Penjumlahan dan pengurangan bilangan dengan derajat yang berbeda. Gelar dengan indikator alami

Mari pertimbangkan topik mengubah ekspresi dengan kekuatan, tetapi pertama-tama kita akan membahas sejumlah transformasi yang dapat dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk yang berkekuatan. Kita akan belajar cara membuka tanda kurung, memberi suku sejenis, bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat derajat.

Apa itu Ekspresi Daya?

Dalam kursus sekolah, hanya sedikit orang yang menggunakan frasa "ekspresi kekuatan", tetapi istilah ini selalu ditemukan dalam kumpulan persiapan ujian. Dalam kebanyakan kasus, frase menunjukkan ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Inilah yang akan kami refleksikan dalam definisi kami.

Definisi 1

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.

Kami memberikan beberapa contoh ekspresi kekuatan, dimulai dengan gelar dengan eksponen alami dan diakhiri dengan gelar dengan eksponen nyata.

Ekspresi pangkat paling sederhana dapat dianggap sebagai pangkat angka dengan eksponen alami: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Serta pangkat dengan eksponen nol: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Dan pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Sedikit lebih sulit untuk bekerja dengan gelar yang memiliki eksponen rasional dan irasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatornya bisa berupa variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 l g x − 5 x l g x.

Kami telah membahas pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Sekarang mari kita ubah mereka.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Pertama-tama, kami akan mempertimbangkan transformasi identitas dasar dari ekspresi yang dapat dilakukan dengan ekspresi kekuatan.

Contoh 1

Hitung Nilai Ekspresi Daya 2 3 (4 2 − 12).

Larutan

Kami akan melakukan semua transformasi sesuai dengan urutan tindakan. Dalam hal ini, kami akan mulai dengan melakukan tindakan dalam tanda kurung: kami akan mengganti derajat dengan nilai digital dan menghitung selisih antara kedua angka tersebut. Kita punya 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Tetap bagi kami untuk mengganti gelar 2 3 artinya 8 dan menghitung produk 8 4 = 32. Inilah jawaban kami.

Menjawab: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Contoh 2

Sederhanakan ekspresi dengan kekuatan 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Larutan

Ungkapan yang diberikan kepada kami dalam kondisi masalah mengandung istilah serupa, yang dapat kami bawa: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Menjawab: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Contoh 3

Nyatakan ekspresi dengan pangkat 9 - b 3 · π - 1 2 sebagai hasil kali.

Larutan

Mari kita wakili angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan terapkan rumus perkalian yang disingkat:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Menjawab: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Dan sekarang mari beralih ke analisis transformasi identik yang dapat diterapkan secara khusus pada ekspresi kekuatan.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Gelar dalam basis atau eksponen dapat memiliki angka, variabel, dan beberapa ekspresi. Misalnya, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Dan . Sulit untuk bekerja dengan catatan seperti itu. Jauh lebih mudah untuk mengganti ekspresi di dasar derajat atau ekspresi di eksponen dengan ekspresi yang identik sama.

Transformasi derajat dan indikator dilakukan sesuai dengan aturan yang kita ketahui secara terpisah satu sama lain. Yang terpenting, sebagai hasil transformasi, diperoleh ekspresi yang identik dengan aslinya.

Tujuan transformasi adalah untuk menyederhanakan ekspresi asli atau untuk mendapatkan solusi dari masalah tersebut. Misalnya, dalam contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Anda dapat melakukan operasi untuk menuju ke derajat 4 , 1 1 , 3 . Membuka tanda kurung, kita dapat memasukkan istilah-istilah yang mirip di dasar gelar (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) dan dapatkan ekspresi kekuatan dari bentuk yang lebih sederhana a 2 (x + 1).

Menggunakan Properti Daya

Properti derajat, ditulis sebagai persamaan, adalah salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan derajat. Kami sajikan di sini yang utama, mengingat itu A Dan B adalah bilangan positif, dan R Dan S- bilangan real arbitrer:

Definisi 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r = a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Dalam kasus di mana kita berurusan dengan eksponen alami, bilangan bulat, positif, pembatasan pada angka a dan b bisa jauh lebih ketat. Jadi, misalnya, jika kita mempertimbangkan kesetaraan a m a n = a m + n, Di mana M Dan N adalah bilangan asli, maka akan benar untuk setiap nilai a, baik positif maupun negatif, serta untuk a = 0.

Anda dapat menerapkan properti derajat tanpa batasan dalam kasus di mana basis derajat positif atau mengandung variabel yang rentang nilai yang dapat diterima sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif. Padahal, dalam kerangka kurikulum sekolah dalam matematika, tugas siswa adalah memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar.

Saat mempersiapkan penerimaan ke universitas, mungkin ada tugas di mana penerapan properti yang tidak akurat akan menyebabkan penyempitan ODZ dan kesulitan lain dengan solusinya. Pada bagian ini, kami hanya akan mempertimbangkan dua kasus seperti itu. Informasi lebih lanjut tentang subjek dapat ditemukan di topik "Mengubah ekspresi menggunakan properti eksponen".

Contoh 4

Mewakili ekspresi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 sebagai gelar dengan dasar A.

Larutan

Untuk memulainya, kami menggunakan properti eksponensial dan mengubah faktor kedua dengan menggunakannya (a 2) − 3. Kemudian kami menggunakan sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Menjawab: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformasi ekspresi kekuatan menurut sifat derajat dapat dilakukan baik dari kiri ke kanan maupun berlawanan arah.

Contoh 5

Temukan nilai dari pernyataan pangkat 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Larutan

Jika kita menerapkan persamaan (a b) r = a r b r, dari kanan ke kiri, maka diperoleh hasil perkalian berbentuk 3 7 1 3 21 2 3 lalu 21 1 3 21 2 3 . Mari tambahkan eksponen saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Ada cara lain untuk melakukan transformasi:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Menjawab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Contoh 6

Diberi ekspresi kekuatan a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, masukkan variabel baru t = a 0 , 5.

Larutan

Bayangkan gelarnya a 1 , 5 Bagaimana a 0 , 5 3. Menggunakan properti degree dalam gelar (a r) s = a r s dari kanan ke kiri dan dapatkan (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda dapat dengan mudah memperkenalkan variabel baru t = a 0 , 5: mendapatkan t 3 − t − 6.

Menjawab: t 3 − t − 6 .

Mengubah pecahan yang mengandung kekuatan

Kami biasanya berurusan dengan dua varian ekspresi kekuatan dengan pecahan: ekspresi adalah pecahan dengan derajat atau mengandung pecahan seperti itu. Semua transformasi pecahan dasar berlaku untuk ekspresi semacam itu tanpa batasan. Mereka dapat dikurangi, dibawa ke penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilang dan penyebut. Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh.

Contoh 7

Sederhanakan persamaan pangkat 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Larutan

Kami berurusan dengan pecahan, jadi kami akan melakukan transformasi pada pembilang dan penyebutnya:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Letakkan minus di depan pecahan untuk mengubah tanda penyebutnya: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Menjawab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Pecahan yang memiliki pangkat direduksi menjadi penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari faktor tambahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya. Penting untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh 8

Bawa pecahan ke penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 ke penyebut A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 dengan penyebut x + 8 y 1 2 .

