Формули спрощення тригонометричних функцій. Тотожні перетворення тригонометричних виразів

Воронкова Ольга Іванівна

МБОУ «Середня загальноосвітня школа

№ 18 »

м Енгельса Саратовської області.

Учитель математики.

«Тригонометричні вирази та їх перетворення»

Введение .................................................................................... .... 3

Глава 1 Класифікація завдань на використання перетворень тригонометричних виразів ............................... ........................ ... 5

1.1. Завдання на обчислення значень тригонометричних виразів ......... .5

1.2. Завдання на спрощення тригонометричних виразів .... 7

1.3. Завдання на перетворення числових тригонометричних виразів ... ..7

1.4 Завдання змішаного типу ............................................................ ..... 9

Глава 2. Методичні аспекти організація підсумкового повторення теми «Перетворення тригонометричних виразів» ................................. 11

2.1 Тематичне повторення в 10 класі ............................................. ... 11

Тест 1 .......................................................................................... ..12

Тест 2 .......................................................................................... ..13

Тест 3 .......................................................................................... ..14

2.2 Підсумкове повторення в 11 класі ................................................... ... 15

Тест 1 .......................................................................................... .17

Тест 2 .......................................................................................... .17

Тест 3 .......................................................................................... ..18

Висновок. .............................................................................. ....... 19

Список використаної літератури ............................................. .. ...... .20

Вступ .

В сьогоднішніх умовах найбільш головним є питання: «Як ми можемо допомогти усунути деякі прогалини в знаннях учнів і застерегти їх від можливих помилок на ЄДІ?» Для вирішення цього питання треба домагатися від учнів неформального засвоєння програмного матеріалу, а його глибокого і усвідомленого розуміння, розвитку швидкості усних обчислень і перетворень, а також розвитку навичок вирішення найпростіших завдань «в умі». Необхідно переконувати учнів у тому, що лише за наявності активної позиції, при вивченні математики, за умови набуття практичних умінь, навичок і їх використання, можна розраховувати на реальний успіх. Потрібно використовувати будь-яку можливість для підготовки до ЗНО, в тому числі і елективні предмети в 10-11-х класах, регулярно проводити розбір складних завдань з учнями, вибираючи найраціональніший спосіб вирішення на уроках і додаткових заняттях.Позитивний результат вобласті вирішення типових задач може бути досягнутий, якщо вчителі математики, будуть, створюючи хорошу базову підготовку учнів, шукати нові шляхи в рішенні відкрилися перед нами проблем, активно експериментувати, застосовувати сучасні педагогічні технології, методи, прийоми, що створюють сприятливі умови для ефективної самореалізації і самовизначення учнів в нових соціальних умовах.

Тригонометрія - складова частина шкільного курсу математики. Хороші знання і міцні навички з тригонометрії є свідченням достатнього рівня математичної культури, неодмінною умовою успішного вивчення у вузі математики, фізики, ряду технічнихдисциплін.

Актуальність роботи. Значна частина випускників шкіл показує з року в рік досить слабку підготовку з цього важливого розділу математики, про що свідчать результати минулих років (відсоток виконання 2011- 48,41%, 2012-51,05%), так як аналіз здачі єдиного державного іспиту показав , що учні допускають багато помилок при виконанні завдань саме цього розділу або взагалі не беруться за такі завдання. В Єдиному державному іспиті питання по тригонометрії зустрічаються майже в трьох видах завдань. Це і вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь в завданні В5, і робота з тригонометричними виразами в завданні В7, і дослідження тригонометричних функцій в завданні В14, а так само завдання В12, в яких є формули, що описують фізичні явища і містять тригонометричні функції. І це - тільки частина завдань У! А адже ще є і улюблені тригонометричні рівняння з відбором коренів С1, і «не дуже улюблені» геометричні завдання С2 і С4.

Мета роботи. Проаналізувати матеріал ЄДІ завдань В7, присвячених перетворенням тригонометричних виразів і проклассифицировать завдання за формою подачі їх в тестах.

Робота складається з двох розділів, вступу і висновку. У вступі підкреслена актуальність роботи. У першому розділі наведено класифікацію завдань на використання перетворень тригонометричних виразів в тестових завданнях ЄДІ (2012 г).

У другому розділі розглянута організація повторення теми «Перетворення тригонометричних виразів» в 10, 11 класах та розроблені тести з даної теми.

Список використаної літератури включає 17 джерел.

Глава 1. Класифікація завдань на використання перетворень тригонометричних виразів.

Відповідно до стандарту середньої (повної) освіти і вимогами до рівня підготовки учнів в кодифікатор вимог включаються завдання на знання основ тригонометрії.

