Рішення лінійних рівнянь з прикладами. Рішення лінійних рівнянь з прикладами Гра "Вгадай операцію"

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок і приведення подібних членів приймає вид

aх + b \u003d 0, Де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Вчора розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.

Наприклад, всі рівняння:

2х + 3 \u003d 7 - 0,5 х; 0,3х \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (х - 2) - лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння в правильну рівність називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 \u003d 13 замість невідомого х підставити число 2, то отримаємо вірне рівність 3 · 2 +7 \u003d 13. Значить, значення х \u003d 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х \u003d 3 не звертає рівняння 3х + 7 \u003d 13 в правильне рівність, так як 3 · 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х \u003d 3 не є рішенням або коренем рівняння.

Рішення будь-яких лінійних рівнянь зводиться до вирішення рівнянь виду

aх + b \u003d 0.

Перенесемо вільний член з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х \u003d - b / a .

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 \u003d 11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 на протилежний, отримаємо
3х \u003d 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х \u003d 9.

Щоб знайти х треба розділити твір на відомий множник, тобто
х \u003d 9: 3.

Значить, значення х \u003d 3 є рішенням або коренем рівняння.

Відповідь: х \u003d 3.

Якщо а \u003d 0 і b \u003d 0, То отримаємо рівняння 0х \u003d 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

Приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5 (х - 3) + 2 \u003d 3 (х - 4) + 2х - 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 \u003d 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо подібні члени:
0х \u003d 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а \u003d 0 і b ≠ 0, То отримаємо рівняння 0х \u003d - b. Це рівняння рішень не має, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0.

Приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 \u003d х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, що містять невідомі, а в правій - вільні члени:
х - х \u003d 5 - 8.

Наведемо подібні члени:
0х \u003d - 3.

Відповідь: немає рішень.

на малюнку 1 зображена схема рішення лінійного рівняння

Складемо загальну схему рішення рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

Приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше спільне кратне знаменників, рівне 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 \u003d 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, що містять невідомі і вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 \u003d 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, що містять невідомі, а в іншій - вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо подібні члени:
- 22х \u003d - 154.

6) Розділимо на - 22, Отримаємо
х \u003d 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени - в інший;

г) привести подібні члени;

д) вирішити рівняння виду ах \u003d b, яке отримали після приведення подібних членів.

Однак ця схема не обов'язкова для будь-якого рівняння. При вирішенні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( Приклад. 2), Третього ( Приклад. 1, 3) І навіть з п'ятого етапу, як в прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х \u003d 1/4.

Знаходимо невідоме х \u003d 1/4: 2,
х \u003d 1/8 .

Розглянемо рішення деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному іспиті.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) \u003d 5 - 6х.

2х + 6 \u003d 5 - 6х

2х + 6х \u003d 5 - 6

Відповідь: - 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння - 6 (5 - 3х) \u003d 8х - 7.

- 30 + 18х \u003d 8х - 7

18х - 8х \u003d - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) \u003d 4 · 7х + 24

9х - 12 \u003d 28х + 24

9х - 28х \u003d 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f (6), якщо f (x + 2) \u003d 3 7-х

Рішення

Так як треба знайти f (6), а нам відомо f (x + 2),
то х + 2 \u003d 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 \u003d 6,
отримуємо х \u003d 6 - 2, х \u003d 4.

Якщо х \u003d 4, тоді
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з рішенням рівнянь більш грунтовно, записуйтеся на мої уроки в розклад. Буду рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить подивитися новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Математика - найдавніша і велика наука про порядок, відносинах, числах. Основою якої є операції підрахунку: додавання, віднімання, множення, ділення.

Також, кожна людина мала свою ділянку землі. Виникла необхідність у вимірі своєї земельної ділянки.

У людини виникала потреба обчислення, вимірювання всього навколо (запаси, худобу, продукти, земельну ділянку, будівництво будинку і так далі.)

Крім сказаного, людина вчилася визначати форми і розміри навколишніх предметів, тобто. він є круглий або квадратний, або овальний ... Це означає прояв інтересу до просторовим формам реального світу.