Larutan

a) Kami memilih faktor yang memungkinkan kami mengurangi penyebut baru. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , oleh karena itu, sebagai faktor tambahan, kami ambil sebuah 0 , 3. Kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a mencakup himpunan semua bilangan real positif. Di bidang ini, gelar sebuah 0 , 3 tidak menuju nol.

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan sebuah 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Perhatikan penyebutnya:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Kalikan ungkapan ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6 , kita mendapatkan jumlah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6 , mis. x + 8 · y 1 2 . Ini adalah penyebut baru kita, yang perlu kita bawa pecahan aslinya.

Jadi, kami menemukan faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pada kisaran nilai variabel yang dapat diterima X Dan y ekspresi x 1 3 + 2 y 1 6 tidak hilang, jadi kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Menjawab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Contoh 9

Kurangi pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Larutan

a) Gunakan penyebut umum terbesar (FPB) dimana pembilang dan penyebut dapat dikurangi. Untuk angka 30 dan 45, ini adalah 15. Kita juga bisa mengurangi x 0 , 5 + 1 dan pada x + 2 x 1 1 3-5 3 .

Kita mendapatkan:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Di sini keberadaan faktor identik tidak jelas. Anda harus melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor yang sama pada pembilang dan penyebutnya. Untuk melakukan ini, kami memperluas penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Menjawab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operasi dasar dengan pecahan meliputi pengurangan ke penyebut baru dan pengurangan pecahan. Kedua tindakan tersebut dilakukan sesuai dengan sejumlah aturan. Saat menjumlahkan dan mengurangi pecahan, pecahan pertama-tama direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu tindakan (penjumlahan atau pengurangan) dilakukan dengan pembilang. Penyebutnya tetap sama. Hasil dari tindakan kita adalah pecahan baru, yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya.

Contoh 10

Lakukan langkah-langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Larutan

Mari kita mulai dengan mengurangkan pecahan yang ada di dalam tanda kurung. Mari kita bawa mereka ke penyebut yang sama:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Mari kita kurangi pembilangnya:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1x1 2 + 1 1x1 2

Sekarang kita mengalikan pecahan:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Mari kita kurangi sedikit demi sedikit x 1 2, kita mendapatkan 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Selain itu, Anda dapat menyederhanakan persamaan pangkat dalam penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat: kuadrat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Menjawab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Contoh 11

Sederhanakan persamaan pangkat x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Larutan

Kita dapat mengurangi pecahan dengan (x 2 , 7 + 1) 2. Kita mendapatkan pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Mari lanjutkan transformasi pangkat x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sekarang Anda dapat menggunakan properti pembagian pangkat dengan basis yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Kita beralih dari hasil kali terakhir ke pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Menjawab: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Dalam kebanyakan kasus, lebih mudah untuk mentransfer pengali dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut dan sebaliknya dengan mengubah tanda eksponen. Tindakan ini menyederhanakan keputusan selanjutnya. Mari kita beri contoh: ekspresi pangkat (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 dapat diganti dengan x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konversi ekspresi dengan akar dan kekuatan

Dalam tugas, ada ekspresi pangkat yang tidak hanya berisi derajat dengan eksponen pecahan, tetapi juga akar. Diinginkan untuk mereduksi ekspresi seperti itu hanya menjadi akar atau hanya menjadi kekuatan. Transisi ke derajat lebih disukai, karena lebih mudah untuk dikerjakan. Transisi seperti itu sangat menguntungkan ketika DPV dari variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti root dengan kekuatan tanpa harus mengakses modulus atau membagi DPV menjadi beberapa interval.

Contoh 12

Nyatakan ekspresi x 1 9 x x 3 6 sebagai pangkat.

Larutan

Rentang variabel yang valid X ditentukan oleh dua pertidaksamaan x ≥ 0 dan x · x 3 ≥ 0 , yang menentukan himpunan [ 0 , + ∞) .

Di set ini, kami memiliki hak untuk berpindah dari akar ke kekuatan:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Menggunakan properti derajat, kami menyederhanakan ekspresi daya yang dihasilkan.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Menjawab: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Konversi kekuatan dengan variabel dalam eksponen

Transformasi ini cukup mudah dilakukan jika Anda menggunakan properti derajat dengan benar. Misalnya, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Kita dapat mengganti produk dari derajat, di mana jumlah dari beberapa variabel dan angka ditemukan. Di sisi kiri, ini bisa dilakukan dengan suku pertama dan terakhir di sisi kiri ekspresi:

5 2 x 5 1− 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Sekarang mari kita bagi kedua sisi persamaan dengan 7 2x. Ungkapan pada ODZ dari variabel x ini hanya mengambil nilai positif:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Mari kita kurangi pecahan dengan pangkat, kita dapatkan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Terakhir, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang menghasilkan persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , yang setara dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Mari kita perkenalkan variabel baru t = 5 7 x , yang mereduksi penyelesaian persamaan eksponensial awal menjadi penyelesaian persamaan kuadrat 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Konversi ekspresi dengan kekuatan dan logaritma

Ekspresi yang mengandung kekuatan dan logaritma juga ditemukan dalam soal. Contoh ungkapan tersebut adalah: 1 4 1 - 5 log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformasi ekspresi semacam itu dilakukan dengan menggunakan pendekatan yang dibahas di atas dan sifat-sifat logaritma, yang telah kami analisis secara rinci dalam topik "Transformasi ekspresi logaritma".

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Konsep gelar dalam matematika diperkenalkan sejak kelas 7 dalam pelajaran aljabar. Dan kedepannya, sepanjang pembelajaran matematika, konsep ini digunakan secara aktif dalam berbagai bentuknya. Derajat adalah topik yang agak sulit, membutuhkan hafalan nilai dan kemampuan menghitung dengan benar dan cepat. Untuk pekerjaan yang lebih cepat dan lebih baik dengan gelar matematika, mereka menemukan properti gelar. Mereka membantu mengurangi perhitungan besar, mengubah contoh besar menjadi satu angka sampai batas tertentu. Properti tidak begitu banyak, dan semuanya mudah diingat dan diterapkan dalam praktik. Oleh karena itu, artikel tersebut membahas sifat-sifat utama dari gelar tersebut, serta di mana penerapannya.

sifat derajat

Kami akan mempertimbangkan 12 sifat derajat, termasuk sifat pangkat dengan basis yang sama, dan memberikan contoh untuk setiap sifat. Masing-masing properti ini akan membantu Anda memecahkan masalah dengan derajat lebih cepat, serta menyelamatkan Anda dari banyak kesalahan komputasi.

properti pertama.

Banyak orang sangat sering melupakan properti ini, membuat kesalahan, merepresentasikan angka ke derajat nol sebagai nol.

properti ke-2.

properti ke-3.