Вивчення основ тригонометрії буде найбільш ефективним, коли:

буде забезпечена позитивна мотивація учнів на повторення раніше вивченого матеріалу;

в навчальному процесі буде реалізований особистісно-орієнтований підхід;

буде застосовуватися система завдань, яка сприяє розширенню, поглибленню, систематизації знань учнів;

будуть використовуватися передові педагогічні технології.

Проаналізувавши літературу та інтернет-ресурси з підготовки до ЄДІ, нами запропонована одна з можливих класифікацій завдань В7 (КІМ ЄДІ 2012-тригонометрія): завдання на обчислення значень тригонометричних виразів; завдання наперетворення числових тригонометричних виразів; завдання на перетворення буквених тригонометричних виразів; завдання змішаного типу.

1.1. Завдання на обчислення значень тригонометричних виразів.

Одним з найбільш поширених типів нескладних завдань з тригонометрії є обчислення значень тригонометричних функцій за значенням однієї з них:

а) Використання основного тригонометричного тотожності і його наслідки.

приклад 1 . Знайдіть, якщо
і
.

Рішення.
,
,

Оскільки , то
.

Відповідь.

приклад 2 . Знайдіть
, якщо
і.

Рішення.
,
,
.

Оскільки , то
.

Відповідь. .

б) Використання формул подвійного кута.

приклад 3 . Знайдіть
, якщо
.

Рішення. , .

Відповідь.
.

приклад 4 . Знайдіть значення виразу
.

Рішення. .

Відповідь.
.

1. Знайдіть , якщо

. Відповідь. -0,2

2. Знайдіть , якщо
і
. Відповідь. 0,4

3. Знайдіть

, Якщо. Відповідь. -12,884. Знайдіть

, якщо

. Відповідь. -0,845. Знайдіть значення виразу:

. Відповідь. 66. Знайдіть значення виразу

. Відповідь. -19

1.2. Завдання на спрощення тригонометричних виразів. Формули приведення повинні бути добре засвоєні учнями, так як вони знайдуть подальше застосування на уроках геометрії, фізики та інших суміжних дисциплін.

приклад 5 . Спростіть вирази
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Завдання для самостійного рішення:

1. Спростіть вираз

. Відповідь. 0,62. Знайдіть

, якщо

і . Відповідь. 10,563. Знайдіть значення виразу

, якщо

. Відповідь. 2

1.3. Завдання на перетворення числових тригонометричних виразів.

При відпрацюванні умінь і навичок завдань на перетворення чісловихтрігонометріческіх виразів, слід звернути увагу на знання таблиці значень тригонометричних функцій, властивостей парності і періодичності тригонометричних функцій.

а) Використання точних значень тригонометричних функцій для деяких кутів.

приклад 6 . Обчисліть
.

Рішення.
.

Відповідь.
.

б) Використання властивостей парності тригонометричних функцій.

приклад 7 . Обчисліть
.

Рішення. .

Відповідь.

в) Використання властивостей періодичностітригонометричних функцій.

приклад 8 . Знайдіть значення виразу
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Завдання для самостійного рішення:

1. Знайдіть значення виразу

. Відповідь. -40,52. Знайдіть значення виразу

. Відповідь. 17

3. Знайдіть значення виразу
. Відповідь. 6

. Відповідь. -24

Відповідь. -64

1.4 Завдання змішаного типу.

Тестова форма атестації має досить істотними особливостями, тому важливо звертати увагу на завдання пов'язані із застосуванням декількох тригонометричних формул одночасно.

Приклад 9. Знайдіть
, якщо
.

Рішення.
.

Відповідь.
.

приклад 10 . Знайдіть
, якщо
і
.

Рішення. .

Оскільки , то
.

Відповідь.
.

Приклад 11. Знайдіть
, Якщо.

Рішення. , ,
,
,
,
,
.

Відповідь.

Приклад 12. Обчисліть
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Приклад 13. Знайдіть значення виразу
, якщо
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Завдання для самостійного рішення:

1. Знайдіть

, якщо

. Відповідь. -1,75
2. Знайдіть

, якщо

. Відповідь. 33. Знайдіть

, Якщо. Відповідь. 0.254. Знайдіть значення виразу

, якщо

. Відповідь. 0,35. Знайдіть значення виразу

, якщо

. Відповідь. 5

Глава 2. Методичні аспекти організація підсумкового повторення теми «Перетворення тригонометричних виразів».

Одним з найважливіших питань, що сприяють подальшому підвищенню успішності, досягненню глибоких і міцних знань в учнів є питання про повторення раніше пройденого матеріалу. Практика показує, що в 10 класі доцільніше організувати тематичне повторення; в 11 класі - підсумкове повторення.

2.1. Тематичне повторення в 10 класі.