Математика настільки важлива в нашому світі, що жодної професії не існує, де не потрібна була б математика.

Одного разу Карл Фрідріх Гаус сказав: «Математика - цариця наук, арифметика - цариця математики».

Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко і правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа в квадрат і навіть отримувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади і корисні завдання.

математик

Математик - це перш за все, фахівець в математиці. Математиком має право іменуватися як учитель (викладач) математики, так і учений, який проводить свої дослідження в різних областях математики.

Професія математика дуже складна і вимагає вищої освіти в університеті. Навчання математичним навичкам здійснюється, як правило, на математичних факультетах у вищих навчальних закладах.

Класи математик (розряди і класи)

Щоб дітям було простіше орієнтуватися в числах, та й не тільки дітям, було придумано поділ числа на класи і розряди.

Уявімо число 148951784296, і поділимо його по три цифри: 148 951 784 296. Отже, справа наліво: 296 - клас одиниць, 784 - клас тисяч, 951 - клас мільйонів, 148 - клас мільярдів. У свою чергу, в кожному класі 3 цифри мають свій розряд. Справа наліво: перша цифра - одиниці, друга цифра - десятки, третя - сотні. Наприклад, клас одиниць - 296, 6 - одиниці, 9 - десятки, 2 - сотні.

Такий поділ дійсно дуже зручно і легко запам'ятовується. Набагато простіше в ході навчання дітей математиці, розповідаючи про яку-небудь операції, говорити, як складати стовпчиком, наприклад. Тому що в ході розповіді можна називати числа по розрядах і класам і так буде набагато зрозуміліше учневі, ніж просто називати цифрою.

Математика 1 клас

У першому класі проходять розділ математики - арифметику. Арифметика - розділ математики, який працює з числами і обчисленнями (діями з числами).

У першому класі, як правило, проходять перші дві найпростіші операції з числами: додавання, віднімання.

додавання - це арифметична дія, в процесі якого складаються два числа, а їх результатом буде нове - третє.

a + b \u003d c.

віднімання - це арифметична дія, в процесі якого з першого числа віднімається друге число, а підсумком буде третє.

Формула складання виражається так: a - b \u003d c.

Операції проводяться з однозначними цифрами. Рідко зустрічаються двозначні. Тому що потрібно, щоб діти освоїлися, зрозуміли техніку.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Математика 2 клас

Другий клас - більш серйозний, ніж перший. Операції проводяться з двозначними числами. Крім додавання і віднімання присутній операція «більше, менше або дорівнює».

Суть операції «більше, менше або дорівнює» в порівнянні двох чисел.

знак< означает «меньше», знак > означає «більше» і відповідно \u003d одно.

Наприклад, потрібно порівняти два числа 25 і 40

25 < 40, 25 меньше 40.

49 і 14. 49\u003e 14, 49 більше чотирнадцяти.

Так само ставиться, якщо і зліва, і справа число однакове, або вираз рівносильно.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Математика 3 клас

У третьому класі учні мають поняття про чотири основні математичні підрахунки операціях: додавання, віднімання, множення, ділення.

І приклади з завданнями спрямовані на закріплення додавання, віднімання і більш кращого освоєння множення і ділення.

Популярні завдання на усний рахунок усіх чотирьох операцій. Спочатку приклад подібного типу може здатися важким. Але варто подумати, і відповідь стає очевидним.