Harus diingat bahwa properti ini hanya dapat digunakan saat mengalikan angka, tidak berfungsi dengan penjumlahan! Dan kita tidak boleh lupa bahwa ini dan properti berikut hanya berlaku untuk kekuatan dengan basis yang sama.

properti ke-4.

Jika angka dalam penyebut dinaikkan menjadi pangkat negatif, maka saat mengurangkan, derajat penyebutnya diambil dalam tanda kurung untuk mengganti tanda dengan benar dalam perhitungan lebih lanjut.

Properti hanya berfungsi saat membagi, bukan saat mengurangkan!

properti ke-5.

properti ke-6.

Properti ini juga dapat diterapkan secara terbalik. Satuan yang dibagi dengan angka sampai tingkat tertentu adalah angka itu dengan pangkat negatif.

properti ke-7.

Properti ini tidak dapat diterapkan pada jumlah dan selisih! Saat menaikkan jumlah atau selisih pangkat, rumus perkalian singkat digunakan, bukan sifat pangkat.

properti ke-8.

properti ke-9.

Properti ini berfungsi untuk semua derajat pecahan dengan pembilangnya sama dengan satu, rumusnya akan sama, hanya derajat akarnya yang akan berubah tergantung pada penyebut derajatnya.

Juga, properti ini sering digunakan dalam urutan terbalik. Akar dari pangkat apa pun dari suatu angka dapat direpresentasikan sebagai angka pangkat satu dibagi dengan pangkat akar. Properti ini sangat berguna jika akar nomor tidak diekstraksi.

properti ke-10.

Properti ini bekerja tidak hanya dengan akar kuadrat dan derajat kedua. Jika derajat akar dan derajat dinaikkan akar ini sama, maka jawabannya adalah ekspresi radikal.

properti ke-11.

Anda harus dapat melihat properti ini tepat waktu saat menyelesaikannya untuk menyelamatkan diri Anda dari perhitungan besar.

properti ke-12.

Masing-masing properti ini akan menemui Anda lebih dari sekali dalam tugas, dapat diberikan dalam bentuk murni, atau mungkin memerlukan beberapa transformasi dan penggunaan rumus lain. Oleh karena itu, untuk solusi yang tepat, tidak cukup hanya mengetahui sifat-sifatnya saja, Anda perlu berlatih dan menghubungkan pengetahuan matematika lainnya.

Penerapan derajat dan sifat-sifatnya

Mereka secara aktif digunakan dalam aljabar dan geometri. Derajat dalam matematika memiliki tempat yang terpisah dan penting. Dengan bantuan mereka, persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial diselesaikan, serta kekuatan sering memperumit persamaan dan contoh yang terkait dengan bagian matematika lainnya. Eksponen membantu menghindari perhitungan besar dan panjang, lebih mudah untuk mengurangi dan menghitung eksponen. Tetapi untuk bekerja dengan kekuatan besar, atau dengan kekuatan angka besar, Anda perlu mengetahui tidak hanya sifat-sifat gelar, tetapi juga bekerja dengan basis secara kompeten, dapat menguraikannya untuk mempermudah tugas Anda. Untuk kenyamanan, Anda juga harus mengetahui arti angka yang dipangkatkan. Ini akan mengurangi waktu Anda dalam menyelesaikan dengan menghilangkan kebutuhan untuk perhitungan yang panjang.

Konsep derajat memainkan peran khusus dalam logaritma. Karena logaritma pada dasarnya adalah kekuatan angka.

Rumus perkalian yang disingkat adalah contoh lain penggunaan pangkat. Mereka tidak dapat menggunakan sifat-sifat derajat, mereka diuraikan menurut aturan khusus, tetapi dalam setiap rumus perkalian yang disingkat selalu ada derajat.

Gelar juga digunakan secara aktif dalam fisika dan ilmu komputer. Semua terjemahan ke dalam sistem SI dibuat menggunakan derajat, dan di masa mendatang, saat memecahkan masalah, properti derajat diterapkan. Dalam ilmu komputer, kekuatan dua digunakan secara aktif, untuk kenyamanan menghitung dan menyederhanakan persepsi angka. Perhitungan lebih lanjut untuk konversi satuan ukuran atau perhitungan masalah, seperti dalam fisika, terjadi dengan menggunakan sifat derajat.

Derajat juga sangat berguna dalam astronomi, di mana Anda jarang dapat menemukan penggunaan sifat-sifat suatu derajat, tetapi derajat itu sendiri secara aktif digunakan untuk mempersingkat pencatatan berbagai besaran dan jarak.

Derajat juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari, saat menghitung luas, volume, jarak.

Dengan bantuan derajat, nilai yang sangat besar dan sangat kecil ditulis dalam bidang sains apa pun.

persamaan eksponensial dan pertidaksamaan

Properti derajat menempati tempat khusus tepatnya dalam persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Tugas-tugas ini sangat umum, baik dalam kursus sekolah maupun dalam ujian. Semuanya diselesaikan dengan menerapkan sifat-sifat gelar. Yang tidak diketahui selalu dalam derajat itu sendiri, oleh karena itu, mengetahui semua properti, tidak akan sulit untuk menyelesaikan persamaan atau ketidaksetaraan seperti itu.

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua materi diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 7
Manual untuk buku teks Yu.N. Manual Makarycheva untuk buku teks A.G. Mordkovich

Tujuan pelajaran: mempelajari cara melakukan operasi dengan kekuatan angka.

Untuk memulainya, mari kita mengingat kembali konsep "kekuatan angka". Ekspresi seperti $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ dapat direpresentasikan sebagai $a^n$.

Kebalikannya juga benar: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Kesetaraan ini disebut "mencatat gelar sebagai produk". Ini akan membantu kita menentukan cara melipatgandakan dan membagi kekuatan.
Ingat:
A- dasar gelar.
N- eksponen.
Jika n=1, yang berarti angka A diambil sekali dan masing-masing: $a^n= 1$.
Jika n=0, lalu $a^0= 1$.

Mengapa ini terjadi, kita bisa mengetahuinya saat kita mengenal aturan perkalian dan pembagian pangkat.

aturan perkalian

Contoh.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Properti ini nyaman digunakan untuk menyederhanakan pekerjaan saat menaikkan angka ke kekuatan besar.
Contoh.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jika pangkat dikalikan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponennya sama.
Untuk $a^n * b^n$, kita menulis pangkat sebagai perkalian: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Jika kita menukar faktor dan menghitung pasangan yang dihasilkan, kita mendapatkan: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Jadi $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Contoh.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

aturan pembagian

Jadi, itu perlu $\frac(a^n)(a^m)$, Di mana n> m.

Kami menulis derajat sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Sekarang mari kita kurangi pecahannya.