В процесі роботи над математичним матеріалом особливо великого значення набуває повторення кожної закінченої теми або цілого розділу курсу.

При тематичному повторенні систематизуються знання учнів по темі на завершальному етапі її проходження або після деякої перерви.

Для тематичного повторення виділяються спеціальні уроки, на яких концентрується і узагальнюється матеріал однієї якої-небудь теми.

Повторення на уроці проводиться шляхом бесіди з широким залученням учнів в цю бесіду. Після цього учні отримують завдання повторити певну тему і попереджаються, що буде проведена залікова робота по тестах.

Тест по темі повинен мати її основні питання. Після виконання роботи проводиться розбір характерних помилок і організовується повторення для їх усунення.

Для уроків тематичного повторення нами пропонуються розроблені залікові роботи у вигляді тестівпо темі «Перетворення тригонометричних виразів».

Тест № 1

Тест № 2

Тест № 3

Таблиця відповідей

тест

2.2. Підсумкове повторення в 11 класі.

Підсумкове повторення проводиться на завершальному етапі вивчення основних питань курсу математики і здійснюється в логічного зв'язку з вивченням навчального матеріалу з даного розділу або курсу в цілому.

Підсумкове повторення навчального матеріалу переслідує мети:

1. Активізація матеріалу всього навчального курсу для прояснення його логічної структури і вибудовування системи всередині предметних і між предметних зв'язків.

2. Поглиблення і по можливості розширення знань учнів з основних питань курсу в процесі повторення.

В умовах обов'язкової для всіх випускників складання іспиту з математики, поступове введення ЄДІ змушує вчителя по-новому підходити до підготовки і проведення уроків з огляду на необхідність забезпечити оволодіння всіма учнями навчального матеріалу на базовому рівні, а також можливість мотивованим учням, зацікавленим в отриманні високих балів для вступу до вузу, динамічного просування в оволодінні матеріалом на підвищеному і високому рівні.

На уроках підсумкового повторення можна розглянути наступні завдання:

приклад 1 . Обчисліть значення виразу.Рішення. \u003d

= =

=0,5. Відповідь. 0,5. Приклад 2. Вкажіть найбільше ціле значення, яке може приймати вираз

Рішення. Так як
може приймати будь-яке значення, що належить відрізку [-1; 1], то
приймає будь-яке значення відрізка [-0,4; 0,4], тому. Ціле значення виразу одне - число 4.

Відповідь: 4 приклад 3 . Спростіть вираз

Рішення: Скористаємося формулою розкладання на множники суми кубів:. маємо

маємо:
.

Відповідь: 1

Приклад 4. Обчисліть
.

Рішення. .

Відповідь: 0,28

Для уроків підсумкового повторення нами пропонуються розроблені тести по темі «Перетворення тригонометричних виразів».

Вкажіть найбільше ціле число, яке не перевищує, 1

висновок.

Пропрацювавши відповідну методичну літературу з даної теми, можна зробити висновок про те, що вміння і навички вирішувати завдання, пов'язані з тригонометричними перетвореннями в шкільному курсі математики є дуже важливим.

У ході проробленої роботи проведена класифікація завдань В7. Розглянуто тригонометричні формули найбільш часто застосовуються в КІМах 2012 року. Наведені приклади завдань з рішеннями. Розроблено диференційовані тести для організації повторення і систематизації знань в рамках підготовки до ЄДІ.

Доцільно продовжити розпочату роботу, розглянувши вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь в завданні В5, дослідження тригонометричних функцій в завданні В14, завдання В12, в яких є формули, що описують фізичні явища і містять тригонометричні функції.

На закінчення хотілося б зауважити, результативність здачі ЄДІ багато в чому залежить від того, наскільки ефективно організований процес підготовки на всіх щаблях навчання, з усіма категоріями учнів. А якщо ми зуміємо сформувати в учнів самостійність, відповідальність і готовність до продовження навчання протягом усього подальшого життя, то ми не тільки виконаємо замовлення держави і суспільства, а й підвищимо власну самооцінку.

Повторення навчального матеріалу вимагає від вчителя творчої роботи. Він повинен забезпечити чіткий зв'язок між видами повторення, здійснити глибоко продуману систему повторення. Оволодіти мистецтвом організації повторення - таке завдання вчителя. Від її вирішення багато в чому залежить міцність знань учнів.

Література.

Вигодський Я.Я., Довідник з елементарної математики. -М .: Наука, 1970.

Завдання підвищеної труднощі з алгебри і початків аналізу: Навчальний пособіедля 10-11 класів середньої школи / Б.М. Івлєв, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудніцин, С.І. Шварцбурд. - М .: Просвещение, 1990..

