Batasi 1x. Batas luar biasa pertama. Kontinuitas suatu fungsi Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik
Batas luar biasa pertama terlihat seperti ini: lim x → 0 sin x x = 1 .
Dalam contoh praktis, modifikasi limit luar biasa pertama sering dijumpai: lim x → 0 sin k · x k · x = 1 , di mana k adalah beberapa koefisien.
Mari kita jelaskan: lim x → 0 sin (k x) k x = kosong t = k x dan dari x → 0 mengikuti t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1 .
Konsekuensi dari batas luar biasa pertama:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1
Konsekuensi ini cukup mudah dibuktikan dengan menerapkan aturan L'Hospital atau perubahan fungsi sangat kecil.
Mari kita pertimbangkan beberapa masalah untuk menemukan limit sehubungan dengan limit luar biasa pertama; Mari kita berikan penjelasan rinci tentang solusinya.
Contoh 1
Batas harus ditentukan tanpa menggunakan aturan L'Hopital: lim x → 0 sin (3 x) 2 x .
Larutan
Ganti nilainya:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
Kita melihat bahwa ada ketidakpastian tentang nol dibagi nol. Lihat tabel ketidakpastian untuk menentukan metode solusi. Kombinasi sinus dan argumennya memberi kita petunjuk tentang penggunaan batas indah pertama, tetapi pertama-tama mari kita ubah ekspresinya. Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 3 x dan mendapatkan:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x
Berdasarkan akibat wajar dari limit luar biasa pertama, kita memiliki: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1 .
Kemudian kita sampai pada hasilnya:
lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2
Menjawab: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
Contoh 2
Tentukan limit lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 .
Larutan
Ganti nilainya dan dapatkan:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
Kami melihat ketidakpastian nol dibagi dengan nol. Mari kita ubah pembilang menggunakan rumus trigonometri:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
Kami melihat bahwa sekarang dimungkinkan untuk menerapkan batas luar biasa pertama di sini:
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3
Menjawab: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
Contoh 3
Perlu untuk menghitung limit lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x .
Larutan
Ganti nilainya:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0
Kami melihat ketidakpastian membagi nol dengan nol. Mari kita ganti:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (a r c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x) ) \u003d a r c sin (4 0) \u003d 0, lalu t → 0 sebagai x → 0.
Dalam hal ini, setelah mengubah variabel, batasnya berbentuk:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3
Menjawab: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .
Untuk pemahaman materi artikel yang lebih lengkap, perlu mengulang materi topik “Batas, definisi dasar, contoh temuan, tugas dan solusi”.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
Artikel ini: "Batas Luar Biasa Kedua" dikhususkan untuk pengungkapan dalam ketidakpastian spesies:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ dan $ ^\infty $.
Selain itu, ketidakpastian tersebut dapat diungkapkan dengan menggunakan logaritma fungsi daya eksponensial, tetapi ini adalah metode solusi lain, yang akan dibahas di artikel lain.
Rumus dan konsekuensi
Rumus batas luar biasa kedua ditulis sebagai berikut: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $ $
Dari rumus ikuti konsekuensi, yang sangat nyaman untuk menyelesaikan contoh dengan batasan: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Perlu dicatat bahwa batas luar biasa kedua tidak selalu dapat diterapkan pada fungsi pangkat eksponensial, tetapi hanya dalam kasus di mana basis cenderung ke satu. Untuk melakukan ini, pertama-tama hitung batas dasar dalam pikiran, lalu buat kesimpulan. Semua ini akan dibahas dalam contoh solusi.