Ternyata: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Cara, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Properti ini akan membantu menjelaskan situasi dengan menaikkan angka ke pangkat nol. Mari kita asumsikan itu n=m, lalu $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Contoh.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Dasar derajatnya berbeda, indikatornya sama.
Katakanlah Anda membutuhkan $\frac(a^n)( b^n)$. Kami menulis kekuatan angka sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Contoh.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Salah satu ciri utama dalam aljabar, dan memang dalam semua matematika, adalah gelar. Tentu saja, di abad ke-21, semua perhitungan dapat dilakukan dengan kalkulator online, tetapi lebih baik mempelajari cara melakukannya sendiri untuk perkembangan otak.

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah terpenting terkait definisi ini. Yaitu kita akan mengerti apa itu secara umum dan apa fungsi utamanya, sifat apa yang ada dalam matematika.

Mari kita lihat contoh seperti apa perhitungannya, apa saja rumus dasarnya. Mari kita menganalisis jenis besaran utama dan perbedaannya dari fungsi lain.

Kami akan memahami bagaimana menyelesaikan berbagai masalah menggunakan nilai ini. Kami akan menunjukkan dengan contoh cara menaikkan ke derajat nol, irasional, negatif, dll.

Kalkulator eksponensial online

Berapakah derajat suatu bilangan

Apa yang dimaksud dengan ungkapan "naikkan angka menjadi kekuatan"?

Derajat n dari suatu bilangan a adalah perkalian faktor-faktor yang besarnya a n kali berturut-turut.

Secara matematis terlihat seperti ini:

a n = a * a * a * … a n .

Misalnya:

• 2 3 = 2 pada langkah ketiga. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 langkah. dua = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 langkah. empat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 dalam 5 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 dalam 4 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.

Di bawah ini adalah tabel kotak dan kubus dari 1 sampai 10.

Tabel derajat dari 1 sampai 10

Di bawah ini adalah hasil dari bilangan asli pangkat positif - "dari 1 sampai 100".

Sifat derajat

Apa karakteristik dari fungsi matematika seperti itu? Mari kita lihat properti dasarnya.

Para ilmuwan telah menetapkan yang berikut ini tanda karakteristik dari semua derajat:

• a n * am = (a) (n+m) ;
• a n: am = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Mari kita periksa dengan contoh:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sebaliknya 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Demikian pula: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. Jika tidak, 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Bagaimana jika berbeda? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Seperti yang Anda lihat, aturannya berfungsi.

Tapi bagaimana menjadi dengan penjumlahan dan pengurangan? Semuanya sederhana. Pengangkatan pertama dilakukan, dan baru kemudian penambahan dan pengurangan.

Mari kita lihat contoh:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Tetapi dalam hal ini, Anda harus menghitung penjumlahan terlebih dahulu, karena ada tindakan dalam tanda kurung: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Bagaimana cara memproduksi perhitungan dalam kasus yang lebih kompleks? Urutannya sama:

• jika ada tanda kurung, Anda harus memulainya;
• kemudian eksponensial;
• kemudian melakukan operasi perkalian, pembagian;
• setelah penjumlahan, pengurangan.

Ada sifat khusus yang bukan karakteristik dari semua derajat:

1. Akar derajat ke-n dari bilangan a ke derajat m ditulis sebagai: a m / n .
2. Saat menaikkan pecahan menjadi pangkat: pembilang dan penyebutnya tunduk pada prosedur ini.
3. Saat menaikkan hasil kali dari angka yang berbeda ke pangkat, ekspresi akan sesuai dengan hasil kali angka ini dengan pangkat yang diberikan. Yaitu: (a * b) n = a n * b n .
4. Saat menaikkan angka ke pangkat negatif, Anda perlu membagi 1 dengan angka pada langkah yang sama, tetapi dengan tanda "+".
5. Jika penyebut pecahan memiliki pangkat negatif, maka ungkapan ini akan sama dengan hasil kali pembilang dan penyebut pangkat positif.
6. Angka apa pun dengan pangkat 0 = 1, dan ke langkah. 1 = untuk dirinya sendiri.

Aturan-aturan ini penting dalam kasus-kasus individual, kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci di bawah ini.

Derajat dengan eksponen negatif

Apa yang harus dilakukan dengan derajat negatif, yaitu bila indikatornya negatif?

Berdasarkan sifat 4 dan 5(lihat poin di atas) ternyata:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Dan sebaliknya:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Bagaimana jika pecahan?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Gelar dengan indikator alami

Ini dipahami sebagai gelar dengan eksponen sama dengan bilangan bulat.

Hal-hal untuk diingat:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… dst.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… dst.

Juga, jika (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…maka hasilnya akan bertanda “+”. Jika bilangan negatif dipangkatkan ganjil, maka sebaliknya.

Properti umum, dan semua fitur spesifik yang dijelaskan di atas, juga merupakan karakteristiknya.

Gelar pecahan

Pandangan ini dapat ditulis sebagai skema: A m / n. Dibaca sebagai: akar derajat ke-n dari bilangan A pangkat m.

Dengan indikator pecahan, Anda dapat melakukan apa saja: mengurangi, menguraikan menjadi beberapa bagian, menaikkan ke tingkat lain, dll.

Gelar dengan eksponen irasional

Biarkan α menjadi bilangan irasional dan А ˃ 0.

Untuk memahami esensi gelar dengan indikator seperti itu, Mari kita lihat kemungkinan kasus yang berbeda:

• A \u003d 1. Hasilnya akan sama dengan 1. Karena ada aksioma - 1 sama dengan satu di semua pangkat;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 adalah bilangan rasional;

• 0˂А˂1.

Dalam hal ini, sebaliknya: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 dalam kondisi yang sama seperti pada paragraf kedua.

Misalnya, eksponen adalah bilangan π. Itu rasional.

r 1 - dalam hal ini sama dengan 3;

r 2 - akan sama dengan 4.

Kemudian, untuk A = 1, 1 π = 1.

A = 2, lalu 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, lalu (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Derajat seperti itu dicirikan oleh semua operasi matematika dan sifat spesifik yang dijelaskan di atas.

Kesimpulan

Untuk meringkas - untuk apa nilai-nilai ini, apa keuntungan dari fungsi tersebut? Tentu saja, pertama-tama, mereka menyederhanakan kehidupan matematikawan dan pemrogram saat memecahkan contoh, karena memungkinkan meminimalkan perhitungan, mengurangi algoritme, mensistematisasikan data, dan banyak lagi.

Di mana lagi pengetahuan ini bisa berguna? Dalam spesialisasi pekerjaan apa pun: kedokteran, farmakologi, kedokteran gigi, konstruksi, teknologi, teknik, desain, dll.

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi kekuatan, seperti tanda kurung buka, pengurangan istilah serupa. Dan kemudian kami akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat derajat, dll.

navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" secara praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan soal, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas-tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan mewakili mereka sesuai dengan bagaimana perkembangan pandangan dari derajat dengan indikator alami menjadi derajat dengan indikator nyata.

Seperti yang Anda ketahui, pertama-tama Anda berkenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi pangkat paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, kekuatan suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 −2, , a−2 +2 b −3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Di sana, gelar dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , dan seterusnya. Terakhir, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan pangkat dan logaritma mulai muncul, misalnya x 2 lgx −5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar dari ekspresi. Misalnya, Anda dapat membuka tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan suku sejenis, dan sebagainya. Secara alami, dalam hal ini perlu mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Hitung nilai persamaan pangkat 2 3 ·(4 2 −12) .