Застосування основних тригонометричних формул до перетворення виразів (10-й клас) // Фестиваль педагогічних ідей. 2012-2013.

Корянов А.Г. , Прокоф'єв А.А. Готуємо до ЄДІ хорошистів і відмінників. - М .: Педагогічний університет «Первое сентября», 2012.- 103 с.

Кузнєцова Е.Н. Спрощення тригонометричних виразів. Рішення тригонометричних рівнянь різними методами (підготовка до ЄДІ). 11-й клас. 2012-2013.

Куланін Е. Д. 3000 конкурсних завдань з математики. 4-е ІХД., Испр. і доп. - М .: Рольф, 2000..

Мордкович А.Г. Методичні проблеми вивчення тригонометрії в загальноосвітній школі // Математика в школі. 2002. №6.

Пічуріна Л.Ф. Про тригонометрії і не тільки про неї: -М. Просвітництво, 1985 р.

Решетніков М.М. Тригонометрія в школі: -М. : Педагогічний університет «Первое сентября», 2006, лк 1.

Шабунін М.І., Прокоф'єв А.А. Математика. Алгебра. Почала математичного аналіза.Профільний рівень: підручник для 10 класу - М .: БИНОМ. Лабораторія знань, 2007.

Освітній портал для підготовки до ЄДІ.

Підготовка до ЄДІ з математики "Ох, уже ця тригонометрія! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Проект "Математика? Легко !!!"http://www.resolventa.ru/

розділи: Математика

клас: 11

заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії і рішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Устаткування до уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання на будинок.

1. Оргмомент. (2 хв.)

Учитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку, нагадує про те, що раніше було дано завдання повторити формули тригонометрії і налаштовує учнів на тестування.

2. Тестування. (15хв + 3хв. Обговорення)

Мета - перевірити знання тригонометричних формул і вміння їх застосовувати. У кожного учня на парті ноутбук в якому варіант тесту.

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

I варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твори в суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x / 7);

Учні на ноутбуці навпроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані до загального огляду.

Також після закінчення роботи показуються на ноутбуках учнів правильні відповіді. Кожен учень бачить, де зроблена помилка, і які формули йому потрібно повторити.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Мета - повторити, відпрацювати і закріпити застосування основних формул тригонометрії. Рішення задач В7 з ЄДІ.

На даному етапі клас доцільно розбити на групи сильних (працюють самостійно з подальшою перевіркою) і слабких учнів, які працюють з учителем.

Завдання для сильних учнів (заздалегідь підготовлені на друкованій основі). Основний упор зроблений на формули приведення та подвійного кута, згідно ЄДІ 2011 року.

Спростити вирази (для сильних учнів):

Паралельно вчитель працює зі слабкими учнями, обговорюючи і вирішуючи під диктовку учнів завдання на екрані.

обчислити:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

На екрані з'являються відповіді, а також, за допомогою відеокамери виводяться роботи 5-ти різних учнів (по одному завданню у кожного).

Слабка група бачить умова і метод вирішення. Йде обговорення і аналіз. З використанням технічних засобів це відбувається швидко.

4. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Мета - повторити, систематизувати та узагальнити рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, запис їх коренів. Рішення завдання В3.

Будь-яке тригонометрическое рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

При виконанні завдання слід звертати увагу учнів на запис коренів рівнянь окремих випадків і загального вигляду і на відбір коренів в останньому рівнянні.

Вирішити рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета - перевірка отриманих навичок, виявлення проблем, помилок і шляхів їх усунення.

Пропонується разноуравневая робота на вибір учня.

Варіант на «3»

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на «4»

1) Знайти значення виразу

2) Вирішити рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на «5»

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Учитель підводить підсумки про те, що на уроці повторили і закріпили тригонометричні формули, вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Здається домашнє завдання (підготовлене на друкованій основі заздалегідь) з вибірковою перевіркою на наступному уроці.

Вирішити рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи рішень тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

цілі:

Узагальнити і систематизувати знання за рішенням тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Спонукати учнів до подолання труднощів в процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Устаткування до уроку: КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д / з та самот. роботи минулого уроку
Повторення методів рішень тригонометричних рівнянь.
Рішення тригонометричних рівнянь
Відбір коренів в тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Учитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку і план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

Мета - перевірити виконання. Одна робота за допомогою відео камери видається на екран, інші вибірково збираються на перевірку вчителя.

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Мета - розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді і рішення, в учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів вирішення тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета - згадати методи рішення тригонометричних рівнянь.

Запитати в учнів, які методи рішень тригонометричних рівнянь вони знають. Акцентувати на те, що є так звані основні (часто використовувані) методи:

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідний рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми в добуток і добутку в суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрическая підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також потрібно нагадати, що одне рівняння можна розв'язувати різними способами.