Також, третій клас - це виконання дій в стовпчик. Метод підрахунку в стовпчик для кожної операції ви можете знайти в наших статтях по відповідним операціям.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Виріши приклади:

1. 84 - 67 =
2. 45 + 30 =
3. 35: 5 =
4. 37 + 14 =
5. 23 + 53 =
6. 16 * 7 =
7. 9 * 6 =
8. 72: 6 =
9. 40 + 27 =
10. 12 * 3 =
11. 45: 9 =
12. 59 + 36 =
13. 0 * 19 =
14. 88: 11 =
15. 8 * 24 =
16. 16 * 6 =
17. 22 + 76 =
18. 3 + 89 =
19. 64: 8 =
20. 96 - 54 =

Виріши приклади:

1. (7 + 20) : 3 - 8 =
2. (0 * 8 + 24) : 6 =
3. (20: 2 + 40) : 5 =
4. 48: 6 * 3 - 15 =
5. (82 - 53 + 11) : 8 =
6. (9 * 8 - 12) : 10 =

обчислювальні:

1. 8 рублів 64 копійки + 15 копійок \u003d
2. 3 метри 45 см + 16 метрів 55 см \u003d
3. 7 р. 70 к. - 3 р. 84 к.
4. 8 тонн - 8 центнерів \u003d
5. 5 км 400 м + 2 км 550 м

Виріши рівняння:

1. х * 7 \u003d 56
2. х: 3 \u003d 27
3. х + 72 \u003d 99 + 1
4. 92 - х \u003d 43 + 14

завдання 1

У шкільній їдальні за тиждень витрачається 180 кг хліба. Скільки кілограмів хліба витрачається за 2 дні, якщо вважати, що робочий тиждень становить 6 днів?

завдання 2

На столярному гуртку діти виготовили 87 шпаківень. 11 шпаківень вони повісили на прикольному ділянці, в міському парку в 2 рази більше, а інші шпаківні повісили на околиці міста. Скільки шпаківень повісили діти на околиці міста?

виріши приклади

виріши приклади

Порівняй

134 і 133-12

3(12-20: 4) і 312-20:4

(63-27): 9: 5 і (63 + 27: 9): 5

виріши завдання

Довжина ділянки 12 м, ширина в 4 рази менше довжини. Знайди периметр і площу ділянки.

виріши завдання

Дівчинка за три дні прочитала 24 сторінки книги. Скільки сторінок вона прочитає за 5 днів, якщо буде читати кожен день на 2 сторінки більше?

переведи

37 дес. 7 од. \u003d ... од.

8 сот. 2 дес. 8 од. \u003d ... од.

6 дес. 7 од. \u003d ... од.

5 сот. 9 од. \u003d ... од.

1 сот. 4 од. \u003d ... од.

33 дес. \u003d ... од.

Математика 4 клас

У четвертому класі йде активна робота з одиницями вимірювання: довжина (см, дц, м, км), маса (г, кг), час (з, ч), швидкість (м / c, км / год). А також відповідно робота з попередніми операціями.

Йде вивчення математичних рівняння з одним невідомим.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Людина на велосипеді подолав відстань від міста до села, рівне 60 км, за 4 години. На зворотному шляху він зменшив швидкість на 3 км / год. Скільки часу витратив велосипедист на поїзду?

16ти годинний шлях літака має довжину 4150 км. Літак летів 3 год зі швидкістю 660 км / год і ще 2 години зі швидкістю 730 км / год. Яка відстань має бути перебороти літаку за останній час?

За 5 годин кукурузник пролетів 220 км. Яка відстань подолає кукурузник, якщо швидкість збільшити на 7км / год?

Математика 5 клас

У п'ятому класі школяр починають вивчення таких тем як: дробові числа, змішані числа. Інформацію про операції з цими числами ви можете знайти в наших статтях по відповідним операціям.

Дробове число - це відношення двох чисел один до одного або ж чисельника до знаменника. Дробове число можна замінити операцією ділення. Наприклад, ¼ \u003d 1: 4.

змішане число - це дробове число, тільки з виділеної цілої частиною. Ціла частина виділяється за умови, що чисельник більше знаменника. Наприклад, була дріб: 5/4, її можна перетворити, шляхом виділення цілої частини: одна ціла і ¼.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Математика 6 клас

У другому класі з'являється тема перетворення дробів в малу запис. Що це означає? Наприклад, дана дріб ½, вона буде дорівнює 0,5. ¼ \u003d 0.25.