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kami melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita mengganti pangkat dari 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kita menghitung hasilnya 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

2 3 (4 2 −12)=32 .

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Jelas, ungkapan ini mengandung istilah serupa 3 · a 4 · b − 7 dan 2 · a 4 · b − 7 , dan kita dapat menguranginya: .

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1 .

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Untuk mengatasi tugas tersebut, representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan selanjutnya penggunaan rumus perkalian singkat, selisih kuadrat, dapat digunakan:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat pada ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, yang dasar dan / atau indikatornya bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, dimungkinkan untuk mengganti ekspresi di dasar derajat dan ekspresi di indikator dengan ekspresi yang identik sama pada DPV variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat mengubah basis derajat secara terpisah, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik dengan aslinya.

Transformasi semacam itu memungkinkan kita menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0,3 7) 5−3,7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk pangkat 4,1 1,3. Dan setelah membuka tanda kurung dan memasukkan suku-suku yang sejenis ke dalam dasar derajat (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita mendapatkan persamaan pangkat dari bentuk yang lebih sederhana a 2·(x+1 ) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan, refleksi. Mari kita mengingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan bilangan real arbitrer r dan s, berlaku sifat pangkat berikut:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen alami, bilangan bulat, dan positif, pembatasan angka a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n, persamaan a m·a n =a m+n benar tidak hanya untuk a positif, tetapi juga untuk bilangan negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan justru difokuskan pada kemampuan memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - kisaran nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti secara bebas derajat. Secara umum, Anda perlu terus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin menerapkan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan DPV dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kami membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Pertama, kita mengubah faktor kedua (a 2) −3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Dalam hal ini, ekspresi daya awal akan berbentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama, yang kita miliki
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Temukan nilai ekspresi kekuatan.

Kesetaraan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke hasil kali bentuk dan seterusnya. Dan saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

.

Diberi ekspresi pangkat a 1.5 −a 0.5 −6 , masukkan variabel baru t=a 0.5 .

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai a 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =ar s diterapkan dari kanan ke kiri, ubah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Dengan demikian, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita dapatkan t 3 −t−6 .

Mengubah pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Transformasi pecahan dasar apa pun yang melekat pada pecahan jenis apa pun sepenuhnya berlaku untuk pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan di penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kami juga mengubah tanda penyebutnya dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

.

Mengurangi pecahan yang mengandung pangkat menjadi penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional menjadi penyebut baru. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang serta penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, faktor tambahan harus tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Bawa pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebut.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah faktor a 0,3 karena a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami berhak mengalikan pembilang dan penyebut pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebutnya, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ungkapan ini dengan akan menghasilkan jumlah kubus dan, yaitu, . Dan ini adalah penyebut baru yang kita perlukan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:

A) , B) .

Juga tidak ada yang baru dalam mengurangi pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama direduksi.

Kurangi pecahan: a) , B).

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat direduksi dengan bilangan 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi dengan x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan rumus selisih kuadrat:

A)

B) .

Mengurangi pecahan menjadi penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menjumlahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Ikuti langkah-langkahnya .

Pertama, kita kurangi pecahan dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, kami membawa mereka ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan pangkat x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita miliki .

Anda juga dapat menyederhanakan persamaan pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini menghasilkan pecahan . Jelas bahwa ada hal lain yang perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah fraksi yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti membagi kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kami beralih dari produk terakhir ke fraksi.

.

Dan kami menambahkan bahwa dimungkinkan dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi semacam itu seringkali menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan.

Konversi ekspresi dengan akar dan kekuatan

Seringkali dalam ekspresi yang membutuhkan beberapa transformasi, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengonversi ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup hanya dengan root atau hanya dengan kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahasnya secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah mengenal derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata arbitrer.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitik diberikan oleh derajat, yang dasarnya adalah angka, dan indikatornya adalah variabel. Jadi kita dihadapkan pada ekspresi pangkat yang mengandung angka di dasar derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja ada kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat memecahkan persamaan eksponensial Dan pertidaksamaan eksponensial, dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk menunjukkannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka ditemukan, digantikan oleh produk. Ini berlaku untuk suku pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua sisi persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada variabel ODZ x untuk persamaan aslinya (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kita tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberi .

Terakhir, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dilakukan memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru, yang mereduksi solusi persamaan eksponensial awal menjadi solusi persamaan kuadrat

Bagian: Matematika

Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan

Sasaran:

Peralatan: komputer, proyektor multimedia, papan tulis interaktif, presentasi “Derajat” untuk penghitungan lisan, kartu tugas, selebaran.

Rencana belajar:

Selama kelas

I. Momen organisasi

Presentasi topik dan tujuan pelajaran.

Dalam pelajaran sebelumnya, Anda menemukan dunia derajat yang menakjubkan, mempelajari cara mengalikan dan membagi derajat, dan menaikkannya menjadi pangkat. Hari ini kita harus mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan contoh.

II. Pengulangan aturan(secara lisan)

1. Berikan definisi derajat dengan indikator alami? (dengan kekuatan angka A dengan eksponen alami lebih besar dari 1 disebut produk N pengganda, yang masing-masing sama dengan A.)
2. Bagaimana cara mengalikan dua kekuatan? (Untuk mengalikan pangkat dengan basis yang sama, Anda harus membiarkan basisnya tetap sama dan menjumlahkan eksponennya.)
3. Bagaimana cara membagi derajat dengan derajat? (Untuk membagi pangkat dengan basis yang sama, Anda harus membiarkan basisnya tetap sama dan kurangi eksponennya.)
4. Bagaimana cara meningkatkan produk menjadi kekuatan? (Untuk meningkatkan produk ke pangkat, Anda perlu menaikkan setiap faktor ke pangkat itu)
5. Bagaimana cara menaikkan gelar ke gelar? (Untuk menaikkan pangkat menjadi pangkat, Anda harus membiarkan basisnya tetap sama, dan mengalikan eksponennya)

AKU AKU AKU. Penghitungan lisan(oleh multimedia)

IV. Referensi sejarah

Semua masalah berasal dari papirus Ahmes, yang ditulis sekitar tahun 1650 SM. e. terkait dengan praktik konstruksi, penentuan batas bidang tanah, dll. Tugas dikelompokkan berdasarkan topik. Sebagian besar, ini adalah tugas untuk menemukan luas segitiga, segiempat dan lingkaran, berbagai operasi dengan bilangan bulat dan pecahan, pembagian proporsional, menemukan rasio, ada juga peningkatan ke derajat yang berbeda, menyelesaikan persamaan derajat pertama dan kedua dengan satu yang tidak diketahui.