4. Рішення тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета - Обощая і закріпити знання і навички з даної теми, підготуватися до вирішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне прорешать разом з учнями рівняння на кожен метод.

Учень диктує рішення, учитель записує на планшет, весь процес відображається на екрані. Це дозволить швидко і ефективно відновити в пам'яті раніше пройдений матеріал.

Вирішити рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) розкладання на множники 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) перетворення суми в добуток cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) перетворення твори в суму 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) універсальна тригонометрическая підстановка sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Вирішуючи це рівняння, слід зазначити, що використання даного методу веде до звуження області визначення, так як синус і косинус замінюється на tg (x / 2). Тому, перш ніж виписувати відповідь, потрібно зробити перевірку, чи є числа з безлічі π + 2πn, n Z кіньми даного рівняння.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Так як в умовах жорсткої конкуренції під час вступу до ВНЗ рішення однієї першої частини іспиту недостатньо, то слід більшості учнів звертати увагу на завдання другої частини (С1, С2, С3).

Тому мета цього етапу заняття - згадати раніше вивчений матеріал, підготуватися до вирішення завдання С1 з ЄДІ 2011 року.

Існують тригонометричні рівняння, в яких потрібно проводити відбір коренів при виписці відповіді. Це пов'язано з деякими обмеженнями, наприклад: знаменник дробу не дорівнює нулю, вираз під коренем парного степеня неотрицательно, вираз під знаком логарифма позитивно і т.д.

Такі рівняння вважаються рівняннями підвищеної складності і в варіанті ЄДІ знаходяться в другій частині, а саме С1.

Розв'язати рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничної окружності зробимо відбір коренів (див. малюнок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x \u003d π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів показується на окружності в кольоровому зображенні.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. тоді

За допомогою одиничної окружності відберемо коріння (див. Рисунок 2)

розділи: Математика

клас: 11

заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії і рішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Устаткування до уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання на будинок.

1. Оргмомент. (2 хв.)

2. Тестування. (15хв + 3хв. Обговорення)

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

I варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твори в суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x / 7);

Учні на ноутбуці навпроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані до загального огляду.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Спростити вирази (для сильних учнів):

Паралельно вчитель працює зі слабкими учнями, обговорюючи і вирішуючи під диктовку учнів завдання на екрані.

обчислити:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

4. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Будь-яке тригонометрическое рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

Вирішити рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета - перевірка отриманих навичок, виявлення проблем, помилок і шляхів їх усунення.

Пропонується разноуравневая робота на вибір учня.

Варіант на «3»

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на «4»

1) Знайти значення виразу

2) Вирішити рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на «5»

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Вирішити рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи рішень тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

цілі:

Узагальнити і систематизувати знання за рішенням тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Спонукати учнів до подолання труднощів в процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Устаткування до уроку: КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д / з та самот. роботи минулого уроку
Повторення методів рішень тригонометричних рівнянь.
Рішення тригонометричних рівнянь
Відбір коренів в тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Учитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку і план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Мета - розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді і рішення, в учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів вирішення тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета - згадати методи рішення тригонометричних рівнянь.

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідний рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми в добуток і добутку в суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрическая підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також потрібно нагадати, що одне рівняння можна розв'язувати різними способами.

4. Рішення тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета - Обощая і закріпити знання і навички з даної теми, підготуватися до вирішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне прорешать разом з учнями рівняння на кожен метод.

Вирішити рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) розкладання на множники 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) перетворення суми в добуток cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) перетворення твори в суму 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) універсальна тригонометрическая підстановка sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Розв'язати рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничної окружності зробимо відбір коренів (див. малюнок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x \u003d π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів показується на окружності в кольоровому зображенні.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. тоді

За допомогою одиничної окружності відберемо коріння (див. Рисунок 2)

Малюнок 2.

Переходимо до системи:

У першому рівнянні системи зробимо заміну log 2 (sinx) \u003d y, отримаємо рівняння тоді , Повернемося до системи

за допомогою одиничної окружності відберемо коріння (див. рисунок 5),

Малюнок 5.

6. Самостійна робота (15 хв.)

Мета - закріпити і перевірити засвоєння матеріалу, виявити помилки, намітити шляхи їх виправлення.

Робота пропонується в трьох варіантах, заготовлених заздалегідь на друкованій основі, на вибір учнів.

Вирішувати рівняння можна будь-яким способом.

Варіант на «3»

Вирішити рівняння:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

Варіант на «4»

Вирішити рівняння:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

Варіант на «5»

Вирішити рівняння:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

7. Підсумок уроку, домашнє завдання (5 хв.)

