питання: як краще «дістатися» до вісімнадцятої похідною?

Спосіб «аматорський»: швиденько записуємо праворуч в стовпчик номера наступних похідних:

Таким чином:

Але це працює, якщо порядок похідної не надто великий. Якщо ж треба знайти, скажімо, соту похідну, то слід скористатися делимостью на 4. Сто ділиться на 4 без залишку, і легко бачити, що такі числа розташовуються в нижньому рядку, тому:.

До речі, 18-ю похідну теж можна визначити з аналогічних міркувань:
у другому рядку знаходяться числа, які діляться на 4 з залишком 2.

Інший, більш академічний метод заснований на періодичності синуса і формулах приведення. Користуємося готової формулою «енної» похідною синуса , В яку просто підставляється потрібний номер. наприклад:
(формула приведення ) ;
(формула приведення )

У нашому випадку:

(1) Оскільки синус - це періодична функція з періодом, то у аргументу можна безболісно «відкрутити» 4 періоду (тобто).

Похідну порядку від добутку двох функцій можна знайти за формулою:

Зокрема:

Спеціально запам'ятовувати нічого не треба, бо, чим більше формул знаєш - тим менше розумієш. Набагато корисніше ознайомитися з біном Ньютона, Оскільки формула Лейбніца дуже і дуже на нього схожа. Ну а ті щасливчики, яким дістанеться похідна 7-го або більш високих порядків (Що, правда, малоймовірно), Будуть змушені це зробити. Втім, коли черга дійде до комбінаторики - то все одно доведеться \u003d)

Знайдемо третю похідну функції. Використовуємо формулу Лейбніца:

В даному випадку: . Похідні легко перещёлкать усно:

Тепер акуратно і УВАЖНО виконуємо підстановку і спрощуємо результат:

відповідь:

Аналогічне завдання для самостійного рішення:

приклад 11

знайти функції

Якщо в попередньому прикладі рішення «в лоб» ще конкурувало з формулою Лейбніца, то тут воно вже буде дійсно неприємним. І ще неприємніше - в разі більш високого порядку похідної:

приклад 12

Знайти похідну зазначеного порядку

Рішення: Перше і суттєве зауваження - вирішувати ось так, напевно, не потрібно \u003d) \u003d)

Запишемо функції і знайдемо їх похідні до 5-го порядку включно. Припускаю, що похідні правого стовпчика стали для вас усними:

У лівому ж стовпці «живі» похідні швидко «закінчилися» і це дуже добре - у формулі Лейбніца обнуляться три складових:

Знову зупинюся на проблемі, яка фігурувала в статті про складних похідних: Спрощувати чи результат? В принципі, можна залишити і так - викладачеві буде навіть легше перевіряти. Але він може зажадати довести рішення до розуму. З іншого боку, спрощення за власною ініціативою загрожує алгебраїчними помилками. Однак у нас є відповідь, отриманий «первісним» способом \u003d) (Див. Посилання на початку), І я сподіваюся, він правильний:

Відмінно, все зійшлося.

відповідь:

Щасливе завдання для самостійного рішення:

приклад 13

Для функції:
а) знайти безпосереднім диференціюванням;
б) знайти за формулою Лейбніца;
в) обчислити.

Ні, я зовсім не садист - пункт «а» тут досить простий \u003d)

А якщо серйозно, то «пряме» рішення послідовним диференціюванням теж має «право на життя» - в ряді випадків його складність порівнянна з складністю застосування формули Лейбніца. Використовуйте, якщо вважаєте за доцільне - це навряд чи буде підставою для незалік завдання.

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку.

Щоб підняти заключний параграф потрібно вміти диференціювати неявні функції:

Похідні вищих порядків від функцій, заданих неявно

Багато з нас витратили багато часу, дні і тижні життя на вивчення кіл, парабол, гіпербол - а іноді це взагалі здавалося сущим покаранням. Так давайте ж помстимося і продифференцируем їх як слід!

Почнемо з «шкільної» параболи в її канонічному становищі:

приклад 14

Дано рівняння. Знайти.

Рішення: Перший крок добре знайомий:

Те, що функція і її похідна виражені неявно суті справи не міняє, друга похідна - це похідна від 1-ї похідної:

Однак свої правила гри існують: похідні 2-го і більш високих порядків прийнято виражати тільки через «ікс» і «ігрек». Тому в отриману 2-ю похідну підставимо:

Третя похідна - є похідна від 2-ї похідної:

Аналогічно, підставимо:

відповідь:

«Шкільна» гіпербола в канонічному становищі - для самостійної роботи:

приклад 15

Дано рівняння. Знайти.

Повторюю, що 2-ю похідну і результат слід висловити тільки через «ікс» / «ігрек»!

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку.

Після дитячих пустощів подивимося німецьку поpнoгр @ фию розглянемо більш дорослі приклади, з яких дізнаємося ще один важливий прийом рішення:

приклад 16

еліпс власною персоною.

Рішення: Знайдемо 1-ю похідну:

А тепер зупинимося і проаналізуємо наступний момент: зараз належить диференціювати дріб, що зовсім не радує. В даному випадку вона, звичайно, проста, але в реально зустрічаються завдання таких подарунків раз два і все. Чи існує спосіб уникнути знаходження громіздкою похідною? Існує! Беремо рівняння і використовуємо той же самий прийом, що і при знаходженні 1-й похідної - «навішуємо» штрихи на обидві частини:

Друга похідна повинна бути виражена тільки через і, тому зараз (саме зараз) зручно позбутися 1-й похідної. Для цього в отримане рівняння підставимо:

Щоб уникнути зайвих технічних труднощів, помножимо обидві частини на:

І тільки на завершальному етапі оформляємо дріб:

Тепер дивимося на вихідне рівняння і помічаємо, що отриманий результат піддається спрощенню:

відповідь:

Як знайти значення 2-ї похідної в будь-якій точці (Яка, зрозуміло, належить еліпсу), Наприклад, в точці ? Дуже легко! Цей мотив вже зустрічався на уроці про рівнянні нормалі: В вираз 2-й похідної потрібно підставити :

Безумовно, у всіх трьох випадках можна отримати явно задані функції і диференціювати їх, але тоді морально налаштуйтеся працювати з двома функціями, які містять корені. На мій погляд, рішення зручніше провести «неявним шляхом».

Заключний приклад для самостійного рішення:

приклад 17

Знайти неявно заданої функції