Sama sekali tidak ada penjelasan atau bukti apapun. Hasil yang diinginkan diberikan secara langsung, atau diberikan algoritma singkat untuk perhitungannya. Metode penyajian ini, tipikal sains di negara-negara Timur kuno, menunjukkan bahwa matematika di sana berkembang melalui generalisasi dan dugaan yang tidak membentuk teori umum apa pun. Namun, ada sejumlah bukti dalam papirus bahwa ahli matematika Mesir mampu mengekstraksi akar dan menaikkan pangkat, menyelesaikan persamaan, dan bahkan memiliki dasar-dasar aljabar.

V. Pekerjaan papan tulis

Temukan nilai ekspresi dengan cara yang rasional:

Hitung nilai ekspresi:



VI. Menit pendidikan jasmani

6. untuk mata
7. untuk leher
8. untuk tangan
9. untuk batang tubuh
10. untuk kaki

VII. Penyelesaian masalah(dengan tampilan papan tulis interaktif)

Apakah akar persamaan tersebut bilangan positif?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Rumus kekuatan dan akar.

Formula kekuatan digunakan dalam proses pengurangan dan penyederhanaan ekspresi kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan.

Nomor C adalah N-th kekuatan nomor A Kapan:



Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:



3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor berikut:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagi dan pembagi:

5. Menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponennya dikalikan:

Setiap rumus di atas benar dengan arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Operasi dengan akar.

1. Akar hasil kali beberapa faktor sama dengan hasil kali akar faktor berikut:

2. Akar rasio sama dengan rasio dividen dan pembagi akar:



3. Saat menaikkan akar menjadi pangkat, cukup menaikkan bilangan akar menjadi pangkat ini:



4. Jika kita meningkatkan derajat root in N sekali dan pada saat yang sama naikkan menjadi N pangkat th adalah bilangan radikal, maka nilai akarnya tidak akan berubah:



5. Jika kita menurunkan derajat root in N akar secara bersamaan N derajat th dari bilangan radikal, maka nilai akarnya tidak akan berubah:



Derajat suatu bilangan dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:



Rumus saya :a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk M > N, tetapi juga pada M 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

untuk formula saya :a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.

Kekuatan angka bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Untuk menaikkan bilangan real A sampai taraf tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root N-derajat dari M th kekuatan nomor ini A:



Formula derajat.

6. A - N = - pembagian derajat;

7. - pembagian derajat;

8. a 1/n = ;

Derajat Aturan Tindakan dengan Derajat

1. Derajat perkalian dua faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut (dengan indikator yang sama):

(abc…) n = a n b n c n …

Contoh 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Contoh 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Dalam praktiknya, transformasi terbalik lebih penting:

a n b n c n … = (abc …) n

itu. produk dari kekuatan yang sama dari beberapa kuantitas sama dengan kekuatan yang sama dari produk dari kuantitas ini.

Contoh 3 Contoh 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Derajat hasil bagi (pecahan) sama dengan hasil bagi membagi derajat yang sama dari yang habis dibagi dengan derajat pembagi yang sama:

Contoh 5 Contoh 6

Transformasi terbalik:. Contoh 7 . Contoh 8 .

3. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan:

Contoh 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Contoh 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponen pembagi dikurangi dengan eksponen pembagi

Contoh 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Contoh 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Saat menaikkan derajat pangkat, eksponen dikalikan:

Contoh 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Contoh 14

www.maths.yfa1.ru

Derajat dan Akar

Operasi dengan kekuatan dan akar. Derajat dengan negatif ,

nol dan pecahan indikator. Tentang ekspresi yang tidak masuk akal.

Operasi dengan derajat.

1. Saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya dijumlahkan:

saya · a n = a m + n .

2. Saat membagi derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi .



3. Derajat perkalian dua faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut.

4. Derajat perbandingan (pecahan) sama dengan perbandingan derajat pembagi (pembilang) dan pembagi (penyebut):

(a/b) n = a n / b n .

5. Saat menaikkan derajat ke kekuatan, indikatornya dikalikan:

Semua rumus di atas dibaca dan dijalankan di kedua arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

CONTOH (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operasi dengan akar. Dalam semua rumus di bawah ini, simbol berarti akar aritmetika(ekspresi radikal positif).

1. Akar hasil kali beberapa faktor sama dengan hasil kali akar faktor berikut:

2. Akar rasio sama dengan rasio akar pembagi dan pembagi:



3. Saat mengangkat akar ke suatu kekuatan, cukup dengan menaikkan ke kekuatan ini nomor akar:



4. Jika Anda menaikkan derajat akar sebanyak m kali dan secara bersamaan menaikkan bilangan akar ke derajat ke-m, maka nilai akar tidak akan berubah:



5. Jika Anda mengurangi derajat akar sebanyak m kali dan pada saat yang sama mengekstrak akar derajat ke-m dari bilangan akar, maka nilai akar tidak akan berubah:





Perluasan konsep derajat. Sejauh ini, kami hanya mempertimbangkan derajat dengan indikator alami; tetapi operasi dengan kekuatan dan akar juga dapat menyebabkan negatif, nol Dan pecahan indikator. Semua eksponen ini membutuhkan definisi tambahan.

Derajat dengan eksponen negatif. Pangkat suatu bilangan dengan eksponen negatif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan pangkat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai mutlak eksponen negatif:



Sekarang rumusnya saya : sebuah = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk M, lebih dari N, tetapi juga pada M, kurang dari N .

CONTOH A 4: A 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Jika kita menginginkan rumusnya saya : sebuah = saya - N adil di m = n, kita membutuhkan definisi derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Derajat bilangan bukan nol dengan eksponen nol adalah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real a ke pangkat m / n, Anda perlu mengekstrak akar pangkat ke-n dari pangkat m dari bilangan ini a:



Tentang ekspresi yang tidak masuk akal. Ada beberapa ekspresi seperti itu.

Di mana A ≠ 0 , tidak ada.

Memang, jika kita menganggap itu X adalah bilangan tertentu, maka sesuai dengan definisi operasi pembagian, diperoleh: A = 0· X, yaitu A= 0, yang bertentangan dengan kondisi: A ≠ 0

- nomor apapun.

Memang, jika kita berasumsi bahwa ungkapan ini sama dengan beberapa angka X, maka menurut definisi operasi pembagian kita memiliki: 0 = 0 X. Tapi kesetaraan ini berlaku untuk sembarang angka x, yang akan dibuktikan.

0 0 - nomor apapun.



Solusi Pertimbangkan tiga kasus utama:

1) X = 0 – nilai ini tidak memenuhi persamaan ini

2) kapan X> 0 kita dapatkan: x / x= 1, yaitu 1 = 1, dari mana berikut,

Apa X- nomor apa pun; tapi dengan mempertimbangkan itu

kasus kami X> 0 , jawabannya adalah X > 0 ;

sifat derajat

Kami mengingatkan Anda bahwa dalam pelajaran ini kami mengerti sifat derajat dengan indikator alami dan nol. Gelar dengan indikator rasional dan sifat-sifatnya akan dibahas dalam pelajaran untuk kelas 8.