Учитель підводить підсумок уроку, ще раз звертається увага на те, що тригонометрическое рівняння можна вирішити кількома способами. Найкращий спосіб для досягнення швидкого результату це той, який найкраще засвоєний конкретним учнем.

При підготовці до іспиту потрібно систематично повторювати формули і методи вирішення рівнянь.

Домашнє завдання (приготовлено заздалегідь на друкованій основі) лунає і коментуються способи рішень деяких рівнянь.

Вирішити рівняння:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

В тотожних перетвореннях тригонометричних виразів можуть бути використані наступні алгебраїчні прийоми: додавання і віднімання однакових доданків; винесення спільного множника за дужки; множення і ділення на одну і ту ж величину; застосування формул скороченого множення; виділення повного квадрата; розкладання квадратного тричлена на множники; введення нових змінних з метою спрощення перетворень.

При перетвореннях тригонометричних виразів, що містять дроби, можна використовувати властивості пропорції, скорочення дробів або приведення дробів до спільного знаменника. Крім того, можна користуватися виділенням цілої частини дробу, множенням чисельника і знаменника дробу на однакову величину, а так само по можливості враховувати однорідність чисельника або знаменника. При необхідності можна представляти дріб у вигляді суми або різниці декількох більш простих дробів.

Крім того, застосовуючи всі необхідні методи перетворення тригонометричних виразів, необхідно постійно враховувати облась допустимих значень перетворюються виразів.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1.

Обчислити А \u003d (sin (2x - π) · cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) · cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) · cos ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2x) · sin (2x -5π / 2)) 2

Рішення.

З формул приведення слід:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Звідки в силу формул складання аргументів і основного тригонометричного тотожності одержуємо

А \u003d (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d Sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Відповідь: 1.

Приклад 2.

Перетворити в твір вираз М \u003d cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Рішення.

З формул складання аргументів і формул перетворення суми тригонометричних функцій у добуток після відповідної угруповання маємо

М \u003d (cos (α + β) · cos γ - sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) · cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) · cos ((α + β) / 2) · cos ((α + γ) / 2).

Відповідь: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) · cos ((α + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2).

приклад 3.

Показати, що вираз А \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) приймає для всіх х з R одне і те ж значення. Знайти це значення.

Рішення.

Наведемо два способи вирішення цього завдання. Застосовуючи перший спосіб, шляхом виділення повного квадрата і користуючись відповідними основними тригонометричними формулами, отримаємо

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) · cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x · sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Вирішуючи задачу другим способом, розглянемо А як функцію від х з R і обчислимо її похідну. Після перетворень отримаємо

А'\u003d -2cos (x + π / 6) · sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) · sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) · sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x · cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Звідси в силу критерію сталості дифференцируемой на проміжку функції робимо висновок, що

А (х) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Відповідь: А \u003d 3/4 для x € R.

Основними прийомами докази тригонометричних тотожностей є:

а) зведення лівої частини тотожності до правої шляхом відповідних перетворень;
б) зведення правій частині тотожності до лівої;
в) зведення правої і лівої частин тотожності до одного і того ж виду;
г) зведення до нуля різниці лівої і правої частин доказуваного тотожності.

Приклад 4.

Перевірити, що cos 3x \u003d -4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3).

Рішення.

Перетворюючи праву частину цієї тотожності за відповідними тригонометричним формулами, маємо

4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x · cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Права частина тотожності зведена до лівої.

Приклад 5.

Довести, що sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α · cos β · cos γ \u003d 2, якщо α, β, γ - внутрішні кути деякого трикутника.

Рішення.

З огляду на, що α, β, γ - внутрішні кути деякого трикутника, отримуємо, що

α + β + γ \u003d π і, отже, γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α · cos β · cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α · cos β · cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - сos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Початкове рівність доведено.

Приклад 6.

Довести, що для того, щоб один з кутів α, β, γ трикутника дорівнював 60 °, необхідно і достатньо, щоб sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Рішення.

Умова даного завдання передбачає доказ як необхідність, так і достатності.

спочатку доведемо необхідність.

Можна показати, що

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2).

Звідси, враховуючи, що cos (3/2 · 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, отримуємо, що якщо один з кутів α, β або γ дорівнює 60 °, то

cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2) \u003d 0 і, отже, sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

доведемо тепер достатність зазначеного умови.

Якщо sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0, то cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2) \u003d 0, і тому

або cos (3α / 2) \u003d 0, або cos (3β / 2) \u003d 0, або cos (3γ / 2) \u003d 0.

отже,

або 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, тобто α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

або 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, тобто β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

або 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

тобто γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, де k ε Z.