Contoh solusi
Pertimbangkan contoh solusi menggunakan rumus langsung dan konsekuensinya. Kami juga akan menganalisis kasus di mana rumus tidak diperlukan. Cukup menuliskan jawaban yang sudah jadi saja.
| Contoh 1 |
| Temukan limit $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Larutan |
|
Mengganti tak terhingga ke dalam batas dan melihat ketidakpastian: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Temukan limit dari basis: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Kami mendapat basis yang sama dengan satu, yang berarti Anda sudah dapat menerapkan batas ajaib kedua. Untuk melakukan ini, kami akan menyesuaikan basis fungsi dengan rumus dengan mengurangi dan menambahkan satu: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Kami melihat konsekuensi kedua dan menuliskan jawabannya: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi terperinci. Anda akan dapat membiasakan diri dengan kemajuan perhitungan dan mengumpulkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan kredit dari guru tepat waktu! |
| Menjawab |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Contoh 4 |
| Selesaikan limit $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Larutan |
|
Kami menemukan batas basis dan melihat bahwa $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, sehingga kita dapat menerapkan batas ajaib kedua. Sebagai standar, menurut rencana, kami menambah dan mengurangi satu dari dasar derajat: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kami menyesuaikan pecahan di bawah rumus nada ke-2. membatasi: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Sekarang sesuaikan derajatnya. Eksponen harus mengandung pecahan yang sama dengan penyebut dari basis $ \frac(3x^2-2)(6) $. Untuk melakukan ini, kalikan dan bagi derajat dengannya, dan lanjutkan menyelesaikan: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Batas yang terletak di pangkat $ e $ adalah: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Oleh karena itu, melanjutkan solusi yang kami miliki: |
| Menjawab |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Mari kita menganalisis kasus ketika masalahnya mirip dengan batas luar biasa kedua, tetapi diselesaikan tanpanya.
Dalam artikel: "Batas Luar Biasa Kedua: Contoh Solusi", rumus, konsekuensinya dianalisis dan jenis masalah umum tentang topik ini diberikan.
Batas luar biasa pertama sering digunakan untuk menghitung batas yang mengandung sinus, arcsine, tangen, arctangen dan ketidakpastian yang dihasilkan nol dibagi nol.
Rumus
Rumus untuk limit luar biasa pertama adalah: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Kami perhatikan bahwa $ \alpha\to 0 $ menghasilkan $ \sin\alpha \to 0 $, jadi kami memiliki nol di pembilang dan penyebutnya. Jadi, rumus limit luar biasa pertama diperlukan untuk mengungkap ketidakpastian $ \frac(0)(0) $.
Agar rumus dapat diterapkan, dua syarat harus dipenuhi:
- Ekspresi yang terkandung dalam sinus dan penyebut pecahan adalah sama
- Ekspresi dalam sinus dan penyebut pecahan cenderung nol
Perhatian! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Meskipun ekspresi di bawah sinus dan penyebutnya sama, namun $ 2x ^2+1 = 1 $, ketika $ x\to 0 $. Kondisi kedua tidak terpenuhi, sehingga rumus TIDAK BISA diterapkan!
Konsekuensi
Sangat jarang, dalam tugas-tugas Anda dapat melihat batas luar biasa pertama yang bersih di mana Anda dapat segera menuliskan jawabannya. Dalam praktiknya, semuanya terlihat sedikit lebih rumit, tetapi untuk kasus seperti itu akan berguna untuk mengetahui konsekuensi dari batas luar biasa pertama. Berkat mereka, Anda dapat dengan cepat menghitung batas yang diinginkan.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Contoh solusi
Mari kita perhatikan limit luar biasa pertama, contoh penyelesaiannya untuk perhitungan limit yang mengandung fungsi trigonometri dan ketidakpastian $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Contoh 1 |
| Hitung $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Larutan |
|