Eksponen dengan eksponen alami memiliki beberapa sifat penting yang memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungan dalam contoh eksponen.

Properti #1
Produk kekuatan

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen ditambahkan.

a m a n \u003d a m + n, di mana "a" adalah bilangan apa saja, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.

Properti kekuatan ini juga mempengaruhi produk dari tiga kekuatan atau lebih.

• Sederhanakan ekspresi.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Hadir sebagai gelar.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Hadir sebagai gelar.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Harap dicatat bahwa di properti yang ditunjukkan itu hanya tentang mengalikan kekuatan dengan basis yang sama.. Itu tidak berlaku untuk penambahan mereka.

Anda tidak dapat mengganti jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5 . Ini bisa dimengerti jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 dan 3 5 = 243

Properti #2
Gelar swasta

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen pembagi dikurangi dari eksponen pembagi.

• Tulis hasil bagi sebagai kekuatan
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Menghitung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Contoh. Selesaikan persamaan. Kami menggunakan properti derajat parsial.
3 8: t = 3 4

Jawab: t = 3 4 = 81

Menggunakan properti No.1 dan No.2, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi dan melakukan perhitungan.

Contoh. Sederhanakan ekspresi.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Contoh. Temukan nilai ekspresi menggunakan properti derajat.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Harap dicatat bahwa properti 2 hanya berurusan dengan pembagian kekuasaan dengan basis yang sama.

Anda tidak dapat mengganti selisihnya (4 3 −4 2) dengan 4 1 . Ini bisa dimengerti jika Anda menghitung (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, dan 4 1 = 4

Properti #3
Eksponensial

Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basis pangkat tetap tidak berubah, dan eksponennya dikalikan.

(a n) m \u003d a n m, di mana "a" adalah bilangan apa saja, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.

Dengan sifat eksponensial Diketahui bahwa eksponen dikalikan dengan pangkat, yang berarti:

Properti 4
Gelar produk

Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat produk, setiap faktor dipangkatkan dan hasilnya dikalikan.

(a b) n \u003d a n b n, di mana "a", "b" adalah bilangan rasional apa pun; "n" adalah bilangan asli apa pun.

• Contoh 1
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
• Contoh 2
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Harap dicatat bahwa properti No. 4, seperti properti derajat lainnya, juga diterapkan dalam urutan terbalik.

(a n b n) = (a b) n

Artinya, untuk mengalikan derajat dengan eksponen yang sama, Anda dapat mengalikan basisnya, dan membiarkan eksponennya tidak berubah.

• Contoh. Menghitung.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Contoh. Menghitung.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Dalam contoh yang lebih kompleks, mungkin ada kasus ketika perkalian dan pembagian harus dilakukan pada pangkat dengan basis berbeda dan eksponen berbeda. Dalam hal ini, kami menyarankan Anda untuk melakukan hal berikut.

Misalnya, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Contoh eksponensial pecahan desimal.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Properti 5
Kekuatan hasil bagi (pecahan)

Untuk menaikkan hasil bagi menjadi pangkat, Anda dapat menaikkan pembagi dan pembagi secara terpisah ke pangkat ini, dan membagi hasil pertama dengan yang kedua.

(a: b) n \u003d a n: b n, di mana "a", "b" adalah bilangan rasional apa pun, b ≠ 0, n adalah bilangan asli apa pun.

• Contoh. Ekspresikan ekspresi sebagai kekuatan parsial.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Kami mengingatkan Anda bahwa hasil bagi dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Oleh karena itu, kita akan membahas topik menaikkan pecahan menjadi pangkat secara lebih rinci di halaman berikutnya.

Ke saluran youtube dari situs situs kami untuk mengetahui semua pelajaran video baru.

Pertama, mari kita mengingat kembali rumus dasar derajat dan sifat-sifatnya.

Produk nomor A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ungkapan ini sebagai a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. an a m = an + m

4. (an) m = nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Persamaan daya atau eksponensial- ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel X derajat atau ukuran.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2x *5=10
16x-4x-6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh seperti itu dapat dipecahkan bahkan di dalam pikiran. Dapat dilihat bahwa x = 3. Lagi pula, agar sisi kiri dan kanan sama, Anda harus meletakkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana keputusan ini harus dibuat:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami menghapus alasan yang sama(yaitu, deuces) dan tuliskan apa yang tersisa, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita meringkas solusi kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu untuk memeriksa sama apakah basis persamaan di kanan dan di kiri. Jika alasannya tidak sama, kami sedang mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya sama, menyamakan derajat dan memecahkan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sederhana.

Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, yang berarti kita dapat membuang alasnya dan menyamakan derajatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana ternyata.
x=4 - 2
x=2
Jawaban: x=2

Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda, yaitu 3 dan 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Untuk memulainya, kami memindahkan sembilan ke sisi kanan, kami mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2 . Mari gunakan rumus pangkat (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Kami mendapatkan 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 sekarang jelas bahwa alas sisi kiri dan kanan adalah sama dan sama dengan tiga, artinya kita dapat membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 mendapatkan persamaan yang paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat alasnya, alasnya berbeda dua dan empat. Dan kita harus sama. Kami mengubah segi empat sesuai dengan rumus (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi nomor lain 10 dan 24 mengganggu kita, apa yang harus dilakukan dengan mereka? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita ulangi 2 2x, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basisnya sama, buang dan samakan derajatnya.
2x \u003d 2 ternyata persamaan paling sederhana. Kami membaginya dengan 2, kami dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari kita selesaikan persamaan:

9 x - 12*3 x +27= 0

Mari kita ubah:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, jelas bahwa triple pertama memiliki derajat dua kali (2x) dari yang kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda dapat memutuskan metode substitusi. Angka dengan derajat terkecil diganti dengan:

Kemudian 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Kami mengganti semua derajat dengan x dalam persamaan dengan t:

t2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

kembali ke variabel X.

Kami mengambil t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Itu adalah,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawab: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Di situs ini Anda dapat di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN untuk mengajukan pertanyaan yang menarik, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabung dengan grup

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas tentang apa itu monomial. Dalam materi ini, kami akan menganalisis bagaimana memecahkan contoh dan masalah yang digunakan. Di sini kita akan mempertimbangkan tindakan seperti pengurangan, penjumlahan, perkalian, pembagian monomial dan menaikkannya menjadi pangkat dengan eksponen alami. Kami akan menunjukkan bagaimana operasi tersebut didefinisikan, menunjukkan aturan dasar untuk penerapannya dan apa hasilnya. Semua ketentuan teoretis, seperti biasa, akan diilustrasikan dengan contoh-contoh masalah dengan deskripsi solusinya.

Paling mudah bekerja dengan notasi standar monomial, oleh karena itu, kami menyajikan semua ekspresi yang akan digunakan dalam artikel dalam bentuk standar. Jika awalnya disetel berbeda, disarankan untuk terlebih dahulu membawanya ke bentuk yang diterima secara umum.