З того, що α, β, γ - це кути трикутника, маємо

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Тому для α \u003d π / 3 + 2πk / 3 або β \u003d π / 3 + 2πk / 3 або

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 з усіх kεZ підходить тільки k \u003d 0.

Звідки випливає, що або α \u003d π / 3 \u003d 60 °, або β \u003d π / 3 \u003d 60 °, або γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Затвердження доведено.

Залишилися питання? Не знаєте, як спрощувати тригонометричні вирази?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Відеоурок «Спрощення тригонометричних виразів» призначений для формування навичок у учнів в рішенні тригонометричних задач з використанням основних тригонометричних тотожностей. В ході видеоурока розглядаються види тригонометричних тотожностей, приклади розв'язання задач з їх використанням. Застосовуючи наочний посібник, вчителю легше досягти цілей уроку. Яскраве уявлення матеріалу сприяє запам'ятовуванню важливих моментів. Використання анімаційних ефектів і озвучування дозволяють повністю замінити вчителя на етапі пояснення матеріалу. Таким чином, застосовуючи дане наочний посібник на уроках математики, вчитель може підвищити ефективність навчання.

На початку видеоурока оголошується його тема. Потім нагадуються тригонометричні тотожності, вивчені раніше. У списку буде відображено рівності sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, де t ≠ π / 2 + πk для kεZ, ctg t \u003d cos t / sin t, вірне для t ≠ πk, де kεZ, tg t · ctg t \u003d 1, при t ≠ πk / 2, де kεZ, названі основними тригонометричними тотожністю. Відзначається, що дані тотожності часто застосовуються в рішенні задач, де необхідно довести рівність або спростити вираз.

Дальее розглядаються приклади застосування даних тотожностей в рішенні задач. Спочатку пропонується розглянути рішення задач щодо спрощення виразів. У прикладі 1 необхідно спростити вираз cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. Щоб вирішити приклад, спочатку виноситься за дужки загальний множник cos 2 t. В результаті такого перетворення в дужках виходить вираз 1 cos 2 t, значення якого з основного тотожності тригонометрії одно sin 2 t. Після перетворення виразу очевидна можливість виведення за дужки ще одного спільного множника sin 2 t, після чого вираз набуває вигляду sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). З того ж основного тотожності виводимо значення виразу в дужках, що дорівнює 1. В результаті спрощення отримуємо cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

У прикладі 2 також вираз cost / (1 sint) + cost / (1+ sint) потрібно спростити. Так як в чисельнику обох дробів знаходиться вираз cost, його можна вивести за дужки як загальний множник. Потім дробу в дужках наводяться до спільного знаменника перемножением (1 sint) (1+ sint). Після приведення подібних доданків у чисельнику залишається 2, а в знаменнику 1 sin 2 t. У правій частині екрана нагадується основне тригонометричну тотожність sin 2 t + cos 2 t \u003d 1. Використовуючи його, знаходимо знаменник дробу cos 2 t. Після скорочення дробу отримаємо спрощений вид вираження cost / (1 sint) + cost / (1+ sint) \u003d 2 / cost.

Далі розглядаються приклади докази тотожностей, в яких застосовуються отримані знання про основні тождествах тригонометрії. У прикладі 3 необхідно довести тотожність (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. У правій частині екрана відображені три тотожності, які знадобляться для доказу - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t і tg t \u003d sin t / cos t з обмеженнями. Щоб довести тотожність, спочатку розкриваються дужки, після чого утворюється твір, що відображає вираз основного тригонометричного тотожності tg t · ctg t \u003d 1. Потім, згідно з тотожності з визначення котангенс, перетворюється ctg 2 t. В результаті перетворень виходить вираз 1-cos 2 t. Користуючись основним тотожністю, знаходимо значення виразу. Таким чином, доведено, що (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t.

У прикладі 4 необхідно знайти значення виразу tg 2 t + ctg 2 t, якщо tg t + ctg t \u003d 6. Щоб обчислити вираз, спочатку зводиться в квадрат права і ліва частини рівності (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2. Формула скороченого множення нагадується в правій частині екрана. Після розкриття дужок в лівій частині виразу утворюється сума tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, для перетворення якої можна застосувати одне з тригонометричних тотожностей tg t · ctg t \u003d 1, вид якого нагадується в правій частині екрана. Після перетворення виходить рівність tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. Ліва частина рівності збігається з умовою завдання, тому відповідь 34. Завдання вирішена.

Відеоурок «Спрощення тригонометричних виразів» рекомендується застосовувати на традиційному шкільному уроці математики. Також матеріал буде корисний вчителеві, який здійснює дистанційне навчання. З метою формування досвіду у вирішенні тригонометричних задач.

ТЕКСТОВА Розшифровка:

«Спрощення тригонометричних виразів».