Pertimbangkan batasnya dan perhatikan bahwa itu mengandung sinus. Selanjutnya, kita gantikan $ x = 0 $ ke dalam pembilang dan penyebut dan dapatkan ketidakpastian dari nol dibagi nol: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Sudah dua tanda bahwa Anda perlu menerapkan batas yang luar biasa, tetapi ada sedikit nuansa: kami tidak akan dapat langsung menerapkan rumus, karena ekspresi di bawah tanda sinus berbeda dari ekspresi di penyebut. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi setara. Oleh karena itu, dengan bantuan transformasi dasar pembilang, kita akan mengubahnya menjadi $2x$. Untuk melakukan ini, kami akan mengeluarkan deuce dari penyebut pecahan dengan faktor terpisah. Ini terlihat seperti ini: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , bahwa pada akhirnya $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ diperoleh dengan rumus. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi terperinci. Anda akan dapat membiasakan diri dengan kemajuan perhitungan dan mengumpulkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan kredit dari guru tepat waktu! |
| Menjawab |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Contoh 2 |
| Temukan $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Larutan |
|
Seperti biasa, pertama-tama Anda perlu mengetahui jenis ketidakpastiannya. Jika nol dibagi nol, maka kita perhatikan keberadaan sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Ketidakpastian ini memungkinkan kita untuk menggunakan rumus limit luar biasa pertama, tetapi pernyataan dari penyebut tidak sama dengan argumen sinus? Oleh karena itu, tidak mungkin menerapkan rumus "di dahi". Anda perlu mengalikan dan membagi pecahan dengan argumen sinus: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Sekarang kita jelaskan sifat-sifat limit: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Batas kedua sesuai dengan rumus dan sama dengan satu: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Ganti lagi $ x = 0 $ menjadi pecahan dan dapatkan ketidakpastian $ \frac(0)(0) $. Untuk menghilangkannya, cukup keluarkan $ x $ dari tanda kurung dan kurangi dengan itu: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Menjawab |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Contoh 4 |
| Hitung $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Larutan |
|
Mari kita mulai perhitungan dengan mengganti $ x=0 $. Akibatnya, kita mendapatkan ketidakpastian $ \frac(0)(0) $. Batas tersebut berisi sinus dan garis singgung, yang mengisyaratkan kemungkinan perkembangan situasi menggunakan rumus batas luar biasa pertama. Mari ubah pembilang dan penyebut pecahan menjadi rumus dan konsekuensinya: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Sekarang kita lihat di pembilang dan penyebut ada ekspresi yang cocok untuk rumus dan konsekuensinya. Argumen sinus dan argumen tangen adalah sama untuk masing-masing penyebut $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Menjawab |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Dalam artikel: "Batas luar biasa pertama, contoh solusi" diceritakan tentang kasus-kasus di mana disarankan untuk menggunakan rumus ini dan konsekuensinya.
Sekarang, dengan ketenangan pikiran, kita beralih ke pertimbangan batas yang indah.
seperti .
Alih-alih variabel x, berbagai fungsi dapat hadir, yang utama adalah cenderung 0.
Kita perlu menghitung batasnya
Seperti yang Anda lihat, batas ini sangat mirip dengan yang luar biasa pertama, tetapi ini tidak sepenuhnya benar. Secara umum, jika Anda melihat dosa dalam batas, maka Anda harus segera memikirkan apakah mungkin menggunakan batas luar biasa pertama.
Menurut aturan kami No. 1, kami mengganti nol dengan x:
Kita mendapatkan ketidakpastian.
Sekarang mari kita coba mengatur sendiri batas luar biasa pertama. Untuk melakukan ini, kami akan melakukan kombinasi sederhana:
Jadi kita susun pembilang dan penyebutnya agar 7x menonjol. Batas luar biasa yang familiar telah muncul. Dianjurkan untuk menyorotnya saat memutuskan:
Kami mengganti solusi dari contoh luar biasa pertama dan mendapatkan:
Sederhanakan pecahan:
Jawaban: 7/3.
Seperti yang Anda lihat, semuanya sangat sederhana.
Memiliki bentuk 
, di mana e = 2,718281828… adalah bilangan irasional.
Alih-alih variabel x, berbagai fungsi dapat hadir, yang utama adalah cenderung .
Kita perlu menghitung batasnya
Di sini kita melihat adanya gelar di bawah tanda batas, yang berarti batas luar biasa kedua dapat diterapkan.