Aturan untuk menambah dan mengurangi monomial

Operasi paling sederhana yang dapat dilakukan dengan monomial adalah pengurangan dan penjumlahan. Dalam kasus umum, hasil dari tindakan ini akan menjadi polinomial (monomial dimungkinkan dalam beberapa kasus khusus).

Saat kita menambah atau mengurangi monomial, pertama-tama kita menuliskan jumlah dan perbedaan yang sesuai dalam bentuk yang diterima secara umum, setelah itu kita menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan. Jika ada istilah yang mirip, harus diberikan, tanda kurung harus dibuka. Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh.

Contoh 1

Kondisi: tambahkan monomial − 3 · x dan 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Larutan

Mari tuliskan jumlah ekspresi aslinya. Tambahkan tanda kurung dan beri tanda plus di antaranya. Kami akan mendapatkan yang berikut:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Saat kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ini adalah polinomial, ditulis dalam bentuk standar, yang akan menjadi hasil penjumlahan monomial ini.

Menjawab:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Jika kita memiliki tiga, empat atau lebih istilah yang diberikan, kita melakukan tindakan ini dengan cara yang sama.

Contoh 2

Kondisi: melakukan operasi yang diberikan dengan polinomial dalam urutan yang benar

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Larutan

Mari kita mulai dengan membuka tanda kurung.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Kami melihat bahwa ekspresi yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengurangi suku-suku sejenis:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Kami memiliki polinomial, yang akan menjadi hasil dari tindakan ini.

Menjawab: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Pada prinsipnya, kita dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan dua monomial, dengan beberapa batasan, sehingga kita mendapatkan monomial. Untuk melakukan ini, perlu diperhatikan beberapa ketentuan mengenai syarat dan monomi yang dikurangi. Kami akan menjelaskan bagaimana ini dilakukan di artikel terpisah.

Aturan untuk mengalikan monomial

Tindakan perkalian tidak memberlakukan batasan apa pun pada pengganda. Monomial yang akan dikalikan tidak boleh memenuhi persyaratan tambahan apa pun agar hasilnya menjadi monomial.

Untuk melakukan perkalian monomial, Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Rekam potongan dengan benar.
2. Perluas tanda kurung di ekspresi yang dihasilkan.
3. Kelompokkan, jika mungkin, faktor dengan variabel yang sama dan faktor numerik secara terpisah.
4. Lakukan tindakan yang diperlukan dengan angka dan terapkan properti perkalian pangkat dengan basis yang sama ke faktor yang tersisa.

Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktiknya.

Contoh 3

Kondisi: kalikan monomial 2 · x 4 · y · z dan - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Larutan

Mari kita mulai dengan komposisi karya.

Membuka tanda kurung di dalamnya dan kami mendapatkan yang berikut:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Yang harus kita lakukan adalah mengalikan angka di tanda kurung pertama dan menerapkan properti power ke tanda kurung kedua. Hasilnya, kami mendapatkan yang berikut:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Menjawab: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Jika kita memiliki tiga atau lebih polinomial dalam kondisi tersebut, kita mengalikannya menggunakan algoritma yang persis sama. Kami akan mempertimbangkan masalah penggandaan monomial secara lebih rinci dalam materi terpisah.

Aturan untuk menaikkan monomial menjadi kekuatan

Kita tahu bahwa hasil kali sejumlah faktor identik disebut derajat dengan eksponen alami. Nomor mereka ditunjukkan dengan nomor dalam indeks. Menurut definisi ini, menaikkan monomial menjadi pangkat setara dengan mengalikan jumlah monomial identik yang ditunjukkan. Mari kita lihat bagaimana hal itu dilakukan.

Contoh 4

Kondisi: naikkan monomial − 2 · a · b 4 pangkat 3 .

Larutan

Kita dapat mengganti eksponensial dengan perkalian 3 monomial − 2 · a · b 4 . Ayo tulis dan dapatkan jawaban yang diinginkan:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Menjawab:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Tapi bagaimana bila derajat memiliki eksponen besar? Merekam sejumlah besar pengganda tidak nyaman. Kemudian, untuk menyelesaikan soal seperti itu, kita perlu menerapkan sifat-sifat derajat, yaitu sifat-sifat perkalian dan sifat-sifat derajat dalam derajat.

Mari selesaikan masalah yang kami kutip di atas dengan cara yang ditunjukkan.

Contoh 5

Kondisi: naikkan − 2 · a · b 4 pangkat tiga.

Larutan

Mengetahui properti gelar dalam gelar, kita dapat melanjutkan ke ekspresi dari bentuk berikut:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Setelah itu, kami menaikkan pangkat - 2 dan menerapkan properti eksponen:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Menjawab:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Kami juga mencurahkan artikel terpisah untuk mengangkat monomial menjadi kekuatan.

Aturan untuk membagi monomial

Tindakan terakhir dengan monomial yang akan kita analisis dalam materi ini adalah pembagian monomial dengan monomial. Hasilnya, kita harus mendapatkan pecahan rasional (aljabar) (dalam beberapa kasus, monomial dapat diperoleh). Mari kita perjelas segera bahwa pembagian dengan nol monomial tidak ditentukan, karena pembagian dengan 0 tidak ditentukan.

Untuk melakukan pembagian, kita perlu menulis monomial yang ditunjukkan dalam bentuk pecahan dan menguranginya jika memungkinkan.

Contoh 6

Kondisi: bagi monomial − 9 x 4 y 3 z 7 dengan − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Larutan

Mari kita mulai dengan menulis monomial dalam bentuk pecahan.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Fraksi ini dapat dikurangi. Setelah melakukan ini, kita mendapatkan:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Menjawab:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Kondisi di mana, sebagai hasil pembagian monomial, kami mendapatkan monomial diberikan dalam artikel terpisah.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti jumlah lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tandanya.

Jadi, jumlah dari a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama dapat ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah dari 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .

Juga jelas bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel Dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda mereka.

Jadi, jumlah dari a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3 .

Jelas bahwa kuadrat a, dan pangkat tiga a, bukanlah dua kali kuadrat a, tetapi dua kali pangkat tiga a.

Jumlah dari a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan, kecuali bahwa tanda pengurangan harus diubah sesuai dengan itu.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 - 4j 2 b 6 = -j 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

perkalian kekuatan

Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu per satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antaranya.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika salah satu dari keduanya dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) yang pangkatnya sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Itu sebabnya, kekuatan dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawab: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk angka yang eksponennya adalah - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah a 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi persegi, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian derajat

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan pembaginya, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibagi dengan 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam deretan angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
angka apa pun dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponennya akan sama dengan perbedaan indikator bilangan yang dapat dibagi.

Saat membagi kekuatan dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian a -5 dengan a -3 adalah a -2 .
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan sangat baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh soal contoh soal pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponen dalam $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan jadikan penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah -2 pembilang pertama.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah a -1 , pembilang umum.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan jadikan penyebut yang sama.
Jawab: 2a 3 / 5a 7 dan 5a 5 / 5a 7 atau 2a 3 / 5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagilah 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/h 4 dengan (d n + 1)/h.