рівності

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (синус квадрат ТЕ плюс косинус квадрат ТЕ одно одному)

2) tgt \u003d, при t ≠ + πk, kεZ (тангенс ТЕ дорівнює відношенню синуса ТЕ до косинусу ТЕ при ТЕ не в рівному пі на два плюс пі ка, ка належить Зет)

3) ctgt \u003d, при t ≠ πk, kεZ (котангенс ТЕ дорівнює відношенню косинуса ТЕ до синусу ТЕ при ТЕ не в рівному пі ка, ка належить Зет).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 при t ≠, kεZ (твір тангенса ТЕ на котангенс ТЕ дорівнює одному при ТЕ не в рівному пі ка, поділене на два, но належить Зет)

називають основними тригонометричними тотожністю.

Часто вони використовуються при спрощення і доказі тригонометричних виразів.

Розглянемо приклади використання цих формул при спрощення тригонометричних виразів.

ПРИКЛАД 1.Упростіть вираз: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Вираз а косинус квадрат ТЕ мінус косинус четвертого ступеня ТЕ плюс синус четвертого ступеня ТЕ).

Рішення. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d sin 2 t · 1 \u003d sin 2 t

(Винесемо за дужки загальний множник косинус квадрат ТЕ, в дужках отримаємо різницю одиниці і квадрата косинуса ТЕ, що дорівнює за першим тотожності квадрату синуса ТЕ. Отримаємо суму синус четвертого ступеня ТЕ твори косинус квадрат ТЕ і синус квадрат ТЕ. Загальний множник синус квадрат ТЕ винесемо за дужки, в дужках отримаємо суму квадратів косинуса і синуса, що за основним тригонометричного тотожності дорівнює одиниці. в результаті отримаємо квадрат синуса ТЕ).

ПРИКЛАД 2.Упростіть вираз: +.

(Вираз бе сума двох дробів в чисельнику першої косинус ТЕ в знаменнику одиниця мінус синус ТЕ, в чисельнику другий косинус ТЕ в знаменнику другий одиниця плюс синус ТЕ).

(Винесемо загальний множник косинус ТЕ за дужки, а в дужках приведемо до спільного знаменника, який представляє собою твір один мінус синус ТЕ на один плюс синус ТЕ.

У чисельнику отримаємо: одиниця плюс синус ТЕ плюс одиниця мінус синус ТЕ, наводимо подібні, чисельник дорівнює двом після приведення подібних.

У знаменнику можна застосувати формулу скороченого множення (різниця квадратів) і отримати різницю одиниці і квадрата синуса ТЕ, що за основним тригонометричного тотожності

дорівнює квадрату косинуса ТЕ. Після скорочення на косинус ТЕ отримаємо кінцеву відповідь: два поділене на косинус ТЕ).

Розглянемо приклади використання цих формул при доказі тригонометричних виразів.

ПРИКЛАД 3. Довести тотожність (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (твір різниці квадратів тангенса ТЕ і синуса ТЕ на квадрат котангенс ТЕ дорівнює квадрату синуса ТЕ).

Доведення.

Перетворимо ліву частину рівності:

(Tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d sin 2 t

(Розкриємо дужки, з раніше отриманого співвідношення відомо, що твір квадратів тангенса ТЕ на котангенс ТЕ дорівнює одиниці. Згадаймо, що котангенс ТЕ дорівнює відношенню косинуса ТЕ на синус ТЕ, значить, квадрат котангенс це відношення квадрата косинуса ТЕ на квадрат синуса ТЕ.

Після скорочення на синус квадрат ТЕ отримаємо різницю одиниці і косинуса квадрата ТЕ, що дорівнює синусу квадрату ТЕ). Що і потрібно було довести.

ПРИКЛАД 4.Найті значення виразу tg 2 t + ctg 2 t, якщо tgt + ctgt \u003d 6.

(Сума квадратів тангенса ТЕ і котангенс ТЕ, якщо сума тангенса і котангенс дорівнює шести).

Рішення. (Tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Зведемо обидві частини вихідного рівності в квадрат:

(Tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (квадрат суми тангенса ТЕ і котангенс ТЕ дорівнює шести в квадраті). Згадаймо формулу скороченого множення: Квадрат суми двох величин дорівнює квадрату першої плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другого. (A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 Отримаємо tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (тангенс квадрат ТЕ плюс подвоєний добуток тангенса ТЕ на котангенс ТЕ плюс котангенс квадрат ТЕ одно тридцяти шести) .

Так як твір тангенса ТЕ на котангенс ТЕ дорівнює одиниці, то tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (сума квадратів тангенса ТЕ і котангенс ТЕ і двох дорівнює тридцяти шести),