Seperti biasa, kami akan menggunakan aturan nomor 1 - gantikan x:
Dapat dilihat bahwa untuk x basis derajatnya adalah , dan eksponennya adalah 4x > , yaitu kami mendapatkan ketidakpastian dalam bentuk:
Mari gunakan batasan indah kedua untuk mengungkapkan ketidakpastian kita, tetapi pertama-tama kita perlu mengaturnya. Seperti yang Anda lihat, perlu untuk mencapai kehadiran dalam indikator, di mana kita menaikkan basis ke pangkat 3x, dan pada saat yang sama pangkat 1/3x, agar ekspresi tidak berubah:
Jangan lupa untuk menyoroti batas luar biasa kami:
Ini benar-benar batas yang indah!
Jika Anda memiliki pertanyaan tentang batas luar biasa pertama dan kedua jangan ragu untuk bertanya kepada mereka di komentar.
Kami akan menjawab semua orang sesegera mungkin.
Anda juga dapat bekerja dengan seorang guru tentang topik ini.
Kami dengan senang hati menawarkan kepada Anda layanan pemilihan tutor yang berkualitas di kota Anda. Mitra kami akan segera memilih guru yang baik untuk Anda dengan persyaratan yang menguntungkan bagi Anda.
Tidak cukup informasi? - Kamu bisa !
Anda dapat menulis perhitungan matematis di buku catatan. Jauh lebih menyenangkan menulis di buku catatan individu dengan logo (http://www.blocnot.ru).
Rumus limit luar biasa kedua adalah lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Bentuk tulisan lain terlihat seperti ini: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Ketika kita berbicara tentang limit luar biasa kedua, kita harus berurusan dengan ketidakpastian bentuk 1 ∞ , yaitu satuan sampai derajat tak terhingga.
Pertimbangkan masalah di mana kita membutuhkan kemampuan untuk menghitung batas ajaib kedua.
Contoh 1
Tentukan limit lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Larutan
Gantikan formula yang diinginkan dan lakukan perhitungan.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Dalam jawaban kami, kami mendapatkan satuan pangkat tak terhingga. Untuk menentukan metode solusi, kami menggunakan tabel ketidakpastian. Kami memilih batas luar biasa kedua dan membuat perubahan variabel.
t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2
Jika x → ∞ maka t → - ∞ .
Mari kita lihat apa yang kita dapatkan setelah penggantian:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Menjawab: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Contoh 2
Hitung limit lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Larutan
Gantikan infinity dan dapatkan yang berikut ini.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Sebagai jawaban, kami kembali mendapatkan hal yang sama seperti pada soal sebelumnya, oleh karena itu, kami dapat kembali menggunakan batas ajaib kedua. Selanjutnya, kita perlu memilih bagian bilangan bulat di dasar fungsi daya:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Setelah itu, batasnya berbentuk sebagai berikut:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Kami mengganti variabel. Misalkan t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; jika x → ∞ , maka t → ∞ .
Setelah itu, kami menuliskan apa yang kami dapatkan di batas awal:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2
Untuk melakukan transformasi ini, kami menggunakan sifat dasar batas dan pangkat.
Menjawab: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Contoh 3
Hitung limit lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Larutan
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞
Setelah itu, kita perlu melakukan transformasi fungsi untuk menerapkan batas ajaib kedua. Kami mendapat yang berikut:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Karena sekarang kita memiliki eksponen yang sama dalam pembilang dan penyebut pecahan (sama dengan enam), batas pecahan tak terhingga akan sama dengan rasio koefisien ini pada pangkat yang lebih tinggi.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Mengganti t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, kita mendapatkan limit luar biasa kedua. Artinya apa:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Menjawab: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
kesimpulan
Ketidakpastian 1 ∞ , mis. unit ke tingkat yang tak terbatas, adalah ketidakpastian hukum pangkat, oleh karena itu, dapat diungkapkan dengan menggunakan aturan untuk menemukan batas fungsi pangkat eksponensial.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