Приклади можуть складатися в такому стилі: 0.25 + 0.73 + 12/31.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

завдання №3:

У двох класах в загальному було 92 стільця. З першого класу перенесли 16 стільців до другого класу і потім кількість їх вирівняти. Скільки стільців було в першому і другому класі спочатку?

У двох ящиках лежало 240 кг яблук. З другого ящика в перший переклали 18 кг яблук. Після кількість яблук в першому і другому ящику вирівняти. Скільки кілограм яблук було спочатку в першому і другому ящику.

Автомобіліст виїхав з міста в село зі швидкістю одно 11,5 км / год. Через 2,4 години звідти ж і в тому ж напрямку виїхав автобус зі швидкістю 46 км / ч. Через якийсь час автобус наздожене автомобіль?

Ігри на розвиток усного рахунку

Спеціальні розвиваючі ігри розроблені за участю російських вчених з Сколково допоможуть поліпшити навички усного рахунку в цікавій ігровій формі.

Гра "Швидкий рахунок"

Гра «швидкий рахунок» допоможе вам вдосконалити своє мислення. Суть гри в тому, що на представленої вам зображенні, потрібно вибрати відповідь «так» або «ні» на запитання «чи є 5 однакових фруктів?». Ідіть за своєю метою, а допоможе вам у цьому дана гра.

Гра "Швидке додавання"

Гра «Швидке додавання» розвиває мислення і пам'ять. Головна суть гри вибирати цифри, сума яких дорівнює заданої цифрі. У цій грі дана матриця від одного до шістнадцяти. Над матрицею написано заданий число, треба вибрати цифри в матриці так, щоб сума цих цифр дорівнювала заданій цифрі. Якщо ви відповіли правильно, ви набираєте очки і продовжуєте грати далі.

Гра "Вгадай операцію"

Гра «Вгадай операцію» розвиває мислення і пам'ять. Головна суть гри треба вибрати математичний знак, щоб рівність була вірним. На екрані наведено приклади, подивіться уважно і поставте потрібний знак «+» або «-», так щоб рівність була вірним. Знак «+» і «-» розташовані внизу на картинці, виберіть потрібний знак і натисніть на потрібну кнопку. Якщо ви відповіли правильно, ви набираєте очки і продовжуєте грати далі.

Гра "Математичні матриці"

«Математичні матриці» чудове вправа для мозку дітей, Яке допоможе вам розвинути його розумову роботу, усний рахунок, швидкий пошук потрібних компонентів, уважність. Суть гри полягає в тому, що гравцеві належить із запропонованих 16 чисел знайти таку пару, яка в сумі дасть дане число, наприклад на зображенні нижче дане число «29», а шукана пара «5» і «24».

Гра "Візуальна геометрія"

Гра «Візуальна геометрія» розвиває мислення і пам'ять. Головна суть гри швидко рахувати кількість зафарбованих об'єктів і вибрати його зі списку відповідей. У цій грі на екрані на кілька секунд показуються сині квадратики, їх треба швидко порахувати, потім вони закриваються. Знизу під таблицею написані чотири числа, треба вибрати одне правильне число і натиснути на нього за допомогою мишки. Якщо ви відповіли правильно, ви набираєте очки і продовжуєте грати далі.

Гра "Спрощення"

Гра «Спрощення» розвиває мислення і пам'ять. Головна суть гри треба швидко виконати математичну операцію. На екрані намальований учень біля дошки, і дано математичне дію, учневі треба порахувати цей приклад і написати відповідь. Внизу дані три відповіді, порахуйте і натисніть потрібне вам число за допомогою мишки. Якщо ви відповіли правильно, ви набираєте очки і продовжуєте грати далі.

Розвиток феноменального усного рахунку

Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще - записуйтеся на наш курс: Прискорюємо усний рахунок - НЕ ментальна арифметика.

З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, додавання, множення, ділення, вираховування відсотків, але і відпрацюєте їх в спеціальних завданнях і розвиваючих іграх! Усний рахунок теж вимагає багато уваги і концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.

Розвиток пам'яті та уваги у дитини 5-10 років

Мета курсу: розвинути пам'ять і увагу у дитини так, щоб йому було легше вчитися в школі, щоб він міг краще запам'ятовувати.

Після проходження курсу дитина зможе:

1. У 2-5 разів краще запам'ятовувати тексти, особи, цифри, слова
2. Навчиться запам'ятовувати на більш тривалий термін
3. Збільшиться швидкість спогади потрібної інформації

Супер-пам'ять за 30 днів

Запам'ятовуйте потрібну інформацію швидко і надовго. Замислюєтеся, як відкривати двері або помити голову? Упевнений, що немає, адже це частина нашого життя. Легкі і прості вправи для тренування пам'яті можна зробити частиною життя і виконувати потроху серед дня. Якщо з'їсти добову норму їжі за раз, а можна їсти порціями протягом дня.

Гроші і мислення мільйонера

Чому бувають проблеми з грошима? У цьому курсі ми докладно відповімо на це питання, заглянемо всередину проблеми, розглянемо наші взаємини з грошима з психологічної, економічної та емоційних точок зору. З курсу Ви дізнаєтеся, що потрібно робити, щоб вирішити всі свої фінансові проблеми, почати накопичувати гроші і надалі інвестувати їх.

Знання психології грошей і способів роботи з ними робить людину мільйонером. 80% людей при збільшенні доходів беруть більше кредитів, стаючи ще біднішими. З іншого боку мільйонери, які всього добилися самі, знову запрацюють мільйони через 3-5 років, якщо почнуть з нуля. Цей курс навчає грамотному розподілу доходів і зменшення витрат, мотивує вчитися і досягати цілей, вчить вкладати гроші і розпізнавати лохотрон.

калькулятор дробів призначений для швидкого розрахунку операцій з дробом, допоможе легко дробу скласти, помножити, поділити або відняти.

Сучасні школярі починають вивчення дробів вже в 5 класі, з кожним роком вправи з ними ускладнюються. Математичні терміни і величини, які ми дізнаємося в школі, рідко можуть стати в нагоді нам у дорослому житті. Однак дробу, на відміну від логарифмів і ступенів, зустрічаються в повсякдення досить часто (вимірювання відстані, зважування товару і т.д.). Наш калькулятор призначений для швидкого проведення операцій з дробом.

Для початку визначимо, що таке дроби і які вони бувають. Дробом називають відношення одного числа до іншого, це число, що складається з цілого кількості часткою одиниці.

Різновиди дробів:

• звичайні
• десяткові
• змішані

приклад звичайних дробів:

Верхнє значення є чисельником, нижнє знаменником. Риска показує нам, що верхнє число ділиться на нижню. Замість подібного формату написання, коли риска знаходиться горизонтально, можна писати по-іншому. Можна ставити похилу лінію, наприклад:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

десяткові дроби є найпопулярнішою різновидом дробів. Вони складаються з цілої частини і дробової, відокремлені комою.

Приклад десяткових дробів:

0,2, або 6,71 або 0,125

Складаються з цілого числа і дробової частини. Щоб дізнатися значення цього дробу, потрібно скласти ціле число і дріб.

Приклад змішаних дробів:

Калькулятор дробів на нашому сайті здатний швидко в онлайн-режимі виконати будь-які математичні операції з дробами:

• додавання
• віднімання
• множення
• розподіл

Для здійснення розрахунку потрібно ввести цифри в поля і вибрати дію. У дробів потрібно заповнити чисельник і знаменник, ціле число може не писатися (якщо дріб звичайна). Не забудьте натиснути на кнопку «дорівнює».

Зручно, що калькулятор відразу надає процес вирішення прикладу з дробом, а не тільки готову відповідь. Саме завдяки розгорнутому рішенням ви можете використовувати даний матеріал при вирішенні шкільних завдань і для кращого освоєння пройденого матеріалу.

Вам потрібно здійснити розрахунок прикладу:

Після введення показників в поля форми отримуємо:

Щоб зробити самостійний розрахунок, введіть дані в форму.